2019-2020年上海市七宝中学高三上开学考数学试卷及答案
2019-2020学年上海市闵行区七宝中学高三上学期10月月考数学试卷(含解析)
2019-2020学年上海市闵行区七宝中学高三上学期10月月考数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1.已知条件p：x<−3或x>1，条件q：x>a，且¬p是¬q的充分不必要条件，则a的取值范围是()A. a≥1B. a≤1C. a≥−1D. a≤−32.已知f(x−3)=2x2−3x+1，则f(1)=()A. 15B. 21C. 3D. 03.已知a,b∈R，则“a>b”是“a−3<b−3”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 既不充分也不必要条件D. 充分必要条件4.若关于x的不等式x3−3x2−ax+a+2≤0在x∈(−∞,1]上恒成立，则实数a的取值范围是()A. (−∞,−3]B. [−3,+∞)C. (−∞,3]D. [3,+∞)二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.若全集U=｛0，1，2，3｝且C U A={2}，则集合A的真子集共有______个．6.函数f(x)=x2−ax−3在(1,+∞)上是增函数，则实数a的取值范围是__________．7.设a>b>0，则a2+1ab +1a(a−b)的最小值是______ ．8.若不等式|x−a|<b的解集为(−3,9)，求实数a=，b=________．9.已知命题：“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命题，则下列命题：①M的元素都不是P的元素②M的元素不都是P的元素③M中有P的元素④存在x∈M，使得x∉P其中真命题的序号是______ (将你认为正确的命题的序号都填上)10.函数f(x)的定义域是[−1,1]，则函数F(x)=f(1−x)的定义域是__________．11.若关于x的方程22x−2x+1+a=0在[0,1]内有解，则实数a的取值范围是__________．12.已知函数f(x)=log2(x2+1)，若对任意的x∈[0.2]，不等式f(x2+2)≥f(2ax)恒成立，则实数a的取值范围是______．13. 已知函数f(x)=x 3+x ，则满足不等式：f(1−x 2)+f(−2x)>0的x 的范围是_______．14. 若关于x 的不等式x 2<2−|x −a|至少有一个负数解，则实数a 的取值范围是______ ．15. 已知函数y =|x 2−1|x−1的图像与函数y =kx −2的图像恰有两个交点，则实数k 的取值范围是__________．16. 若集合A ={x ∈R |ax 2+2x +1=0}中只有一个元素，则a =_____．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17. 解不等式或不等式组．(1)|3−4x|>5；(2)2x−1x+3≥1；(3){3x −1≥312x −23≤13．18. 已知函数f(x)=|x −2|+|x +2|(x ∈R)(1)证明：函数f(x)是偶函数；(2)将函数解析式写成分段函数的形式，然后画出函数图象；(3)写出函数的值域．(不用写过程)19.某地发生某种自然灾害，使当地的自来水受到了污染.某部门对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质.已知每投放质量为m个单位的药剂后，经过x天该药剂在水中释放的浓度y(毫克/升)满足y=mf(x)，其中f(x)={log2(x+4),0<x≤46x−2,x>4，当药剂在水中释放的浓度不低于6(毫克/升)时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于6(毫克/升)且不高于18(毫克/升)时称为最佳净化．(1)如果投放的药剂质量为m=4，试问自来水达到有效净化一共可持续几天？(2)如果投放的药剂质量为m，为了使在7天(从投放药剂算起包括第7天)之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量m的取值范围．20.已知函数(1)利用单调性定义，证明f(x)在定义域内单调递增;(2)对任意x∈[t,t+3],不等式f(x+t)≥3f(x)恒成立，求实数t的取值范围．21.已知函数f(x)=|x2−ax|(a∈R)．(1)当a=2时，写出函数f(x)的单调区间；(不要求写出过程)3(2)当a=−2时，记函数g(x)=f(x)−t,(t∈R)，讨论函数g(x)的零点个数；(3)记函数f(x)在区间[0,1]上的最大值为g(a)，求g(a)的表达式，并求g(a)的最小值。
2019-2020年高三开学检测数学试题.doc
2019-2020年高三开学检测数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．答案写在答卷纸上．） 1．若全集R U =，集合{}02≥-=x x x M ，则集合∁U M = ．2．若复数ii a 213++（a R ∈，i 为虚数单位）是纯虚数,则实数a 的值为 ．3．某校高一、高二、高三学生共有3200名，其中高三800名，如果通过分层抽样的方法从全体学生中抽取一个160人的样本，那么应当从高三的学生抽取的人数是 4．在平面直接坐标系xOy 中，角α的始边与x 轴的正半轴重合，终 边在直线x y 3-=上，且0>x ，则=αsin ．5． 从集合}2,1,1{-=A 中随机选取一个数记为k ，从集合}2,1,2{-=B 中随机选取一个数记为b ，则直线b kx y +=不经过第三象限的概率为 ．6．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S 的值为 ．7．“1=a ”是“函数aa x f x x +-=22)(在其定义域上为奇函数”的 条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）8．已知实数y x ,满足线性约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥+-0520402y x y x y x ，目标函数)(R a ax y z ∈-=，若z 取最大值时的唯一最优解是(1,3)，则实数a 的取值范围是 ．9．已知F 是双曲线22:a x C -)0,0122>>=b a by （的左焦点，21B B 是双曲线的虚轴，M 是1OB 的中点，过M F ,的直线交双曲线C 于点A ，且2=，则双曲线C 的离心率是 ．10．若正实数c b a ,,满足023=+-c b a ，则bac的最大值是 ． 11．已知数列}{n a 是公差不为0的等差数列，}{n b 是等比数列，其中31=a ，11=b ，22b a =，353b a =，若存在常数v u ,对任意正整数n 都有v b a n u n +=log 3，则=+v u ． 12．如图，线段EF 的长度为1，端点F E ,在边长不小于1的正方形ABCD 的四边上滑动，当F E ,沿正方形的四边滑动一周时，EF 的中点M 所形成的轨迹为G ，若G 的周长为l ，其围成的面积为S ，则S l -的最大值为 ．13．在平面直角坐标系xOy 中，点P 是第一象限内曲线31y x =-+上的一个动点，点P 处的切线与两个坐标轴交于,A B 两点,则AOB △的面积的最小值为 .14．记2cos 22sin 2),(22++++=θθθa a a a a F ，对于任意实数θ,a ，),(θa F 的最大值与最小值的和是 .二、 解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)已知函数)(2cos )322cos)(R x x x x f ∈--=π（ （1）求函数)(x f 的单调递增区间；（2）ABC ∆内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若23)2(-=B f ，1=b ，3=c ，且b a >，试求角B 和角C .16. (本小题满分14分) 如图，四棱锥ABCD E -中，EA EB =，AB ∥CD ，BC AB ⊥，CD AB 2=．（Ⅰ）求证：ED AB ⊥； （Ⅱ）线段EA 上是否存在点F ，使DF // 平面BCE ？若存在，求出EFEA的值；若不存在，说明理由．17. (本小题满分14分)如图，现有一个以AOB ∠为圆心角、湖岸OA 与OB 为半径的扇形湖面AOB .现欲在弧AB 上取不同于B A ,的点C ，用渔网沿着弧AC （弧AC 在扇形AOB 的弧AB 上）、半径OC 和线段CD （其中OA CD //），在该扇形湖面内隔出两个养殖区域——养殖区域Ⅰ和养殖区域Ⅱ. 若cm OA 1=，3π=∠AOB ，θ=∠AOC .（1）用θ表示CD 的长度；（2）求所需渔网长度（即图中弧AC 、半径OC 和线段CD 长度之和）的取值范围.18. (本小题满分16分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的两个焦点分别为1(F ，2F ，点(1,0)M 与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点(1,0)M 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点,设点(3,2)N ，记直线AN ，BN 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k +为定值.19. (本小题满分16分)已知：函数b ax ax x g ++-=12)(2)1,0(<≠b a ，在区间]3,2[上有最大值4，最小值1，设函数xx g x f )()(=．（1）求a 、b 的值及函数)(x f 的解析式；（2）若不等式02)2(≥⋅-xxk f 在]1,1[-∈x 时恒成立，求实数k 的取值范围；（3）如果关于x 的方程0)3124()12(=--⋅+-xx t f 有三个相异的实数根，求实数t 的取值范围．20. (本小题满分16分)已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列2{}n a 的前n 项和为n T ，满足21411,()33n n a T p S ==--. （1）求p 的值及数列{}n a 的通项公式；（2）①问是否存在正整数,,()n m k n m k <<，使得,,n m k a a a 成等差数列？若存在，指出,,n m k 的关系，若不存在，请说明理由.②若12,2,2x y n n n a a a ++成等差数列，求正整数,x y 的值.数学Ⅱ（附加题）注意事项：考试时间30分钟，由选考物理的考生作答。
上海市闵行区七宝中学2020届高三上学期开学考试数学试题含解析
2019-2020学年上海市闵行区七宝中学高三（上）开学数学试卷一、填空题（本大题共12小题）1,已知全集0,1,2,,集合1,,0,,则.2,己知复数是虚数单位，则3,关于x,y的二元一次方程组无解，则4,直线的一个方向向量，直线的一个法向量，则直线与直线的夹角是5,已知为钝角三角形，边长，，则边长6,设常数，展开式中的系数为4,则.7,己知，则此函数的值域是8,若函数的值域为，则的最小值为9,已知FA、PB、FC是从F点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，则直线FC 与平面PAB所成角的余弦值是.10,在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，为参数，直线/的参数方程为，若C 上的点到，距离的最大值为，则11,已知a、b、c都是实数，若函数的反函数的定义域是，则c的所有取值构成的集合是.12,已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与。
的两条渐近线分别交于A、B两点，若，则双曲线。
的渐近线方程为二、选择题（本大题共4小题）13,设点不共线，则“与的夹角是锐角”是“”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件14,若，，则A. B. C. D.15,定义“规范01数列”如下：共有2〃?项，其中刀项为0,m项为1,且对任意，，，，中0的个数不少于1的个数，若，则不同的"规范01数列”共有A.18个B.16个C.14个D.12个16,以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数，存在一个正数M,使得函数的值域包含于区间，例如，当时，，，则下命题为假命题的是A.函数的定义域为D,则“的充要条件是“对任意的，存在，满足”B.若函数，的定义域相同，且，，则C.若函数有最大值，则D.函数的充要条件是有最大值和最小值三、解答题（本大题共5小题）17,关于x的不等式的解集为.求实数a,b的值；若，，且为纯虚数，求的值.如图，在四棱锥中，平面ABCQ,,,,,E为PD的中点，点F在FC上，且.求证：平面PAD；应是平面AEF与直线FB交于点G在平面AEF内，求的值.19,某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆。
2019年上海市闵行区七宝中学高考数学一模试卷
2019年上海市闵行区七宝中学高考数学一模试卷一、填空题1．（3分）设A＝{x||x|≤2018，x∈R}，B＝{x|y＝，x∈R}，则A∩B ＝．2．（3分）已知定义域在[﹣1，1]上的函数y＝f（x）的值域为[﹣2，0]，则函数y＝f（cos）的值域是．3．（3分）若行列式的展开式的绝对值小于6的解集为（﹣1，2），则实数a等于．4．（3分）在（0，2π）内使sin3x＞cos3x成立的x的取值范围是．5．（3分）在等差数列{a n}中，S7＝8，则a4＝．6．（3分）已知f（x+1）＝2x﹣2，那么f﹣1（2）的值是．7．（3分）甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相留念，已知甲、乙相邻，则甲、丙相邻的概率为．8．（3分）若P（x，y）是双曲线上的动点，则|x﹣y|最小值是．9．（3分）设点P到平面α的距离为，点Q在平面α上，使得直线PQ与平面α所成角不小于30°且不大于60°，则这样的PQ所构成的区域体积为．10．（3分）已知AB为单位圆上弦长为的弦，P为单位圆上的点，若f（λ）＝||的最小值为m（其中λ∈R），当点P在单位圆上运动时，则m的最大值为．11．（3分）已知函数f（a，x）＝sin x+cos x随着a，x在定义域内变化时，该函数的最大值为12．（3分）已知定义在R+上的函数f（x）＝，设a，b，c为三个互不相同的实数，满足，f（a）＝f（b）＝f（c），则abc的取值范围为．二、选择题13．（3分）设集合P1＝{x|x2+ax+1＞0}，P2＝{x|x2+ax+2＞0}，其中a∈R，下列说法正确的是（）A．对任意a，P1是P2的子集B．对任意a，P1不是P2的子集C．存在a，使得P1不是P2的子集D．存在a，使得P2是P1的子集14．（3分）△ABC中，a2：b2＝tan A：tan B，则△ABC一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形15．（3分）抛物线y＝2x2上有一动弦AB，中点为M，且弦AB的长度为3，则点M的纵坐标的最小值为（）A．B．C．D．116．（3分）已知正数数列{a n}满足a n+1≥2a n+1，且a n＜2n+1对n∈N*恒成立，则a1的范围为（）A．[1，3]B．（1，3）C．（0，3]D．（0，4）三、解答题17．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中（如图），AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB的中点．（1）求异面直线AD1与EC所成角的大小；（2）《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，试问四面体D1CDE 是否为鳖臑？并说明理由．18．设S，T是R的两个非空子集，如果函数y＝f（x）满足：①T＝{f（x）|x∈S}；②对任意x1，x2，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），那么称函数y＝f（x）为集合S到集合T 的“保序同构函数”．（1）试判断下列函数f（x）＝，f（x）＝tan（πx﹣）是否是集合A＝{x|0＜x ＜1}到集合R的保序同构函数；请说明理由．（2）若f（x）＝是集合[0，s]到集合[0，t]是保序同构函数，求s和t的最大值．19．如图，已知一个长方形展览大厅长为20m，宽为16m，展厅入口位于其长边的中间位置，为其正中央有一个圆心为C的圆盘形展台，现欲在展厅一角B点处安装一个监控摄像头对展台与入口进行监控（如图中阴影所示），要求B与圆C在同一水平面上．（1）若圆盘半径为2m，求监控摄像头最小水平摄像视角的正切值；（2）若监控摄像头最大水平摄像视角为60°，求圆盘半径的最大值．（注：水平摄像视角指镜头中心点与水平观察物体边缘的视线的夹角）20．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，过F1任作一条与坐标轴都不垂直的直线，与C交于A，B两点，且△ABF2的周长为8．当直线AB的斜率为时，AF2与x轴垂直．（1）求椭圆C的方程（2）若A是该椭圆上位于第一象限的一点，过A作圆x2+y2＝b2的切线，切点为P，求|AF1|﹣|AP|的值；（3）设P（0，m）（m≠±b）为定点，直线l过点P与x轴交于点Q，且与椭圆交于C，D两点，设＝，＝，求λ+μ的值．21．设正项数列{a n}的前n项和为S n，首项为1，q为非零正常数，已知对任意整数n，m，当n＞m时，S n﹣S m＝q m•S n﹣m恒成立．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）证明数列{}是递增数列；（3）是否存在正常数c使得{lg（c﹣S n）}为等差数列？若存在，求出常数c的值；若不存在，说明理由．2019年上海市闵行区七宝中学高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题1．（3分）设A＝{x||x|≤2018，x∈R}，B＝{x|y＝，x∈R}，则A∩B＝∅．【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题；37：集合思想；49：综合法；5J：集合．【分析】可解出集合A，B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：A＝{x|﹣2018≤x≤2018}，B＝{2019}；∴A∩B＝∅．故答案为：∅．【点评】考查描述法、列举法的定义，绝对值不等式的解法，以及交集的运算．2．（3分）已知定义域在[﹣1，1]上的函数y＝f（x）的值域为[﹣2，0]，则函数y＝f（cos）的值域是[﹣2，0]．【考点】34：函数的值域．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】可以看出﹣1，从而对应的函数值，这便得出了该函数的值域．【解答】解：∵cos∈[﹣1，1]；∴；即y∈[﹣2，0]；∴该函数的值域为[﹣2，0]．故答案为：[﹣2，0]．【点评】考查函数定义域、值域的概念，本题可换元求值域：令cos＝t，﹣1≤t≤1，从而得出f（t）∈[﹣2，0]．3．（3分）若行列式的展开式的绝对值小于6的解集为（﹣1，2），则实数a等于4．【考点】ON：二阶行列式与逆矩阵．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；5R：矩阵和变换．【分析】推导出|ax﹣2|＜6的解集为（﹣1，2），从而﹣4＜ax＜8解集为（﹣1，2），由此能求出a的值．【解答】解：∵行列式的展开式的绝对值小于6的解集为（﹣1，2），∴|ax﹣2|＜6的解集为（﹣1，2），∴﹣6＜ax﹣2＜6，即﹣4＜ax＜8解集为（﹣1，2），解得a＝4．故答案为：4．【点评】本题考查实数值的求法，考查行列式展开法则、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．（3分）在（0，2π）内使sin3x＞cos3x成立的x的取值范围是（，）．【考点】HF：正切函数的单调性和周期性．【专题】33：函数思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】解不等式sin3x＞cos3x，求出x∈（0，2π）不等式的解集即可．【解答】解：sin3x＞cos3x，∴sin3x﹣cos3x＞0，即（sin x﹣cos x）（sin2x+sin x cos x+cos2x）＞0，∴（sin x﹣cos x）（1+sin2x）；又1+sin2x＞0恒成立，∴sin x﹣cos x＞0，即sin（x﹣）＞0，∴x﹣∈（2kπ，2kπ+π），解得x∈（2kπ+，2kπ+），k∈Z；又（0，2π），∴使sin3x＞cos3x成立的x的取值范围是（，）．故答案为：（，）．【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了转化应用问题，是中档题．5．（3分）在等差数列{a n}中，S7＝8，则a4＝．【考点】84：等差数列的通项公式．【专题】33：函数思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列．【分析】由等差数列的性质及前n项和列式求解．【解答】解：在等差数列{a n}中，由S7＝，得．故答案为：．【点评】本题考查等差数列的前n项和，考查等差数列的性质，是基础题．6．（3分）已知f（x+1）＝2x﹣2，那么f﹣1（2）的值是3．【考点】4R：反函数．【专题】11：计算题．【分析】令t＝x+1，将已知等式中的x一律换为t，求出f（t）即得到f（x），然后令f（x）＝2x﹣1﹣2＝2，求出相应的x，即为f﹣1（2）的值．【解答】解：令t＝x+1则x＝t﹣1所以f（t）＝2t﹣1﹣2所以f（x）＝2x﹣1﹣2令f（x）＝2x﹣1﹣2＝2，解得x＝3∴f﹣1（2）＝3故答案为：3．【点评】已知f（ax+b）的解析式，求f（x）的解析式，一般用换元的方法或配凑的方法，换元时，注意新变量的范围，同时考查了反函数求值，属于基础题．7．（3分）甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相留念，已知甲、乙相邻，则甲、丙相邻的概率为．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】5I：概率与统计．【分析】4人排成一排，其中甲、乙相邻的情况有12种，其中甲丙相邻的只有4种，由此能求出甲乙相邻，则甲丙相邻的概率．【解答】解：甲、乙相邻的方法有＝12种情况，如果满足甲、丙相邻，则有＝4种情况，所以所求的概率为P＝＝．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．8．（3分）若P（x，y）是双曲线上的动点，则|x﹣y|最小值是2．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用双曲线方程，通过三角代换转化求解x，y，然后求解|x﹣y|的最小值．【解答】解：P（x，y）是双曲线上的动点，设：x＝，y＝2tanθ，所以|x﹣y|＝|﹣2tanθ|＝＝，表达式的几何意义是单位圆上的点与（0，）距离的2倍，可得：∈[2，2+2]，故答案为：22．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．9．（3分）设点P到平面α的距离为，点Q在平面α上，使得直线PQ与平面α所成角不小于30°且不大于60°，则这样的PQ所构成的区域体积为．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】39：运动思想；44：数形结合法；5F：空间位置关系与距离．【分析】由题意画出图形，分别求出两个圆锥的半径，代入圆锥体积公式作差即可．【解答】解：如图，过P作PO⊥α，则PO＝，当∠PQO＝60°时，OQ＝1，当∠PQO＝30°时，OQ＝3．∴PQ所构成的区域体积为V＝．故答案为：．【点评】本题考查圆锥体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．10．（3分）已知AB为单位圆上弦长为的弦，P为单位圆上的点，若f（λ）＝||的最小值为m（其中λ∈R），当点P在单位圆上运动时，则m的最大值为．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【专题】31：数形结合；4R：转化法；5B：直线与圆．【分析】设λ＝，根据向量减法的运算法则，转化为点到直线的距离，利用直线和圆相交时的垂径定理结合勾股定理进行求解即可．【解答】解：设λ＝，则f（λ）＝||＝|﹣|＝||，又C点在直线AB上，要求f（λ）最小值，等价为求出||的最小值，显然当CP⊥AB时，CP最小，可得f（λ）的最小值m为点P到AB的距离，∵|AB|＝，∴|BC|＝，则|OC|＝＝＝，则|CP|＝|OP|+|OC|＝1+＝，即m的最大值为，故答案为：．【点评】本题考查向量共线定理的运用，以及圆的垂径定理和勾股定理的运用，利用向量的基本运算结合数形结合是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．11．（3分）已知函数f（a，x）＝sin x+cos x随着a，x在定义域内变化时，该函数的最大值为2【考点】3H：函数的最值及其几何意义．【专题】35：转化思想；48：分析法；57：三角函数的图象与性质；59：不等式的解法及应用．【分析】运用辅助角公式和正弦函数的值域可得f（a，x）≤，再由柯西不等式，计算可得所求最大值．【解答】解：函数f（a，x）＝sin x+cos x＝sin（x+θ）（θ为辅助角），即有f（a，x）≤（sin（x+θ）＝1取得等号），由柯西不等式可得（+）2≤（1+1）（a+1﹣a）＝2，当且仅当a＝时，取得等号，即有+≤，即f（a，x）的最大值为2．故答案为：2．【点评】本题考查函数的最值求法，注意运用辅助角公式和正弦函数的值域，以及柯西不等式，考查运算能力，属于中档题．12．（3分）已知定义在R+上的函数f（x）＝，设a，b，c为三个互不相同的实数，满足，f（a）＝f（b）＝f（c），则abc的取值范围为（81，144）．【考点】5B：分段函数的应用．【专题】31：数形结合；48：分析法；51：函数的性质及应用．【分析】先判断函数的性质以及图象的特点，设a＜b＜c，由图象得ab是个定值，利用数形结合的思想去解决即可．【解答】解：作出f（x）的图象如图：当x＞9时，由f（x）＝4﹣＝0，得x＝16，若a，b，c互不相等，不妨设a＜b＜c，因为f（a）＝f（b）＝f（c），所以由图象可知0＜a＜3＜b＜9，9＜c＜16，由f（a）＝f（b），得1﹣log3a＝log3b﹣1，即log3a+log3b＝2，即log3（ab）＝2，则ab＝9，所以abc＝9c，因为9＜c＜16，所以81＜9c＜144，即81＜abc＜144，所以abc的取值范围是（81，144）．故答案为：（81，144）．【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用数形结合得到ab是个常数是解决本题的关键．综合考查学生的推理能力．二、选择题13．（3分）设集合P1＝{x|x2+ax+1＞0}，P2＝{x|x2+ax+2＞0}，其中a∈R，下列说法正确的是（）A．对任意a，P1是P2的子集B．对任意a，P1不是P2的子集C．存在a，使得P1不是P2的子集D．存在a，使得P2是P1的子集【考点】16：子集与真子集．【专题】11：计算题；5J：集合．【分析】由不等式的性质得：由x2+ax+1＞0，则有x2+ax+2＝x2+ax+1+1＞0+1＞0，由x2+ax+2＞0，不能推出x2+ax+1＞0，由集合间的关系得：P1⊊P2，得解．【解答】解：由x2+ax+1＞0，则有x2+ax+2＝x2+ax+1+1＞0+1＞0，由x2+ax+2＞0，则有x2+ax+1＝x2+ax+2﹣1＞﹣1，不能推出x2+ax+1＞0，即P1⊊P2，故选：A．【点评】本题考查了集合间的关系，不等式的性质，属简单题．14．（3分）△ABC中，a2：b2＝tan A：tan B，则△ABC一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形【考点】GZ：三角形的形状判断．【专题】11：计算题；58：解三角形．【分析】由已知a2：b2＝tan A：tan B，利用正弦定理及同角基本关系对式子进行化简，然后结合二倍角公式在进行化简即可判断【解答】解：∵a2：b2＝tan A：tan B，由正弦定理可得，＝＝∵sin A sin B≠0∴∴sin A cos A＝sin B cos B即sin2A＝sin2B∴2A＝2B或2A+2B＝π∴A＝B或A+B＝，即三角形为等腰或直角三角形故选：D．【点评】本题考查同角三角函数的基本关系，正弦定理的应用，式子变形是解题的关键和难点．15．（3分）抛物线y＝2x2上有一动弦AB，中点为M，且弦AB的长度为3，则点M的纵坐标的最小值为（）A．B．C．D．1【考点】K8：抛物线的性质．【专题】35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设直线AB的方程为y＝kx+b，与抛物线方程联立得到△＞0即根与系数的关系，再利用中点坐标公式和基本不等式即可得出．【解答】解：设直线AB的方程为y＝kx+b，联立，化为2x2﹣kx﹣b＝0，由题意可得△＝k2+8b＞0．∴x1+x2＝，x1x2＝﹣．∵|AB|＝×＝3，AB中点M的纵坐标＝x＝+b＝＝．故选：A．【点评】熟练掌握抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为与抛物线方程联立得到△＞0，即根与系数的关系、中点坐标公式和基本不等式等是解题的关键．16．（3分）已知正数数列{a n}满足a n+1≥2a n+1，且a n＜2n+1对n∈N*恒成立，则a1的范围为（）A．[1，3]B．（1，3）C．（0，3]D．（0，4）【考点】8H：数列递推式．【专题】35：转化思想；48：分析法；55：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】由条件可得1+a n+1≥2（a n+1），设b n＝1+a n，（a n＞0，b n＞1），运用累乘法，结合不等式恒成立，即可得到所求范围．【解答】解：正数数列{a n}满足a n+1≥2a n+1，可得1+a n+1≥2（a n+1），设b n＝1+a n，（a n＞0，b n＞1）即有b2≥2b1，b3≥2b2，…，b n≥2b n﹣1，累乘可得b n≥b1•2n﹣1，可得1+a n≥（1+a1）•2n﹣1，又a n＜2n+1对n∈N*恒成立，可得1+2n+1＞1+a n≥（1+a1）•2n﹣1，即有1+2n+1＞（1+a1）•2n﹣1，可得a1＜3+恒成立，由3+＞3，可得0＜a1≤3．故选：C．【点评】本题考查数列的递推式，注意累乘法的运用，考查等比数列的通项公式，考查不等式的性质和恒成立思想，属于中档题．三、解答题17．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中（如图），AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB的中点．（1）求异面直线AD1与EC所成角的大小；（2）《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，试问四面体D1CDE 是否为鳖臑？并说明理由．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】31：数形结合；49：综合法；5G：空间角．【分析】（1）取CD中点F，连接AF，则AF∥EC，即∠D1AF为异面直线AD1与EC所成角，解三角形可得△AD1F为等边三角形，从而得到异面直线AD1与EC所成角的大小；（2）证明DE⊥CE，进一步得到D1E⊥CE，可知四面体D1CDE是鳖臑．【解答】解：（1）取CD中点F，连接AF，则AF∥EC，∴∠D1AF为异面直线AD1与EC所成角．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，由AD＝AA1＝1，AB＝2，得，AF＝，，∴△AD1F为等边三角形，则．∴异面直线AD1与EC所成角的大小为；（2）连接DE，∵E为AB的中点，∴DE＝EC＝，又CD＝2，∴DE2+CE2＝DC2，得DE⊥CE．∵D1D⊥底面DEC，则D1D⊥CE，∴CE⊥平面D1DE，得D1E⊥CE．∴四面体D1CDE的四个面都是直角三角形，故四面体D1CDE是鳖臑．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中直线与直线，直线与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．18．设S，T是R的两个非空子集，如果函数y＝f（x）满足：①T＝{f（x）|x∈S}；②对任意x1，x2，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），那么称函数y＝f（x）为集合S到集合T 的“保序同构函数”．（1）试判断下列函数f（x）＝，f（x）＝tan（πx﹣）是否是集合A＝{x|0＜x ＜1}到集合R的保序同构函数；请说明理由．（2）若f（x）＝是集合[0，s]到集合[0，t]是保序同构函数，求s和t的最大值．【考点】57：函数与方程的综合运用．【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】（1）根据集合A＝{x|0＜x＜1}到集合R的保序同构函数的定义，判断函数是否是单调递增函数即可；（2）利用导数研究函数f（x）＝在x≥0上的单调区间，结合保序同构函数的定义进行求解即可．【解答】解：（1）由②知，函数为增函数即可．若f（x）＝，当0＜x＜1时，﹣1＜﹣x＜0，函数y＝为增函数，同时y＝﹣为增函数，即f（x）＝为增函数，满足条件．若f（x）＝tan（πx﹣），当0＜x＜1时，0＜πx＜π，﹣＜πx﹣＜，此时函数f（x）为增函数，满足条件．即两个函数都是集合A＝{x|0＜x＜1}到集合R的保序同构函数．（2）函数f（x）为f′（x）＝＝，当x＞0时，由f′（x）＞0得1﹣x2＞0得x2＜1，得0＜x＜1，由f′（x）＜0得1﹣x2＜0得x2＞1，即x＞1，即函数f（x）在[0，1]上是增函数，在[1，+∞）上是减函数，则s的最大值为1，t的最大值为f（1）＝．【点评】本题主要考查函数与方程的应用，结合新定义保序同构函数转化为判断函数的单调性是解决本题的关键．19．如图，已知一个长方形展览大厅长为20m，宽为16m，展厅入口位于其长边的中间位置，为其正中央有一个圆心为C的圆盘形展台，现欲在展厅一角B点处安装一个监控摄像头对展台与入口进行监控（如图中阴影所示），要求B与圆C在同一水平面上．（1）若圆盘半径为2m，求监控摄像头最小水平摄像视角的正切值；（2）若监控摄像头最大水平摄像视角为60°，求圆盘半径的最大值．（注：水平摄像视角指镜头中心点与水平观察物体边缘的视线的夹角）【考点】5C：根据实际问题选择函数类型．【专题】31：数形结合；44：数形结合法；5B：直线与圆．【分析】（1）分别求出∠ABC和∠CBE的正切值，利用两角和的正切公式计算；（2）利用两角差的正切公式计算tan∠CBE，再根据正切的定义列方程求出圆的半径．【解答】解：（1）过C作入口所在边的高AC，垂足为A，由题意可知AC＝8，AB＝10，BC＝＝2，∴tan∠ABC＝＝，过B作圆C的切线BE，切点为E，则CE⊥BE，CE＝2，且∠ABE为监控摄像头最小水平摄像视角．∵BE＝＝12，∴tan∠CBE＝＝，∴tan∠ABE＝tan（∠ABC+∠CBE）＝＝＝1+．∴当圆盘半径为2时，监控摄像头最小水平摄像视角的正切值为1+．（2）过B作直线BD，使得∠ABD＝60°，过C作CM⊥BD，垂足为M，则∠CBD＝60°﹣∠ABC，∴tan∠CBD＝tan（60°﹣∠ABC）＝＝．设圆盘的最大半径为r，则tan∠CBD＝＝＝．解得r＝5﹣4．∴圆盘的最大半径为5﹣4．【点评】本题考查了函数模型的应用，直线与圆的位置关系，属于中档题．20．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，过F1任作一条与坐标轴都不垂直的直线，与C交于A，B两点，且△ABF2的周长为8．当直线AB的斜率为时，AF2与x轴垂直．（1）求椭圆C的方程（2）若A是该椭圆上位于第一象限的一点，过A作圆x2+y2＝b2的切线，切点为P，求|AF1|﹣|AP|的值；（3）设P（0，m）（m≠±b）为定点，直线l过点P与x轴交于点Q，且与椭圆交于C，D两点，设＝，＝，求λ+μ的值．【考点】KL：直线与椭圆的综合．【专题】15：综合题；38：对应思想；4R：转化法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）根据题意4a＝8，再根据勾股定理求出c＝1，即可求出椭圆方程，（2）由题意，根据直线和圆相切，以及勾股定理可得AF1|＝2+x0，|P A|＝x0，即可求出|AF1|﹣|AP|的值（3）根据向量的运算可得λ+μ＝2+m（+），再题意直线l的方程为x＝y（x+m），代入，由此利用韦达定理结合已知条件，即可求出．【解答】解：（1）∵△ABF2的周长为8，∴4a＝8，即a＝2，∵tan∠AF1F2＝，设|AF2|＝3m，则|F1F2|＝2c＝4m，∴|AF1|＝5m，∵|AF1|+|AF2|＝2a＝4，∴3m+5m＝4，∴m＝，∴2c＝2，∴c＝1，∴b2＝a2﹣c2＝3，∴椭圆C的方程+＝1，（2）设A（x0，y0），则+＝1，（|x0|＜2）∴|AF1|2＝（x0+1）2+y02＝（x0+4）2，∴|AF1|＝2+x0，连接OP，OP，由相切条件知：|P A|2＝|OP|2﹣|OP|2＝x02+y02﹣3＝x02+3﹣x02﹣3＝x02，∴|P A|＝x0，∴|AF1|﹣|AP|＝2+x0﹣x0＝2．（3）设C（x1，y1），D（x2，y2），显然可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为x＝k（y﹣m），令y＝0，可得x＝﹣km，则Q（﹣km，0），由＝，得（x1+km，y1）＝λ（x1，y1﹣m），则y1＝λ（y1﹣m），即λ＝＝1+，＝，可得（x2+km，y2）＝μ（x2，y2﹣m），即μ＝1+将x＝k（y﹣m），代入椭圆+＝1中（4+3k2）y2﹣6mk2y+3k2m2﹣12＝0，由韦达定理得y1+y2＝，y1y2＝，∴λ+μ＝2+m（+）＝2+m•＝2+m•＝2+＝＝．【点评】本题考查椭圆的求法，考查直线和椭圆的位置关系，韦达定理，考查两数和为定值的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．21．设正项数列{a n}的前n项和为S n，首项为1，q为非零正常数，已知对任意整数n，m，当n＞m时，S n﹣S m＝q m•S n﹣m恒成立．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）证明数列{}是递增数列；（3）是否存在正常数c使得{lg（c﹣S n）}为等差数列？若存在，求出常数c的值；若不存在，说明理由．【考点】8H：数列递推式．【专题】34：方程思想；48：分析法；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）由已知条件，可令m＝n﹣1，代入结合数列的递推式，即可得到所求通项公式；（2）讨论公比q是否为1，求得S n，以及，由单调性的定义即可得证；（3）假设存在正常数c使得{lg（c﹣S n）}为等差数列，结合对数的运算性质和等差数列的通项公式，即可得到所求结论．【解答】解：（1）因为对任意正整数n，m，当n＞m时，S n﹣S m＝q m•S n﹣m总成立，所以n≥2时，令m＝n﹣1，得到S n﹣S n﹣1＝q n﹣1•S1，即a n＝a1q n﹣1＝q n﹣1，当n＝1时，也成立，所以a n＝q n﹣1，（2）证明：当q＝1时，S n＝n，＝＝1﹣随着n的增大而增大；当q＞0，q≠1时，S n＝，＝，由﹣＝﹣＝＜0，可得数列{}是递增数列；（3）假设存在正常数c使得{lg（c﹣S n）}为等差数列．当q＝1时，S n＝n，q≠1时，S n＝，{lg（c﹣S n）}为等差数列，可得q≠1，lg（c﹣+）＝lg＝nlgq﹣lg（1﹣q）为等差数列，即有c＝（0＜q＜1），【点评】本题考查数列的通项和求和的关系，考查等比数列的通项公式和求和公式，以及数列的单调性的判断，考查运算能力，属于中档题．。
上海市七宝中学2019届高三月考数学试卷2019.3.25简略答案.doc
七宝中学高三数学试题2019.3.25一、填空题（本大题共有12题，满分54分）．1．已知集合{1,3,},{3,5}==A m B ，且⊆B A ，则实数m 的值是___________． 2．函数()=f x 的定义域是_____________． 3．函数2(2)=≥x y x 的反函数是_______________．4．如果圆锥的底面积为π，母线长为2，那么该圆锥的高为_____________． 5．二项式82⎫⎪⎭x 的展开式中的常数项为_____________．6．已知复数03=+z i （i 为虚数单位），复数z 满足003⋅=+z z z z ，则=z ________． 7．如右图，直三棱柱的主视图是边长为2的正方形，且俯视图为一个等边三角形，则该三棱柱的左视图面积为______________．8．某班从4位男生和3位女生志愿者选出4人参加校运动会的点名签到工作，则选出的志愿者中既有男生又有女生的概率是____________（结果用最简分数表示）．9．已知,r ra b 是平面内两个互相垂直的单位向量，且此平面内另一向量r c 在满足(3)(4)0+⋅-=r r r ra cbc 时，均能使||-≤rr c b k 成立，则k 的最小值是___________．10．已知函数()5sin(2),0,,[0,5]2πθθπ⎛⎤=-∈∈ ⎥⎝⎦f x x x ，若函数()()3=-F x f x 的所有零点依次记为123,,,,L n x x x x ，且1231-<<<⋯<<n n x x x x x ，*∈n N ，若 123218322222π--+++⋯+++=n n n x x x x x x ，则θ=___________． 11．已知函数()(0)2π=≥f x x x ，图像的最高点从左到右依次记为135,,,L P P P 函数()=y f x 图像与轴的交点从左到右依次记为246,,,L P P P ，设 ()()()23122323343441251+++=⋅+⋅+⋅++⋅u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u u u r u u u u u u u u r L nn n n n n S P P P P P P P P P P P P P P P P则lim 1(2)→∞=+-nnn S ______________．俯视图主视图1111112．若数列{}n a 满足221,--=n n a a p p 为常数，2≥n ，则称数列{}n a 为等方差数列，p 为公方差，已知正数等方差数列{}n a 的首项11=a ，且125,,a a a 成等比数列，12≠a a ， 设*12231111|,1100,N +⎧⎫==++⋯+≤≤∈⎨⎬+++⎩⎭n n n n A T T n n a a a a a a ，取A 的非空子集B ，若的元素都是整数，则为“完美子集”，那么集合中的完美子集的个数为___________．二、选择题（每题5分，共20分）13．关于,x y 的二元一次方程组341310+=⎧⎨-=⎩x y x y 的增广矩阵为 （ ）A 3411310-⎛⎫ ⎪-⎝⎭B 3411310⎛⎫ ⎪--⎝⎭C 3411310⎛⎫ ⎪-⎝⎭D 3411310⎛⎫⎪⎝⎭14．若函数(),=∈R y f x x 为非奇非偶函数，则有 （ ） A ．对于任意的0∈x R ，都有()()00-≠f x f x 且()()00-≠-f x f x B ．存在0∈x R ，使()()00-≠f x f x 且()()00-≠-f x f x C ．存在12,∈x x R ，使()()11-≠f x f x 且()()22-≠-f x f x D ．对于任意的0∈x R ，都有()()00-≠f x f x 或()()00-≠-f x f x15．无穷等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，前n 项和为()*∈n S n N ，则“10+>a d ” 是“{}n S 为递增数列”的 （ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件 16、在圆锥PO 中，已知高2=PO ，底面圆半径为4，为母线上一点，根据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线，下面四个命题，正确的个数为（ ）①圆的面积为4π 37③双曲线两渐近线的夹角为4arcsin5π- 45A 1个B 2个C 3个D 4个 三、解答题：（本大题共有5题，满分76分）17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图，已知长方体1111-A BCD A B C D 的棱长12,1,2===A B BC A A ，求： （1）异面直线1BC 与1CD 所成角的大小； （2）点B 到平面1A CD 的距离．1A 118．（本题满分14分）第1小题满分6分，第2小题满分8分． 函数)()lg2=f x x ，其中0>b ．（1）若函数是奇函数，求b 的值；（2）在（1）的条件下，判别函数图像是否存在两点,A B ，使得直线AB 平行于x 轴，说明理由； 19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 如图，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形,,ABCD AB AD 的长分别为,4m ，上部是圆心为O 的劣弧CD ，23π∠=COD 。
上海市七宝中学2019-2020学年高三上学期期中数学试题
【详解】
（1）假设从第11个月开始，月销量符合 的变化趋势，则 均在 上，即 ， ，对称轴为 ，当 时，不符合题意，故此模型舍去；
假设从第11个月开始，月销量符合 的变化趋势，则 均在 上，即 ， ，当 时， ， ， ，
（1）请判断销量下降期间采用哪个函数模型来模拟销量函数更合理，并写出前20个月销量与月份 之间的函数关系式；
（2）前20个月内，该网店取得的月利润的最高纪录是多少，出现在哪个月？
【答案】（1） 更合理， ；（2）24万，第10个月
【解析】
【分析】
（1）分别采用待定系数法，算出 和 表达式，再检验 时是否符合题设即可
【详解】
， 由 ，
故答案为：
【点睛】
本题考查同角三角函数基本求法，正切角的二倍角公式，属于基础题
9．函数 （ ）的最大值为 ，最小正周期为 ，则有序数对 为_____
【答案】
【解析】
【分析】
结合二倍角公式和辅助角公式化简，进一步求值即可
【详解】
当 时， ， ，故有序数对为
故答案为：
【点睛】
本题考查三角函数的化简，辅助角公式的使用，形如： 应强化记忆，属于基础题
【详解】
当 时， ， ；
当 时， 是减函数， ，要满足 ，此时应满足 ，即
故答案为：
【点睛】
本题考查根据分段函数值域求解参数问题，解题关键在于确定在临界点处的取值范围，属于中档题
12．定义在 上的奇函数 ，当 时， ，则 在 上的零点个数为________个.
【答案】5
【解析】
【分析】
先求出 时 的解，再根据奇函数的性质求出零点个数即可
2019届上海市七宝中学高三上学期摸底考试数学试题(解析版)
2019届上海市七宝中学高三上学期摸底考试数学试题一、单选题1．若,a b 为实数，则“01ab <<”是“1b a<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】【详解】若“0＜ab ＜1”，当a ，b 均小于0时，b ＞1a 即“0＜ab ＜1”⇒“b ＜1a”为假命题； 若“b＜1a 当a ＜0时，ab ＞1，即“b＜1a ”⇒“0＜ab ＜1”为假命题，综上“0＜ab ＜1”是“b＜1a”的既不充分也不必要条件，故选D 2．若函数()2sin()f x x ω=在区间[,]54ππ-上存在最小值2-,则非零实数ω的取值范围是（ ） A ．(,2]-∞- B ．[6,)+∞ C ．5(,2][,)2-∞-+∞UD ．15(,][6,)2-∞-+∞U 【答案】C【解析】先根据x 的范围求出x ω的范围,根据函数()f x 在区间[,]54ππ-上存在最小值2-,然后对ω大于0和小于0两种情况讨论最值,即可求得非零实数ω的取值范围.【详解】Q 函数()2sin()f x x ω=在区间[,]54ππ-①当0>ω时,,54x ππωωω⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ Q 函数()2sin()f x x ω=在区间[,]54ππ-上存在最小值2-∴ 52ππω-≤-可得:52ω∴≥②当0ω<时,,45x ππωωω⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦Q 函数()2sin()f x x ω=在区间[,]54ππ-上存在最小值2-∴42ππω≤-可得:2ω≤-综上所述,非零实数ω的取值范围是:5(,2],2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭. 故选:C. 【点睛】本题考查了正弦函数在某区间上取最值时,求非零实数ω的取值范围.解题关键是能够掌握正弦函数sin()y A x ωφ=+图像性质,数学结合.3．已知集合{(,)|||||1}M x y x y =+≤,若实数对(,)λμ满足:对任意的(,)x y M ∈,都有(,)x y M λμ∈,则称(,)λμ是集合M 的“嵌入实数对”,则以下集合中,不存在集合M 的“嵌入实数对”的是（ ）A ．{(,)|2}λμλμ-=B ．{(,)|2}λμλμ+=C ．22{(,)|2}λμλμ-=D ．22{(,)|2}λμλμ+=【答案】C【解析】由定义可知||1λ≤,||1μ≤利用不等式的性质,即可得出2222,,,λμλμλμλμ+--+的范围,从而得出答案.【详解】Q {(,)|||||1}M x y x y =+≤Q 对任意的(,)x y M ∈,都有(,)x y M λμ∈可得:||||1x y λμ+≤Q 11x y x y λμ⎧+≤⎪⎨+≤⎪⎩, 结合:实数对(,)λμ满足,对任意的(,)x y M ∈,都有(,)x y M λμ∈.∴ 可得||1λ≤,||1μ≤ 即11λ-≤≤,11μ-≤≤对于A,Q 11μ-≤≤,可得11μ-≤-≤,根据1111λμ-≤≤⎧⎨-≤-≤⎩可得:22λμ-≤-≤,∴ 故存在集合M 的“嵌入实数对使2λμ-=对于B,Q 1111λμ-≤≤⎧⎨-≤≤⎩可得22λμ-≤+≤,∴ 故存在集合M 的“嵌入实数对使2λμ+=对于C,Q ||1λ≤,||1μ≤可得:220110λμ⎧≤≤⎨-≤-≤⎩ 故2211λμ-≤-≤, ∴ 故不存在集合M 的“嵌入实数对使222λμ-=对于D, Q ||1λ≤,||1μ≤可得220101λμ⎧≤≤⎨≤≤⎩,故2202λμ≤+≤. ∴ 故存在集合M 的“嵌入实数对使222λμ+=综上所述,故C:22{(,)|2}λμλμ-=不存在集合M 的“嵌入实数对. 故选:C. 【点睛】本题考查了集合的新定义,解题关键是能理解新定义“嵌入实数对”,结合不等式知识进行求解,考查了学生的理解能力和推理能力,属于基础题.4．已知函数210()(1)0x x f x f x x -⎧-+≤=⎨->⎩,则下列命题中正确命题的个数是（ ）①函数()f x 在[1,)-+∞上为周期函数②函数()f x 在区间(),1m m +,()m N +∈上单调递增③函数()f x 在1x m =-（m N ∈）取到最大值0,且无最小值④若方程()log (2)a f x x =+（01a <<）有且仅有两个不同的实根,则11[,)32a ∈ A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】作出()f x 的图像,由图像对各选项进行判断即可.0x ≤时,12112x xy -⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭,可由12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图像作关于x 轴的对称图像,再向上平移一个单位得到.当0x >时,()(1)f x f x =-故是周期为1的周期函数,01x <≤图像可由10x -<≤时,112xy ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭向右平移一个单位得到,根据周期函数的性质即可得到0x >图像.【详解】()f x 的图像如图所示:对于①,因为(1)1f -=-,(0)0f =,可得(1)(0)f f -≠所以函数()f x 在[1,)-+∞上不是周期函数,故①不正确; 对于②,当(),1m m +,()m N+∈结合函数图像可知,函数()f x 在区间(),1m m +,()m N +∈上单调递增,故②正确;对于③,因为0m =时,(1)(1)1f m f -=-=-,不是最大值, 故③不正确; 对于④,如图所示,图中两条曲线对应的a 分别为13和12,故方程为()log (2)(01)a f x x a =+<<,有且只有两个实根,则11,32a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭,故④正确. 故选:B. 【点睛】本题考查了分段函数和周期函数等相关知识.解题关键是根据函数平移变换画出其函数图像,结合函数图像对其单调性,最值进行求解,考查了计算能力和理解能力,属于中档题.二、填空题5．已知集合2{|340}A x x x =--=,{|10,}B x mx m R =+=∈.且A B A ⋃=,则所有满足条件的m 构成的集合为________ 【答案】1{0,,1}4-【解析】先化简集合A .由A B A ⋃=,可得B A ⊆,分类讨论=0m 和0m ≠,即可求出构成m 的集合. 【详解】Q 集合2{|340}A x x x =--=∴ {1,4}A =-Q A B A ⋃=,可得B A ⊆①当0m =时,满足B A ⊆,符合题意 ②当0m ≠时,1{|10}B x mx m ⎧⎫=+==-⎨⎬⎩⎭Q B A ⊆∴ 11m-=-或14m -=解得:1m =或14m =-.∴ 所有满足条件的m 构成的集合为:1{0,,1}4-.故答案为:1{0,,1}4-.【点睛】本题考查根据集合的关系求参数取值范围的问题,一般涉及子集问题时,需考虑集合是空集或非空集两种情况,属于基础题.6．设,a b ∈R ,则“tan b α=”是“arctan b α=”的________条件 【答案】必要不充分【解析】根据充分条件和必要条件的定义判断,即可得出答案. 【详解】Q ,a b ∈R ,只有当22ππα-<<时,由tan b α=才有arctan b α=∴ 由tan b α=不能推出arctan b α=故tan b α=不是arctan b α=的充分条件 又Q 由arctan b α=得tan tan(arctan )b α=∴ 可得tan b α=故tan b α=是arctan b α=的必要条件;∴ tan b α=是arctan b α=的必要不充分条件.故答案为:必要不充分. 【点睛】本题主要考查了充分条件与必要条件的判定,其中熟记充分条件和必要条件的判定方法是解答的关键,着重考查了理解能力与运算能力,属于基础题. 7．294i z z +=+（i 为虚数单位），则||z =________ 【答案】5【解析】设z a bi =+(,a b ∈R ),则z a bi =-,代入294i z z +=+,整理后由复数相等的条件列式求得,a b 的值,根据z a bi =+的模为z =,即可求得z .【详解】Q 设z a bi =+(,a b ∈R ),则z a bi =-,代入294i z z +=+,得:()2()394a bi a bi a bi i ++-=-=+39,4a b ∴=-= 故:3,4a b ==-∴ 34z i =-根据z a bi =+的模为z =∴ 5z ==故答案为:5. 【点睛】本题主要考查复数相等和复数求模,明确复数的实部与虚部是解题关键,考查计算能力,属于基础题.8． 若△ABC 中，a ＋b ＝4，C ＝30°，则△ABC 面积的最大值是________． 【答案】1 【解析】【详解】在△ABC 中，∵C ＝30°，a ＋b ＝4，∴△ABC 的面积S ＝12ab ·sin C ＝12ab ·sin30°＝14ab ≤241()2a b +＝14×4＝1，当且仅当a ＝b ＝2时取等号．因此△ABC 面积的最大值是1. 故答案为1.9．设直线l 过点(4,0)P -，且与直线:310m x y -+=的夹角为arccos10，则直线l 的方程是________【答案】4x =-或43160x y -+=【解析】设l 的方程为(4)(1)0a x b y ++-=(,a b 不同时为零),根据直线夹角公式可得10=,化简可得0b =或34a b =-,即可求得直线l 的方程.【详解】直线:310m x y -+=的方向向量为(1,3)α= 设所求直线的方向向量为(,)a b β=(,a b 不同时为零)Q 依题意有:|cos ,|cos αβ⎛〈〉== ⎝⎭∴||||10αβαβ⋅= ,10=解得243a ab =,即0a =或34a b =- ①当0a =时,则(0,)b β=且0b ≠∴ 此时直线l 的斜率不存在,直线的方程为:4x =-②当34a b =-时,则,a b 均不为0可得:3,4b b β⎛⎫= ⎪⎝⎭,故直线的斜率为:4334b b =∴ 直线的方程为:4(4)3y x =+ ,即43160x y -+=综上所述, 直线l 的方程:4x =-或43160x y -+=.故答案为: 4x =-或43160x y -+=. 【点睛】本题考查直线夹角的问题,解题关键是熟记直线夹角的计算公式,考查了计算能力.属于基础题.10．设常数0a >，9x ⎛+ ⎝展开式中6x 的系数为4，则()2lim n n a a a →∞+++=L _______【答案】12【解析】根据二项展开式的通项公式3992199rrr r r r r T C x a C x--+==和已知求出r ，再代入求a ，从而将a 代入所求表达式，结合等比数列的前n 项和公式求和并取极限即可. 【详解】9x ⎛+ ⎝展开式的通项公式为3992199rr r r r r r T C x a C x--+==，令3962r -=，解得2r =，则2294a C =，解得13a =，所以，()2lim lim l 11(1)111331223213im n n n n n n a a a →∞→∞→∞-⎛⎫=-= ⎪⨯⎝-+⎭++=L .故答案为：12. 【点睛】本题考查二项展开式的通项公式和系数，考查了等比数列的前n 项和以及极限的简单计算，注意仔细审题，认真计算，属中档题.11．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，11()142x x f x =-++，则此函数的值域为________.【答案】{}55,11,044⎡⎛⎫⎤--⋃⋃⎪ ⎢⎥⎭⎦⎣⎝【解析】先求当0x >时函数的值域，再根据函数的奇偶性得到函数在R 上的值域. 【详解】当0x >时，21111()1=()14222x x x x f x =-++-++, 令1,(01)2x t t =<<，所以2()1(01)g t t t t =-++<<， 所以5()(1,]4g t ∈.由于函数是奇函数，所以当0x <时，5()[,1)4f x ∈--. 当0x =时，(0)0f =.综上所述，此函数的值域为{}55,11,044⎡⎛⎫⎤--⋃⋃⎪ ⎢⎥⎭⎦⎣⎝.故答案为：{}55,11,044⎡⎛⎫⎤--⋃⋃⎪ ⎢⎥⎭⎦⎣⎝【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，考查指数型函数的值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12．已知函数8()log (8)af x x x=+-在[2,)+∞上是增函数,则实数a 的取值范围是________ 【答案】[4,20)-【解析】根据复合函数单调性同增异减,因为外层函数8log y x =是单调增函数,则需内层函数8a y x x =+-也是增函数,且满足80ax x+->,即可求得实数a 的取值范围. 【详解】Q 8()log (8)af x x x=+-设8log ,8a y t t x x==+-8log y t =Q 在(0,)+∞上为增函数要保证8()log (8)a f x x x=+-在[2,)+∞上是增函数8at x x ∴=+-在[2,)+∞上是增函数 ∴ 210at x'=+≥在[2,)+∞上恒成立2a x ∴≥- 在[2,)+∞上恒成立 22,4x x ≥≥Q 可得24x -≤-4a ∴≥-Q 8()log (8)af x x x=+-2802a∴+->20a ∴<∴ 实数a 的取值范围是:[4,20)-.故答案为:[4,20)-. 【点睛】本题考查了根据复合函数单调性求参数.对于复合函数单调性的判断要掌握同增异减,对函数的内层和外层分别判断,当外层函数是增函数时,内层函数也需要增函数,注意内层函数要满足外层函数的定义域.13．奇函数()y f x =满足对任意x ∈R 都有(2)(2)0f x f x ++-=,且(1)9f =,则(2016)(2017)(2018)f f f ++的值为________【答案】9【解析】由(2)(2)0f x f x ++-=推导出(4)()f x f x +=即可得到()f x 的周期为4,当0x =时,由 (2)(2)0f f +=得(2)0f =.结合(1)9f =,即可求得(2016)(2017)(2018)f f f ++的值.【详解】Q (2)(2)0f x f x ++-=(2)(2)f x f x ∴+=-- ┄①Q ()f x 为奇函数,故()()f x f x -=-(2)[(2)](2)f x f x f x ∴-=--=-- ┄②由①②可得:(2)(2)f x f x +=-即:(4)()f x f x += 可得:()f x 的周期为4Q 函数()f x 是定义在R 上的奇函数,可得: (0)0f =Q 当0x =时, 由(2)(2)0f x f x ++-=,可得: (20)(20)0f f ++-=∴ (2)0f =(2016)(50440)(0)f f f ∴=⨯+= (2017)(20161)(1)9f f f =+== (2018)(20162)(2)0f f f =+==∴ (2016)(2017)(2018)9f f f ++=故答案为:9. 【点睛】本题考查通过奇函数的定义及周期函数的定义求函数的周期,解题关键是通过赋值法求特定的函数值和利用周期性求函数的值.14．在直角坐标系中，已知()1,0A ，()4,0B ，若直线10x my +-=上存在点P ，使得2PA PB =，则实数m 的取值范围是______．【答案】(),-∞⋃+∞【解析】设点P 的坐标为(),x y ，根据条件2PA PB =求出动点P 的轨迹方程，可得知动点P 的轨迹为圆，然后将问题转化为直线10x my +-=与动点P 的轨迹圆有公共点，转化为圆心到直线的距离不大于半径，从而列出关于实数m 的不等式，即可求出实数m 的值. 【详解】设点P 的坐标为(),x y ，2PA PB =Q =化简得()2254x y -+=，则动点P 的轨迹是以()5,0为圆心，半径为2的圆， 由题意可知，直线10x my +-=与圆()2254x y -+=有公共点，2≤，解得m ≤或m ≥因此，实数m 的取值范围是(),-∞⋃+∞.故答案为：(),-∞⋃+∞.【点睛】本题考查动点的轨迹方程，同时也考查了利用直线与圆的位置关系求参数，解题的关键就是利用距离公式求出动点的轨迹方程，考查化归与转化思想的应用，属于中等题. 15．下列命题:①关于x 、y 的二元一次方程组1323mx y mx my m +=-⎧⎨-=+⎩的系数行列式0D =是该方程组有解的必要非充分条件;②已知E 、F 、G 、H 是空间四点,命题甲:E 、F 、G 、H 四点不共面,命题乙:直线EF 和GH 不相交,则甲成立是乙成立的充分非必要条件;③“2a <”是“对任意的实数x ,|1||1|x x a ++-≥恒成立”的充要条件; ④“0p =或4p =-”是“关于x 的方程px p x=+有且仅有一个实根”的充要条件; 其中,真命题序号是________ 【答案】②【解析】根据充分条件和必要条件的定义逐一判断,即可得出答案. 【详解】对于①,Q 系数行列式0D ≠,关于x 、y 的二元一次方程组1323mx y mx my m +=-⎧⎨-=+⎩有唯一解,∴ 0D =是该方程组有解的非充分条件又Q 系数行列式0D =,0x D ≠或0y D ≠关于x 、y 的二元一次方程组1323mx y mx my m +=-⎧⎨-=+⎩无解系数行列式0D =, 0x y D D ==关于x 、y 的二元一次方程组1323mx y mx my m +=-⎧⎨-=+⎩有无穷组解∴ 关于x 、y 的二元一次方程组1323mx y mx my m +=-⎧⎨-=+⎩的系数行列式0D =是该方程组有解的非必要非充分条件; 故①不正确;对于②,已知E 、F 、G 、H 是空间四点,命题甲:E 、F 、G 、H 四点不共面,命题乙:直线EF 和GH 不相交.Q 命题甲可以推出命题乙,甲成立是乙成立的充分条件又Q 直线EF 和GH 不相交,当EF GH P ,即E 、F 、G 、H 四点共面,∴ 命题乙不能推出命题甲,甲成立是乙成立的非必要条件 ∴ 甲成立是乙成立的充分非必要条件.故②正确;对于③,设|1||1|y x x =++-当1x ≥时,22y x =≥; 当11x -≤<时,2y =; 当1x <-时,22y x =->. 故|1||1|2x x ++-≥Q 2a <能推出任意的实数x ,|1||1|x x a ++-≥又Q 对任意的实数x ,|1||1|x x a ++-≥不能推出2a <故“2a <”是“对任意的实数x ,|1||1|x x a ++-≥恒成立”的充分不必要条件 故③不成立;对于④,由关于x 的实系数方程px p x=+有且仅有一个实数根,得:20x px p +-=, 由240p p ∆=+=得:0p =或4p =-当0p =时,得0x =,检验知:0x =不是方程px p x=+的实根,故此时方程无解 当4p =-时,2440x x -+=,解得2x =,检验知:2x =是方程px p x=+的实根.故此时关于x 的方程px p x=+有且仅有一个实数根∴ “0p =或4p =-”不能推出“关于x 的方程px p x=+有且仅有一个实根”又Q 关于x 的方程px p x=+有且仅有一个实根也不能推出“0p =或4p =-”∴ “0p =或4p =-”是“关于x 的方程px p x=+有且仅有一个实根”的既不充分也不必要条件. 故④错误. 故答案为:②. 【点睛】本题主要考查了充分条件与必要条件的判定,其中熟记充分条件和必要条件的判定方法是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于中档题.16．在直角坐标平面xOy 中,已知两定点1(2,0)F -与2(2,0)F 位于动直线:0l ax by c ++=的同侧,设集合{|P l =点1F 与点2F 到直线l 的距离之差等于2}，22{(,)|4,,}Q x y x y x y R =+≤∈,记{(,)|(,),}S x y x y l l P =∉∈,{(,)|(,)}T x y x y Q S =∈I ,则由T 中的所有点所组成的图形的面积是________ 【答案】4433π+【解析】根据条件确定集合P 对应的轨迹,利用集合T 的定义,确定T 对应图形,即可求得T 中的所有点组成的图形的面积. 【详解】Q 两定点1(2,0)F -与2(2,0)F 位于动直线:0l ax by c ++=的同侧,如图:过1(2,0)F -与2(2,0)F 分别作l 直线的垂线,垂足分别为,B C 由题意得122F B F C -=,即12F A =Q 在12Rt AF F △中214F F =,∴ 121cos 2AF F ∠=可得2160AF F ︒∠= ∴.集合P 对应的轨迹为线段2AF 的上方部分,Q 对应的区域为半径为2的单位圆内部根据T 的定义可知,T 中的所有点组成的图形为图形阴影部分∴ 阴影部分的面积为:21142224sin 4362360ππ︒⎛⎫⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭故答案为:4433π. 【点睛】本题考查了集合的新定义的理解,解题关键是能够通过已知条件画出阴影面积的几何图像,数学结合,考查了分析能力和计算能力.三、解答题 17．关于x 的不等式201x a x+<的解集为()1,b -．()1求实数a ，b 的值；()2若1z a bi =+，2z cos isin αα=+，且12z z 为纯虚数，求tan α的值．【答案】（1）1a =-，2b =（2）12-【解析】(1)由题意可得:1-,b 是方程220x ax +-=的两个实数根,利用根与系数的关系即可得出答案;(2)利用(1)的结果得()()1222z z cos sin cos sin i αααα=--+-为纯虚数,利用纯虚数的定义即可得出． 【详解】 解：(1)不等式201x ax+<即()20x x a +-<的解集为()1,b -． 1∴-,b 是方程220x ax +-=的两个实数根,∴由1b a -+=-，2b -=-，解得1a =-,2b =． (2)由(1)知1,2a b =-=,()()()()121222z z i cos isin cos sin cos sin i αααααα∴=-++=--+-为纯虚数，20cos sin αα∴--=,20cos sin αα-≠,解得12tan α=-. 【点睛】本题考查了行列式,复数的运算法则、纯虚数的定义、一元二次方程的根与系数的关系、一元二次不等式的解法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.18．如图,四棱锥P ABCD -中,PD ⊥底面ABCD ,且底面ABCD 为平行四边形,若60DAB ∠=︒,2AB =,1AD =.（1）求证:PA BD ⊥;（2）若45PCD ∠=︒,求点D 到平面PBC 的距离h .【答案】（1）答案见解析（2）7. 【解析】（1） 因为60DAB ∠=︒,2AB =,1AD =,利用余弦定理求出BD ,即可判断出ABD △满足勾股定理,即ABD △直角三角形且角ADB ∠为直角,则AD BD ⊥,结合已知PD ⊥底面ABCD ,即可求证PA BD ⊥.（2）利用等体积法,根据P BCD D BCP V V --=列方程,即可求得点D 到平面PBC 的距离h . 【详解】（1）1,2,60AD AB DAB ︒==∠=Q根据余弦定理可得: 2222cos60BD AB AD AB AD ︒=+-⋅⋅∴BD =222AD BD AB ∴+=AD BD ∴⊥Q PD ⊥底面ABCD ,BD ⊂底面ABCDPD BD ∴⊥,又AD PD D =IBD ∴⊥平面PADPA ⊂Q 平面PAD ∴ PA BD ⊥综上所述, PA BD ⊥ （2）由（1）可知BC BD ⊥122BCD S BC BD ∴=⨯⨯=V 45PCD ︒∠=Q 可得:2PD CD ==12323P BCD V -∴=⨯=1PC PB BC ===Q 222BC PB PC ∴+= PB BC ∴⊥12BCP S BC PB ∴=⋅=V1326D BCP V h -∴=⨯=又Q P BCD D BCP V V --=63=解得:7h = . 【点睛】本题考查了判定空间两条直线垂直和点到面的距离问题.本题的解题关键是将判定空间线线垂直转化为求证空间线面垂直,考查了学生空间想象能力和计算能力.属于中等题.19．如果一条信息有n 1,N)n n >∈（种可能的情形（各种情形之间互不相容），且这些情形发生的概率分别为12,,,n p p p L ，则称H = ()()()12n f p f p f p ++L （其中()f x = log ,a x x - ()0,1x ∈）为该条信息的信息熵．已知1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．（1）若某班共有32名学生，通过随机抽签的方式选一名学生参加某项活动，试求“谁被选中”的信息熵的大小；（2）某次比赛共有n 位选手（分别记为12,,,n A A A L ）参加，若当1,2,k = ,1n -L 时，选手k A 获得冠军的概率为2k -，求“谁获得冠军”的信息熵H 关于n 的表达式．【答案】（1）5（2）422n-【解析】试题分析：利用11()22f =求出a ，根据题目（1）所给出的信息，32名学生，通过随机抽签的方式选一名学生参加某项活动，“某人被选中”的概率均为132，利用公式H = ()()()12n f p f p f p ++L （其中()f x = log ,a x x - ()0,1x ∈），求出信息熵的值；比赛共有n 位选手（分别记为12,,,n A A A L ）参加，若当1,2,k = ,1n -L 时，选手k A 获得冠军的概率为2k -，利用公式H = ()()()12n f p f p f p ++L （其中()f x = log ,a x x - ()0,1x ∈），表示出信息熵后，利用错位相减法求出数列的和.试题解析：（1）由1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得111log 222a -=，解之得2a =.由32种情形等可能，故()11,2,,3232k P k ==L ，所以21132log 53232H ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，答：“谁被选中”的信息熵为5．（2）n A 获得冠军的概率为111111111+1124222n n n ---⎛⎫⎛⎫-++=--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L ，当1,2,k = ,1n -L 时，()22log 22k kk k k f p --=-=，又()112nn n f p --=， 故111231124822n n n n H ----=+++++L ， 1112211+248222n n n n n n H L ----=++++， 以上两式相减，可得11111111+1224822n n H --=+++=-L ，故422n H =-， 答：“谁获得冠军”的信息熵为422n -．20．双曲线2221(0)y x b b-=>的左、右焦点分别为12F F 、，直线l 过2F 且与双曲线交于A B 、两点.（1）若l 的倾斜角为π2，1F AB V 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设b =l 的斜率存在，且11()0F A F B AB +⋅=u u u r u u u r u u u r，求l 的斜率.【答案】（1）y =；（2）. 【解析】试题分析：（1）设(),x y A A A ，根据题设条件得到()24413bb+=，从而解得2b 的值．（2）设()11,x y A ，()22,x y A ，直线:l ()2y k x =-与双曲线方程联立，得到一元二次方程，根据l 与双曲线交于两点，可得230k -≠，且()23610k∆=+>．再设AB的中点为(),x y M M M ，由()110F F A +B ⋅AB =u u u r u u u r u u u r 即10F M⋅AB =u u u u r u u u r ，从而得到11F k k M ⋅=-，进而构建关于k 的方程求解即可．试题解析：（1）设(),x y A A A ．由题意，()2,0F c ，c ，()22241y bcb A =-=，因为1F AB V是等边三角形，所以2c A =， 即()24413bb+=，解得22b =．故双曲线的渐近线方程为y =． （2）由已知，()12,0F -，()22,0F ．设()11,x y A ，()22,x y B ，直线:l ()2y k x =-．显然0k ≠．由()221{32y x y k x -==-，得()222234430k x k x k --++=． 因为l 与双曲线交于两点，所以230k -≠，且()23610k ∆=+>．设AB 的中点为(),x y M M M ．由11()0F A F B AB +⋅=u u u r u u u r u u u r 即10F M⋅AB =u u u u r u u u r ，知1F M ⊥AB ，故11F k k M ⋅=-． 而2122223x x k x k M +==-，()2623k y k x k M M =-=-，12323F k k k M =-， 所以23123k k k ⋅=--，得235k =，故l的斜率为． 【考点】双曲线的几何性质、直线与双曲线的位置关系、平面向量的数量积 【名师点睛】本题对考生的计算能力要求较高，是一道难题.解答此类题目时，利用,,,a b c e 的关系，确定双曲线（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与双曲线（圆锥曲线）方程得到方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题与解决问题的能力等.21．若定义在R 上的函数()y f x =满足：对于任意实数x 、y ，总有()()()()2f x y f x y f x f y ++-=恒成立，我们称()f x 为“类余弦型”函数．()1已知()f x 为“类余弦型”函数，且()514f =，求()0f 和()2f 的值；()2在()1的条件下，定义数列()()21(1,n a f n f n n =+-=2，3，).⋯求201720181222223333a a a alog log log log ++⋯++的值． ()3若()f x 为“类余弦型”函数，且对于任意非零实数t ，总有()1f t >，证明：函数()f x 为偶函数，设有理数1x ，2x 满足12x x <，判断()1f x 和()2f x 的大小关系，并证明你的结论．【答案】（1）()01f =，()1728f =（2）2035153（3）证明见解析，()()12.f x f x <，证明见解析【解析】()1是抽象函数基础题,令121,0x x ==,求得()01f =;令121x x ==,求得()1728f =; ()2对于此数列,需要求其通项,而求通项又需要递推公式,令x n =，1y =,利用题中关系式推导出递推公式12n n a a -=,求通项然后利用对数的运算法则求解答案;()3属于难题,因为()()12的铺垫,代入特定的数即令0x =,y 为任意实数即可证明偶函数,证明()1f x 与()2f x 的大小关系需要定义新的数列,又因为题目中的有理数条件,要充分利用分数的特点. 【详解】解：()1令1x =，0y =，则()()()()11210+=f f f f ，所以()01f =． 令1x =，1y =，则()()()()20211f f f f +=，所以()1728f =． ()2令x n =，1y =，其中n 是大于1的整数，则()()()()()511212f n f n f n f f n ++-==，所以()()()()()21221f n f n f n f n +-=--，即12n n a a -=．又因为()()12213a f f =-=，所以数列{}n a 是首项为3，公比为2的等比数列，所以132n n a -=⋅，则213na log n =-． 所以原式0120172035153=++⋯+=．(3)证明:由题意函数()f x 定义域为R 关于原点对称,令0x =,y 为任意实数,则()()()()()202f y f y f f y f y +-==，即()()-=f y f y ，所以()f x 是偶函数．令N 为1x ,2x 分母的最小公倍数,并且1a x N =,2b x N=,a b 、都是自然数,并且a b <．第 21 页 共 21 页 令数列{}n c 满足n n c f N ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0n =，1，.⋯下证：数列{}n c 单调递增． ()1.01i f f N ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，所以01c c <； .ii 若1n n c c -<，n 是正整数，即1n n f f N N -⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 令n x N =，1y N =，则11122n n n n f f f f f N N N N N +-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即112n n n c c c +-+>．所以()1112n n n n n n n c c c c c c c +-->-=+->．综上,数列{}n c 单调递增,所以()()12f x f x <，又因为()f x 是偶函数，所以()()12.f x f x <【点睛】本题涉及抽象函数、数列求通项求和等知识，使用了赋值法、数学归纳法等方法,属于难题.。
上海市七宝中学2019届高三月考数学试卷(2019.3.25)(简略答案)
七宝中学高三数学试题2019.3.25一、填空题（本大题共有12题，满分54分）．1．已知集合，且，则实数的值是___________．{1,3,},{3,5}==A m B ⊆B A m 2．函数的定义域是_____________．()=f x 3．函数的反函数是_______________．2(2)=≥x y x 4．如果圆锥的底面积为，母线长为2，那么该圆锥的高为_____________．π5．二项式的展开式中的常数项为_____________．82⎫-⎪⎭x 6．已知复数（为虚数单位），复数满足，则________．03=+z i i z 003⋅=+z z z z =z 7．如右图，直三棱柱的主视图是边长为2的正方形，且俯视图为一个等边三角形，则该三棱柱的左视图面积为______________．8．某班从4位男生和3位女生志愿者选出4人参加校运动会的点名签到工作，则选出的志愿者中既有男生又有女生的概率是____________（结果用最简分数表示）．9．已知是平面内两个互相垂直的单位向量，且此,a b 平面内另一向量在满足时，均能c (3)(4)0+⋅-=a cbc 使成立，则的最小值是___________．||-≤ c b k k 10．已知函数，若函数的所有零点()5sin(2),0,,[0,5]2πθθπ⎛⎤=-∈∈ ⎥⎝⎦f x x x ()()3=-F x f x 依次记为，且，，若123,,,, n x x x x 1231-<<<⋯<<n n x x x x x *∈n N ，则___________．123218322222π--+++⋯+++=n n n x x x x x x θ=11．已知函数，图像的最高点从左到右依次记为函数()(0)2π=≥f x x x 135,,, P P P 图像与轴的交点从左到右依次记为，设()=y f x 246,,, P P P()()()23122323343441251+++=⋅+⋅+⋅++⋅ nn n n n n S P P P P P P P P P P P P P P P P 则______________．lim1(2)→∞=+-nnn S主主主1A112．若数列满足为常数，，则称数列为等方差数列，为公{}n a 221,--=n n a a p p 2≥n {}n a p 方差，已知正数等方差数列的首项，且成等比数列，，{}n a 11=a 125,,a a a 12≠a a 设，取的非空子集，*12231111|,1100,N +⎧⎫==++⋯+≤≤∈⎨⎬+++⎩⎭n n n n A T T n n a a a a a a A B 若的元素都是整数，则为“完美子集”，那么集合中的完美子集的个数为___________．二、选择题（每题5分，共20分）13．关于的二元一次方程组的增广矩阵为 （ ）,x y 341310+=⎧⎨-=⎩x y x y A B C D3411310-⎛⎫ ⎪-⎝⎭3411310⎛⎫ ⎪--⎝⎭3411310⎛⎫ ⎪-⎝⎭3411310⎛⎫⎪⎝⎭14．若函数为非奇非偶函数，则有 （ ）(),=∈R y f x x A ．对于任意的，都有且0∈x R ()()00-≠f x f x ()()00-≠-f x f x B ．存在，使且0∈x R ()()00-≠f x f x ()()00-≠-f x f x C ．存在，使且12,∈x x R ()()11-≠f x f x ()()22-≠-f x f x D ．对于任意的，都有或0∈x R ()()00-≠f x f x ()()00-≠-f x f x 15．无穷等差数列的首项为，公差为，前项和为，则“”{}n a 1a d n ()*∈n S n N 10+>a d 是“ 为递增数列”的 （ ）{}n S A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件16、在圆锥中，已知高，底面圆半径为4，为母线上一点，根据圆锥曲线的定PO 2=PO 义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线，下面四个命题，正确的个数为（）①圆的面积为4π③双曲线两渐近线的夹角为4arcsin5π-A 1个B 2个C 3个D 4个三、解答题：（本大题共有5题，满分76分）17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图，已知长方体的棱长，求：1111-ABCD A B C D 12,1,2===AB BC AA （1）异面直线与所成角的大小；1BC 1CD （2）点到平面的距离．B 1ACD1C A 118．（本题满分14分）第1小题满分6分，第2小题满分8分．函数，其中．)()lg2=+f x x 0>b （1）若函数是奇函数，求的值；b （2）在（1）的条件下，判别函数图像是否存在两点，使得直线平行于轴，说,A B AB x 明理由；19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 如图，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形的长分别为，,,ABCD AB AD ,4m 上部是圆心为的劣弧，。
2019-2020学年上海市闵行区七宝中学高三(上)10月月考数学试卷
2019-2020学年上海市闵行区七宝中学高三（上）10月月考数学试卷一.填空题1. 已知复数z满足(1+i)z=1−7i（i是虚数单位），则|z|=________．【答案】5【考点】复数的模【解析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：由(1+i)z=1−7i，得z=1−7i1+i =(1−7i)(1−i)(1+i)(1−i)=−6−8i2=−3−4i，则|z|=√(−3)2+(−4)2=5．故答案为：5.2. 已知集合M={x|x≤a}，N={−2, 0, 1}，若M∩N={−2, 0}，则实数a的取值范围是________．【答案】[0, 1)【考点】集合关系中的参数取值问题交集及其运算【解析】由已知集合M，N，以及M交N，可得到实数a的取值范围．【解答】解：∵集合M={x|x≤a}，N={−2, 0, 1}，M∩N={−2, 0}，∴实数a的取值范围是：0≤a<1．故答案为：[0, 1)．3. 已知定义域在[−1,1]上的函数y=f(x)的值域为[−2, 0]，则函数y=f(cos√x)的值域是________．【答案】[−2, 0]【考点】函数的值域及其求法【解析】可以看出−1≤cos√x≤1，从而对应的函数值f(cos√x)∈[−2,0]，这便得出了该函数的值域．【解答】解：∵cos√x∈[−1, 1]，∴ f(cos √x)∈[−2,0]，即y ∈[−2, 0]， ∴ 函数y =f(cos √x)的值域为[−2, 0]． 故答案为：[−2, 0]．4. 已知sin (α−π4)=35，那么cos (α+π4)的值是________． 【答案】−35【考点】 诱导公式 【解析】原式中的角度变形后，利用诱导公式化简将已知等式代入计算即可求出值． 【解答】解：∵ sin (α−π4)=35，∴ cos (α+π4)=cos [π2+(α−π4)]=−sin (α−π4)=−35． 故答案为：−35.5. 设(x 4√x )6(a >0)展开式中x 3的系数为A ，常数项为B ，若B =4A ，则a =________.【答案】 8【考点】二项式系数的性质 【解析】在二项展开式的通项公式中，分别令x 的幂指数等于3、0，求得r 的值，可得A 、B 的值，再根据B ＝4A ，求得a 的值． 【解答】解：设(x −4√x )6(a >0)展开式的通项公式为 T r+1=C 6r ⋅(−a 4)r ⋅x6−3r 2，令6−3r 2=3，求得r =2，可得展开式中x 3的系数为A =C 62⋅a 216，令6−3r 2=0，求得r =4，可得展开式中常数项为B =C 64⋅(a 4)4，若B =4A ，则 C 64⋅(a4)4=4⋅C 62⋅a 216，求得a =8.故答案为：8.6. 向量a →=(3, 4)在向量b →=(1, −1)方向上的投影为________．【答案】 −√22【考点】 向量的投影 【解析】 由向量a →在向量b →方向上的投影定义，结合平面向量的数量积公式，知向量a →在向量b →方向上的投影为|a →|cos θ，代入计算即可． 【解答】解：∵ 向量a →=(3,4)，b →=(1, −1)， ∴ 向量a →在向量b →方向上的投影为 |a →|cos θ=|a →|×a →⋅b→|a →|×|b →|=a →⋅b →|b →|=22=−√22. 故答案为：−√22.7. 已知函数f(x)={x 2+4x,x ≥0,4x −x 2,x <0, 若f(2−a 2)>f(a)，则实数a 的取值范围为________． 【答案】 (−2, 1) 【考点】分段函数的应用 【解析】先根据二次函数的解析式分别研究分段函数在各自区间上的单调性，从而得到函数f(x)的单调性，由此性质转化求解不等式，解出参数范围即可． 【解答】解：对于函数f(x)，当x ≥0 时，f(x)=x 2+4x ， 由二次函数的性质知，它在[0, +∞)上是增函数， 当x <0时，f(x)=4x −x 2，由二次函数的性质知，它在(−∞, 0)上是增函数， 该函数连续，则函数f(x) 是定义在R 上的增函数， ∵ f(2−a 2)>f(a)，∴ 2−a 2>a ，解得−2<a <1. ∴ 实数a 的取值范围是(−2, 1). 故答案为：(−2, 1).8. 设P 1={x|x 2+ax +1>0}，P 2={x|x 2+ax +2>0}，有下列命题： ①对任意实数a ，P 1是P 2的子集； ②对任意实数a ，P 1不是P 2的子集； ③存在实数a ，使P 1不是P 2的子集；④存在实数a ，使P 1是P 2的子集； 其中正确的有________. 【答案】 ①④ 【考点】全称命题与特称命题集合的包含关系判断及应用 【解析】对任意实数a ，由x 2+ax +1>0⇒x 2+ax +2>0，即可判断出P 1与P 2的关系，进而判断出①②③④的正误． 【解答】解：①对任意实数a ，由x 2+ax +1>0⇒x 2+ax +2>0， 所以P 1是P 2的子集，故①正确； ②由①可知②不正确；④由①可知：存在实数a ，使P 1是P 2的子集，故④正确； ③由④可知：③不正确. 故答案为：①④.9. 已知常数a >0，函数f(x)=2x2x +ax 的图象经过点P(p,65)，Q(q,−15)，若2p+q =16pq ，则a =________. 【答案】 4【考点】指数函数的图象 指数函数的性质 【解析】将P ，Q 坐标带入，结合2p+q ＝16pq ，可得a 的值 【解答】解：函数f(x)=2x2x +ax 的图象经过点P(p,65)，Q(q,−15)， 可得65=2p2+ap ，即ap2=−16①， −15=2q 2q +aq ，即aq 2q=−6②，由①×②可得：a 2pq =2p+q ， ∵ 2p+q =16pq ，∴ 16pq =a 2pq ，而a >0，解得：a =4. 故答案为：4.10. 已知函数f(x)={x 2+x +1,x ≤1，5x −2,x >1， 若方程f(x)=m 有两个不相等的实数根x 1，x 2，且x 1+x 2<−1，则实数m 的取值范围为________． 【答案】(3, 13) 【考点】分段函数的应用函数的零点与方程根的关系 【解析】作出函数f(x)的图象，根据分段函数的关系，结合一元二次函数的对称性，利用数形结合进行求解即可． 【解答】解：作出函数f(x)的图象如图：由x 2+x +1=5x −2，得x 2−4x +3=0，解得x =1或x =3， 即y =x 2+x +1与y =5x −2的交点坐标为(1, 3)，(3, 12)， 当x ≤1时，y =x 2+x +1=(x +12)2+34， 抛物线的对称轴为x =−12，若方程f(x)=m 有两个不相等的实数根x 1，x 2，则m >34， 若x 1+x 2<−1，则x 1+x 22<−12，即两个函数的交点(x 1，f(x 1))，(x 2，f(x 2))的中点在x =−12的左侧， 即当x >1时，x 2+x +1<5x −2，即1<x <3， 此时3<f(x)<13， 即3<m <13. 故答案为：(3, 13).11. 若f(x)是R 上单调函数，且对任意x 都有f[f(x)+22x +2]=12，则f(log 25)=________. 【答案】57【考点】函数解析式的求解及常用方法 【解析】由题意可知，f(x)+22x +2为常数，可设f(x)+22x +2=t ，然后结合f(t)＝t −22+2t =12可求t ，然后代入即可求解． 【解答】解：∵ f(x)是R 上单调函数，且对任意x 都有f[f(x)+22x +2]=12，则f(x)+22x +2为常数，可设f(x)+22x +2=t ，∴ f(x)=−22x +2+t ， 由题意可得，f(t)=t −22+2t=12，解可得，t =1，即f(x)=1−22x +2， ∴ f(log 25)=1−22+5=57. 故答案为：57.12. 已知两定点E(3, 2)和F(−3, 2)，若对于实数λ，函数y =|x +2|+|x −2|−4(−4≤x ≤4)的图象上有且仅有6个不同的点P ，使得PE →⋅PF →=λ成立，则λ的取值范围是________. 【答案】(−95,−1) 【考点】平面向量数量积的性质及其运算律 平面向量的坐标运算 【解析】画出函数f(x)的图象，讨论点P 在AB 上，在BC 上，在CD 上的情况，求出数量积，运用二次函数的性质得解． 【解答】 解：如图：函数y =|x +2|+|x −2|−4={−4−2x,−4≤x ≤−2，0,−2<x ≤2，2x −4,2<x ≤4，①若P 在AB 上，设P(x, −2x −4)，−4≤x ≤−2， 则PE →=(3−x,6+2x)，PF →=(−3−x,6+2x)， ∴ PE →⋅PF →=x 2−9+(2x +6)2=5x 2+24x +27， ∵ −4≤x ≤−2，∴ 由二次函数的性质可得：当−95<λ≤−1时有两解； ②若P 在BC 上，设P(x, 0)，−2<x ≤2，则PE →=(3−x,2),PF →=(−3−x,2)， ∴ PE →⋅PF →=x 2−5，又−2<x ≤2， ∴ −5≤λ≤−1，∴ 当λ=−5或−1时有一解，当−5<λ<−1时有两解； ③若P 在CD 上，设P(x, 2x −4)，2<x ≤4， 则PE →=(3−x,6−2x),PF →=(−3−x,6−2x)， ∴ PE →⋅PF →=5x 2−24x +27， ∵ 2<x ≤4，∴ 由二次函数的性质可得：当−95<λ<−1时有两解，综上，可得有且仅有6个不同的点P 的情况是−95<λ<−1． 故答案为：(−95,−1). 二.选择题设θ∈R ，则“θ=π6”是“sin θ=12”的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【答案】 A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 三角函数的恒等变换及化简求值 【解析】由θ=π6，通过运算有sin θ=12，即“θ=12”是“sin θ=π6”的充分条件，由sin θ=12，通过解三角方程有：θ＝kπ+(−1)k π6，即“θ=π6”是“sin θ=12”的不必要条件，故可得解． 【解答】解：由θ=π6，则有sin θ=12， 即“θ=π6”是“sin θ=12”的充分条件， 由sin θ=12，得：θ=kπ+(−1)k π6， 即“θ=π6”是“sin θ=12”的不必要条件， 即“θ=π6”是“sin θ=12”的充分不必要条件．下列命题正确的是( )A.如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行B.如果一条直线垂直于一个平面内的两条直线，那么这条直线垂直于这个平面C.如果一条直线平行于一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面D.如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行【答案】D【考点】复合命题及其真假判断平面与平面平行的判定空间中直线与平面之间的位置关系空间中直线与直线之间的位置关系【解析】根据空间线面关系的判定定理，性质及几何特征，逐一分析给定四个结论的真假，可得答案．【解答】解：如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行，或相交，或异面，故A错误；如果一条直线垂直于一个平面内的两条平行直线，那么这条直线不一定垂直于这个平面，故B错误；如果一条平面外直线平行于一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面，但平面内直线不满足条件，故C错误；如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行，故D正确；故选D.已知函数①f(x)=3ln x，②f(x)=3e cos x；③f(x)=3e x④f(x)=3cos x其中对于f(x)定义域内的任意一个自变量x1，都存在唯一个自变量x2，使√f(x1)f(x2)=3成立的函数是( )A.①②④B.②③C.③D.④【答案】C【考点】函数恒成立问题【解析】根据题意可知其中对于f(x)定义域内的任意一个自变量x1都存在唯一个个自变量x2，使√f(x1)f(x2)=3即要判断对于任意一个自变量x，即函数在定义域内每个函数值都有倒数，从而得到结论．【解答】解：根据题意可知：①f(x)=3ln x，x=1时，ln x没有倒数，不成立；②f(x)=3e cos x，任一自变量f(x)有倒数，但所取x的值不唯一，不成立；③f(x)=3e x，任意一个自变量，函数都有倒数，成立；④f(x)=3cos x，当x=2kπ+π时，函数没有倒数，不成立．2∴成立的函数序号为③.给出条件：①x1<x2，②|x1|>x2，③x1<|x2|，④x12<x22．函数f(x)=sin2x+x2，对任意x1x2∈[−π2,π2]，都使f(x1)<f(x2)成立的条件序号是( )A.①③B.②④C.③④D.④【答案】D【考点】函数恒成立问题奇偶性与单调性的综合【解析】根据奇（偶）函数的定义判断出函数是偶函数，再判断出函数的单调性，利用偶函数图象关于y轴对称，判断所给的四个条件是否符合条件．【解答】解：∵函数f(−x)=sin2(−x)+(−x)2=sin2x+x2=f(x)，∴函数f(x)是偶函数又∵y=sin x在[0,π2]上是增函数，y=x2在[0,π2]上是增函数，∴函数f(x)=sin2x+x2在[0,π2]上是增函数，在[−π2,0]上是减函数，故①x1<x2，②|x1|>x2，③x1<|x2|中的条件都不能保证f(x1)<f(x2)成立，只有当|x1|<|x2|时，即|④x12<x22保证f(x1)<f(x2)成立.故选D.三.解答题已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2．(1)设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；(2)设PO=4，OA，OB是底面半径，且∠AOB=90∘，M为线段AB的中点，如图．求异面直线PM与OB所成的角的大小．【答案】解：(1)∵圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，圆锥的母线长为4，∴圆锥的体积V=13×π×r2×ℎ=13×π×22×√42−22=8√3π3．(2)∵PO=4，OA，OB是底面半径，且∠AOB=90∘，M为线段AB的中点，∴ 以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴， 建立空间直角坐标系，P(0, 0, 4)，A(2, 0, 0)，B(0, 2, 0)，M(1, 1, 0)，O(0, 0, 0)， PM →=(1, 1, −4)，OB →=(0, 2, 0)， 设异面直线PM 与OB 所成的角为θ， 则cos θ=2√18⋅2=√26． ∴ θ=arccos√26． ∴ 异面直线PM 与OB 所成的角的为arccos√26． 【考点】异面直线及其所成的角柱体、锥体、台体的体积计算 【解析】（1）由圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，半径为2，圆锥的母线长为4能求出圆锥的体积．（2）以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PM 与OB 所成的角． 【解答】解：(1)∵ 圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，半径为2，圆锥的母线长为4， ∴ 圆锥的体积V =13×π×r 2×ℎ=13×π×22×√42−22 =8√3π3． (2)∵ PO =4，OA ，OB 是底面半径，且∠AOB =90∘， M 为线段AB 的中点，∴ 以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴， 建立空间直角坐标系，P(0, 0, 4)，A(2, 0, 0)，B(0, 2, 0)，M(1, 1, 0)，O(0, 0, 0)，PM →=(1, 1, −4)，OB →=(0, 2, 0)， 设异面直线PM 与OB 所成的角为θ， 则cos θ=√18⋅2=√26． ∴ θ=arccos√26． ∴ 异面直线PM 与OB 所成的角的为arccos√26．某地要建造一个边长为2（单位：km ）的正方形市民休闲公园OABC ，将其中的区域ODC 开挖成一个池塘，如图建立平面直角坐标系后，点D 的坐标为(1, 2)，曲线OD 是函数y =ax 2图象的一部分，对边OA 上一点M 在区域OABD 内作一次函数y =kx +b(k >0)的图象，与线段DB 交于点N （点N 不与点D 重合），且线段MN 与曲线OD 有且只有一个公共点P ，四边形MABN 为绿化风景区：(1)求证：b =−k 28；(2)设点P 的横坐标为t ，①用t 表示M ，N 两点坐标；②将四边形MABN 的面积S 表示成关于t 的函数S =S(t)，并求S 的最大值． 【答案】(1)证明：函数y =ax 2过点D(1, 2)， 代入计算得a =2， ∴ y =2x 2；由{y =kx +b ，y =2x 2， 消去y 得2x 2−kx −b =0，由线段MN 与曲线OD 有且只有一个公共点P ， 得Δ=(−k)2−4×2×b =0， 解得b =−k 28；(2)解：设点P 的横坐标为t ，则0<t <1， ∴ 点P(t, 2t 2)，①直线MN 的方程为y =kx +b ， 即y =kx −k 28过点P ，∴ kt −k 28=2t 2，解得：k =4t ，则y =4tx −2t 2，令y =0，解得x =t2， t∴ N(t 2+12t , 2)；②将四边形MABN 的面积S 表示成关于t 的函数为： S =S(t)=2×2−12×2×[t 2+(t 2+12t )]=4−(t +12t )，其中0<t <1， 由t +12t≥2⋅√t ⋅12t=√2，当且仅当t =12t ，即t =√22时“=”成立， 所以S ≤4−√2，即S 的最大值是4−√2．【考点】二次函数的性质基本不等式在最值问题中的应用 根据实际问题选择函数类型 【解析】（1）根据函数y ＝ax 2过点D ，求出解析式y ＝2x 2； 由{y =kx +b y =2x 2消去y ，利用△＝0证明结论成立；（2）①写出点P 的坐标(t, 2t 2)，代入直线MN 的方程，用t 表示出直线方程， 利用直线方程求出M 、N 的坐标；②将四边形MABN 的面积S 表示成关于t 的函数S(t)， 利用基本不等式即可求出S 的最大值． 【解答】(1)证明：函数y =ax 2过点D(1, 2)， 代入计算得a =2， ∴ y =2x 2；由{y =kx +b ，y =2x 2， 消去y 得2x 2−kx −b =0，由线段MN 与曲线OD 有且只有一个公共点P ， 得Δ=(−k)2−4×2×b =0， 解得b =−k 28；(2)解：设点P 的横坐标为t ，则0<t <1， ∴ 点P(t, 2t 2)，①直线MN 的方程为y =kx +b ， 即y =kx −k 28过点P ，∴ kt −k 28=2t 2，解得：k =4t ，则y =4tx −2t 2，令y =0，解得x =t2，∴ N(t 2+12t , 2)；②将四边形MABN 的面积S 表示成关于t 的函数为： S =S(t)=2×2−12×2×[t 2+(t 2+12t )]=4−(t +12t )，其中0<t <1， 由t +12t≥2⋅√t ⋅12t=√2，当且仅当t =12t ，即t =√22时“=”成立， 所以S ≤4−√2，即S 的最大值是4−√2．问题：正数a ，b 满足a +b =1，求1a +2b 的最小值．其中一种解法是：1a +2b =(1a +2b)(a +b)=1+ba +2a b+2≥3+2√2，当且仅当b a =2a b且a +b =1时，即a =√2−1且b =2−√2时取等号．学习上述解法并解决下列问题： (1)若实数a ，b ，x ，y 满足x 2a2−y 2b 2=1，试比较a 2−b 2和(x −y)2的大小，并指明等号成立的条件；(2)利用(1)的结论，求函数f(t)=√2t −3−√t −2的值域． 【答案】解：(1)因为a 2−b 2=(a 2−b 2)(x 2a 2−y 2b 2) =x 2+y 2−(b 2a 2x 2+a 2b2y 2)≤x 2+y 2−2√b 2a 2x 2⋅a 2b2y 2 ≤x 2+y 2−2xy=(x −y)2，（x 2a 2−y 2b 2=1且b 4x 2=a 4y 2等号成立）， 所以a 2−b 2≤(x −y)2，（x 2a 2−y 2b 2=1且b 4x 2=a 4y 2等号成立）.(2)令√2t −3=x ，√t −2=y ，a 2=1，b 2=12， ∴ x 2a 2−y 2b 2=1，∴ (x −y)2≥a 2−b 2=1−12=12， ∴ (x −y)2≥12，∴ x −y ≥√22， 即f(t)的值域为[√22, +∞). 【考点】基本不等式在最值问题中的应用 函数的值域及其求法 【解析】（1）a 2−b 2＝(a 2−b 2)(x 2a 2−y 2b 2)＝x 2+y 2−(a 2b 2x 2+b 2a 2y 2)≤x 2+y 2−2√a 2b 2x 2⋅b 2a 2y 2≤x 2+y 2−2xy ＝(x −y)2；（2）令√2t −3=x ，√t −2=y ，a 2＝1，b 2=12，∴x 2a2−y 2b 2=1，再用（1）的结论做． 【解答】解：(1)因为a 2−b 2=(a 2−b 2)(x 2a 2−y 2b 2)=x 2+y 2−(b 2a 2x 2+a 2b2y 2)≤x 2+y 2−2√b 2a 2x 2⋅a 2b2y 2≤x 2+y 2−2xy =(x −y)2，（x 2a−y 2b =1且b 4x 2=a 4y 2等号成立），所以a 2−b 2≤(x −y)2，（x 2a 2−y 2b 2=1且b 4x 2=a 4y 2等号成立）. (2)令√2t −3=x ，√t −2=y ，a 2=1，b 2=12， ∴ x 2a 2−y 2b 2=1，∴ (x −y)2≥a 2−b 2=1−12=12，∴ (x −y)2≥12，又x >y ， ∴ x −y ≥√22， 即f(t)的值域为[√22, +∞).已知a ∈R ，函数f(x)=log 2(1x +a)．(1)当a =5时，解不等式f(x)>0；的取值范围；(3)设a >0，若对任意t ∈[12, 1]，函数f(x)在区间[t, t +1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围． 【答案】解：(1)当a =5时，f(x)=log 2(1x +5)，由f(x)>0得log 2(1x +5)>0， 即1x+5>1，则1x>−4，则1x+4=4x+1x>0，则x >0或x <−14，即不等式的解集为{x|x >0或x <−14}．(2)由f(x)−log 2[(a −4)x +2a −5]=0， 得log 2(1x +a)−log 2[(a −4)x +2a −5]=0． 即log 2(1x +a)=log 2[(a −4)x +2a −5]，即1x+a =(a −4)x +2a −5>0，①则(a −4)x 2+(a −5)x −1=0， 即(x +1)[(a −4)x −1]=0，②当a =4时，方程②的解为x =−1，代入①，成立， 当a =3时，方程②的解为x =−1，代入①，成立， 当a ≠4且a ≠3时，方程②的解为x =−1或x =1a−4， 若x =−1是方程①的解，则1x +a =a −1>0，即a >1， 若x =1a−4是方程①的解，则1x +a =2a −4>0，即a >2，则要使方程①有且仅有一个解，则1<a ≤2．综上，若方程f(x)−log 2[(a −4)x +2a −5]=0的解集中恰好有一个元素， 则a 的取值范围是1<a ≤2，或a =3或a =4． (3)函数f(x)在区间[t, t +1]上单调递减， 由题意得f(t)−f(t +1)≤1， 即log 2(1t +a)−log 2(1t+1+a)≤1，即1t +a ≤2(1t+1+a)，即a ≥1t −2t+1=1−tt(t+1)， 设1−t =r ，则0≤r ≤12， 1−tt(t+1)=r(1−r)(2−r)=r r 2−3r+2，当0<r ≤12时，rr 2−3r+2=1r+2r−3，∵ y =r +2r 在(0, √2)上递减， ∴ r +2r≥12+4=92，∴rr 2−3r+2=1r+2r−3≤192−3=23，∴ 实数a 的取值范围是a ≥23．【考点】指、对数不等式的解法 函数恒成立问题对数函数图象与性质的综合应用 【解析】（1）当a =5时，解导数不等式即可．（2）根据对数的运算法则进行化简，转化为一元二次方程，讨论a 的取值范围进行求解即可．（3）根据条件得到f(t)−f(t +1)≤1，恒成立，利用换元法进行转化，结合对勾函数的单调性进行求解即可． 【解答】解：(1)当a =5时，f(x)=log 2(1x +5)，由f(x)>0得log 2(1x+5)>0，即1x +5>1，则1x >−4，则1x +4=4x+1x>0，则x >0或x <−14，即不等式的解集为{x|x >0或x <−14}． (2)由f(x)−log 2[(a −4)x +2a −5]=0， 得log 2(1x +a)−log 2[(a −4)x +2a −5]=0． 即log 2(1x +a)=log 2[(a −4)x +2a −5]，即1x+a =(a −4)x +2a −5>0，①则(a −4)x 2+(a −5)x −1=0， 即(x +1)[(a −4)x −1]=0，②当a =4时，方程②的解为x =−1，代入①，成立， 当a =3时，方程②的解为x =−1，代入①，成立， 当a ≠4且a ≠3时，方程②的解为x =−1或x =1a−4， 若x =−1是方程①的解，则1x +a =a −1>0，即a >1，则要使方程①有且仅有一个解，则1<a ≤2．综上，若方程f(x)−log 2[(a −4)x +2a −5]=0的解集中恰好有一个元素， 则a 的取值范围是1<a ≤2，或a =3或a =4． (3)函数f(x)在区间[t, t +1]上单调递减， 由题意得f(t)−f(t +1)≤1， 即log 2(1t +a)−log 2(1t+1+a)≤1，即1t+a ≤2(1t+1+a)，即a ≥1t−2t+1=1−tt(t+1)，设1−t =r ，则0≤r ≤12， 1−t t(t+1)=r (1−r)(2−r)=rr 2−3r+2， 当r =0时，rr 2−3r+2=0， 当0<r ≤12时，rr 2−3r+2=1r+2r−3，∵ y =r +2r 在(0, √2)上递减， ∴ r +2r ≥12+4=92， ∴ rr 2−3r+2=1r+2r−3≤192−3=23，∴ 实数a 的取值范围是a ≥23．若函数f(x)对任意的x ∈R ，均有f(x −1)+f(x +1)≥2f(x)，则称函数f(x)具有性质P ．(1)判断下面两个函数是否具有性质P ，并说明理由． ①y =a x (a >1)； ②y =x 3．(2)若函数f(x)具有性质P ，且f(0)=f(n)=0(n >2, n ∈ N ∗)， 求证：对任意i ∈{1, 2, 3, ⋯, n −1}有f(i)≤0；(3)在(2)的条件下，是否对任意x ∈[0, n]均有f(x)≤0．若成立给出证明，若不成立给出反例． 【答案】(1) 解：①函数f(x)=a x (a >1)具有性质P ．f(x −1)+f(x +1)−2f(x)=a x−1+a x+1−2a x =a x (1a +a −2)， 因为a >1，所以a x (1a +a −2)>0，即f(x −1)+f(x +1)≥2f(x)， 此函数为具有性质P ．②函数f(x)=x 3不具有性质P ．例如，当x =−1时，f(x −1)+f(x +1)=f(−2)+f(0)=−8，2f(x)=−2，则f(i)−f(i −1)>0， 因为函数f(x)具有性质P ，所以，对于任意n ∈N ∗，均有f(n +1)−f(n)≥f(n)−f(n −1)，所以f(n)−f(n −1)≥f(n −1)−f(n −2)≥⋯≥f(i)−f(i −1)>0， 所以f(n)=[f(n)−f(n −1)]+⋯+[f(i +1)−f(i)]+f(i)>0， 与f(n)=0矛盾，所以，对任意的i ∈{1, 2, 3, ⋯, n −1}有f(i)≤0． (3)证明：不成立．例如f(x)={x(x −n)，x 为有理数，x 2，x 为无理数，当x 为有理数时，x −1，x +1均为有理数， f(x −1)+f(x +1)−2f(x)=(x −1)2+(x +1)2−2x 2−n(x −1+x +1−2x)=2， 当x 为无理数时，x −1，x +1均为无理数，f(x −1)+f(x +1)−2f(x)=(x −1)2+(x +1)2−2x 2=2，所以，函数f(x)对任意的x ∈R ，均有f(x −1)+f(x +1)≥2f(x)， 即函数f(x)具有性质P ．而当x ∈[0, n](n >2)且当x 为无理数时，f(x)>0．所以，在(2)的条件下，“对任意x ∈[0, n]均有f(x)≤0”不成立． 【考点】函数新定义问题 不等式恒成立问题 抽象函数及其应用 【解析】（I ）①根据已知中函数的解析式，结合指数的运算性质，计算出f(x −1)+f(x +1)−2f(x)的表达式，进而根据基本不等式，判断其符号即可得到结论；②由y ＝x 3，举出当x ＝−1时，不满足f(x −1)+f(x +1)≥2f(x)，即可得到结论；(II)由于本题是任意性的证明，从下面证明比较困难，故可以采用反证法进行证明，即假设f(i)为f(1)，f(2)，…，f(n −1)中第一个大于0的值，由此推理得到矛盾，进而假设不成立，原命题为真；(III)由(II)中的结论，我们可以举出反例，如f(x)={x(x −n)xx 2x.证明对任意x ∈[0, n]均有f(x)≤0不成立． 【解答】(1) 解：①函数f(x)=a x (a >1)具有性质P ．f(x −1)+f(x +1)−2f(x)=a x−1+a x+1−2a x =a x (1a +a −2)， 因为a >1，所以a x (1a +a −2)>0，即f(x −1)+f(x +1)≥2f(x)， 此函数为具有性质P ．②函数f(x)=x 3不具有性质P ．例如，当x =−1时，f(x −1)+f(x +1)=f(−2)+f(0)=−8，2f(x)=−2，则f(i)−f(i −1)>0， 因为函数f(x)具有性质P ，所以，对于任意n ∈N ∗，均有f(n +1)−f(n)≥f(n)−f(n −1)，所以f(n)−f(n −1)≥f(n −1)−f(n −2)≥⋯≥f(i)−f(i −1)>0， 所以f(n)=[f(n)−f(n −1)]+⋯+[f(i +1)−f(i)]+f(i)>0， 与f(n)=0矛盾，所以，对任意的i ∈{1, 2, 3, ⋯, n −1}有f(i)≤0． (3)证明：不成立．例如f(x)={x(x −n)，x 为有理数，x 2，x 为无理数，当x 为有理数时，x −1，x +1均为有理数， f(x −1)+f(x +1)−2f(x)=(x −1)2+(x +1)2−2x 2−n(x −1+x +1−2x)=2， 当x 为无理数时，x −1，x +1均为无理数，f(x −1)+f(x +1)−2f(x)=(x −1)2+(x +1)2−2x 2=2，所以，函数f(x)对任意的x ∈R ，均有f(x −1)+f(x +1)≥2f(x)， 即函数f(x)具有性质P ．而当x ∈[0, n](n >2)且当x 为无理数时，f(x)>0．所以，在(2)的条件下，“对任意x ∈[0, n]均有f(x)≤0”不成立．。
精品解析：上海市闵行区七宝中学2019-2020学年高三上学期开学考试数学试题(解析版)
【详解】∵A､B､C 三点不共线,∴
| AB + AC |>| BC | | AB + AC |>| AB - AC |
| AB + AC |2>| AB - AC |2 AB • AC >0 AB 与 AC
2019-2020 学年上海市闵行区七宝中学高三（上）开学数学试卷
一、填空题（本大题共 12 小题）
U
1.已知全集
1, 0,1, 2,3,集合
A
0,1, 2,
B
1, 0,1,则 ðU
A
B
______.
1
【答案】
【解析】
【分析】
利用集合补集和交集的定义直接求解即可.
17
17
,解得 a 12 .
故答案为:12.
【点睛】本题考查参数值的求法，考查借用圆锥曲线的参数方程和点到直线的距离求参数的问题，考查运
算求解能力，属于中档题．
11.已知
a
、b、
c
都是实数，若函数
f
x
x2
1 x
b
xa
a
x
c
,
的反函数的定义域是
，则
7.已知
4x 2x
，则此函数的值域是______
【答案】
1,
5 4
【解析】
【分析】
t (1)x 令 2 ,由 x 的范围求得 t 的范围,再由二次函数求值域.
t (1)x 【详解】解:令 2 ,
x
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2019学年第一学期高三数学摸底考试卷
一、填空题
1. {}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则()U C A B ⋂=____________
2. 已知复数512i
z i
=
+（i 是虚数单位），则z z ⋅=____________ 3. 关于,x y 的二元一次方程组1
323
mx y mx my m +=-⎧⎨
-=+⎩无解，则m =____________
4. 直线1l 的一个方向向量()1,2d =，直线2l 的一个法向量()1,1n =，则直线1l 与直线2l 的夹角是____________
5. 已知ABC 为钝角三角形，边长1,2a b ==，则边长c ∈____________
6.
设常数9
0a x ⎛>+ ⎝
展开式中6
x 的系数为()24lim n n a a a →∞
+++=____________
7. 已知()()11
1042x
x f x x =-
++>，则此函数的值域是____________ 8. 若函数()[]()sin 0,0,6f x x x πωωπ⎛⎫
=-
>∈ ⎪⎝
⎭
的值域为1,12
⎡⎤
-⎢⎥⎣
⎦
，则ω的最小值为____________ 9. 已知P A ,PB ,PC 是从P 点引出的三条射线，每两条的夹角都是60°，那么直线PC 与平面P AB 所成的角
的余弦值为____________
10. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos sin x y θ
θ=⎧⎨=⎩
，（θ为参数），直线l 的参数方程为
()40x y a a +=>，若C 上的点到l
，则a =____________
11. 已知,,a b c ∈R ，函数()2,1,x x a
f x b a x c x
⎧≤⎪
=⎨+<<⎪⎩的反函数的定义域为R ，则实数c 的所有取值的集合
是____________
12. 已知双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线与C 的两条渐近线
分别交于A 、B 两点，若112,0F A AB F B F B =⋅=，则双曲线C 的渐近线方程为____________
二、选择题
13. 设点A ,B ,C 三点不共线，则“AB 与AC 的夹角是锐角”是“AB AC BC +>”的（ ） A . 充分非必要条件
B . 必要非充分条件
C . 充要条件
D . 既非充分也非必要条件
14. 若1a b >>，01c <<，则（ ） A . c c a b <
B . log log c c a b <
C . b a c c <
D . log log a b c c <
15. 定义“规范01数列”{}n a 如下：{}n a 共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意122,,,,k
k m a a a ≤中0的个数不少于1的个数，若m =4，则不同的“规范01数列”共有（ ） A . 18个 B . 16个 C . 14个 D . 12个
16. 以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数()x ϕ，存在一个正数M ，使得函
数()x ϕ的值域包含于区间[],M M -，例如，当()()312,sin x x x x ϕϕ==时，()()12,x A x B ϕϕ∈∈，则下命题为假命题的是（ ）
A . 函数()f x 的定义域为D ，则“()f x A ∈的充要条件是“对任意的b ∈R ，存在a ∈D ，满足()f a b =”
B . 若函数()(),f x g x 的定义域相同，且()(),f x A g x B ∈∈，则()()f x g x B +∉
C . 若函数()()()2
ln 22,1
x
f x a x x a R x =++
>-∈+有最大值，则()f x B ∈ D . 函数()f x B ∈的充要条件是()f x 有最大值和最小值
三、解答题
17. 关于x 的不等式
201
x a x
+<的解集为()1,b -.
（1）求实数,a b 的值；
（2）若12,cos sin z a bi z i αα=+=+，且12z z 为纯虚数，求tan α的值.
18. 如图，在四棱锥P-ABCD中，P A⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD//BC，P A=AD=CD=2，BC=3，E为PD的
中点，点F在PC上，且
1
3 PF
PC
=.
（1）求证：CD⊥平面P AD；
（2）若平面AEF与直线PB交于点G在，求PG
PB
的值.
19. 某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧MPN（P为圆弧的中点）和线段MN构
成，已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米，现规范在此农田修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为梯形MNBA，其中AB//MN，且AB<MN，大棚Ⅱ内的地块形状为ABP，要求A、B均在圆弧上，设OB与MN所成的角为θ.
（1）用θ表示多边形MAPBN的面积，并确定sinθ的取值范围；
（2）若分别在两个大棚内种植两种不同的蔬菜，且这两种蔬菜单位面积的年产值相等，求当θ为何值时，能使种植蔬菜的收益最大.
20. 已知椭圆()22
22:10,0x y C a b a b
+=>>的右焦点为（1,0），短轴长为4，设12,F F 的左右有两个焦点.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）若P 是该椭圆上的一个动点，求12PF PF ⋅的取值范围；
（3）是否存在过点A (5,0)的直线l 与椭圆交于不同的两点C ,D ，使得22F C F D =? 若存在，求出直线l
的方程；若不存在，请说明两点.
21. 若定义在R 上的函数()y f x =满足：对于任意实数,x y ，总有()()()()2f x y f x y f x f y ++-=恒成立，我们称()f x 为“类余弦型”函数. （1）已知()f x 为“类余弦型”函数，且()5
14
f =
，求()0f 和()2f 的值； （2）在（1）的条件下，定义数列()()()211,2,3,
n a f n f n n =+-=，
求20172018122
22
2log log log log 33
33
a a
a a ++++的值； （3）若()f x 为“类余弦型”函数，且对于任意非零实数t ，总有()1f t >，证明：函数()f x 为偶函数；
设有理数12,x x 满足12x x <，判断()1f x 和()2f x 的大小关系，并加以证明.
参考答案
一、填空题
1.{}1-
2.5
3. 0
4.
5.((
)
5,3 6.12 7.51,4⎛⎤
⎥⎝⎦
8.23 10. 12
11.{}0 12.y =
二、选择题
13. C 14. B 15. C 16. D
三、解答题
17.（1）1,2a b =-= （2）1
2
-
18.（1）证明略 （2）
23
19.（1）12000cos ,14MAPBN S θθ⎡⎫
=++⎪⎢⎣⎭
（2）
arctan
2
3
π
- 20.（1）22
154
x y += （2）[]3,4
（3）不存在，说明略
21.（1）()()1701,28
f f == （2）2035353
（3）证明略；()()12f x f x <，证明略。