第七讲 线性回归分析[1]
线性回归精确分析讲课文档
(6)指定作图时各数据点的标志变量(case labels)
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第十一页，共76页。
一元线性回归分析操作
(二) statistics选项 (1)基本统计量输出
– Estimates:默认.显示回归系数相关统计量.
– confidence intervals:每个非标准化的回归系数95%的置信
起的因变量y的平均变动
(二)多元线性回归分析的主要问题
– 回归方程的检验
– 自变量筛选 – 多重共线性问题
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第Hale Waihona Puke 八页，共76页。多元线性回归方程的检验
(一)拟和优度检验:
(1)判定系数R2:
– R是y和xi的复相关系数(或观察值与预测值的相关系数),测定了因变量 y与所有自变量全体之间线性相关程度
第二十三页，共76页。
23
多元线性回归分析中的自变量筛选
(二)自变量向前筛选法(forward): • 即:自变量不断进入回归方程的过程. • 首先,选择与因变量具有最高相关系数的自变量进入方程,
并进行各种检验;
• 其次,在剩余的自变量中寻找偏相关系数最高的变量进入回归方 程,并进行检验;
– 默认:回归系数检验的概率值小于PIN(0.05)才可以进入方程.
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第六页，共76页。
一元线性回归方程的检验
(一)拟和优度检验:
(3)统计量：判定系数
– R2=SSR/SST=1-SSE/SST. – R2体现了回归方程所能解释的因变量变差的比例;1-R2则体现
了因变量总变差中，回归方程所无法解释的比例。
– R2越接近于1，则说明回归平方和占了因变量总变差平方和的绝大
回归分析实例PPT课件
线性回归分析的应用
预测
使用线性回归模型来预测因变 量的值，基于给定的自变量值
。
解释变量关系
通过线性回归分析来了解自变 量与因变量之间的数量关系和 影响程度。
控制变量效应
在实验或调查中，控制自变量 的影响，以观察因变量的变化 情况。
模型的建立和检验
模型的建立
首先需要收集数据，并进行数据 清洗和预处理，然后选择合适的 自变量和因变量，建立逻辑回归
模型。
模型的检验
通过多种检验方法对模型进行评 估，包括参数估计、假设检验、 模型诊断等，以确保模型的准确
性和可靠性。
模型的优化
根据检验结果对模型进行调整和 优化，包括参数调整、变量筛选
详细描述
收集产品在过去一段时间的销售数据，包括销售额、销售量等，作为自变量， 将未来某一段时间的产品销量作为因变量，建立回归模型。通过模型预测未来 产品销量，为企业制定生产和销售计划提供依据。
实例三：疾病风险预测
总结词
基于个人健康数据和疾病历史，建立回归模型预测疾病风险。
详细描述
收集个人的健康数据和疾病历史，包括血压、血糖、胆固醇等生理指标以及家族 病史等信息，作为自变量，将未来患某种疾病的风险作为因变量，建立回归模型 。通过模型预测个人患某种疾病的风险，为预防和早期干预提供参考。
线性关系的假设
自变量x与因变量y之间存在线性关系， 即随着x的增加（或减少），y也相应 地增加（或减少）。
模型的建立和检验
01
02
03
数据收集与整理
收集相关数据，并进行必 要的整理和清洗，以确保 数据的质量和可靠性。
应用线性回归分析课件
Part
03
线性回归模型建立与求解
一元线性回归模型建立步骤
绘制散点图
以自变量为横坐标，因变量为纵 坐标，绘制散点图，观察变量之 间的关系。
建立一元线性回归模型
如果散点图呈现出线性趋势，则 可以建立一元线性回归模型，即 y=β0+β1x+ε，其中β0和β1为待 估参数，ε为随机误差项。
参数估计
采用最小二乘法对模型参数进行 估计，得到β0和β1的估计值。
03
04
2. 构造检验统计量；
3. 根据显著性水平确定临界值；
05
06
4. 计算检验统计量的值并与临界值比较， 得出结论。
残差分析在模型诊断中应用
残差图
通过绘制残差与预测值或 解释变量的散点图，观察 是否存在非线性关系、异 方差性等问题。
残差自相关检验
通过检验残差是否存在自 相关性，判断模型是否违 反独立性假设。
数据转换
对连续型特征进行离散化（如分 箱处理），对类别型特征进行编 码（如独热编码）。
特征选择与提取技巧
单变量选择
基于模型的选择
计算每个特征与输出变量之间的统计量（ 如相关系数、卡方值等），选择统计量较 高的特征。
使用逐步回归、LASSO回归等方法，在模 型训练过程中自动选择重要特征。
特征变换
特征交互
利用线性回归模型建立房价与影响因素之间的关 系，并通过统计指标（如R方值、均方误差等） 评估模型的拟合优度。
参数估计
采用最小二乘法对模型参数进行估计，得到β0, β1, ..., βk的 估计值。
模型检验
对模型进行统计检验，包括拟合优度检验、回归系数显著 性检验、多重共线性检验等，以判断模型是否有效。
高一数学必修四线性回归分析知识点
【导语】有时候，洒脱⼀点，眼前便柳暗花明;宽容⼀点，⼼中便海阔天空。
⾝边的世界往往⽐我们想象的要睿智与宽容。
⼼存感激，永不放弃!即使是在最猛烈的风⾬中，我们也要有抬起头，直⾯前⽅的勇⽓。
因为请相信：任何⼀次苦难的经历，只要不是毁灭，就是财富!⾼⼀频道为你整理了《⾼⼀数学必修四线性回归分析知识点》希望对你有帮助! 【⼀】 重点难点讲解： 1.回归分析： 就是对具有相关关系的两个变量之间的关系形式进⾏测定，确定⼀个相关的数学表达式，以便进⾏估计预测的统计分析⽅法。
根据回归分析⽅法得出的数学表达式称为回归⽅程，它可能是直线，也可能是曲线。
2.线性回归⽅程 设x与y是具有相关关系的两个变量，且相应于n组观测值的n个点(xi,yi)(i=1,......,n)⼤致分布在⼀条直线的附近，则回归直线的⽅程为。
其中。
3.线性相关性检验 线性相关性检验是⼀种假设检验，它给出了⼀个具体检验y与x之间线性相关与否的办法。
①在课本附表3中查出与显著性⽔平0.05与⾃由度n-2(n为观测值组数)相应的相关系数临界值r0.05。
②由公式，计算r的值。
③检验所得结果 如果|r|≤r0.05，可以认为y与x之间的线性相关关系不显著，接受统计假设。
如果|r|>r0.05，可以认为y与x之间不具有线性相关关系的假设是不成⽴的，即y与x之间具有线性相关关系。
典型例题讲解： 例1.从某班50名学⽣中随机抽取10名，测得其数学考试成绩与物理考试成绩资料如表：序号12345678910数学成绩54666876788285879094，物理成绩61806286847685828896试建⽴该10名学⽣的物理成绩对数学成绩的线性回归模型。
解：设数学成绩为x，物理成绩为，则可设所求线性回归模型为， 计算，代⼊公式得∴所求线性回归模型为=0.74x+22.28。
说明：将⾃变量x的值分别代⼊上述回归模型中，即可得到相应的因变量的估计值，由回归模型知：数学成绩每增加1分，物理成绩平均增加0.74分。
第七讲 相关分析与回归分析
DW检验。（零假设：总体的自相关系数ρ与0无显著差异。）
当随机扰动项存在序列相关时，进行Durbin-Watson检验：
2 ( e e ) i i 1 i 2 2 e i i 2 n n
DW
0<DW<dL:随机扰动项存在一阶正序列相关； 4-dL<DW<4：随机扰动项存在一阶负序列相关；
调整的可决系数： R 2 1 SSE /(n k 1) （多元线性回归方 SST /(n 1) 程） ① 解释变量增多时，SSE减少，R2增加；
② 有重要“贡献”的解释变量出现。
2）回归方程整体显著性检验
包含回归方程的显著性检验和回归系数的显著性检验两个部 分。 回归方程的显著性检验：检验线性关系是否显著
，
服从自由度为n-2的t分布。
定序变量的相关分析-Spearman
ui和vi分别表示变量 x和 y的秩变量，用di=ui-vi表示第i个样 n 本对应于两变量的秩之差。 2 Spearman秩相关公式：
rs 1 6 d i
i 1 2
n( n 1)
两变量正相关，秩变化有同步性，r趋向于1；
一般步骤： 1. 确定回归方程中的解释变量和被解释变量 2. 确定回归模型 3. 建立回归方程 4. 对回归方程进行各种检验 5. 利用回归方程进行预测
线性回归
数学模型： yi 0 1 xi1 2 xi 2 k xik i 使用最小二乘法对模型中的回归系数进行估计，得到样本 ^ ^ ^ ^ 回归函数：yi 0 1 xi1 2 xi 2 k xik ei
线性回归分析ppt课件
21
多元回归分析中的其他问题 u变量筛选问题 Ø向前筛选策略
解释变量不断进入回归方程的过程，首先选择与被解释变量具有最高 线性相关系数的变量进入方程，并进行各种检验；其次在剩余的变量中挑 选与解释变量偏相关系数最高并通过检验的变量进入回归方程。 Ø向后筛选策略
变量不断剔除出回归方程的过程，首先所有变量全部引入回归方程并 检验，然后在回归系数显著性检验不显著的一个或多个变量中，剔除t检验 值最小的变量。 Ø逐步筛选策略
合准则。
最小二乘法将偏差距离定义为离差平方和，即
n
Q( 0, 1, p) ( yi E( yi ))2
i 1
最小二乘估计就是寻找参数β0
、β1、…
βp的估计
值β̂0 、β ̂1、… β ̂p，使式（1）达到极小。通过
求极值原理（偏导为零）和解方程组，可求得估计值，
SPSS将自动完成。
每个解释变量进 入方程后引起的 判定系数的变化 量和F值的变化 量（偏F统计量）
输出个解释变量 和被解释变量的 均值、标准差、 相关系数矩阵及 单侧检验概率值
输出判定系数、 调整的判定系数、 回归方程的标准 误、回归方程显 著性检验的方差 分析表
输出方程中各解 释变量与被解释 变量之间的简单 相关、偏相关系 数和部分相关
30
n回归分析的其他操作
Ø选项
DW值
输出标准化残差 绝对值大于等于 3（默认）的样 本数据的相关信 息
多重共线性分 析： 输出各解释变 量的容忍度、 方差膨胀因子、
特征值、条件 指标、方差 比例等
31
n回归分析的其他操作
Ø选项
•标准化预测值 •标准化残差 •剔除残差 •调整的预测值 •学生化残差 •剔除学生化残差
数学建模——线性回归分析-82页PPT精选文档
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141.44
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根据表1和表2围绕方案0的1--32组实验数 据，可以列出关于未知数的32个方程的方程 组，利用SAS或Matlab编程求解方程组，得
2019/11/16
zhaoswallow
10
为了确定li和x1,L , x8之间是否有线性关系， 还需要根据样本值运用假设检验来判断， 以确定求得的回归方程是否有价值。
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线性回归计算方法及公式PPT课件
(y = ax + b)
解释
其中(y)是因变量，(a)是斜率，(x)是自变量，(b)是截距。
实例二：多元线性回归分析
总结词
多个自变量的线性关系
详细描述
多元线性回归分析研究因变量与多个自变量之间的线性关 系。通过引入多个自变量，可以更全面地描述因变量的变 化规律。
公式
(y = a_1x_1 + a_2x_2 + ... + a_nx_n + b)
加权最小二乘法的公式
加权最小二乘法的公式是：(ŷ=β₀+β₁x₁+β₂x₂+...+βₙxₙ)其中，(w_i)是加权因 子，用于对不同观测值赋予不同的权重。
加权最小二乘法适用于数据存在异方差性的情况，通过给不同观测值赋予不同的 权重，能够更好地拟合数据。
主成分回归的公式
主成分回归的公式是：(ŷ=β₀+β₁z₁+β₂z₂+...+βₙzₙ)其中， (z_i)是主成分得分，通过对原始自变量进行线性变换得到。
误差项独立同分布
误差项被假设是相互独立的，并且具有相 同的分布（通常是正态分布）。
误差项无系统偏差
自变量无多重共线性
误差项被假设没有系统偏差，即它们不随 着自变量或因变量的值而变化。
自变量之间被假设没有多重共线性，即它 们是独立的或相关性很低。
02
线性回归模型
模型建立
确定因变量和自变量
首先需要确定研究的因变量和自变量， 以便建立线性回归模型。
以提供更稳定和准确的估 计。
(y = (X^T X + lambda I)^{1}X^T y)
其中(y)是因变量，(X)是自变量 矩阵，(lambda)是正则化参数
线性回归分析
一元线性回归分析1.理论回归分析是通过试验和观测来寻找变量之间关系的一种统计分析方法。
主要目的在于了解自变量与因变量之间的数量关系。
采用普通最小二乘法进行回归系数的探索，对于一元线性回归模型,设（X1，Y1），（X2，Y2），…，（X n，Y n）是取至总体（X,Y）的一组样本。
对于平面中的这n个点，可以使用无数条曲线来拟合。
要求样本回归函数尽可能好地拟合这组值。
综合起来看，这条直线处于样本数据的中心位置最合理。
由此得回归方程：y=β0+β1x+ε其中Y为因变量，X为解释变量（即自变量），ε为随机扰动项，β0，β1为标准化的偏斜率系数，也叫做回归系数。
ε需要满足以下4个条件：1.数据满足近似正态性：服从正态分布的随机变量。
2.无偏态性：∑（εi）=03.同方差齐性：所有的εi 的方差相同，同时也说明εi与自变量、因变量之间都是相互独立的。
4.独立性：εi 之间相互独立，且满足COV（εi，εj）=0（i≠j）。
最小二乘法的原则是以“残差平方和最小”确定直线位置。
用最小二乘法除了计算比较方便外，得到的估计量还具有优良特性。
最常用的是普通最小二乘法（OLS）：所选择的回归模型应该使所有观察值的残差平方和达到最小。
线性回归分析根据已有样本的观测值，寻求β0，β1的合理估计值^β0，^β1，对样本中的每个x i，由一元线性回归方程可以确定一个关于y i的估计值^y i=^β0+^β1x i，称为Y关于x的线性回归方程或者经验回归公式。
^β0=y-x^β1，^β1=L xy/L xx，其中L xx=J12−x2，L xy=J1−xy，x=1J1 ，y=1J1 。
再通过回归方程的检验：首先计算SST=SSR+SSE=J1^y−y 2+J1−^y2。
其中SST为总体平方和，代表原始数据所反映的总偏差大小；SSR为回归平方和（可解释误差），由自变量引起的偏差，放映X的重要程度；SSE为剩余平方和（不可解释误差），由试验误差以及其他未加控制因子引起的偏差，放映了试验误差及其他随机因素对试验结果的影响。
线性回归方程分析
环球雅思学科教师辅导讲义讲义编号： 组长签字： 签字日期：学员编号： 年 级： 高二 课时数：3 学员姓名： 辅导科目： 数学 学科教师：闫建斌 课 题 线性回归方程授课日期及时段 2014-2-11 18:00-20:00 教学目标 线性回归方程基础 重点、难点教 学 内 容1、本周错题讲解2、知识点梳理1．线性回归方程①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系 ②制作散点图，判断线性相关关系③线性回归方程：a bx y +=∧（最小二乘法）最小二乘法：求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方最小的方法1221ni i i ni i x y nx y b x nx a y bx==⎧-⎪⎪=⎪⎨-⎪⎪=-⎪⎩∑∑ 注意：线性回归直线经过定点),(y x 2．相关系数（判定两个变量线性相关性）：∑∑∑===----=ni ni i ini i iy y x xy y x xr 11221)()())((注：⑴r >0时，变量y x ,正相关；r <0时，变量y x ,负相关；⑵①||r 越接近于1，两个变量的线性相关性越强；②||r 接近于0时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。
3．线形回归模型：⑴随机误差e ：我们把线性回归模型e a bx y ++=，其中b a ,为模型的未知参数，e 称为随机误差。
随机误差a bx y e i i i --=⑵残差eˆ：我们用回归方程a x b y ˆˆˆ+=中的y ˆ估计a bx +，随机误差)(a bx y e +-=，所以y y e ˆˆ-=是e 的估计量，故a x b y y y e ii i i i ˆˆˆˆ--=-=，e ˆ称为相应于点),(i i y x 的残差。
⑶回归效果判定-----相关指数(解释变量对于预报变量的贡献率) 22121ˆ()1()niii niii y yR y y ==-=--∑∑(2R 的表达式中21)(∑=-ni i y y 确定)注：①2R 得知越大，说明残差平方和越小，则模型拟合效果越好；②2R 越接近于1，，则回归效果越好。
线性回归分析教程PPT课件
实例二：销售预测
总结词
线性回归分析在销售预测中，可以通过分析历史销售数据，建立销售量与影响因子之间的线性关系， 预测未来一段时间内的销售量。
详细描述
在销售预测中，线性回归分析可以用于分析历史销售数据，通过建立销售量与影响因子（如市场需求 、季节性、促销活动等）之间的线性关系，预测未来一段时间内的销售量。这种分析方法可以帮助企 业制定生产和销售计划。
自相关检验
自相关是指残差之间存在 相关性。应通过图形或统 计检验方法检验残差的自 相关性。
05
线性回归模型的预测与 优化
利用线性回归模型进行预测
确定自变量和因变量
01
在预测模型中，自变量是预测因变量的变量，因变量是需要预
测的目标变量。
建立模型
02
通过收集数据并选择合适的线性回归模型，利用数学公式表示
一元线性回归模型
一元线性回归模型是用来研究一个因变量和一个 自变量之间的线性关系的模型。
它通常用于预测一个因变量的值，基于一个自变 量的值。
一元线性回归模型的公式为：y = b0 + b1 * x
多元线性回归模型
01 多元线性回归模型是用来研究多个自变量和一个 因变量之间的线性关系的模型。
02 它通常用于预测一个因变量的值，基于多个自变 量的值。
线性回归模型与其他模型的比较
01
与逻辑回归的比较
逻辑回归主要用于分类问题，而 线性回归主要用于连续变量的预 测。
02
与决策树的比较
决策树易于理解和解释，但线性 回归在预测精度和稳定性方面可 能更优。
03
与支持向量机的比 较
支持向量机适用于小样本数据， 而线性 Nhomakorabea归在大样本数据上表现 更佳。
回归分析学习课件PPT课件
为了找到最优的参数组合，可以使用网格搜索方 法对参数空间进行穷举或随机搜索，通过比较不 同参数组合下的预测性能来选择最优的参数。
非线性回归模型的假设检验与评估
假设检验
与线性回归模型类似，非线性回归模型也需要进行假设检验，以检验模型是否满足某些统计假 设，如误差项的独立性、同方差性等。
整估计。
最大似然法
03
基于似然函数的最大值来估计参数，能够同时估计参数和模型
选择。
多元回归模型的假设检验与评估
线性假设检验
检验回归模型的线性关系 是否成立，通常使用F检 验或t检验。
异方差性检验
检验回归模型残差的异方 差性，常用的方法有图检 验、White检验和 Goldfeld-Quandt检验。
多重共线性检验
检验回归模型中自变量之 间的多重共线性问题，常 用的方法有VIF、条件指数 等。
模型评估指标
包括R方、调整R方、AIC、 BIC等指标，用于评估模 型的拟合优度和预测能力。
05
回归分析的实践应用
案例一：股票价格预测
总结词
通过历史数据建立回归模型，预测未来股票 价格走势。
详细描述
利用股票市场的历史数据，如开盘价、收盘价、成 交量等，通过回归分析方法建立模型，预测未来股 票价格的走势。
描述因变量与自变量之间的非线性关系，通过变 换或使用其他方法来适应非线性关系。
03 混合效应回归模型
同时考虑固定效应和随机效应，适用于面板数据 或重复测量数据。
多元回归模型的参数估计
最小二乘法
01
通过最小化残差平方和来估计参数，是最常用的参数估计方法。
加权最小二乘法
02
适用于异方差性数据，通过给不同观测值赋予不同的权重来调
第七讲 线性回归分析
参数的普通最小二乘估计不再最优，不再是最小方 差无偏估计 容易导致回归系数的显著性检验的t值偏高，进而容 易拒绝其原假设，使那些本不应该保留在方程中的 变量被保留下来，并最终使模型的预测偏差较大
DW（Durbin-Watson）检验
DW取值在0～4之间
异方差分析
无论解释变量取怎样的值，对应残差的方差都 应相等，它不应随解释变量或被解释变量预测 值的变化而变化，否则认为出现了异方差现象 当存在异方差时
从几何意义上讲，估计的一元线性回归方程是 二维平面上的一条直线，即回归直线。其中 是回归直线在纵轴上的截距， 为回归直线的 斜率，它表示解释变量x每变动一个单位所引起 的被解释变量y的平均变动值
由p个解释变量x的变化引起的y的线性变化（y= β0+ β1x1+ β x2+ …+β x ） 随机因素ε引起的y的变化
线性回归分析的应用举例
Plot选项
线性回归分析的应用举例
为研究高等院校人文社会科学研究中立项课题 数受哪些因素影响，收集某年31个省市自治区 部分高校有关社科研究方面的数据，并利用线 性回归分析方法进行分析
DEPENDENT表示被解释变量 ZPRED表示标准化预测值 ZRESID表示标准化残差 …… Standardized Residual Plots框中
被解释变量y的变化由两个部分解释
解释变量x的变化引起的y的线性变化（y=β 0+ β1x 随机因素ε引起的y的变化
一元线性回归分析需对β0和β1进行估计
一元线性回归方程
估计的一元线性回归方程如下
高三数学_线性回归分析
五、如下图是一组观测值的散点图：
任给出一组数据能 否由此求出它的线 形回归方程？ Y • • • •• • • • •• • • • • • • • O X
按照上述方法，同样可
以就这组数据求得一 个回归直线方程，这 显然毫无意义。
想一想？
所求得的回归直线方程，在什么情况
下才能对相应的一组数据观测值具有代表
pi 的符号有正有负，相加会相互抵消。
pi 的和不能代表n个点与相应直线在
整体上的接近程度。
（3）各偏差的平方和：
Q ( y1 bx1 a) ( y2 bx2 a)
2
2
( yn bxn a)
n
即：
2
Q ( yi bxi a)
i 1
2
用Q来表示n个点与相应直线在整体上 的接近程度。
2.散点图： （1）定义：表示具有相关关系的两个变量的 一组数据的图形。 （2）作用：形象反映各对数据的密切程度。
Y
这样的直线 可以画多少 条呢？
哪一条最能代表变量X与Y 之间的关系呢？
O
X
3、观察散点图的特征
发现各点大致分布在一条直线的附近。
4、一般地，设x与y是具有相关关系的两个
变量，且相应于n个观测值的n个点大致分布 在一条直线的附近，我们来求在整体上与这 n个点最接近的一条直线。
a y bx 399.3 4.75 30 257.
因此所求回归直线方程是：
ˆ y 4.75 x 257
（5）回归直线方程的用途：
可以利用它求出相应于x的估计值。
例如：当x=28kg时，y的估计值是多少呢？
ˆ y 4.75x 257 ˆ y 4.75 28 257 390(kg ).
线性回归分析
注意: 逐步添加法或逐步剔除法, 都应当强调“逐步” . 不 能一次按照各个变量的统计量的值 fj 的显著性概率 p 是否 小于等于选定的显著性水平 , 来决定是否作为 Y 的自变 量. 因为每添加或剔除一个变量, 都会引起所有回归系数的 变化和统计量的值 fj 的变化. 一次处理会造成误判, 只有逐 步处理, 才是恰当的.
= ( 1, 2, …, k)T
若估计出, ˆ (ˆ1, ˆ2 ,, ˆk )T 则有 Yˆ Xˆ
所以
Y Yˆ e
于是有 Y Yˆ e Xˆ e
两边左乘XT, 得 X T Y X T Xˆ X T e
由几何解释XT e , 故有XTe = 0, 所以可以求出:
Y 1 2X u
其中 ˆ1, ˆ2 为1， 2 的估计值, 则 Y 的计算值Ŷ, 可以
用下式表达:
Yˆ ˆ1 ˆ2 X
所要求出待估参数 ˆ1, ˆ2, 要使 Y 与其计算值Ŷ之间 的“误差平方和”最小. 即： 使得
Q
(Y
Yˆ
2
)
ei2
(4) u ~ N(0, 2u In )
(5) E(XTu) =0 , 或者, X 为确定矩阵
1 X12 X1k
X
1 1
X 22
X n2
X2k
X nk
(6) 秩 ( X ) = k, ( k<n)
2. 普通最小二乘法估计式
在模型中, 代入样本观测值之后, 可得
人均收入X
这两个变量之间的不确定关系，大致可以用下式表示：
Y 1 2 LnX u
数理统计-线性回归 ppt课件
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2.统计相关关系：变量之间存在某种关系， 但变量Y并不是由变量X唯一确定的，它们 之间没有严格的一一对应关系。两个变量 间的这种关系就是统计关系，亦称相关关 系。例如:小麦的产量Y与施肥量x1,品种x2 等存在关系,但给定x1,x2的数值后Y的值还 是无法确定的.
两个变量之间若存在线性关系称为线性 相关,存在非线性关系称为曲线相关，通常 通过适当的变量变换，曲线相关可转换为 线性相关。
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x=100:10:190;y=[45,51,54,61,66,70,74,78,85,89]; plot(x,y,'.r')
观察散点图, ( x)具有线性函数a bx的形式.
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2.建立回归模型
( x) a bx 一元线性回归问题 假设对于x的每一个值有Y～N (a bx, 2 ),a,
yˆ aˆ bˆx Y 关于 x 的经验回归方程
由于aˆ y bˆx,
回归方程 回归直线
yˆ y bˆ( x x),
回归直线通过散点图的几何中心( x, y).
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n
n
记 lxx ( xi x)2 , l yy ( yi y)2 ,
i 1
C1
(x2 )
C2
考察Y的数学期望E(Y ).x1
x2
x
E(Y ) Y x ( x) Y关于x的回归函数
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问题的一般提法
对 x 的一组不完全相同的值x1, x2 ,, xn , 设 Y1, Y2 ,,Yn 分别是在 x1, x2 ,, xn 处对 Y 的独立 观察结果.
总结：线性回归分析的基本步骤
线性回归分析的基本步骤步骤一、建立模型知识点：1、总体回归模型、总体回归方程、样本回归模型、样本回归方程 ①总体回归模型：研究总体之中自变量和因变量之间某种非确定依赖关系的计量模型。
Y X U β=+特点：由于随机误差项U 的存在，使得Y 和X 不在一条直线/平面上。
例1：某镇共有60个家庭，经普查，60个家庭的每周收入（X ）与每周消费（Y ）数据如下：作出其散点图如下：②总体回归方程（线）：由于假定0EU =，因此因变量的均值与自变量总处于一条直线上，这条直线()|E Y X X β=就称为总体回归线（方程）。
总体回归方程的求法：以例1的数据为例，求出E (Y |X 由于01|i i i E Y X X ββ=+，因此任意带入两个X i 和其对应的E (Y |X i )值，即可求出01ββ和，并进而得到总体回归方程。
如将()()222777100,|77200,|137X E Y X X E Y X ====和代入()01|i i i E Y X X ββ=+可得：01001177100171372000.6ββββββ=+=⎧⎧⇒⎨⎨=+=⎩⎩以上求出01ββ和反映了E (Y |X i )和X i 之间的真实关系，即所求的总体回归方程为：()|170.6i i i E Y X X =+，其图形为：③样本回归模型：总体通常难以得到，因此只能通过抽样得到样本数据。
如在例1中，通过抽样考察，我们得到了20个家庭的样本数据：那么描述样本数据中因变量Y 和自变量X 之间非确定依赖关系的模型ˆY X e β=+就称为样本回归模型。
④样本回归方程（线）：通过样本数据估计出ˆβ，得到样本观测值的拟合值与解释变量之间的关系方程ˆˆY X β=称为样本回归方程。
如下图所示：⑤四者之间的关系：ⅰ：总体回归模型建立在总体数据之上，它描述的是因变量Y 和自变量X 之间的真实的非确定型依赖关系；样本回归模型建立在抽样数据基础之上，它描述的是因变量Y 和自变量X 之间的近似于真实的非确定型依赖关系。
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统计分析与SPSS应用
丁婉玲 wld@
第七讲 线性回归分析
丁婉玲 wld@
回归分析
回归分析用于分析事物之间的统计关系， 侧重考查变量之间的数量变化规律，并通 过回归方程的形式描述和反映这种关系， 帮助人们把握变量受其他一个或多个变量 影响的程度
从几何意义上讲，估计的多元线性回归方程是 p+1维空间上的一个超平面，即回归平面。其中 是回归直线在纵轴上的截距， 表示当其他 解释变量保持不变时，xi每变动一个单位所引 起的被解释变量y的平均变动值
回归参数的普通最小二乘估计
普通最小二乘估计（OLSE）的基本出发点 是：应使每个样本点（xi，yi）与回归线 上的对应点（xi，E（yi））在垂直方向上 的偏差距离的总和最小 普通最小二乘法将这个偏差距离定义为离 差的二次方，即（yi-E（yi））的二次方
方差膨胀因子VIFi是容忍度的倒数 方差膨胀因子VIFi的取值大于等于1，如果 VIF 大于等于10，说明解释变量xi与方程中其 余变量之间有严重的多重共线性，且可能过 度地影响方程的最小二乘估计
i
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2013-4-22
线性回归分析的应用举例
应用举例
线性回归分析的应用举例
被解释变量
高校科研研究.sav
向后筛选
逐步筛选
变量的多重共线性
多重共线性是指解释变量之间存在线性相 关，高度多重共线性会带来许多问题
变量的多重共线性
容忍度是测度解释变量间多重共线性的重 要统计量，解释变量xi的容忍度定义为
偏回归系数估计困难 偏回归系数的估计方差随解释变量相关性的增大而 增大 偏回归系数的置信区间增大 偏回归系数估计值的不稳定性增强 偏回归系数假设检验的结果不显著 ……
局部平均 函数拟合
通过散点图观察变量之间的统计关系，得到对回归线形状 的感性认知，并确定一个能够反映和拟合这种认知且最简 洁的数学函数，即回归模型 利用样本数据在一定的统计拟合准则下，估计出回归模型 中的各个参数，从而得到一个确定的回归方程 对回归方程进行检验，判断该方程是否真实地反映了事物 总体间的统计关系，能否用于预测，并最终得到由回归方 程确定的回归近似线
回归方程的统计检验
通过样本数据建立的回归方程一般不能立 即用于对实际问题的分析和预测，通常要 进行各种统计检验
回归方程的拟合优度检验 回归方程的显著性检验 回归系数的显著性检验 残差分析 ……
回归方程的拟合优度检验
回归方程的拟合优度检验是检验样本数据点聚 集在回归线周围的密集程度，从而评价回归方 程对样本数据的代表程度 当所有样本点都落在回归线上时，回归方程的 拟合优度最高 回归方程能够解释的变差所占比例较大，回归 方程的拟合优度较高 R2统计量反映回归方程的拟合优度，该统计量 成为判定系数或决定系数
e
如果等级相关分析中检验统计量的概率p值 小于给定的显著性水平α ，则认为解释变量 与残差间存在显著的相关关系，出现了异方 差现象
e
0
0
x
x
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多元回归分析中的其他问题
解释变量的筛选问题 变量的多重共线性问题
解释变量的筛选
向前筛选
解释变量不断进入回归方程 解释变量不断踢出回归方程 在向前筛选策略的基础上，结合向后筛选策 略，在每个解释变量进入方程后再次判断是 否存在可以剔除的解释变量
线性回归分析
观察被解释变量y和一个或多个解释变量 xi的散点图，当发现y与xi之间呈现出显著 的线性关系时，则应采用线性回归分析方 法，建立y与xi的线性回归模型
一元线性回归模型
一元线性回归的数学模型
y=β 0+ β 1x+ε
一元线性回归分析（一个解释变量） 多元线性回归分析（多个解释变量）
线性回归分析的应用举例
Statistics选项
Estimates输出回归系数相 关的统计量 Model fit输出判定系数和 调整的判定系数 Collinearity diagnostics 多重共线性分析，输出容忍 度、方差膨胀因子等 Residuals框中的DurbinWatson表示输出DW检验值
线性回归分析的应用举例
Plot选项
线性回归分析的应用举例
为研究高等院校人文社会科学研究中立项课题 数受哪些因素影响，收集某年31个省市自治区 部分高校有关社科研究方面的数据，并利用线 性回归分析方法进行分析
DEPENDENT表示被解释变量 ZPRED表示标准化预测值 ZRESID表示标准化残差 …… Standardized Residual Plots框中
Normal probability plot表示绘制标 准化残差序列的正态分布累计概率图 ……
被解释变量为立项课题数 解释变量为：投入人年数、投入高级职称的人年数 、投入科研事业费、专著数、论文数、获奖数
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线性回归分析的应用举例
…高等院校人文社会科学研究中立项课题 数受哪些因素影响…
局部平均
当X=X0时Y的平均值，即父亲身高为X0的所有儿子 身高的平均值，如果这些数据点足够多，则可以 得到一条光滑的曲线，成为回归线的近似线
函数拟合
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2013-4-22
回归分析
利用样本数据获得回归线可采用两种方法
回归分析的一般步骤
确定回归方程中的解释变量（x）和被解 释变量（y） 确定回归模型 建立回归方程 对回归方程进行各种检验 利用回归方程进行预测
x
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2013-4-22Fra bibliotek残差的独立性分析
残差序列应满足：残差序列的前期和后期数值 之间不存在相关关系，即不存在自相关 残差序列自相关会带来许多问题
残差的独立性分析
残差的独立性分析可以通过三种方式实现，常 用的DW（Durbin-Watson）检验 DW检验是推断小样本序列是否存在自相关的 统计检验方法。其原假设是：总体的自相关 系数ρ 与零无显著差异，采用的检验统计量 为DW统计量
Ri2是解释变量x 与方程中其他解释变量间的复相关
i
系数的平方，表明解释变量之间的线性相关程度 容忍度的取值范围在0～1之间，越接近于0表示多重 共线性越强，越接近于1表示多重共线性越弱
变量的多重共线性
方差膨胀因子
多元线性回归的三大基本问题
多重共线性问题 异方差问题 自相关（序列相关）问题
当DW≈2时，残差序列不存在自相关 当DW=4时，残差序列存在完全的负自相关 当DW=0时，残差序列存在完全的正自相关 当DW=（2,4）时，残差序列存在负自相关 当DW=（0,2）时，残差序列存在正自相关
如果残差序列存在自相关，说明回归方程没能充分说明 被解释变量的变化规律，还留有一些规律性没有被解释 ，也就是认为方程中遗漏了一些较为重要的解释变量， 或者变量存在取值滞后性，或者回归模型选择不合适， 等等
残差分析
残差是指回归方程计算所得的预测值与实际样 本值之间的差距 由多个残差形成的序列成为残差序列 残差分析的出发点是：如果回归方程能够较好 地反映被解释变量的特征和变化规律，那么残 差序列中应不包含明显的规律性和趋势性
残差分析
残差分析的主要任务
残差均值为零的正态性分析
回归方程的显著性检验
回归方程的显著性检验和回归方程的拟合优度 检验存在对应的关系
回归方程的拟合优度越高，回归方程的显著性检验 也会越显著 回归方程的显著性检验越显著，回归方程的拟合优 度也会越高
回归系数的显著性检验
回归系数显著性检验的目的是研究回归方程中 的每个解释变量与被解释变量之间是否存在显 著的线性关系，也就是研究每个解释变量能否 有效地解释被解释变量的线性变化，它们能否 保留在线性回归方程中 回归系数显著性检验统计量为t统计量，如果t 统计量对应的概率p值小于给定的显著性水平α ，则认为被解释变量y与解释变量x的线性关系 显著，x应该保留在回归方程中
参数的普通最小二乘估计不再最优，不再是最小方 差无偏估计 容易导致回归系数的显著性检验的t值偏高，进而容 易拒绝其原假设，使那些本不应该保留在方程中的 变量被保留下来，并最终使模型的预测偏差较大
DW（Durbin-Watson）检验
DW取值在0～4之间
异方差分析
无论解释变量取怎样的值，对应残差的方差都 应相等，它不应随解释变量或被解释变量预测 值的变化而变化，否则认为出现了异方差现象 当存在异方差时
回归方程的拟合优度检验
在多元线性回归分析中用调整的判定系数 即调整的R2来反映回归方程的拟合优度
R2的数学特性决定了当多元回归方程中的解 释变量个数增多时，必然会导致R2增加 回归方程中引入了对被解释变量有重要贡献 的解释变量而使R2值增加
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2013-4-22
回归方程的显著性检验
回归方程的显著性检验是要检验被解释变量与 所有解释变量之间的线性关系是否显著，用线 性模型来描述它们之间的关系是否恰当 回归方程显著性检验统计量为F统计量，如果F 统计量对应的概率p值小于给定的显著性水平α ，则认为被解释变量y与解释变量x的线性关系 显著，可以用线性模型来描述和反映它们之间 的关系
2 p p
多元线性回归分析需对β 0，β ，β 进行估计
。 p
1
，β ，
2
。。
2
2013-4-22
多元线性回归方程
估计的多元线性回归方程如下