距离和最值问题

几何中距离问题专题练习

一.知识要点：

1.两点之间， 最短.

2.直线外一点与直线上各点联结的所有线段中， 最短.

3.到角两边距离相等的点在 ；到线段两个端点距离相等的点在 .

二.综合练习：

1.如图，请你画出点A 到BC 的最短距离，点B 到AC 的最短距离，点C 到AB 的最短距离.

2.如图，请你在∠AOB 的内部确定点P ，使得点P 到∠AOB 的两边距离相等，并且到E 、F 两点的距离相等.

3.如图，已知直线l 和l 外两点A 、B ，试在直线l 上确定点P ，使得

（1）P 到A 、B 两点距离相等.（还可以表述为PA=PB 、│PA-PB │最小等）

（2）P 到A 、B 距离之和最短.（还可以表述为PA+PB 最短、△ABP 周长最小等）

（3）P 到A 、B 距离之差最大.（还可以表述为│PA-PB │最大等）

4.已知，如图，河的两岸有两个村庄A 、B ，试在河上确定小桥MN （与两岸垂

直），使得从A 村通过小桥MN 到达B 村距离最短.

C

A

B O l B A l B A l

B

A

l

B

A

l

B

A l

B A 河B A

5.如图，A 为马厩，B 为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地MN 边某一处牧马，再到河NL 边饮马，然后回到帐篷。请你帮他确定这一天的最

短路线.

6.台阶问题

如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm ，3cm 和1cm ，A

和B 是这个台阶的两个相对的端点，A 点上有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A 点出发，沿着台阶面爬到B 点，最短线路是多少？

7.圆柱、圆锥问题

（1）有一圆形油罐底面圆的周长为24m ，高为6m ，一只老鼠从距底面1m 的A

行到对角B 处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？

（2）有一圆柱形油罐，已知油罐周长是12m ，高AB 是5m ，要从点A 处开始绕油罐一周建造梯子，正好到达A 点的正上方B 处，问梯子最短有多长？

（3）桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖），高为12厘米，底面周长18厘米，在杯口内壁离杯口3厘米的A 处有一滴蜜糖，一只小虫从桌上爬至杯子外壁，当它正好爬至蜜糖相对方向离桌面3厘米的

B 处时，突然发现了蜜糖。问小虫至

少爬多少厘米才能到达蜜糖所在的位置。

1．已知O 为圆锥的顶点，M 为圆锥底面上一点，点P 在OM 上．一只蜗牛从P 点出发，绕圆锥侧面爬

行，回到P 点时所爬过的最短路线的痕迹如右图所示．若沿OM 将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（ ）

M L

N A

5

A

C

A B B

O P M

O M ' M P A ． O M ' M P B ．

O

M ' M P C ． O M ' M P D ．

8.正方体问题

（1）已知，如图是一个棱长为2cm 的封闭的正方形纸盒，E 是CD 中点，F 是CE 中点，一只蚂蚁从一个顶点A 爬到另一个顶点G ，那么这只蚂蚁爬行的最短路线是（ ），最近距离是 cm.

A ．A —

B —

C —G B ．A —C —G C ．A —E —G

D ．A —F —G

（2）如图，边长为2的正方体中，一只蚂蚁从一条棱的中点A

表面爬到顶点B 的最短距离是 .

9.长方体问题

如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A 出发，沿长方体的表面爬到对

角顶点C 1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？

2.探究螺旋形彩带的长度.

元旦快到了，某班的学生为了美化校园环境，计划在校园内的10棵树上绕上一些彩带.

（

1）若树的截面周长为50cm ，树高120cm ，现用彩带从根A 点开始沿侧面绕树一周到B 点 （如图1），学生应至少准备彩带多长？

（2）若树的截面周长仍为50cm ，树高为240cm ，现用彩带从根C 点开始沿侧面均匀地绕树 两周到D 点（如图2），学生应至少准备彩带多长？

（3）若树的截面周长仍为50cm ，树高为120acm ，现用彩带 从根M 点开始沿侧面均匀地 绕树a 周到N 点（如图3），学生应至少准备彩带多长？试写出你的计算方法.

B

G

D

B

P

D C

B

A

10.已知：△ABC，

（1）请你画出到三个顶点距离相等的点（2）请你画出到三边所在直线距离相等的点

11.（1）已知：如图，正方形ABCD，P是对角线AC上的一点，E在BC边上，

请在图中作出使得PB+PE最小的点P的位置.

（2）已知：如图，等腰直角三角形ABC中AB=BC=4，D是BC上一点，且BD=1，

P是斜边AC上的一个动点，求△BPD周长的最小值.

11.已知点A（1，2）和点B（3，5），试分别求出满足下列条件的点的坐标：

（1）在x轴上找一点C，（2）在y轴上找一点C，使得AC BC

+的值最小；使得△ABP周长最小；

（3）在直线x=4上找一点C，（4）在直线x=4上找一点C，使得AC BC

+的值最小；使得AC BC

-的值最大；