12数列极限

证: 对 a > 0 , 取
且当
lim
n
xn
a
0,N 0,当n N时,恒有 xn a .
综合得书例4
可以证明
若
且
时, 有
定理3. 收敛数列具有保号性.
若
且
( 0),
时, 有
( 0).
逆否命题
推论: 若数列从某项起
( 0)
( 0). (用反证法证明)
4.子列收敛性
子数列的定义:
在数列{xn }中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列{ xn }中的
lim
n
xn
a
0,对N 0,总有n>N,使 xn a ＞ .
2 有界性
定理2. 收敛数列一定有界. a 2 a
证: 设
x2 x1 xN 1 a xN 2 x3
x
任给>0存在N,当取n N时1,,所则有的 N点,x当n都落n 在N(a 时 ,, a有 )内,
xn a只有有1,限个(至多只有N个)落在其外.
n
r
A＝B n
62n1
当n 越大, 内接正多边形与圆的差别越小,
当n 无限增大时(n ), 内接正多边形无限接近于圆,
因此其面积An 无限接近圆的面积 S
(但是无论 n 如何大, An 只是多边形的面积S,
R
An 永远不等于周的面积)
A1 , A2 , A3 ,, An , S
{ An } S
要使 q n1 , 取对数得(n 1)ln q ln , 分 因为 q 1, ln q 0, 所以 n 1 ln , 析
ln q
因此，对
0 (设
1),
取
N
1
ln
ln q
,
则当n N时, 就有qn1 0 , 即 lim qn1 0. n
例4
设xn
C (C为常数),
xn a 1,
从而 xn
a
xn a xn a
xn a a
1 ,
a
=
取＝1 , 则
a
xn
a ,
故 lim n
xn
a.
二 数列极限的性质
• 极限存在唯一性 • 收敛数列一定有界性 • 收敛数列具有保号性 • 收敛数列的任一子数列收敛于
同一极限
1.极限存在唯一性
xn
定理1. 收敛数列的极限唯一. ( ( ) ( ) ( ) )
“ N”定义 :
lim
n
xn
a
0, N 0,当n N时, 恒有 xn a .
几何解释:
a 2 a
x2 x1 xN 1 a xN 2 x3 x
存在N n N时, 所有的 xn都落在(a , a )内,
只有有限个 (至多只有N 个)落在其外.
例1 证明 lim n (1)n1 1.
从而有
xn a a 1 a
取 M max x1 , x2 , , xN , 1 a
则有 xn M ( n 1, 2 , ) . 证毕
说明: 此性质反过来不一定成立 .
例如, 数列 (1 )n1 虽有界但不收敛 .
定理3. 收敛数列具有保号性.
若
且
( 0),
时, 有
( 0).
.
使当
(2)
n
>
N2 时,
有
取N 矛盾.
故mb假2aax设 N不xn1真, Nba!2因b,b22此aa则收当敛n数>列3aNa2的2b时b极,x限nxxnn必满3唯ba2足2a一b不.等式(1)(2)
例1. 证明数列
是发散的.
证: 用反证法.
假设数列 xn 收敛 , 则有唯一极限 a 存在 .
取12
1,
3
,
则存在 N , 使当 n > N
时, 有
a
1 3
xn
a
1 3
xn
但因 xn交替取值 1 与－1 , 而此二数不可能同时落在
长度为
2/3
的开区间
(
a
1 3
,
a
1 3
)
内,
因此该数列发散
.
lim
n
xn
a
0, N 0, 使对任意n N时,恒有 xn a .
否则，即 发散的定义：
{(1)n1 };
2, 1 , 4 ,, n (1)n1 ,;
23
n
n (1)n1
n
;
3, 3 3,, 3 3 3 ,
xn1 3 xn
从几何上看,
x3 x1 x2 x4 xn
数列对应着数轴上一个点列. 可看作一动点 在数轴上依次取 x1, x2 ,, xn ,.
数列是自变量取正整数的函数 xn f (n)(n N ).
3、数列的极限
观察数列{1 (1)n1 }当n 时的变化趋势. n
n=19
(1)n1 xn 1 n .
观察重点:
当 n 无限增 大时, xn 是否 接近于一个确定的常数?
n=42
n=50
例如,
123
n
, , ,... , , ...
2 3 4 n1
xn
n n1
1
(n )
收
xn
n
(1)n1 n
n
n
n
例2. 已知
证明
证: xn 0
0 (0,1), 欲使
(n
1 1) 2
1 n 1
只要
1
n 1
,
即
n
1 1.
取 故
N lim
n
[1
xn
1] , lim
n
则当 n (1)n (n 1)2
N 0
时,
就有
xn 0 ,
也可由 xn 0
(n
故也可令 1
n
1 1)2
取
N
取
1 N [
第n天截下的杖的长度和 X n
1 2
1 22
11
1
Xn 2 22 2n 1
1 2n
;
到第n天剩下
1 2n
;
1 2n
0
11
1
Xn 2 22 2n
1
计算面积
解: 将 [0,1] n 等分, 分点为
y
取
y x2
Sn
则
n
i1
f
f (i )xi
(i
)xi
1 n3
i2xi
i2 n3
n
i2
1 1
]
N 与 有关, 但一定不唯一. 且不一定取最小的 N .
注:
利用定义证明某数是数列的极限时, 关键
在于 0, 指出N 确实存在, 但不需要寻找最
小的 N .
例3 设 q 1, 证明等比数列1, q, q2 ,, qn1, 极限是0. lim qn1 0
n
证 0 (设 1), 因为 xn 0 qn1 0 q n1,
1, e ?
当n 无限增大,
xn
1
(1)n1 n
是否无限接近于 1？
问题: 当 n 无限增大时, 数列{ xn }是否无限接近于某
一确定的数值? 如果是, 如何用数学语言描述?
方法: 两数之间的接近程度可以用两数之差的绝 对值(即距离)来表示.
例
对数列1
(1)n1 n
,
因为
xn
1
(1)n1
1 n
n
n
lim
n
xn
a
0, N 0,当n N时, 恒有 xn a .
找N
满足
证
xn a
n (1)n1 1 1 ,
n
n
0, 若要 xn 1 ,
即要 1 ,
n
得n 1 ,
找到了，则说明
了存在
于是取N
1
,
则当n N时,
看成N
就有 n (1)n1 1 , 即lim n (1)n1 1.
证明 lim n
xn
C.
证 0, 对于一切自然数n,
xn a
CC
0 成立,
故
lim
n
xn
C.
说明: 常数列的极限等于同一常数.
例5 证明lim( n2 1 n) 0. n
证 0,
可适当放大 （仍趋于零） 简化计算，
n2 1 n 0 ( n2 1 n)( n2 1 n) n2 1 n
§1.3 数列的极限
一. 数列 极限的定义 二 数列极限的性质
一. 数列 极限的定义
1、引例 （1）割圆术： “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于 ——刘徽 不可割，则与圆周合体而无所失矣”
正六边形的面积 A1
正十二边形的面积 A2
R
正 6 2形n1的面积
An
设有半径为 r 的圆 ,
如图所示 , 可知n边形面积
1, n
无限接近即距离无限变小，
要多小总可以达到（变到）多小
如
给定
1, 100
由
1 n
1, 100
只要
n
100时,
有
xn
1
1 n
1, 100
给定 1 , 1000
只要 n 1000时,
有
xn
1
1, 1000
给
定
1 107
,
只要 n 107时,
有
xn
1
1 107
,
引入符号 和N来刻划接近程度和变化过程的某一时刻。
n2
1 1
n
1 2n
,
欲使 1 , 只须n 1 ,
Baidu Nhomakorabea
2n
2
取
N
1
2
,
则当n N时,
n2 1 n 0 ,
即 lim( n2 1 n) 0. n
例6
设xn
0,且 lim n
xn
a
0,求证
lim
n
xn
a.
任意＞0，
证
取1＝1
0＞, 0，
a
因为
lim
n
xn
a,
所以 正整数 N , 使得当n N 时,
i1
1 n3
1 6
n(n
o 1)(2n 1)
1 (1 1)(2 1) 1
6n n
3
i 1x
n
Sn的极限是我们欲求的面积
切线---割线的极限位置
割线的极限位置——切线
割线的极限位置——切线
割线的极限位置——切线
割线的极限位置——切线
割线的极限位置——切线
割线的极限位置——切线
曲线的切线斜率
故存在 N1 , 使当 n > N1 时, 故存在 N2 , 使当 n > N2 时,
当 n > max(N1, N2 _)时, 矛盾!
证: 用反证法. 假设
及
且 a b.
取
因
lim
n
xn
a,
故存在
N1
,
使当
n
>
N1
时,
从而
xn
a
2
b
.
(1)
同理,
因
lim
n
xn
b, 故存在 N2 ,
从而
xn
ab 2
lim
n
xn
a,
或 xn a (n ).
如果不存在这样的常数a, 就称数列{xn }无极限, 或者说数列{xn }
是发散的,
或者说 lim n
xn
不存在.
如果任意给定的数 0,(反映接近程度)
总存在变化过程的某一时刻N(N＝N( )), 使从这以后, (即只要 n N（）, ) 有 xn A 成立.则可以说｛xn｝无限接近A。
曲线
在 M 点处的切线 y y f (x) N
割线 M N 的极限位置 M T
CM
T
割线 M N 的斜率
tan
f (x) f (x0 ) x x0
o x0 x x
f (x) f (x0 ) 的极限是 切线 MT 的斜率
x x0
k tan.
2、数列的定义
如果按照某一法则, 对每一个 n N , 对应
先后次序,这样得到的一个数列称为原数列{xn }的子数列(或子列)．
例如在数列 { xn } 中, 第一次抽取 xn1 , 第二次在 xn1 之后抽取 xn2 ,
第三次在 xn2 之后抽取 xn3 , , 依次无休止地抽取下去, 得到一
个数列 {xnk }
xn1 , xn2 ,
, xnk , ,
则数列 {xnk } 就是数列 { xn } 的一个子列.
1
(n ) 敛
-1 1 1
(1)n
22 , 32 , 42 , ....., (n 1)2 ....
xn
=
(-1)n (n+1)2
0
2 , 4 , 8 , ... , 2n ,
xn =2n (n )
发
散
xn (1)n1 趋势不定
n sin 1 n
ln n n
(1+ 1 )n ? n
?1 ?0
证: 设数列
给定
0,
只要
n
N
1
时,
有 xn 1 成立.
表明：只要n无限增大，xn 就会与1任意接近。
如果任意给定的数 0,(反映接近程度)
总存在变化过程的某一时刻N(N＝N( )), 使从这以后, (即只要 n N（）, ) 有 xn A 成立.则可以说｛xn｝无限接近A。
如果任意给定的数 0,(反映接近程度)
即
x1 , x2 ,....., xn1 ,...., xn2 ,....xn3 ,...
子数（序）列 xn1 , xn2 , xn3 ,...
注意: 在子数列{ xnk }中, 一般项 xnk 是第 k 项, 而 xnk 在原数列{ xn }
中却是第nk 项, 显然, nk k.
定理5. 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限 .
总存在变化过程的某一时刻N(N＝N( )), 使从这以后, (即只要 n N（）, ) 有 xn A 成立.则可以说｛xn｝无限接近A。
定义 如果对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在
正数 N ,使得对于n N 时的一切 xn,不等式 xn a 都 成立,那末就称常数a 是数列 xn 的极限,或者称数列 xn 收敛 于a ,记为
lim
n
An
S
称S为 数列 A1, A2 , A3 , , An...当n 时的极限.
因此，圆的面积可以理解为该数列的极限（给出了圆的 面积定义）
（2）、截丈问题：
“一尺之棰，日截其半，万世不竭” 1 1
1
第一天截下的杖的长度X1
1 ;
2
23 22
2
第二天截下的丈的长度和
X2
1 2
1 22
剩下
1 22 ;
着一个确定的实数 xn, 这些实数 xn 按照下标 n 从小到大排列得到一个序列 x1, x2 ,, xn , 就 叫做数列, 简记为数列{ xn }.
数列中的每一个数叫做数列的项, 第n 项 xn 叫做 数列的一般项.
例如
1 2
,
1 4
,
1 8
,,
1 2n
,;
记为
1 2n
;
一般项
1,1,1,, (1)n1 ,;