第八讲--三角形的重心

第八讲 三角形的重心、垂心、外心和内心
初中阶段我们已经学习了关于三角形的边和角的许多性质，也涉及三角形边上中线、高线、垂直平分线以及内角平分线的一些性质。

例如，线段（如三角形的一边）的垂直平分线上的点和这条线段两站点的距离相等。

反之，和一条线段两个端点距离相等的点在这线段的垂直平分线上；角（如三角形的一个内角）的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

反之，到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，诸如此类。

涉及一个三角形的三条中线、三条高线、三条边的垂直平分线以及三个内角平分线的性质及相互关系是中学平面几何的重要内容。

在高中学习中，会涉及三角形三条中线交点、三条高线交点、三条边的垂直平分线交点以及三个内角平分线交点，即三角形的几个“巧合点”。

本节将对这些知识作较系统的阐述。

一、三角形的重心
如图8-1，在△ABC 中，AD 、BD 是两条中线，记它们的交点为G ，连接DE 、DE 是三角形的中位线。

∴DE ∥AB ，且.21AB DE ∴∠GAB=∠GDE ，∠GBA=∠GED.
∴△AGB ∽△DGE ，且相似比为2：1.
∴AG=2GD ，BG=2GE. 于是得到关于三角形中线的一个重要性质：三角形的两条中线的交点把这两条中线都分成2：1的两段。

现在再研究第三条中线与其他两条中线交点有什么特殊性质。

图8-1 图8-2
如图8-2，设△ABC 的两条中线AD 、BE 交于G ，中线CF 、BE 交于G ′.由已知的三角形中线的性质，则有BG=2GE ，且BG ′=2G ′E ，CG ′=2G ′F.
∴G ′与G 重合，则三角形的三条中线相交于一点，且该点把三角形的各中线分成长度比为2：1的两段，这个交点称为三角形的重心。

三角形的重心必在三角形的内部。

今后我们也常说：三角形的重心把中线分成2：1的两段。

例1 如图8-3，已知E 、F 分别是平行四边形ABCD 边AD 、CD 的中点，BE 和BF 分别交对角线AC 于M 、N ，求证：AM=MN=NC 。

分析 四边形问题常转化为三解形问题，连接BD ，则BE 、BF 分别为△ABD 、△CBD 的中线，再利用中线、重心的性质问题，则问题迎刃而解。

证明 连接BD ，BD 与AC 交于O ，根据平行四边形性质，O 为BD 的中点。

∵E 为AD 的中点，∴M 是△ABD 的重心，∴AM=2MO 。

同理，CN=2NO ，则CO NO AO MO 31,31==，由于AO=CO ，∴
.3
232CN AM CO AO MN ====
例2 求证：两条中线相等的三角形是等腰三角形。

已知：△ABC 中，中线BE=CD
求证：△ABC 是等腰三角形
证明：如图8-4，设中线BE 、CD 交于G ，则G 为△ABC 的重心。

∴.3
2,32CO CG BE GB == ∵BE=CD ，∴GB=CG 则∠GBC=∠GCB （同一三角形中，等边对等角）
又BC 为△BEC 和△CBD 的公共边，
∴△EBC ≌△DCB ，∴∠ABC=∠ACB ，∴AB=AC
故△ABC 是等腰三角形。

图8-3 图8-4 图8-5
一般地，涉及三角形中两条或三条中线关系的问题，应考虑利用三角形重心及其性质来解。

二、三角形的垂心
下面来研究三角形三条高所在直线的关系。

如图8-5，锐角三角形ABC 中，BC 、AC 上的高AD 、BE 交于H 。

试问：AB 上的高是否也过点H ？
回答是肯定的。

连接CH 并延长交AB 于F ，现在来证明CF 就是AB 上的高。

∵∠CEH=∠CDH=90°，∴以CH 为直径作圆，D 、E 在这圆上，∴∠BCF ∠DEB （对同弧⌒
DH ）。

同理，D 、E 也在以AB 为直径的圆上，∠DEB=∠DAB ，∴∠BCF=∠DAB
又在△BCF 、△BAD 中，∠B 为共公角，∴∠CFB=∠ADB=90°，即CF ⊥AB ，CF 为AB 上高。

则△ABC 的三条高AD 、BE 、CF 交于一点H 。

对于锐
角三角形来讲，这交点一定位于三角形内部。

如图8-6，Rt △ABC 中，∠C=90°，BC 、AC 上高是
AC 、BC ，显然AB 上高CF 与前两条高相交于点C 。

读者可以证明，钝角三角形的三条高在直线也相交于一点，这交点在三角形外部。

我们把三角形三条高或其延长线的交点称为三角形的垂心。

锐角三角形垂心在三角形形内；直角三角形垂心为这三角形的直角顶点；钝角三角形的垂心在三角形形外（如图8-7所示）。

例3 如图8-8，△ABC 中，∠ABC=40°，∠ACB=62°，H 为△∠ABC 的垂心，
图8-6 图8-7
求∠BHC 的度数。

解 延长BH 、CH 分别交AC 、AB 于D 、E
∵H 为△ABC 的垂心，∴∠ADB=∠AEC=90°
在四边形ADHE 中，∠A=180°－∠ABC －∠ACB=78°，
∠BHC=∠DHE=360°－∠ADB －∠AEC －∠A=102°
三、三角形的内心
在初中阶段已经学习了三角表外心的知识。

三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这一点称为三角形的外心，即三角形外接圆圆心。

如图8-9所示，我们还知道，锐角三角形外心在三角形形内；直角三角形外心为直角三角形斜边中点；钝角三角形外心在三角形形外。

例4 如图8-10，等腰三角形ABC 外心为O ，O 到△ABC 底边BC 的距离为a ，到顶点A 的距离为R ，求△ABC 的各边长。

解 ∵等腰三角形底边上的高与中线两线合一，
∴等腰三角形外心O 必在三角形底边上的高上，记高为AD ，
即O 在AD 上，连接OB ，则OB=R ，且已知OD=a ，
在Rt △BOD 中，22a R BD -=，则222a R BC -= 在Rt △ABD 中，.22)(222222aR R a R a R BD AD AB +=-=+=+= ∴△ABC 的腰长为aR R 222+，底边长为222a R -。

例5 求证：连接三角形三边中点所得三角形的重心是原三角形的外心。

已知：△ABC 各边中点D 、E 、F ，连接ED 、EF 、FD 。

求证：△EDF 的垂心是△ABC 的外心。

证明 如图8-11，设△DEF 的垂心为O ，连接OD 、
图8-8
图8-9 图8-10
OE 、OF ，则OD ⊥EF ，OE ⊥DF ，OF ⊥ED 。

∵EF 是△ABC 的中位线，∴EF ∥BC ，∴OD ⊥BC
同理，OE ⊥AC ，OF ⊥AB
∵D 、E 、F 分别为BC 、CA 、AB 的中点，
∴直线OD 、OE 、OF 分别为BC 、CA 、AB 的垂直平分线，则O 是△ABC 的外心。

四、三角形的内心
初中阶段也已经学习了三角形的内心知识。

三角形
的内心指的是三角形三个内角平分线的交点，它具有到
三角形三条边距离相等的性质，它就是三角形内切圆圆
心。

因此称之为内心，如图8-12所示。

不论是锐角三角形，还是直角三角形、钝角三角形，它的内心都在三角形的内部。

如图8-12，设△ABC 内切圆⊙I 与边BC 、CA 、AB 分别切于M 、N 、S ，根据圆的切线性质，知AS=AN ，BS=BM ，CM=CN ， ∴)(21)(21)(21BC AC AB MC BM AC AB CN AC AB AN AS -+=--+=-+== 同理，).(2
1),(21AB CA CB CN CM AC BA BC BC BM -+==-+== 记BC=a ，AC=b ，AB=c ，)(2
1c b a p ++=，则有 a p a c b AN AS -=-+==)(21；b p b c a BS BM -=-+==)(2
1； c p c b a CN CM -=-+==)(2
1 上述结果在涉及三角形内心或内切圆问题时常
用到。

例6 已知Rt △ABC 中，两直角边BC 、AC 分别
为5、12，求△ABC 内切圆半径。

解 如图8-13，△ABC 内心I ，内切圆与三角形各
边相切于D 、E 、F ，连接ID 、IE 、IF ，
∵∠C=90°，易知DIEC 为正方形， 图8-13
∴内切圆半径r=CD=CE=p －c ，
其中c 为三角表斜边=1312522=+，
.15)13125(2
1)(21=++=++=c b a p ∴r=2。

例7 求证：内心与外心为同一点的三角形一定是正三角形。

已知：△ABC 的内心与外心同为O 。

求证：△ABC 是正直角三角形。

证明：如图8-14，∵O 为△ABC 的外心，
∴OB=OC=OA ，∴∠OAB=∠OBA ，∠OAC=∠OCA
又O 是△ABC 的内心，∴∠OAB=∠OAC ，
∴∠OBA=∠OCA ，∴∠AOB=AOC=180°－2∠OAB
∠△AOB ≌△AOC ，∴AB=AC ，同理AB=BC
∴△ABC 是正三角形。

本题有多种证法，同学们自己可试一试。

一般地还可以得到多个真命题：“若三角形内心和重心为同一点，则这个三角形是正三角形”；“若三角形外心和重心为同一点，则这个三角形为正三角形”……同学们可自行探究。

当我们研究三角形的一个内角平分线与其他两个角的外角平分线的关系时，我们会发现这样的三条直线也会相交于一点，且这点到三角形各边或它的延长线等距离，如图8-15。

△ABC 中，∠A 平分线、∠B 、∠C 的外角∠CBB ′、
∠BCC ′的平分线（或其延长线）相交于一点I 1，I 1到
BC 、AB ′、AC ′的距离相等（图中I 1D= I 1E= I 1F ），那
么以I 1为圆心，以到三角形各边（或其延长线）的距
离为半径的圆与三角形的三边（或其延长）均相切。

但这圆的圆心在三角形形外，有别于三角形的内切圆圆心，俗称旁心。

三角形有三个旁心。

练 习
图8-15 图8-14
A 组
1．如图，△ABC 的重心为G ，直线ι过顶点A ，B 、C 到ι的距离分别为10cm 、14cm ，求重心G 到ι的距离。

2．如图，△ABC 的三条中线为AD 、BE 、CF ，在中线BE 、CF 上分别取点M 、
N ，使CF CN BE BM 3
1,31==B ，求证：四边形EFMN 是平行四边形。

3．如图，△ABC 的外心为O ，若∠ABC=40°，∠ACB=72°，求∠BOC 。

4．如图，△ABC 的内心为I ，若∠ABC=70°，∠ACB=50°，求∠BIC 、∠CIA 、∠AIB 。

5．求证：若三角形的垂心和重心为同一点，则该三角形为正三角形。

6．已知△ABC 中，BC=3，AB=4，AC=5，求△ABC 内切圆周长与面积。

B 组
1．如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、
AD 的中点，连接BF 、DE 并分别交对角线AC 于M 、N ，求
证：AM=MN=NC 。

2．已知△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，内切圆半径记为r ， ).(2
1c b a p ++=求证： （1）△ABC 的面积S=rp ；
（第3题）
（第2题）
（第1题）
（2）p c p b p a p r ))()((---=，))()((c p b p a p p S ---=
（已知三角形面积公式，读者可考虑该公司如何证明）
3．求证：直角三角形内切圆直径与外接圆直径的和等于两直角边的和。

4．设△ABC 的外心为O ，垂心为H ，求证：AH 等于点O 到边BC 距离的2倍。

5．求证：三角形的外心、重心、垂心在同一直线上。

阅读材料3 平面几何有关的定理与性质
在高中向量、解析几何与立体几何学习中需要用到平行线分线段成比例定理、直角三角形的射影定理以及圆中的垂径定理、直线与圆的位置关系、两圆的位置关系等知识，因此有必要对这些知识进行归纳、整理。

本讲分两部分，第一部分从同学们熟悉的相似三角形知识入手，介绍平行线分线段成比例定理、三角形内角与外角平分线性质定理、直角三角形中的射影定理；第二部分介绍与圆有关的定理：垂径定理、相交弦定理、切割弦定理，同时探讨直线与圆、圆与圆的位置关系。

一、与比例线段有关的定理
1．平行线分线段成比例定理
如图1，在△ABC 中，若DE ∥BC ，DE 交AB 于D ，交AC 于E ，则△ADE ∽△ABC 。

因此，BC DE AC AE AB AD ==，利用比例的性质可以得到EC
DB AE AD EC AE DB AD ==,。

将此结论推广，可以得到平行线分线段成比例定理。

平行线分段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

如图2，ι1∥ι2∥ι3，则.EF DE BC AB = 分析 为便于使用三角形中比例线段的性质，我们过点A 作AH ∥DF 。

证明 如图2，过A 作AH ∥D 交ι2于点G ，交ι3于点H ，则AG=DE ，GH=EF 。

∵BG ∥CH ，∴EF DE GH AG BC AB ==，即EF
DE BC AB = 根据比例的性质可得其他的比例式，如EF
BC DF DE BC AB ==DE AB ,等。

利用平行线分线段比例定理，可以将一条直线上的比例线段“移”到另一条直线上，它是解决有关比例线段问题的常用方法。

如，由平行线分线段成比例定理可推出三角形内角与外角平分线性质定理。

例1 如图3，在△ABC 中，若DE ∥AB ∥FG ，且FG 到DE 、AB 的距离之比为1：2，若△ABC 的面积为32，△CDE 的面积为2，则△CFG 的面积S 等于（ ）
A ．6
B ．8
C ．10
D ．12
分析 由DE ∥AB ∥FG 知，△CDE ∽△CFG ∽△CAB ，要求△CFG 的面积S 只需求出它们的相似比。

解 ∵DE ∥AB ∥FG ，∴△CDE ∽△CAS
∴.4
3,41,41322AC AD AC CD S S CA CD CAB CDE =====∆∆ ∵FG 到DE 、AB 的距离之比为1：2，∴
.21=FA FD ∴.4
1433131,31AC AC AD FD AD FD =⨯=== ∴.4121,21,22=⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛===∆∆CF CD S S CF CD DC FD CAB CDE ∴△CFG 的面积S 等于8，选B 。

例2 如图4，△ABC 中，D 、E 分别在边BC 、AB 上，且∠1=∠2=∠3，设△ABC 、△EBD 、△ADC 的周长分别为m 、m 1、m 2，求m
m m 21+的最大值。

图1 图2
图3
分析 利用相似三角形的性质建立与m m m 21+与三角形之间的联系，再利用二次函数的性质求最大值。

解 设AB=c ，BC=a ，CA=b 由∠2=∠3，知DE ∥AC ∴△EDB ∽△ACB ，AC DE BA BE BC BD m m ===1，即.1c DE b BE a BD m m === 在△BAC 和△ADC 中，由∠1=∠3，∠C 为公共角，知△
BAC ∽△ADC
∴BC AC AC DC AB AD m m ===2，即.2a
b b DC
c AD m m === ∴.,2
a
b DC a b b DC == ∴454521122221≤+⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=+-=+-=+=+a b a b a b a b a DC a a b a BD m m m ，当且仅当2
1=a b ，即BC=2A 时，.4521
=+m m m ∴m m m 21+的最大值为.4
5 2．三角形内外与外角平分线性质定理
（1）三角形内角平分线性质定理 三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。

如图5，在△ABC 中，AD 是∠A 的平分线，点D 在线段BC 上，则
.AC
AB DC DB = 证明 如图6，过点C 作CE ∥AD 交BA 的延长线于E ，则.AE AB DC DB = ∵CE ∥AD ，∴∠DAC=∠ACE ，∠BAD=∠AEC.
图4 图5
∵AD 平分∠BAC ，∠BAD=∠DAC ，∴∠ACE=∠AEC ，AE=AC. ∴AC
AB AE AB DC DB ==结论成立。

（2）三角形外角平分线性质定理 三角形的外角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。

如图7，在△ABC 中，AD 是∠A 的外角∠FAC 的平分线，点D 在线段BC 的延
长线上，则.AC
AB
DC DB =
请同学们依照三角形内角平分线性质定理的证明完成本定理的证明。

3．直角三角形中的射影定理
如图8，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 边上的高，则CD 2=AD ·BD ，AC 2=AD ·AB ，BC 2=BD ·BA.
证明 在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，
∴∠CAD=∠DCB ，∠CDA=∠CDB=90°，△CAD ∽△BCD. ∴DB DC DC AD =，CD 2=AD ·BD. 同理，△ACD ∽△ABC ，△BCD ∽△BAC ， ∴.,BC BD BA BC AC AD AB AC == ∴AC 2
=AD ·AB ，BC 2
=BD ·BA.
在处理与直角三角形有关问题时，还常常用到关系式CA ×CB ＝CD ×AB ，即直角三角形两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。

上述提到的四个式子，是处理与直角三角形有关问题时，经常使用的关系式。

例3 如图9，在Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，DE 为Rt △CDB 斜边BC 上的高，若BE=6，CE=4，求AD 的长。

解 在Rt △CDB 中，由DE 是斜边BC 上的高知，DE 2=BE ×EC=6×4=24.
∴CD 2=CE 2＋DE 2=16＋24=40，DB 2=BC 2－CD 2=100－
图6
图7
图8
图9
40=60.
又CD 为Rt △ABC 斜边AB 上的高,
∴.3
15
45240,22
===⨯=DB CD AD BD AD CD ∴AD 的长为.3154 二、与圆有关的定理
1．垂径定理
如图10，将圆沿垂直于弦AB 的直径CD 对折，发现点A 与点B 重合，线段AM 与MB 、⌒
⌒
CB AC 与、⌒
⌒
DB AD 与分别相等。

垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

如图10，CD 是垂直于弦AB 的直径，交弦于AB 于点M ，交弦AB 所对的劣弧和优弧分别为C 、D ，则AM=BM ，⌒
⌒
CB AC =，⌒
⌒
DB AD =。

2．相交弦定理与切割线定理
相交弦定理 圆内的两条相交弦，每条弦上被交噗分成的两条线段长的积相等。

如图11，AB 、CD 是圆的两条相交弦，交点为P ，则PA ·PB=PC ·PD 。

切割线定理 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的两个交点的两条线段长的积相等，且都等于这点到圆所作切线长的平方。

如图12，PAB 、PCD 是圆的两条割线，PT 是圆的切线，则PA ·PB=PC ·PD=PT 2. 这两个定理的证明都不准，只要连接AC 、BD 和TC 、TD 后结合圆周角与弦切角的性质，应用相似三角形性质即可，请同学们给出证明。

例4 如图13，过圆O 外一点P 作圆O 的两条切线PA 、PB ，连接OP 与圆O 交于点C ，过C 作AP 的垂线，垂足为E 。

若PA=10cm ，PC=5cm ，求CE 的长。

图10
图11
图12
解：如图14，连接OA ，延长PO 交圆O 于点D ，设圆O 的半径为rcm ，则PD=5+2r. ∵PA 为圆O 的切线，PCD 为圆O 的割线，
∴由切割线定理，知PA 2=PC ×PD ，即102=5×（2r ＋5）.
解得.215=r ∴.2
25
,215cm PO cm OA ==
∵OA ⊥PA ，CE ⊥PA ，∴CE ∥OA ，.3,cm PO PC
OA CE PO PC OA CE =⨯==
3．直线与圆的位置关系
已知圆O 的半径为r ，圆心O 到直线ι的距离为d ，则可以通过比较d 与r 的大小关系得直线ι与圆O 的位置关系；当d ＞r 时，直线ι与圆O 相离；当d=r 时，直线ι与圆O 相切；当d ＜r 时，直线ι与圆O 相交。

反这也成立，即右直线ι与圆O 相离，则d ＞r ；若直线ι与圆O 相切，则d=r ；若直线ι与圆O 相交，则d ＜r ；如图15中的（1）、（2）、（3）。

直线ι与圆O 相交时，设两个交点为A 、B 。

若ι过圆心O ，则AB 为圆O 的直径；若ι不过圆心O ，连接圆心O 与弦AB 的中点M ，则OM ⊥AB （如图16）。

在Rt △OMA 中，由OA 为圆的半径r ，OM 为圆心O 到直线ι的距离d ，MA 为弦AB 长的一半，根据勾股定理，得弦长计算公式.222d r AB -=
图13
图14
图15
例5 如图17，已知圆O 的半径OB=5cm ，弦AB=6cm ，D 是弧AB 的中点，求弦BD 的长和△OBD 的面积。

解 连接OD ，交AB 于点E ∵BD=AD ，O 为圆心， ∴OD ⊥AB ，.32
1
cm AB AE BE ==
= ∵在Rt △BOE ，OB=5cm ，BE=3cm ， ∴.422cm BE OB OE =-= ∵在Rt △BDE 中，BE=3cm ，DE=1cm ， ∴.1022cm DE BE BD =-=
∵等腰三角形OBD 的底边，腰OB=OD=5cm ，
∴BD 边上的高cm BD OB h 2103210522
2
2
2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=， ∴△OBD 的面积.2
1521031021212
cm h BD S =⨯⨯=⨯=
4．两圆的位置关系
设圆O 1与圆O 2的半径分别为R 、r （R ≥r ），两圆的圆心距O 1O 2=d ，则当d ＞R+r 时，两圆相离；当d=R+r 时，两圆相外切；当R －r ＜d ＜R ＋r 时，两圆相交；当d=R －r 时，两圆相内切；当d ＜R －r 时，两圆内含。

反之也成立，即当两圆相离时，d ＞R+r ；当两圆相外切时，d=R ＋r ；当两圆相交时，R －r ＜d ＜R ＋r ；当两圆相内切时，d=R －r ；当两圆内含时，d ＜R －r 。

如图18中的（1）、（2）、（3）、（4）、（5）。

图16
图17
如果圆O 1与圆O 2相交于A 、B 两点，则O 1O 2垂直平分AB ，即相交两圆的公共弦被两圆的连心线垂直平分。

例6 半径为13和半径为5的两圆相交，圆心距为12，求两圆的公共弦长。

解 如图19，设AB 为O 1O 2的公共弦，半径O 1A=13，O 2A-5. 连接O 1O 2交AB 于点C,则O 1O 2=12,且O 102垂直平分弦AB. 设AC=x,则.5,13222221x C O x C O -=-=
∴125132222=-+-x x ,即.131252222x x --=- 两边平方,得2221691692414425x x x -+--=-,化简得
.121692=-x
解得x=5，AB=10，即两圆的公共弦长为10.
练 习
1．在直角三角形中，若三条高之积等于三边乘积的一半，则该三角形的最小角的大小是 度。

2．如图，以线段AB 为直线作一个半圆，圆心为O ，C 是半圆周上一点，过C 作CD ⊥AB 于点D ，若OC 2=AB ·BC ，则∠COD= 。

3．如图，BD 、CE 分别是△ABC 的AC 、AB 边
上的中
线，且BD ⊥CE ，若BD=4，CE=6，则△ABC 的面积等于 （提示：连接DE ，对角线互相垂直的四边形的面积等于两对角线积的一半）。

4．已知圆O 内两弦AB 、CD 交于点P ，且AP=4，BP=3，CD=10，则CP= . 5．在△ABC 中，已知AC ⊥BC ，AC=12cm ，BC=5cm ，∠C 的内角平分线交AB 于点T ，则BT 的长为 .
图18
图19
第2题 第3题
6．如图，在△ABC 中，AD 是∠A 的外角∠FAC 的平分线，点D 在线段BC 的
延长线上，求证：.AC
AB
DC DB =
7．如图，圆O 的半径为17cm ，弦AB=30cm ，AB 所对的劣弧和优弧的中点分别为D 、C ，求弦AC 和BD 的长.
8．如图，锐角三角形ABC 中，BC=6，BC 边上的高线长为4，PQRS 是△ABC
的内接矩形，记且ABC PQRS S S ∆=41矩形，记.λ=BA BS
求λ的值.
B 组
1．圆O 的直径AB=20，弦CD 交AB 于点G ，AG ＞BG ，CD=16，作AE ⊥CD 于点E ，BF ⊥CD 于点F ，则AE －BF= .
2．如图，A 为半圆O 上一个三等分点，B 是弧AM 的中点，P 为直径MN 上一动点，圆O 的半径为1，则AP ＋BP 的最小值是 .
3．如图，四边形ABCD 中，∠B=∠C=60°，BC=1，以CD 为直径作圆与AB 相切于M ，且交BC 边于E 点，则BE= .
第6题 第7题
第8题
第2题
第4题
第3题
第2题
4．如图，在△ABC 中，2
2
,3=
=∆ABC S BC ，AH ⊥BC 于H ，HB=2HC ，圆O 与∠C 的两边相切，且圆心在AH 上，求圆O 的半径。

5．利用两个相同的喷水器，修建一个矩形花坛，使花坛全部都能喷到水，已知每个喷水器的喷水区域是半径为10米的圆，问：如何设计（求出两喷水器之间的距离和矩形的长、宽），才能使矩形花坛的面积最大？
第八讲 三角形的重心、垂心、外心和内心
A 组
1．8cm ．提示：作中线AM ，先求出M 到ι的距离为12cm ，再求G 到ι的距离．
2．提示：去证明四边形的两对角线ME 、NF 互相平分． 3．360°．
4．120°，125°，115°．
5．提示：去证明同一边上的中线和高线重合，从而得出为等腰三角形，再说明各边都相等．
6．周长为2π（长度单位），面积为π（面积单位）． B 组
1．提示：连接BD ，证得M 、N 分别为△ABD 、△CBD 的重心．
2．提示：将内心与三角形三顶点分别连接，得以a 、b 、c 为底边，以内切圆r 为高的三个三角形，求得三个三角形三个面积和为原三角形面积即得结果．关于三角形面积公式
))()((c p b p a p p ---，可用政下法 得到：如图，设
c AB b AC a a a a DC a BD h AD ===+===,,,,,2121，分别在Rt △ABD 、△ADC
中，222
2
2221,h b a h c a -=-=，再由a a a =+21，则a h b h c =-+-2222，求出2h ，再由ah S 2
1
=求出面积，计算，化简即得该公式．
第4题
第5题
3．提示：分别求出内切圆半径，外接圆半径c R 2
1
=（a 、b 、c 分别为两直角边及斜边长），即得结果．
4．如图，作O 到BC 距离OM ，连接BO 并延长交外接圆于N ，由BN 是直径，得∠BAN=∠BCN=90°，从而证得AH ∥NC ，AN ∥CH ，得四边形ANCH 为平行四边形，则AH=NC ，再证NC=2QM ，则有AH=2QM ．
5．提示：利用上一题结果，如图，有AH ：OD=2：1，连接OH 、AD ，交于G ，从而有AG ：GD=2：1，则G 为重心，从而外心（O ），重心（G ），垂心（H ）三点在同一直线上。

阅读材料3 平面几何有关的定理与性质
A 组
1．45． 2．30°．提示：利用OC 2=AC ·BC=AB ·CN=2OC ·CD
3．16． 4．135±． 5．cm 17
65
6．提示：过点D 作DE ∥AC 交BA 的延长线于点E ．
7．cm BD cm AC 343,345==．提示：取AB 的中点M ，连接CM 、MD ，则CM ⊥AB ，DM ⊥AB ，且C 、O 、M 、D 共线．
8．作AE ⊥BD 于E ，∵PQRS 是△ABC 的内接矩形，∴
λ==BA
BS
AE SP ，)1(6,4,1λλλ-==-=-==SR SP AB
SB
AB AB AS BC SR ． ∴)1(24·
λλ-==SR SP S PQRS 矩形．∵λ-=⨯==∆1124
1
41ABC PQRS S S 矩形， ∴3)1(24=-λλ，解得4
2
2±=
λ．
第3题
B 组
1．12．提示：∵弦心距681022=-=OH ，OH ∥AE ∥BF ， ∴
OG OG OG AG OH AE +==10，OG OG OG GB OH BF -==10，两式相减，得2=-OH
BF
AE ，
∴AE －BF=12．
2．2．提示：作B 关于直径MN 的对称点B 1，则PB=PB 1，OB 1=OB=1，且AP+BP=AP+PB 1≥AB 1，当且仅当A 、P 、B 1三点共线时AP+BP 取最小值AB ．
3．324-．如图，连接OM 、OE ，过C 作CN ⊥AB 于N ，延长BA 、CD 相交于S ．由条件知△SBC 、△OCE 均为等边三角形．∵圆O 切AB 于点M ，∴OM ⊥SB ，OM ∥CN ，
NC OM
SC SO =
．设圆O 的半径为r ，则23
11r r =-，解得332-=r ．∴3241-=-=r BE ．
4．∵,22,3=
=∆ABC S BC ∴3
6
2==∆BC S AH ABC ．又HB=2HC ，∴3
3
3==
BC CH ．由AH ⊥BC 知，△AHC 、△COH 都是直角三角形．由勾股定理得122=+=AH HC AC ．∵S △AHC =S △AOC +S △OHC ， ∴
OH HC OH AC HC AH •+•=•2
1
2121（点O 到AC 边的距离等于OH ）. ∴).(HC AC OH HC AH +=•
∴66233
3
133
36-=+
⨯
=+•=
HC AC HC AH OH ，圆O 的半径为6623-． 5．如图，O 1、O 2是两个相同的喷水器所在的位置，ABCD 是设计的矩形花坛．设
AD=x ．在Rt △Q 1E 中，,4002121022
22211x x QE Q Q E Q -=⎪⎭
⎫
⎝⎛-=-= ∴圆心距).200(40022121<<-==x x E O O O
第5题
,160000)200(4)400(400(4222222+--=--=x x x x S
∴2002=x ，即210=x 时S 2取最大值160000，S 取最大值为400．∵符合要求的设计是两个喷水器的距离
21021=O O 米，矩形两边长210=AD 米，
220=AB OY ，矩形花坛有最大面积。