直线和圆的方程知识点

直线和圆--知识总结

一、直线的方程 1倾斜角：

/

，范围0 w G V 兀，

I

若I //X 轴或与x 轴重合时，、£ =0°。

2、斜率： k=ta n :二

:-与的关系：:-=0=

=0

已知 L 上两点P 1 (X 1,yJ

0V : V

k 0

2

兀

十亠亠

P 2 ( X 2,y 2) :-= 不存在

2

,y 2 — ％

31

—k=

2 ：：二 u ■■- ::: 0

x 2 -x 1

2 当 x 1 = x 2时，：• =90°, ■不存在。当■ - 0 时，一：匚=arctank V 0 时，二=二

②任何一个关于x 、y 的二元一次方程都表示一条直线。

5、直线系：（1）共点直线系方程：p 0 （X 0,y 0）为定值，k 为参数y-y 0=k （x-x 。） 特别：y=kx+b ，

表示过（0、b ）的直线系（不含 y 轴）

（2）平行直线系：①y=kx+b , k 为定值，b 为参数。 ② AX+BY+入=0表示与 Ax+By+C=0 平行的直线系 ③ BX-AY+入=0表示与AX+BY+C 垂直的直线系

(3) 过 L 1,L 2 父点的直线系 A 1x+B 1y+C 1+入(A 2X+B 2Y+C 2) =0 (不含 L2) 6、三点共线的判定：① AB ' BC = AC ,②K AB =K BC ,

③写出过其中两点的方程，再验证第三点在直线上。

、两直线的位置关系 供参考

3、截距（略）曲线过原点 =横纵截距都为0。

4、直线方程的几种形式

几种特殊位置的直线 ① x 轴：y=0

② y 轴：x=0 ③ 平行于x 轴：y=b

④ 平行于y 轴：x=a ⑤ 过原点：y=kx

两个重要结论：①平面内任何一条直线的方程都是关于

x 、y 的二元一次方程。

+arcta nk

k^ — ki

2、L i 到 L 2的角为 0，则 tan

-一（ k i k 2 = -1） 1 +k 2 •k 1

4、点到直线距离：

d 」Ax CB^C （已知点（p 0（x 0,y 0）, L

: AX+BY+C=0 ）

JA 2 +B 2

①两行平线间距离： Is — C2

L 1=AX+BY+C 1=0 L 2： AX+BY+C 2=0n d = 寸 A 2

+ B 2

②与AX+BY+C=0平行且距离为d 的直线方程为Ax+By+C ± d A 2

B^0

③与AX+BY+C 1=0和AX+BY+C 2=0平行且距离相等的直线方程是

5、对称：（1 ）点关于点对称：p （X 1,y 1）关于M （X 0,y 0）的对称P （2X 。- X 1,2Y ° -Yj （2）点关于线的对称：设 p （a 、b ） 如图：（思路1）设P 点关于L 的对称点为P 0（x 0,y 0）

贝V Kpp 0* K L = — 1

tp, P 0中点满足L 方程

3、夹角：tanv 二

k ?-匕 1 k 2k 1

解出P o（x o,y o）

（思路2）写出过P丄L的垂线方程，先求垂足，然后用中点坐标公式求出P o（x o,y o）的坐

标。

（3）直线关于点对称

L: AX+BY+C=O 关于点P（X o、Y o）的对称直线「：A（2X°-X）+B（2Y o-Y）+C=0

（4）直线关于直线对称

①几种特殊位置的对称：已知曲线f（x、y）=0

一般位置的对称、结合平几知识找出相关特征，逐步求解。三、简单的线性规划

约束条件、线性约束条件、目标函数、线性目标函数、线性规划，可行解，最优解。要点：①作图必须准确（建议稍画大一点）。②线性约束条件必须考虑完整。

③先找可行域再找最优解。

四、园的方程

1园的方程：①标准方程（x—af+（y—b）=r2，c（a、b）为园心，r为半径。

②一般方

程：

x2y2 DX EY F =o，

DE - '、D2 E2 -4F

2 ' 2 ，「_ 2

当D2 E2 -4F =0时，表示一个点。

当D2 E2 -4F <0时，不表示任何图形。

③参数方程：-x = a rcos

y = b r sin v为参数

以A（X1, Yd, B（X2，丫2）为直径的两端点的园的方程是

（X-X 1）（X-X2）+（Y-Y i）（Y-Y2）=0

关于x轴对称曲线是f（x、-y）=0

关于y轴对称曲线是f（-x、y）=0

关于原点对称曲线是f（-x、-y）=0

关于y=x对称曲线是f（y、x）=0 关于

y= -x对称曲线是f（-y、-x）=0 关于

x=a对称曲线是f（2a-x、y）=0

关于y=b对称曲线是f（x、2b-y）=0

P

x

2、 点与园的位置关系：考察点到园心距离 d ,然后与r 比较大小。

3、 直线和园的位置关系：相交、相切、相离

判定：①联立方程组，消去一个未知量，得到一个一元二次方程： △> 0：=相交、△= 0：=相切、△< 0：=

相离

② 利用园心c （a 、b ）到直线AX+BY+C=O 的距离d 来确定： dv r ：= 相交、d = r ：= 相切d > r ：= 相离

（直线与园相交，注意半径、弦心距、半弦长所组成的 kt △）

4、 园的切线：（1）过园上一点的切线方程

与园x 2 y 2二r 2相切于点（x i 、y i ）的切线方程是 捲x y A y =r 2 与园（x - a ）2 • （y - b ）2 = r 2相切于点（x i 、y i ）的切成方程 为：（X i -a ）（x-a ） （y i -b ）（y-b ） = r 2

2

2

与园x y DX EY F =0相切于点（x i 、y i ）的切线是

x 十 x i y i

X i X y i y D(

丄)E( 打 F =0 2 2

（2）过园外一点切线方程的求法：已知： P o （x o , y o ）是园（x 「a ）2 • （y 「b ）2二r 2外一点

2 2 2

(X i -a)

(y i -b) = r

先求出p i 的坐标，再写切线的方程

②设切线是 y - y o 二 k(x - x o )即 kx - y - kx o

y o = o

再由，求出k ,再写出方程。

Jk 2 +i

（当k 值唯一时，应结合图形、考察是否有垂直于

x 轴的切线）

③ 已知斜率的切线方程：设 y 二kx • b （b 待定），利用园心到L 距离为r ，确定b 。 5、 园与园的位置关系

由园心距进行判断、相交、相离（外离、内含） 、相切（外切、内切）

6、园系

2 2 2

①同心园系：（x-a ） （y -b ） = r , （a 、b 为常数，r 为参数） 或：x 2 y 2 DX EY ^o （ D 、E 为常数，F 为参数）

② 园心在x 轴：（x_a ）2 .y 2=r 2

2 2 2

①设切点是 (x

o

-a)(x i -a) (y o -b)(y i -b)2 二 r2

P i （x i 、y i ）解方程

组