高等数学复习提纲同济大学下册完整版

高等数学复习提纲同济

大学下册

HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】

高等数学复习提纲

一、考试题型 1．填空题6题 2．计算题8题 二、知识点 1．平面及其方程。

例题：一平面过点(1 0 1)且平行于向量a (2 1 1)和b (1 1 0) 试求这平面方程

解 所求平面的法线向量可取为

k j i k

j i b a n 3011112-+=-=⨯=?

所求平面的方程为

(x 1)(y 0)3(z 1)0 即xy 3z 40

2．空间直线及其方程。

例题：求过点(2 0 3)且与直线⎩

⎨⎧=+-+=-+-012530

742z y x z y x 垂直的平面方程

解 所求平面的法线向量n 可取为已知直线的方向向量 即

k j i k

j i n 111416253421)2 ,5 ,3()4 ,2 ,1(++-=--=-⨯-=?

所平面的方程为 16(x 2)14(y 0)11(z 3)0 即 16x 14y 11z 650

例题：求过点(3 1 2)且通过直线

1

2354z

y x =+=-的平面方程

解 所求平面的法线向量与直线1

2354z

y x =+=

-的方向向量s 1(5 2 1)垂直 因为点(3 1 2)和(4 3 0)都在所求的平面上 所以所求平面的法线向量与向量s 2(4 3 0)(3 1 2)(1 4 2)也是垂直的 因此所求平面的法线向量可取为

k j i k

j i s s n 229824112521--=-=⨯=?

所求平面的方程为 8(x 3)9(y 1)22(z 2)0 即 8x 9y 22z 590

3．旋转曲面。

例题：将

zOx 坐标面上的抛物线z 25x 绕x 轴旋转一周 求所生成的

旋转曲面的方程 解 将方程中的z 换成22z y +±

得旋转曲面的方程

y 2z 25x

例题：将zOx 坐标面上的圆x 2z 29绕z 轴旋转一周 求所生成的旋转曲面的方程

解 将方程中的x 换成2

2y x +±

得旋转曲面的方程x 2y 2z 29

4. 多元复合函数求导，隐函数求导。 例题：求函数 x

y

e z = 的全微分

解 xdy e x

dx e x y dy y z dx x z dz y x y 12+-=∂∂+∂∂=

例题：设zu 2ln v 而y

x u = v 3x 2y 求x z ∂∂ y

z ∂∂

解 x

v v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂

31ln 22⋅+⋅=v u y v u 22

2)23(3)23ln(2y

y x x y x y x -+-=?

)2()(ln 222-+-⋅=v u y x v u 22

32)23(2)23ln(2y

y x x y x y x ----=? 例题：设ze x 2y 而x sin t yt 3 求dt

dz

解 dt dy

y z dt dx x z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=2223)2(cos t e t e y x y x ⋅-⋅+=--

)6(cos )6(cos 22sin 223

t t e t t e t t y x -=-=--? 例题：设sin ye x xy 20 求

dx

dy 解 令F (x y )sin ye x xy 2 则F x e x y 2 F y cos y 2xy xy

y e y xy y y e F F dx dy x

y x 2cos 2cos 222--=---=-=?

例题：设x y y x arctan ln 22=+ 求dx

dy

解 令x

y y x y x F arctan ln ),(2

2-+= 则

2

2222222)()(11221y x y x x y x

y y x x y x F x ++=-⋅+-

+⋅+=? 2

2222221)(11221y x x y x x

y y x y y x F y +-=⋅+-

+⋅+=? y

x y x F F dx dy

y x -+=-=?

5.重积分（直角坐标，极坐标）。

例题：⎰⎰+D

d y x σ)(22 其中D {(x y )| |x |1 |y |1}

解 积分区域可表示为D 1x 1 1y 1 于是

x d x ⎰-+=1

12)312(113]3232[-

+=x x 3

8=? 例题：⎰⎰+D

d y x x σ)cos( 其中D 是顶点分别为(0 0) ( 0) 和( )的三角形闭区域

解 积分区域可表示为D 0x 0yx 于是 +--=0|)cos 2cos 2

1(πx x x dx x x ⎰-π

0)cos 2cos 21(π23

-=?

例题：利用极坐标计算下列各题 (1)⎰⎰+D

y x

d e σ2

2

，其中D 是由圆周x 2y 24所围成的闭区域

解 在极坐标下D {( )|02 02} 所以

)1()1(2

1244202

02

-=-⋅==⎰⎰e e d e d ππρρθπ

ρ?

(3)σd x

y

D

arctan

⎰⎰ 其中D 是由圆周x 2y 24 x 2y 21及直线y 0 yx 所围成的第一象限内的闭区域

解 在极坐标下}21 ,40|),{(≤≤≤≤=ρπθθρD 所以

⎰

⎰

⋅=402

1

π

ρρθθd d ⎰

⎰

==403

2

1

64

3π

πρρθθd d ? 5．求曲顶柱体体积。

例题：求由曲面zx 22y 2及z 62x 2y 2所围成的立体的体积

解 由⎩

⎨⎧--=+=2

22

2262y x z y x z 消去z 得x 2+2y 2=62x 2y 2 即x 2y 2=2 故立体在x O y

面上的投影区域为x 2y 22 因为积分区域关于x 及y 轴均对称 并且被积函数关于x y 都是偶函数 所以 ⎰

⎰---=2

20

222

)2(12x dy y x dx π6)2(82

32=-=⎰

dx x ?

例题：计算以xOy 平面上圆域x 2y 2ax 围成的闭区域为底 而以曲面zx 2y 2为顶的曲顶柱体的体积

解 曲顶柱体在xOy 面上的投影区域为D {(x y )|x 2y 2ax } 在极坐标下}cos 0 ,2

2

|),{(θρπθπθρa D ≤≤≤≤-= 所以