随机过程复习题2016

1. 设随机过程()cos(),X t A t t R ωθ=+∈，其中振幅A 及角频率ω均为常数，相位θ是在[,]ππ-上服从均匀分布的随机变量，求X (t )的一维分布、均值函数、方差函数和自相关函数。

2. 若随机过程X (t )为X (t )=a+Ut, t -∞<<+∞，式中a 为常数，U 为（0,1）上均匀分布的随机变量，求均值函数、方差函数和自相关函数。

3. 给定一随机过程X (t )和常数a ，试以X (t )的相关函数表示随机过程

()()()Y t X t a X t =+-的自相关函数。

4. 已知随机过程X (t )的均值M X (t )和协方差函数12(,),()X C i t t ϕ是普通函数，试求随机过程()()()Y t X t t ϕ=+是普通函数，试求随机过程()()()Y t X t t ϕ=+的均值和协方差函数。

5．假设有一Possion 过程}0,)({≥t t N ，其强度参数为2，试求 (1) })1)1(({≥N P 。 (2) })3)2(,1)1(({==N N P (3) })1)1(|3)2(({≥≥N N P

6. 设有一泊松过程}0,)({≥t t N ，固定两时刻t s ,，且t s <，试计算如下条件概率n k n t N k s N P ,,2,1,0,))()(( ===

7. 设()cos sin X t A at B at =+，其中A ，B 是相互独立且服从同一高斯（正态）分布2(0,)N σ的随机变量，a 为常数，试求X(t)的均值与相关函数。

8. 设随机过程X(t)有四个状态的马氏链，它的一步转移概率矩阵为

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=02

10

2

121021002102

1210210P

试画出其状态传递图和状态的分类。

9．Markov 链的状态空间}3,2,1{=S ，转移概率矩阵为：

⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=4/301/44/12/11/402/12/1P

（1） 求两步转移概率矩阵)

2(P

（2） 假设初始分布为3/1}3{,3/1}2{,3/1}1{000======X P X P X P , 计算}2{2=X P 。

（3）求此Markov 的平稳分布。

10. 设有一马尔可夫链，其转移状态有两种：一步转移概率矩阵为

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=5.05

.04.06.0)1(P 说明该链具有遍历性，并求出极限分布。

11．设齐次马氏链的状态空间为}3,2,1{，一步转移矩阵为：

⎪⎪

⎪⎭⎫

⎝⎛=1004/14/304/14/12/1P

求：

)3,2,1(=i f i i ,并判断各状态的常返性。

12. 设有四个状态A,B,C,D 的马氏链，它的一步转移概率矩阵为

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎡=535

20

0004341313200002121)

1(P

试画出它的状态传递图，研究各状态的分类。。

13． 设马氏链的状态空间为},3,2,1{ =S ，转移概率为：2/111=p ，

2/11=+i i p ，S i p i ∈=,2/11，研究各状态的分类。

14. 假设有两状态的齐次马氏链，其中一步转移概率矩阵为：

⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=1/41/21/41/31/31/31/41/41/2P

试说明相应齐次马氏链是遍历的，并求其极限分布和稳定分布。 15. 设}0);({≥t t B 是标准布朗运动，当0x >时，令

})(,0inf{x t B t T x =>=，试求x T 的密度函数。

16. 设}0);({≥t t B 是标准布朗运动，当0x >时，令

)(max ]

,0[s B t s ∈，试求它的密度函数。

17. 证明题：如果股票价格S 服从伊藤过程，应用布朗运动二次变差存在的

结论，推导说明以股票为标的资产的衍生工具价格G(S,t)也服从伊藤过程。

18. 简答题 叙述几种重要随机过程的定义

另外：随机过程分类，平稳过程、独立增量过程、平稳独立增量过程，鞅序列的证明， possion 过程事件发生间隔的分布、发生时刻的分布、在给定发生次数条件下，发生时刻的联合分布。