武汉理工大学数值分析(高秉建)的作业
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数值分析实验
一、95页第17题
已知实验数据如下：
用最小二乘法求一个形如的经验公式，使它拟合下列数据，并计算均方误差. 解：本题给出拟合曲线，即，故法方程系数
法方程为
解得
最小二乘拟合曲线为
均方程为
二、238页第2题第二问
求方程在=1.5附近的一个根
解：设将方程改写为
建立迭代公式，k=0,1,2,3…
取，则
原方程的根为=1.4665572
三、书238页第7题第一问
1．用牛顿法求在=2附近的根
解：
Newton 迭代法
取
，则
，取
2.用牛顿法求 的实根
解：
令，则
，取
四、49页第20 题 X j 0.25 0.30 0.39 0.45 0.53 Y j
0.5000
0.5477
0.6245
0.6708
0.7280
试求三次样条插值，并满足条件：
(1)(0.25) 1.0000,(0.53)0.6868;
(2)(0.25)(0.53)0.
S S S S ''==''''==
解：
0101212323430.05
0.090.060.08
h x x h x x h x x h x x =-==-==-==-=
1111234,533
,,,11457
j j j j j j
j j
h h h h h h μλμμμμ---=
=
--∴=
===
[][][][]1230100110122334924
,,,11457
()()
,0.9540
,0.8533,0.7717,0.7150
f x f x f x x x x f x x f x x f x x λλλλ=
===-==-===
[][][]
[][]
[][]
[]0401200
1201101
2312212
3423323
44343
(1)() 1.0000,()0.68686
(,) 5.5200,,6 4.3157
,,6 3.2640
,,6 2.4300
6
(,) 2.1150S x S x d f x x f h f x x f x x d h h f x x f x x d h h f x x f x x d h h d f f x x h ''=='=
-=--==-+-==-+-==-+'=
-=- 由此得矩阵形式的方程组为
2 1 M 0 5.5200-
514 2 9
14
M 1 4.3157- 35 2 2
5
M 2 = 3.2640-
37 2 4
7
M 3 2.4300-
1 2 M 4 2.1150-
求解此方程组得
012342.0278, 1.4643
1.0313,0.8070,0.6539
M M M M M =-=-=-=-=-
三次样条表达式为
3
3
11
2
2
111()()()66()
()
(0,1,,1)
6
6
j j j j j
j j j
j j j
j j j j
j
x x x x S x M M h h M h x x M h x x y y j n h h +++++--=+--+-
+-
=-
∴将01234,,,,M M M M M 代入得
[]
[]333333
6.7593(0.30) 4.8810(0.25)10.0169(0.30)10.9662(0.25)0.25,0.302.7117(0.39) 1.9098(0.30) 6.1075(0.39) 6.9544(0.30)0.30,0.39() 2.8647(0.45) 2.2422(0.39)10.4186(0.45x x x x x x x x x x S x x x x ----+-+-∈----+-+-∈=----+-[][]
33)10.9662(0.39)0.39,0.451.6817(0.53) 1.3623(0.45)8.3958(0.53)9.1087(0.45)0.45,0.53x x x x x x x ⎧⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎨+-⎪⎪∈⎪
⎪----+-+-⎪∈⎪⎩04001234404(2)()0,()0
20, 4.3157, 3.2640
2.4300,20
S x S x d f d d d d f λμ''''==''===-=-''=-====
由此得矩阵开工的方程组为
0412******* 4.3157322 3.264055 2.43003027M M M M M ==⎛⎫
⎪
-⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-
⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪
⎪⎝
⎭
求解此方程组，得
012340, 1.8809
0.8616, 1.0304,0
M M M M M ==-=-=-=
又
三次样条表达式为
3
3
11
2
2
111()()()66()
()
6
6
j j j j j
j j j
j j j
j j j j
j
x x x x S x M M h h M h x x M h x x y y h h +++++--=+--+-
+-
将01234,,,,M M M M M 代入得