西安电子科技大学研究生课程随机过程13
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概率论复习(一)随机过程西电宋月
1 e 2 1
x ， y
( x 1 ) 2 2 1 2
所以X=x条件下Y的条件概率密度为
pY | X ( y | x )
p( x , y ) pX ( x )
2 2 (y x 2 1 ) 1 1 ] e xp[ 2 2 2 2 2 2 1 2 1
lim
0
F ( x, y ) F ( x, y )/ 2 FY ( y ) FY ( y )/ 2
F ( x , y ) y d FY ( y ) dy
亦即 FX |Y
( x | y)
x
p( u, y )du pY ( y )
随机过程 Stochastic processes
西安电子科技大学
宋月
E-mail songyue25@
引言 本课程的研究对象
概率论主要是以一个或有限个随机变量为研究 对象的. 随着科学技术的不断发展,人们发现几乎一切可 观察现象都具有随机性. 必须对一些随机现象的变化过程进行研究.即需 要研究无穷多个随机变量
对于任意的x(0<x<1),在X=x的条件下,Y的条件概率 密度 1
pY | X ( y | x ) 1 x 0 0 x y1 其它
于是得关于Y的边缘概率密度为
y 1 dx ln(1 y ) pY ( y ) f ( x, y )dx 0 1 x 0 其它
FX |Y ( x | y j ) P{ X x | Y y j }
xi x
p
p ij
j
xi x
p
x ， y
( x 1 ) 2 2 1 2
所以X=x条件下Y的条件概率密度为
pY | X ( y | x )
p( x , y ) pX ( x )
2 2 (y x 2 1 ) 1 1 ] e xp[ 2 2 2 2 2 2 1 2 1
lim
0
F ( x, y ) F ( x, y )/ 2 FY ( y ) FY ( y )/ 2
F ( x , y ) y d FY ( y ) dy
亦即 FX |Y
( x | y)
x
p( u, y )du pY ( y )
随机过程 Stochastic processes
西安电子科技大学
宋月
E-mail songyue25@
引言 本课程的研究对象
概率论主要是以一个或有限个随机变量为研究 对象的. 随着科学技术的不断发展,人们发现几乎一切可 观察现象都具有随机性. 必须对一些随机现象的变化过程进行研究.即需 要研究无穷多个随机变量
对于任意的x(0<x<1),在X=x的条件下,Y的条件概率 密度 1
pY | X ( y | x ) 1 x 0 0 x y1 其它
于是得关于Y的边缘概率密度为
y 1 dx ln(1 y ) pY ( y ) f ( x, y )dx 0 1 x 0 其它
FX |Y ( x | y j ) P{ X x | Y y j }
xi x
p
p ij
j
xi x
p
随机过程-平稳过程
FX () S（） , d X
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
对平稳时间序列有相类似的结果.
设X={Xn, n=0, ±1, ±2,…}是平稳时间序列,则其 相关函数可以表示为 1 jm R（m） X e dFX (), m 0, 1, () 2
1 t T s( )s( )d T t
只与 有关系.
所以X是平稳过程.
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
例2 对复随机过程 Z t=Xt +jYt 若mZ(t)是复常数， RZ(t,t+τ )=RZ(τ ),则称 Z={Zt, -∞<t<+ ∞}为复平稳过程. 设Ak和ω k分别是实随机变量和实常数(k=1,2…,n),
随机过程西安电子科技大学数学系冯海林平稳过程的谱分解平稳过程的谱分解随机过程西安电子科技大学数学系冯海林平稳过程的谱分解定理551是均方连续的平稳过程则其相关函数可以表示为上非负有界单调不减右连续且f随机过程西安电子科技大学数学系冯海林所以f是某个随机变量w的特征函数即存在分布函数g随机过程西安电子科技大学数学系冯海林随机过程西安电子科技大学数学系冯海林称函数f为平稳过程x相关函数的谱展开式或谱分解式
k 1
E[Ak ]=0时，上式与t无关.
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
R（t , t ) E[Zt Z t ] Z E[ Ak e jk t Ak e jk ( t ) ]
k 1 k 1 n n
= E[ Ak Al ]e j (l k )t e jl
令
Zt Ak e
k 1
n
jk t
精品文档-随机过程——计算与应用(研究生)(冯海林)-平稳过程4
e
j ( )d 1
e
1
jd ( )
2
e
1
jd 2 ()
e
1
j 2 ()d 1
2
随机过程引论—西安电子科技大学数学与统计学院 冯海林
例5.4.6. 已知平稳过程的相关函数
RX ( ) 5 4e3 (cos2 2 )
求其谱密度.
解 RX ( ) 5 2e3 2e3 cos 4 )
SX
()
lim
T
1 2T
E
T T
e
jt
X t dt
2
则称SX ()为平稳过程X的功率谱密度.简称谱密度.
又称
1
lim E[ T 2T
T T
Xt
2 dt]
为平稳过程X的平均功率.
随机过程引论—西安电子科技大学数学与统计学院 冯海林
定理5.4.1 设平稳过程X={Xt -∞<t<+ ∞}的相关函数RX(τ)
S
X
()d
1
2
4
2 3
2
d
2
1
2
(
2 2 2
211)d
1 2
(
2 1).
随机过程引论—西安电子科技大学数学与统计学院 冯海林
例5.4.4. 已知平稳过程的功率谱密度为
S
X
(
)
2 2 4 5 2
1
计算 相关函数.
解
RX ( )
1
2
e
j
S
X
(
)d
1
2
e j
( 2
2 2 4)( 2
)d
S（X -） S（X -） S（X ）
随机过程1(1)
4.根据参数集与状态空间离散与否,随机过程可分为
●离散参数,离散状态的随机过程 (例3)
● 离散参数,连续状态的随机过程 (例4)
● 连续参数,离散状态的随机过程 (例1)
● 连续参数,连续状态的随机过程 (例2)
参数集为离散的随机过程也称为随机序列， 或时间序列．
二
随机过程的有限维分布函数族
设X={X(t),t∈T}是S.P.
2 0 2 0
0 h( x ) 1 其它
0 2x 1 其它
2
x0
2 其它
(3)
t
2
时，X (t ) V cos
2
0,
此时X （
2
）是单点分布, 则
F
ห้องสมุดไป่ตู้X(
2
( x ) P{ X (
)
2
) x}
1 x 0 0 x 0
特别注意： 一族随机变量Ｘ(t) 的两个特点：随机性与函数性
随机过程定义
设(Ω,F,P)为一概率空间,T为一参数集,T R,
若对每一 t ∈T,均有定义在(Ω,F,P)上的一个 随机变量X(ω,t),(ω∈Ω)与之对应, 则称X(ω,t)为(Ω,F,P)上的一个随机过程(S.P.) 记X={X(ω,t), ω∈Ω,t∈T},
注意： 设{X(ω,t), ω∈Ω, t∈T}为一S.P.
1. X(ω ,t),实质上为定义在T×Ω上的二元单值函数. 2.对每一个固定的t, X(t)为一随机变量. 随机变量X(t) (t∈T)所有可能取值的集合,称为随机过 程X(ω,t),的状态空间.记为S. S中的元素称为状态. 3.对每一个ω0∈Ω,X(ω0,t)是定义在T上的普通函数. 记为 x(ω0,t), 称为为随机过程的一个样本函数.也称轨 道或实现. 样本函数的图形称为样本曲线．
研究生学位课程教学大纲-随机过程
硕士研究生学位课程教学大纲随机过程（课程名称）Stochastic Process（Course Title）课程编号：IE11001 课程性质：学位课程学分数： 3 课程总学时：48学时开课学院：信息电子学院授课教师：姚青预备知识：高等数学、概率论、线性代数一、课程学习目的及要求：随机过程是现代概率论的一个重要课题，它主要研究和探讨客观世界中随机演变过程的规律性，并应用于控制﹑通信﹑生物﹑物理﹑雷达通讯﹑地质﹑天文气象﹑社会科学等工程科学技术中。
通过本课程的学习，要求学生掌握随机过程的基本概念、随机过程的统计特征描述、随机信号通过系统分析以及电子系统中常见的窄带、正态随机信号通过系统的分析以及电子系统中常见的窄带、正态随机信号、马尔可夫过程、平稳过程、信号检测与估计等的基本理论方法，为学生在信号与信息处理领域打下扎实的理论基础，为学习后续课程以及将来的发展奠定坚实的基础。
二、主要章节与学时安排：第一章随机变量基础（6学时）教学内容与要求：掌握随机变量的基本概念，随机变量的分布函数与概率密度、数字特征、特征函数和统计特性等。
重点：随机变量的统计特性。
1.1 概率论的基本术语1.2 随机变量的定义1.3 随机变量的分布函数与概率密度1.4 多维随机变量及分布1.5 随机变量的数字特征1.6 随机变量的函数1.7 随机变量的特征函数1.8 多维正态随机变量1.9 复随机变量及其统计特性1.10 MATLAB的统计函数第二章随机过程的基本概念（9学时）教学内容与要求：要求理解和掌握随机过程的概念及定义；掌握和应用随机过程的统计描述；理解和掌握平稳随机过程、各态历经过程的概念和统计特性；掌握和应用随机过程的联合分布和互相关函数；掌握和应用随机过程的功率谱密度；理解和掌握脉冲型随机过程的统计特性分析等。
重点：随机过程的概念和统计特性、随机过程功率谱密度等等。
2.1 随机过程的基本概念及定义2.2 随机过程的统计描述2.3 平稳随机过程2.4 随机过程的联合分布和互相关函数2.5 随机过程的功率谱密度2.6 典型的随机过程2.7 基于MATLAB的随机过程分析方法2.8 信号处理实例第三章随机过程的线性变换（9学时）教学内容与要求：掌握和应用线性系统变换的基本概念和基本定理；理解和掌握随机信号的导数与积分；掌握和应用随机过程线性变换的微分方程法、随机过程线性变换的冲激响应法和频谱法；掌握和应用随机信号通过线性的分析方法；理解和掌握白噪声与等效通能带的概念和特性等。
西安电子科技大学讲义 随机过程的变换和滤波
第五章随机过程的变换和滤波概率论的主要应用之一，是从可利用的资源汇总，对随机变量做出估计。
一般将，这种问题的最优解是很难分析的。
然后，若只允许对数据进行线性运算，以及“最优性”是在均方意义下理解的话，那么问题就大大简化，这就是线性均方估计问题。
这个问题最早由维纳考虑并解决，与此同时，柯尔莫哥洛夫也独立的完成了此项工作。
他的解法完全基于正交性原理。
可简单的将此原理推广到随机过程；因而，各种看起来似乎没有关系的估值问题，都可以作为这个原理的明显应用来处理，而不需要用到变分法或任何其它高级的工具，也不需要一次又一次的重复地解同样的问题。
在下面的讨论中，我们将讨论随机信号的最优处理问题。
分别针对时间连续和时间离散的信号，将介绍在最小均方意义下具有最优逼近特性的变换。
随后我们讨论离散变化，最有线性变化和最优线性滤波的关系。
5.1 时间离散Karhunen-Loeve 变换在所有的线性变换中， Karhunen-Loeve 变换（KL变换）是一个在最小均方意义下最佳逼近随机过程的变换。
同时，KL变换是一个具有不相关系数的信号展开。
这种特性在很多数字信号处理方面如编码和模式识别有重要的应用。
这种变换适用于连续时间和离散时间信号处理。
本节将详细讨论离散情况。
不失一般性， 考虑零均值实随机过程12,.n n x x x x R x ⎛⎫ ⎪ ⎪=∈ ⎪ ⎪⎝⎭（5.1） 设 12{,,,}n U u u u =是 n 维实向量空间 n R 的一组正交基， 随机过程 x可被表示为：x U α=（5.2）这里 U 可看成由正交基构成的正交矩阵， 12(,,,)T n a ααα=。
可以看出：.TU x α=(5.3)假定：(),,1,2,,.i j j ij E i j n ααλδ== (5.4) 这里 ,1,2,,j i n λ= 是未知的实数， 且 0.j λ≥ 由（5.3）和 （5.4）可知(),,1,2,,.T T i j j ij E u xx u i j n λδ==（5.5）令：{}Tx x R E xx =(5.6)那么， （5.5）可被写成：,,1,2,,.T i j j ij x x u R u i j n λδ==（5.7）通过观察，我们可发现下列方程的解,1,2,,j u j n =也满足方程（5,7）.,1,2,,.j j j xxR u u j n λ==由于 x xR 是一个协方差矩阵，他的特征值问题具有下列特征值： 1． 特征值是实数。
精品文档-随机过程——计算与应用(研究生)(冯海林)-维纳过程 1
School of Mathematics and Statistics Xidian University
随机过程引论
Introduction to Stochastic Process
RW (s,t ) E[WsWt ] E[(Ws W0 )(Wt Ws Ws )]
独立性
E[(Ws W0 )(Wt Ws )] E[Ws ]2
又由于
(W t 1 ,W t2 ,
,W t n ) (W t 1 ,W t2 W t1 ,
1 1 1
0
1
1
, W t n W ) t n 1
0
0
1
0
0
1
所以 ( W t 1 , W t 2 , , W t n ) 是n维正态变量.
所以W是正态过程.
西安电子科技大学 —数学与统计学院 冯海林
E [ e ] j ( ( u 1 u 2 u n ) Y1 ( u 2 u 3 u n ) Y 2 u n Y n )
E [ e ] E [ e j ( u 1 u 2 u n ) Y1 ] j ( u 2 u 3 u n ) Y 2 E [ e ] j u n Y n
随机过程引论
Introduction to Stochastic Process
所 以 F (t 1,t 2 ; x 1, x 2 ) = P ( ≤ x 1, ≤ x 2 )
x1
P(
≤
x
2
-y
,
dy
)
x1
P(
≤
x
2
-y
)P（
dy
)
x1
x 2 y
t 2
t 1
(
随机过程引论
Introduction to Stochastic Process
RW (s,t ) E[WsWt ] E[(Ws W0 )(Wt Ws Ws )]
独立性
E[(Ws W0 )(Wt Ws )] E[Ws ]2
又由于
(W t 1 ,W t2 ,
,W t n ) (W t 1 ,W t2 W t1 ,
1 1 1
0
1
1
, W t n W ) t n 1
0
0
1
0
0
1
所以 ( W t 1 , W t 2 , , W t n ) 是n维正态变量.
所以W是正态过程.
西安电子科技大学 —数学与统计学院 冯海林
E [ e ] j ( ( u 1 u 2 u n ) Y1 ( u 2 u 3 u n ) Y 2 u n Y n )
E [ e ] E [ e j ( u 1 u 2 u n ) Y1 ] j ( u 2 u 3 u n ) Y 2 E [ e ] j u n Y n
随机过程引论
Introduction to Stochastic Process
所 以 F (t 1,t 2 ; x 1, x 2 ) = P ( ≤ x 1, ≤ x 2 )
x1
P(
≤
x
2
-y
,
dy
)
x1
P(
≤
x
2
-y
)P（
dy
)
x1
x 2 y
t 2
t 1
(
精品文档-随机过程——计算与应用(研究生)(冯海林)-泊松过程1
m!
n!
=P(Ns m)P(Nts Ns =n)
随机过程引论—西安电子科技大学数学与统计学院 冯海林
定理4.2.1 泊松过程的到达时间间隔 相互独立同服从参数为λ指数分布．
n, n 1, 2,
证明： t 0时，F（ 1 t） P{1 t}=P{T1 t}
1 P{T1 t} 1 P{Nt 0} 1 et
随机过程引论—西安电子科技大学数学与统计学院 冯海林
对0 t1 t2，以及充分小的i , (i 1, 2),有 P{t1 1 T1 t1 1, t2 2 T2 t2 2}
P{Nt11 0, Nt11 Nt11 1, Nt2 2 Nt11 0, Nt2 2 Nt2 2 1}
f 2
(t2
)，即
1、
独立.
2
类似可以证 1, 2 n , 独立且同服从参数为的指数分布.
随机过程引论—西安电子科技大学数学与统计学院 冯海林
例1. 两个独立的泊松过程之和仍然是泊松过程.
随机过程引论—西安电子科技大学数学与统计学院 冯海林
例4.1.1 上随机过程的教室A有两入口B和 C.
对时刻t 0,设从B口进入教室的学生人数为NtB , 从C口进入教室的学生人数为NtC ,并假设随机过程
每一种知识都需要努力， 都需要付出，感谢支持！
随机过程引论—西安电子科技大学数学与统计学院 冯海林
知识就是力量，感谢支持！
随机过程引论—西安电子科技大学数学与统计学院 冯海林
一一一一谢谢大家！！
随机过程引论—西安电子科技大学数学与统计学院 冯海林
n
n1
0 P(s - u m1 mi s t u mi Tm u)dP(Tm u)
i 1
第二章随机过程(函数)
47
西安电子科技大学 理学院
不相关:2阶联合中心矩
E[(X-E(X) )(Y-E(Y) )] = 0
正交:2阶联合原点矩
E(XY) = 0
独立：f(X,Y,x,y)=f(X,x)f(Y,y)
48
西安电子科技大学 理学院
同样对于离散随机过程有：
49
西安电子科技大学 理学院
西安电子科技大学 理学院
章
序
题目
绪论
学 时 4
主要内容
课程介绍、方法分享、相互熟悉、概率论回顾。
第一章
第二章
随机过程(函 16 数)
随机过程(函数)理解、概念、研究方法。
第三章
随机微积分
6
随机微积分及其求解方法介绍。
第四章
随机场
18
随机过程(函数)理解、概念、研究方法。
无线电物理中 无线电物理中的随机场简单应用，纵横分析、资料 第五章 随机场及简单 2 分析、学习方法升华，作业及课堂情况考核。 应用
西安电子科技大学理学院40西安电子科技大学理学院4133相关函数相关函数均值和方差只描述了随机过程在某个特定时刻的统计特均值和方差只描述了随机过程在某个特定时刻的统计特所用的只是一维概率密度所用的只是一维概率密度能反映随机过程在两个不同能反映随机过程在两个不同时刻状态之间的联系时刻状态之间的联系如图所示的两个随机过程如图所示的两个随机过程x和和yytt大致具有相同的均值和方差大致具有相同的均值和方差但这两个信号还是有明但这两个信号还是有明显的区别的显的区别的yytt随时间随时间t的变化较为剧烈的变化较为剧烈各个不同时刻各个不同时刻状态之间的相关性较弱状态之间的相关性较弱随时间的变化较为缓慢随时间的变化较为缓慢同时刻状态之间的相关性较强同时刻状态之间的相关性较强若只用均值函数和方差函数若只用均值函数和方差函数是不能反映出这些特征的是不能反映出这些特征的相关函数能反映两个不同时刻状相关函数能反映两个不同时刻状态之间相关程度的数字特征态之间相关程度的数字特征
西安电子科技大学 理学院
不相关:2阶联合中心矩
E[(X-E(X) )(Y-E(Y) )] = 0
正交:2阶联合原点矩
E(XY) = 0
独立：f(X,Y,x,y)=f(X,x)f(Y,y)
48
西安电子科技大学 理学院
同样对于离散随机过程有：
49
西安电子科技大学 理学院
西安电子科技大学 理学院
章
序
题目
绪论
学 时 4
主要内容
课程介绍、方法分享、相互熟悉、概率论回顾。
第一章
第二章
随机过程(函 16 数)
随机过程(函数)理解、概念、研究方法。
第三章
随机微积分
6
随机微积分及其求解方法介绍。
第四章
随机场
18
随机过程(函数)理解、概念、研究方法。
无线电物理中 无线电物理中的随机场简单应用，纵横分析、资料 第五章 随机场及简单 2 分析、学习方法升华，作业及课堂情况考核。 应用
西安电子科技大学理学院40西安电子科技大学理学院4133相关函数相关函数均值和方差只描述了随机过程在某个特定时刻的统计特均值和方差只描述了随机过程在某个特定时刻的统计特所用的只是一维概率密度所用的只是一维概率密度能反映随机过程在两个不同能反映随机过程在两个不同时刻状态之间的联系时刻状态之间的联系如图所示的两个随机过程如图所示的两个随机过程x和和yytt大致具有相同的均值和方差大致具有相同的均值和方差但这两个信号还是有明但这两个信号还是有明显的区别的显的区别的yytt随时间随时间t的变化较为剧烈的变化较为剧烈各个不同时刻各个不同时刻状态之间的相关性较弱状态之间的相关性较弱随时间的变化较为缓慢随时间的变化较为缓慢同时刻状态之间的相关性较强同时刻状态之间的相关性较强若只用均值函数和方差函数若只用均值函数和方差函数是不能反映出这些特征的是不能反映出这些特征的相关函数能反映两个不同时刻状相关函数能反映两个不同时刻状态之间相关程度的数字特征态之间相关程度的数字特征
随机过程基本知识-西安电子科技大学
相互独立的随机变量序列 称N(t) 是参数为 Байду номын сангаас 的Poisson过程.
复合poisson过程
定义 设 {N(t),t≥0} 是参数为λ 的Poisson过程, {Yk.k=1,2,…}是一列独立同分布的随机变量序列, 且与 {N(t),t≥0}独立
令X (t ) Yk , t 0
t-s内发生的随机事件数．
② N(t)是非负整数
③
④
实例 1.电话交换台的呼叫次数 2.放射性裂变的质点数 3.发生故障而不能工作的机器数 4.通过交通路口的车辆数 5.来到某服务窗口的顾客数 ……….. 以上实例中的呼叫,质点,机器,车辆,顾客等也 统一叫做随机点
若计数过程 {N(t),t≥0} 满足
k 1
N (t )
称 {X(t),t≥0}为复合Poisson过程.
（4）连续时间连续状态 高斯过程(正态过程） T=R, S=R
设{X(t), t ∈T }是取实值的S.P. ,若对任意的n≥1 及t1,t2,…,tn∈T, {X(t1), X(t2), …, X(tn)}是n维正 态 随机变量, 则称S.P. {X(t), t ∈T}为正态过程或高斯过程
(3) n 2, 0=t0 <t1 < <tn < ,W (tn )-W (tn -1 ), W (t2 )-W (t1 ),W (t1 )-W (t0 ) 相互独立
（４）随机过程Ｗ具有连续的样本轨道
2 1 的ＢＭ也称为标准Ｂｒｏｗｎ运动
二
根据轨道连续与否来分
样本轨道连续的随机过程
均值函数为0 功率谱密度为常数
（3）连续时间离散状态
Poisson过程 T=R+， S=N
复合poisson过程
定义 设 {N(t),t≥0} 是参数为λ 的Poisson过程, {Yk.k=1,2,…}是一列独立同分布的随机变量序列, 且与 {N(t),t≥0}独立
令X (t ) Yk , t 0
t-s内发生的随机事件数．
② N(t)是非负整数
③
④
实例 1.电话交换台的呼叫次数 2.放射性裂变的质点数 3.发生故障而不能工作的机器数 4.通过交通路口的车辆数 5.来到某服务窗口的顾客数 ……….. 以上实例中的呼叫,质点,机器,车辆,顾客等也 统一叫做随机点
若计数过程 {N(t),t≥0} 满足
k 1
N (t )
称 {X(t),t≥0}为复合Poisson过程.
（4）连续时间连续状态 高斯过程(正态过程） T=R, S=R
设{X(t), t ∈T }是取实值的S.P. ,若对任意的n≥1 及t1,t2,…,tn∈T, {X(t1), X(t2), …, X(tn)}是n维正 态 随机变量, 则称S.P. {X(t), t ∈T}为正态过程或高斯过程
(3) n 2, 0=t0 <t1 < <tn < ,W (tn )-W (tn -1 ), W (t2 )-W (t1 ),W (t1 )-W (t0 ) 相互独立
（４）随机过程Ｗ具有连续的样本轨道
2 1 的ＢＭ也称为标准Ｂｒｏｗｎ运动
二
根据轨道连续与否来分
样本轨道连续的随机过程
均值函数为0 功率谱密度为常数
（3）连续时间离散状态
Poisson过程 T=R+， S=N
第四章平稳过程课件
第13页共45页
随机过程(西电版） 4.3 平稳过程的各态历经性
第4章 平稳过程
_______
X (t) X (t ) l i m
1
T ______
X (t) X (t )dt
l i m 1
T
a
2
T
cos(t
2T T
) cos(t
)dt
T 2T T
a2 l i m 1
4.1 平稳过程的概念
第4章 平稳过程
（1） mX (t) m （常数）
（2） RX (s,t) RX ( ), t s
则称 {X (t),t T }为宽平稳过程。
显然，一个严平稳过程如果存在二阶矩，则必为宽平稳过 程。以后平稳过程均指宽平稳过程。
例1、设 { X n , n 1,2, }是不相关的随机变量序列，且
1
2
a cos(t )d 0
2 0
RX (t1,t2 ) E[ X (t1) X (t2 )]
E[a cos(t1 )a cos(t2 )]
a2 2
cos
, 其 中
t2
t1.
2024年6月19日星期三
机动 目录 上页 下页 返回 结束
第3页共45页
随机过程(西电版） 4.2 平稳过程相关函数的性质 第4章 平稳过程
2024年6月19日星期三
机动 目录 上页 下页 返回 结束
第14页共45页
随机过程(西电版） 4.3 平稳过程的各态历经性
第4章 平稳过程
lim
T
证明：E[
1 2T
X (t
)
22TT1
2T
] E[l i
C
精品文档-随机过程——计算与应用(研究生)(冯海林)-随机过程引论课件1
思考：若令Ｘt表示t时刻该生物群体的个数，
则这个随机变量Ｘt是否可以较为全面 反映生物群体增长情况？
一般需要每隔一定时间，即在 t＝０,１, 2 , …. 时观察 相应的群体个数Ｘt，
即需要一族随机变量，记为{Ｘt ,t＝０,１, 2 , ….}
西安电子科技大学 —数学与统计学院 冯海林
School of Mathematics and Statistics Xidian University
2
2015/9-2016/1
随机过程引论
Introduction to Stochastic Process
➢ 随机过程应用广泛
随机过程在自然科学、社会科学以及工程 技术的各领域均有应用.
——在我校的一些专业：雷达、通信、无线电 技术、自动控制、生物工程、经济管理等领 域有极为广泛的应用.
西安电子科技大学 —数学与统计学院 冯海林
所以该地区的最高气温需要用一族随机变量 Xt ，t=0,1,2,…，方可表达之
记为{Ｘt , t＝０,１,2,…}
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随机过程引论
5
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随机过程引论
Introduction to Stochastic Process
➢ 本课程的教学内容
随机过程的基本知识
பைடு நூலகம்
布朗运动及其相关的随机过程
跳跃随机过程
二阶矩过程与平稳过程
离散时间马尔可夫链
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精品文档-随机过程——计算与应用(研究生)(冯海林)-平稳过程1
随机过程引论——西安电子科技大学数学与统计学院 冯海林
平稳过程的定义 定义 5.1.1 设X={Xt,t∈T}是随机过程,如果对任意的
n 1, t1, t2 , , tn T和实数，当t1 ,t2 , , tn T时，
n维随机变量 (Xt1 , Xt2 , , Xtn )和 (Xt1 , Xt2 , , Xtn ) 有相同的联合分布函数,即
则
mX (t)
xdFt (x)
xdF (x)与t无关，为常数
RX (s,t )
x1x
2d
Fs,t (x1, x2 )
x1
x2
dF0,t
s
(
x1,
x2
)，仅与时间间隔有关系
随机过程引论——西安电子科技大学数学与统计学院 冯海林
用定义判断一个过程的严平稳性是困难的. 在理论与应用上多的是宽平稳过程.
Ft1,t2 , ,tn (x1, x2 , , xn ) Ft1 ,t2 , ,tn ( x1, x2 , , xn )
则称X是严平稳过程.
随机过程引论——西安电子科技大学数学与统计学院 冯海林
例5.1.1 设N={Nt,t≥0}是参数为λ 的泊松过程，对任意固定 的常数a>0,令
Xt =Nta Nt ,
例5.1.6 设{An,n=1,2,…N} 和{Bn,n=1,2,…N}是两列实值 随机变量序列.且
E[An ] E[Bn ] 0, E[AnBm ] 0,
E[AnAm ] E[BnBm ] n2mn , 设n >0,定义随机过程：
N
Xt [Ak cos(kt) Bk sin(kt)], t (, ), k 1
2[a 2 min(0, ) min(a, ) min(0, a)]
平稳过程的定义 定义 5.1.1 设X={Xt,t∈T}是随机过程,如果对任意的
n 1, t1, t2 , , tn T和实数，当t1 ,t2 , , tn T时，
n维随机变量 (Xt1 , Xt2 , , Xtn )和 (Xt1 , Xt2 , , Xtn ) 有相同的联合分布函数,即
则
mX (t)
xdFt (x)
xdF (x)与t无关，为常数
RX (s,t )
x1x
2d
Fs,t (x1, x2 )
x1
x2
dF0,t
s
(
x1,
x2
)，仅与时间间隔有关系
随机过程引论——西安电子科技大学数学与统计学院 冯海林
用定义判断一个过程的严平稳性是困难的. 在理论与应用上多的是宽平稳过程.
Ft1,t2 , ,tn (x1, x2 , , xn ) Ft1 ,t2 , ,tn ( x1, x2 , , xn )
则称X是严平稳过程.
随机过程引论——西安电子科技大学数学与统计学院 冯海林
例5.1.1 设N={Nt,t≥0}是参数为λ 的泊松过程，对任意固定 的常数a>0,令
Xt =Nta Nt ,
例5.1.6 设{An,n=1,2,…N} 和{Bn,n=1,2,…N}是两列实值 随机变量序列.且
E[An ] E[Bn ] 0, E[AnBm ] 0,
E[AnAm ] E[BnBm ] n2mn , 设n >0,定义随机过程：
N
Xt [Ak cos(kt) Bk sin(kt)], t (, ), k 1
2[a 2 min(0, ) min(a, ) min(0, a)]
随机过程1.3
随机过程——西安电子科技大学数学与统计学院 冯海林 10
P( A x1 ) x1 2 x2 P( A 2 x2 ) x1 2 x2
0, 1 , 3 2 , 3 1,
x1 1 1 x1 2 2 x1 3 x1 3
2 x2 1 1 2 x 2 2 ( x1 2 x2 ) 或 2 2 x2 3 2 x2 3
k=1 k 1
n
n
随机过程——西安电子科技大学数学与统计学院 冯海林
多元特征函数
设n维随机变量X=(X1,X2,…,Xn)的联合分布函数 为F(x1,x2,…,xn),则称
(u1, u 2 ,
u n ) E [e
j ( u1 X 1 u 2 X 2
un X n )
]
2
F
X( ) 2
( x ) P{ X x}
2
0 x 0 1 x 0
随机过程——西安电子科技大学数学与统计学院 冯海林 8
补例2.
设 S.P. X t A cos t , t 0其中A具有以下概率分布
1 P ( A i ) , i 1, 2 , 3 . 3
程的统计规律性.
随机过程——西安电子科技大学数学与统计学院 冯海林
4
补例1.设随机过程X={Xt=Vcosωt,t∈(-∞,+∞)},
其中ω为常数,V服从[0,1]上的均匀分布.
⑴确定X的两个样本函数. ⑵求t=3π/4ω时,随机变量的概率密度函数. ⑶求t= π ∕2ω 时X 的分布函数.
解 (1) 取V=1/2, 1/3分别得到两个样本函数 1 1 x 2 (t ) co s t x1 ( t ) c o s t 3 2
P( A x1 ) x1 2 x2 P( A 2 x2 ) x1 2 x2
0, 1 , 3 2 , 3 1,
x1 1 1 x1 2 2 x1 3 x1 3
2 x2 1 1 2 x 2 2 ( x1 2 x2 ) 或 2 2 x2 3 2 x2 3
k=1 k 1
n
n
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多元特征函数
设n维随机变量X=(X1,X2,…,Xn)的联合分布函数 为F(x1,x2,…,xn),则称
(u1, u 2 ,
u n ) E [e
j ( u1 X 1 u 2 X 2
un X n )
]
2
F
X( ) 2
( x ) P{ X x}
2
0 x 0 1 x 0
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补例2.
设 S.P. X t A cos t , t 0其中A具有以下概率分布
1 P ( A i ) , i 1, 2 , 3 . 3
程的统计规律性.
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4
补例1.设随机过程X={Xt=Vcosωt,t∈(-∞,+∞)},
其中ω为常数,V服从[0,1]上的均匀分布.
⑴确定X的两个样本函数. ⑵求t=3π/4ω时,随机变量的概率密度函数. ⑶求t= π ∕2ω 时X 的分布函数.
解 (1) 取V=1/2, 1/3分别得到两个样本函数 1 1 x 2 (t ) co s t x1 ( t ) c o s t 3 2
随机过程第一章1.1
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
⎧1 f X0 ( x) = ⎨ ⎩0
0 ≤ x ≤1
28
⎧fV ( h( x )) h ′( x ) f X 3π ( x ) = ⎨ 0 4ω ⎩
⎧ 2 =⎨ ⎩0 ⎧ 2 =⎨ ⎩0
0 ≤ h( x ) ≤ 1 其它
0 ≤ − 2x ≤ 1 其它
2 − ≤x≤0 2 其它
随机过程应用广泛 随机过程在自然科学、社会科学以及工程 技术的各领域均有应用. ——在我校的一些专业：雷达、通信、无线电 技术、自动控制、生物工程、经济管理等领 域有着极为广泛的应用.
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林 3
引言
教材与参考教材
1.《随机过程——计算与应用》
冯海林 薄立军 西安电子科技大学出版社 2012
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
t
19
例2 的样本曲线与状态
X(t)
X(t) = A cos(ωt + Φ )
样本曲线x1(t)
状态X(t0)
t0
状态X(t0)
t 样本曲线x2(t)
状态空间S=[-A,A],参数集T=[-∞,+ ∞]
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林 20
例3 的样本曲线与状态
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林 15
随机过程定义的进一步解释： 1. Ｘ(ω t) 的两个特点：随机性与函数性. 因此， X(ω,t),实质上为定义在T×Ω上的二元单值函数. 2. 对每一个固定的t, Xt 为一随机变量.随机变Xt(t∈T) 所有可能取值的集合,称为随机过程X(ω,t) 的状态 空间,记为S. S中的元素称为状态. 3. 对每一个ω0∈Ω,X(ω0,t)是定义在T上的普通函数. 记为 x(ω0,t), 称为随机过程的一个样本函数. 或样本轨道. 样本函数的图形称为样本曲线．
⎧1 f X0 ( x) = ⎨ ⎩0
0 ≤ x ≤1
28
⎧fV ( h( x )) h ′( x ) f X 3π ( x ) = ⎨ 0 4ω ⎩
⎧ 2 =⎨ ⎩0 ⎧ 2 =⎨ ⎩0
0 ≤ h( x ) ≤ 1 其它
0 ≤ − 2x ≤ 1 其它
2 − ≤x≤0 2 其它
随机过程应用广泛 随机过程在自然科学、社会科学以及工程 技术的各领域均有应用. ——在我校的一些专业：雷达、通信、无线电 技术、自动控制、生物工程、经济管理等领 域有着极为广泛的应用.
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引言
教材与参考教材
1.《随机过程——计算与应用》
冯海林 薄立军 西安电子科技大学出版社 2012
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
t
19
例2 的样本曲线与状态
X(t)
X(t) = A cos(ωt + Φ )
样本曲线x1(t)
状态X(t0)
t0
状态X(t0)
t 样本曲线x2(t)
状态空间S=[-A,A],参数集T=[-∞,+ ∞]
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林 20
例3 的样本曲线与状态
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林 15
随机过程定义的进一步解释： 1. Ｘ(ω t) 的两个特点：随机性与函数性. 因此， X(ω,t),实质上为定义在T×Ω上的二元单值函数. 2. 对每一个固定的t, Xt 为一随机变量.随机变Xt(t∈T) 所有可能取值的集合,称为随机过程X(ω,t) 的状态 空间,记为S. S中的元素称为状态. 3. 对每一个ω0∈Ω,X(ω0,t)是定义在T上的普通函数. 记为 x(ω0,t), 称为随机过程的一个样本函数. 或样本轨道. 样本函数的图形称为样本曲线．
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如果对于任意 s<t∈T,
X(t)-X(s)的分布仅依赖于t-s，而与s, t本身取 值无关，则称{X(t),t∈T} 为平稳增量过程．
如果S.P.{X(t),t∈T}既是平稳增量过程，又是 独立增量过程，则称{X(t),t∈T} 为平稳的独 立增量过程．
定理
独立增量过程的有限维分布函数由其一 维分布函数和增量分布函数确定．
(2) ΦX(t)是单调不减函数
s,t [a,b]
4 独立增量过程
设{X(t),t∈T}是一是S.P. 如果对 n 3 以及
t1 t2 L tn T , 有
X (t2 ) X (t1), X (t3) X (t2 ),L X (tn ) X (tn1)
是相互独立的随机变量，则称{X(t),t∈T} 是独立增量过程．
注 二阶矩过程的均值函数与相关函数一定存在 可利用均值函数和相关函数讨论二阶矩阵过程 的性质.(下章内容)
二阶矩过程的相关函数具有以下性质
定理
设{X(t),t∈T}是二阶矩过程,则相关函数RX(s,t) 有 (1)共轭对称性 RX(s,t)=RX(t,s)
(2)非负定性 对任意 t1,t2,…,tn∈T,任意复数
(2) 正态过程的有限维分布由其均值函数 与相关函数完全确定.
(3) 正态过程是二阶矩过程.
举例
设S.P.X (t) Acost Bsint,t R,其中A,B为相互
独立的r.v.，且都服从正态分布N(0,σ2),ω是常数． 试证明 该过程是正态过程，并求它的有限维分布．
3.正交增量过程
定义 设{X(t),t∈T}是二阶矩过程，若对任意的 t1<t2 ≤ t3 < t4∈T
E[ X(tk )k X(tl )l ]
k 1 l 1
n n __________
E[
(X(tk_____ n
E[( kX(tk ))( lX(tl ))]
k 1
l 1
_______________
n
n
E[ k X(tk ) lX(tl )]
令 Y1 X (t1), Y2 X (t2 ) X (t1), ,Yn X (tn ) X (tn1) 由题意知 Y1,Y2,…,Yn独立 则 X (t1) Y1,
X (t2 ) Y1 Y2 , ,
X (tn ) Y1 Y2 Yn 代入①式
(t1, t2,..., tn;u1, u2,..., un ) E[e j(u1X (t1) un X (tn )) ]
特别的，当X(a)=0时，有
E[X (s)(X (t) X (s))] 0
定理 设{X(t),t∈[a,b]}是正交增量过程, 且X(a)=0,则
(1) RX (s,t) X (min( s,t)) s,t [a,b]
CX (s,t) DX (min(s,t)) mX (min(s,t)) 2 mX (s)mX (t)
k 1
n
l21
E kX(tk ) 0
k 1
2.正态过程
补充: n维正态随机变量分布及性质
定义 设X = (X1 , X 2 ,..., X n )是n维随机变量， 如果其联合概率密度函数为
f (x)
1
n
1 ( x ) B1 ( x )T
1 e2
(2 ) 2 B 2
则称X = (X1 , X 2 ,..., X n )服从均值向量为， 协方差矩阵为B的是n维正态分布.记X : N (, B)
λ1 ,λ2,…, λn有
nn
RX (tk ,tl )kl 0
k 1 l 1
证明
(1) RX(s,t)=E[X(s)X(t)]
=E[X(s)X(t)] = RX(t,s)
nn
nn
_______
(2)
RX (tk , tl )kl
E[X(tk )X(tl )]kl
k 1 l 1
kn1 ln1 ____________
七 几类重要的随机过程
之前按照参数和状态对随机过程进行了简单的分类. 随机过程可以按照不同的标准进行分类.
本讲按照随机过程所具有的一些性质,介绍几类重要 的随机过程:
◆ 二阶矩过程 ◆ 正态过程 ◆ 正交增量过程 ◆ 独立增量过程 ◆ Wiener过程 ◆ Poisson过程
1.二阶矩过程
定义 若S.P.{X(t),t∈T}的一、二阶矩存在， 则称Ｓ.Ｐ.{X(t),t∈T}是二阶矩过程．
定理 设X=(X1 , X 2 ,..., X n ) : N (, B)则
n
（1）Y = lk X k服从一维正态分布. lk是常数.
k=1
即Y :
N
n
lk k ,
n
n
lilk
cov(
X
i
,
X
k
)
k=1
i=1 k=1
（2）X的m（m n)个分量服从m维正态分布.
（3）Y=XC(Cnm ),服从m维正态分布N(C,CTBC)
E[e ] j(u1Y1u2 (Y1Y2 ) un (Y1Y2 Yn ))
都有
___________________
E[( X(t2 ) X(t1) )(X(t4 ) X(t3))] 0
则称S.P. {X(t),t∈T}是一正交增量过程.
注: 这里 <X,Y>=E[XY]可视为内积
若T取为有限区间[a,b],对 a s t b E[(X (s) X (a))(X (t) X (s))] 0
证明思路 由于随机变量的分布函数与特征函数一一对应. 只需证 独立增量过程的有限维特征函数由其一维特征 函数和增量特征函数确定．
证明 对n 1及t1 t2 tn T , n维随机变量的 ( X (t1), X (t2 ), , X (tn )) 的特征函数为
(t1, t2,..., tn;u1, u2,..., un ) E[e j(u1X (t1) ] un X (tn )) ①
正态过程定义
设{X(t),t∈T}是S.P. ,若对任意的n≥1 及t1,t2,…,tn∈T, {X(t1), X(t2), …, X(tn),}是n维正态随机变量, 则称S.P.{X(t),t∈T}为正态过程或高斯过程
注意
(1) 若{X(t),t∈T}是一族正态随机变量, 但{X(t),t∈T}不一定是正态过程.