12数列极限
1.2.2-1.2.4 数列极限的性质和运算法则
xn
a
，
lim
n
yn
b
，
且 a b ，则 N N ，当 n N xn yn 。
2
数列极限的性质和运算法则
性质 1（唯一性）若{ xn } 收敛，则其极限唯一。
证明：用反证法。
假设
lim
n
xn
a
，
lim
n
xn
b ，（ a b），取
ba 2
0，
∴收敛数列的极限是唯一的。
3
数列极限的性质和运算法则
性质 2（有界性） 若{ xn } 收敛，则{ xn } 必有界，
即 M 0， n N , 有 xn M 。
注证明：②①：收性设敛质ln数im2列的x必n等有价a界命，；题反是之:若有界xn数无列界未，必则收敛xn。发散。
lim
n
n3
lim
n
n(n
1)(2n 6n3
1)
1 3
11
数列极限的性质和运算法则
（2） lim[ 1 2 L n 1 2 L (n 1)] n
解： lim[ 1 2 L n 1 2 L (n 1)] n
lim[ n (n 1) n (n 1) ] lim 1 [ n2 n n2 n]
n yn lim yn b
n
说明：可以推广到有限多个数列的和差或乘积。
7
数列极限的性质和运算法则
思考：
① 若：{ xn } 收敛，{ yn } 发散， 它们的和、差、积、商 数列的敛散性如何？
② 若：{ xn } ， { yn } 都发散呢？
数列的极限
n 2 2n 2. lim 2 n 2n - n 3
n
n n - n 1 3. lim n n
4 3 4
6. lim 2
n
n 2 1
4. lim( n2 n 1 - n)
n
19
当 n , 此数列的极限为 0 . 由于 -1
n 1
1 1 -0 n n
1 要使 多么小, 只需 n 增大到一定程度即可. n 1 1 n 1 1 10 如要使 - 1 只需 n - 0 0.1 0 .1 n n 1 1 n 1 1 要使 - 1 - 0 0.01 只需 n 0.01 100 n n
1.3 数列的极限
一、数列的概念
数列、 数列的几何意义
二、数列的极限
极限的定义、 数列极限的几何意义
三、收敛数列的性质
极限的唯一性、有界性、有序性和保号性 收敛数列与其子数列间的关系
四、计算数列的极限
1
一、数列的概念
一个实际问题 用渐近的方法求圆的面积：
用圆内接正多边形的面积近似（逼近）圆的面积：
n n n
16
讨论：
1 ．对某一正 e 0 ， 如果存在正整数N ， 使当 n>N 时，有 |xn- a|< e0． 是否有 lim xn a
n
?
2．如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界．发散的数 列是否一定无界? 有界的数列是否收敛?
3．数列的子数列如果发散， 原数列是否发散 数列的两
个子数列收敛，但其极限不同， 原数列的收敛性如何 发散的 数列的子数列都发散吗？ 4．如何判断数列 1，-1，1，-1， … ，(-1)n+1， … 是发散的？
第1节 数列的极限
因 交替取1和-1， 而此二数不可能同时落在长
度为1的开区间
内， 故数列 发散。
第2章
极限与连续
【定理2】收敛数列一定有界 证 有 设
取
， 存在 N ， n N 时 当
取
则有 证毕.
第2章
极限与连续
说明 例如
此性质反过来不一定成立
{(1 ) n1} 虽有界但不收敛 数列
第2章
极限与连续
“ yn 无限接近于 a ”不等价于“ yn 与 1 a 越来越近”。 如 数列 yn 1 n 在其变化过程中，yn 与0也越来越近， 但极限并不为0。为什么？
7/29/2013 11:12 PM
说明
第2章
极限与连续
若对任意给定 【定义 2.2】 已知数列 yn ， 的正数 ， 总存在一个正整数 N ， n N 时， 当 有 yn A 恒成立，则称当 n 趋于无穷大时， 数列 yn 以常数 A 为极限。 记作
7/29/2013 11:12 PM
第2章
极限与连续
a 与 b 无限接近
a b 无限小
a b 小于任意给定的小正数
yn无限接近于１，即为
yn 1 小于任意给定的小正数
7/29/2013 11:12 PM
第2章
极限与连续
是在 n 数列 yn 无限接近于确定的数 a ，
无限增大的变化过程中实现的。
k
lim x 2 k 1
k
数列发散.
第2章
极限与连续
内容小结 1.数列
2.数列的极限 ------利用定义证明
3.收敛数列的性质
7/29/2013 11:12 PM
12数列的极限
对 lim n 1 1分析. n n
表示“任意”或“任意给 定”.
令
xn
n n
1,
1
|
xn
1 |
. n
lim
n
xn
1
本质:
对于 的小正数 e , 当 n 大于某一正整数 N 时， | xn 1 | 总小于小 正数 e。
当 n 无限增大时， xn 无限接近常数 1; 当 n 无限增大时， | xn 1 |无限接近常数 0;
例如：
2, 3 , 4 , , n1 , 23 n
lim , 1 ,
,
2
1 (1)n
lim
不存在。
n 2
n无限增大时，数列的项 无限
接近于常数a
，则 lim
n
xn
a
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二、数列极限的定义
"" 表示“存在” ；""
lim
n
3n2
n
1
5 7
解
原式
lim
n
n 3
n2 1
1
00
n n2
0
lim
n
5 n
lim
n
7 n2
1
1
lim
n
3
lim
n
n
lim
n
n2
300
1.
lim(
n
xn
yn )
lim
n
xn
lim
n
yn
求数列极限的十五种解法
1
；
0
0 n1
n1
1 x
1 x (1 x)2
而 S(x) x f (x) x ；因此，原式= S(a1) a1 ．
(1 x)2
(1 a1 )2
9．利用级数收敛性判断极限存在 由于级数与数列在形式上可以相互转化，使得级数与数列的性质有了内在的密切联系，因此
数列极限的存在性及极限值问题，可转化为研究级数收敛性问题．
求数列极限的十五种方法
求数列极限的十五种方法
1．定义法
N 定义：设{an} 为数列， a 为定数，若对任给的正数 ，总存在正数 N ，使得当 n N 时，
有
an
a
，则称数列
{an
பைடு நூலகம்
}
收敛于
a
；记作：
lim
n
an
a
，否则称{an} 为发散数列．
1
例 1．求证： lim an 1，其中 a 0 ． n
列以外的数 a ，只需根据数列本身的特征就可鉴别其敛散性．
3．运用单调有界定理
单调有界定理：在实数系中，有界的单调数列必有极限．
例 5．证明：数列 xn a a a （ n 个根式， a 0 ， n 1, 2,
证：由假设知 xn a xn1 ；① 用数学归纳法可证： xn1 xn , k N ；② 此即证 {xn} 是单调递增的．
n0
n0
n
令 Sn
xk1 xk
xn1
x0
，∵
lim
n
Sn
存在，∴
lim
n
xn1
x0
lim
n
Sn
l
（存在）；
k 0
对式子：
12数列的极限
定义 设数列{ xn }, 若存在常数a , 对于 e>0
正整数 N，使得当 n > N 时，不等式
|xna|e
都成立，则称a
是数列
xn
的极限，记为
lim
n
xn
a
说明1 e 是任意给定的一个小正数, 只有这样
|xna|e才能刻画 xn a.
说明2 N 一般是和e有关的 , 常随着e的减小而增大.
2 3
解 原式 lim n
n 13
n
lim2 lim 3
n
n n
lim 1 lim 3
2 0
0 3
2 3
n n
n
1. n li m (x n y n ) n li m x n n li m y n
2. n li m x nynn li m xnn li m yn
例1. 已知
xn
(1)n (n 1)2
,
证明 nli mxn 0.
证:
xn 0
(1)n (n 1)2
0
1 (n 1)2
1 n
1
e(0,1),欲使
取 N 1 1 ,
xn 0
e, 只要
n
1
则当 n>N时, 就有
e
(1)n
e , 1 xn 0
数列 { xn 2n } 无界.
注 数列的通项 xn 实质上是n的函数, 即
xnf(n), n N
数列{ xn }有界即为 f (n) 有界!
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定理2. 收敛数列一定有界 说明: 1) 逆命题不成立. 例如, 数列 1,0,1,0, 虽有界但不收敛 . 2) 逆否命题成立. 即：无界数列一定发散
高等数学 第二节 数列的极限
lim
n
xn
a 的"
N" 定义 :
lim
n
xn
a
0, N N ,当n N 时, 有
| xn a | .
注意: (1) 0 的任意性; a xn a
(2) N 的存在性：N N ( ).
(3) 几何解释 当 x = n, 则 xn f (n)
第n 项 xn 叫 做 数 列 的 一 般 项.
例如:
1 , 2 , 3 ,, n ,: 2 3 4 n1
n n
1
;
2,
1 2
,
4 3
,,
n
(1)n1 n
,:
n
(1)n1 n
;
2,4,8,,2n ,:
{2n };
1,1,1,,(1)n1,: {(1)n1}.
注意: 1. 数列的每一项都是数.
n
2
2 n2
n n2
)
1 .
2
1. 证明lim( n2 1 n) 0. n
证 0,
n2 1 n 0 ( n2 1 n)( n2 1 n) n2 1 n
n2
1 1
n
1 2n
,
欲使 1 , 只须n 1 ,
2n
2
取
N
1
2
,
则当n N时,
n2 1 n 0 ,
lim
n
xn
a
f(n)
a
x1
a的邻域
x2
a
自然数 N
xn
对一切 n > N a
高等数学12数列的极限
数列极限的保序性〔保号性〕
定理 设
3
〔保序性〕假
lni m xna,lni m ynb，且
a b，那 N N , nN ,有 xn yn .
么
证明：
lni m xna,lni m ynb，且 a b.
取 a b , 由极限定义知：
2
a b a b N 1 N , n N 1 ,|x n a |2 x n2
lim 1 1
y n n
b
证明略。
数列收敛的判别准那么
准那么 I. (夹逼定理/两边夹定理) 有三个数列，假
设 (1) yn xn zn ( n 1, 2, L)
(2)
lim
n
yn
lim
n
zn
a
lim
n
xn
a
证: 由条件 (2) , 0, N1 0, N2 0,
当 n N1 时, yn a ; 当 nn NN22 时, zznnaa ; .
定理6 也称为连续性公理。
单调数列
定义 4 如果数列{ x n } 的项满足
x 1 x 2 x 3 x n x n 1
那么称这个数列为单调递增数列。 如果数列 { x n } 的项满足
x 1 x 2 x 3 x n x n 1
那么称这个数列为单调递减数列。 这两种数列统称单调数列。
令 N max N1 , N2, 那么当n N 时, 有
a yn a , a zn a , 由条件 (1) a yn xn zn a
即
xn a ,
故
lim
n
xn
a
.
例： 证明 lim ( 1 1 1 )存在，
n n2 1 n22
高等数学第六版第一章第二节数列的极限
3) 绝对值不等式
| xn a | a xn a ,( n N )
则表明 xn 与a可以无限接近.
4) lim xn a 的几何意义: n a 2
x2
x1
a
xN 2
x
xN 1
a
x3
当n > N 所有的点
xn
都将落在 (a , a ) 内，
1. xn 1
n 1 1
n
n 1
xn 0
(1) n 2 n
2n 1 2. xn n 3. xn 2n
xn 2 xn
4. xn 1n1
xn 在－1 与 1 之间跳动
xn 的变化趋势只有两种： 观察可见： 不是无限地接近
某个确定的常数，就是不接近于任何确定的常数。
上式两边同时乘以q 有：
(1)
(2)
qS n a1q a1q 2 a1q 3 a1q n
上（1）式两边分别减去（2）式的两边得：
(1 q) S n a1 a1q n a1 (1 q ) 当 q 1 时 Sn 1 q
n
12
引例3 观察下列数列的变化趋势: 当n 时
x1, x2, x3, , xn ,
称为数列， 其中每一个数称为数列的项，第 n 项 xn 称为数列的一般项（或通项）， 下标 n (n 1,2,) 表示数列的项数。 数列简记为
xn 或 x n (n 1,2,)
5
数列对应着数轴上一个点列, 可看作一动点在数轴 上依次取 x1, x2, x3, xn
定义3 若数列 及常数 a 有下列关系 : 当 n > N 时, 总有 则称该数列
高等数学基础第二章
第二章 极限与连续
1.极限的概念 2.极限的运算 3.两个重要极限 4.函数的连续性
第一节 极限的概念
一、数列的极限
首先看下面三个无穷数列 a n
（1）1,
1 2
,
1 3
,
1 4
,
…
1 n
…
（2） 0, 12，32，43， ..， .nn1，…
（3）
1,1,1, 1 2 4 8 16
f
(x)
1
2 x
x0 0 x2 x2
在x=0和x=2处的极限是否存在(图2-7为函数图像)。
解 在x=0处左极限
lim f(x)li( m x 1 ) 1
x 0
x 0
右极限 lim f(x)lim 11
x 0
x 0
可见，左、右极限存在且相等，所以，极限 limf x 1 x1
在x=2处左极限
（1）
1 lxi mx
00
（2） limqx 0 q 1 x
（3） limCC （C是任意常数） x
x x0
f x
我们讨论当 x无限趋近于1 时，函数 fx2x1的变化趋势。为此列出表2-2， 并画出函数 fx2x1的图象（如图2-6）。
f(x)2x1 f(x)2x1
f(x)2x1 3
lim (2x1)3
可约去不为零的因子 x2 ，所以
lim x 2 lim x 2 lim 1 1 x 2x 2 4x 2(x 2 )x ( 2 ) x 2x 24
例4 求
3x2 5x lim x x2 1
解 当 x 时，分子、分母都趋向无穷大，这类极限称为 型未定式，
当然商的极限法则不适用，通常需要把式子变形。用分子、分母的
数学分析课件2.1数列的极限和无穷大量2.51MB
已知n b 1,由（ ）得证。 x 1 lim
n
c.
lim （3）当a 1时, 对n, n a 1, 故 n n a 1（a 1 . ）
一般地，xn c有
【数学分析课件】 15
例 4.
lim
n
n
n 1.
证明: 令n n 1 hn , 则n n 1 hn , 即
1 1 由不等式有 ，故只须 n 即可。 n
即对 0, 自然数 [ ] ，当 n [ ]时，便有
( 1) n 1 1 1 . n
1
1
定义：
若对 0, 总N [ ]， 当n N时， 有
1
( 1) n 1 1 1 . n
1 ( 1) n 1 1 . 1 , 只须 n 1000000 对 , 要 使1 n 1000000 1000000
……
【数学分析课件】 5
以上还不能说明 竟它们都还是确定的数。
对
( 1) n 1 1 1 n
任意小，并保持任意小，毕
( 1) n 1 1 才 行. 0, 要 使 1 n
2
一、数列极限的定义
1.数列: 是按次序排列的一列无穷多个数
x 1 , x 2 ,L , x n ,L
数列是定义在自然数集N上的函数。即以N为定义域由小 到大取值所对应的一列函数值。 对
n N
，设
f (n) xn
，则
自变量： 1,2, L,2006 L, n, L ,
x 函数值： 1 ,
x2 , L, x2006 , L, xn , L
1 n
or
a 1 ,
1 n
数列极限收敛准则(单调有界收敛准则)
数列极限
§2.1 数列极限的定义 §2.2 收敛数列的性质
§2.3 极限存在准则
§2.3
数列极限存在的准则
夹逼准则
2 3
单调有界准则
数列及子数列
1
Hale Waihona Puke 收敛准则 1 lim 1 e n n
n
定理5（单调有界准则） 单调有界数列必有极限
{a n }
单调递增有上界M 单调递减有下界N
而 lim n
1 0, 则由夹逼准则, n 2
lim a n 3
n
3 , ,a 2 3 , , 例15. 设 a1 2, a2 2 a n 1 an 1 an 存在,并求其值. 求证: lim n
2k 2k 2 3( a 2 k a 2 k 2 ) , a 2 k 2 a 2 k 与 a 2 k a 2 k 2同 号 , ( 2 a 2 k 3)( 2 a 2 k 2 3) 7 ) ( 2 3 ) 0, a a ( 2 a a 与 a a 同 号 , 以此类推 2 k 2 2 k 4 2 4 2 16 2
则x n 递 增 .
再证数列有上界,即 x n 1 c 设n = k 时成立, 即 x k 1 c 当n = k+1时,
1 c 也成立. 则数列有上界.
例13 c 0, x n c c c 证明数列 收敛, n个 并求极限 (P27 例18) 证: 1)递推公式：x1 c , x n 1 c x n ( n 1, 2 , ), 2)利用数学归纳法证明：数列递增有上界, 则数列收敛.
3 , ,a 2 3 , , 例15. 设 a1 2, a2 2 a n 1 a
数列极限的求法及应用
数列极限的求法及应用内容提要数列极限可用语言和语言进行准确定义,本文主要讲,,NAN,述数列极限的不同求法,例如,极限定义求法、极限运算法则法、夹逼准则求法、单调有界定理求法、函数极限法、定积分定义法、Stoltz公式法、几何算术平均收敛公式法、级数法、收缩法等等.我们还会发现同一数列极限可用不同方法来求.最后我们还简要介绍了数列极限在现实生活中的应用,如几何中推算圆面积,求方程的数值解,研究市场经营的稳定性及购房按揭贷款分期偿还问题.通过这些应用使我们对数列极限有一个更系统立体的了解.关键词定义,夹逼准则,Stoltz公式,函数极限 ,,NOn the Solutions and the Applications as to the Sequence LimitAbstractThe limit of a sequence can be accurately defined by language ,,N and language. This paper mainly describes different solutions to AN, finding sequence limit, for example, definition of sequence limit method, fundamental operations of sequence limit method, squeezing law method, the monotone convergence theorem method, function limits method, definite integrals definition method, Stoltz formula method, geomeric and arithmetic convergence formula method, series method, contraction method, etc. We'll also find that different methods can be used to solve the same limit.Finally, we also briefly introduce the applications of sequencelimit in real life. Such as, infering the area of a circle in geometry, finding the numerial solution of equations, studying the stability of the market operation and the amortization problems of purchase mortgage loans.Key Wordsdefinition; Squeezing law; Stoltz formula; Function limits ,,N目录第一章数列极限的概念 (1)数列极限的定义及分类……………………………………… 1 1.11.2 数列极限求法的常用定理 (2)1.2.1 数列极限的四则运算 (2)1.2.2 单调有界原理 (2)1.2.3 Stoltz公式 (2)3 1.2.4 几何算术平均收敛公式…………………………………1.2.5 夹逼准则,迫敛性, (3)1.2.6 归结原则………………………………………………… 3 第二章数列极限的求法 (3)2.1 极限定义求法 (3)2.2 极限运算法则法 (5)2.3 夹逼准则求法 (6)2.4 单调有界定理求法 (8)2.5 函数极限法 (9)2.6 定积分定义法 (9)2.7 Stoltz公式法 (11)2.8 几何算术平均收敛公式法 (11)2.9 级数法、收缩法 (13)2.10 其它方法 (14)第三章数列极限在现实生活中的应用 (16)3.1.几何应用-计算面积 (16)3.2 求方程的数值解 (17)3.3 市场经营中的稳定性问题 (18)3.3.1 零增长模型 (18)3.3.2 不变增长模型 (19)3.4 购房按揭贷款分期偿还问题 (20)第四章结论 ..................................................................... .......... 21 致谢 ..................................................................... .................... 22 参考文献 ..................................................................... . (22)数列极限的求法及其应用学号:071106132 作者:杨少鲜指导老师:董建伟职称:讲师第一章数列极限的概念在研究数列极限解法之前～首先我们要清楚数列极限的定义.这是对数列极限做进一步深入研究的先决基础.1.1 数列极限的定义及分类数列极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的.如～我国古代数学家刘徽,公元3世纪,利用圆内接正多边形来推算圆面An积的方法—割圆术.因一系列圆内接正多边形的面积在无限增大nA,,时～内接正多边形无限接近于圆～同时也无限接近于某n,,n一确定的数～此时这一数值可精确表达圆的面积.在解决类似的实际问题中逐步的引出了数列极限.针对不同的数列极限我们对其定义将会有细微的不同～下面主要介绍两种定义:定义～定义. ,,NAN,，aa定义1,语言,:设是个数列～是一个常数～若～正,,N,,,0,,naan整数N～使得当时～都有aa,,,～则称是数列当无限nN,,,nn1增大时的极限～或称收敛于～记作～或.aalimaa,aan,,，,,,，，nnn,，,n 这时～也称的极限存在. a,,n，定义2,语言,:若,正整数～使得当时～都有,aA,NAN,A,0nN,n，,则称是数列当无限增大时的非正常极限～或称发散于ana,,,,nn，,～记作或～这时～称a有非正常极限. lima,，,an,，,,，,,,，，nnn,，,n 对于的定义类似～就不作介绍了.为了后面数列极限的解法做铺,,,,垫～我们先介绍一些常用定理.1.2 数列极限求法的常用定理定理1.2.1,数列极限的四则运算法则, 若a和b为收敛数列～,,,,nn则也都是收敛数列～且有 ababab，,,,,,,,,,,nnnnnnlimlimlim,abab,,,，，nnnn,,,,,,nnn limlimlim.abab,,,，，nnnn,,,,,,nnn,,an若再假设b,0及～则也是收敛数列～且有 lim0b,,,nn,,nbn,,,,an. limlim/limab,,,nn,,,,,,nnnbn,,定理1.2.2,单调有界定理, 在实数系中～有界的单调数列必有极限.xxy定理1.2.3,Stoltz公式, 设有数列～～其中严格增～,,,,,,nnn, 且,注意:不必,.如果 limx,，,limy,，,nn,，,,，,nn2yy,nn,1lim,a (实数，)，，,,,,n,，,xx,nn,1yyy,nnn,1则 limlim.,,ann,，,,，,xxx,nnn,10定理1.2.3',Stoltz公式, 设x严格减～且～.lim0x,lim0y,,,nnn,，,,，,nn0若yy,nn,1lim,a (实数，)，，,,,,n,，,xx,nn,1则yyy,nnn,1. limlim,,ann,，,,，,xxx,nnn,1定理1.2.4,几何算术平均收敛公式, 设～则 limaa,n,,naaa，，，...12n,1,～ lim,a,,nnn,2,若～则. an,,01,2,...lim...aaaa,，，n12n,,n定理1.2.5,夹逼准则,设收敛数列ac都以为极限～数列满ab,,,,,,,nnn N足:存在正数～当nN,时～有 00～ acb,,nnnc则数列收敛～且. limca,,,nn,,n,定理1.2.6,归结原则,设f在内有定义.存在的充要Ux;,limfx，，，，0xx,0,条件是:对任何含于且以x为极限的数列～极限xUx;,limfx，，,,，，0n0n,,n都存在且相等.第二章数列极限的求法 2.1 极限定义求法在用数列极限定义法求时～关键是找到正数.我们前面一节的N3定理1.2.4,几何算术平均收敛公式,的证明就可用数列极限来证明～我们来看几个例子.n例2.1.1 求,其中. limaa,0,,nn解,. lim1a,,,n1n事实上～当时～结论显然成立.现设.记,则. a,1a,1,,0,,,a11,,nn由 , anna1111,,,，,，,，,，，,,,,1a,1n得 . ,5, a,,1n11a,1nn任给,由,5,式可见～当时～就有.即.,,0a,,1,nN,,a,,1,,n所以. lim1a,,,n11n对于的情况～因,由上述结论知,故 ,1,01,,alim1,,naa11n . a,,,limlim1n,,,,nn1a1/n综合得时,. a,0lim1a,,,n例2.1.2 定理1.2.4,1,式证明. 证明,由～则～存在N,0～使当nN,时～有limaa,,,,011n,,n, aa,,,/2n则aaa，，，...112n . ,,,，，,，,，，,aaaaaaaaa......，，，11NNn11nn caaaa,,，，,...令～那么 1N1aaa，，，...nN,,c12n1 . ,,，,annn24c,c由～知存在～使当时～有. N,0nN,,lim0,22n,,n2n再令,故当时～由上述不等式知 NNN,max,nN,,,12aaa，，，...,,,,nN,12n1 . ,,，,,，,a,nn2222aaa，，，...12n所以 . lim,a,,nnn7例 2.1.3 求. limn,,!nn7解:. ,lim0,,nn!n7777777777771 事实上～,,,,,,,,. ......nnnnn,!127817!6!n7771即. ,,,0nn!6!7，，71对～存在～则当时～便有 ,,,0nN,N,,,,,6!，，nn77771所以. ,lim0,,,,,，0,,nn!nn!6!ncc注:上述例题中的7可用替换～即. lim00,,c，，,,n!n2.2 极限运算法则法我们知道如果每次求极限都用定义法的话～计算量会太大.若已知某些极限的大小～用定理1.2.1就可以简化数列极限的求法.mm,1ananana，，，，...mm,110例2.2.1 求,其中. mkab,,,，，00limmkkk,1n,,bnbnbnb，，，，...kk,110,k解:分子分母同乘～所求极限式化为 nmkmkkk,,,,,11anananan，，，，...mm,110.lim,,,11kkn,,bbnbnbn，，，，...kk,1105,,由知～ lim00n,,，,，，n,,amk,m当时～所求极限等于,当时～由于～故此nn,,00mk,mk,，，bm时所求极限等于0.综上所述～得到a,mmm,1,km,...ananana，，，，,mm,110blim., ,mkk,1n,,bnbnbnb，，，，. ..kk,110,0,km,,na例2.2.2 求～其中. a,,1limn,,n，1ana1解: 若～则显然有, a,1,limn,,n，a12n若～则由得 a,1lim0a,,,nnann , limlim/lim10,，,aa，，n,,,,,,nnn，1a若a,1～则na11,,,limlim1n,,,,nn1，，a110 . ，1na2.3 夹逼准则求法定理1.2.5又称迫敛性～它不仅给出了判定数列收敛的一种方法～而且也提供了一个求极限的工具.1321,,,,,n，，例2.3.1 求极限. limn,,242,,,,n，，解:因为22 24412121212121nnnnnnnn,,,,，,,,,,,，～，，，，，，，，所以61321,,,,,n，，13321211,,,,nn . 0,,,,,,,242,,,,n，，1335212121,,,,，，nnn1因～再由迫敛性知 ,lim0n,,n，211321,,,,,n，， . lim0,n,,242,,,,n，，n例2.3.2 求数列的极限. n,,n解: 记～这里～则 hn,,01anh,,，1，，nnnnn,1，，n2 , nhh,，,1，，nn22由上式得～从而有 ,,,hn01，，nn,12 , ,2, ,,，,，ah111nnn,1,,22,,数列是收敛于1的～因对任给的～取～则当,，,,0N11，,,2,n,1,,,, 2时有.于是～不等式,2,的左右两边的极限皆为nN,，,,,11,n11,故由迫敛性得n . lim1n,,,nkn*例2.3.3 设及～求lim. a,1kN,nn,,akn解:. lim0,n,,naa事实上～先令～把写作1，,～其中.我们有 ,,0k,1nnn2. ,,,,0nn2,nn1,，，,an1，，,，1，，2,,，，，1...n27k,,kn2nn,,,,由于～可见是无穷小.据等式～ ,,nlim02,，，,,nn2nn,,1/k,,a,n,a1，，,,a，，,,,,n,,1/k注意到～由方才所述的结果是无穷小.最后的等式表明～a,1,,n1/ka,,，，,,k,,n可表为有限个,个,无穷小的乘积～所以也是无穷小～即 k,,na,,kn . lim0,n,,na2.4 单调有界定理求法有的时候我们需要先判断一个数列是否收敛～再求其极限～此时该方法将会对我们有很大帮助～我们来看几个例子.nc例2.4.1 求例2.1.3注解中的. lim00,,c，，,,n!nnc解:. lim0,0,,c，，,,n!nnc*事实上～令.当时～ nc,xnN,,，n!nc . ,,xxxnnn，11，n，，x因此从某一项开始是递减的数列～并且显然有下界0.因此～由单,,nc调有界原理知极限存在～在等式的等号两边令xx,lim,xxnnn，1,,n1，n，，x～得到,所以为无穷小.从而 n,,xx,,,00,,nnc . lim00,,c，，,,n!nn例2.4.2 求极限,个根号,. lim333,,,n,,8解:设～～ a,,,,,3331aaa,,3nnn，1n故单调递增.又～设～ a,3aa,,33,,nn1则. aa,,，,3333nn，1又因有上界～故收敛.令由～ aaaa,3lim13aaa,,,，，,,,,nnnn，1n,,n对两边求极限得～故. aa,3a,32.5 函数极限法有些数列极限可先转化为函数极限求可能很方便～再利用归结原则即可求出数列极限.n例2.5.1 用函数极限法求例2.1.1,即求. lima,,nlnlnaalim1/0xxxx,,xx解,先求,因, limalimlimlim1aaeee,,,,,,,x,,,,,,xxx n再由归结原则知. lim1a,,,nn例2.5.2 用函数极限求例2.3.2,即求. limn,,nlnlnxxlim0xxx,,xx解:先求.因～ limxlimlim1xeee,,,,,,x,,,,xxn再由归结原则知. lim1n,,,nk*na,1kN,例2.5.3 用函数极限求例2.3.3,即设及～求. limnn,,akk,1xkxk!kx,,,,limlim.....lim0kxx解:先求.因,由洛比达法limxxxx,,,,,,xaaalnaaln，，x,,akn则,～再由归结原则知. lim0,n,,na2.6 定积分定义法通项中含有的数列极限～由于的特殊性～直接求非常困难～n!n!若转化成定积分来求就相对容易多了.9nn!例2.6.1 求. lim,,nnnnn11in!1i解:令～则.而, ,y,,,,,lnlnylimlnlimlnln1yxdx,,,,,,,0nnnnnnn,1,i1inn!,1也即～所以. lnlim1y,,,,limlimyen,,,,,,nnn,,2,,sinsin,,sin,nn求极限lim...，，，. 例2.6.2 ,,n,,11n，1,,nn，，n2,,解:因为,,,,22，，，sinsin...sinsinsin,sin,nnnn ,，，， ...11，，nn11，，nn2n,,2sinsin...sin，，，,nn, ～ 1n，n,,2sinsin...sin，，，,n，，12,,,,,nn,,,，，，limlimsinsin...sin,,,,,nn,,,,nnnnn，，11,,,，，，，12,,,,, ,，，，limsinsin...sin,,,,,n,,nnn,,，，,,12 ～ ,,sinxdx,0,,类似地,,2sinsin...sin，，，,nnlim n,,1n，n2n122，，,,,,, ～ ,,,，，，,limsinsin...sin,,,,,2n,,nnnn，1,,,,，，由夹逼准则知10,,2,,sinsin,,sin2,nn lim...，，，, . ,,n,,11n，1,,,nn，，n2,,注:在此式的求解中用到了放缩法和迫敛性. 2.7 Stoltz公式法yyy,nnn,1在求某些极限时非常方便～尤其Stoltz公式～limlim.,,ann,，,,，,xxx,nnn,1n是当时特别有效. ya,,nkk,1例2.7.1 同例2.1.2～定理1.2.4,1,式证明. 证明:前面用定义法证明～现用Stoltz公式证明. ,,N令～则由Stoltz公式得到 yaaaxn,，，，,...,nnn12aaa，，，...12nlim,,nnaaaaaa，，，,，，，......，，，，,12121nn,limn,,nn,,1，，an . ,,,limlimaan,,,,nn1kkk12...，，，nlim例2.7.2 求. ，1k,，,nnkkkk12...，，，nn解: ,Stoltz公式, limlim,，1，1kk，1k,，,,，,nnnnn,,1，，kn , ,二项式定理, lim，1k121,kk,，,n,，，,...1CnCn，，，，11kk11 ,. ,1Ck，1k，12.8 几何算术平均收敛公式法上面我们用Stoltz公式已得出定理1.2.4,下面我们通过例子会11*n发现很多类型的数列极限可以用此方法来简化其求法. *，nn例2.8.1 同例2.1.1一样求,其中. limaa,0,,n解:令,由定理1.2.4,2,知 aaaaa,,,,,,...1123nn . limlim1aa,,n,,,,nnn例2.8.2 同例2.3.2一样求. limn,,nn解:令,由定理1.2.4,2,知 12,3,...aan,,,，，，1n1n,nn . limlimlim1,,,nan,,,,,,nnn,1nn例2.8.3 同例2.6.1相似求. limnn,,!nnnn，1，，1,,解:令,则 a,，,1n,,nnn,,n123n，1，，234aaa,,,,,,,,,,,,12n23n 123nnnnnn，，11，，，，n ,. ,,nnnn!!所以nn，1n ～ aaa,,,,,,,12nnnn!nnn也即～而由定理1.2.4,2,知 ,,,,,,,aaa12nn1n，!nn1,,n . aaaae,,,,,,,，,limlimlim112,,nn,,,,,,nnnn,,故nnnn . limlimlim,,,,,,,,,,aaaee12nn,,,,,,nnn，，11nn!n3n123...，，，，n例2.8.3 求. lim,,nn12n解:令～则由定理1.2.4,1,知 ann,,,1,2,3...，，n3n123...，，，，nn . limlimlim1,,,ann,,,,,,nnnn2.9 级数法若一个级数收敛～其通项趋于0,,,我们可以应用级数的n,0一些性质来求数列极限～我们来看两个实例来领会其数学思想.nc例2.9.1 用级数法求例2.1.3注. lim0,c，，,,n!nnc解:考虑级数～由正项级数的比式判别法～因 ,!nnn，1ccc ～ lim/lim01,,,nn,,,,，，1!!1nnn，，nncc故级数收敛～从而. lim00,,c，，,,,n!n!nkn*例2.9.2 用级数法求例2.3.3,即设及～求. lima,1kN,nn,,akn解:考虑正项级数～由正项级数的比式判别法～因 ,nakkkn，1，，nn111，,, ～ lim/lim1,,,,,,，1nn,,,,nnaaana,,kknn故正项级数收敛～所以. lim0,,nn,,naa，，111例2.9.3 求极限. lim...，，，,,222n,,nnn12，，，，，,,，，,1解: 因级数收敛～由级数收敛的柯西准则知～对～存在, ,,,0N,0,2nn1, 使得当时～ nN,1321nn,11 ～ ,,,,,22kkkk,,11111此即～，，，,,...222n，nn12，，，，所以，，111 . lim...0，，，,,,222n,,nnn12，，，，，,,，，12n,,例2.9.4 求极限. ，，，,lim...1a，，,,2n,,naaa,,,1n解:令～所以x,1.考虑级数～ nxx,,an,1n，1nx，1，，an，1因为～所以此级数收敛. limlim1,,,xnnn,,,,anxn ,,,nn1n1,,令～则.再令～ sxnx,sxxnx,,fxnx,，，，，，，,,,n1n1n1,,, ,,xxx1nn,. ,,,ftdtntdtx，，,,,,001,x11nn,,所以,x1,, . fx,,，，,,21,x,,1,x，，,1xa而 , sxxfx,,,,，，，，22,11x,，，1a,，，所以,112na,, . lim...，，，,,sx，，,,n22n,,,1aaa,,,1a，，2.10 其它方法除去上述求数列极限的方法外～针对不同的题型可能还有不同的方法～我们可以再看几个例子.1422例2.10.1 求. limsin,nn，，，n,,解:对于这个数列极限可用三角函数的周期性.2222 limsinlimsin,,,nnnnn，,，,，，，，nn,,,,n,,22 , limsinlimsin,2nn,,,,1，，nnn11，，n,2 ,. sin1,22accn例2.10.2 设, 01,,,,，，，caa，n11222a收敛～并求其极限. 证明:,,n解:对于这个极限可以先用中值定理来说明其收敛.首先用数学归纳法可以证明. 0,1,2...,,,acn，，nc事实上,.假设～ 0,,,ac01,,,acn1222acccccn则. 0,,，,，,，,ac，n12222222cx,fx,，令～则. fxx,，，，，22, aafafafaa,,,,,,,，，，，，，nnnnnn，,,111,～ ,1, ,,,,,aacaannnn,,11,aaa其中介于和之间.由于,再由,1,式知为压缩数列～01,,c,,nn,1n c故收敛.设,则. limal,,,lcn,,n2由于2acn ～ ,，a，n12215所以2cl2 . lllc,，,，,,2022解得,舍去,～. lc,，,11lc,,,11综上知. lim11ac,,,n,,n注:对于这个题可也以采用单调有界原理证明其极限的存在性.第三章数列极限在现实生活中的应用 3.1 几何应用-计算面积在论文开始时～我们已经简要介绍了利用极限求圆的面积～现在2我们再来介绍如何求抛物线与两直线和所围的面积. yx,y,0x,11121n,，，，，，，先将区间0,1等分为n个小区间～以这些小0,,...,1，，，,,,,,,,,nnnn，，，，，，222121n,,,,,,,n区间为底边～分别以为高～作个小矩形. 0...，，，，,,,,,,nnn,,,,,,n这个小矩形的面积之和是22nni,111,, Ai,,,,,1，，,,n,,3nnn,,,,ii11n,1nnn,,121，，，，112 , ,,i,33nn6i,1111,, ,. ,,1,,323nn,,AA这样我们就定义一个数列～对每个而言～它都小于欲求的,,nn1“面积”～但是这两者之间的差别不会大于长为1,宽为的矩形面积～n1An即～所以～当越来越大时～将越来越接近于欲求的“面积”～因nn此～我们可以定义此面积为161 . A,limn,,n3这种定义面积并求面积的方法简单又朴素～它同时孕育出了数学分析的一个重要组成部分:积分学.3.2 求方程的数值解我们都知道～是无理数.目前的问题是如何用有理数来逼近22～以达到事先指定的精确度,是二次方程的正根～所22x,,20以我们的问题可以说成是求方程的“数值解”.把问题提得更一般一些.设是任意给定的～我们来求的近aa,0a似值.给定的一个近似值～在两个正数中～一定有一个x,0ax,00x0大于xa另一个小于a～除非正好就是a.有理由指望这两个数的0,,1a算术平均值可能更加靠近～这便得到了更好的近似.axx,，,,102x0,, 事实上2,,111a2 . xaxaxaxaxa,,，,,，,,,,20，，，，,,10000222xxx000,,xx这表明:不论初值如何～得出的第一次近似值是过剩近似值.不01x妨设初值本身就是过剩近似值～因此.由此得出 xxa,,,0000xa,110 . 0,,,,,,xaxaxa，，，，10022x0xxa这个不等式告诉我们:第一次近似值到的距离至多是初值到10a的距离的一半.重复施行上述的步骤～便产生数列～其中 xxx，，，...,...01n17,,1a* ～ xxnN,，,，,,nn,12xn,1,,由111 ～ ,,,,,,,,,xaxaxaxa0...，，，，，，nnn,,1202n222可见.对于充分大的～数x与的距离要多小有多nalimxa,nn,,n小.让我们看看实际应用起来有多方便～设想我们需求的近似值.2取初值,这是相当粗糙的近似值,～反复迭代的结果是 x,20xxx,,,,,,2.0,1.5,1.4166，012x,,,,1.4142566，3 x,,,,1.41421356，4x,,,,1.41421356，5这已是相当精确的近似值.3.3 市场经营中的稳定性问题投资者的交易行为是影响市场稳定性的重要因素～以股票为例～为尽量避免出现羊群行为～减少非理性投资～我们需要对股票的内在价值,即未来收入现金流的现值,有较清晰的认识～从而决定是该购买还是该售出～作出理性选择.现在我们来针对不同的模型确定股票相应的内在价值.3.3.1 零增长模型假定股利增长率为0,因其内在价值如下,DDDDtt11 ,1, ,，，，，,......V,2tt1+i1+1+1+iii，，，，，，t1,12tt D,,V-内在价值～股息(红利)～贴现率,～ i,18现由假定知～ DDDDiiii,,,,,,,,......，1212tn所以此时股票内在价值为,DDDD ,，，，，,......V,2tt1+i1+1+1+iiit1，，，，，，,t,,D1,,1,,,,,,,11，，ii,,D,, ,lim,. ,2, ,,t1i1,1，i知道股票的内在价值后～可求出其净现值～即内在价值减去市NPV，，场价格～也即:. NVPVP,,当～该股票被低估～可买入,当～被高估～不益购买. NVP,0NVP,0例:某公司在未来无限期支付每股股利为8元～现价65元～必要收益率10%～评价该股票.解:利用,2,式结论可求得该股票的内在价值为:D8 . VNVPVP,,,,,,,,,808065150，i10%故该股票被低估～可以购买.3.3.2 不变增长模型假定股利永远按不变增长率g增长～即，，t ～ DDgDg,，,,，1...1，，，，,10tt代入,1,式得此时内在价值为19t,,Dg1，，，1，g,,01,,,,,t,,,,11ii，，,,DgDg11，，，，，，DD00,,t1.,3, V,,,,,lim,,tt,,t1，gigig,,1+1+ii,,11tt，，，，t1,1，i 例:去年某公司支付每股股利1.80元.预计未来公司股票的股利按每年5%增长～假设必要收益率为11%～当每股股票价格为40元～评价该股票.解:利用,3,式的结论～由于～可知 D,，，,1.8015%1.89，，11.8015%，，，，股票内在价值～故 V,,31.5011%5%,～ NVPVP,,,,,31.50400该股票被高估～建议出售.3.4 购房按揭贷款分期偿还消费贷款的还款,即按揭,大多为年金方式～故存在一些年金计算问题.下面主要对购房分期付款的基本计算问题做一些简单分析.P设表示总的房款金额～表示首次付款比例～表示年利率～kinR表示分期付款,贷款,的总年数～表示每月底的还款金额～则有如下的价值方程12，，～ 112,,kPRa，，n12，，11,,kPkiP，，，，进一步有 . ,4, R,,12，，12ia12annn1,v2n其中 . aavvv,,，，，,...nini上述是针对有限期限付清的情况～如果考虑永久期末年金:在每个付201m，，款期末付款上货币单位～直至永远.若将该年金的现值记为～a,m则有计算公式12,,11mm，，，，mm . avva...lim,，，,,,,,m，，n,,nmi,,代入,4,式即可.通过上述公式即可求出按不同还款方式每月底应还金额.第四章结论通过上述章节我们探讨了数列极限的求法并简要介绍了它在现实生活中的应用.我们知道极限是数学分析的基石～是微积分学的基础～可见数列极限是一种重要的极限类型.掌握数列极限的概念、性质和计算是学好函数极限和微积分的前提和基础～灵活巧妙的应用它～也可以使一些较为困难的实际问题迎刃而解.通过前面的例子我们知道求数列极限的方法灵活多样～给一些数学问题的讨论和计算带来极大的方便.对它的研究也使数学分析在经济领域和数学领域中发挥更大的作用.这在数学分析关于函数极限和微积分学的研究及其应用中都有非常重要的理论意义和应用价值.所以～国内外学者对数列极限的求法及其在实际应用的研究一直未中断～同时仍存在很多内容等待我们新时期的学术爱好者去探讨,去解决～去突破.21。
南开大学高等数学课件12极限
0.98 0.96 0.94 0.92
20
40
60
80
100
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2.2 极限
数列极限的定义
给定数列{xn}，当项数n无限增大时（记作
n），通项xn无限地接近常数A，则称常数
A为数列{xn}的极限，记作
,同时
说数列{xn}收敛到A．否则称数列{xn}发散．
注:“
”读作“n趋于无穷大时xn的极
分母的公因子x-1后再计算：
原式=
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2.2极限
思考题：约去分子分母中的公因子，改变了函数的
定义域，是否影响极限的计算？
考察：lim f (x) lim x2 x 2 lim (x 1)(x 2) 与lim g(x) lim (x 2)
x1
x1 x 1
2.2极限
函数极限的朴素定义.设y=f(x)是给定函数,如果自 变量x在定义域内按照某种趋势(记作x→□)变化 时,函数值f(x)相应地变化而无限地逼近常数A, 则称A为函数y=f(x) 在该变化过程中的极限,或 说y收敛到A(简称y有极限或y收敛),记作:
读作：x 趋于□时函数y的极限是A.
理解“朴素定义”：描述性的而非严格的定义
0.8
0.6
0.4
0.2
-1
-0.5
-0.2
0.5
1
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极限的性质
设
，
性质1．
性质2．
性质3．
性质4．
性质5．
性质6．
性质7．
2.2极限
均存在，c为常数，则有
，此处
0．
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习题课二 数列的极限(有解答)
习题课二 数列的极限
一、计算下列各题
1.
lim 12
n
22 n3
n2
；
1 3
2
2. lim[ n
12 n
1 2 (n 1)] 2
cosn sinn
3.
lim
n
cosn
sinn
(0 )
2
1,
0,
0 x
4
x 4
4．
lim
n
x x
n n
xn x n
解法
2：显然
an
an n!
。
对于a ， kN ，ak
，有1 a a a ，
k1 k2 k3
k项 nk项 n k ，有 0 an a a a a a a a a
n ! 1 2 3 k k 1 k 2 n1 n
ak a ak1 1 。 k! n k! n
（即将kan1
k，，k有a20， ann!
，akkna!11
1放，大为 n
1。）
∵
lim
ak1 1 0
，
n k ! n
∴由夹逼定理得
lim an
n
lim
n
an n!
0
10
。
习题课二 数列的极限
三、解答题
1． 设 x110 ， xn1 6 xn ， n1, 2, ，试证数列 xn
极限存在，并求此极限。 2. 设{ xn } 满足条件： x1 0 ， xn1 6 xn ， n1, 2, ，
∵ lim qn x1 x1 lim qn 0 (0q1 )，
n
n
∴ lim xn1 0 lim xn1 0 lim xn 0 。
[理学]12数列极限_OK
![[理学]12数列极限_OK](https://img.taocdn.com/s3/m/7e71a9a2ad02de80d5d84028.png)
举例： 1
{2n }
{2n}
{(1)n1}
n (1)n1
{
}
n 3
n猜想： lim n a 源自, (a 0) n 数值验算问题: “当 n 无限增大时, xn 无限接近于某确定常数 a ” 意味着什么? 如何用数学语言定量地刻划它 .
“xn 无限接近于某确定常数a ”用数学式子表示为：
xn a . 只要 任意小，就能保证 xn a
2.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点
在数轴上依次取
x1, x2,, xn,.
x3 x1 x2 x4 xn
例如：
c, c,c,
常数列；
a,a d,a 2d,,a (n 1)d, 等差数列；
a,aq,aq2 ,,aqn1 ,
等比数列；
举例：观察数列{1 (1)n }当n 时的变化趋势.
列中的次序排成一个新的数列，表为：
{ xnk } : xn1 , xn2 , , xnk ,
其中：nk N , 且 n1 n2 nk nk1
则称{xnk } 为{xn}的一个子数列简，称子列 .
nk 表示 xnk 在子列{ xnk } 中的第 k 项，在原
数列 { xn } 中是第 nk 项 .
——刘徽
9
概念的引入
1、割圆术：
“割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”
——刘徽
返回
10
2、截丈问题( 庄子-战国)
“一尺之棰，日截其半，万世不竭”
第一天截下的杖长为X1
1; 2
第二天截下的杖长总和为
X2
1 2
1 22
;
第n天截下的杖长总和为X n
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lim
n
xn
a,
或 xn a (n ).
如果不存在这样的常数a, 就称数列{xn }无极限, 或者说数列{xn }
是发散的,
或者说 lim n
xn
不存在.
如果任意给定的数 0,(反映接近程度)
总存在变化过程的某一时刻N(N＝N( )), 使从这以后, (即只要 n N（）, ) 有 xn A 成立.则可以说｛xn｝无限接近A。
“ N”定义 :
lim
n
xn
a
0, N 0,当n N时, 恒有 xn a .
几何解释:
a 2 a
x2 x1 xN 1 a xN 2 x3 x
存在N n N时, 所有的 xn都落在(a , a )内,
只有有限个 (至多只有N 个)落在其外.
例1 证明 lim n (1)n1 1.
总存在变化过程的某一时刻N(N＝N( )), 使从这以后, (即只要 n N（）, ) 有 xn A 成立.则可以说｛xn｝无限接近A。
定义 如果对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在
正数 N ,使得对于n N 时的一切 xn,不等式 xn a 都 成立,那末就称常数a 是数列 xn 的极限,或者称数列 xn 收敛 于a ,记为
即
x1 , x2 ,....., xn1 ,...., xn2 ,....xn3 ,...
子数（序）列 xn1 , xn2 , xn3 ,...
注意: 在子数列{ xnk }中, 一般项 xnk 是第 k 项, 而 xnk 在原数列{ xn }
中却是第nk 项, 显然, nk k.
定理5. 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限 .
先后次序,这样得到的一个数列称为原数列{xn }的子数列(或子列)．
例如在数列 { xn } 中, 第一次抽取 xn1 , 第二次在 xn1 之后抽取 xn2 ,
第三次在 xn2 之后抽取 xn3 , , 依次无休止地抽取下去, 得到一
个数列 {xnk }
xn1 , xn2 ,
, xnk , ,
则数列 {xnk } 就是数列 { xn } 的一个子列.
§1.3 数列的极限
一. 数列 极限的定义 二 数列极限的性质
一. 数列 极限的定义
1、引例 （1）割圆术： “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于 ——刘徽 不可割，则与圆周合体而无所失矣”
正六边形的面积 A1
正十二边形的面积 A2
R
正 6 2形n1的面积
An
设有半径为 r 的圆 ,
如图所示 , 可知n边形面积
xn a 1,
从而 xn
a
xn a xn a
xn a a
1 ,
a
=
取＝1 , 则
a
xn
a ,
故 lim n
xn
a.
二 数列极限的性质
• 极限存在唯一性 • 收敛数列一定有界性 • 收敛数列具有保号性 • 收敛数列的任一子数列收敛于
同一极限
1.极限存在唯一性
xn
定理1. 收敛数列的极限唯一. ( ( ) ( ) ( ) )
n
n
n
例2. 已知
证明
证: xn 0
0 (0,1), 欲使
(n
1 1) 2
1 n 1
只要
1
n 1
,
即
n
1 1.
取 故
N lim
n
[1
xn
1] , lim
n
则当 n (1)n (n 1)2
N 0
时,
就有
xn 0 ,
也可由 xn 0
(n
故也可令 1
n
1 1)2
取
N
取
1 N [
从而有
xn a a 1 a
取 M max x1 , x2 , , xN , 1 a
则有 xn M ( n 1, 2 , ) . 证毕
说明: 此性质反过来不一定成立 .
例如, 数列 (1 )n1 虽有界但不收敛 .
定理3. 收敛数列具有保号性.
若
且
( 0),
时, 有
( 0).
i1
1 n3
1 6
n(n
o 1)(2n 1)
1 (1 1)(2 1) 1
6n n
3
i 1x
n
Sn的极限是我们欲求的面积
切线---割线的极限位置
割线的极限位置——切线
割线的极限位置——切线
割线的极限位置——切线
割线的极限位置——切线
割线的极限位置——切线
割线的极限位置——切线
曲线的切线斜率
要使 q n1 , 取对数得(n 1)ln q ln , 分 因为 q 1, ln q 0, 所以 n 1 ln , 析
ln q
因此，对
0 (设
1),
取
N
1
ln
ln q
,
则当n N时, 就有qn1 0 , 即 lim qn1 0. n
例4
设xn
C (C为常数),
1, e ?
当n 无限增大,
xn
1
(1)n1 n
是否无限接近于 1？
问题: 当 n 无限增大时, 数列{ xn }是否无限接近于某
一确定的数值? 如果是, 如何用数学语言描述?
方法: 两数之间的接近程度可以用两数之差的绝 对值(即距离)来表示.
例
对数列1
(1)n1 n
,
因为
xn
1
(1)n1
1 n
着一个确定的实数 xn, 这些实数 xn 按照下标 n 从小到大排列得到一个序列 x1, x2 ,, xn , 就 叫做数列, 简记为数列{ xn }.
数列中的每一个数叫做数列的项, 第n 项 xn 叫做 数列的一般项.
例如
1 2
,
1 4
,
1 8
,,
1 2n
,;
记为
1 2n
;
一般项
1,1,1,, (1)n1 ,;
n
r
A＝B n
62n1
当n 越大, 内接正多边形与圆的差别越小,
当n 无限增大时(n ), 内接正多边形无限接近于圆,
因此其面积An 无限接近圆的面积 S
(但是无论 n 如何大, An 只是多边形的面积S,
R
An 永远不等于周的面积)
A1 , A2 , A3 ,, An , S
{ An } S
1, n
无限接近即距离无限变小，
要多小总可以达到（变到）多小
如
给定
1, 100
由
1 n
1, 100
只要
n
100时,
有
xn
1
1 n
1, 100
给定 1 , 1000
只要 n 1000时,
有
xn
1
1, 1000
给
定
1 107
,
只要 n 107时,
有
xn
1
1 107
,
引入符号 和N来刻划接近程度和变化过程的某一时刻。
曲线
在 M 点处的切线 y y f (x) N
割线 M N 的极限位置 M T
CM
T
割线 M N 的斜率
tan
f (x) f (x0 ) x x0
o x0 x x
f (x) f (x0 ) 的极限是 切线 MT 的斜率
x x0
k tan.
2、数列的定义
如果按照某一法则, 对每一个 n N , 对应
证: 设数列
{(1)n1 };
2, 1 , 4 ,, n (1)n1 ,;
23
n
n (1)n1
n
;
3, 3 3,, 3 3 3 ,
xn1 3 xn
从几何上看,
x3 x1 x2 x4 xn
数列对应着数轴上一个点列. 可看作一动点 在数轴上依次取 x1, x2 ,, xn ,.
数列是自变量取正整数的函数 xn f (n)(n N ).
证: 对 a > 0 , 取
且当
lim
n
xn
a
0,N 0,当n N时,恒有 xn a .
综合得书例4
可以证明
若
且
时, 有
定理3. 收敛数列具有保号性.
若
且
( 0),
时, 有
( 0).
逆否命题
推论: 若数列从某项起
( 0)
( 0). (用反证法证明)
4.子列收敛性
子数列的定义:
在数列{xn }中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列{ xn }中的
故存在 N1 , 使当 n > N1 时, 故存在 N2 , 使当 n > N2 时,
当 n > max(N1, N2 _)时, 矛盾!
证: 用反证法. 假设
及
且 a b.
取
因
lim
n
xn
a,
故存在
N1
,
使当
n
>
N1
时,
从而
xn
a
2
b
.
(1)
同理,
因
lim
n
xn
b, 故存在 N2 ,
从而
xn
ab 2
1 1
]
N 与 有关, 但一定不唯一. 且不一定取最小的 N .
注:
利用定义证明某数是数列的极限时, 关键
在于 0, 指出N 确实存在, 但不需要寻找最
小的 N .
例3 设 q 1, 证明等比数列1, q, q2 ,, qn1, 极限是0. lim qn1 0