用导数解决数学竞赛中的不等式问题

与Ｉ Ｏ Ｃ Ｉ 的长 度 之积 为 定值 ２ Ｏ ， 第（ １ ） 小 题 可 以用 极 坐标 （ ｐ， ） 求解．
解 （ １ ） 因为 ｌ Ｏ Ｂ Ｉ ＝Ｉ Ｏ Ｄ Ｉ ， Ｉ Ａ Ｂ Ｉ ＝Ｉ Ａ Ｄ Ｉ ＝
Ｉ ＯＰＩ・Ｉ ＡＢ ｌ＝ ｌ ＯＡ ｌ・Ｉ ＯＢ Ｉ ．
—
＿Βιβλιοθήκη Baidu
＝
１ ３ （ ” 定 一～
Ｉ ＯＫＩ 一Ｉ ＡＫＩ ：
（１ Ｏ Ｂ ｌ 一 ｌ Ｂ ＫＩ ）一（Ｉ Ａ ＢＩ 一Ｉ ＢＫＩ ）＝
因 此 点 Ｐ 在 以 Ｄ 为 圆 心 、 半 径 为 √ 鬈 的 定 圆 上 ．
评注 本 题 也可 利用 Ｏ Ａ上Ｏ Ｂ， 设 直线 Ｏ Ａ， Ｏ Ｂ
常用 的技 巧 和方 法 ， 在 做题 的 时候 根 据题 设 、 结论 的背景 和特 征 ， 选 择合适 的方 法 ， 才 能快 速 、 准确 地
时， 求 点 Ｃ的轨 迹．
（ ２ ０ １ ２年全 国高 中数 学联 赛试题 ） 分析 如图 ３ ， 根 据菱 形 和 等腰 三 角形 的性 质 可知 点 ０， Ａ， Ｃ共 线 ， 结 合 菱 形 的对 角 线 垂 直 可 知 边长关 系 ， 第（ １ ） 小 题 用 平 面 几 何 方 法 可 快 速 求 解． 由点 ０， Ａ， Ｃ共线 知 ３个 点 的角度 是一样 的 ， 只
，
ｌ Ｏ Ｂｌ 一ｌ Ａ Ｂｌ ＝ ６ 一 ４ ＝２ ０ （ 定值） ．
（ ２ ） 以原 点为极 点、 ７ ． Ｃ 轴 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极
坐 标系， 设Ａ （ ｐ １ ， ０ ） ， Ｃ （ ｐ ２ ， ０ ） Ｉ 一 ≤ ≤ １ Ｔ ） ， 则由
第（ １ ） 小题 的结论 可 得
图３
＝ ｐ ２ ｃ ｏ ｓ ０ ＝ ５， Ｙ＝ ｐ ２ ｓ ｉ ｎ ０＝５ ｔ ａ ｎ ０ ∈［一 ５ ， ５ ］ ，
故 点 Ｃ的轨 迹 为线段 ＝５ （一 ５≤＿ ｙ ≤５ ） ． 高 中数 学 竞赛 中解 析几 何 题 的解 题 策 略 多种 多样 ， 比如用直 线 的参数 方程 来求 解 有关 定 点到动 点 距 离 的问题 比较 方便 ， 用 曲线 的参 数方 程 在化两 元 为一元 的 问题上 有很 多 的优势 等． 只有 掌 握一些
Ｐ １ ・ Ｐ ２＝２ ０ ． （ ４）
的斜率分别为 ｜ ］ ｝ ， 一 ｉ １ 以 为 主 变量 进行 运 算 ， 但
Ｉ Ｏ ＡＩ ， Ｉ Ｏ ＢＩ 用ｋ 来 表示 比较 麻烦 ． 若 能观察 到 用 角 度 和距 离这 ２个 量 非常简 洁 地表 示 Ｉ Ｏ Ａｌ ， Ｉ Ｏ Ｂｌ ， 选
用极 坐 标 系 解 题 ． 则可事 半 功倍．
而 点 Ａ所 在 的半 圆的极 坐标 方程 为
Ｐ ＝ ４ ｃ ｏ ｓ ０ （ 一 詈 ≤ ≤ 詈 ） ，
Ｂ
例 ６ 在 平 面直 角 坐 标 系
ｘ Ｏ ｙ中 ， 菱形 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 的 边 长 为
４， 且ｌ Ｏ ＢＩ ＝ｌ Ｏ ＤＩ ＝６ ．
赛 试题 ）
－ 厂 （ ）＝ ４— ． １ Ｏ ｘ （ ５ 一 ４ ＋１ １ ） ’
分析 构 造 函数 厂 （ ）＝
， 考 虑不 等式
＋ ＋ １
得
・ ＝
Ｉ Ｂ ＣＩ ＝ｌ Ｃ Ｄ Ｉ ， 所 以点 ０， Ａ， Ｃ 共 线． 如 图３ ， 联 结 Ｂ Ｄ， Ａ ｒ ０ Ｂ Ｄ 垂直平 分 线段 Ａ Ｃ， 设 垂足 为 Ｋ， 于 是
ｌ Ｏ Ａ Ｉ ．Ｉ Ｏ Ｃ ｌ ＝（ Ｉ Ｏ ＫＩ —Ｉ Ａ ＫＩ ）・ （ Ｉ Ｏ ＫＩ ＋Ｉ Ａ ＫＩ ） ＝
１ 以直代 曲思 想
上某 点处 的切 线 近 似 代 替 这 一 点 附 近 的 曲 线 （ 如
图 １所示 ） ．
把 点 Ｐ附 近 函数 的 图像 放 大 ， 引导 学 生 理 解
以直代 曲思 想是 指 某 点 附近 一 个 很 小 的研 究 区域
内， 曲线 与 切线 的 变 化 趋 势 基 本一 致 ， 故可 由 曲线
图 １
１ ． １ 直 接 使 用
例 １ 设正 实数 ｎ ， ６ ， Ｃ 满足 ａ 。 ＋６ ＋Ｃ ：３ ． 证
第６ 期
潘 贤冲 ： 用导数解决数 学竞赛 中的不等式 问题
・３ ｌ・
明：
＋
＋
扎
证 明 设厂 （ ） ＝
， 则
弟 １届 际 省 身 杯 全 国 鬲 中 数 学 奥 林 匹 克 竞
可得Ｐ ＝ ４ ｃ ｏ ｓ Ｏ ， 代 入 式（ ４ ） 可 得
ｐ 【 （ 一 冬 手 ≤ ≤ Ｊ ，
再 转 化为 直 角坐标
ｏ
。
（ １ ） 求证 ： ｌ Ｏ Ａ Ｉ・Ｉ Ｏ Ｃ Ｉ 为
定值 ； （ ２ ）当点 Ａ 在 半 圆 （ 一
２ ） ＋Ｙ ＝ ４（ ２ ≤ ≤４ ） 上 运 动
・
３ ０・
中学教研 （ 数学 ）
２ ０ １ ３． 年
两 式 相 加 可 得 ＋ 古 ＝ 吉 ＋ １ ＝ ３ １ ３ 。 （ 定 值 ） ．
（ ２ ） 由 ． — Ａ Ｂ： ０知Ｏ Ｐ＿ Ｌ Ａ Ｂ， 从 而
，
有 长度 不 一 样 ， 加 上第 （ １ ） 小题 的结 论 可 知 ， ｌ Ａ ＯＩ
解决 解 析几 何 问题 ．
用 导 数 解 决 数 学 竞 赛 中 的 不 等 式 问 题
●潘 贤冲 （ 瑞安中学 浙江瑞安 ３ ２ ５ ２ ０ ０ ）
不等式是高 中数学竞赛中的常见问题 ， 同样也 非 常受 国际数学 奥林 匹克 的青 睐． 本文 通过 以直 代 曲思想 、 洛 比达 法则 、 泰 勒 展 开 等对 一些 实 例 进 行 分 析 和求解 ， 介 绍导 数在 解决 这 些 问题 中的应用 ．