第八讲--三角形的重心
初中数学 什么是三角形的重心
初中数学什么是三角形的重心、垂心和外心三角形是几何学中最基本的形状之一，它由三条线段连接的三个顶点组成。
在三角形中，有一些特殊的点，它们与三角形的顶点和边有着特殊的关系，分别称为重心、垂心和外心。
下面将详细介绍这些三角形中心的定义、性质和应用。
1. 重心：重心是通过三角形的三条中线的交点确定的。
中线是连接三角形的顶点和对边中点的线段。
重心被平分为三个部分，每个部分的长度等于从重心到对边顶点的距离。
重心与三角形的顶点的距离的乘积等于三角形的面积。
重心有以下性质和应用：-重心是三角形内部的点，它将三角形分成三个面积相等的部分。
-重心到三角形的顶点的距离相等，重心到对边的距离最短。
-重心是稳定的，当三角形发生形变时，重心的位置保持不变。
-重心广泛应用于力学和结构分析中，用于确定物体的平衡点和质心。
2. 垂心：垂心是通过三角形的三条高线的交点确定的。
高线是从三角形的顶点垂直于对边的线段。
垂心与三个顶点之间的连线构成的三角形称为垂心三角形。
垂心有以下性质和应用：-垂心到三角形的顶点的距离相等，垂心到对边的距离最短。
-垂心是三角形内部的点，它将三角形分成三个角度相等的部分。
-垂心是稳定的，当三角形发生形变时，垂心的位置保持不变。
-垂心广泛应用于三角形的垂心定理和欧拉线的研究中。
3. 外心：外心是通过三角形的三个顶点的垂直平分线的交点确定的。
垂直平分线是从顶点垂直于对边并平分对边的线段。
外心是三角形内切圆和外接圆的圆心。
外心有以下性质和应用：-外心到三角形的顶点的距离相等，外心到对边的距离最大。
-外心是三角形外接圆的圆心，它是三条边的垂直平分线的交点。
-外心是稳定的，当三角形发生形变时，外心的位置保持不变。
-外心广泛应用于三角形的外心定理和外接圆的研究中。
这些三角形中心点的定义、性质和应用可以帮助我们更好地理解和解决与三角形相关的问题，同时也为几何学和物理学的研究提供了重要的基础。
三角形的重心
三角形的重心三角形的重心是指连接三角形的三条中线的交点。
中线是连接三角形的一个顶点与对应边中点的线段。
三角形重心的坐标可通过计算三个顶点坐标的平均值得出。
重心在三角形内部，距离三个顶点的距离相等。
三角形的重心在数学和几何学中有很重要的应用。
它是很多定理的基础，也是许多几何问题的解决方案。
在本文中，我们将更深入地了解三角形的重心，并探讨一些与它相关的性质和定理。
首先，让我们考虑一个普通三角形ABC。
我们可以通过连接顶点A 与边BC的中点D，顶点B与边AC的中点E，以及顶点C与边AB的中点F，得到三条中线AD，BE，CF。
我们可以使用以下公式来计算重心的坐标：重心的x坐标 = (顶点A的x坐标 + 顶点B的x坐标 + 顶点C的x 坐标) / 3重心的y坐标 = (顶点A的y坐标 + 顶点B的y坐标 + 顶点C的y 坐标) / 3例如，对于一个三角形ABC，假设A(1,2)，B(3,4)，C(5,6)，我们可以通过代入这些坐标计算重心的坐标。
重心的x坐标 = (1 + 3 + 5) / 3 = 3重心的y坐标 = (2 + 4 + 6) / 3 = 4因此，重心的坐标为(3,4)。
三角形的重心有一些非常有趣的性质。
其中一个性质是，重心将每条中线按两个比例分割。
具体来说，重心将AD分割成2:1，BE分割成2:1，CF分割成2:1。
这意味着重心到顶点的距离是重心到对应中点距离的二倍。
另一个重要的性质是，三角形的内心、重心和垂心共线。
内心是三角形内切圆的圆心，垂心是通过连接三角形的顶点与对应边垂直平分线的交点。
这个性质被称为Euler定理。
此外，重心还有其他一些性质。
例如，重心和对边的中点连线垂直。
重心还将每个顶点与重心的连线分割成1:2比例。
在许多三角形问题中，重心是求解问题的关键。
例如，通过重心可以确定一个三角形是否是等边三角形或等腰三角形。
如果一个三角形的三个顶点在同一直线上，那么这个三角形的重心就是这条直线的同一点。
第八讲 三角形的重心
第八讲三角形的重心-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1第八讲 三角形的重心、垂心、外心和内心初中阶段我们已经学习了关于三角形的边和角的许多性质，也涉及三角形边上中线、高线、垂直平分线以及内角平分线的一些性质。
例如，线段（如三角形的一边）的垂直平分线上的点和这条线段两站点的距离相等。
反之，和一条线段两个端点距离相等的点在这线段的垂直平分线上；角（如三角形的一个内角）的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
反之，到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，诸如此类。
涉及一个三角形的三条中线、三条高线、三条边的垂直平分线以及三个内角平分线的性质及相互关系是中学平面几何的重要内容。
在高中学习中，会涉及三角形三条中线交点、三条高线交点、三条边的垂直平分线交点以及三个内角平分线交点，即三角形的几个“巧合点”。
本节将对这些知识作较系统的阐述。
一、三角形的重心如图8-1，在△ABC 中，AD 、BD 是两条中线，记它们的交点为G ，连接DE 、DE 是三角形的中位线。
∴DE ∥AB ，且.21AB DE ∴∠GAB=∠GDE ，∠GBA=∠GED.∴△AGB ∽△DGE ，且相似比为2：1.∴AG=2GD ，BG=2GE. 于是得到关于三角形中线的一个重要性质：三角形的两条中线的交点把这两条中线都分成2：1的两段。
现在再研究第三条中线与其他两条中线交点有什么特殊性质。
图8-1图8-2如图8-2，设△ABC 的两条中线AD 、BE 交于G ，中线CF 、BE 交于G ′.由已知的三角形中线的性质，则有BG=2GE ，且BG ′=2G ′E ，CG ′=2G ′F.∴G ′与G 重合，则三角形的三条中线相交于一点，且该点把三角形的各中线分成长度比为2：1的两段，这个交点称为三角形的重心。
三角形的重心必在三角形的内部。
今后我们也常说：三角形的重心把中线分成2：1的两段。
例1 如图8-3，已知E 、F 分别是平行四边形ABCD 边AD 、CD 的中点，BE 和BF 分别交对角线AC 于M 、N ，求证：AM=MN=NC 。
三角形重心
三角形重心三角形是几何学中最简单、最基本的图形之一，它由三条边和三个顶点组成。
在三角形中，有一个特殊的点称为三角形的重心，它是三条中线的交点。
重心在三角形的性质和应用中有着很重要的地位。
在本文中，将深入探讨三角形重心的定义、性质、计算方法和应用领域。
1. 重心的定义和性质三角形的重心定义为三条中线的交点，其中中线是连接一个顶点与对边中点的线段。
如果一个三角形的三条中线相交于一点，则该点就是三角形的重心。
以下是三角形重心的一些性质：（1）三角形的重心和顶点的连线是三等分角的角平分线；（2）三角形的重心到三边的距离满足距离定理，即重心到顶点所在边的距离是重心到对边的距离的两倍；（3）重心到三边的距离和相等；（4）三角形的重心是三个中线的交点，也是质心的两倍。
2. 重心的计算方法计算三角形的重心可以使用向量法或坐标法。
以坐标法计算为例，假设一个三角形的顶点坐标分别为A(x1, y1)，B(x2, y2)和C(x3,y3)。
可以通过以下公式计算重心的坐标G(x, y)：x = (x1 + x2 + x3) / 3y = (y1 + y2 + y3) / 3通过坐标法计算重心的好处是，无论三角形的形状和大小如何改变，只要知道顶点的坐标，就能准确计算重心的坐标。
3. 重心的应用领域重心在几何学和物理学中有着广泛的应用。
以下是几个重心的应用领域：（1）建筑物和桥梁设计：重心在建筑物和桥梁的设计中起着关键作用。
确定一个建筑物或桥梁的重心可以帮助工程师分析和预测结构的稳定性和平衡性。
（2）机械工程：在机械工程中，重心的概念经常用于计算和设计运动系统的稳定性。
（3）物理学：在物理学中，重心是许多力学问题的重要概念。
通过确定物体的重心，可以帮助理解和分析物体的运动和平衡状态。
（4）地理学：在地理学中，重心被用来计算地球表面的重心，以便更好地了解地球的质量分布和地理数据分析。
（5）航空航天工程：在航空航天工程中，重心对于飞机和火箭的稳定性和控制至关重要。
三角形的位置关系三角形的重心
三角形的位置关系三角形的重心三角形的位置关系-三角形的重心三角形是几何学中最基本的图形之一，它的位置关系及其特点一直是数学研究的重点。
本文将讨论三角形的一个重要位置关系——三角形的重心。
一、三角形的定义与基本性质三角形是由三条线段组成的封闭图形，其具体定义为三个不共线的点所确定的图形。
三角形的基本性质包括内角和为180°、任意两边之和大于第三边、高度相等的两边成比例。
二、三角形的重心定义三角形的重心是指三角形三条线段的交点，也就是三条中线的交点。
中线是指连接一个顶点与对边中点的线段。
三、重心的性质1. 重心是三角形内部的点，它既在三角形的内部，也在三条中线上。
2. 三角形的三条中线交于一个点，即重心。
3. 重心到三个顶点的距离满足下列关系：GA/MA=GB/MB=GC/MC=2/1，其中GA、GB、GC表示重心到顶点A、B、C的距离，MA、MB、MC表示中线与对边的交点到对边起点的距离。
因此，重心到顶点的距离大于到对边中点的距离。
4. 重心将全体面积的三等分，即三角形被重心分成的三个小三角形的面积相等。
四、重心的意义与应用1. 重心是三角形的一个重要特征点，通过重心可以研究三角形的很多性质，如面积、周长、边长比、内角度量等。
2. 在工程学中，三角形的重心对于确定平衡和稳定性非常重要。
例如，在建筑设计中，确定物体的重心有助于合理布置家具、灯具等。
3. 三角形的重心还应用于平面几何的证明和计算中，可以通过构造重心来辅助推导和解题。
五、举例分析以一个具体的三角形为例，考察其重心的位置关系。
假设三角形的三个顶点分别为A、B、C，连接中线GA、GB、GC后交于重心G。
通过计算可以得到重心到各顶点的距离，验证重心的特性。
六、总结本文介绍了三角形的一个重要位置关系——三角形的重心，重心具有许多独特的性质和应用。
通过研究重心，我们可以更好地理解和应用三角形的几何性质。
希望本文对读者对三角形位置关系的理解有所帮助。
三角形的重心定理
三角形的重心定理三角形是几何学中最基础且最重要的图形之一，它拥有许多有趣的性质和定理。
在本文中，我们将讨论三角形的一个重要定理——“三角形的重心定理”，并探究其相关性质和应用。
一、三角形的重心定理的表述三角形的重心定理是指：三角形的三条中线交于一点，该点即为三角形的重心。
那么，什么是三角形的中线呢？在三角形ABC中，通过三角形的任意一边和该边对面点的连线，可以将这条边等分为两段，这条连线就是这条边上的中线。
由此可知，三角形ABC有三条中线：AD、BE和CF。
根据三角形的重心定理，这三条中线交于一点G，即重心。
二、三角形重心的性质1. 重心到三角形各顶点的距离相等。
设G为三角形ABC的重心，连接AG、BG和CG。
由三角形的重心定理可知，G是三角形ABC的三条中线的交点。
由此，我们可以得出重心到三个顶点A、B和C的距离相等，即GA = GB = GC。
2. 重心所在的中线是其他两条中线长度的两倍。
由三角形的中线定义可知，AG = 2GD，BG = 2GE，CG = 2GF。
因此，三角形ABC的重心所在的中线，与其余两条中线的长度存在倍数关系。
3. 重心将中线分成1：2的比例。
三角形ABC的重心G将每条中线分成1：2的比例，即AG：GD = BG：GE = CG：GF = 1：2。
三、三角形重心的应用1. 计算三角形的重心坐标对于一个已知的三角形ABC，我们可以通过求出各顶点坐标的平均值来计算重心的坐标。
设A（x1, y1）、B（x2, y2）和C（x3, y3），则重心G的坐标可表示为G（(x1 + x2 + x3)/3, (y1 + y2 + y3)/3）。
2. 判断三角形类型通过计算三角形的重心坐标，我们可以进一步判断三角形的类型。
若重心与三个顶点的距离相等，则三角形为等边三角形；若重心到其中两个顶点的距离相等，则三角形为等腰三角形；若三个顶点到重心的距离不相等，则三角形为一般三角形。
3. 求解三角形面积在三角形的几何学中，可以使用三个顶点的坐标来计算三角形的面积，但这是一种复杂且繁琐的方法。
三角形的重心性质
三角形的重心性质目录1. 三角形的重心性质1.1 重心的定义1.2 重心的位置1.2.1 等边三角形的重心1.2.2 直角三角形的重心1.3 重心和质心的区别1.3.1 定义区别1.3.2 几何性质区别2. 重心与三角形内部区域的关系2.1 重心到顶点的距离比2.2 重心将三角形分割的性质2.2.1 重心将三角形分割成三等面积的三角形2.2.2 重心将三角形分割成六等面积的三角形2.2.3 重心将三角形分割成三个面积比为1:2的三角形三角形的重心性质1.1 重心的定义三角形的重心是指三条中线的交点，即由三条中线交汇形成的点称为三角形的重心。
1.2 重心的位置1.2.1 等边三角形的重心在等边三角形中，三角形的重心和质心重合，且重心距离任何一个顶点和中心的距离都相等。
1.2.2 直角三角形的重心对于直角三角形，重心位于斜边上离直角边的邻边的1/3处。
1.3 重心和质心的区别1.3.1 定义区别重心是在三角形内部的点，是由三条中线交汇形成的点；而质心是三角形的三条边上的距离各角相等的点。
1.3.2 几何性质区别重心是三角形的一个几何中心，质心是三角形的一个几何参数。
重心与三角形内部区域的关系2.1 重心到顶点的距离比三角形的重心到各个顶点的距离比为2:1，即重心到顶点的距离是中位线长度的两倍。
2.2 重心将三角形分割的性质2.2.1 重心将三角形分割成三等面积的三角形三角形的重心将三角形分割成三个面积相等的三角形。
2.2.2 重心将三角形分割成六等面积的三角形三角形的重心将三角形分割成六个面积相等的三角形。
2.2.3 重心将三角形分割成三个面积比为1:2的三角形三角形的重心将三角形分割成三个面积比为1:2的三角形，其中比重心到顶点的距离2/3的那一个三角形面积为整个三角形面积的1/4，另外两个的面积之和为3/4。
三角形的重心是什么
三角形的重心是什么三角形的重心是三角形三条中线的交点。
当几何体为匀质物体时，重心与形心重合。
重心的性质1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均。
5.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。
6.三角形ABC的重心为G，点P为其内部任意一点，则3PG²=(AP²+BP²+CP²)-1/3(AB²+BC ²+CA²)。
7.在三角形ABC中，过重心G的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则AB/AP+AC/AQ=3。
8.从三角形ABC的三个顶点分别向以他们的对边为直径的圆作切线，所得的6个切点为Pi，则Pi均在以重心G为圆心，r=1/18(AB²+BC²+CA²)为半径的圆周上。
9、G为三角形ABC的重心,P为三角形ABC所在平面上任意一点，则PA²+PB²+PC²=GA²+GB ²+GC²+3PG²。
顺口溜三条中线必相交，交点命名为重心；重心分割中线段，线段之比二比一。
三角形的五心1、内心：三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心。
内心是三角形角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角（原理：角平分线上点到角两边距离相等）。
2、外心：是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。
外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。
该点叫做三角形的外心。
3、中心：三角形只有五种心重心、垂心、内心、外心、旁心，当且仅当三角形是正三角形的时候，四心合一心，称做正三角形的中心。
4、重心：重心是三角形三边中线的交点。
5、旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。
三角形重心的坐标公式
三角形重心的坐标公式三角形的重心是一个三角形内部的点，它由三角形的三个顶点的位置决定。
它在三角形的三条中线的交点处，中线是三角形的两个顶点和相应边中点之间的线段。
设三角形的三个顶点分别为A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3)。
则三角形重心的坐标可以通过以下公式计算：重心横坐标 Gx = (x1 + x2 + x3) / 3重心纵坐标 Gy = (y1 + y2 + y3) / 3这个公式的原理是，对于任意三角形ABC，假设重心为G，则AG的长度为BC中线的两倍，BG的长度为AC中线的两倍，CG的长度为AB中线的两倍。
因此，重心的横坐标是三个顶点横坐标之和的1/3，纵坐标是三个顶点纵坐标之和的1/3，可通过计算得到重心的坐标。
三角形的重心是一个非常重要的点，它具有以下性质：- 重心到三角形的三边距离的平方和最小，即重心到三角形三边的距离的平方和最小。
- 在质心坐标系中，重心的坐标为(1, 1, 1)，即重心到边的距离与坐标轴上单位向量的点积均为1。
- 重心将三角形的内部面积按照三等分。
- 重心是一个凸包上的点，即任意两点之间的线段始终都在重心到该线段的垂直平分线上。
重心是解决三角形相关问题的重要工具，如计算三角形的面积、判断三角形是否重合、确定三角形的相似性等等。
通过计算重心的坐标，可以得到三角形的重心位置，进而进行相关计算。
除了重心的坐标公式，还可以通过其他方法求取三角形的重心，如向量法、矢量法、质心坐标法等。
这些方法都可以得到同样的结果，只是计算的过程和原理略有不同。
总之，三角形的重心是一个特殊的点，它的坐标可以使用上述公式进行计算。
重心具有一些特殊的性质和应用，对于理解和解决三角形相关问题具有重要意义。
三角形的重心知识点
三角形的重心知识点一、重心的定义。
1. 在三角形中，重心是三角形三条中线的交点。
- 中线是连接三角形一个顶点和它对边中点的线段。
例如，对于△ABC，设D为BC边的中点，连接AD，则AD是BC边上的中线。
三角形有三条中线，分别是三条边对应的中线，这三条中线交于一点，这个点就是重心，通常用字母G表示。
二、重心的性质。
1. 重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。
- 以△ABC为例，G为重心，AD是BC边上的中线，则AG = 2GD，同理，若BE是AC边上的中线，BG = 2GE；若CF是AB边上的中线，CG = 2GF。
2. 重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
- 即S△ABG = S△BCG = S△ACG。
因为每个三角形的面积等于三角形ABC面积的三分之一。
这是由于重心将每条中线分成2:1的两段，根据等底同高三角形面积比等于底边比等原理可以得出。
3. 若在平面直角坐标系中，已知三角形三个顶点的坐标分别为A(x_1,y_1)，B(x_2,y_2)，C(x_3,y_3)，则重心G的坐标为((x_1 + x_2+x_3)/(3),(y_1 + y_2 +y_3)/(3))。
- 例如，若A(1,2)，B(3,4)，C(5,6)，则重心G的坐标为((1 + 3+5)/(3),(2 +4+6)/(3))=(3,4)。
三、重心的应用实例。
1. 在求解三角形相关线段长度问题中的应用。
- 例如，已知三角形的一条中线长为6，求重心到这条中线所对顶点的距离。
根据重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1，设重心到对边中点的距离为x，则重心到顶点的距离为2x，中线长为3x = 6，解得x = 2，所以重心到顶点的距离为2x=4。
2. 在求解三角形面积相关问题中的应用。
- 若已知三角形的面积为S，求由重心和三角形三个顶点组成的每个小三角形的面积。
根据重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等，可知每个小三角形的面积为(S)/(3)。
三角形的重心
三角形的重心三角形是平面几何中最基本的几何图形之一，它由三条线段连接而成。
在三角形的内部，有一个特殊的点被称为重心。
本文将详细介绍三角形的重心以及与之相关的性质。
一、三角形的重心定义和构造方法三角形的重心是三条中线的交点，其中中线是三角形的边的中点与对应顶点连线而成的线段。
以三角形ABC为例，其中D、E和F分别是BC、AC和AB的中点，则重心G即为中线AD、BE和CF的交点。
二、重心的性质和应用1. 重心将三角形分成六个全等三角形：连接重心与三角形的各个顶点，可以发现重心将三角形分成了六个面积相等的小三角形。
这个性质在面积计算和几何题目的证明中常常被应用。
2. 重心与重心距离的关系：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。
也就是说，重心到三个顶点的距离之比为2:1。
这个性质可以通过利用向量和平行四边形的性质来简单证明。
3. 重心是平衡点：三角形可以看作是质点组成的物体，而重心则类似于物体的平衡点。
也就是说，如果在三角形的各个顶点上分别放置质量相等的物体，三角形的重心将会处于平衡位置。
4. 重心与其他中心的关系：三角形的重心、外心和垂心构成一个共轭三角形，三角形的内心和垂足构成另一个共轭三角形。
这个性质在解几何问题时，常常可以利用共轭三角形之间的关系简化计算。
三、重心的应用举例1. 面积计算：利用重心将三角形分成六个全等三角形的性质，可以简化计算三角形的面积。
将三角形分成若干个全等三角形，在计算面积时可以只计算一个全等三角形的面积，然后乘以相应的比例系数。
2. 平衡问题：重心是物体的平衡点，可以应用于平衡问题的解决。
比如设计平衡木、测量物体的质心等等。
3. 几何问题证明：在证明几何问题时，重心的性质可以成为证明的依据。
利用重心到顶点的距离关系，可以推导出一些三角形内部的性质。
总结：三角形的重心是三角形的中线的交点，具有许多有趣的性质和应用。
重心将三角形分成六个全等的小三角形，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1，重心是平衡点等等。
三角形的重心
三角形的重心三角形几心R：实数集Q：有理数集Z：整数集N：自然数集在这些字母后面加+的表示正的部分N+：正自然数集即正整数集Z+：正整数集R+：正实数集在字母右面加*的表示除0以外的部分N*：除了0的自然数集即正整数集Z*：非零整数集R*：非零实数集集合通常表示为大写字母A，B，C……。
而元素通常表示为小写字母a,b,c……。
重心、垂心、内心和外心。
正心是只有等边三角形才具有的，此时这四心合一。
一、重心是三角形三边中线的交点重心的几条性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/35、重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。
证明：刚才证明三线交一时已证。
6、重心是三角形内到三边距离之积最大的点。
二、垂心是三角形的三条高的交点垂心的性质：设⊿ABC的三条高为AD、BE、CF，其中D、E、F为垂足，垂心为H，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2．1、锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外.2、三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；3、垂心H关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上。
4、△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AH·HD=BH·HE=CH·HF。
5、H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。
6、△ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圆是等圆。
三角形的重心 ppt课件
试一试
已知：△ABC中，D、E分别是边 BC、AB的中点，AD、CE相交于G。
GE GD1
CE 求AD 证3 ：GE GD 1 CE AD 3
A E
G
B
三角形的重心
D
C
归纳
1
重心与一边中点的连线的长是对应中线长的 3
1 重心与一顶点的连1 线的长是对应中线长的 2
3
3
3
重心与一边中点的连线的长
重心与一顶点的连线的长
§23.4.2 三角形的重心
三角形的重心
请同学们画出 一个三角形的三条中线
第1、2、3竖排画锐角三角形 第4、5竖排画直角三角形 第6、7、8竖排画钝角三角形
三角形的重心
精品资料
• 你怎么称呼老师？
• 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你 是否会认为老师的教学方法需要改进？
• 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭
A
三角形的重心
B DG
EC
三角形的重心
今日作业 求面积
在△ABC中，中线AD、BE相交
于点O，若△BOD的面积等于5，求
△ABC的面积。
A
选作
E O
B D 求证：顺次连结矩形四边中点所得的三角四形的边重心形是菱形
C
• “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我 笨，没有学问无颜见爹娘 ……”
• “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
导入 三条中线相交于几个点？
我们把这个点叫三角形的重心
三角形的重心
学习目 标 1.理解三角形的重心的含义
2.理解掌握三角形重心的性质
3.运用三角形重心的性质解决问题
三角形的重心
三角形的重心知识点详解2024人教版
三角形的重心知识点详解2024人教版三角形的重心是几何学中的一个重要概念，它不仅在理论上有着丰富的性质和应用，而且在实际生活中也有广泛的应用。
本文将详细介绍三角形重心的定义、性质、计算方法及其应用，帮助读者全面理解这一重要知识点。
一、三角形重心的定义三角形的重心是指三角形三条中线的交点。
中线是从一个顶点到对边中点的线段。
重心具有以下几个重要特点：1. 重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。
这意味着重心将每条中线分成两部分，其中靠近顶点的部分是靠近对边中点部分的两倍。
2. 重心和三角形三个顶点组成的三个三角形面积相等。
这表明重心将三角形分成了三个面积相等的小三角形。
3. 重心到三角形三个顶点距离的平方和最小。
这意味着重心是三角形内到三个顶点距离的平方和最小的点。
二、三角形重心的性质三角形重心具有许多重要的性质，这些性质在几何学中有着广泛的应用。
以下是一些主要性质：1. 重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。
这一性质可以通过中线定理证明。
2. 重心和三角形三个顶点组成的三个三角形面积相等。
这一性质可以通过面积公式证明。
3. 重心到三角形三个顶点距离的平方和最小。
这一性质可以通过向量法或解析几何的方法证明。
4. 重心是三角形内到三边距离之积最大的点。
这一性质可以通过均值不等式证明。
5. 在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均。
这一性质可以通过坐标几何的方法证明。
三、三角形重心的计算方法计算三角形重心的方法有很多种，以下是几种常见的方法：1. 坐标法：在平面直角坐标系中，设三角形的三个顶点坐标分别为((x_1, y_1))、((x_2, y_2))和((x_3, y_3))，则重心的坐标为：这一公式表明重心的坐标是三个顶点坐标的算术平均。
2. 向量法：设三角形的三个顶点分别为(mathbf{A})、(mathbf{B})和(mathbf{C})，则重心(mathbf{G})的向量表示为：这一公式表明重心的向量是三个顶点向量的算术平均。
三角形重心三角形重心定理
三角形重心-三角形重心定理三角形中的几个重要定理三角形中的几个重要定理1．梅涅劳斯定理一直线与ΔABC的三边AB、BC、CA或它们的延长线分别相交于X，Y，Z，AXBYCZ则梅涅劳斯定理的逆定理也成立在ΔABC的边AB、BC、CA分别取X，Y，Z.AXBYCZ如果1，那么X，Y，Z三点共线。
XBYCZA梅氏定理的逆定理常用来证明三点共线。
2. 塞瓦定理常可分为边元塞瓦定理和角元塞瓦定理。
边元塞瓦定理：ΔABC内任取一点P，直线AP，BP，CP分别与边BC，CA，AB相交于点D，BDCEAFE，F，则 1.DCEAFB边元塞瓦定理逆定理也成立：在ΔABC的边BC，CA，AB上分别取点D，E，F，如果那么直线AD，BE，CF三线相交于同一点.塞瓦定理的逆定理常用来证明三线共点。
角元塞瓦定理BDCEAF1.DCEAFBAFMEBDC如图，设D、E、F 分别是△ABC 的三边BC、CA、AB 上的点，三条线段AD、BE、CF 交于一点M．则对ΔABC与点M，有sin BAMsin ACMsin CBM1sin MACsin MCBsin MBAsin BM Dsin MCAsin CBA1sin DMCsin ACBsin AMBsin CM Esin MABsin ACB1sin EMAsin BACsin BCM对ΔMBC与点A，有对ΔMCA与点B，有对ΔMAB与点C，有角元塞瓦定理的逆定理也成立。
sin AMFsin MBCsin BAC1sin FMBsin CBAsin CAMADDEBFCBCEAFBEDACF如图，过△ ABC的三个顶点各引一条异于三角形三边的直线AD、BE、CF．若sin BADsin ACFsin CBE1，则AD、BE、CF三线共点或互相平行。
sin DACsin FCBsin EBA3. 斯台沃特定理ΔABC的边BC上任取一点D，若BD u，CD v，AD t，则b2u c2vt uv.a2特别地，当AD是ΔABC的中线时，u vma1a，令AD ma，则212b22c2a2，此即中线长公式；当AD是ΔABC的内角平分线时，2 acab由内角平分线性质：u，v，b cb c2a b c设AD ta，可得ta bc p(p a)，这里p.此即角平分线公式。
三角形重心知识点总结
三角形重心知识点总结三角形是初中数学中重点学习的内容之一，其中三角形的重心也是一个非常重要的概念。
在这篇文章中，我们将对三角形重心的相关知识进行总结。
一、什么是三角形重心三角形是由三条边和三个角组成的图形，它是几何学中最基本的概念之一。
而三角形的重心则是三角形内部的一个点，它被三条中线所交叉的点。
三角形的中线分别是连接每个角的对边中点的线段，它们交于三角形的一个点，这个点就是三角形的重心。
重心通常用字母G 表示。
二、三角形重心的特点1. 重心是三条中线交点三角形的重心是三条中线的交点，即三个中点所构成的点。
2. 重心到顶点的距离比相等三角形三个顶点到重心所连的线段长度相等。
也就是说，重心到每个顶点的距离是相等的。
3. 重心所在直线是中位线连接重心和中点的线段就是三角形的中位线。
4. 重心将中线按比例分割以重心为顶点的三角形，与原三角形的各个边成比例。
三、三角形重心的性质1. 重心位于三角形重心所在直线上三角形三条中线的交点即为三角形的重心。
这个交点所在的直线被称为三角形重心所在直线。
2. 重心到三角形各顶点距离之和最小重心到三角形各顶点的距离之和最小，且一定小于任何一个三角形内部的点到三角形各顶点距离之和。
3. 重心分离定理在三角形内，以重心为圆心、以重心到任一顶点长度为半径所画的圆，与三角形外接圆相内切。
4. 重心定理重心所在直线把三角形面积分为 $2:1$。
5. 等腰三角形的重心落在中线交点处在等腰三角形中，重心与垂足重合，也就是重心位于中线交点处。
四、三角形重心相关例题1. 如图，在三角形ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，连接AF交DE于K，连接BE交CD于L，连接AC交DE 于M，求KLM三角形的重心。
解：首先我们需要确定三角形ABC的重心G，它是三条中线的交点。
然后根据重心的性质，我们可以得知重心到三角形各顶点的距离一定相等。
因此，在三角形ABC中，AG=BG=CG。
我们知道，三角形的中线将对边分成两段相等的部分，因此AE=EC，BE=BD，CF=FA。
三角形重心知识点总结
三角形重心知识点总结三角形是初中数学中非常重要的一个几何图形，而三角形的重心则是三角形的一个重要性质。
接下来，让我们详细了解一下三角形重心的相关知识。
一、什么是三角形的重心三角形的重心是三角形三条中线的交点。
中线是连接三角形一个顶点和它所对边中点的线段。
我们可以通过实际操作来直观地理解重心的位置。
比如，用一块质地均匀的三角形纸板，通过悬挂法可以找到其重心。
二、重心的性质1、重心到三角形顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1 。
假设三角形的三个顶点分别为 A、B、C，三条中线分别为 AD、BE、CF，重心为 G 。
那么 AG ＝ 2GD，BG ＝ 2GE，CG ＝ 2GF 。
2、重心和三角形 3 个顶点组成的 3 个三角形面积相等。
因为重心将每条中线都分成了 2:1 的两段，所以根据三角形的面积公式，以中线分割成的两个小三角形的面积比也是 2:1 。
从而可以得出重心和三角形三个顶点组成的三个三角形面积相等。
3、重心到三角形三边距离之积与三边长度之比为定值。
4、三角形内到三边距离之积最大的点是重心。
三、重心的计算方法如果已知三角形三个顶点的坐标分别为 A(x₁, y₁) 、B(x₂, y₂) 、C(x₃, y₃) ，那么重心 G 的坐标可以通过以下公式计算：G 的横坐标＝（x₁＋ x₂＋ x₃) ／ 3G 的纵坐标＝（y₁＋ y₂＋ y₃) ／ 3这个公式的推导可以基于中线的性质和向量的知识。
四、重心在实际生活中的应用1、工程设计在一些工程结构的设计中，了解重心的位置可以确保结构的稳定性。
比如，建造桥梁、高塔等时，需要考虑重心的位置以防止倾倒。
2、物体平衡在日常生活中，比如摆放物品或者搬运重物时，知道物体的重心位置可以更轻松地保持平衡，避免掉落或倾倒。
3、体育运动在许多体育运动中，运动员需要掌握自身的重心位置来保持平衡和做出更好的动作。
例如，体操运动员、滑雪运动员等都需要对重心有很好的控制。
五、与重心相关的常见题型1、证明题证明一个点是三角形的重心，通常需要证明该点是三条中线的交点，并且满足重心的性质，如距离比例关系等。
三角形重心形成的原理
三角形重心形成的原理三角形的重心是指三角形三条中线的交点，也是三角形内部所有点与三个顶点连线长度的平均值点。
它在三角形的性质和几何关系中具有重要的地位。
下面将从几何和数学两方面分别介绍三角形重心形成的原理。
从几何的角度来看，三角形的重心可以通过将三角形的三条中线绘制出来并求它们的交点得到。
三角形的中线是由三个顶点与相对边中点构成的线段。
当我们连接三角形每个顶点与对边中点时，分别得到了三条中线。
这三条中线相交于一个点，即为三角形的重心。
以三个顶点A、B、C为例，连接AD、BE、CF为三个中线，它们在点G处相交。
从数学的角度来看，可以用向量的方法来描述三角形的重心。
假设三角形的三个顶点分别为A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)。
则顶点A连线BC的中点D坐标为((x2+x3)/2, (y2+y3)/2)，顶点B连线AC的中点E坐标为((x1+x3)/2,(y1+y3)/2)，顶点C连线AB的中点F坐标为((x1+x2)/2, (y1+y2)/2)。
三个中点连成一条线段DE，这条线段的中点就是三角形的重心G。
根据重心坐标的定义，求出线段DE的中点坐标为((x2+x3)/2 + (x1+x3)/2) / 2, ((y2+y3)/2 + (y1+y3)/2) / 2 = (x1+x2+x3)/3, (y1+y2+y3)/3，即为三角形重心的坐标。
三角形的重心是三角形内部所有点与三个顶点连线长度的平均值点。
可以证明，重心离每个顶点的距离等于与相对边距离和的两倍。
这个证明可以通过向量法来实现。
设重心坐标为G(x, y)，顶点A坐标为A(x1, y1)，则AG向量为AG = ((x- x1), (y - y1))。
由于每个顶点与相对边中点连成的线段等于三角形重心与顶点连线乘以2，即有2 * AD = AG，其中D为BC中点。
利用向量的性质，可以得到(x - x1, y - y1) = 2 * ((x2+x3)/2 - x1, (y2+y3)/2 - y1)，整理得到(x, y) = (x1 + x2 + x3)/3, (y1 + y2 + y3)/3，即为三角形重心的坐标。
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第八讲 三角形的重心、垂心、外心和内心初中阶段我们已经学习了关于三角形的边和角的许多性质，也涉及三角形边上中线、高线、垂直平分线以及内角平分线的一些性质。
例如，线段（如三角形的一边）的垂直平分线上的点和这条线段两站点的距离相等。
反之，和一条线段两个端点距离相等的点在这线段的垂直平分线上；角（如三角形的一个内角）的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
反之，到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，诸如此类。
涉及一个三角形的三条中线、三条高线、三条边的垂直平分线以及三个内角平分线的性质及相互关系是中学平面几何的重要内容。
在高中学习中，会涉及三角形三条中线交点、三条高线交点、三条边的垂直平分线交点以及三个内角平分线交点，即三角形的几个“巧合点”。
本节将对这些知识作较系统的阐述。
一、三角形的重心如图8-1，在△ABC 中，AD 、BD 是两条中线，记它们的交点为G ，连接DE 、DE 是三角形的中位线。
∴DE ∥AB ，且.21AB DE ∴∠GAB=∠GDE ，∠GBA=∠GED.∴△AGB ∽△DGE ，且相似比为2：1.∴AG=2GD ，BG=2GE. 于是得到关于三角形中线的一个重要性质：三角形的两条中线的交点把这两条中线都分成2：1的两段。
现在再研究第三条中线与其他两条中线交点有什么特殊性质。
图8-1 图8-2如图8-2，设△ABC 的两条中线AD 、BE 交于G ，中线CF 、BE 交于G ′.由已知的三角形中线的性质，则有BG=2GE ，且BG ′=2G ′E ，CG ′=2G ′F.∴G ′与G 重合，则三角形的三条中线相交于一点，且该点把三角形的各中线分成长度比为2：1的两段，这个交点称为三角形的重心。
三角形的重心必在三角形的内部。
今后我们也常说：三角形的重心把中线分成2：1的两段。
例1 如图8-3，已知E 、F 分别是平行四边形ABCD 边AD 、CD 的中点，BE 和BF 分别交对角线AC 于M 、N ，求证：AM=MN=NC 。
分析 四边形问题常转化为三解形问题，连接BD ，则BE 、BF 分别为△ABD 、△CBD 的中线，再利用中线、重心的性质问题，则问题迎刃而解。
证明 连接BD ，BD 与AC 交于O ，根据平行四边形性质，O 为BD 的中点。
∵E 为AD 的中点，∴M 是△ABD 的重心，∴AM=2MO 。
同理，CN=2NO ，则CO NO AO MO 31,31==，由于AO=CO ，∴.3232CN AM CO AO MN ====例2 求证：两条中线相等的三角形是等腰三角形。
已知：△ABC 中，中线BE=CD求证：△ABC 是等腰三角形证明：如图8-4，设中线BE 、CD 交于G ，则G 为△ABC 的重心。
∴.32,32CO CG BE GB == ∵BE=CD ，∴GB=CG 则∠GBC=∠GCB （同一三角形中，等边对等角）又BC 为△BEC 和△CBD 的公共边，∴△EBC ≌△DCB ，∴∠ABC=∠ACB ，∴AB=AC故△ABC 是等腰三角形。
图8-3 图8-4 图8-5一般地，涉及三角形中两条或三条中线关系的问题，应考虑利用三角形重心及其性质来解。
二、三角形的垂心下面来研究三角形三条高所在直线的关系。
如图8-5，锐角三角形ABC 中，BC 、AC 上的高AD 、BE 交于H 。
试问：AB 上的高是否也过点H ？回答是肯定的。
连接CH 并延长交AB 于F ，现在来证明CF 就是AB 上的高。
∵∠CEH=∠CDH=90°，∴以CH 为直径作圆，D 、E 在这圆上，∴∠BCF ∠DEB （对同弧⌒DH ）。
同理，D 、E 也在以AB 为直径的圆上，∠DEB=∠DAB ，∴∠BCF=∠DAB又在△BCF 、△BAD 中，∠B 为共公角，∴∠CFB=∠ADB=90°，即CF ⊥AB ，CF 为AB 上高。
则△ABC 的三条高AD 、BE 、CF 交于一点H 。
对于锐角三角形来讲，这交点一定位于三角形内部。
如图8-6，Rt △ABC 中，∠C=90°，BC 、AC 上高是AC 、BC ，显然AB 上高CF 与前两条高相交于点C 。
读者可以证明，钝角三角形的三条高在直线也相交于一点，这交点在三角形外部。
我们把三角形三条高或其延长线的交点称为三角形的垂心。
锐角三角形垂心在三角形形内；直角三角形垂心为这三角形的直角顶点；钝角三角形的垂心在三角形形外（如图8-7所示）。
例3 如图8-8，△ABC 中，∠ABC=40°，∠ACB=62°，H 为△∠ABC 的垂心，图8-6 图8-7求∠BHC 的度数。
解 延长BH 、CH 分别交AC 、AB 于D 、E∵H 为△ABC 的垂心，∴∠ADB=∠AEC=90°在四边形ADHE 中，∠A=180°－∠ABC －∠ACB=78°，∠BHC=∠DHE=360°－∠ADB －∠AEC －∠A=102°三、三角形的内心在初中阶段已经学习了三角表外心的知识。
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这一点称为三角形的外心，即三角形外接圆圆心。
如图8-9所示，我们还知道，锐角三角形外心在三角形形内；直角三角形外心为直角三角形斜边中点；钝角三角形外心在三角形形外。
例4 如图8-10，等腰三角形ABC 外心为O ，O 到△ABC 底边BC 的距离为a ，到顶点A 的距离为R ，求△ABC 的各边长。
解 ∵等腰三角形底边上的高与中线两线合一，∴等腰三角形外心O 必在三角形底边上的高上，记高为AD ，即O 在AD 上，连接OB ，则OB=R ，且已知OD=a ，在Rt △BOD 中，22a R BD -=，则222a R BC -= 在Rt △ABD 中，.22)(222222aR R a R a R BD AD AB +=-=+=+= ∴△ABC 的腰长为aR R 222+，底边长为222a R -。
例5 求证：连接三角形三边中点所得三角形的重心是原三角形的外心。
已知：△ABC 各边中点D 、E 、F ，连接ED 、EF 、FD 。
求证：△EDF 的垂心是△ABC 的外心。
证明 如图8-11，设△DEF 的垂心为O ，连接OD 、图8-8图8-9 图8-10OE 、OF ，则OD ⊥EF ，OE ⊥DF ，OF ⊥ED 。
∵EF 是△ABC 的中位线，∴EF ∥BC ，∴OD ⊥BC同理，OE ⊥AC ，OF ⊥AB∵D 、E 、F 分别为BC 、CA 、AB 的中点，∴直线OD 、OE 、OF 分别为BC 、CA 、AB 的垂直平分线，则O 是△ABC 的外心。
四、三角形的内心初中阶段也已经学习了三角形的内心知识。
三角形的内心指的是三角形三个内角平分线的交点，它具有到三角形三条边距离相等的性质，它就是三角形内切圆圆心。
因此称之为内心，如图8-12所示。
不论是锐角三角形，还是直角三角形、钝角三角形，它的内心都在三角形的内部。
如图8-12，设△ABC 内切圆⊙I 与边BC 、CA 、AB 分别切于M 、N 、S ，根据圆的切线性质，知AS=AN ，BS=BM ，CM=CN ， ∴)(21)(21)(21BC AC AB MC BM AC AB CN AC AB AN AS -+=--+=-+== 同理，).(21),(21AB CA CB CN CM AC BA BC BC BM -+==-+== 记BC=a ，AC=b ，AB=c ，)(21c b a p ++=，则有 a p a c b AN AS -=-+==)(21；b p b c a BS BM -=-+==)(21； c p c b a CN CM -=-+==)(21 上述结果在涉及三角形内心或内切圆问题时常用到。
例6 已知Rt △ABC 中，两直角边BC 、AC 分别为5、12，求△ABC 内切圆半径。
解 如图8-13，△ABC 内心I ，内切圆与三角形各边相切于D 、E 、F ，连接ID 、IE 、IF ，∵∠C=90°，易知DIEC 为正方形， 图8-13∴内切圆半径r=CD=CE=p －c ，其中c 为三角表斜边=1312522=+，.15)13125(21)(21=++=++=c b a p ∴r=2。
例7 求证：内心与外心为同一点的三角形一定是正三角形。
已知：△ABC 的内心与外心同为O 。
求证：△ABC 是正直角三角形。
证明：如图8-14，∵O 为△ABC 的外心，∴OB=OC=OA ，∴∠OAB=∠OBA ，∠OAC=∠OCA又O 是△ABC 的内心，∴∠OAB=∠OAC ，∴∠OBA=∠OCA ，∴∠AOB=AOC=180°－2∠OAB∠△AOB ≌△AOC ，∴AB=AC ，同理AB=BC∴△ABC 是正三角形。
本题有多种证法，同学们自己可试一试。
一般地还可以得到多个真命题：“若三角形内心和重心为同一点，则这个三角形是正三角形”；“若三角形外心和重心为同一点，则这个三角形为正三角形”……同学们可自行探究。
当我们研究三角形的一个内角平分线与其他两个角的外角平分线的关系时，我们会发现这样的三条直线也会相交于一点，且这点到三角形各边或它的延长线等距离，如图8-15。
△ABC 中，∠A 平分线、∠B 、∠C 的外角∠CBB ′、∠BCC ′的平分线（或其延长线）相交于一点I 1，I 1到BC 、AB ′、AC ′的距离相等（图中I 1D= I 1E= I 1F ），那么以I 1为圆心，以到三角形各边（或其延长线）的距离为半径的圆与三角形的三边（或其延长）均相切。
但这圆的圆心在三角形形外，有别于三角形的内切圆圆心，俗称旁心。
三角形有三个旁心。
练 习图8-15 图8-14A 组1．如图，△ABC 的重心为G ，直线ι过顶点A ，B 、C 到ι的距离分别为10cm 、14cm ，求重心G 到ι的距离。
2．如图，△ABC 的三条中线为AD 、BE 、CF ，在中线BE 、CF 上分别取点M 、N ，使CF CN BE BM 31,31==B ，求证：四边形EFMN 是平行四边形。
3．如图，△ABC 的外心为O ，若∠ABC=40°，∠ACB=72°，求∠BOC 。
4．如图，△ABC 的内心为I ，若∠ABC=70°，∠ACB=50°，求∠BIC 、∠CIA 、∠AIB 。
5．求证：若三角形的垂心和重心为同一点，则该三角形为正三角形。
6．已知△ABC 中，BC=3，AB=4，AC=5，求△ABC 内切圆周长与面积。
B 组1．如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，连接BF 、DE 并分别交对角线AC 于M 、N ，求证：AM=MN=NC 。