武汉理工大学数值分析(高秉建)的作业
武汉理工大学数值分析考试试题及答案
1、①工程中数值方法的主要思想答：工程总，把理论与实际情况相结合，用数值方法直接求解较少简化的模型，及忽略一些无关的因素求出近似值，又使得到的景近似解满足程变得要求 ②数值方法中误差产生的原因答：当数值模型不能得到精确解释，通常要用数值方法求接触他的近似解，七近似解与精确解之间的误差称为截断误差。
当用计算机做数值计算时，由于计算机的字长有限，原始数据在计算机上表示会产生误差，计算过程总中有产生误差，这种误差称为舍入误差。
③数值方法应用对象由数学模型给出的数值计算方法，以及根据计算方法编制的法程序2、取x=1、2、2时f （x ）=2、0、1，计算f(x)在x=21处得近似解x i 1 2 3f （x i ）2 0 1解：二次拉格朗日插值多项式为L （x ）=∑=2k k k )x (l yl 0（x ）=)x x )(x x ()x x )(x x (201021----=)31)(21()3x )(2x (----=21（x-2）（x-3）l 1（x ）=)x x )(x x ()x x )(x x (210120----=)32)(12()3x )(1x (----=-（x-1）（x-3）l 2（x ）=)x x )(x x ()x x )(x x (120210----=)23)(13()2x )(1x (----=21（x-1）（x-2）则L （x ）=∑=2k k k )x (l y =l 0（x ）+l 1（x ）+l 2（x ）=21（x-2）（x-3）+（x-1）（x-3）+21（x-1）（x-2）=23x 2-213x+7 所以L （21）=23×（21）2_213×（21）+7=833即f(x)在x=21处得景近似解为8333、f （x ）=（x-1）4，在[]1,1-上计算范数1,ff∞与2f解f （x ）=(x-1)4，x ∈[]1,1-,则 f ’(x)=4（x-1）3≦0所以f （x ）=（x-1）4在[]1,1-上单调递减 ∞f =}{)1(f ),1(f max )x (f max1x 1-=≤≤-=}{160,16max = ⎰-⎰-==114ba dxdx )x (f 1)1x (f=115)5x (51--=5322111x 42d )1x (f⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰-=2111x 8d )1x (⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎰-=21119|)1x (91⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=3216929=4、对权函数2()1x x ρ=-，区间[1,1]-，试求首项系数为1的正交多项式(),0,1,2,3.n x n ϕ= 解：若2()1x x ρ=-，则区间[1,1]-上内积为 11(,)()()()f g f x g x x dx ρ-=⎰定义0()1x ϕ=，则11()()()()n n n n n x x x x ϕαϕβϕ+-=--其中1101211211211321122111221121((),())/((),())((),())/((),())(,1)/(1,1)(1)(1)0()(,)/(,)(1)(1)0(,)/(1,1)(1)(1)n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x dx x dxx xx x x x x x dx x x dxx x x x dx x αϕϕϕϕβϕϕϕϕαϕαβ--------==∴=+=+=∴==+=+==+=+⎰⎰⎰⎰⎰22162158532()5dxx x ϕ==∴=-⎰32222132211222122212221122132332222(,)/(,)555522()()(1)5522()()(1)5522(,)/(,)5522()()(1)55(1)136175251670152179()57014x x x x x x x x x dxx x x dx x x x x x x x dxx x dxx x x x x xαβϕ----=------+=--+==----+=+==∴=--=-⎰⎰⎰⎰5、求[]()0,1xf x e =在[]0,1上的最佳一次逼近多项式。
数值分析第一章思考题
数值分析第一章思考题第一章思考题(2012级本科学生作品)1、什么样的算法被称为不稳定算法？试列举一个例子进行说明。
在算法执行过程中，舍入算法对计算结果影响大的一类算法被称为数值不稳定的一种算法。
例如，假设初始数据有一点微小误差，就会对一个算法的数据结构产生很大的影响，造成误差扩散。
用计算公式ln 1ln n n =-，构造出的递推算法是一个数值不稳定的算法；而另一公式ln 1(1ln)/n -=-则可以构造出一个数值稳定的算法。
2、我们都知道秦九韶算法能够减少运算次数，高中也学过他的具体过程，请举出一个例子并用秦九韶算法计算。
答；一般的，一元n 次多项式的求值需要经过(1)/2n n +次乘法和n 次加法，而秦九韶算法只需要n 次乘法和n 次加法。
具体的不太会了。
3、为什么要设立相对误差的概念？答：相对误差是近似值误差与精确值的比值，用来衡量近似值的近似程度。
x=10±1，y=1000±5。
虽然x 的误差比y 的误差小，但y 的近似程度比x 更好。
这单用误差无法表现出来，而相对误差可以解决这个问题。
4、误差在生活中有什么作用？答：误差的作用不仅仅体现在数学课题研究中，在生活中误差的作用也非常大，比如在建筑行业中，设计图纸时必须要达到一定的精确度才行。
5、有效数字以及计算规则答：有效数字是指实际上能测量到的数值，在该数值中只有最后一位是可疑数字，其余的均为可靠数字。
它的实际意义在于有效数字能反映出测量时的准确程度。
例如，用最小刻度为0.1cm 的直尺量出某物体的长度为11.23cm ，显然这个数值的前3位数是准确的，而最后一位数字就不是那么可靠，医|学教育网搜集整理因为它是测试者估计出来的，这个物体的长度可能是11.24cm ，亦可能是11.22cm ，测量的结果有±0.01cm 的误差。
我们把这个数值的前面3位可靠数字和最后一位可疑数字称为有效数字。
这个数值就是四位有效数字。
武汉理工大学数值分析试题
武汉理工大学研究生课程考试试题纸（A）课程名称：数值分析专业年级：2013级专业研究生一简述题，给出简述步骤（每题5分，共25分）1、f（x）=x*x+2在[0，2]上的复化梯形积分（n=2）值为（）2、已知y’=x+2y，y（0）=1；h=0.1；一步欧拉法计算的y（0.1）=（）3、给定f（0）=1；f（1）=2；f（2）=7；则中心倒数f’（1）=（）4、若X=X*X+aX+b；根为3，当迭代收敛阶p=2时，（a，b）=（）5、f（x）在[0，b]上的积分公式J=0.5b[f（0.2b）+f（0.8b）]的代数精度为（）二计算（每题10分，共40分）1、若P（0）=0；P（1）=2；P’（0）=f’（0）；P’（1）=f’（1）；且4f’（0）+f’（1）=2；f’（0）-4f’（1）=3；求3次多项式P（x=0.5)的值？2、若y’=xy-x+1；y（0）=0；步长h为方程0.11=x*exp（x）的根，试用隐式欧拉法计算y（h）？误差限取0.05。
3、用收敛的高赛迭代法公式求（x，y，z）的一次迭代值；x-6y+z=2；x+2y+7z=2；5x+y-z=1；初值（0,0,0）。
4、设a，b分别为f=x和f=x3在[0,1]上的二点复化高斯积分值，步长h=0.5，试用收敛的迭代法公式计算函数f（x）=ax-bx2的零点，迭代2次，x0=1.0。
三分析（10分）设f（x）=P+R，R为误差，P为3次多项式，且满足条件：P（a）=f（a），P’（a）=f’（a）；P’’（a）=f’’（a）；P（b）=f（b）。
RI为R在[a，b]上的积分值，试估计RI。
四程序（25分）1、设a，b分别为f=x和f=x3在[0,1]上的复化辛普生积分值，步长h=0.25，试用收敛的迭代法公式编辑计算f（x）=ax-bx2的零点。
（10分）2、我机考平均用时（）分钟，作业一共交（）个程序，11月11日交（）个，最难的程序为（）请写出该程序。
武汉理工大学计算机学院数值分析实验报告
武汉理工大学计算机学院数值分析实验报告武汉理工大学计算机学院数值分析实验报告篇一：数值分析实验报告学生实验报告书实验课程名称开课学院指导教师姓名学生姓名学生专业班级数值分析计算机科学与技术学院熊盛武 201X—— 201X学年第二学期实验课程名称：数值分析篇二：数值分析实验报告武汉理工大学学生实验报告书实验课程名称：数值分析开课名学生姓名：201X1—— 201X学年第二学期第一次试验（1）二分法计算流程图：简单迭代法算法流程图：（2）（3）牛顿迭代法流程图：（4）弦截法算法程序流程图：篇三：数值分析实验报告湖北民族学院理学院《数值分析》课程实验报告（一）湖北民族学院理学院《数值分析》课程实验报告（二） xn?)篇四：数值分析实验报告数值分析实验报告姓名：学号：学院：老师： XXX XXXX实验一一、实验内容用雅克比迭代法和高斯塞德尔迭代法求解课本例3.1，设置精度为10-6。
?8-32??x1??20???411?1??x233??6312??x??36? ??3??二、实验公式 ?? 雅克比迭代法的基本思想：设方程组Ax?b的系数矩阵的对角线元素 ??aii?0(i?1,2,...,n)，根据方程组A x?b推导出一个迭代公式，然后将任意选取的?(0)?(1)?(1)?(2) xxx x一初始向量代入迭代公式，求出，再以代入同一迭代公式，求出，1、雅克比迭代法 ?(k)?(k) {x}{x}收敛时，如此反复进行，得到向量序列。
当其极限即为原方程组的解。
2、高斯塞德尔迭代法：在雅可比（Jacbi）迭代法中，如果当新的分量求出后，马上用它来代替旧的分量，则可能会更快地接近方程组的准确解。
基于这种设想构造的迭代公式称为高斯-塞德尔(Ga uss-Seidel)迭代法。
数值分析大作业四
《数值分析》大作业四一、算法设计方案：复化梯形积分法，选取步长为1/500=0.002，迭代误差控制在E ≤1.0e-10①复化梯形积分法：11()[()()2()]2n bak hf x dx f a f b f a kh -=⎰≈+++∑，截断误差为：322()''()''(),[,]1212T b a b a R f h f a b n ηηη--=-=-∈其中。
复化Simpson 积分法，选取步长为1/50=0.02，迭代误差控制在E ≤1.0e-10②Simpson 积分法：121211()[()()4()2()]3m m bi i a i i hf x dx f a f b f x f x --==≈+++∑∑⎰， 截断误差为：4(4)(),[,]180s b a R h f a b ηη-=-∈。
③Guass积分法选用Gauss-Legendre 求积公式：111()()ni i i f x dx A f x -=≈∑⎰截断误差为：R= ()()n 2n 422n!2×(2[2!]2n 1f n n ⨯（2）η（））＋ η∈(1,1)。
选择9个节点：-0.9681602395,-0.8360311073,-0.6133714327,-0.3242534234,0,0.3242534234,0.6133714327,0.8360311073,0.9681602395， 对应的求积系数依次为：0.0812743884,0.1806481607,0.2606106964,0.3123470770,0.3302393550,0.3123470770,0.2606106964,0.1806481607,0.0812743884。
二、程序源代码：#include<stdio.h>#include<math.h>#include<stdlib.h>#define E 1.0e-10/****定义函数g和K*****/double g(double a){double b;b=exp(4*a)+(exp(a+4)-exp(-a-4))/(a+4);return b;}double K(double a,double b){double c;c=exp(a*b);return c;}/******复化梯形法******/void Tixing( ){double u[1001],x[1001],h,c[1001],e;int i,j,k;FILE *fp;fp=fopen("f:/result0. xls ","w");h=1.0/1500;for(i=0;i<3001;i++){x[i]=i*h-1;u[i]=g(x[i]);}for(k=0;k<100;k++){e=0;for(i=0;i<1001;i++){for(j=1,c[i]=0;j<N-1;j++)c[i]+=K(x[i],x[j])*u[j];u[i]=g(x[i])-h*c[i]-h/2*(K(x[i],x[0])*u[0]+K(x[i],x[N-1])*u[N-1]);e+=h*(exp(4*x[i])-u[i])*(exp(4*x[i])-u[i]);}if(e<=E) break;}for(i=0;i<1001;i++)fprintf(fp,"%.12lf,%.12lf\n",x[i],u[i]);fclose(fp);}/******复化Simpson法******/void simpson( ){double u[101],x[101],h,c[101],d[101],e;int i,j,k;FILE *fp;fp=fopen("f:/result1.xls","w");h=1.0/50;for(i=0;i<101;i++){x[i]=i*h-1;u[i]=g(x[i]);}for(k=0;k<50;k++){e=0;for(i=0;i<101;i++){for(j=1,c[i]=0,d[i]=0;j<51;j++){c[i]+=K(x[i],x[2*j-1])*u[2*j-1];if(j<50)d[i]+=K(x[i],x[2*j])*u[2*j];}u[i]=g(x[i])-4*h/3*c[i]-2*h/3*d[i]-h/3*(K(x[i],x[0])*u[0]+K(x[i],x[M-1])*u[M-1]);e+=h*(exp(4*x[i])-u[i])*(exp(4*x[i])-u[i]);}if(e<=E) break;}for(i=0;i<101;i++)fprintf(fp,"%.12lf,%.12lf\n",x[i],u[i]);fclose(fp);}/******Gauss积分法******/void gauss( ){double x[9]={-0.9681602395,-0.8360311073,-0.6133714327,-0.3242534234,0,\0.3242534234,0.6133714327,0.8360311073,0.9681602395},A[9]={0.0812743884,0.1806481607,0.2606106964,0.3123470770,0.3302393550,\0.3123470770,0.2606106964,0.1806481607,0.0812743884},u[9],c[9],e;int i,j,k;FILE *fp;fp=fopen("f:/result2. xls ","w");for(i=0;i<9;i++)u[i]=g(x[i]);for(k=0;k<50;k++){e=0;for(i=0;i<9;i++){for(j=0,c[i]=0;j<9;j++)c[i]+=A[j]*K(x[i],x[j])*u[j];u[i]=g(x[i])-c[i];e+=A[i]*(exp(4*x[i])-u[i])*(exp(4*x[i])-u[i]);}if(e<=E) break;}for(i=0;i<9;i++)fprintf(fp,"%.12lf,%.12lf\n",x[i],u[i]);fclose(fp);}/******主函数******/main(){Tixing ( );Simpson( );Gauss( );return 0;}三、运算结果复化梯形数据-10.018323-0.920.02523-0.9980.018471-0.9180.025433-0.9960.018619-0.9160.025637-0.9940.018768-0.9140.025843-0.9920.018919-0.9120.026051-0.990.019071-0.910.02626-0.9880.019224-0.9080.026471-0.9860.019378-0.9060.026683-0.9840.019534-0.9040.026897-0.9820.019691-0.9020.027113-0.980.019849-0.90.027331-0.9780.020008-0.8980.02755-0.9760.020169-0.8960.027772-0.9740.020331-0.8940.027995-0.9720.020494-0.8920.028219-0.970.020658-0.890.028446-0.9680.020824-0.8880.028674-0.9660.020992-0.8860.028905-0.9640.02116-0.8840.029137-0.9620.02133-0.8820.029371-0.960.021501-0.880.029607-0.9580.021674-0.8780.029844-0.9560.021848-0.8760.030084-0.9540.022023-0.8740.030326-0.9520.0222-0.8720.030569-0.950.022378-0.870.030815-0.9480.022558-0.8680.031062-0.9460.022739-0.8660.031311-0.9440.022922-0.8640.031563-0.9420.023106-0.8620.031816-0.940.023291-0.860.032072-0.9380.023478-0.8580.032329-0.9360.023667-0.8560.032589-0.9340.023857-0.8540.032851-0.9320.024048-0.8520.033114-0.930.024241-0.850.03338-0.9280.024436-0.8480.033648-0.9260.024632-0.8460.033918-0.9240.02483-0.8440.034191-0.9220.025029-0.8420.034465-0.840.034742-0.760.047841-0.8380.035021-0.7580.048225-0.8360.035302-0.7560.048613 -0.8340.035586-0.7540.049003 -0.8320.035872-0.7520.049396 -0.830.03616-0.750.049793 -0.8280.03645-0.7480.050193 -0.8260.036743-0.7460.050596 -0.8240.037038-0.7440.051002 -0.8220.037335-0.7420.051412 -0.820.037635-0.740.051825 -0.8180.037937-0.7380.052241 -0.8160.038242-0.7360.052661 -0.8140.038549-0.7340.053084 -0.8120.038858-0.7320.05351 -0.810.039171-0.730.05394 -0.8080.039485-0.7280.054373 -0.8060.039802-0.7260.054809 -0.8040.040122-0.7240.05525 -0.8020.040444-0.7220.055693 -0.80.040769-0.720.056141 -0.7980.041096-0.7180.056591 -0.7960.041426-0.7160.057046 -0.7940.041759-0.7140.057504 -0.7920.042094-0.7120.057966 -0.790.042432-0.710.058431 -0.7880.042773-0.7080.058901 -0.7860.043116-0.7060.059374 -0.7840.043463-0.7040.05985 -0.7820.043812-0.7020.060331 -0.780.044164-0.70.060816 -0.7780.044518-0.6980.061304 -0.7760.044876-0.6960.061796 -0.7740.045236-0.6940.062293 -0.7720.045599-0.6920.062793 -0.770.045966-0.690.063297 -0.7680.046335-0.6880.063805 -0.7660.046707-0.6860.064318 -0.7640.047082-0.6840.064834 -0.7620.04746-0.6820.065355-0.680.06588-0.60.090722 -0.6780.066409-0.5980.091451-0.6760.066942-0.5960.092185 -0.6740.06748-0.5940.092926 -0.6720.068022-0.5920.093672 -0.670.068568-0.590.094424 -0.6680.069119-0.5880.095183 -0.6660.069674-0.5860.095947 -0.6640.070234-0.5840.096718 -0.6620.070798-0.5820.097494 -0.660.071366-0.580.098277 -0.6580.071939-0.5780.099067 -0.6560.072517-0.5760.099862 -0.6540.0731-0.5740.100664 -0.6520.073687-0.5720.101473 -0.650.074278-0.570.102288 -0.6480.074875-0.5680.103109 -0.6460.075476-0.5660.103937 -0.6440.076082-0.5640.104772 -0.6420.076694-0.5620.105614 -0.640.077309-0.560.106462 -0.6380.07793-0.5580.107317 -0.6360.078556-0.5560.108179 -0.6340.079187-0.5540.109048 -0.6320.079823-0.5520.109924 -0.630.080464-0.550.110806 -0.6280.08111-0.5480.111696 -0.6260.081762-0.5460.112593 -0.6240.082418-0.5440.113498 -0.6220.08308-0.5420.114409 -0.620.083748-0.540.115328 -0.6180.08442-0.5380.116254 -0.6160.085098-0.5360.117188 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0.89235.445520.94844.344880.89435.730220.9544.701070.89636.017210.95245.060110.89836.306510.95445.422040.936.598120.95645.786870.90236.892080.95846.154630.90437.188410.9646.525350.90637.487110.96246.899050.90837.788210.96447.275750.9138.091730.96647.655470.91238.397680.96848.038240.91438.70610.9748.424090.91639.016990.97248.813040.91839.330380.97449.205110.9239.646280.97649.600330.92239.964720.97849.998720.92440.285720.9850.400320.92640.60930.98250.805140.92840.935480.98451.213210.9341.264280.98651.624560.93241.595720.98852.039210.93441.929820.9952.45720.93642.26660.99252.878540.93842.606090.99453.303270.9442.948310.99653.73140.94243.293270.99854.162980.94443.64101154.59802复化Simpson数据：-1 0.018319929 -0.34 0.256658088 0.32 3.596641805 -0.98 0.0198445 -0.32 0.278035042 0.34 3.896195298-0.96 0.021494322 -0.3 0.301192133 0.36 4.220697765-0.94 0.023283225 -0.28 0.326278124 0.38 4.572227037-0.92 0.025220379 -0.26 0.353453177 0.4 4.95303418-0.9 0.027320224 -0.24 0.382891765 0.42 5.365557596-0.88 0.029594431 -0.22 0.41478194 0.44 5.812438891-0.86 0.032059069 -0.16 0.527292277 0.54 8.671138204-0.84 0.034728638 -0.14 0.571209036 0.56 9.39333156-0.82 0.037621263 -0.12 0.61878367 0.58 10.17567433-0.8 0.040754615 -0.1 0.670320427 0.6 11.02317608-0.78 0.044149394 -0.08 0.726149698 0.62 11.94126383-0.76 0.047826844 -0.06 0.78662861 0.64 12.93581634-0.74 0.051810827 -0.04 0.85214479 0.66 14.01320231-0.72 0.056126648 -0.02 0.92311742 0.68 15.1803205-0.7 0.060802006 0 1.0000013 0.7 16.44464467 -0.68 0.065866854 0.02 1.083288424 0.72 17.81427057 -0.66 0.071353499 0.04 1.173512427 0.74 19.29796874 -0.64 0.077297255 0.06 1.271250748 0.76 20.90523965 -0.62 0.083735917 0.08 1.377129533 0.78 22.64637562 -0.6 0.090711017 0.1 1.491826493 0.8 24.53252554 -0.58 0.098266855 0.12 1.616076341 0.82 26.57576756 -0.56 0.106452202 0.14 1.750674449 0.84 28.78918506 -0.54 0.11531904 0.16 1.896482943 0.86 31.18695183 -0.52 0.12492459 0.18 2.054435268 0.88 33.78442141 -0.5 0.135329888 0.2 2.225543071 0.9 36.59822683 -0.48 0.14660204 0.22 2.410901825 0.92 39.64638571 -0.46 0.158812728 0.24 2.611698647 0.94 42.94841704 -0.44 0.17204064 0.26 2.829219145 0.96 46.52546475 -0.42 0.18636997 0.28 3.064856356 0.98 50.40043451 -0.4 0.201892977 0.3 3.320119013 1 54.59813904 -0.38 0.218708553 0.46 6.296539601-0.36 0.236924875 0.48 6.820959636-0.2 0.449328351 0.5 7.389057081-0.18 0.486751777 0.52 8.0044696750102030405060四、讨论①在满足相同精度要求的情况下复化梯形积分法比复化Simpson 积分法计算所需节点数多，计算量大。
武汉理工大学数值分析(高秉建)的作业
数值分析实验一、95页第17题已知实验数据如下：用最小二乘法求一个形如的经验公式，使它拟合下列数据，并计算均方误差. 解：本题给出拟合曲线，即，故法方程系数法方程为解得最小二乘拟合曲线为均方程为二、238页第2题第二问求方程在=1.5附近的一个根解：设将方程改写为建立迭代公式，k=0,1,2,3…取，则原方程的根为=1.4665572三、书238页第7题第一问1．用牛顿法求在=2附近的根解：Newton 迭代法取，则，取2.用牛顿法求 的实根解：令，则，取四、49页第20 题 X j 0.25 0.30 0.39 0.45 0.53 Y j0.50000.54770.62450.67080.7280试求三次样条插值，并满足条件：(1)(0.25) 1.0000,(0.53)0.6868;(2)(0.25)(0.53)0.S S S S ''==''''==解：0101212323430.050.090.060.08h x x h x x h x x h x x =-==-==-==-=1111234,533,,,11457j j j j j jj jh h h h h h μλμμμμ---==--∴====[][][][]1230100110122334924,,,11457()(),0.9540,0.8533,0.7717,0.7150f x f x f x x x x f x x f x x f x x λλλλ====-==-===[][][][][][][][]040120012011012312212342332344343(1)() 1.0000,()0.68686(,) 5.5200,,6 4.3157,,6 3.2640,,6 2.43006(,) 2.1150S x S x d f x x f h f x x f x x d h h f x x f x x d h h f x x f x x d h h d f f x x h ''=='=-=--==-+-==-+-==-+'=-=- 由此得矩阵形式的方程组为2 1 M 0 5.5200-514 2 914M 1 4.3157- 35 2 25M 2 = 3.2640-37 2 47M 3 2.4300-1 2 M 4 2.1150-求解此方程组得012342.0278, 1.46431.0313,0.8070,0.6539M M M M M =-=-=-=-=-三次样条表达式为331122111()()()66()()(0,1,,1)66j j j j jj j jj j jj j j jjx x x x S x M M h h M h x x M h x x y y j n h h +++++--=+--+-+-=-∴将01234,,,,M M M M M 代入得[][]3333336.7593(0.30) 4.8810(0.25)10.0169(0.30)10.9662(0.25)0.25,0.302.7117(0.39) 1.9098(0.30) 6.1075(0.39) 6.9544(0.30)0.30,0.39() 2.8647(0.45) 2.2422(0.39)10.4186(0.45x x x x x x x x x x S x x x x ----+-+-∈----+-+-∈=----+-[][]33)10.9662(0.39)0.39,0.451.6817(0.53) 1.3623(0.45)8.3958(0.53)9.1087(0.45)0.45,0.53x x x x x x x ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨+-⎪⎪∈⎪⎪----+-+-⎪∈⎪⎩04001234404(2)()0,()020, 4.3157, 3.26402.4300,20S x S x d f d d d d f λμ''''==''===-=-''=-====由此得矩阵开工的方程组为0412******* 4.3157322 3.264055 2.43003027M M M M M ==⎛⎫⎪-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭求解此方程组，得012340, 1.88090.8616, 1.0304,0M M M M M ==-=-=-=又三次样条表达式为331122111()()()66()()66j j j j jj j jj j jj j j jjx x x x S x M M h h M h x x M h x x y y h h +++++--=+--+-+-将01234,,,,M M M M M 代入得[][]333336.2697(0.25)10(0.3)10.9697(0.25)0.25,0.303.4831(0.39) 1.5956(0.3) 6.1138(0.39) 6.9518(0.30)0.30,0.39() 2.3933(0.45) 2.8622(0.39)10.4186(0.45)11.1903(0.39)0.3x x x x x x x x x S x x x x x x --+-+-∈----+-+-∈∴=----+-+-∈[][]39,0.452.1467(0.53)8.3987(0.53)9.1(0.45)0.45,0.53x x x x ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪--+-+-⎪∈⎪⎩五、50页计算实习题第一题①/*拉格朗日差值*/ #include<stdio.h> #include<conio.h> #define N 4 void main(){int checkvalid(double x[],int n);double Largrange(double x[],double y[],double varx,int n); double x[N+1]={0.4,0.55,0.8,0.9,1};double y[N+1]={0.41075,0.57815,0.88811,1.02652,1.17520}; double varx=0.5;if(checkvalid(x,N)==1)printf("\n\n 插值结果：P(%f)=%f\n",varx,Largrange(x,y,varx,N)); elseprintf("输入的插值节点的x 值必须互异！"); getch(); }int checkvalid(double x[],int n) {int i,j;for(i=0;i<n+1;i++) for(j=i+1;j<n+1;j++) if(x[i]==x[j])return -1;elsereturn 1;}double Largrange(double x[],double y[],double varx,int n) {int k,j;double A,B,C=1,D=0;for(k=0;k<=n;k++){C=1;for(j=0;j<=n;j++){if(j!=k){A=(varx-x[j]);B=(x[k]-x[j]);C=C*A/B;}}D=D+C*y[k];}return D;}②/*牛顿插值*/#include<stdio.h>#include<conio.h>#define N 4int checkvalid(double x[],int n){int i,j;for(i=0;i<N;i++)for(j=i+1;j<=N;j++){if(x[i]==x[j])return(-1);}return(1);}void chashang(double x[N],double y[N],double f[N][N]){int i,j,h;for(j=0;j<=N;j++){f[j][j]=y[j];}for(h=1;h<=N;h++){for(i=0;i<=N-h;i++){f[i][i+h]=(f[i+1][i+h]-f[i][i+h-1])/(x[i+h]-x[i]);}}}double compvalue(double f[N][N],double x[N],double y[N],double varx) {int i;double t=1.000000,n=y[0];chashang(x,y,f);for(i=1;i<=N;i++){t=t*(varx-x[i-1]);n=n+f[0][i]*t;}return n;printf("the result is %f.",n);}void main(){int i,j;double varx,x[N],y[N],f[N][N];printf("input the value of x:");for(i=0;i<N;i++)scanf("%f",&x[i]);if(checkvalid(x,N)==1){printf("input the value of y:"); for(j=0;j<N;j++) scanf("%f",&y[j]);printf("input the value of varx:"); scanf("%f",&varx); compvalue(f,x,y,varx); } elseprintf("the value of x must be different!\n"); }六、238页第8题用牛顿迭代法求tan 0x x -=的最小正根.解 显然*0x =满足tan 0x x -=.另外当||x 较小时,2131tan ......321k x x x x k +=+++++,故当(0,)2x π∈时,tan x x >,因此,方程tan 0x x -=的最小正根应在3(,)22ππ内.记3()tan ,(,)22f x x x x ππ=-∈,容易算得(4) 2.842...0,(4.6) 4.26...0f f =>=-<,因此[4,4.6]是()0f x =的有限区间. 对于二分法,计算结果见下表此时391011|*|1021024x x --<=<.若用牛顿迭代法求解,由于221'()(tan )0,''()2tan 0cos f x x f x xx =-<=-<,故取0 4.6x =,迭代计算结果如表7-13所示.所以tan 0x x -=的最小正根为* 4.493409458x ≈.。
数值分析大作业
数值分析大作业数值分析大作业姓名：黄晨晨学号：S1*******学院：储运与建筑工程学院学院班级：储建研17-2实验3.1 Gauss消去法的数值稳定性实验实验目的：理解高斯消元过程中出现小主元即很小时引起方程组解数值不定性实验内容：求解方程组Ax=b，其中（1）A1=0.3×10?1559.14315.291?6.130?1211.29521211，b1=59.1746.7812;（2）A2=10?7013 2.099999999999625?15?10102，b2=85.90000000000151;实验要求：(1)计算矩阵的条件数，判断系数矩阵是良态的还是病态的(2)用Gauss列主元消去法求得L和U及解向量x1,x2∈R4(3)用不选主元的高斯消去法求得L和U及解向量x1,x2∈R4(4)观察小主元并分析对计算结果的影响（1）计算矩阵的条件数，判断系数矩阵是良态的还是病态的代码：format longeformat compactA1=[0.3*10^-15,59.14,3,1;5.291,-6.130,-1,2;11.2,9,5,2;1,2,1,1] b1=[59.17;46.78;1;2]n=4C1=cond(A1,1) %C1为A1矩阵1范数下的条件数C2=cond(A1,2) %C2为A1矩阵2范数下的条件数C3=cond(A1,inf) %C3为1矩阵谱范数下的条件数结果：C1 =1.362944708720448e+02C2 =6.842955771253409e+01C3 =8.431146*********e+01显然A1矩阵为病态矩阵将矩阵A2，b2输入上述代码中求得A2矩阵的条件数为：C1 =1.928316831682894e+01C2 =8.993938090170119e+00C3 =1.835643564356072e+01显然A2矩阵也为病态矩阵(2)用Gauss列主元消去法求得L和U及解向量x1,x2∈R4代码：for k=1:n-1a=max(abs(A1(k:n,k)))if a==0returnendfor i=k:nif abs(A1(i,k))==ay=A1(i,:)A1(i,:)=A1(k,:)A1(k,:)=yx=b1(i,:)b1(i,:)=b1(k,:)b1(k,:)=xbreakendendif A1(k,k)~=0A1(k+1:n,k)=A1(k+1:n,k)/A1(k,k)A1(k+1:n,k+1:n)=A1(k+1:n,k+1:n)-A1(k+1:n,k)*A1(k,k+1:n) elsebreakendendL=tril(A1,0);for i=1:nL(i,i)=1;endLU=triu(A1,0)y1=L\b1x1=U\y1得到如下结果：x1 =3.845714853511634e+001.609517394778522e+00-1.547605454206655e+011.041130489899787e+01将A2=[10,-7,0,1;-3,2.0999********,6,2;5,-1,5,-1;0,1,0,2]b2=[8;5.900000000001;5;1]代入上述代码求得结果如下：X2 =4.440892098500626e-16-9.999999999999993e-019.999999999999997e-011.000000000000000e+00(3)用不选主元的高斯消去法求得L和U及解向量x1,x2∈R4代码：format longeformat compactA1=[0.3*10^-15,59.14,3,1;5.291,-6.130,-1,2;11.2,9,5,2;1,2,1,1] b1=[59.17;46.78;1;2][L,U]=lu(A1)y1=L\b1x1=U\y1求得如下结果：x1=3.845714853511634e+001.609517394778522e+00-1.547605454206655e+011.041130489899787e+01将A2=[10,-7,0,1;-3,2.0999********,6,2;5,-1,5,-1;0,1,0,2] b2=[8;5.900000000001;5;1]代入上述代码，求得结果如下：x 2 =4.440892098500626e-16 -9.999999999999993e-01 9.999999999999997e-01 9.999999999999999e-01（2）（3）求得结果相同，可验证结果正确。
数值分析第二章作业答案
第二章1.试证明nn R⨯中的子集“上三角阵”对矩阵乘法是封闭的。
证明：设n n R B A ⨯∈,为上三角阵，则)( 0,0j i b a ij ij >== C=AB ，则∑==nk kjik ij b ac 1)( 0j i c ij >=∴，即上三角阵对矩阵乘法封闭。
2.已知矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=512103421121A ，求A 的行空间)(T A R 及零空间N(A)的基。
解：对T A 进行行变换，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⇒⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--⇒⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=00100010121420050000121501131242121TA 3)(=∴T A r ，)(T A R 的基为[][][]T T T 5121,03421121321=-==ααα，由Ax=0可得[]Tx 0012-=∴N(A)的基为[]T0012-3.已知矩阵321230103A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，试计算A 的谱半径()A ρ。
解：2321()det()230(3)(64)013A f I A λλλλλλλλ---=-=--=--+=--max 35()3 5.A λρ=+=+4、试证明22112212211221,,,R E E E E E E ⨯+-是中的一组基。
，其中11121001,0000E E ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22210000,1001E E ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
1222112112211221134112212211221234134411221221122123410010000,,,00001001010110100000E E E E E E E E k k k k k k k E E E E E E k k k k k k E E E E E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫+=-= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭+⎛⎫⎛⎫++++-== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭++++-解：，（）（）令因此（）（0000O E ⎛⎫== ⎪⎝⎭）12331112212212211221111221122122112222112212211221 0 ,22,,,k k k k a a A V a a a a a aA a a E E E E E E R E E E E E E ⨯⇔====⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭+-=+++-+∴+-对于任意二阶实矩阵有（）（）是中的一组基。
北理工数值分析大作业
数值分析上机作业第 1 章1.1计算积分，n=9。
（要求计算结果具有6位有效数字）程序：n=1:19;I=zeros(1,19);I(19)=1/2*((exp(-1)/20)+(1/20));I(18)=1/2*((exp(-1)/19)+(1/19));for i=2:10I(19-i)=1/(20-i)*(1-I(20-i));endformat longdisp(I(1:19))结果截图及分析：在MATLAB中运行以上代码，得到结果如下图所示：当计算到数列的第10项时，所得的结果即为n=9时的准确积分值。
取6位有效数字可得.1.2分别将区间[-10.10]分为100,200,400等份，利用mesh或surf命令画出二元函数z=的三维图形。
程序：>> x = -10:0.1:10;y = -10:0.1:10;[X,Y] = meshgrid(x,y);Z = exp(-abs(X))+cos(X+Y)+1./(X.^2+Y.^2+1);subplot(2,2,1);mesh(X,Y,Z);title('步长0.1')>> x = -10:0.2:10;y = -10:0.2:10;[X,Y] = meshgrid(x,y);Z = exp(-abs(X))+cos(X+Y)+1./(X.^2+Y.^2+1);subplot(2,2,1);mesh(X,Y,Z);title('步长 0.2')>>x = -10:0.05:10;y = -10:0.05:10;[X,Y] = meshgrid(x,y);Z = exp(-abs(X))+cos(X+Y)+1./(X.^2+Y.^2+1);subplot(2,2,1);mesh(X,Y,Z);title('步长0.05')结果截图及分析：由图可知，步长越小时，绘得的图形越精确。
数值计算(数值分析)试题及答案
4.用Jacobi 迭代法求解方程组123123123202324812231530x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩，取初值()()00,0,0T x =，计算迭代二次的),,(z y x 值；（2分）问Jacobi 迭代法是否收敛？为什么？（2分）若收敛，需要迭代多少次，才能保证各分量的误差绝对值小于610-？（提示：6ln(310)13.57ln 3⨯≈）（5分） 问Gauss-Seidel 迭代法是否收敛？为什么？（1分）5.用欧拉法求解初值问题()202y x yy '⎧=-+⎪⎨=⎪⎩在[]0,1.5上的数值解，取0.5h =，计算过程保留5位小数。
（要求写出迭代公式，不写公式扣4分） 三.分析题，请写出主要分析与认证过程（每小题5分，共10分） 1.设Ax b =，其中n n A R ⨯∈为非奇异矩阵，证明()()222T cond A A cond A ⎡⎤=⎣⎦2.证明向量X的范数满足不等式2X X∞∞≤≤四.证明（10分）对于给定的正数a ,应用牛顿法于方程1()0f x a x=-=，写出牛顿迭代格式； 证明当初值满足020x a<<时，该迭代法收敛。
武汉理工大学研究生课程考试标准答案用纸课程名称：数值计算（A ） 任课教师 ：一. 简答题，请简要写出答题过程（每小题5分，共30分） 1.将227和355113作为 3.14159265358979π=的近似值，它们各有几位有效数字，绝对误差和相对误差分别是多少？3分）2分）2.已知()8532f x x x =+-，求0183,3,,3f ⎡⎤⎣⎦，0193,3,,3f ⎡⎤⎣⎦.(5分）3.确定求积公式10120()(0)(1)(0)f x dx A f A f A f '≈++⎰中的待定系数，使其代数精度尽量高，并指明该求积公式所具有的代数精度。
解：要使其代数精度尽可能的高，只需令()1,,,m f x x x =使积分公式对尽可能大的正整数m 准确成立。
数值分析最佳习题含答案
第一章 绪论学号 班级习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。
1 若误差限为5105.0-⨯,那么近似数0.003400有几位有效数字？（有效数字的计算） 解：2*103400.0-⨯=x ，325*10211021---⨯=⨯≤-x x 故具有3位有效数字。
214159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少？（有效数字的计算）解：10314159.0⨯= π，欲使其近似值*π具有4位有效数字，必需41*1021-⨯≤-ππ，3*310211021--⨯+≤≤⨯-πππ，即14209.314109.3*≤≤π3 已知2031.1=a ，978.0=b 是经过四舍五入后得到的近似值，问b a +，b a ⨯有几位有效数字？（有效数字的计算）解：3*1021-⨯≤-aa ，2*1021-⨯≤-b b ，而1811.2=+b a ，1766.1=⨯b a 2123****102110211021)()(---⨯≤⨯+⨯≤-+-≤+-+b b a a b a b a故b a +至少具有2位有效数字。
2123*****10210065.01022031.1102978.0)()(---⨯≤=⨯+⨯≤-+-≤-b b a a a b b a ab 故b a ⨯至少具有2位有效数字。
4 设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差和相对误差？（误差的计算） 解：已知δ=-**xx x ，则误差为 δ=-=-***ln ln xx x x x则相对误差为******ln ln 1ln ln ln xxx x xxx x δ=-=-5测得某圆柱体高度h 的值为cm h 20*=，底面半径r 的值为cm r 5*=，已知cm h h 2.0||*≤-，cm r r 1.0||*≤-，求圆柱体体积h r v2π=的绝对误差限与相对误差限。
（误差限的计算） 解：*2******2),(),(h h r r r h r r h v r h v -+-≤-ππ绝对误差限为πππ252.051.02052)5,20(),(2=⨯⋅+⨯⋅⋅⋅≤-v r h v相对误差限为%420120525)5,20()5,20(),(2==⋅⋅≤-ππv v r h v 6 设x 的相对误差为%a ,求nx y =的相对误差。
天大16年6月考试[数值计算方法]大作业考核
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天大16年6月考试[数值计算方法]大作业考核数值计算方法要求：1. 独立完成，作答时要写明题型、题号；2. 作答方式：手写作答或电脑录入，使用A4格式白纸；3. 提交方式：以下两种方式任选其一，1) 手写作答的同学可以将作业以图片形式打包压缩上传； 2) 提交电子文档的同学可以将作业以word 文档格式上传；4. 上传文件命名为“中心-学号-姓名-科目.rar ” 或“中心-学号-姓名-科目.doc ”；5. 文件容量大小：不得超过10MB 。
请在以下五组题目中任选一组作答，满分100分。
第一组：一、简述题（共50分）1、（28分）已知方程组f AX =，其中--=4114334A ，??-=243024f列出Jacobi 迭代和Gauss-Seidel 迭代法的分量形式。
求出Jacobi 迭代矩阵的谱半径。
2、（22分）用牛顿法求方程3310x x --=在[]1,2之间的近似根（1）请指出为什么初值应取2？（2）请用牛顿法求出近似根，精确到0.0001。
二、计算题（29分）用反幂法求矩阵2100121001210012A ---?=??--??-??的对应于特征值0.4λ=的特征向量三、分析题（21分）设()()23f x x a=-（1）写出解()0f x =的牛顿迭代格式（2）证明此迭代格式是线性收敛的第二组：一、计算题（共76分）1、计算题（24分）分别用梯形公式与Simpson 公式计算1x I e dx =?的近似值，并估计误差2、计算题（25分）取步长1.0=h ，求解初值问题=+-=1)0(1y y dx dy 用改进的欧拉法求)1.0(y 的值；用经典的四阶龙格—库塔法求)1.0(y 的值。
3、计算题（27分）用雅可比法求210121012A -??=---??的特征值二、简述题（24分）设122,111221Ax b A -==----??讨论雅可比和塞德尔法的收敛性第三组：一、计算题（共70分）1、计算题（26分）以100,121,144为插值节点，用插值法计算115的近似值，并利用余项估计误差。
北理工数值分析大作业
北理工数值分析大作业近年来，随着计算机技术的飞速发展，数值分析成为了计算机科学与工程中的重要领域。
数值分析着重于通过数值方法和计算技术解决实际问题，并通过数值计算的精度、稳定性和效率来评价算法的优劣。
本文将介绍北理工数值分析大作业的主题和方案。
本次数值分析大作业的主题是解决常微分方程（Ordinary Differential Equation，ODE）的初值问题。
常微分方程是描述自然界中许多物理现象和工程问题的数学模型，解决常微分方程的初值问题是数值分析中的经典问题之一我们将采用龙格-库塔法（Runge-Kutta method）来解决常微分方程的初值问题。
龙格-库塔法是一种常用的数值求解ODE的方法，其核心思想是通过将微分方程近似为差分方程，用离散化的方法逼近真实解。
具体方法是以一种递归的方式计算不同阶的近似解，从而提高解的精度。
首先，我们将介绍龙格-库塔法的基本原理和算法。
龙格-库塔法的核心是通过递归计算中间值来逼近真实解，并根据这些中间值计算最终的近似解。
我们将详细介绍四阶龙格-库塔法的具体算法和推导过程，并给出其误差分析和收敛性证明。
接下来，我们将选取一个具体的常微分方程作为案例来验证龙格-库塔法的有效性和稳定性。
我们选择经典的二阶线性常微分方程作为案例，该方程具有已知的解析解。
我们将通过比较数值解和解析解的差异来评估龙格-库塔法的精度和可靠性，并对算法的参数设置进行优化。
最后，我们将对龙格-库塔法进行性能测试和分析。
我们将使用不同的问题规模和不同的算法参数来测试算法的运行时间和内存占用情况，并通过绘制性能曲线来评估算法的效率和可扩展性。
总结起来，本文介绍了北理工数值分析大作业的主题和方案，主要包括龙格-库塔法的基本原理和算法、常微分方程的解析解验证、算法参数优化以及性能测试。
通过本次大作业的完成，我们将对数值分析的基本理论和方法有更深入的理解，并能够熟练应用数值方法解决实际问题。
高等数值分析大作业报告
0.1, 0.2,
15 。 12, 0, ,0 。
③ M 7 是不可逆的，假设它的秩为 120， diag
二、数值实验
首先生成 10 个 m× n(最好属于不同类型或者具有不同性质)的矩阵，这里 m, n 100 ， 比较不同方法的计算结果。
2.1 矩阵的选取原则
将这十个 m× n 的矩阵记为 M1~10 ，随机生成 m m, n n 的矩阵，然后对它们进行 QR 分解，得到两个 m m, n n 的正交矩阵，然后生成形如 中 1 diag 1,
max
i
ˆ T V ˆ max A U 0 i, j
分而治之法
4.54 1014
4.83 109
0.7297 0.0617 0.7379 0.0571 0.5002 0.4884 0.4833 0.3337 0.7625 0.0520 0.6011 0.0741 0.5194 0.0615 0.5728 0.0673 0.0511 0.0676 0.0535 0.0756
9.83 1015
2.611015 3.41109 1.35 1015 2.26 109
5.22 1015 5.31109 3.611015 2.10 109 5.12 1015 3.70 109
5.24 1015
M5
普通 SVD 算法 分而治之法
M6
150 m n 120 ( m n 时对矩阵进行转置，计算它的转置矩阵的奇异值分解，此时和 m n 的情况相同)。 2、矩阵 M 5~7 是 m n 150 方阵(有两个可逆，一个不可逆)， M U V ，首先按 照上面的方法随机生成正交矩阵，此后，得到 M 5~7 时，由于对角矩阵 不同，讨论不同的
数值分析精品课程综合材料
《数值分析》精品课程综合材料一、课程建设的目标、规划，采取的主要措施按照精品课程建设的要求，遵从教育教学规律，以“提高教学质量和培养优秀人才”为核心，以力求“创新”、加强“实践”，强调“交叉”为目标，积极探索和实践，精益求精，力求使学生从《数值分析》课程中汲取的更多的营养。
1、继续加强师资内涵建设通过几年的引进和培养，信息与计算科学教研室的师资构成已逐步稳定，青年教师的教龄均超过5年，教学经验逐步增强、教学方法日益丰富。
通过听课、讲课比赛、教学观摩等活动，青年教师已逐步成长起来，部分青年教师潜力很大，已体现出青出于蓝而胜于蓝的势头。
作为精品课程，应突出一个“精”字。
所谓师资“精”，关键在于建设师资的内涵，内涵的提高应重点放在：（1）认真选择、领会与把握课程教学的内容；（2）探索以人为本，因人施教的教学方法；（3）积极开展科研工作，并把科研工作与教学工作紧密结合起来，严谨治学为人师表。
2 、加强教学内容与教学方式的改革以计算科学为基础的“科学计算”已经成为人类科学活动中与实验和理论并立的第三种科学方法，计算科学则是所有从事与科学计算有关的科技工作的专业人员都有必要掌握或了解的重要数学工具。
因此，《数值分析》课程传授的知识具有很强的应用性。
为了培养学生理论结合实际的能力，培养学生运用计算数学的思想和方法解决科研与工程技术问题的能力，应该有侧重地加强教学内容与教学方式的探讨与改革。
在教学内容方面应有的放矢地加强知识背景的介绍，以“精”和“透”为目标，传授好经典的数值分析理论，培养学生的数学素养。
介绍数值分析经典算法在实际科研和工程计算中的应用，介绍现代数值计算方法的进展和应用，充分发挥《数值分析》课程的特色优势。
3、充分利用现代传媒技术，扬长避短改进教学手段将多媒体教学和传统的黑板板书教学相结合。
在背景知识的讲解、数值方法的意义以及计算实例的程序演示时，应充分发挥多媒体直观生动的优势，帮助学生进行感性认识。
数值计算-武汉理工大学网络教学平台
)
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如果
a(1) 11
0
由于 det( A) 0
则 A的第一列中至少有一个元素不为零
如
a(1) i1 1
0,则将( A(1) ,b(1) )的第一行与第i1行交换后消元
且
a(1) 11
0
a(1) 12
a(2) 22
a(1) 1n
a(2) 2n
b1( 1 ) b2( 2 )
0
a(2) n2
无需换行即可进行到底，得到唯一解。
注：次事消实元上及，行只交要d换eAt(，A非i 将)奇方异a..1程.1，组..即....化Aa.为.1.i1三存角在形，方则程可组通，过求逐出
唯一解。
ai1 ... aii
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例1. 用高斯消去法求解方程组：
x1 x2 x3 6
4x2 x3 5
i k 1,, n 上页
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当经过k n 1步后, ( A(1), b(1) )将化为
( A(1) , b(1) )
a(1) 11
( A(n) , b(n) )
a(1) 12
a(2) 22
a(1) 1n
a(2) 2n
b1( 1 ) b2( 2 )
a(n) nn
bn( n )
由于 det( A) 0
按现代数学表述, 设上、中、下禾一秉可得分别为 x, y, z
列出线性方程组
3x 2 y z 39 2x 3y z 34
x 2 y 3z 26
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在许多实际问题中， 都会出现线性方程组的求解问题。 例如：结构分析、网络分析、大地测量、数据分析、最优化 化问题等等。
数值分析作业答案——第五版
数值分析第一次作业及参考答案1. 已测得函数()y f x =的三对数据：（0，1），（－1，5），（2，－1），（1）用Lagrange 插值求二次插值多项式。
（2）构造差商表。
（3）用Newton 插值求二次插值多项式。
解：(1)Lagrange 插值基函数为0(1)(2)1()(1)(2)(01)(02)2x x l x x x +-==-+-+-同理 1211()(2),()(1)36l x x x l x x x =-=+故2202151()()(1)(2)(2)(1)23631i i i p x y l x x x x x x x x x =-==-+-+-++=-+∑（2）令0120,1,2x x x ==-=，则一阶差商、二阶差商为0112155(1)[,]4,[,]20(1)12f x x f x x ---==-==-----0124(2)[,,]102f x x x ---==-22()1(4)(0)1*(0)(1)31P x x x x x x =+--+-+=-+2. 在44x -≤≤上给出()x f x e =的等距节点函数表，若用二次插值求xe 的近似值，要使截断误差不超过610-，问使用函数表的步长h 应取多少？解：()40000(),(),[4,4],,,, 1.xk x f x e fx e e x x h x x h x x th t ==≤∈--+=+≤考察点及(3)200044343()()[(()]()[()]3!(1)(1)(1)(1)3!3!2.(4,4).6fR x x x h x x x x ht t tet h th t h e heξξ=----+-+≤+⋅⋅-=≤∈-则436((1)(1)100.006.t t th h--+±<<在点取到极大值令 得3.求2()f x x=在［a,b］上的分段线性插值函数()hI x，并估计误差。
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数值分析实验一、95页第17题已知实验数据如下：用最小二乘法求一个形如的经验公式，使它拟合下列数据，并计算均方误差. 解：本题给出拟合曲线，即，故法方程系数法方程为解得最小二乘拟合曲线为均方程为二、238页第2题第二问求方程在=1.5附近的一个根解：设将方程改写为建立迭代公式，k=0,1,2,3…取，则原方程的根为=1.4665572三、书238页第7题第一问1．用牛顿法求在=2附近的根解：Newton 迭代法取，则，取2.用牛顿法求 的实根解：令，则，取四、49页第20 题 X j 0.25 0.30 0.39 0.45 0.53 Y j0.50000.54770.62450.67080.7280试求三次样条插值，并满足条件：(1)(0.25) 1.0000,(0.53)0.6868;(2)(0.25)(0.53)0.S S S S ''==''''==解：0101212323430.050.090.060.08h x x h x x h x x h x x =-==-==-==-=1111234,533,,,11457j j j j j jj jh h h h h h μλμμμμ---==--∴====[][][][]1230100110122334924,,,11457()(),0.9540,0.8533,0.7717,0.7150f x f x f x x x x f x x f x x f x x λλλλ====-==-===[][][][][][][][]040120012011012312212342332344343(1)() 1.0000,()0.68686(,) 5.5200,,6 4.3157,,6 3.2640,,6 2.43006(,) 2.1150S x S x d f x x f h f x x f x x d h h f x x f x x d h h f x x f x x d h h d f f x x h ''=='=-=--==-+-==-+-==-+'=-=- 由此得矩阵形式的方程组为2 1 M 0 5.5200-514 2 914M 1 4.3157- 35 2 25M 2 = 3.2640-37 2 47M 3 2.4300-1 2 M 4 2.1150-求解此方程组得012342.0278, 1.46431.0313,0.8070,0.6539M M M M M =-=-=-=-=-三次样条表达式为331122111()()()66()()(0,1,,1)66j j j j jj j jj j jj j j jjx x x x S x M M h h M h x x M h x x y y j n h h +++++--=+--+-+-=-∴将01234,,,,M M M M M 代入得[][]3333336.7593(0.30) 4.8810(0.25)10.0169(0.30)10.9662(0.25)0.25,0.302.7117(0.39) 1.9098(0.30) 6.1075(0.39) 6.9544(0.30)0.30,0.39() 2.8647(0.45) 2.2422(0.39)10.4186(0.45x x x x x x x x x x S x x x x ----+-+-∈----+-+-∈=----+-[][]33)10.9662(0.39)0.39,0.451.6817(0.53) 1.3623(0.45)8.3958(0.53)9.1087(0.45)0.45,0.53x x x x x x x ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨+-⎪⎪∈⎪⎪----+-+-⎪∈⎪⎩04001234404(2)()0,()020, 4.3157, 3.26402.4300,20S x S x d f d d d d f λμ''''==''===-=-''=-====由此得矩阵开工的方程组为0412******* 4.3157322 3.264055 2.43003027M M M M M ==⎛⎫⎪-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭求解此方程组，得012340, 1.88090.8616, 1.0304,0M M M M M ==-=-=-=又三次样条表达式为331122111()()()66()()66j j j j jj j jj j jj j j jjx x x x S x M M h h M h x x M h x x y y h h +++++--=+--+-+-将01234,,,,M M M M M 代入得[][]333336.2697(0.25)10(0.3)10.9697(0.25)0.25,0.303.4831(0.39) 1.5956(0.3) 6.1138(0.39) 6.9518(0.30)0.30,0.39() 2.3933(0.45) 2.8622(0.39)10.4186(0.45)11.1903(0.39)0.3x x x x x x x x x S x x x x x x --+-+-∈----+-+-∈∴=----+-+-∈[][]39,0.452.1467(0.53)8.3987(0.53)9.1(0.45)0.45,0.53x x x x ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪--+-+-⎪∈⎪⎩五、50页计算实习题第一题①/*拉格朗日差值*/ #include<stdio.h> #include<conio.h> #define N 4 void main(){int checkvalid(double x[],int n);double Largrange(double x[],double y[],double varx,int n); double x[N+1]={0.4,0.55,0.8,0.9,1};double y[N+1]={0.41075,0.57815,0.88811,1.02652,1.17520}; double varx=0.5;if(checkvalid(x,N)==1)printf("\n\n 插值结果：P(%f)=%f\n",varx,Largrange(x,y,varx,N)); elseprintf("输入的插值节点的x 值必须互异！"); getch(); }int checkvalid(double x[],int n) {int i,j;for(i=0;i<n+1;i++) for(j=i+1;j<n+1;j++) if(x[i]==x[j])return -1;elsereturn 1;}double Largrange(double x[],double y[],double varx,int n) {int k,j;double A,B,C=1,D=0;for(k=0;k<=n;k++){C=1;for(j=0;j<=n;j++){if(j!=k){A=(varx-x[j]);B=(x[k]-x[j]);C=C*A/B;}}D=D+C*y[k];}return D;}②/*牛顿插值*/#include<stdio.h>#include<conio.h>#define N 4int checkvalid(double x[],int n){int i,j;for(i=0;i<N;i++)for(j=i+1;j<=N;j++){if(x[i]==x[j])return(-1);}return(1);}void chashang(double x[N],double y[N],double f[N][N]){int i,j,h;for(j=0;j<=N;j++){f[j][j]=y[j];}for(h=1;h<=N;h++){for(i=0;i<=N-h;i++){f[i][i+h]=(f[i+1][i+h]-f[i][i+h-1])/(x[i+h]-x[i]);}}}double compvalue(double f[N][N],double x[N],double y[N],double varx) {int i;double t=1.000000,n=y[0];chashang(x,y,f);for(i=1;i<=N;i++){t=t*(varx-x[i-1]);n=n+f[0][i]*t;}return n;printf("the result is %f.",n);}void main(){int i,j;double varx,x[N],y[N],f[N][N];printf("input the value of x:");for(i=0;i<N;i++)scanf("%f",&x[i]);if(checkvalid(x,N)==1){printf("input the value of y:"); for(j=0;j<N;j++) scanf("%f",&y[j]);printf("input the value of varx:"); scanf("%f",&varx); compvalue(f,x,y,varx); } elseprintf("the value of x must be different!\n"); }六、238页第8题用牛顿迭代法求tan 0x x -=的最小正根.解 显然*0x =满足tan 0x x -=.另外当||x 较小时,2131tan ......321k x x x x k +=+++++,故当(0,)2x π∈时,tan x x >,因此,方程tan 0x x -=的最小正根应在3(,)22ππ内.记3()tan ,(,)22f x x x x ππ=-∈,容易算得(4) 2.842...0,(4.6) 4.26...0f f =>=-<,因此[4,4.6]是()0f x =的有限区间. 对于二分法,计算结果见下表此时391011|*|1021024x x --<=<.若用牛顿迭代法求解,由于221'()(tan )0,''()2tan 0cos f x x f x xx =-<=-<,故取0 4.6x =,迭代计算结果如表7-13所示.所以tan 0x x -=的最小正根为* 4.493409458x ≈.。