直线的参数方程与弦长公式
直线参数方程下弦长公式的领悟
直线参数方程下弦长公式的领悟凌颖【期刊名称】《中学数学月刊》【年(卷),期】2017(000)005【总页数】3页(P16-18)【作者】凌颖【作者单位】广东省江门市培英高级中学 529000【正文语种】中文题目 (2016广州期末调研测试文科23题)在平面直角坐标系xOy中，已知曲线(t为参数)和曲线(θ为参数，a>0).(1)若曲线C1,C2有一个公共点在x轴上，求a的值；(2)当a=3时，曲线C1,C2交于A,B两点，求A,B两点间的距离.从答题情况来看，学生习惯将参数方程转化为普通方程后再作答.少数学生能直接利用参数方程作答，简单明了，但第二问却出现了错误.下面谈谈笔者在讲解这道题时所得到的意外收获，将自己的经历与大家分享.命题组给出的答案是：解 (1)曲线C1的普通方程为y=3-2x,曲线C1与x轴的交点为的普通方程为,曲线C2与x轴的交点为(-a,0),(a,0).由a>0，曲线C1,C2有一个公共点在x轴上，知. (2)当a=3时，曲线C2的普通方程为x2+y2=9,圆心到直线y=3-2x的距离，故A，B两点间的距离.学生1给出第(1)问的另外一种解答：正解当时，曲线C1与x轴的唯一交点为，将点A代入曲线(θ为参数)得又a>0，则.学生2给出第(2)问的另外解答：错解将曲线(t为参数)代入曲线C2的普通方程x2+y2=9,得(t+1)2+(1-2t)2=9，即5t2-2t-7=0，解得,所以.结果为什么与参考答案不同呢？师：(真是出乎意料，愣了一下)这个问题问得好(先肯定学生，为自己思考争取时间)，有没有哪位同学能够说出其中的缘由呢？生众：方法没错，运算也没错，怎么结果就会不同呢？师：回到定义去！师：如图1,由定义知，直线l的参数方程的标准形式(t为参数)中,定点M0(x0,y0)，倾斜角α，t是指有向直线l上从已知点M0(x0,y0)到点M(x,y)的有向线段M0M的数量，且|M0M|=|t|；直线l的参数方程的一般形式(t为参数)中定点M0(x0,y0)，t不一定指有向直线l上从已知点M0(x0,y0)到点M(x,y)的有向线段M0M的数量，这样就不能直接用公式|AB|=|t2-t1|求弦长了.生2：那就得先将方程化为直线参数方程的标准形式了.又怎样将直线参数方程的一般形式化为标准形式呢？师：这个想法好！还记得三角函数的定义吗？生众：(似乎有些模糊)记不起来了.师：(提示)单位定义法和终边定义法.生2：记起来了.如图2，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)，那么y叫作α的正弦，记作sin α，即sin α=y；x叫作α的余弦，记作cos α，即cos α=x；叫作α的正切，记作tan α，即tan (x≠0).由定义知，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标为坐标的比值为函数值的函数.因此，利用α角的终边上任意一点的坐标也可以定义三角函数：设α是一个任意角，它的终边上任一点P(a,b)，记,那么叫作α的正弦，记作sin α，即sin 叫作α的余弦，记作cos α，即cos ；叫作α的正切，记作tan α，即tan (x≠0).生3：曲线(t为参数)的标准形式是(t为参数).生4：不对！这样的话不就是了吗？但α是直线的倾斜角，即α∈[0,π)，有sin α>0.师：太有才了！那怎么转化呢？能否有一般性的流程？生4：直线l的参数方程的一般形式(t为参数)→P(a,b)→r=|OP|标准形式(t为参数). 生5：曲线(t为参数)参数方程的标准形式是(t为参数).师：大家不妨再算一次.生6：将曲线(t为参数)代入曲线C2的普通方程x2+y2=9,得，即，解得，所以. 师：我们也可以结合向量知识来推导出经过定点M(x0,y0)的直线l(参数方程一般形式)(ab≠0,t为参数)与二次曲线f(x,y)=0的两个交点A,B的弦长|AB|：取(a,b)为直线l的方向向量，则直线l上任一点P(x,y)，有).设A,B对应参数分别为t1,t2，则，于是，故.师：大家不妨再算一次.生众：,原来如此.(1)由于选修4-4是选讲内容，不可能像必修模块一样讲得那么到位.在直线的参数方程的实际教学中，大多数教师，包括我自己，对教材的处理只限教材内容本身，对于直线参数方程的标准形式与一般形式的区别与如何转化、在使用弦长公式的过程中要注意什么等问题，并没有深入探究，导致学生也错误地使用.(2)学生的思维普遍比较活跃，正所谓“千里马常有，而伯乐不常有”.学生中不是缺少创新，而是缺少发现，不论学生的思维对与错，都有他们独到的想法，细细思量，会发现其中有不少闪烁的智慧.面对学生的奇思妙想，教师应顺势利导，引导学生发现其中的奥妙，自有一番兴趣.(3)通过这道题“临时抱佛脚”式的处理，让我更加深刻认识到“学无止境”的内涵.在数学学习中，学生的认知起点常常超越教材的逻辑起点，他们已有的认知经验、思维方式也时常出乎我们的意料.面对这样的情况，教师就必须善于退、主动地退，只有这样，学生才能更好地构建新知，教学才能顺利地达到预设的结果.回到定义去，就让学生深刻领悟直线参数方程的标准形式与一般形式的关系，理解了两者之间转化的根本，也进一步理解了直线倾斜角的定义、范围和任意角三角函数定义的单位圆定义法.(4)从错解出发，引发认知冲突，打破思维定势，顺势引导，得到正确解答，注重知识的发生、发展过程，结合向量知识，推导直线参数方程一般形式的弦长公式，使学生从深层次上领悟直线参数方程一般形式中参数的几何意义，并认识到错解的原因，为今后解答直线参数方程的弦长问题指明了方向和思路，真正达到“由一题会一类”的目的.。
专题12-1 参数方程与极坐标归类-2023年高考数学一轮复习热点题型(全国通用)(原卷版)
【提分秘籍】
基本规律
极坐标一线两点（一般直线或射线过极点）：
| AB | |2 -1|=|B A（| 若是韦达定理型，则= 2 +1 2 -421）
【变式演练】
在平面直角坐标系中，曲线
C1
的参数方程为
x y
3 cos 2 sin
（
为参数），以
O
为极点，x
，求
AB
.
【题型二】参数方程难点 1：万能代换型消参
【典例分析】
在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
的参数方程为
x
1 1
t t
2 2
，
（t
为参数）．以坐标原点
O
为极点，x
轴的
y
1
4t t
2
正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 2 cos 3 sin 11 0 ．
（1）求 C 和 l 的直角坐标方程；（2）求 C 上的点到 l 距离的最小值．
三、极坐标体系弦长公式
(1)一线两点（一般直线（射线）过极点
| AB | |2 -1|=|B A（| 若是韦达定理型，则= 2 +1 2 -421）
（2）两线两点：余弦定理 | AB |2 =22 +12 -221 co（s 2 -1)
【变式演练】
在直角坐标系
xOy
中，曲线 C1 的参数方程为
l
的极坐标方程为
sin
3
2
.
(1)求曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程； (2)设直线 l 与 y 轴的交点为 P，经过点 P 的动直线 m 与曲线 C 交于 A，B 两点，证明： PA PB 为定值.
直线的参数方程
直线的参数方程（第一课时）教学目标：1、联想圆的参数方程探究如何选择参数，教师通过层层设问，引导学生形成直线的参数方程；在形成知识的过程中，直线的参数的几何意义亦水到渠成。
2、对比直线的参数方程与圆的参数方程，二者形式相同，但参数不同，曲线不同，体会标明谁是参数的必要性；3、在直线的参数方程应用过程中，进一步理解掌握直线的参数的几何意义。
4、在本节课的学习过程中，渗透类比、数形结合等数学思想方法，促进学生探究数学能力的发展。
教学重点：1、形成直线的参数方程；2、掌握直线的参数的几何意义。
教学难点：理解掌握直线的参数的几何意义教学过程：一、 形成直线的参数方程：问题1、已知直线l 过),(000y x M ，倾斜角为α(πα<≤0)，如何选参数，建立直线l 的参数方程？设问：什么是参数？参数也叫参变数，是一个变数。
联想：在求圆的参数方程时，我们选什么作参数？点M 在圆周上运动，哪些量不变？哪些量在变？ ①为参数）（θθθ⎩⎨⎧==sin cos r y r x ②为参数）（θθθ⎩⎨⎧+=+=sin cos r b y r a x点M 在直线上运动时，哪些量不变？哪些量在变？我们应该选什么为参数？选点M 到0M 的距离为参数，设t M M =0，但问题是t 的一个值会对应点M 的两个位置。
如果用向量的方法，可能可以很好地解决这个问题。
直线上的向量及与它平行的向量都称为直线的方向向量 向量M M 0是直线的方向向量，且直线的方向向量有无数多个，且它们之间都是平行的关系，我们找一个比较特殊的方向向量──单位方向向量。
直线l 上点M 运动就等价于向量0M M 变化，但无论向量怎样变化，都有0M M te = ．因此t 决定了点M 的位置，从而可以选择t 作为参数来获取直线l 的参数方程．【设计意图】明确参数．问题2、如何确定直线l 的单位方向向量e ？教师启发学生：如果所有单位向量起点相同，那么终点的集合就是一个圆．为了研究问题方便，可以把起点放在原点，这样所有单位向量的终点的集合就是一个单位圆．因此在单位圆中来确定直线的单位方向向量．教师引导学生确定单位方向向量，在此基础上启发学生得出(cos ,sin )e αα= ，从而明确直线l 的方向向量可以由倾斜角α来确定． 当0απ<<时，sin 0α>，所以直线l 的单位方向向量e 的方向总是向上．【设计意图】综合运用所学知识，获取直线的方向向量，培养学生探索精神，体会数形结合思想． 问题3、如何沟通点M 的横坐标y x ,与t 的关系？直线的单位方向向量)sin ,(cos αα=e设),(y x M ，由t M =0)sin ,(cos ),(00ααt y y x x =--⇒ 为参数）（t t y y t x x ⎩⎨⎧+=+=⇒ααsin cos 00 教师提出如下问题让学生加强认识：①直线的参数方程中哪些是变量？哪些是常量？②参数t 的取值范围是什么？③参数t 的几何意义是什么？总结如下：①00,x y ，α是常量，,,x y t 是变量；②t R ∈；③由于||1e = ，且0M M te = ，得到0M M t = ，因此t 表示直线上的动点M 到定点0M 的距离．当0M M 的方向与数轴（直线）正方向相同时，0t >；当0M M 的方向与数轴（直线）正方向相反时，0t <；当0t =时，点M 与点0M 重合．【设计意图】把向量转化为坐标，获得了直线的参数方程，在此基础上分析直线参数方程的特点，体会参数的几何意义．问题4、直线的参数方程与圆的参数方程对比，你有什么发现？直线的参数方程：为参数）（t t y y t x x ⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00 圆的参数方程：为参数）（θθθ⎩⎨⎧+=+=sin cos r b y r a x 【设计意图】对比直线的参数方程与圆的参数方程，二者形式相同，但参数不同，曲线不同，体会标明谁是参数的必要性。
人教版高中数学选修4-4课件：第二讲三直线的参数方程
解：由题意知 F(1，0)，
x＝1－ 22t，
则直线的参数方程为
(t 为参数)，
y＝
2 2t
代入抛物线方程得( 22t)2＝4(1－ 22t)， 整理得 t2＋4 2t－8＝0，由一元二次方程根与系数的 关系可得 t1＋t2＝－4 2，t1t2＝－8，由参数 t 的几何意义 得 |AB|＝|t1－t2|＝ （t1＋t2）2－4t1t2＝ 64＝8.
x＝3＋ 22t，
解：设直线的参数方程为
y＝4＋
2 2t
(t 为参数)，
将它代入已知直线 3x＋2y－6＝0 得 3(3＋ 22t)＋ 24＋ 22t＝6，解得 t＝－115 2，
则|MP0|＝|t|＝115 2.
[迁移探究] (变换条件，改变问法)过抛物线 y2＝4x
的焦点 F 作倾斜角为34π的直线，它与抛物线交于 A，B 两点，求这两点之间的距离．
4．设直线 l 过点 A(2，－4)，倾斜角为56π，则直线 l 的参数方程是________________．
x＝2＋tcos56π，
解析：直线
l
的参数方程为 y＝－4＋tsin
5 (t 6π
为参
x＝2－ 23t， 数)，即y＝－4＋12t (t 为参数)．
x＝2－ 23t，
答案： y＝－4＋12t
[思考尝试·夯基]
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)直线 y＝2x＋1 的参数方程是xy＝＝2t－t－11，(t 为参 数)．( )
x＝－1＋2t ，
(2)直线的参数方程为 y＝2＋
23t
(t 为参数)，M0(－
1，2)和 M(x，y)是该直线上的定点和动点，则|t|的几何意
2016-2017学年高中数学选修4-4课件：第2讲 参数方程 3
(t 为参数)，如果 l 与 C 相交于 A、B 两点，
那么将 l 的方程代入 F(x，y)＝0 后可得 at2＋bt＋c＝0，则该方
第二讲 参数方程
预习学案
课堂讲义
课后练习
晰蜴属于冷血爬行动物，多数的晰蜴具 有四足，后肢肌肉有力，能迅速爬行或改变 方向．若一只晰蜴从 P(1,2)出发沿直线爬行， 已知它在 x 轴方向的分速度是 0.03 m/s，在 y 轴方向的分速度是 0.04 m/s.
则这只晰蜴 3 s 后会爬到哪里？
第五页，编辑于星期五：十七点 三十一分。
第二十三页，编辑于星期五：十七点 三十一分。
数学 选修4-4
第二讲 参数方程
预习学案
课堂讲义
课后练习
直线的参数方程与弦长公式
已知抛物线y2＝8x的焦点为F，过 F且斜率为2的直线交抛物线于A、B两点．
(1)求|AB|； (2)求AB的中点M的坐标及|FM|.
[思路点拨] 求抛物线y2＝8x的焦点 → 设直线AB的方程 → 直线与抛物线联立消元 → 利用一元二次方程根与系数关系求解
第二十五页，编辑于星期五：十七点 三十一分。
数学 选修4-4
第二讲 参数方程
预习学案
课堂讲义
课后练习
方法二：抛物线 y2＝8x 的焦点为 F(2,0)，
依题意，设直线
AB
x＝2＋
的参数方程为 y＝
2 5t
1 5t
(t 为参数)，
其中 tan α＝2，cos α＝ 15，sin α＝ 25，α 为直线 AB 的倾 斜角，代入 y2＝8x 整理得 t2－2 5t－20＝0.
3＋
3 2t
(t 为参数)．
(1)分别判断点 A(1,0)，B(0,3)，C(2，－ 3)是否在直线 l 上？
极坐标与参数方程题型讲义-2022届高三数学一轮复习
极坐标与参数方程题型汇总题型一．直线参数方程t 的几何意义1.经过点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为为参数）t t y y t x x (sin cos 00⎩⎨⎧+=+=αα若A ，B 为直线l 上两点，其对应的参数分别为t 1，t 2，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为t 0，则以下结论在解题中经常用到： (1)t 0=t 1＋t 22；(2)|PM |=|t 0|=t 1＋t 22；(3)|AB |=|t 2－t 1|； (4)|PA |·|PB |=|t 1·t 2|（5）⎪⎩⎪⎨⎧>+<-+=-=+=+0,0,4)(212121212212121t t t t t t t t t t t t t t PB PA 当当（注：记住常见的形式，P 是定点，A 、B 是直线与曲线的交点，P 、A 、B 三点在直线上） 【特别提醒】直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义且其几何意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离，即|M 0M |=|t |. 直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为12,t t ，则弦长12l t t =-； 2.解题思路第一步：曲线化成普通方程，直线化成参数方程第二步：将直线的参数方程代入曲线的普通方程，整理成关于t 的一元二次方程：02=++c bt at第三步：韦达定理：a ct t a b t t =-=+2121,第四步：选择公式代入计算。
1．以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝4cos θ．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l的参数方程为（t为参数），设点P（1，1），直线l与曲线C相交于A，B两点，求|P A|+|PB|的值．2．在直角坐标系xOy中，直线l过点P（0，1）且斜率为1，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ+2cosθ．（Ⅰ）求直线l的参数方程与曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C的交点为A、B，求|P A|+|PB|的值．3．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣2cosθ＝0．（1）写出直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；（2）已知点P（0，1），点Q（，0），直线l过点Q且曲线C相交于A，B两点，设线段AB的中点为M，求|PM|的值．4．已知曲线C的极坐标方程是ρ＝2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L的参数方程是（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程；（2）设点P（m，0），若直线L与曲线C交于A，B两点，且|P A|•|PB|＝1，求实数m的值．5．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求的极坐标方程；（2）设点，直线与曲线相交于点，求的值.6．在平面直角坐标系中，以原点为极点，以轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为．（Ⅰ）写出曲线和直线的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线过点与曲线交于不同两点，的中点为，与的交点为，求．7．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（其中为参数）.现以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）写出直线普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）过点，且与直线平行的直线交于两点，求.8．在平面直角坐标系中，直线过点，且倾斜角为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（Ⅰ）写出直线的参数方程及曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线与曲线交于，两点，且弦的中点为，求的值.9．在直角坐标系中，过点的直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为.（1）若点的直角坐标为，求直线及曲线的直角坐标方程；（2）若点在上，直线与交于两点，求的值.10．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数），其中，直线与曲线相交于，两点.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）若点满足，求的值.11．在平面直角坐标系xOy中，点P(0,−1)，直线l的参数方程为{x=tcosαy=−1+tsinα(t为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ+ρcos2θ= 8sinθ．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于不同的两点A,B,M是线段AB的中点，当|PM|=409时，求sinα的值．12．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =1−√22t y =1+√22t（t 为参数），以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin 2θ=4cosθ. （1）求曲线C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程；（2）若C 1与C 2交于A,B 两点，点P 的极坐标为(√2,π4)，求1|PA|+1|PB|的值.题型二．极径的应用：一直线与两曲线分别相交，求交点间的距离(1)思路：一般采用直线极坐标与曲线极坐标联系方程求出2个交点的极坐标，利用极径相减即可，|=AB |B A 2B A B A 4)(||ρρρρρρ-+=-(2)过原点，倾斜角为α的直线的极坐标方程为：）（R ∈=ραθ 1．在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程是（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为板轴，建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ+ρ2sin 2θ﹣2ρsin θ﹣3＝0．（1）求直线l 的极坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求AB 的长．2．已知曲线，是曲线上的动点，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点为中心，将点绕点逆时针旋转得到点，设点的轨迹方程为曲线.（Ⅰ）求曲线，的极坐标方程；（Ⅱ）射线与曲线，分别交于，两点，定点，求的面积.3．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=2+2cosφy=2sinφ（φ为参数）.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=4sinθ.（1）求C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）已知直线C3的极坐标方程为θ=α(0<α<π,ρ∈R)，A是C3与C1的交点，B是C1与C2的交点，且A，B均异于原点O，|AB|=4√2，求a的值.4．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =2+√3cosαy =√3sinα（α为参数），直线l 的参数方程为{x =tcosβy =tsinβ（t 为参数，0≤β<π），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）已知直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，且|OA |−|OB |=2，求β.5．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =34+√3t y =a +√3t(t 为参数)，圆C 的标准方程为(x −3)2+(y −3)2=4.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求直线l 和圆C 的极坐标方程；(2)若射线θ=π3与l 的交点为M ，与圆C 的交点为A ，B ，且点M 恰好为线段AB 的中点，求a 的值．题型三．距离、最值、取值范围 （一）与圆有关的题型1.圆与直线的位置关系（圆与直线的交点个数问题）----利用圆心到直线的距离与半径比较 相离，无交点；:r d >个交点；相切，1:r d =个交点；相交，2:r d < 用圆心（x 0,y 0）到直线Ax+By+C=0的距离2200BA C By Ax d +++=，算出d ，在与半径比较。
2019年高考数学(文)一轮复习精品资料：专题56参数方程(教学案)含解析
2019年高考数学（文）一轮复习精品资料1．了解参数方程，了解参数的意义．2．能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程．3．了解圆的平摆线、渐开线的形成过程，并能推导出它们的参数方程．一、参数方程和普通方程的互化 1．参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．将参数方程化为普通方程需消去参数．(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么y ＝g(t x ＝f(t ，就是曲线的参数方程．【特别提醒】在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致． 2．几种常见的参数方程 (1)圆的参数方程若圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r ，则圆的参数方程为y ＝y0＋rsin θx ＝x0＋rcos θ，(θ为参数)． (2)椭圆a2x2＋b2y2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为y ＝bsin θx ＝acos θ，(θ为参数)． (3)双曲线a2x2－b2y2＝1(a ＞0，b ＞0)的参数方程为y ＝btan θ，(θ为参数)． (4)抛物线y 2＝2px (p ＞0)的参数方程为y ＝2pt x ＝2pt2，(t 为参数)． 二、直线的参数方程利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题的方法经过点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为y ＝y0＋tsin αx ＝x0＋tcos α，(t 为参数)．若A ，B 为直线l 上两点，其对应的参数分别为t 1，t 2，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为t 0，则以下结论在解题中经常用到：(1)t 0＝2t1＋t2；(2)|PM |＝|t 0|＝2t1＋t2； (3)|AB |＝|t 2－t 1|； (4)|P A |·|PB |＝|t 1·t 2|.【特别提醒】直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义且其几何意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离，即|M 0M |＝|t |.三、极坐标与参数方程的综合应用规律1．化归思想的应用，即对于含有极坐标方程和参数的题目，全部转化为直角坐标方程后再求解．2．数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．高频考点一 参数方程与普通方程的互化【例1】 已知直线l 的参数方程为y ＝－4t x ＝a －2t ，(t 为参数)，圆C 的参数方程为y ＝4sin θx ＝4cos θ(θ为参数). (1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围.【方法规律】 (1)将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换消去参数.(2)把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x 及y 的取值范围的影响，一定要保持同解变形.【变式探究】 在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：y ＝t －a x ＝t ，(t 为参数)过椭圆C ：y ＝2sin φx ＝3cos φ，(φ为参数)的右顶点，求常数a 的值.解 直线l 的普通方程为x －y －a ＝0， 椭圆C 的普通方程为9x2＋4y2＝1，∴椭圆C 的右顶点坐标为(3，0)，若直线l 过(3，0)，则3－a ＝0，∴a ＝3.高频考点二 参数方程及应用【例2】已知曲线C ：4x2＋9y2＝1，直线l ：y ＝2－2t x ＝2＋t ，(t 为参数). (1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值.【方法规律】(1)解决直线与圆的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与圆的位置关系来解决问题.(2)对于形如y ＝y0＋bt x ＝x0＋at ，(t 为参数)，当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题.【变式探究】 平面直角坐标系xOy 中，曲线C ：(x －1)2＋y 2＝1.直线l 经过点P (m ，0)，且倾斜角为6π.(1)求圆C 和直线l 的参数方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且|PA |·|PB |＝1，求实数m 的值.解 (1)由曲线C ：(x －1)2＋y 2＝1. 得参数方程为y ＝sin θx ＝1＋cos θ，(θ为参数). 直线l 的参数方程为t 1(t 为参数).(2)设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，将直线l 的参数方程代入x 2＋y 2＝2x 中，得t 2＋(m －)t ＋m 2－2m ＝0，所以t 1t 2＝m 2－2m ， 由题意得|m 2－2m |＝1，得m ＝1，m ＝1＋或m ＝1－.高频考点三 参数方程与极坐标方程的综合应用【例3】 (2016·全国Ⅲ卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为y ＝sin α3cos α，(α为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin 4π＝2.(1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标.的距离d (α)的最小值.d (α)＝23cos α＋sin α－4|＝－2π，当且仅当α＝2k π＋6π(k ∈Z)时，d (α)取得最小值，最小值为，此时P 的直角坐标为21.【方法规律】(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程.(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的.【变式探究】 在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程y ＝sin φx ＝1＋cos φ，(φ为参数).以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求圆C 的极坐标方程；(2)直线l 的极坐标方程是ρ(sin θ＋cos θ)＝3，射线OM ：θ＝3π与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长.1. （2018年全国I 卷）[选修4—4：坐标系与参数方程]在直角坐标系中，曲线的方程为．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求的直角坐标方程；（2）若与有且仅有三个公共点，求的方程．【答案】（1）．（2）．【解析】（1）由，得的直角坐标方程为．（2）由（1）知是圆心为，半径为的圆．由题设知，是过点且关于轴对称的两条射线．记轴右边的射线为，轴左边的射线为．由于在圆的外面，故与有且仅有三个公共点等价于与只有一个公共点且与有两个公共点，或与只有一个公共点且与有两个公共点．2. （2018年全国卷Ⅱ）[选修4－4：坐标系与参数方程]在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．（1）求和的直角坐标方程；（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．【答案】见解析【解析】（1）曲线的直角坐标方程为．当时，的直角坐标方程为，当时，的直角坐标方程为．（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程．①因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以①有两个解，设为，，则．又由①得，故，于是直线的斜率．3. （2018年全国III卷）[选修4—4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），过点且倾斜角为的直线与交于两点．（1）求的取值范围；（2）求中点的轨迹的参数方程．【答案】（1）（2）为参数，【解析】（1）的直角坐标方程为．当时，与交于两点．当时，记，则的方程为．与交于两点当且仅当，解得或，4. （2018年江苏卷）[选修4—4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，直线l的方程为，曲线C的方程为，求直线l被曲线C截得的弦长．【答案】直线l被曲线C截得的弦长为【解析】因为曲线C的极坐标方程为，所以曲线C的圆心为（2，0），直径为4的圆．1.【2017课标1，文22】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为．（1）若，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l的距离的最大值为，求．【答案】（1），；（2）或．【解析】（1）曲线的普通方程为.当时，直线的普通方程为.由解得或.从而与的交点坐标为，.（2）直线的普通方程为，故上的点到的距离为.当时，的最大值为.由题设得，所以；当时，的最大值为.由题设得，所以.综上，或.2.【2017课标II，文22】在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为。
高中数学解析几何知识点总结大全
高中数学解析几何知识点大总结第一部分:直线一、直线的倾斜角与斜率1.倾斜角α(1)定义：直线l 向上的方向与x 轴正向所成的角叫做直线的倾斜角。
(2)范围：︒<≤︒1800α2.斜率：直线倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.αtan =k（1）.倾斜角为︒90的直线没有斜率。
（2）.每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率（直线垂直于x 轴时，其斜率不存在)，这就决定了我们在研究直线的有关问题时，应考虑到斜率的存在与不存在这两种情况，否则会产生漏解。
（3）设经过),(11y x A 和),(22y x B 两点的直线的斜率为k ，则当21x x ≠时，2121tan x x y y k --==α；当21x x =时，o 90=α；斜率不存在； 二、直线的方程1.点斜式：已知直线上一点P （x 0,y 0）及直线的斜率k （倾斜角α）求直线的方程用点斜式：y-y 0=k(x-x 0)注意：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =；2.斜截式：若已知直线在y 轴上的截距（直线与y 轴焦点的纵坐标）为b ，斜率为k ，则直线方程：b kx y +=；特别地，斜率存在且经过坐标原点的直线方程为：kx y =注意：正确理解“截距”这一概念，它具有方向性，有正负之分，与“距离”有区别。
3.两点式：若已知直线经过),(11y x 和),(22y x 两点，且（2121,y y x x ≠≠则直线的方程：121121x x x x y y y y --=--； 注意：①不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线； ②当两点式方程写成如下形式0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以适应在于任何一条直线。
4截距式：若已知直线在x 轴，y 轴上的截距分别是a ，b （0,0≠≠b a ）则直线方程：1=+by a x ； 注意：1）.截距式方程表不能表示经过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线。
13.2 参数方程
1 (2)若把曲线 C1 上各点的横坐标压缩为原来的 倍,纵坐 2
3 标压缩为原来的 倍得到曲线 C2,设点 P 是曲线 C2 上的一 2
个动点,求它到直线 l 的距离的最小值. 思维导引:(1)先把直线和圆的参数方程化为普通方程,然 后利用直线被圆所截弦长公式求解;(2)先根据伸缩变换 写出曲线 C2 的参数方程,从而写出点 P 的坐标,然后根据点 到直线的距离公式求出目标函数,最后求最值.
考点二 参数方程及其应用
【例 2】 (2013 内蒙古包头市模拟)已知直线
1 x 1 t, x cos , 2 l: (t 为参数),曲线 C1: y sin y 3t 2
(θ 为参数). (1)设 l 与 C1 相交于 A、B 两点,求|AB|;
3 d 取得最小值,最小值为 (- 2 +2)= 4
反思归纳
一般地 ,如果题目中涉及圆、椭圆
上的动点或求最值范围问题时可考虑用参数方 程,设曲线上点的坐标,将问题转化为三角恒等 变换问题解决,使解题过程简单明了.
即时突破 2 已知点 P(x,y)是圆 x +y =2y 上的动点 .
(1)求 2x+y 的取值范围; (2)若 x+y+a ≥0 恒成立,求实数 a 的范围.
π ρ cos =t,若两曲线有公共点,则 t 的取值范 3
围是 .
解析:将曲线 C1 的参数方程化为普通方程得 (x-2)2+y2=4, 即曲线 C1 是以(2,0)为圆心,2 为半径的圆, 将曲线 C2 的极坐标方程化成直角坐标方程得 x- 3 y-2t=0.
∵两曲线有公共点, ∴圆心(2,0)到直线 x- 3 y-2t=0 的距离
高中数学极坐标系与参数方程---直线参数方程
1 t sin
t cosα代入x α
y
3
0中，
1 t cosα t sinα 3 0 t 4
cosα sin α
| PN || t ||
4
|
cosα sin α
4
| PM | | PN | | 2(cosα sin α) | | cosα sin α |
8
t1 t2 2 2 sin α
tP
t1 t2 2
2 sin α
P在l上
P(
x,
y)满足x y
2
sin 2
α
cos α 2 sin
2
α
x
y
2 sin 2α 2 2 2
22
cos
, 2α
(α为参数，α
（π，3π）) 44
在平面直角坐标系
xOy中，曲线
C1过点P(a,1),
其参数方程为
bt a2 b2
在直角坐标系
xOy中，曲线 C的参数方程为
x
y
2 cosθ ,
4sin θ
(θ为参数）.直线l的参数方程为
x
y
1 t cos 2 t sin
α ,
α
(t为参数）.
(1)求C和l的直角坐标方程 .
(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为 （1,2），求l的斜率.
消参
(1)C
t1 t2 2 2 t1t2 2 8a
a
1 36
0,
符合题意
t1 2t2
t1 t2 t1t2
2 2 2 8a
a
9
0,
t1 2t2
4
符合题意
在平面直角坐标系
直线的参数方程及弦长公式
直线的参数方程及弦长公式一、直线的参数方程：设直线上有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)，通过引入一个参数t，可以将直线上的所有点的坐标表示为参数的函数。
直线的参数方程可以表示为：x=x1+(x2-x1)ty=y1+(y2-y1)t其中，参数t可以取任意实数，当t取0时，得到点A的坐标；当t取1时，得到点B的坐标。
二、推导直线的弦长公式：1.弦长的概念：弦是指在圆上连接两个点的线段。
在直线中，我们将两点之间的线段称为弦。
2.求解直线的弦长：设直线上有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)，我们需要求解这两点之间的弦长。
首先，我们可以利用两点间的距离公式求解两点间的距离d：d=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)然后，我们引入参数方程，假设x=x(t)和y=y(t)为直线的参数方程，则有：x(t)=x1+(x2-x1)ty(t)=y1+(y2-y1)t接下来，我们需要通过参数消元来求解参数t与直线上的点(x,y)之间的关系。
由x(t)=x1+(x2-x1)t，可以得到：t=(x-x1)/(x2-x1)由y(t)=y1+(y2-y1)t，可以得到：t=(y-y1)/(y2-y1)将这两个结果相等起来，可以得到：(x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1)进一步化简，可以得到：(x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0化简后的这个等式实际上是直线的一般方程，即Ax+By+C=0。
其中A=y2-y1，B=x1-x2，C=x2y1-x1y2然后，我们将两点间的距离公式d中的x和y分别代入直线的一般方程Ax+By+C=0中，可以得到：d=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)=√((x2-x1)^2+(-(A/B)(x2-x1))^2)进一步化简，可以得到：d=√(1+(A/B)^2)*，x2-x1由于A=y2-y1，B=x1-x2，所以A/B=(y2-y1)/(x1-x2)。
直线的参数方程
������
������
设方程的两实根分别为 t1、t2,则
∴直线截椭圆的弦长是|t1-t2|= (������������ + ������������ ) -������������������ ������������ = .
������
������
������
[问题]上述解法中存在什么错误吗?
为参数)化为普通方程,得 x+y-1=0.将抛物线 C 的参 ������ = ������ 2 数方程 ������ = ������������ ������ (s 为参数)化为普通方程,得 y=2x . ������ + ������- ������ = ������ 2 联立方程 消去 y, 得 2x +x-1=0,解得 ������ ������ = ������������ x1=-1,x2= .直线 l 与抛物线 C 的交点坐标为 (-1,2),( , ).
入椭圆方程可得:
������ ������
2
(������-������) ������
������
+(1+t) =1,
������������ + ������������ = ������������ ������������ =
������ ������ ������ ������
2
即 t + t+ =0.
������ = ������������ + ������������, (t 为参数) ������ = ������������ + ������������ ,这里的
问题4
如何用直线 l 的参数方程求弦长和求弦的中点 坐标? 一般是先设出直线 l 的参数方程为 ������ = ������������ + ������������������������������, (t 为参数),代入圆锥曲线的方程, ������ = ������������ + ������������������������������
极坐标与参数方程
2
＝
2，所以 y－x＝1.由点
4
A 的极坐标为(2 2， 7 )得点 A 的直角坐标为(2，-2)，所以 d＝|2＋2＋1|＝5 2.即点 A 到
4
2
2
直线 l 的距离为5 2. 2
(2)将 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入 x2＋y2＝r2 中，得ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ＝r2，即 ρ2(cos2θ＋sin2θ)＝r2，则ρ＝r.
|－m＋2| 2 5
(2)圆心(0，m)到直线 l 的距离为 d＝|－m＋2|，所以由勾股定理得
5 2＋ 5 2
5
＝1，解得 m＝3 或 m＝1.
x＝－2＋cos θ， 变 式 3 ： 直 线 y ＝ x-1 上 的 点 到 曲 线 y＝1＋sin θ
上的点的最近距离是
________．(2 2-1)
tan115
x＝－1－ 2t， 2
2．已知直线 l 的参数方程为 y＝2＋
2t
(t 为参数)，则直线 l 的斜率为(
)
2
第5页
A．1 B．－1 C. 2 D．－ 2
2
2
解析：选 B.直线 l 的普通方程为 x+y-1＝0，斜率为-1
二、常考题型
题型一：极坐标与直角坐标之间的互化(见知识点例题)
题型二：极坐标(方程)与直角坐标(方程)互化
两平行直线之间的距离: 直线 l1 Ax By C1 0 直线 l2 Ax By C2 0 距离 d C1 C2 A2 B2
3 弦长公式: AB x1 x2 2 y1 y2 2 1 k 2 x1 x2 2 4x1x2
知识点一 坐标系 1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换
x'x0
直线的参数方程及弦长公式
直线的参数方程及弦长公式直线是几何学中非常基础的概念，常用于描述两点之间的最短路径。
在数学中，直线可以通过参数方程来表示。
本文将介绍直线的参数方程以及计算直线上两点之间的弦长公式。
直线的参数方程直线的参数方程可以通过一个参数来表示。
一条直线可以平行于 x 轴、y 轴或者斜率不为零，这里我们以斜率不为零的情况进行讨论。
对于一条斜率不为零的直线，我们可以通过两个参数 x 和 y 来表示，其中 x 是直线上的任一点横坐标，y 是对应的纵坐标。
假设直线上已知一点坐标为(x₁, y₁)，斜率为 k。
我们通过以下步骤可以求得直线的参数方程：1.利用斜率公式k = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)，选择另外一个已知点坐标(x₂,y₂)。
2.将斜率公式变形得到 y = k * (x - x₁) + y₁，即为直线的参数方程。
在参数方程中，x 是一个自变量，y 是一个关于 x 的函数。
弦长公式弦长是指直线上两点之间的距离，可以通过两点的坐标来计算。
对于直线的参数方程，我们可以通过给定的参数值来计算两点的坐标，从而得到弦长。
假设我们有直线的参数方程为：x = f(t)，y = g(t)。
我们可以进行如下步骤计算弦长：1.选择两个参数值t₁ 和t₂。
2.根据参数方程计算得到两点坐标为(x₁, y₁) 和(x₂, y₂)。
3.计算两点之间的距离d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)。
根据上述步骤，我们可以得到直线上任意两点之间的弦长。
通过本文，我们了解了直线的参数方程以及求解直线上两点之间弦长的公式。
直线的参数方程可以通过选择斜率不为零的点以及斜率，通过参数方程，我们可以方便地描述直线上的任意一点。
而弦长公式则可以用于计算直线上任意两点之间的距离，提供了一个有效的方法进行数学计算和几何分析。
需要注意的是，本文的讨论主要针对斜率不为零的直线情况，对于平行于 x 轴和 y 轴的直线，可以使用不同的参数方程来表示。
弦长公式
弦长公式弦长=│x1-x2│√(k^2+1)=│y1-y2│√[(1/k^2)+1]其中k为直线斜率,(x1,y1),(x2,y2)为直线与曲线的两交点,"││"为绝对值符号,"√"为根号证明方法如下：假设直线为:Y=kx+b圆的方程为：(x-a)^2+(y-u)^2=r^2假设相交弦为AB，点A为（x1.y1)点B为(X2.Y2)则有AB=√(x1-x2)^2+(y1-y2)^把y1=kx1+b.y2=kx2+b分别带入,则有：AB=√（x1-x2)^2+(kx1-kx2)^2=√(x1-x2)^2+k^2(x1-x2)^2=√1+k^2*│x1-x2│证明ABy1-y2│√[(1/k^2)+1]的方法也是一样的证明方法二d=√(x1-x2}^2+(y1-y2)^2这是两点间距离公式因为直线y=kx+b所以y1-y2=kx1+b-(kx2+b)=k(x1-x2)将其带入d=√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2得到d=√(x1-x2)^2+[k(x1-x2)]^2=√(1+k^2)(x1-x2)^2=√(1+k^2)*√(x1-x2)^2=√(1+k^2)*√(x1+x2)^2-4x1x2公式二抛物线y2=2px，过焦点直线交抛物抛物线线于A(x1,y1)和B(x2,y2)两点，则AB弦长：d=p+x1+x2 y2=-2px,过焦点直线交抛物线于A ﹙x1,y1﹚和B﹙x2,y2﹚两点，则AB弦长：d=p-﹙x1+x2﹚x2=2py,过焦点直线交抛物线于A﹙x1,y1﹚和B﹙x2,y2﹚两点，则AB弦长：d=p+y1+y2x2=-2py,过焦点直线交抛物线于A﹙x1,y1﹚和B﹙x2,y2﹚两点，则AB弦长：d=p-﹙y1+y2﹚公式三d = √(1+k^2)|x1-x2| = √(1+k^2)[(x1+x2)^2 - 4x1x2] = √(1+1/k^2)|y1-y2| = √(1+1/k^2)[(y1+y2)^2 - 4y1y2]关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线y=kx+b代入曲线方程，化为关于x(或关于y)的一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式√(1+k^2)[(x1+x2)^2 - 4x1x2]求出弦长，这种整体代换，设而不求的思想方法对于求直线与曲线相交弦长是十分有效的，然而对于过焦点的圆锥曲线弦长求解利用这种方法相比较而言有点繁琐，利用圆锥曲线定义及有关定理导出各种曲线的焦点弦长公式就更为简捷。
高中数学：四大类弦长公式
高中数学中的四大类弦长公式一、平面直角坐标中的全场通用弦长公式1、已知两点坐标：()11,y x A ，()22,y x B ，则()()221221y y x x AB -+-=2、已知直线上两点：若()11,y x A ，()22,y x B 两点在直线b kx y +=（直线的斜率存在并且不为0）上，则ak x x k AB ∆+=-+=221211（∆,,21x x 是02=++c bx ax 的两根和判别式） ak y y k AB ∆+=-+=22121111（∆,,21y y 是02=++c by ay 的两根和判别式）注：以上公式适用于直线与曲线相交，将直线与曲线联立但不易求出交点坐标 时，采用设而不求思想的解决弦长问题，以上公式的证明会用到韦达定理）二、平面直角坐标中特殊曲线（例如：圆，抛物线，椭圆）中的弦长公式1、直线0:=++C By Ax l 与圆()()222:r b y a x M =-+-相交于B A ,，则222d r AB -=（其中22BA C Bb Aa d +++=为圆心),(b a M 到直线l 的距离）注：此公式证明需用垂径定理2、抛物线中的焦点弦弦长公式，过抛物线交点F 直线l 与抛物线相交的弦长,BF AF AB += ①α221sin 2px x p AB =++=（其中抛物线开口向右，方程为px y 22=）②)(21x x p AB +-=（其中抛物线开口向左，方程为px y 22-=） ③21y y p AB ++=（其中抛物线开口向上，方程为py x 22=） ④)(21y y p AB +-=（其中抛物线开口向下，方程为py x 22-=） 注：此公式的证明需用到抛物线的定义和焦半径公式.3、椭圆中的焦点弦的弦长公式,BF AF AB +=①过椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点)0,(1c F -的直线l 与椭圆相交于()11,y x A ，()22,y x B 两点，则()212x x e a AB ++=.②过椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点)0,(2c F 的直线l 与椭圆相交于()11,y x A ，()22,y x B 两点，则()212x x e a AB +-=.③过椭圆)0(12222>>=+b a bx a y 的左焦点)0(1c F -，的直线l 与椭圆相交于 ()11,y x A ，()22,y x B 两点，则()212y y e a AB ++=.④过椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点),0(2c F 的直线l 与椭圆相交于()11,y x A ，()22,y x B 两点，则()212y y e a AB +-=.注：此公式的证明需用到椭圆的第二定义和焦半径公式.三、直线标准参数方程下的弦长公式过定点),(00y x P ，倾斜角为α的直线l 的参数方程⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x (t 为参数). 参数t 的几何意义为： t 为直线上任一点(,)x y 到定点00(,)x y 的数量；即：直线l 上的动点()()ααsin ,cos ,00t y t x M y x M ++=到点),(00y x P 的距离等于t .设点B A 、对应的参数分别为,,21t t 则有： ①2121,,t t AB t PB t PA -=== ②AB 中点M 对应的参数为221t t +，则.221t t PM +=证明：∵A 对应的参数分别为1t ∴()ααsin ,cos 1010t y t x A ++, ∴ ()()()()1212120102010sin cos sin cos t t t y t y x t x PA =+=-++-+=αααα同理2t PB =,21t t AB -=还有一些可能会用到的公式,他们都可通过以上两个结论+绝对值的运算而得：例如：③⎩⎨⎧<->+=+=+0,,2121212121t t t t t t t t t t PB PA ;⎩⎨⎧<+>-=-=-0,,2121212121t t t t t t t t t t PB PA④ 若AB 的中点为P ,则021=+t t .（∵AB 中点对应的参数为221t t +,P 对应的参数为0）过定点),(00y x P 的直线l 的参数方程也可表示为:⎩⎨⎧+=+=bt y y atx x 00(b a ,是常数,t 为参数).设点N M 、对应的参数分别为21,t t ,即()()20201010,,,bt y at x N bt y at x M ++++则有：①122t b a PM +=，222t b a PN +=，()2122t t b a PN PM +=⋅②Aba t tb a MN ∆+=-+=222122（其中21,t t 是方程02=++C Bt At 的两根）③⎩⎨⎧<->+=+=+0,,2121212121tt t t t t t t t t PN PM ; ⎪⎩⎪⎨⎧<++>-+=-+=-0,0,2121222121222122t t t t b a t t t t b a t t b a PN PM④ 若MN 的中点为P ,则021=+t t .（∵MN 中点对应的参数为221t t +,P 对应的参数为0）四、极坐标系中的弦长公式：()()2211,,,θρθρB A①若21θθ=，则21ρρ-=AB②若21θθ≠，则()21212221cos 2θθρρρρ--+=AB ，()2121sin 21θθρρ-=∆OAB S。
直线的参数方程及弦长公式概要
直线的参数方程及弦长公式概要x=ty = kt + b其中，t为参数，可以取任意实数。
参数方程的优点在于可以很方便地表示直线上的每一个点的位置坐标，同时也可以方便地求出直线的弦长。
弦长是指直线上两个点之间的距离。
假设直线上两个点的位置坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2)，则直线的弦长公式为：L=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)其中，L为弦长。
接下来，我们将详细讲解直线的参数方程和弦长公式。
1.直线的参数方程对于直线y = kx + b，我们可以给x赋予任意实数作为参数，然后利用斜率k和截距b来求出对应的y坐标。
这样，我们就可以表示直线上的每一个点的位置坐标。
例如，对于直线y=2x+3来说，可以通过参数方程表示为：x=ty=2t+3这里的t可以取任意实数，通过取不同的t值，我们就可以得到直线上的不同点的位置坐标。
2.弦长公式弦长是指直线上两个点之间的距离。
对于直线上的两个点(x1,y1)和(x2,y2)，我们可以利用勾股定理求出两点之间的距离，并用弦长公式进行表示。
弦长公式为：L=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)其中，L为弦长，也就是两个点之间的距离。
例如，对于直线上的两个点A(1,2)和B(5,6)，可以利用弦长公式求出两点之间的距离：L_AB=√((5-1)²+(6-2)²)=√(4²+4²)=√(16+16)=√32因此，点A和点B之间的距离为√323.参数方程与弦长公式的关系参数方程和弦长公式是在不同应用场景下的数学工具，它们之间没有直接的关系。
参数方程用于表示直线上的每一个点的位置坐标，而弦长公式用于计算直线上两个点之间的距离。
然而，在一些情况下，参数方程可以为求解弦长提供便利。
例如，当直线的两个端点的位置坐标已知，并且通过参数方程可以表达出直线上的其他点的位置坐标时，我们可以利用参数方程求解弦长。
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| MA | | MB || t1 t2 | 2
（1） M1M 2 t1 t2
（2） t t1 t2
2
特别地，若中点为M 0 , 则t
t1
t2 2
0，即t1
2
0
直线
x y
2 1t 2
1 1 2
t
(t为参数)
被圆 x2 y2 4
截得的弦长为__22__t_1__t_2_____1_4
则中点 M ( 16 , 2)
77
3.求直线方程：
若点M
是线段M1M
的三等分点，则
2
t t1 2t2 3
M为定点M0,则t1 2t2 0。
4.直线与圆锥曲线的关系
y
•
M
O
P
x
y
•
M P
O
结论也成立
小结
1、回忆直线的参数方程的推导 2、掌握直线参数方程的设法
x x0 t cos
y
y0
t
sin
(t为参数)
3、t的几何意义。
4、利用直线的参数方程解决问题
教学目标： 推导直线的参数方程。掌握直
线参数方程的设法。理解直线参数 方程中t的几何意义。
教学重难点： 理解直线参数方程中t的几何意义。 巧妙利用直线的参数方程解决问
题。
谢谢观看！ 2020
2.求弦的中点坐标 例2：直线L
x y
1 3 t
（t5为参数）
2 4t 5
与双曲线(y－2)2－x2=1相交于 A、
B两点，求弦AB中点M的坐标 .
解：把
x
2)2－x2=1y
1 3 5
2 4t 5
t
直接代入(y－
化简得
7t2
t1 t2
30t30 ,5t10t2
72
0
15 7
2
2
2
2
3 5 3 5 4 2
（1）如何写出直线l的参数方程？
①
（2）如何求出交点A，B所对应的参数t1，t2 ?
①
t1 t2 2, t1t2 2
（3）
AB、MA
MB
与t1，t
有
2
什
么
关
系
？
由参数的几何意义得： | AB || t1 t2 | t1 t2 2 4t1t2 10
AB 1 k2 ( x1 x2 )2 4x1 x2 2 5 10
由(*)解得：x1
1 2
5 ，x2
1 2
5
y1
3 2
5 ，y2
3 2
5
记直线与抛物线的交点坐标A( 1
5 3 ,
5 )，B( 1
5 3 ,
5 )
2
2
2
2
则 MA MB (1 1 5 )2 (2 3 5 )2 (1 1 5 )2 (2 3 5 )2
复习回顾
经过点M0(x0 , y0),倾斜角为α的直线的参数方程：
x y
x0 y0
t t
cos sin
(t为参数)
上式称为直线参数方程的标准方程
思考：t 的几何意义是什么？
x x0 t cos
y0
t
sin
(t为参数)
（1） | MM0 || t |
（2）MM0与e 同向时，t>0 （3）MM0与e 异向时，t<0
（4）t=0时，M 与 M 0 重合
三 .直线的参数方程的应用: 1. 求弦长
例1：已知直线方程 x+y－1=0与抛物 线 y=x2 交于点A、B。 (1)求弦长AB (2)求点M（－1，2）到A，B两点的距 离之积。
三 .直线的参数方程的应用: 1. 求弦长
解：由由xy韦达y求x定2 1解理 得 如0本：果题x得1在呢：xx学2？2习x1， 直1 x线10 x的2 参1(数*) 方程之前,你会怎样