2019-2020年上海市七宝中学高三上开学考数学试卷及答案

2019学年第一学期高三数学摸底考试卷

一、填空题

1. {}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则()U C A B ⋂=____________

2. 已知复数512i

z i

=

+（i 是虚数单位），则z z ⋅=____________ 3. 关于,x y 的二元一次方程组1

323

mx y mx my m +=-⎧⎨

-=+⎩无解，则m =____________

4. 直线1l 的一个方向向量()1,2d =，直线2l 的一个法向量()1,1n =，则直线1l 与直线2l 的夹角是____________

5. 已知ABC 为钝角三角形，边长1,2a b ==，则边长c ∈____________

6.

设常数9

0a x ⎛>+ ⎝

展开式中6

x 的系数为()24lim n n a a a →∞

+++=____________

7. 已知()()11

1042x

x f x x =-

++>，则此函数的值域是____________ 8. 若函数()[]()sin 0,0,6f x x x πωωπ⎛⎫

=-

>∈ ⎪⎝

⎭

的值域为1,12

⎡⎤

-⎢⎥⎣

⎦

，则ω的最小值为____________ 9. 已知P A ,PB ,PC 是从P 点引出的三条射线，每两条的夹角都是60°，那么直线PC 与平面P AB 所成的角

的余弦值为____________

10. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos sin x y θ

θ=⎧⎨=⎩

，（θ为参数），直线l 的参数方程为

()40x y a a +=>，若C 上的点到l

，则a =____________

11. 已知,,a b c ∈R ，函数()2,1,x x a

f x b a x c x

⎧≤⎪

=⎨+<<⎪⎩的反函数的定义域为R ，则实数c 的所有取值的集合

是____________

12. 已知双曲线()22

22:10,0x y C a b a b

-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线与C 的两条渐近线

分别交于A 、B 两点，若112,0F A AB F B F B =⋅=，则双曲线C 的渐近线方程为____________

二、选择题

13. 设点A ,B ,C 三点不共线，则“AB 与AC 的夹角是锐角”是“AB AC BC +>”的（ ） A . 充分非必要条件

B . 必要非充分条件

C . 充要条件

D . 既非充分也非必要条件

14. 若1a b >>，01c <<，则（ ） A . c c a b <

B . log log c c a b <

C . b a c c <

D . log log a b c c <

15. 定义“规范01数列”{}n a 如下：{}n a 共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意122,,,,k

k m a a a ≤中0的个数不少于1的个数，若m =4，则不同的“规范01数列”共有（ ） A . 18个 B . 16个 C . 14个 D . 12个

16. 以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数()x ϕ，存在一个正数M ，使得函

数()x ϕ的值域包含于区间[],M M -，例如，当()()312,sin x x x x ϕϕ==时，()()12,x A x B ϕϕ∈∈，则下命题为假命题的是（ ）

A . 函数()f x 的定义域为D ，则“()f x A ∈的充要条件是“对任意的b ∈R ，存在a ∈D ，满足()f a b =”

B . 若函数()(),f x g x 的定义域相同，且()(),f x A g x B ∈∈，则()()f x g x B +∉

C . 若函数()()()2

ln 22,1

x

f x a x x a R x =++

>-∈+有最大值，则()f x B ∈ D . 函数()f x B ∈的充要条件是()f x 有最大值和最小值

三、解答题

17. 关于x 的不等式

201

x a x

+<的解集为()1,b -.

（1）求实数,a b 的值；

（2）若12,cos sin z a bi z i αα=+=+，且12z z 为纯虚数，求tan α的值.

18. 如图，在四棱锥P-ABCD中，P A⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD//BC，P A=AD=CD=2，BC=3，E为PD的

中点，点F在PC上，且

1

3 PF

PC

=.

（1）求证：CD⊥平面P AD；

（2）若平面AEF与直线PB交于点G在，求PG

PB

的值.

19. 某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧MPN（P为圆弧的中点）和线段MN构

成，已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米，现规范在此农田修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为梯形MNBA，其中AB//MN，且AB

（1）用θ表示多边形MAPBN的面积，并确定sinθ的取值范围；

（2）若分别在两个大棚内种植两种不同的蔬菜，且这两种蔬菜单位面积的年产值相等，求当θ为何值时，能使种植蔬菜的收益最大.