复旦大学固体物理课件19能带分析(车静光)

* 在有些k方向，可区分d带 和s带，有些不能区分，与 k有关的轨道相互作用
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• 下图是没 有d电子 的空晶格 能带
* 可以看 出d带的 穿越s带 的效果 * 在L点畸 变特别 大，费 米面为 一颈部
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费米面和能量态密度回顾
• 从空晶格模型过渡到近自由电子近似
* 在布里渊区边界处的畸变
• Leabharlann Baidu征
E(k) D(E) A
k
C
E
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本讲要达到的目的
• 解读能带：材料的典型能带特征 • 能带理论复习及例题
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* s电子能带
E L E s
E E s 12 V ss
E(k)
E X E s 4V ss
L
Γ E(k)
X
* p电子能带
E 1 X E p 4V pp
E E p 4V pp 8V pp
E 2 X E p 4V pp
这涉及结构因子。现在原胞内两个原子的位置矢 量分别是0和a/4。当n=2时，其傅立叶分量为零， 没有能隙。如果原胞内每个原子一个电子，共2个 电子正好填满第一能带，上面的禁带有能隙=V1， 所以是非金属； * 当每个原子有两个电子时，原胞内共有4个电子， 填两条能带。但是第二能带和第三能带间的能隙 为零，所以是金属。 2 m nx 1 a V ( n) V ( x ) e dx V ( x) v j ( x j ) Na
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• Cu (3d104s1) • 只一个4s1电子，如费米 能级只穿越s带，费米面 是近似球面 • 但在L点不只穿越s带， 所以在L处有一能隙，费 米面有一颈部，与邻近B 区的费米面互连 • 如果没有d态，应该也非 常接近自由电子 • 现s带与d带作用，类自由 电子能带被d带拦腰截断
III-V族半导体
• GaAs
* 直接带隙 * 价带中有“gap”， 是由于闪锌矿结构 引起的，所有这种 结构的能带特征
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Metallic crystal
• 非过渡金属(无d电子) • Al (3s23p1)
* 3个传导电子 * 最低带s带，非常接 近自由电子 * 能量态密度也非常接 近E1/2，类似于自由 电子气
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原理
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ARPES与能带
Angle/ Wave vector
EF
Photocurrent
Energy
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EF
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Energy
Wave vector
10
kF
例子
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• 出现奇点的能量位置
E E C 2J E E 原子 C 6 J
原子
D(E )
EE原子 C
6J
2J
2J
6J
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2、能带测量 (ARPES)
• 角分辨光电子谱Angle-resolved photoemission spectroscopy
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第19讲、典型能带结构分析
1. van Hove奇点 2. 能带测量：ARPES 第16讲附录、经验紧束缚方法 3. 典型能带
* * * * 惰性气体晶体 离子晶体 共价晶体 金属
4. 例题 附录、能带理论小结
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R

s
Rx R

px
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p和p轨道的相互作用，Jpp(R)


pz
分别往R方向和R的垂直方 向的投影来计算轨道的相 互作用。两个与R垂直投影 的相互作用为Vppπ，而在R 方向上投影的相互作用为 Vppσ Rx Rz
R

R
2

px
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经验紧束缚方法的sp3模型
• 考虑一个s轨道和三个p轨道的经验紧束缚模 型，其参数为
ˆ (r R ) J ( R ) ( r ) H J ss ( R ) V ss J sp j ( R ) J pi p j ( R ) Rj R V sp
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1、van Hove奇点
• 如果
k E k 0
• 能态密度表达式里的被积函数发散，但可积
* 这样能量态密度的一阶导数是不连续的 * 这种发散点称为van Hove奇点
• 由于E(k)是k的周期函数，一定会出现：极大 值、极小值、鞍点
* 一般出现在k空间的高对称点
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Ri R j R
2
V
pp
V pp ij V pp
http://10.107.0.68/~jgche/ R
H ( k )

e ik R J ( R )中的 J ( R ) 视作参数
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紧束缚理解能带结构
• 对fcc结构，不考虑s-p作用
* hv5eV（紫外）~1keV（X射线）
末态 E动能 真空 hv
• 原理
* 占据带电子吸收光子能量，被激发到空 态，带有一定动能逸出体外
初态
E 动能 E 末态 E 真空 E 初态 hv E 真空
* 收集电子动量能够分辨的，可与能带直接 进行比较
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• s和p轨道的空间分布

pz
s


py



px
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ik R H ( k ) e J ( R )中的 J ( R ) 视作参数 http://10.107.0.68/~jgche/ 典型能带结构分析 R
s和p轨道的相互作用，Jss(R)，Jsp(R)
用p在R上的投影来计算轨 道的不同夹角：一个往R方 向投影，另一个往垂直于R 方向投影。垂直于R方向的 投影对积分的贡献为零
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• Cu的费米面 • 右上图（100）方向截图 • 右下图（110）方向截图
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4、例题
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例题（能带结构，结构因子）
•
一维晶体，晶格常数为a，每个原胞内含有两 个同种原子，它们之间的最近距离为a/4。试 问：
1. 如果每个原子有一个电子，它是金属还是非金 属？为什么？ 2. 如果每个原子有两个电子，它是金属还是非金 属？为什么？
•
涉及要点
* * 能带结构（填充能带） 能隙（由势能的傅立叶系数确定）
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解答
*
i n 2 Sn 1 e
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相关要点
• 由势能确定能隙的要领
* 根据近自由电子近似，不同能带次序的能隙由势能 的傅立叶不同系数Vn决定
• 求势能函数的傅立叶系数Vn=?
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最近邻 R
e
ik R
e e
ik x a
e e
ik x a
e
ik y a
e
ik y a
ik z a
ik z a
2 cos k x a cos k y a cos k z a
E k E 原子 C 2 J cos k x a cos k y a cos k z a
ˆ k E k 2 aJ sin k x a ˆ i sin k y aˆ j sin k z a k
k E k 2 a J
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2 2 2


sin k x a sin k y a sin k z a
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典型能带结构分析
* 虚线H-F，实线LDA * 能隙=14.6eV 实验=14.2eV * 类p态：价带顶在Γ点，三 度简并，离开Γ点就下降 * 类s带也是紧束缚特征
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典型能带结构分析
Ionic crystal (localized features)
• 特征：满壳层，电子交叠少 • 直接能隙，大，绝缘体 • 电荷完全转移，所以非常局 域，几乎没有色散 • 价电子紧紧束缚在Cl上 c a E E • 禁带宽度~ s p • K 的4s和3d态空，近自由 • Cl的3p 色散（变化）很 小，形成很窄的能带 • Cl的3s, 芯态，紧束缚，色 散小
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例：简立方s能带的van Hove奇点
• 对处于顶角位置的原子，有六个最 近邻，即：
R a (1, 0 , 0 ), ( 1, 0 , 0 )
a ( 0 ,1, 0 ), ( 0 , 1, 0 ) a ( 0 , 0 ,1), ( 0 , 0 , 1)
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Covalent crystal (delocalized)
• 典型的是Si和Ge • 典型的共价键 • 具有很强的混合，退局域化
导致能带宽度比离子晶体大
• 元素半导体 • III-V化合物半导体 • 绝缘体
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• AgCl，半导体 • Ag 的4d 与 Cl 的3p几 乎处于同一能级必 须把4d当作类价态 • Ag 的4d 与 Cl 的3p相 互作用导致价带增宽 • 相互作用在整个B区 不同
* 这是因为d和p态间不 同的对称性，在 Γ 点，轨道的交叠抵 消，或说混合最小； 而在有些点如±π/a 点，轨道混合最大
• 费米能级位于能带中
* 费米面穿越几个能带 * 不完全在第一B区， 不是连续的球面
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• 虚线是自由电 子的结果，可 以看出，除了 边界，基本重 合
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j
V ( n ) V j ( n )e
j 1
m
i
2 n j a
V ( n ) V1 ( n ) e
j 1
m
i
2 n j a
V1 ( n ) S ( n )
S ( n) e
j 1
m
i
2 n j a
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例子：CeSb能带
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3、典型能带
• 第16讲附录二：经验紧束缚方法 • • • •
惰性气体晶体 离子晶体 共价晶体 金属
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第16讲附录二：经验紧束缚方法
E 2 L E p 2V pp 2V pp
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E 1 L E p 4V pp 4V pp
L
Γ
X
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惰性气体晶体： Ar
• 由于都是满壳层，电子转 移较少，因此，表现为占 满的价带色散比较小，导 带类近自由电子
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元素半导体
• 很强的共价键。与空晶格能带有许多相象之处
* 价带的底部，导带的上部。但在B区边界明显分裂
free electron band structure in fcc
1
Energy (Ryd)
0.5
0 G
X
W
L
G
K
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