第三章一阶系统的时间响应

(t 0)
显然，xou (t)瞬态项为 et /T，稳态项为1 t 0时，xou (t) 0.
xou
(t)
1 T
et /T
xou (t) t0
1 et /T T
t 0
1 T
一阶系统的单位函数响 应函数是一个递增的指 数函数。
一阶系统的时间常数不同，其单位阶跃响应曲线上 升的速度不同，时间常数越大，上升越慢（惯性越 大），反之，依然。
w(t) n2t exp(nt) (t 0) 4)当 1,系统为过阻尼系统时，
w(t) 2
n {exp[( 2 1
2 1)nt]
exp[( 2 1)nt]} (t 0)
当取不同值时，二阶欠阻尼系统的单位脉冲响应曲线
是减幅的正弦振荡曲线, 且愈小，衰减愈慢，振荡频率
愈大，故二阶欠阻尼系统又称为二阶振荡系统，其幅
第3节 一阶系统的时间响应
一、一阶系统 可用一阶微分方程表示的系统，称为一阶系统。其微分方程的 一般形式为
Txo (t) xo (t) xi (t) G(s) Xo(s) 1
Xi(s) Ts 1
其中，T称为一阶系统的时间常数，是一阶系统的特征参数。
二、一阶系统的单位脉冲响应 w(t)
当系统的输入信号是理想的脉冲函数时，系统的输出称为系统 的单位脉冲响应函数（或单位脉冲响应）。
超调量 %
• （Maximum Overshoot）： 指响应的最大偏 离量h(tp)于终值 之差的百分比， 即
tr 或 t p 评价系统的响应速度；
% h(t p ) h() 100 %
ts 同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。
h()
% 评价系统的阻尼程度。
延迟时间 t d ：
• （Delay Time） 响应曲线第一次 达到稳态值的一 半所需的时间。
上升时间 tr :
• （Rise Time）响 应曲线从稳态值 的10%上升到 90%，所需的时 间。上升时间越 短，响应速度越
快
峰值时间 t p（Peak Time）：响应曲线达到
过调量的第一个峰值所需要的时间。
微
微
分
一阶系统对典型输入信号的响应
分
输入信号 输入信号
时域
频域
输出响应
传递函数
(t)
1(t) t
1 t2 2
1
1
t
eT
(t 0)
T
1
t
S
1e T t 0
1
t
S2
t T Te T t 0
1
1
1
t2
Tt
T
2 (1
t
eT
)
t0
TS 1
S3
2
等价关系：系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输 入信号响应的导数；
因为系统的输入xi (t) u(t)
Xi (s) 1/ s
X
ou
(s)
G(s).X
i
(s)
G(s).
1 s
xou
(t )
L1[ X
o
(s)]
L1[G ( s). 1 ] s
L1[ 1 . 1] Ts 1 s
L1[1 1 ] s s 1 T
所以，
xou (t) 1 et /T
(t 0)
xou (t) 1 et /T
三、动态性能指标
调节时间 ts ：
（Settling Time）
h(t)
Mp超 调 量
1 h() 0.9 h()
t.02或 0.05
0.1 h()
td
0 tr
t
tp
ts
图 3-2表 示 性 能 指 标 td,tr,tp,Mp和 ts的 单 位 阶 跃 响 应 曲 线
响应曲线达到并永远 保持在一个允许 误差范围内，所 需的最短时间。 用稳态值的百分 数（通常取5%或 2%）作，
系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应 的积分；积分常数由零初始条件确定。
第4节 二阶系统的时间响应
一、二阶系统
可用二阶微分方程表示的系统，称为二阶系统。其微分方程的
一般形式为
xo(t
)
2
n
xo
(t
)
2
n
xo
(t
)
2 n
xi
(t
)
G(s)
X o (s) X i (s)
s2
2 n
2n
s
2 n
式中，n称为二阶系统的无阻尼固有频率；
称为系统的阻尼比。
n,是二阶系统的特征参数，表明了
二阶系统与外界无关的特性。
系统的特征方程为
s2
2 n s
2 n
0
两个特征根是
s1,2 n n 2 1 随着阻尼比取值的不同，二阶系统的特征根不同
（即系统极点分布情况不同）。
对于二阶系统,根据其阻尼比的大小可以分为 无阻尼系统:当阻尼比为零时.(存在振荡) 欠阻尼系统:当阻尼比大于零而小于1时.(存在振荡) 临界阻尼系统:阻尼比等于1时; 过阻尼系统:阻尼比大于1时; 负阻尼的情况可有出现:如自激振荡等.
因为系统的输入xi (t) (t)
Xi (s) 1 W (s) X o (s) G(s).X i (s) G(s) w(t) L1[W (s)] L1[G(s)] L1[ 1 ]
Ts 1 所以，
w(t) 1 et /T T
(t 0)
显然，w(t )只有瞬态项，稳态项为0
t 0时，w(t) 1 . T
二、二阶系统的单位脉冲响应 w(t)
当系统的输入信号是理想的脉冲函数时，系统的输出称为系统 的单位脉冲响应函数（或单位脉冲响应）。
1)当0 1,系统为欠阻尼系统时，
w(t)
n 1 2
exp(nt) sin(dt)
(t 0)
2)当 0,系统为无阻尼系统时，
w(t) n sin(nt) (t 0) 3)当 1,系统为临界阻尼系统时，
d
值衰减的快慢取决于 n .
1/n称为时间衰减常数，记为 .
三、二阶系统的单位阶跃响应 当系统的输入信号是理想的阶跃函数时，系统的输出称为系统 的单位阶跃响应函数（或单位阶跃响应）。
1)当0 1,系统为欠阻尼系统时，
xou (t) 1
1
1 2
exp(nt) sin(dt
tg 1
1 2
)
2)当 0,系统为无阻尼系统时，
换言之,单位脉冲响应函数同样反映了系统的动态特性, 因此,常常将系统的单位脉冲响应函数也称为系统的数 学模型.不过,相对于传递函数或微分方程,它不能直接 反映系统的结构(如阶次等)和参数,故称为系统的非参 数化数学模型.而将微分方程和传递函数等反映系统的 结构和参数这样一类数学模型称为参数化的数学模型.
xou (t) 1 cos(nt) (t 0) 3)当 1,系统为临界阻尼系统时，
xou (t) 1 (1 nt).exp(nt) (t 0) 4)当 1,系统为过阻尼系统时，
xou (t) 1 2
n
exp[(
{
2 1)nt ]
2 1 ( 2 1)n
exp[(
2 1)nt}
过渡过程时间（调整时间）： •一阶系统的单位脉冲响应曲线从初值衰减到初值的2%或初值的 5%所经历的时间。 •当⊿取2%时，一阶系统过渡过程时间约为4T。
一阶系统的时间常 数不同，其调整时 间不同，时间常数 越大，过渡过程越 长（惯性越大）， 反之，依然。
⊿一般为2%或5%
三、一阶系统的单位阶跃响应 当系统的输入信号是理想的阶跃函数时，系统的输出称为系统 的单位阶跃响应函数（或单位阶跃响应）。
⊿一般为2%或5%，称为容许误差
四、系统传递函数与单位脉冲响应函数之间的关系
当系统的输入为xi (t) (t)
Xi(s) 1 W (s) Xo(s) G(s) • Xi(s) G(s) w(t) L1[W (s)] L1[G(s)] 单位脉冲响应函数是系统传递函数的Laplace逆变换； 系统传递函数是单位脉冲响应函数的Laplace变换。 因此，系统的单位脉冲响应函数与系统传递函数 构成一个Laplace变换对。
w(t) t0
1 T2
et /T
t 0
1 T2
一阶系统的单位脉冲响应 函数是一个递减的指数函 数。
一阶系统的时间常数不 同，其单位脉冲响应曲 线衰减的速度不同，时 间常数越大，衰减越慢 （惯性越大），反之， 依然。
一阶系统过渡过程： •一阶系统的单位脉冲响应曲线从初值衰减到初值的2%或初值的 5%所经历的过程。
(t 0)
( 2 1)n
当取不同值时，二阶欠阻尼系统的单位脉冲响应曲线 是减幅的正弦振荡曲线, 且愈小，衰减愈慢，振荡频率 d愈大.
三、动态性能指标
h(t)
Mp超 调 量
1 h() 0.9 h()
td
0.5 h()
允许误差 0.02或 0.05
0.1 h()
td
0 tr
t
tp
ts
图 3-2表 示 性 能 指 标 td,tr,tp,Mp和 ts的 单 位 阶 跃 响 应 曲 线
一阶系统过渡过程： •一阶系统的单位阶跃响应曲线从初值上升到稳态值的98%或 稳态值的95%所经历的过程。
过渡过程时间（调整时间）： •一阶系统的单位响应曲线从初值上升到稳态值的98%或稳态 值的95%所经历的时间。 •当⊿取2%时，一阶系统过渡过程时间约为4T。
一阶系统的时间常 数不同，其调整时 间不同，时间常数 越大，过渡过程越 长（惯性越大）， 反之，依然。
应用这个结论,在实验建模时,我们只要测到系统的单位脉冲 响函数,然后,对其进行Laplace变换就可以求得系统的传递 函数.这对于所有的线性定常系统都适用.
应用这个结论,在实验建模时,我们只要测到系统的单位脉冲 响函数,然后,对其进行Laplace变换就可以求得系统的传递 函数.这对于所有的线性定常系统都适用.