二项式定理性质ppt课件

数相等是( B )
A 第２项 B 第３项 C 第４项 D 第５项 2、若（a+b）n的展开式中，第三项的二项式系
数与 第五项的二项式系数相等，则n=____6______
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二项式系数的性质
（2）增减性与最大值
11
先增后减
121
n是偶数时，中间的一项（第
n 2
1项）的二项式系数
C
n 2
n
取得最大值 ；
2
T5 T41 C148
x
184
4
1 x3
4
3060x4.
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课堂练习
1.在(1+x)10的展开式中，二项式系数最大为 C150 ；
在(1-x)11的展开式中，二项式系数最大为
C C151
6
1. 1
2.（x-2)9的展开式中，第6项的二项式系数 是（ C ） A.4032 B.-4032 C.126 D.-126
令a=1,b=-1得
C0n
C1n
C2n . . .
(1)C
r n
...
(1)n Cnn
(11)2
0
Cn0 Cn2 C1n Cn3
C
0 n
C
2 n
C1n
C3n
2n 2
2n1
特例法 赋值法
11
课堂练习
1.Cn1 Cn2 L Cnn _2_n__1_;
C111
C131
C151
-1094 1093
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例题讲解
例4.设 (33 x 1)n 二项式展开式的各项系数 x
的和为P；二项式系数的和为S，且P+S=272，
则展开式的常数项为__1_0_8_____．
n=4
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例题讲解
例4. 在(2x 3)20的展开式中,
求其项的最大系数.不必化简.
解: 设 r 1项是系数最大的项,则
(a+b)n Cn0 Cn1 Cn2 … Cnr … Cnn 表中的每一个
这个表叫做二项式系数表, 也称“杨辉三角”
数等于它肩上 的两数的和 3
二项式系数的性质
（1）对称性
与首末两端“等距离”的两 个二项式系数相等．
这一性质可直接由公式
C
m n
Cnm n
得到．
图象的对称轴： r n 2
4
课堂练习 1、在(a＋b)６展开式中，与倒数第三项二项式系
Cnr a nrbr 叫做二项展开式的通项，用 Tr+1
表示，该项是指展开式的第 r+1 项，展开式共有
_n_+__1_个项.
T C ranrbr
r 1
n
2
(a b)n Cn0an C1nan1b Crnanrbr Cnnbn
(a+b)1 (a+b)2
C10 C11
C
0 2
C1n
C
2 n
C3n
Cnn
2n
1
这是组合总数公式．
赋值法
9
例题讲解
例2.(2x2 1)n 的展开式的各项系数和为__1__
解：设 (2x2 1)n a0x2n a1x2(n1) an
展开式各项系数和为 a0 a1 a2 an
∵上式是恒等式，所以当且仅当x=1时，
(2-1)n= a0 a1 a2 an
C12
C
2 2
11 121
(a+b)3 (a+b)4 (a+b)5
C03 C13 C32 C33
C
0 4
C14
C
2 4
C
3 4
C
4 4
C05 C15 C52 C35 C54 C55
1 33 1 1 46 41 1 5 10 10 5 1
(a+b)6 C06 C16 C62 C36 C64 C56 C66 1 6 15 20 15 6 1
由对称性知, 它的后半部是逐渐减小的。
n
C 最 值: 当n是偶数时，中间的一项 2取得最大时 ； n
n1 n1
C C 当n是奇数时，中间的两项
2， 2 相等，
n
n
且同时取得最大值。
2 二项式系数之和: n (由赋值法求得 )
（3） 数学方法 ： 赋值法 、递推法
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C2r0 220r
3r
C r1 20
220r
1
3r
1
C2r0 220r
3r
C r1 20
220r
1
3r
1
11.6 r 12.6
系数最大的项是第13项 即C2102 28312
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课堂小结
对称性 （1） 二项式系数的三个性质: 增减性与最大值 （2） 数学思想：函数思想。 各二项式系数的和
增减性: 当 k n 1 时，二项式系数是逐渐增大的， 2
1 33 1 1 46 41 1 5 10 10 5 1
当n是奇数时，中间的两项（第
C n 1
2
系数
1、n
C n1 2 n
1 2
和
1
16
项）的二项式
n1 2
相等，且同时取
n
15 20 15
6
1
得最大值。
6
பைடு நூலகம்
例1、已知
x 4
1 x3
n
的展开式中只有第10项的二
项式系数最大，求第五项。
解：依题意，n为偶数，且 n 1 10, n 18,
C171
C191
C11 11
_2_1_0 __ .
2.设 2x 3 3 a0 a1x a2x2 a3x3.
求:a0 a2 2 a1 a3 2 的值. 1
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课堂练习
3.已知(1 2x)7 a0 a1x a2 x2 L a7 x7
则a1 a2 L a7 -2
a1 a3 a5 a7 a0 a2 a4 a6
3.在二项式(x-1)11的展开式中,求系数最小的
项的系数。最大的系数呢？
C151 462
C161 462
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二项式系数的性质
（3）各二项式系数的和
在二项式定理中，令a b 1，则：
C
0 n
C1n
Cn2
Cnn
2n
这就是说，(a b)n的展开式的各二项式系
数的和等于：2n
同时由于C0n 1，上式还可以写成：
本积
商实
《 九
平方
章
立方
算
术
三乘
》 杨
四乘
辉
五乘
《详解九章算法》中记载的表 1
二项式定理
(a b)n Cn0an C1nan1b Crnanrbr Cnnbn
(n N )
这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式
右边的多项式叫做 (a+b) n的 展开式
，
其中 Crn（r=0,1,2,……,n）叫做 二项式系数 ，
∴a0 a1 a2 an =（2-1）n=1
注意：求展开式中各项系数和常用赋值法： 令二项式中的字母为1
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例3、证明：在(a＋b)n展开式中,奇数项的二项式系 数的和等于偶数项的二项式系数的和.
即证：Cn0 Cn2 C1n Cn3 ＝２n-1
证明（a+b）n＝Cn0an+Cn1an-1b+Cn2an-2b2+ … + Cnran-rbr+…+Cnnbn