3.2 圆的对称性.ppt
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北师大版数学九年级下册圆的对称性课件
教学过程
10
记一记
通过探究，我们进一步得出同圆或等圆中圆心角、
新 弧、弦、弦心距之间关系.
知 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、 两条弦、两个弦心距中有一组量相等，那么
新 它们所对应的其余各组量都分别相等
授
O
O'
A
C
B
A' C' B'
教学过程
11
记一记
同圆或等圆中圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的
教学过程
8
议一议
在等圆⊙O和⊙O'中，分别作相等的圆心角∠AOB和
新 ∠A'O'B'，视察两个圆的重叠情况，你有什么发现？.
知
O
O'
新
ACΒιβλιοθήκη BA' C' B'
授 在等圆⊙O和⊙O'中，当圆心角∠AOB=∠A'O'B'时，
它们所对的弦A⌒B=A⌒’B’吗？AB=A’B’吗？它们所对的
弦心距OC=O’C’吗？.
教学过程
9
记一记
通过上面的探究，我们可以得出同圆或等圆中圆心
新 角、弧、弦、弦心距之间关系. 知 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧
相等，所对的弦相等，所对的弦心距相等。
新 注意：两个圆心角、两条弧、两条弦、两 授 个弦心距相等的前提是“在同圆或等圆中”。
思考：在同圆或等圆中，两个圆心角、两 条弧、两条弦、两个弦心距中任意一组量 相等，其余的各组量也相等吗？
C. BC+BD> AB D. S△ABC＞S△DBC
D O
A
B C
教学过程
3.2 圆的对称性 (共16张PPT)
●
o
圆心角 顶点在圆心的角(如∠AOB). ※如图,在圆O中,分别作相等的圆心角和∠AOB 和∠A′OB′, 将其中的一个旋转一个角度,使 得OA和O′A′重合.
A
B
●
A′
O
B A
A′
A
B′
●
O
B B′
●
O
你能发现那些等量关系?说一说你的理由.
※如图 , 如果在两个等圆⊙O和⊙O′中 , 分别作相 等的圆心角∠AOB和∠A′O′B′,将两圆重叠，并 固定圆心 , 将其中的一个圆旋转一个角度 , 使得 OA 和O′A′重合.
A B′ A′ A′ A
B
●
O
●
O′
B′ B
●
O
你又能发现那些等量关系?说一说你的理由.
用心想一想
圆心角, 弧,弦之间的关系?
圆心角, 弧,弦之间的关系定理 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧 相等，所对的弦相等.
A B A′
●
数学符号： ∵∠AOB=∠A′OB′
O
⌒ ⌒ ∴ AB=A′B′
（2）在同圆或等圆中，如果两 条弦相等，你能得出什么结论？ O
B A D
C
在同圆或等圆中，两个圆心角、两个圆心
角所对的弧、两个圆心角所对的弦中如果有一组量相等， 它们所对应的其余各组量也相等。
针对训练
填一填： 如图，AB、CD是⊙O的两条弦． ∠AOB= ∠COD AB=CD ，____________ （1）如果AB=CD，那么_________ ． ( AB=CD ， ∠ AOB= ∠COD （2）如果 AB=CD ，那么_________ _____________ ． ( AB=CD （3）如果∠AOB=∠COD，那么_____________ ， AB=CD ． _________
3.2.2圆的对称性上课课件
B
o
C
如果： ∠AOB=∠ COD
D
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的 弦、弧有什么关系？A
B
o
C
如果： ∠AOB=∠ COD
D
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的 弦、弧有什么关系？A
B
o
C
如果： ∠AOB=∠ COD
D
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的 弦、弧有什么关系？A
B
o
C
3.2 圆的对称性（2）
圆心角、弧、弦、 弦心距之间的关系
想一想
2
驶向胜利 的彼岸
圆的对称性及特性
• 圆是轴对称图形,圆的对称轴是任意一条经过圆 心的直线,它有无数条对称轴.
●
O
做一做
做如下实验：
在两张透明的纸上，分别作半径相等的⊙O和⊙O´， 把两张纸叠在一起,使⊙ O与⊙O´重合,然后固定圆心.
A B′ O B′ A′ A′ A
D′
● ●
O′
B′ B
● ●
O′ O
你又能发现那些等量关系?说一说你的理由.
如图，⊙O 和⊙O' 是等圆， 如果 ∠AOB= ∠ A'O'B' 那么 AB=A'B' 、AB= A'B' 、OM=O'M', 为什么？
D B C
B O A O'
B' A'
O A
前提条件
O'
等圆
O
同圆或等圆的半径相等
D
弦
C
弧
A BLeabharlann 等弧在同圆或等圆中，能够互相重合的 两条弧叫做等弧
o
C
如果： ∠AOB=∠ COD
D
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的 弦、弧有什么关系？A
B
o
C
如果： ∠AOB=∠ COD
D
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的 弦、弧有什么关系？A
B
o
C
如果： ∠AOB=∠ COD
D
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的 弦、弧有什么关系？A
B
o
C
3.2 圆的对称性（2）
圆心角、弧、弦、 弦心距之间的关系
想一想
2
驶向胜利 的彼岸
圆的对称性及特性
• 圆是轴对称图形,圆的对称轴是任意一条经过圆 心的直线,它有无数条对称轴.
●
O
做一做
做如下实验：
在两张透明的纸上，分别作半径相等的⊙O和⊙O´， 把两张纸叠在一起,使⊙ O与⊙O´重合,然后固定圆心.
A B′ O B′ A′ A′ A
D′
● ●
O′
B′ B
● ●
O′ O
你又能发现那些等量关系?说一说你的理由.
如图，⊙O 和⊙O' 是等圆， 如果 ∠AOB= ∠ A'O'B' 那么 AB=A'B' 、AB= A'B' 、OM=O'M', 为什么？
D B C
B O A O'
B' A'
O A
前提条件
O'
等圆
O
同圆或等圆的半径相等
D
弦
C
弧
A BLeabharlann 等弧在同圆或等圆中，能够互相重合的 两条弧叫做等弧
3.2圆的对称性上课课件
九年级数学(下)第三章圆
3.2
圆的对称性(1) -----垂径定理
想一想
1.圆是轴对称图形吗？
●
O
如果是,它的对称轴是什么? 你能找到多少条对称轴? 你是用什么方法解决这个问题的? 圆是轴对称图形. 其对称轴是任意一条过圆心的直线. 用折叠的方法即可解决这个问题.
相关概念
圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧. 以A,B两点为端点的弧.记作 ⌒ AB,读作“弧 AB”. ⌒(用两个字母). 小于半圆的弧叫做劣弧,如记作
⌒ ⌒ ⑤AD=BD.
垂径定理的逆定理
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦 , ． 并且平 分弦所对的两条弧.
被平分的这条 弦不是直径
C
A
┗M
●
●
B
O
CD是直径 AM=BM
可推得
⌒ ⌒ AC=BC, ⌒
CD⊥AB,
⌒ AD=BD.
D
判断： ⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对 的两条弧. （ ） ⑵平分弦的直径一定垂直于这条弦. （ ）
(3)弦的垂直平分线一定经过圆心. （ √ ）
课堂小结：
1.请说出本节所学习的主要内容。 2.还有什么疑惑请提出来
已知如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大 圆的弦AB交小圆于C、D两点。 求证：AC=BD 证明：过O作OE⊥AB于E， 则 AE=BE,CE=DE ∴AE－CE=BE－DE 即AC=BD
B
做一做
垂径定理的逆定理
AB是⊙O的一条弦,且AM=BM. 过点M作直径CD. 下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么? 你能发现图中有哪些等量关系?与同 伴说说你的想法和理由. C
A
3.2
圆的对称性(1) -----垂径定理
想一想
1.圆是轴对称图形吗？
●
O
如果是,它的对称轴是什么? 你能找到多少条对称轴? 你是用什么方法解决这个问题的? 圆是轴对称图形. 其对称轴是任意一条过圆心的直线. 用折叠的方法即可解决这个问题.
相关概念
圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧. 以A,B两点为端点的弧.记作 ⌒ AB,读作“弧 AB”. ⌒(用两个字母). 小于半圆的弧叫做劣弧,如记作
⌒ ⌒ ⑤AD=BD.
垂径定理的逆定理
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦 , ． 并且平 分弦所对的两条弧.
被平分的这条 弦不是直径
C
A
┗M
●
●
B
O
CD是直径 AM=BM
可推得
⌒ ⌒ AC=BC, ⌒
CD⊥AB,
⌒ AD=BD.
D
判断： ⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对 的两条弧. （ ） ⑵平分弦的直径一定垂直于这条弦. （ ）
(3)弦的垂直平分线一定经过圆心. （ √ ）
课堂小结：
1.请说出本节所学习的主要内容。 2.还有什么疑惑请提出来
已知如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大 圆的弦AB交小圆于C、D两点。 求证：AC=BD 证明：过O作OE⊥AB于E， 则 AE=BE,CE=DE ∴AE－CE=BE－DE 即AC=BD
B
做一做
垂径定理的逆定理
AB是⊙O的一条弦,且AM=BM. 过点M作直径CD. 下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么? 你能发现图中有哪些等量关系?与同 伴说说你的想法和理由. C
A
3.2 圆的对称性(2)
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、 两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余 各组量都分别相等.
议一议
在得到本节结论的过程中，你用到了 哪些方法？与同伴进行交流.
折叠(轴对称)
旋转
证明
随堂练习
1.利用一个圆及其若干条弦分别设计 出符合下列条件的图案: (1)是轴对称图形但不是中心对称图形;
A B'
A'
你能发现哪些等量关系?说一说你的理由.
B
B'
B
O
A
O'
A'
O(O')
A B'
A'
⌒ ⌒ 小红认为 AB=A′B′ AB=A′B′ ∴半径OB与O´B´重合.
她是这样想的：
∵半径OA与O’A’重合，∠AOB=∠A´O´B´， ∵点A与点A´重合，点B与点B´重合 ∴AB与A′B′重合
⌒ ⌒
3.2 圆的对称性（2）
想一想
2
驶向胜利 的彼岸
圆的对称性及特性
• 圆是轴对称图形,圆的对称轴是任意一条经过圆 心的直线,它有无数条对称轴.
●
O
做一做
做如下实验：
在两张透明的纸上，分别作半径相等的⊙O和⊙O´， 把两张纸叠在一起,使⊙ O与⊙O´重合,然后固定圆心.
O'
O
O(O')
将其中一个圆旋转任意一个角度,两个圆还能 重合吗？
利用旋转的方法可以得到：一个圆绕着它 的圆心旋转任意一个角度，都能与原图形重合. 这叫做圆的旋转不变性. 特别地
圆是中心对称图形,对称中心是圆心.
做一做
在下图中，分别作相等的圆心角∠AOB 和∠A´O´B´，固定圆心，将其中一个 圆旋转一个角度，使得OA与O´A´重合.
《圆的对称性》课件
总结词
阐述圆的基本属性
详细描述
圆具有许多基本的性质，包括其对称性、弧长与角度的关系、圆周角定理等。这 些性质是理解圆更深层次特性的基础。
圆的应用
总结词
列举圆在日常生活中的实际应用
详细描述
圆在日常生活和科学中有着广泛的应用，包括几何学、物理学、工程学和天文学等领域。例如，轮胎的设计、管 道的铺设、天文望远镜的制造等都涉及到圆的知识。
详细描述
自然界中的圆对称性，如花朵、树叶、果实 等，这些自然形态的圆对称性不仅美化了我 们的生活，还揭示了生命的奥秘和自然法则 。这种圆对称性的存在，使得生物能够更好 地适应环境，提高生存和繁衍的机会。
艺术创作中的圆对称性
要点一
总结词
艺术创作中的圆对称性，能够创造出和谐、平衡和完美的 艺术效果，是艺术家们常用的表现手法之一。
旋转变换
旋转变换定义
在平面内，将图形绕某一 定点旋转一定的角度，但 不改变图形的大小和形状 。
旋转变换性质
图形在旋转过程中，其内 部任意两点之间的距离保 持不变，且与旋转的角度 和中心点位置无关。
旋转变换的应用
在几何、解析几何等领域 中都有广泛的应用，如三 角形的旋转、极坐标系中 的角度变化等。
轴对称变换
平移变换
01Leabharlann 0203平移变换定义
在平面内，将图形沿某一 方向平行移动一定的距离 ，但不改变图形的大小和 形状。
平移变换性质
图形在平移过程中，其内 部任意两点之间的距离保 持不变，且与平移的方向 和距离无关。
平移变换的应用
在几何、代数、解析几何 等领域中都有广泛的应用 ，如平行线、平行四边形 、函数图像等。
02
圆的对称性
九年级数学北师大版初三下册--第三单元3.2《圆的对称性》课件
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，你能得出什么 结论？
归纳
知2－导
1.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对 的弦相等.
2.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦 中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分 别相等.
（来自教材）
知2－讲
例2 下列命题中，正确的是( C ) ①顶点在圆心的角是圆心角；
形、圆、等腰三角形，这些图形中只是轴对称图
形的有( A )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
知1－练
4 【2017·黄石】下列图形中既是轴对称图形，又是 中心对称图形的是( D )
知2－导
知识点 2 圆心角与所对的弧、弦之间的关系
在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相等，那 么它们所对的弦相等 吗？这两个圆心角相等吗？你是怎 么想的？
②相等的圆心角所对的弧也相等；
③在等圆中，圆心角不等，所对的弦也不等．
A．①和②
B．②和③
C．①和③
D．①②③
知2－讲
导引：①根据圆心角的定义知，顶点在圆心的角是圆心角， 故正确；②缺少条件，必须是在同圆或等圆中，相等 的圆心角所对的弧才相等，故错误；③根据弧、弦、 圆心角之间的关系定理，可知在等圆中，若圆心角相 等，则所对的弦相等，若圆心角不等，则所对的弦也 不等，故正确．
总结
知2－讲
本题考查了对弧、弦、圆心角之间的关系的理解，对于 圆中的一些易混易错结论应结合图形来解答．特别要注 意：看是否有“在同圆或等圆中”这个前提条件．
知2－练
1 下面四个图形中的角，是圆心角的是( D )
知2－练
2 如图，AB为⊙O的弦，∠A＝40°，则A︵B所对的 圆心角等于( C ) A．40° B．80° C．100° D．120°
归纳
知2－导
1.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对 的弦相等.
2.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦 中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分 别相等.
（来自教材）
知2－讲
例2 下列命题中，正确的是( C ) ①顶点在圆心的角是圆心角；
形、圆、等腰三角形，这些图形中只是轴对称图
形的有( A )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
知1－练
4 【2017·黄石】下列图形中既是轴对称图形，又是 中心对称图形的是( D )
知2－导
知识点 2 圆心角与所对的弧、弦之间的关系
在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相等，那 么它们所对的弦相等 吗？这两个圆心角相等吗？你是怎 么想的？
②相等的圆心角所对的弧也相等；
③在等圆中，圆心角不等，所对的弦也不等．
A．①和②
B．②和③
C．①和③
D．①②③
知2－讲
导引：①根据圆心角的定义知，顶点在圆心的角是圆心角， 故正确；②缺少条件，必须是在同圆或等圆中，相等 的圆心角所对的弧才相等，故错误；③根据弧、弦、 圆心角之间的关系定理，可知在等圆中，若圆心角相 等，则所对的弦相等，若圆心角不等，则所对的弦也 不等，故正确．
总结
知2－讲
本题考查了对弧、弦、圆心角之间的关系的理解，对于 圆中的一些易混易错结论应结合图形来解答．特别要注 意：看是否有“在同圆或等圆中”这个前提条件．
知2－练
1 下面四个图形中的角，是圆心角的是( D )
知2－练
2 如图，AB为⊙O的弦，∠A＝40°，则A︵B所对的 圆心角等于( C ) A．40° B．80° C．100° D．120°
圆的轴对称性PPT课件
C
CC
C C
A A
A
CC C D D C
O
O
OO
A
AA
B BB
O O
B B
O O
O
A A
O O B
AA
①
D DD
DD D
② ②
③
B B B
④
① ①
③ ③
⑤ ⑤
探索规律
• AB是⊙O的一条弦. 作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.
下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
C
A
• 你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说 说你的想法和理由.
A O
B D
2.在半径为5cm的⊙ O中，弦AB∥CD,且 AB=6cm,CD=8cm,求AB,CD之间的距离 3.如图，∠C=90°，⊙C与 AB交于点D，AC=5,CB=12, 求AD的长
A C B D
一、圆是轴对称图形，其对称轴是 任意一 条过圆心的直线（或直径所在直线．） 并且平分弦所对的弧． 三、垂径定理和勾股定理相结合，构造 直角三角形，可解决计算弦长、半 径、圆心到弦的距离等问题．
●
O
如何确定圆形纸片的圆心？说 说你的想法。
将圆纸片对折,确定出圆的一条直径; 用同样的方法,再确定出圆的另一条直 径.两条直径的交点即为圆形纸片的圆 心.
（1）判断下列图形是否具有对称性？ 如果一个对称图形与圆具有相同 如果是中心对称图形，指出它的对称 的对称中心或对称轴，那么它和 中心，如果是轴对称图形，指出它的 对称轴。 圆组成的新图形也是对称图形．
O
解：过Ｏ点作ＯＥ⊥ＡＢ， 垂径定理和勾股定理相结合，构
造直角三角形，把圆的问题化归 并延长ＯＥ交⊙Ｏ于Ｆ，连接 为直线形问题解决。
CC
C C
A A
A
CC C D D C
O
O
OO
A
AA
B BB
O O
B B
O O
O
A A
O O B
AA
①
D DD
DD D
② ②
③
B B B
④
① ①
③ ③
⑤ ⑤
探索规律
• AB是⊙O的一条弦. 作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.
下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
C
A
• 你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说 说你的想法和理由.
A O
B D
2.在半径为5cm的⊙ O中，弦AB∥CD,且 AB=6cm,CD=8cm,求AB,CD之间的距离 3.如图，∠C=90°，⊙C与 AB交于点D，AC=5,CB=12, 求AD的长
A C B D
一、圆是轴对称图形，其对称轴是 任意一 条过圆心的直线（或直径所在直线．） 并且平分弦所对的弧． 三、垂径定理和勾股定理相结合，构造 直角三角形，可解决计算弦长、半 径、圆心到弦的距离等问题．
●
O
如何确定圆形纸片的圆心？说 说你的想法。
将圆纸片对折,确定出圆的一条直径; 用同样的方法,再确定出圆的另一条直 径.两条直径的交点即为圆形纸片的圆 心.
（1）判断下列图形是否具有对称性？ 如果一个对称图形与圆具有相同 如果是中心对称图形，指出它的对称 的对称中心或对称轴，那么它和 中心，如果是轴对称图形，指出它的 对称轴。 圆组成的新图形也是对称图形．
O
解：过Ｏ点作ＯＥ⊥ＡＢ， 垂径定理和勾股定理相结合，构
造直角三角形，把圆的问题化归 并延长ＯＥ交⊙Ｏ于Ｆ，连接 为直线形问题解决。
九年级数学下册 3.2圆的对称性(第1课时)课件 北师大版
2013-9-23
I．创设问题情境，引入新课
问题：
驶向胜利 的彼岸
前面我们已探讨过轴对称图形，哪位同学 能叙述一下轴对称图形的定义?我们是用 什么方法研究轴对称图形的?
2013-9-23
驶向胜利 的彼岸
（一）想一想
• • • • 圆是轴对称图形吗? 如果是，它的对称轴是什么? 你能找到多少条对称轴? 讨论：你是用什么方法解决上述问题的?
此时得到了一个Rt△CFO,利用勾股定理便可列出方程.
2013-9-23
驶向胜利 的彼岸
– 练一练:完成课本随堂练习第1题．
2013-9-23
驶向胜利 的彼岸
– 1.想一想：如下图示，AB是⊙O的弦(不是直径)，作一条 平分AB的直径CD，交AB于点M． – 同学们利用圆纸片动手做一做，然后回答：（1）此图是 轴对称图形吗?如果是，其对称轴是什么?（2）你能发现 图中有哪些等量关系？说一说你的理由。
2013-9-23
驶向胜利 的彼岸
–
[例]如右图所示，一条公路的转弯处是
⌒ ⌒ 一段圆弧(即图中CD，点O是CD的圆心)， ⌒ 其中CD=600m，E为CD上一点，且 OE⊥CD，垂足为F，EF=90 m．求这段弯 路的半径．
[分析]要求弯路的半径，连接OC，只要求出OC的长便可以了.
因为已知OE⊥CD，所以CF＝CD＝300 cm，OF＝OE-EF，
3．垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可 解决弦长、半径、弦心距等计算问题．
2013-9-23
2013-9-23
驶向胜利 的彼岸
做一做：按下面的步骤做一做 1．在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆 对折，使圆的两半部分重合． 2．得到一条折痕CD． 3．在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕 的垂线，得到新的 折痕，其中，点M是两条折痕的交点，即垂足． 4．将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如图.
I．创设问题情境，引入新课
问题：
驶向胜利 的彼岸
前面我们已探讨过轴对称图形，哪位同学 能叙述一下轴对称图形的定义?我们是用 什么方法研究轴对称图形的?
2013-9-23
驶向胜利 的彼岸
（一）想一想
• • • • 圆是轴对称图形吗? 如果是，它的对称轴是什么? 你能找到多少条对称轴? 讨论：你是用什么方法解决上述问题的?
此时得到了一个Rt△CFO,利用勾股定理便可列出方程.
2013-9-23
驶向胜利 的彼岸
– 练一练:完成课本随堂练习第1题．
2013-9-23
驶向胜利 的彼岸
– 1.想一想：如下图示，AB是⊙O的弦(不是直径)，作一条 平分AB的直径CD，交AB于点M． – 同学们利用圆纸片动手做一做，然后回答：（1）此图是 轴对称图形吗?如果是，其对称轴是什么?（2）你能发现 图中有哪些等量关系？说一说你的理由。
2013-9-23
驶向胜利 的彼岸
–
[例]如右图所示，一条公路的转弯处是
⌒ ⌒ 一段圆弧(即图中CD，点O是CD的圆心)， ⌒ 其中CD=600m，E为CD上一点，且 OE⊥CD，垂足为F，EF=90 m．求这段弯 路的半径．
[分析]要求弯路的半径，连接OC，只要求出OC的长便可以了.
因为已知OE⊥CD，所以CF＝CD＝300 cm，OF＝OE-EF，
3．垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可 解决弦长、半径、弦心距等计算问题．
2013-9-23
2013-9-23
驶向胜利 的彼岸
做一做：按下面的步骤做一做 1．在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆 对折，使圆的两半部分重合． 2．得到一条折痕CD． 3．在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕 的垂线，得到新的 折痕，其中，点M是两条折痕的交点，即垂足． 4．将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如图.
3.2圆的轴对称性(1)
O
C
A
BC就是所要求的弦 点D,E就是所要求的弦 所对的两条弧的中点.
B
D
说能出你这节课的收获和体验让大家
与你分享吗？
总结回顾
师生共同总结：
１．本节课主要内容：（1）圆的轴对称性；（2）垂径定理． 2．垂径定理的应用：（1）作图；（2）计算和证明．
3．解题的主要方法：
（1）画弦心距和半径是圆中常见的辅助线； （2）半径（r)、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形 是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：
弦长AB 2 r 2 d 2 .
C
m
F
E G
n
A
B
D
例2：一条排水管的截面如图所示。已知排水管的半
径OB=10，水面宽AB=16。求截面圆心O到水面的距离。
想一想:排水管中水最深多少? 解:作OC⊥AB于C, 由垂径定理得: AC=BC=1/2AB=0.5×16=8 由勾股定理得:
OC OB BC 10 8 6
(A)6cm (B)8cm (C)10cm (D)12cm
O
8
10 6
P
• 3、已知：如图，⊙O 中， AB为 弦，OC ⊥AB OC交AB 于D ，AB = 6cm ，CD = 1cm. 求⊙O 的半径.
A
C 1 3D O
3
B
讲解
例2 已知：如图，在以 O为圆心的两个同心圆中， 大圆的弦AB交小圆于C， A D两点。
D
⌒ ⌒ ⌒ ⌒
∴ EA=EB， AC=BC， AD=BD．
B
分一条弧成相等的两条弧的点,叫做这条弧的中点.
⌒如图，用直尺和圆规求作这条弧 例1：已知AB 的中点。
C
A
BC就是所要求的弦 点D,E就是所要求的弦 所对的两条弧的中点.
B
D
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总结回顾
师生共同总结：
１．本节课主要内容：（1）圆的轴对称性；（2）垂径定理． 2．垂径定理的应用：（1）作图；（2）计算和证明．
3．解题的主要方法：
（1）画弦心距和半径是圆中常见的辅助线； （2）半径（r)、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形 是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：
弦长AB 2 r 2 d 2 .
C
m
F
E G
n
A
B
D
例2：一条排水管的截面如图所示。已知排水管的半
径OB=10，水面宽AB=16。求截面圆心O到水面的距离。
想一想:排水管中水最深多少? 解:作OC⊥AB于C, 由垂径定理得: AC=BC=1/2AB=0.5×16=8 由勾股定理得:
OC OB BC 10 8 6
(A)6cm (B)8cm (C)10cm (D)12cm
O
8
10 6
P
• 3、已知：如图，⊙O 中， AB为 弦，OC ⊥AB OC交AB 于D ，AB = 6cm ，CD = 1cm. 求⊙O 的半径.
A
C 1 3D O
3
B
讲解
例2 已知：如图，在以 O为圆心的两个同心圆中， 大圆的弦AB交小圆于C， A D两点。
D
⌒ ⌒ ⌒ ⌒
∴ EA=EB， AC=BC， AD=BD．
B
分一条弧成相等的两条弧的点,叫做这条弧的中点.
⌒如图，用直尺和圆规求作这条弧 例1：已知AB 的中点。
圆的对称性 PPT课件 17 北师大版
•
25、世上最累人的事，莫过於虚伪的过日子。
•
26、事不三思终有悔，人能百忍自无忧。
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27、智者，一切求自己；愚者，一切求他人。
•
28、有时候，生活不免走向低谷，才能迎接你的下一个高点。
•
29、乐观本身就是一种成功。乌云后面依然是灿烂的晴天。
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30、经验是由痛苦中粹取出来的。
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31、绳锯木断，水滴石穿。
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32、肯承认错误则错已改了一半。
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33、快乐不是因为拥有的多而是计较的少。
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34、好方法事半功倍，好习惯受益终身。
•
35、生命可以不轰轰烈烈，但应掷地有声。
•
36、每临大事，心必静心，静则神明，豁然冰释。
•
37、别人认识你是你的面容和躯体，人们定义你是你的头脑和心灵。
•
38、当一个人真正觉悟的一刻，他放弃追寻外在世界的财富，而开始追寻他内心世界的真正财富。
•
7、当你把高尔夫球打不进时，球洞只是陷阱；打进时，它就是成功。
•
8、真正的爱，应该超越生命的长度、心灵的宽度、灵魂的深度。
•
9、永远不要逃避问题，因为时间不会给弱者任何回报。
•
10、评价一个人对你的好坏，有钱的看他愿不愿对你花时间，没钱的愿不愿意为你花钱。
•
11、明天是世上增值最快的一块土地，因它充满了希望。
已知：在⊙O中，CD是直径， AABE是＝弦BE，，CA⌒DC⊥＝AB⌒BC，，垂A⌒足D＝为B⌒ED。。求证： A
证明：连结OA、OB，则OA＝OB。 因为垂直于弦AB的直径CD所在的直 线既是等腰三角形OAB的对称轴又 是⊙ O的对称轴。所以，当把圆沿着 直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆 重合B⌒D合，重A，合⌒CA。、点因A和⌒D此B分点别重和合B⌒，C、AE和BE重
2022-2023学年鲁教版(五四制)数学九年级下册 圆的对称性 课件PPT
感悟新知
1-1. 下列说法中，不正确的是( D ) A. 圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 B. 圆绕着它的圆心旋转任意角度，都能与它自身重合 C. 圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个 D. 圆的每一条直径都是它的对称轴
感悟新知
知识点 2 圆心角、弧、弦之间的关系
1. 圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，相等的 圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.
AB，求证：BC = AE.
解题秘方：构造圆心角，利 用“相等的圆心角所对的弧 相等”证明
感悟新知
证明：如图3-2-2，连接OE. ∵ OE=OC，∴∠ C= ∠ E. ∵ CE ∥ AB， ∴∠ C= ∠ BOC，∠ E= ∠ AOE.
︵︵ ∴∠ BOC= ∠ AOE. ∴BC = AE.
感悟新知
以不能说“圆的对称轴是直径”.
感悟新知
例 1 下列命题中，正确的是( A ) A. 圆和正方形都既是轴对称图形，又是中心对称 图形 B. 圆和正方形的对称轴都有无数条 C. 圆和正方形绕其对称中心旋转任意一个角度， 都能与原来的图形重合 D. 圆和正方形都有有限条对称轴
感悟新知
解题秘方：紧扣圆和正方形的轴对称性及中 心对称性进行辨析. 解：圆和正方形都既是轴对称图形，又是中心对称图形， 所以A 中命题正确；圆的对称轴有无数条，正方形的对 称轴有4 条，所以B，D 中命题错误；圆绕其对称中心 旋转任意一个角度都能与原来的图形重合，而正方形只 有绕它的对称中心旋转90°的整数倍才能与原图形重合， 所以C 中命题错误.
警示误区 不能忽略在同圆或等圆中这个前提，如果丢掉了这
个前提，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等.
感悟新知
2. 示例 弧、弦、圆心角的关系 ︵︵
2014新版浙教版九年级数学上3.2圆的轴对称性(1)ppt课件
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦， 并且平分弦所对的弧．
A
垂径定理的几何语言叙述: ∵CD为直径，CD⊥AB
C
⌒ ⌒ E B
O
D
∴ EA=EB， AC=BC， AD=BD．
CD为直径
⌒
⌒
CD平分弦AB 结论 CD平分弧A B CD平分弧ADB
条件
CD⊥AB
分一条弧成相等的两条弧的点,叫做这条弧的中点.
8
C
10 8
圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距.
例如,上图中,，两条弦的长短与它们所对应的
弦心距之间有什么关系？
答:在同一个圆中，
弦心距越长,所对应的弦就越短;
弦心距越短,所对应的弦就越长.
1、已知：如图，⊙O 中， AB为 弦，OC ⊥AB OC交AB 于D ，AB = 6cm ，CD = 1cm. 求⊙O 的半径.
O
C
A
所对的两条弧的中点.
B
D
例2：一条排水管的截面如图所示。已知排水管的半
径OB=10，水面宽AB=16。求截面圆心O到水面的距离。 解:作OC⊥AB于C, 由垂径定理得 : 1 AC=BC= 2 AB=0.5×16=8 由勾股定理得:
OC OB2 BC2 102 82 6
答:截面圆心O到水面的距离为6.
A
C 1 3D O
3
B
2.同心圆Ｏ中，大圆的弦ＡＢ与小圆交于Ｃ，Ｄ 两点，判断线段ＡＣ与ＢＤ的大小关系，并说明 理由．
解： ＡＣ与ＢＤ相等 过点Ｏ作ＯＥ⊥AB于点Ｅ， 则ＡＥ＝ＢＥ，ＣＥ＝ＤＥ， Ａ
O
C D Ｅ Ｂ
所以ＡＥ－ＣＥ＝ＢＥ－ＤＥ， 同心圆是指两个 即ＡＣ＝ＢＤ． 圆的圆心相同