2射影几何学

图像像素坐标系
xw u ffu ffu cot u0 y z c v 0 ffv / sin v0 R t w zw 1 0 0 1 1
摄像机矩阵元素的几何意义
P K [ R t ] : [ H p4 ] : [ p1 p2 p3
~ 光心： C RT t
p1T p4 ] : p 2T p 3T
PC 0
H 1 p 4 C 1
世界坐标系的坐标原点：其图像点为p4 世界坐标系的坐标轴方向的消失点：p1，p2，p3
秩为 1, 退化成重合的两条直线 .
切点、切线、配极对应
p在C上，则l Cp为切线 切点C C l
p不在C上，则l Cp为极线
配极对应的几何描述： 点p关于非退化二次曲线C的极线交C于两点， 且C在这两个交点的切线交于点p.
p
1
配极关系是射影不变的关系,
利用这
个关系我们可以对照相机进行标定.
点是通过该无穷远线的平面的圆环点。 绝对二次曲线是空间中所有平面的圆环点所 构成的集合，因而任意一个圆与绝对二次曲 线交于两个圆环点。 设绝对二次曲线在无穷远平面上的矩阵表示 为 ，则它的任一点 x 的切线为 l x ，反 之 l x 。配极对应也成立。


交比不依赖 于参数化的 选择。
调和共轭
p3 p1 1 p2 , p4 p1 2 p2
1 ( p1 , p2 ; p3 , p4 ) 2
若( p1 , p2 ; p3 , p4 ) 1 ，则称p1 , p2与p3 , p4成调和共轭。
射影变换
是两个由点组成的射影空间, ' T 是由 S n 到 S n 的映射. 如果 T 保持: (i) 点和直线的结合关系. 比如: 点在直线上; 直线通过点; 等等. (ii) 共线的四个点的交比. 则 T 被叫作 n 维射影变换.
1 1 1 c 0 1 1
该矩阵的右零向量 即是.
SVD
如果矩阵 (aij ) 的行列式非零, 则这个二次 曲线非退化. 否则二次曲线退化为两条 直线, 或一条直线. 例如: 圆, 椭圆, 双曲线和抛物线都是非退 化的二次曲线.
秩为2, 退化成两条直线 l , m, 则 C lm T ml T
几何是：研究某个空间里的图形在变换之后保持
不变的性质的学科。 Euclid（约公元前330-275）,《原本》，研究在欧 氏变换(旋转和平移)下保持不变的性质（欧氏性质） 的几何，是欧氏几何。比如长度、角度、平行性等
都是欧氏性质。
Pappus(约公元3世纪)，提出交比等概念，射
影几何萌芽
Desargues(1591-1661), 引入无穷远元素，透视定 理，交比、调和不变，极点、极线，创立射影几何。
(e)
(f)
(g)
(h)
全向摄像机
射影几何学简介
主要内容
一．
二． 三． 四． 五． 六． 七．
叉积(×) 交比、调和共轭 射影变换 二次曲线及其对偶 对极关系 圆环点 绝对二次曲线
为什么要学习射影几何？
照相机的成像过程是一个(退化的)射影
变换(透视或中心射影)的过程：
物体与其影像不同，但是又有着一些共同的几何性质。
线性摄像机成像模型
图像像素坐标系 图像物理坐标系 摄像机坐标系
0 f 0 xc 0 0 yc 0 0 z c 1 0 1
世界坐标系
xc y c R T zc 0 3 1 xw t y w 1 xw 1
1
绝对二次曲线的像与照相机的内参数紧 密相连. 假定照相机的内参数为:
f K 0 0 s rf 0 u0 v0 1
则绝对二次曲线的像是:
X K K 1 X 0
反之, 如果绝对二次曲线的像已知, 则 K 可以被完全确定.
如果圆环点的像已知，也可以对照相机
or
x
x12 2 x1 x12 2 x1 x2 1
2 i
xi yi
y
2 i
xi
yi
1 c 0
c a b c d e
f
T
x1 y1 x1 y1 x1 y1 x1 y1 x1 y1
y12 y12 y12 y12 y12
x1 x1 x1 x1 x1
y1 y1 y1 y1 y1
二次曲线(Conic)
ax bxy cy dx ey f 0
2 2
齐次化，令 x x1 / x3 , y x2 / x3
2 2 ax12 bx1 x2 cx2 dx1 x3 ex2 x3 fx3 0
记射影平面上点的齐次坐标为 ( x1 , x2 , x3 ) , 则 满足一个二次方程, 即:
i , j 1
a
3
ij
xi x j 0
(aij a ji )
的所有点的集合构成一条由 aij 决定的 二次曲线C, 其中至少有一个 aij 非零.
在二次曲线的定义中的方程又可以写为:
a11 a12 a13 x1 x1 x2 x3 a21 a22 a23 x2 0 a a a x 31 32 33 3
l I J
3点+2圆环点=5点确定一个圆
绝对二次曲线(The Absolute Conic)
任意一个球与无穷远平面的交点： 欧氏空间中, 无穷远平面上的二次曲线:
x x x 0,
2 1 2 2 2 3
x4 0
称为绝对二次曲线. 它都由虚点构成。
AC性质
无穷远直线交绝对二次曲线于两点，这两个
摄像机矩阵元素的几何意义
P K [ R t ] : [ H p4 ] : [ p1 p2 p3 p1T 2T p4 ] : p p 3T
主平面：p3T
轴平面:p1T,p2T
主轴:det(H)h3
主点:Hh3
鱼眼镜头
(a)
(b)
(c)
(d)
二次曲线的对偶： 射影平面上点与直线是对偶的，将二次曲 线的点元素换为线元素，则这些线的包络 为一个二次曲线。
Point conic
Line conic
非退化的二次曲线的对偶： 二次曲线
X CX 0

（ X 为点坐标） （L 为线坐标）
的对偶为：
L C * L 0
C C
*
1
性质： 1.rank([v ] ) 2 2.[v ] v 0, v [v ] 0
T
3. y [v ] y 0
T
两点、两线的叉积
l p1 p2 p l 1l 2
共线点的交比（Cross-ratio）
直线坐标系：
p1 , p2 p up1 vp2 ˆ ( u, v )T p ˆ 1 (1,0)T , p ˆ 2 (0,1)T p
P0
照相机的成像过程是一个从3维空间到2
维空间的退化的射影变换。
成像平面
X M
m
摄 像 O 机 坐 标 Y 系
Z
射影平面中的对偶
“点”与“直线”叫作射影平面上的对偶
元素。
“过一点作一直线”与“在一直线上取一
点”
在射影平面里设有点、直线及其相互结
合和顺序关系所组成的一个命题，将此 命题中的各元素改为它的对偶元素，其 结果形成另一个命题，这两个命题叫作 平面对偶命题。
Sn , S
记
' n
点用齐次坐标表示,
则射影变换可用一个 (n+1)×(n+1) 的矩阵表示:
' x1 x1 t11 , , t1( n 1) ' x xn t ( n 1)1 ,, t ( n 1)( n 1) n ' x 0 x0 P' T P
P R p
1 1
P R l
2 2
P R
3 3
无穷远点的像
叉积（×）
v ( x , y , t )T y 0 t [v ] t 0 x 0 y x x1 x 2 [ x1 ] x 2 x 2 x1
圆环点(the circular points)
平面上任何圆与无穷远直线的交点：
x 2 y 2 2dxt eyt ft 2 0 t 0
x2 y2 0 t 0
1 1 I i , J i 0 0
K
世界坐标系
这是忽略畸变的线性成像模型
P K[ R t ]
f K 0 0 s rf 0 u0 v0 1
焦距 主点
focus
length
principal point
尺度因子 scale factor
倾斜因子 skew factor
估计内参数Ｋ(5DOF)：Camera Calibration 估计外参数R, t(6DOF): Pose Estimation; Pose Determination
u f u v 0 1 0
f u cot f v / sin 0
u0 x y v0 1 1
x f 1 y 0 z c 1 0
最终得到：
射影空间
பைடு நூலகம்
对 n 维欧氏空间加入无穷远元素, 并对有限 元素和无穷远元素不加区分, 则它们共同构成 了 n 维射影空间.
平面无穷远点 p ( x, y,0)T , x, y至少有一个非零 平面无穷远直线 l (0,0,1)T
空间无穷远点 P ( x, y, z,0)T , x, y, z至少有一个非零 空间无穷远平面 (0,0,0,1)T
矩阵 (aij ) 是对称的, 它的秩在一个非退化 的射影变换下保持不变. 5DOF:{a11:a12:a13:a22:a23:a33}
5点确定一条直线
二次曲 线过点( x i , yi ,1)T , i 1,...5，则 ax i2 bx i yi cy i2 dx i ey i f 0
对偶原则：在射影平面里，如果一个命
题成立，则它的对偶命题也成立。
例如：
命题：通过不同两点必有一直线。
对偶命题：两不同直线必有一交点。
共线的四个点有交比,
根据对偶, 共点的
四线也有交比.
P1
P2
P3
P4 L4
L1
L2
L3
(P1, P2; P3, P4)=(L1, L2; L3, L4)
ˆ1, p ˆ 3 ) de t(p ˆ1, p ˆ4) de t(p ( p1 , p2 ; p3 , p4 ) : ˆ2, p ˆ 3 ) de t(p ˆ2, p ˆ4) de t(p ˆ1, p ˆ 3 ) de t(p ˆ2, p ˆ4) de t(p ˆ1, p ˆ 4 ) de t(p ˆ2, p ˆ3) de t(p
的内参数构成约束，通过解方程组来得 到内参数的值。 假定 m 是圆环点的像，则：

1
m K K m0
三维射影几何
点、空间直线、平面
二次曲面 扭三次曲线：与三维重建中的退化情况紧密

T 的行列式非零, 则它是一个非退化的
射影变换, 否则是个退化的射影变换.
' P P 例如: L， L' 是两条射影直线, 让 i 与 i 对应, 其中 Pi 与 Pi ' 的连线都交于一点, 则
这个映射是一个 1 维射影变换. (透视或 中心射影)
L’ O P3 ’ A P1 ’ P2 ’ P1 P2 P3 L B