5第5讲空间杆件结构的有限元法

0
0
wi
0
2EI z l
xi
yi
zi
0
0 EA
l
0 6EI z 0 l2
6EI y
0
0
l2
0 12 EI z
l3
0
0
0 12 EI y
l3
0 0 0
0
0
u
j
0
6EI y l2
6 EI l2
z
v
j
w
j
0
xj
M yj 0
0
0 GJ 0 l
0
0
0
0
GJ
0
l
0 yj
M zj
0
0
0
6EI y
l2
6EI z
0
0 0
2EI y
0
l
0
2EI z
0
0
6EI y
l2
0 6EI z
0
0 0
4EI y l 0
0
zj
4EI z
l2
l
l2
l
式（2-1）
2020/8/12
式 （ 2 -1 ） 可 以 简 写 为 其 中 单 元 刚 度 矩 阵 为
l2
6 EI z
0
l 0
0
k
e
EA
l2
l
0
0 12 EI z
l3
0 0
0 0
0
0
12 EI y
0
l3
0
0
4 EI y
0
l
0
4 EI z
l
GJ
0 0 0
0
0 6 EI z
0
l
6 EI y
0
l2
0
0
0 2 EI y
l 0
0
0
2 EI z
l2
l
0
0
EA
l
0
6 EI z 0
l2
6 EI y
位移之间的关系。图中未绘出的杆端力和杆端位移分量，在该情况下数值为零。
2020/8/12
依同样方法可以确定当单元j端发生单位位移时， 杆端力与杆 端位移之间的关系。 当单元的杆端位移分量为任意值时，可以写出空间单元刚度方 程，以矩阵表示为
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EA
l
0
X
i
Yi
0
0 12 EI z
综合上三式
X
i
l
x
x
l xy
l
xz
X
i
Y
i
l
y
x
l yy
l yz
Yi
Z i l z x l z y l z z Z i
(2 -4 )
这就是在端点
i
由整体坐标系中的杆端力
X
、
i
Y i、
Zi
推
算
局
部
坐
标
lxx cos(x, x) lxy cos(x, y) lxz cos(x, z)
将杆端力 X i、Yi、Zi 在 x 轴上投影，
可求得杆端力
X i X ilxx Yilxy Zilxz
2020/8/12 同理可得
Yi X il yx Yil yy Zil yz Zi X ilzx Yilzy Zilzz
度为 EI y ，线刚度 iy
EI y ；在 x
l
y
平面内的抗弯刚度为
EI x ，线刚度 ix
EIx l
；
杆件的抗扭刚度为 GJ 。
l
2020/8/12
空间刚架单元的两端分别与结点 i 和 j 相联结。每一个结点有六个结点位移分量
和六个结点力分量。在局部坐标系下空间杆件的杆端位移列阵 e 和杆端力列阵 F e 分
l3
0
0
0 12 EI y
l3
00
0 EA 0
0
l
0
0
6EI z
0 12 EI z
0
l2
l3
0 6EI y
0
0
0
12 EI y
l2
l3
00
0
0
0
6 EI
z
l2 ui
0 6EI y l2
0 vi
Zi
0
M
xi
M
yi
0
M X Y Z
zi j j j
F e ke e
（ 2 -2 ）
EA
l
0
0 12 EI z
0 0
l3
0
0
0 EA
0
0
l
0
0
6 EI z
0 12 EI z
0
l2
l3
0
0
0
0
0
6 EI
z
l2
0
0
12 EI y
0 6 EI y
0
0
0
12 EI y
0 6 EI y
0
l3
l2
l3
l2
GJ
0
0
0
0
0
0
6 EI y
0
0
l2
0 12 EI z
l3
0
0
0 12 EI y
l3
0
0
0
0
0
6 EI l2
z
0
6 EI y
0
l2
0
0
0
GJ
0
l
0
0
0
0
GJ
0
l
0
0
0
0
6 EI y
l2
6 EI z
0
0 0
2 EI y
0
l
0
2 EI z
0
0
6 EI y
l2
0 6 EI z
0
0 0
4 EI y l 0
0
4 EI z
2020/8/12
第一节 局部坐标系下的单元分析
图 2-1 所示为空间刚架中的任一
杆件单元。选取局部坐标系时，去
形心轴为 x 轴，横截面的主轴分
别为坐标系的 y 轴和 z 轴。 x、y、z
轴的方向按右手定则确定。这样，
单元在 x y 平面内的位移与 xz
平面内的位移是彼此独立的。设杆截面面积为 A，在 xz 平面内的抗弯刚
Mx、M y、Mz 为作用在杆端的力偶矩。这里力偶矩和角位移的指向按照右手定则用双箭
头表示；力和线位移的指向用单箭头表示。图 2-1 中所示的杆端力和杆端位移为正
方向。
与平面单元的推导方法一样，首先求出当杆端位移 e 中的一个分量为 1，而其余分
量均为零时的杆端力。图 2-2 所示为当单元○e 的 i 端发生单位位移时，杆端力与杆端
阵，是通过坐标转换矩阵完成的。首先考虑单元○e 在端点 i 的三个杆端
力分量，在局部坐标系 xyz 中，它们是 X i、Yi、Zi ；在整体坐标系 xyz
中，是 X i、Yi、Zi 与 X i、Yi、Zi 之间的关系。设 x 轴与 x、y、z 轴的夹角分 别为 xx、xy、xz （图 2-3），则 x 轴在 xyz 坐标系中的方向余弦为
别为
e ui
vi
wi
xi yi zi
uj
vj
wj
xj zj
T zj
F e X i Yi Zi M xi M yi M zi X j Yj Z j M xj M yj M zj T
其中 u 为轴向位移，v、w 为横向位移， x 为杆件的扭转角， y、z 分别为绕 y 轴和 z
轴弯曲时的转角； X 为杆件单元的轴力， Y、Z 分别为沿 y 轴和 z 轴作用的剪力，
0 EA l 0
M xj
0
0
0 6EI z l2
0 12 EI z
l3 0
0 6EI y
l2 0
0
0 12 EI y
l3
GJ l 0 0 0 0
0
0
0
4EI y
0
l
0
4EI z
l
0 0 0
0
0 6EI z
l2
0 GJ 0
l
6EI y
0 2EI y
l2
l
0
0
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l2
l
l2
l
（
（ 2 -3 ）
式 （ 2 -3 ） 为 局 部 坐 标 系 中 的 空 间 单 元 刚 度 矩 阵 。 它 是 1 2阶 方 阵 ， 其 性 质 也 与 平 面 结 构
的 相 同 。
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第二节 空间单元坐标变换
将局部坐标系下的单元刚度矩阵转换为整体坐标系下的单元刚度矩