第三讲 连续时间随机过程的微分和积分
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2
证明：
E[ X (t1 ) X (t2 )] E[ lim lim E[
t1 0 t2 0
X (t1 t1 ) X (t1 ) X (t2 t2 ) X (t2 ) . ] t1 t2
RX (t1 t1 , t2 t2 ) RX (t1 , t2 t2 ) RX (t1 t1 , t2 ) RX (t1 , t2 ) lim t1 0 t1t2 t 0
t 0
lim E[ X (t t )] E[ lim X (t t )]
t 0
表明：求极限和数学期望的次序可以交换。
《随机信号分析》教学组
6
二 随机过程的导数
预备知识：
对于一般确定性函数，高等数学给出的 可导定义如下： 一阶可导： 如果 f (t )
df (t ) f (t t ) f (t ) lim t 0 dt t
2
b
b
E[
b a b
b
a b
b
a
X (t1 ) X (t2 ) dt1dt2 ]
a b
E[ X (t1 ) X (t2 )]dt1dt2 E[ X (t1 ) X (t2 )]dt1dt2 RX (t1 , t2 )dt1dt2
a b
a b
a
a
《随机信号分析》教学组
1.2 连续时间随机过程的微分和积分
实际中，经常涉及到随机过程的微分和积分问题。
对于通常函数而言：这些运算即是极限运算。 对于随机过程而言：这涉及到随机变量序列的极限和收敛 问题，这些极限都是在均方意义下定义的。 为了讨论随机过程的微分和积分，首先讨论随机过程的连续性。
《随机信号分析》教学组
1
一 随机过程的连续性
4 随机过程 X ( t ) 均方连续，则其数学期望连续。 证 设 Y X (t t ) X (t )
2 E[Y 2 ] Y E 2[Y ] E 2[Y ]
E[(X (t t ) X (t ))2 ] E 2[( X (t t ) X (t ))]
《随机信号分析》教学组
15
三
Байду номын сангаас
随机过程的积分
1 预备知识 对于确定性函数 f ( x) ，
b
a
f ( x)dx lim f ( i )xi
0
i 1
n
其中 xi xi xi1, max xi , i 1,2,...., n
《随机信号分析》教学组
20
随机过程积分的方差等于随机过程协方差 的二重积分。 证明：
2 Y E[Y 2 ] E 2 [Y ]
b
a b
b
a b
RX (t1 , t2 )dt1dt2 E[ X (t1 )]dt1 E[ X (t2 )]dt2
a a
b
b
a b
a b
[ RX (t1 , t2 ) mX (t1 )mX (t2 )]dt1dt2 K X (t1 , t2 )dt1dt2
2
2 RX (t1 , t2 ) t1t2
《随机信号分析》教学组
14
例
数学期望 mX (t ) 5sin t 、相关函数 RX (t1 , t2 ) 3e 随机信号 X (t )。 求随机信号 Y (t ) X (t ) 的均值和相关函数。
E[Y (t )] E[ dX (t ) d ] E[ X (t )] 5cos t dt dt
存在，则 f (t ) 在 t 处可导，记为 f (t ) 。
《随机信号分析》教学组
7
二阶可导： 如果
f ( s h, t k ) f ( s h, t ) f ( s, t k ) f ( s, t ) lim h 0 hk
k 0
存在，则 f ( s, t ) 二阶可导，记为
16
给定实随机过程 X (t )，若在确定区间 a, b 上每个样本函数下列积分存在
Y X (t )dt
a b
则称Y为随机过程 X (t ) 的积分。 由于对每个试验结果 ，积分都可以 得到一个数 Y ( ) ；但对不同的 ，积分值 是不同的，于是对于所有的实验结果，Y是 一个随机变量。而对于每个样本函数，此积 分是通常意义下的积分。 在更一般的情况下， X ( , t ) 的积分并不 对每一个 都存在，此时需要换一种方式 来定义。 《随机信号分析》教学组
a
a
《随机信号分析》教学组
21
给定实随机过程 X (t )
Y (t ) X ( )d
a
t
为随机过程 X (t ) 在区间 a, t 的变上限积分。
《随机信号分析》教学组
22
随机过程积分的相关函数等于对随机过程的 相关函数作两次变上限积分（先对t1, 后对t2积分）
lim E[ X (ti )]ti E[ X (t )]dt
0 b i 1 a
n
mX (t )dt
a
《随机信号分析》教学组
19
随机过程积分的均方值等于随机过程自 相关函数的二重积分。
证明： E[Y ] E[ a X (t1 )dt1 a X (t2 )dt2 ]
2 f ( s, t ) s t
。
《随机信号分析》教学组
8
1 随机过程可导的定义
随机过程 X (t ) 的导数定义为一个极限：
dX (t ) X (t t ) X (t ) X (t ) lim t 0 dt t
如果这个极限对于过程 X (t ) 的所有样本函数 都存在，那么 X (t ) 具有导数通常的意义。 如果这个极限在均方意义下存在，称 X (t ) 具 有均方意义下的导数。
2 RX (t1 , t2 ) 2 RX (t1 , t2 ) 2 RX (t1 , t2 ) 2 0 t1 t2 t1 t2 t1 t2
随机过程在均方意义下可微(可导)的充分条件：
相关函数在它的自变量相等时，存在二阶混合偏 2 导数且连续，即存在 RX (t1 , t 2 ) t1t 2 t t
b
i
n
在 a, b上的均方积分。
i 1
《随机信号分析》教学组
18
3 数字特征(数学期望、均方值、方差、相关函数) 随机过程积分的数学期望等于随机过程 数学期望的积分。 证明： E[Y ] E[ a X (t )dt ] E[lim X (ti )ti ]
b 0 i 1 b n
由均方连续的定义可知，当 t 0 ，则不等 式左端趋于0，那么不等式的右端也必趋于0。 （均值的平方不可能小于0）
《随机信号分析》教学组
5
即：
E[ X (t t ) X (t )] E[ X (t t )] E[ X (t )] 0
注意 E[ X ( t )]为确定性函数，由前面知识可 知连续。 可将此结果写成
X (t1 t1 ) X (t1 ) X (t2 t2 ) X (t2 ) 2 lim E[( ) ]0 t1 , t 2 0 t1 t2
而
E[(
1 [ RX (t1 t1 , t1 t1 )＋RX (t1 , t1 ) RX (t1 t1 , t1 ) RX (t1 , t1 t1 )] 2 t1 1 [ RX (t2 t2 , t2 t2 )＋RX (t2 , t2 ) RX (t2 t2 , t2 ) RX (t2 , t2 t2 )] 2 t2 1 [ RX (t1 t1 , t2 t2 )＋RX (t1 , t2 ) RX (t1 t1 , t2 ) RX (t1 , t2 t2 )] t1t2
2
因此，如果对 t1 , t 2 时刻，函数 RX (t1 , t2 ) 在 t1 t 2 t 点上连续，则随机过程 X ( t ) 必在 t点上连续。如果 RX (t1 , t2 ) 沿着 t1 t2 处处 连续，则随机过程 X ( t ) 对于每个t都是连续。
《随机信号分析》教学组
4
随机过程 连续性
随机过程的导数运算与数学期望的运算次序可以交换。
《随机信号分析》教学组
13
随机过程导数的相关函数，等于可微（可导） 随机过程的相关函数的混合偏导数
2 RX (t1 , t2 ) RX (t1 , t2 ) E[ X (t1 ) X (t2 )] t1t2
X (t1 t1 ) X (t1 ) X (t2 t2 ) X (t2 ) . ] t1 0 t1 t2 t 0
11
X (t1 t1 ) X (t1 ) X (t2 t2 ) X (t2 ) 2 ) ] t1 t2
《随机信号分析》教学组
2 RX (t1 , t2 ) 若 t1 t2 t 时，存在二阶混合偏导 t1 t2
则
X (t1 t1 ) X (t1 ) X (t2 t2 ) X (t2 ) 2 lim E[( ) ] t1 , t2 0 t1 t2
1 确定函数连续性定义：
对于确定性函数 f ( x ) ，
若 lim[ f ( x0 x) f ( x0 )] 0
x 0
则 f ( x )在 x 0 处连续。
《随机信号分析》教学组
2
2 随机过程 X ( t )连续性定义 如果随机过程 X ( t ) 满足
t 0
lim E[ X (t t ) X (t ) ] 0
1 2
随机过程存在导数，首先该过程必须是连续的，但随机过程的 连续性不能保证过程有导数。 《随机信号分析》教学组
12
3 数字特征 (数学期望和相关函数)
随机过程导数的数学期望等于其数学 期望的导数，即 dX (t ) d
E[ dt ] dt E[ X (t )]
证明：
E[
dX (t ) X (t t ) X (t ) ] E[lim ] t 0 dt t X (t t ) X (t ) lim E[ ] t 0 t m (t t ) mX (t ) lim X t 0 t dmX (t ) m ( t ) X dt
17
2 随机过程积分的定义 随机过程 X (t ) 在确定区间 a, b 上的积分Y 是一个随机变量，即 Y X (t )dt
a
n 2 若有 lim E (Y X (t i )t i ) 0 t i 0 i 1
b
lim X (ti )ti 为随机过程 X (t ) 则称 Y a X (t )dt t 0
0.5( t2 t1 )2
解
2 RX (t1 , t2 ) 2 0.5( t2 t1 )2 RY (t1 , t2 ) 3e t1t2 t1t2
0.5( t2 t1 )2 0.5( t2 t1 )2 2 (t2 t1 ) 3e 3e 1 ( t t ) 2 1 t2
《随机信号分析》教学组
9
如果随机过程 X (t ) 满足
2 X (t t ) X (t ) lim E X ' (t ) 0 t 0 t
则称 X (t ) 在t时刻具有均方倒数。
《随机信号分析》教学组
10
2 判别方法
判断一个随机过程是否均方可微的方 法是采用柯西准则，即
2
则称 X ( t ) 在均方收敛意义下在t点连续。
简称随机过程 X ( t ) 在t点均方连续。
《随机信号分析》教学组
3
3 随机过程 X ( t ) 的相关函数连续，则 X ( t ) 连续。
E[ X (t t ) X (t ) ] RX (t t , t t ) RX (t , t t ) RX (t t , t ) RX (t , t )
证明：
E[ X (t1 ) X (t2 )] E[ lim lim E[
t1 0 t2 0
X (t1 t1 ) X (t1 ) X (t2 t2 ) X (t2 ) . ] t1 t2
RX (t1 t1 , t2 t2 ) RX (t1 , t2 t2 ) RX (t1 t1 , t2 ) RX (t1 , t2 ) lim t1 0 t1t2 t 0
t 0
lim E[ X (t t )] E[ lim X (t t )]
t 0
表明：求极限和数学期望的次序可以交换。
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6
二 随机过程的导数
预备知识：
对于一般确定性函数，高等数学给出的 可导定义如下： 一阶可导： 如果 f (t )
df (t ) f (t t ) f (t ) lim t 0 dt t
2
b
b
E[
b a b
b
a b
b
a
X (t1 ) X (t2 ) dt1dt2 ]
a b
E[ X (t1 ) X (t2 )]dt1dt2 E[ X (t1 ) X (t2 )]dt1dt2 RX (t1 , t2 )dt1dt2
a b
a b
a
a
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1.2 连续时间随机过程的微分和积分
实际中，经常涉及到随机过程的微分和积分问题。
对于通常函数而言：这些运算即是极限运算。 对于随机过程而言：这涉及到随机变量序列的极限和收敛 问题，这些极限都是在均方意义下定义的。 为了讨论随机过程的微分和积分，首先讨论随机过程的连续性。
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1
一 随机过程的连续性
4 随机过程 X ( t ) 均方连续，则其数学期望连续。 证 设 Y X (t t ) X (t )
2 E[Y 2 ] Y E 2[Y ] E 2[Y ]
E[(X (t t ) X (t ))2 ] E 2[( X (t t ) X (t ))]
《随机信号分析》教学组
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三
Байду номын сангаас
随机过程的积分
1 预备知识 对于确定性函数 f ( x) ，
b
a
f ( x)dx lim f ( i )xi
0
i 1
n
其中 xi xi xi1, max xi , i 1,2,...., n
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20
随机过程积分的方差等于随机过程协方差 的二重积分。 证明：
2 Y E[Y 2 ] E 2 [Y ]
b
a b
b
a b
RX (t1 , t2 )dt1dt2 E[ X (t1 )]dt1 E[ X (t2 )]dt2
a a
b
b
a b
a b
[ RX (t1 , t2 ) mX (t1 )mX (t2 )]dt1dt2 K X (t1 , t2 )dt1dt2
2
2 RX (t1 , t2 ) t1t2
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例
数学期望 mX (t ) 5sin t 、相关函数 RX (t1 , t2 ) 3e 随机信号 X (t )。 求随机信号 Y (t ) X (t ) 的均值和相关函数。
E[Y (t )] E[ dX (t ) d ] E[ X (t )] 5cos t dt dt
存在，则 f (t ) 在 t 处可导，记为 f (t ) 。
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二阶可导： 如果
f ( s h, t k ) f ( s h, t ) f ( s, t k ) f ( s, t ) lim h 0 hk
k 0
存在，则 f ( s, t ) 二阶可导，记为
16
给定实随机过程 X (t )，若在确定区间 a, b 上每个样本函数下列积分存在
Y X (t )dt
a b
则称Y为随机过程 X (t ) 的积分。 由于对每个试验结果 ，积分都可以 得到一个数 Y ( ) ；但对不同的 ，积分值 是不同的，于是对于所有的实验结果，Y是 一个随机变量。而对于每个样本函数，此积 分是通常意义下的积分。 在更一般的情况下， X ( , t ) 的积分并不 对每一个 都存在，此时需要换一种方式 来定义。 《随机信号分析》教学组
a
a
《随机信号分析》教学组
21
给定实随机过程 X (t )
Y (t ) X ( )d
a
t
为随机过程 X (t ) 在区间 a, t 的变上限积分。
《随机信号分析》教学组
22
随机过程积分的相关函数等于对随机过程的 相关函数作两次变上限积分（先对t1, 后对t2积分）
lim E[ X (ti )]ti E[ X (t )]dt
0 b i 1 a
n
mX (t )dt
a
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19
随机过程积分的均方值等于随机过程自 相关函数的二重积分。
证明： E[Y ] E[ a X (t1 )dt1 a X (t2 )dt2 ]
2 f ( s, t ) s t
。
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1 随机过程可导的定义
随机过程 X (t ) 的导数定义为一个极限：
dX (t ) X (t t ) X (t ) X (t ) lim t 0 dt t
如果这个极限对于过程 X (t ) 的所有样本函数 都存在，那么 X (t ) 具有导数通常的意义。 如果这个极限在均方意义下存在，称 X (t ) 具 有均方意义下的导数。
2 RX (t1 , t2 ) 2 RX (t1 , t2 ) 2 RX (t1 , t2 ) 2 0 t1 t2 t1 t2 t1 t2
随机过程在均方意义下可微(可导)的充分条件：
相关函数在它的自变量相等时，存在二阶混合偏 2 导数且连续，即存在 RX (t1 , t 2 ) t1t 2 t t
b
i
n
在 a, b上的均方积分。
i 1
《随机信号分析》教学组
18
3 数字特征(数学期望、均方值、方差、相关函数) 随机过程积分的数学期望等于随机过程 数学期望的积分。 证明： E[Y ] E[ a X (t )dt ] E[lim X (ti )ti ]
b 0 i 1 b n
由均方连续的定义可知，当 t 0 ，则不等 式左端趋于0，那么不等式的右端也必趋于0。 （均值的平方不可能小于0）
《随机信号分析》教学组
5
即：
E[ X (t t ) X (t )] E[ X (t t )] E[ X (t )] 0
注意 E[ X ( t )]为确定性函数，由前面知识可 知连续。 可将此结果写成
X (t1 t1 ) X (t1 ) X (t2 t2 ) X (t2 ) 2 lim E[( ) ]0 t1 , t 2 0 t1 t2
而
E[(
1 [ RX (t1 t1 , t1 t1 )＋RX (t1 , t1 ) RX (t1 t1 , t1 ) RX (t1 , t1 t1 )] 2 t1 1 [ RX (t2 t2 , t2 t2 )＋RX (t2 , t2 ) RX (t2 t2 , t2 ) RX (t2 , t2 t2 )] 2 t2 1 [ RX (t1 t1 , t2 t2 )＋RX (t1 , t2 ) RX (t1 t1 , t2 ) RX (t1 , t2 t2 )] t1t2
2
因此，如果对 t1 , t 2 时刻，函数 RX (t1 , t2 ) 在 t1 t 2 t 点上连续，则随机过程 X ( t ) 必在 t点上连续。如果 RX (t1 , t2 ) 沿着 t1 t2 处处 连续，则随机过程 X ( t ) 对于每个t都是连续。
《随机信号分析》教学组
4
随机过程 连续性
随机过程的导数运算与数学期望的运算次序可以交换。
《随机信号分析》教学组
13
随机过程导数的相关函数，等于可微（可导） 随机过程的相关函数的混合偏导数
2 RX (t1 , t2 ) RX (t1 , t2 ) E[ X (t1 ) X (t2 )] t1t2
X (t1 t1 ) X (t1 ) X (t2 t2 ) X (t2 ) . ] t1 0 t1 t2 t 0
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X (t1 t1 ) X (t1 ) X (t2 t2 ) X (t2 ) 2 ) ] t1 t2
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2 RX (t1 , t2 ) 若 t1 t2 t 时，存在二阶混合偏导 t1 t2
则
X (t1 t1 ) X (t1 ) X (t2 t2 ) X (t2 ) 2 lim E[( ) ] t1 , t2 0 t1 t2
1 确定函数连续性定义：
对于确定性函数 f ( x ) ，
若 lim[ f ( x0 x) f ( x0 )] 0
x 0
则 f ( x )在 x 0 处连续。
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2 随机过程 X ( t )连续性定义 如果随机过程 X ( t ) 满足
t 0
lim E[ X (t t ) X (t ) ] 0
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随机过程存在导数，首先该过程必须是连续的，但随机过程的 连续性不能保证过程有导数。 《随机信号分析》教学组
12
3 数字特征 (数学期望和相关函数)
随机过程导数的数学期望等于其数学 期望的导数，即 dX (t ) d
E[ dt ] dt E[ X (t )]
证明：
E[
dX (t ) X (t t ) X (t ) ] E[lim ] t 0 dt t X (t t ) X (t ) lim E[ ] t 0 t m (t t ) mX (t ) lim X t 0 t dmX (t ) m ( t ) X dt
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2 随机过程积分的定义 随机过程 X (t ) 在确定区间 a, b 上的积分Y 是一个随机变量，即 Y X (t )dt
a
n 2 若有 lim E (Y X (t i )t i ) 0 t i 0 i 1
b
lim X (ti )ti 为随机过程 X (t ) 则称 Y a X (t )dt t 0
0.5( t2 t1 )2
解
2 RX (t1 , t2 ) 2 0.5( t2 t1 )2 RY (t1 , t2 ) 3e t1t2 t1t2
0.5( t2 t1 )2 0.5( t2 t1 )2 2 (t2 t1 ) 3e 3e 1 ( t t ) 2 1 t2
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9
如果随机过程 X (t ) 满足
2 X (t t ) X (t ) lim E X ' (t ) 0 t 0 t
则称 X (t ) 在t时刻具有均方倒数。
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2 判别方法
判断一个随机过程是否均方可微的方 法是采用柯西准则，即
2
则称 X ( t ) 在均方收敛意义下在t点连续。
简称随机过程 X ( t ) 在t点均方连续。
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3 随机过程 X ( t ) 的相关函数连续，则 X ( t ) 连续。
E[ X (t t ) X (t ) ] RX (t t , t t ) RX (t , t t ) RX (t t , t ) RX (t , t )