山西大学历年高等数学期末试题答案

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高数期末考试题及答案

高数期末考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 极限的定义中，当x趋近于a时，f(x)趋近于A，则称A为f(x)的极限。

以下哪个选项是正确的？A. 若f(x)在x=a处连续，则f(x)在x=a处的极限存在B. 若f(x)在x=a处不连续，则f(x)在x=a处的极限不存在C. 若f(x)在x=a处的极限存在，则f(x)在x=a处连续D. 若f(x)在x=a处的极限不存在，则f(x)在x=a处不连续答案：A2. 以下哪个函数是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = x^53. 以下哪个函数是偶函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = x^5答案：A4. 以下哪个函数是周期函数？A. f(x) = e^xB. f(x) = sin(x)C. f(x) = ln(x)D. f(x) = x^2答案：B5. 以下哪个函数是单调递增函数？B. f(x) = x^2C. f(x) = e^xD. f(x) = ln(x)答案：C二、填空题（每题4分，共20分）6. 函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1的导数是______。

答案：6x - 27. 函数f(x) = sin(x)的不定积分是______。

答案：-cos(x) + C8. 函数f(x) = e^x的不定积分是______。

答案：e^x + C9. 函数f(x) = x^3的不定积分是______。

答案：(1/4)x^4 + C10. 函数f(x) = ln(x)的不定积分是______。

答案：x*ln(x) - x + C三、计算题（每题10分，共30分）11. 求极限lim(x→0) [(x^2 + 1) / (x^2 + x)]。

答案：112. 求不定积分∫(3x^2 - 2x + 1)dx。

答案：(x^3 - x^2 + x) + C13. 求定积分∫(0 to 1) (x^2 - 2x + 3)dx。

高等数学期末试题(含答案)

高等数学期末试题(含答案) 高等数学检测试题一。

选择题（每题4分，共20分）1.计算 $\int_{-1}^1 xdx$，答案为（B）2.2.已知 $2x^2y=2$，求$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^4+y^2}{x^2y}$，答案为（D）不存在。

3.计算 $\int \frac{1}{1-x}dx$，答案为（D）$-2(x+\ln|1-x|)+C$。

4.设 $f(x)$ 的导数在 $x=a$ 处连续，且 $\lim\limits_{x\to a}\frac{f'(x)}{x-a}=2$，则 $x=a$ 是 $f(x)$ 的（A）极小值点。

5.已知 $F(x)$ 的一阶导数 $F'(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续，且 $F(0)=0$，则 $\frac{d}{dx}\int_0^x F'(t)dt$ 的值为（D）$-F(x)-xF'(x)$。

二。

填空：（每题4分，共20分）1.$\iint\limits_D dxdy=1$，若 $D$ 是平面区域 $\{(x,y)|-1\leq x\leq 1,1\leq y\leq e\}$，则 $\iint\limits_D y^2x^2dxdy$ 的值为（未完成）。

2.$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\left(\cos\frac{\pi}{n}\right)^2+\left(\cos\frac{2\pi}{n}\right)^2+\cdots+\left(\cos\frac{(n-1)\pi}{n}\right)^2}{n\pi}$ 的值为（未完成）。

3.设由方程 $xyz=e$ 确定的隐函数为 $z=z(x,y)$，则$\frac{\partial z}{\partial x}\bigg|_{(1,1)}$ 的值为（未完成）。

4.设 $D=\{(x,y)|x^2+y^2\leq a^2\}$，若$\iint\limits_D\sqrt{a^2-x^2-y^2}dxdy=\pi$，则 $D$ 的面积为（未完成）。

大一高数c期末考试题及答案

大一高数c期末考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 极限的定义中，当自变量趋近于某一点时，函数值趋近于该点的极限值，下列哪个选项是正确的？A. 函数值可以无限接近但不等于极限值B. 函数值必须等于极限值C. 函数值可以等于也可以不等于极限值D. 函数值必须等于极限值，且只能等于一个值答案：A2. 以下哪个函数是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = x^5答案：B3. 以下哪个选项是正确的不定积分？A. ∫x dx = x^2 + CB. ∫x^2 dx = x^3 + CC. ∫x^3 dx = x^4 + CD. ∫x^4 dx = x^5 + C答案：B4. 以下哪个级数是收敛的？A. 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...B. 1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + ...C. 1 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + ...D. 1 + 2 + 3 + 4 + ...答案：B5. 以下哪个选项是正确的二阶导数？A. f''(x) = 2xB. f''(x) = 2x + 3C. f''(x) = 2D. f''(x) = 3x^2答案：C6. 以下哪个选项是正确的洛必达法则的应用？A. ∫0/0 形式的极限可以通过洛必达法则求解B. ∫∞/∞ 形式的极限可以通过洛必达法则求解C. ∫0×∞ 形式的极限可以通过洛必达法则求解D. ∫∞-∞ 形式的极限可以通过洛必达法则求解答案：B7. 以下哪个选项是正确的泰勒级数展开？A. e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...B. sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - ...C. cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - ...D. ln(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 - ...答案：A8. 以下哪个选项是正确的定积分计算？A. ∫[0,1] x^2 dx = 1/3B. ∫[0,1] x^3 dx = 1/4C. ∫[0,1] x^4 dx = 1/5D. ∫[0,1] x^5 dx = 1/6答案：A9. 以下哪个选项是正确的多元函数偏导数？A. ∂f/∂x = 2x + 3yB. ∂f/∂y = 3x + 2yC. ∂f/∂z = 4x + 5yD. ∂f/∂w = 6x + 7y答案：A10. 以下哪个选项是正确的曲线积分？A. ∫C x ds = ∫C x dsB. ∫C y ds = ∫C y dsC. ∫C z ds = ∫C z dsD. ∫C xy ds = ∫C xy ds答案：D二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数f(x) = x^2 + 3x + 2的导数是________。

高等数学期末试卷及答案

高等数学期末试卷及答案一 .填空题（每小题3分，共21分）1．()(0,1],()1ln ,[()]y f x x x y f x ϕϕ==-=设的定义域是则复合函数的定义域是 . 2. 函数543121540y x x x =+-的极大值 .极小值 3．曲线21-=x y 在点)1,1(处的切线斜率是4.=+⎰dx x x21arctan5.1limcos 1x x →=- .6. sin 0x d dx =⎰________7. 需求量q 对价格p 的函数为2e 100)(pp q -⨯=，则需求弹性为 .二.单项选择题（每小题3分，共15分）1. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,10,2sin )(x x k xx x f 在x = 0处连续，则k = A ．-2B ．-1C ．1 D. 22. 020020(,())()x x d yx y x y f x dx===是为曲线的拐点的A ．必要条件B ．充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件 3. 若函数f (x )在点x 0处可导，则下列错误的是．A ．函数f (x )在点x 0处有定义B ．A x f x x =→)(lim 0，但)(0x f A ≠C ．函数f (x )在点x 0处连续D ．函数f (x )在点x 0处可微 4.下列函数是无穷小的是A 、2112xx +，当x →∞时，B 、25x x x + ，当0x →时，C 、12x，当 0x →时，D 、2x，当x →∞时. 5.下列反常积分收敛的是________A.11dx x +∞⎰B. 311dx x +∞⎰C. 1+∞⎰D. 2ln xdx +∞⎰三．计算题（每题8,共48）１. 2,1(),,,().,1x e x f x a b f x ax b x ⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩设函数取何值时为可导函数2．求极限：11202lim[(1)]34x x x x x -→+---. 3. 求⎰++x x x d )1ln(2积分4. 2sin()30()x y e x y y y x ++-==求由方程+确定的函数的导数.5. 计算定积分120(1)x xe dx x +⎰ 6.2221.4t t x e d y dx y e⎧=+⎪⎨=⎪⎩设,求四.应用题(共11分)1. 某厂每天生产某种产品q 件的成本函数为9800365.0)(2++=q q q C （元）.为使平均本最低，每天产量应为多少？此时，每件产品平均成本为多少？(6分)2. 1,3,2,1.2y x y x y y ====求由曲线所围成的图形的面积.(5分)五.证明题(5分)设()0,(0)0f x f ''<=。

山大高数期末考试题及答案

山大高数期末考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 函数f(x)=x^2-4x+3在x=2处的导数是：A. -1B. 0B. 1D. 22. 曲线y=x^3-6x^2+9x在点(1,4)处的切线斜率是：A. -6B. -4C. 0D. 43. 曲线y=sin(x)在区间[0, π/2]上是：A. 单调递增B. 单调递减C. 先增后减D. 先减后增4. 函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点是：A. x=1B. x=2C. x=3D. x=45. 定积分∫[0,1] x^2 dx的值是：A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 16. 函数f(x)=e^x的泰勒展开式在x=0处的前三项是：A. 1+x+x^2/2B. 1+x+x^2C. 1+x+x^2/6D. 1+x+x^2/37. 曲线y=ln(x)在x=e处的切线方程是：A. y=x-1B. y=x-eC. y=1D. y=x8. 函数f(x)=x^4-4x^3+6x^2-2x+1的拐点是：A. x=1B. x=2C. x=3D. x=49. 函数f(x)=1/x在区间(0,1)上是：A. 单调递增B. 单调递减C. 先增后减D. 先减后增10. 定积分∫[1,e] e^x dx的值是：A. e^e - eB. e^e - 1C. e^e - e^2D. e^e - e^2 + 1二、填空题（每题2分，共20分）11. 若f(x)=2x-1，则f'(x)=________。

12. 函数g(x)=x^2+3的最小值点是x=________。

13. 曲线y=cos(x)在x=π/3处的导数是-________。

14. 函数h(x)=x^3-3x^2+2x的拐点是x=________。

15. 定积分∫[-1,1] |x| dx的值是________。

16. 函数p(x)=sin(x)+cos(x)的泰勒展开式在x=0处的前两项是1+________。

山西大学期末考试

山西大学全日制本科生试卷科目：高等数学B3（A 卷）一、选择题(15分)1．下列等式中正确的是A ．()A A A A 233-=-B ．()T T TB A AB =C ．()()22B A B A B A -=+- D ． ()222B BA AB A B A +++=+2．设有m 维向量组()n ααα,,,:21 I ，则A ．当m<n 时，(I)一定线性相关B ．当m>n 时，(I)一定线性相关C ．当m<n 时，(I)一定线性无关D ．当m>n 时，(I)一定线性无关 3．下列叙述不正确的是(A) 任意实对称矩阵都可以借助于一个正交矩阵进行对角化 (B) n 阶矩阵A 可对角化的充分必要条件是矩阵A 有n 个不同的特征值(C)任何实二次型都可化为标准形(D)矩阵A 的特征向量系是线性无关向量系4．设离散型随机变量X 的分布律为{}k b k X P λ==，0>b ， ,3,2,1=k ，则λ=A ．11+b B ．b -1C ．bD ．b +1共 8 页第 1 页科目：专业：学号：姓名：密封线密封线密封线山西大学全日制本科生试卷5. 设随机变量1X ，2X ，…，n X ，…相互独立，且都服从于参数为λ的指数分布，则对任意x ，由中心极限定理有（A ）()x x n n x n i i n Φ=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-P ∑=∞→λλ1lim （B ）()x x n n x n i i n Φ=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-P ∑=∞→λλ1lim （C ）()x x n n x n i i n Φ=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-P ∑=∞→λλ1lim （D ）()x x n n x n i i n Φ=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-P ∑=∞→21lim λλ二、填空题 (15分)1. 设A ,B ,C 为三个事件，已知()()()41===C P B P A P ，()()0==BC P AB P ，()81=AC P ，则()=ABC P2. 设X ～()2,3σN ，且{}1.00=<X P ，则{}=<<63X P3. 设X ～()8.0,10b ，Y ～()2π，且X 与Y 相互独立，则()=-Y X D 24. 设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡240130002, 则1-A = 5. 设实二次型Q(x 1, x 2, x 3)= x 12+ x 22+ 5x 32+2tx 1x 2-2x 1x 3+4 x 2x 3是正定二次型，则实数t 应满足共 8 页第 2 页三、(7分) 计算n 阶行列式aa a a 111111111111共页第 3 页山西大学全日制本科生试卷山西大学全日制本科生试卷科目：专业：学号：姓名：密封线密封线密封线四、(8分)用配方法将实二次型Q= x 12+ 2x 22-4x 1x 2-4x 1x 3化为标准形，并写出相应的坐标变换。

高数期末考试卷和答案

高数期末考试卷和答案**高数期末考试卷**一、选择题（每题4分，共40分）1. 极限的定义中，当自变量趋近于某一点时，函数值趋近于一个确定的数值，这个数值称为该点的（）。

A. 函数值B. 极限C. 导数D. 积分答案：B2. 函数f(x)=x^2在x=0处的导数为（）。

A. 0B. 1C. 2D. -1答案：C3. 以下哪个函数是奇函数？（）A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = x答案：B4. 以下哪个函数是偶函数？（）A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = x答案：A5. 以下哪个选项是正确的不定积分？（）A. ∫x^2 dx = x^3 + CB. ∫x^2 dx = 2x^3 + CC. ∫x^2 dx = 3x^3 + CD. ∫x^2 dx = x^3/3 + C答案：D6. 以下哪个选项是正确的定积分？（）A. ∫[0,1] x^2 dx = 1/3B. ∫[0,1] x^2 dx = 1/2C. ∫[0,1] x^2 dx = 2/3D. ∫[0,1] x^2 dx = 1/4答案：A7. 以下哪个选项是正确的二重积分？（）A. ∬[0,1] x^2 dy dx = 1/3B. ∬[0,1] x^2 dy dx = 1/2C. ∬[0,1] x^2 dy dx = 2/3D. ∬[0,1] x^2 dy dx = 1/4答案：A8. 以下哪个选项是正确的多元函数偏导数？（）A. ∂f/∂x = 2xB. ∂f/∂y = 2yC. ∂f/∂z = 2zD. ∂f/∂x = 2x + 2y答案：A9. 以下哪个选项是正确的多元函数全微分？（）A. df = 2x dx + 2y dyB. df = 2x dx + 2y dy + 2z dzC. df = x dx + y dyD. df = x dx + y dy + z dz答案：A10. 以下哪个选项是正确的泰勒展开？（）A. e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...B. e^x = 1 + x + x^2 + x^3 + ...C. e^x = 1 + x + x^2/3! + x^3/4! + ...D. e^x = 1 + x + x^2/2 + x^3/3 + ...答案：A二、填空题（每题4分，共20分）11. 函数f(x) = sin(x)在x=0处的导数为______。

山西大学《高等数学》试卷

5．若函数由方程所确定，求的极大值与极小值
6．讨论方程根的个数
7．已知曲线过点且，该曲线在点处的切线在轴上的截距等于，求的表达式
四、附加题：(每题10分，共计20分)
1．设在上连续，在内可导，且，，
证明方程在内有且仅有一实根
2．设
(1)求的值，其中为正整数
(2)求
3．积分
4．设，则
5．一容器的内表面是以绕轴旋转所得的旋转曲面，若以每秒的速率注入水，则当水面高度为时，水面的上升速率为
三、解答题：(每题10分，共计70分)
1．求下列函数的极限
（1）（2）
2．求下列函数的导数
（1）若，求 (2）若，求
3．求下列函数的积分
（1） (2)
4．求曲线上相应于的一段弧的长度
是的极小值点；是的极大值点；
是的拐点；
不是的极值点，也不是的拐点；
4．设是周期为的连续函数，且，，则下列函数中，以为周期的函数是
5．设与均为二阶常系数线性方程的特解，则该方程的通解为
二、填空题：(每题3分，共计15分)
1．若点为曲线的拐点，则，
2．设连续，且，则
山西大学15级电本等专业《高等数学》试卷（A）
命题教师：集体2015—2016学年第一学期
题号
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
总分
阅卷教师
得分
一Байду номын сангаас选择题：(每题3分，共计15分)
1．曲线的渐近线条数为条
1 2 3 4
2．若，则是函数的

山西省山西大学附中2024年高三数学第一学期期末学业水平测试模拟试题含解析

山西省山西大学附中2024年高三数学第一学期期末学业水平测试模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()()1xf x k xe =-，若对任意x ∈R ，都有()1f x <成立，则实数k 的取值范围是（）A ．(),1e -∞-B ．()1,e -+∞C ．(],0e -D ．(]1,1e -2．设,a b 为非零向量，则“a b a b +=+”是“a 与b 共线”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．设()()2141A B -，，，，则以线段AB 为直径的圆的方程是（）A ．22(3)2x y -+=B ．22(3)8x y -+=C ．22(3)2x y ++=D ．22(3)8x y ++=4．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若0n a >，1q >，3520a a +=，2664a a =，则5S =（） A ．48B ．36C ．42D ．315．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，直线l 经过点F 且与双曲线的一条渐近线垂直，直线l 与双曲线的左支交于不同的两点A ，B ，若2AF FB =，则该双曲线的离心率为（）．A B C D 6．已知随机变量i ξ满足()()221kkk i i i P k C p p ξ-==-，1,2i =，0,1,2k =.若21211p p <<<，则（） A ．()()12E E ξξ<，()()12D D ξξ< B ．()()12E E ξξ<，()()12D D ξξ> C ．()()12E E ξξ>，()()12D D ξξ<D ．()()12E E ξξ>，()()12D D ξξ>7．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且282,10a a =-=，则9S =（） A ．45B ．42C ．25D ．36以通过设计下面的实验来估计π的值：先请全校m 名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对(),x y ；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(),x y 的个数a ；最后再根据统计数a 估计π的值，那么可以估计π的值约为（）A ．4amB ．2a m+ C ．2a mm+ D ．42a mm+ 9．设i 是虚数单位，若复数1z i =+，则22||z z z+=（）A ．1i +B ．1i -C ．1i --D ．1i -+10．函数()sin()f x x π=-223的图象为C ，以下结论中正确的是（）①图象C 关于直线512x π=对称； ②图象C 关于点(,0)3π-对称；③由y =2sin 2x 的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C . A ．① B ．①②C ．②③D ．①②③11．已知全集，，则（）A ．B ．C ．D ．12．某中学2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.2倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2016年和2019年的高考情况，得到如图柱状图：则下列结论正确的是（）.A ．与2016年相比，2019年不上线的人数有所增加B ．与2016年相比，2019年一本达线人数减少C ．与2016年相比，2019年二本达线人数增加了0.3倍D ．2016年与2019年艺体达线人数相同二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高数期末试卷及答案

《高数》期末试卷及答案一. 填空题（请将正确答案填在题中的横线上，每小题2分，共20分）：1．设已知12(log )1,a f x x -=+则()f x ＝1log (1)(1)2a x x ->.2．0limx +→=3．若5)(cos sin lim0=--→b x ae xx ，则a =1，b =4-.4．.函数21()(1)x e f x x x -=-的可去间断点是x 0 = 0 , 补充定义f (x 0) = – 2 ,则函数f (x )在x 0处连续.5．设函数)sin 1ln()(2x x f -=，则=)4('πf – 2 .6．设五次方程54320123450a x a x a x a x a x a +++++=有五个不同的实根，则方程4320123454320a x a x a x a x a ++++=最多有 4 个实根. 7．设函数()() ()1n xf x f x x=+、则＝1(1)(1)!(1)n n n x +-+-+ . 8．已知f (x )的一个原函数为ln 2 x ，则()xf x dx '=⎰ 2ln x - ln 2 x + C .9．300()(),10,()aaf x x f x dx a f x dx =-+≠=⎰⎰设则44(1)a a +. 10．2lim ().a xt x x a te dt a x a-∞→+∞+==-⎰若,则常数52.二、单项选择题（每小题2分，共10分）：1．设函数y =的定义域是[-4，-π]∪[0，π]，则()g x =（ ① ）.① sin x ② cos x ③ tan x ④cot x2．“0()x x f x A →当时，－为无穷小量”是“0lim ()x x f x A →=”的( ③ ) .① 充分但非必要 ② 必要但非充分 ③ 充要条件 ④ 既非充分也非必要3．设()x y f e -=, 则dy = ( ④ ) .① '()x x f e de --- ② '()()x f e d x -- ③'()x x f e e dx -- ④'()x x f e de -- 4．1()()()(01).1==<<-n f x n R x xθ的阶麦克劳林展开式的拉格朗日型余项　3 ①111(1)(1)n n x n x θ+++- ② 11(1)(1)(1)n n n x n x θ++-+- ③ 121(1)n n x x θ++- ④ 12(1)(1)n n n x x θ++-- 5．在开区间),(b a 内，)(x f 和)(x g 满足)()(''x g x f =，则一定有（ ④ ）① )()(x g x f =； ② 1)()(+=x g x f ； ③ ')](['])([⎰⎰=xdx g dx x f ； ④ ⎰⎰=)()(x dg x df .三、计算下列各题（每小题7分，共49分）：1．求极限01lim sin x xx e xe x x→-+.解：2001(1)lim limsin ()x x x x x x e xe e xe x x x →→'-+-+='3分 0l i m 2x x xx e e x e x→-++= 6分 1.2= 7分2. 已知arccos ,0(),0≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩x x f x ax b x 在x = 0处可导，求常数b a ,.解：因为f (x )在x = 0处可导必连续，所以00lim ()lim ()(0)x x f x f x f -+→→== 2分 2b π=得 3分又因为f (x )在x = 0处可导，所以0()(0)limx f x f x→-存在 4分000arccos 2lim lim 1()2lim , 1(0).x x x x x ax b a a f xππ→→→-=-=-+-'=∴=-=＋＋－7分3.arctan'"yxe y x y y =确定是的函数,求与.解：arctan221'1()y xy x yey x x-=⋅⋅+ 2分arctan((')'y xx yy e y x y x yy x y+=-+∴=-化简得 4分22222(1')()()(1')2(')"()()2()'"()y x y x y y xy y y x y x y x y y y x y +--+--==--+=-又将代入上式化简得 7分4. dx t A dy t A t f y ex t f t f t f )()()(cos 0)()(2)(=⎪⎩⎪⎨⎧==≠'使试求若可微且设. 解：22()()sin ()2()'()2()sin ()()'() f t f t dy f t f t f t f t f t A t dx e f t e--==＝ 5分 2()2()sin ()f t f t f t dy dx e-∴= 7分5. 求⎰+dx xxx 2ln . 解： 22ln ln ln x x xdx x dx x x+=+⎰⎰ 2分 1ln ln x xd x -⎰＝ 4分2ln 1ln x x dx x x -+⎰＝ 6分 ln 1ln x x x x--＝＋C 7分6. 22(),(1)();(2)()x t F x e dt F x y F x -==⎰设试求：的极值曲线的拐点的横坐标22444(1)'()[]'200"()2(14),"(0)200()()(0)0.x t x x F x e dt e x x F x x e F x F x F x F ---==⋅⇒==-=>∴==⎰解：令是的极小值点,的极小值为 3分4412 (2)"()2(14)0 "()0,"()0,"()0,() x F x x e x x x F x x F x x F x y F x x -=-⇒==∞<<<<<><<+∞<∴==又令当-时, 当时, 当时,曲线拐点的横坐标为 7分7．计算2121sin 1-++⎰x xdx x . 解：22112211sin 1111--++-=++⎰⎰x xx dx dx x x 3分 1211(1)1dx x -=-+⎰ 5分 1022arctan 22x π=-=-7分四、应用题（每小题8分，共16分）：1. 某地区防空洞的截面积拟建成矩形加半园.截面的面积为5m2. 问底宽x 为多少时才能使截面的周长最小，从而使建造时所用的材料最省？解：设截面的周长为 l , 已知22xl x y π=++1分截面的面积为2()522x xy π+=,即 58xy x π=- 3分故10,()4x l x x xπ=++∈ 4分因为221020'1,"4l l x x π=+-=，令'0l =得驻点x = 6分又因为"0l >，驻点唯一，故极小值点就是最小值点. 7分所以截面积的底宽为x =从而使建造时所用的材料最省. 8分2. 求抛物线243y x x =--及其在点(0,3)-和(3,0)处的切线所围成的图形的面积 .解：03'(42)4,'2 x x x y x y ====-==- 2分所以抛物线243y x x =--在点(0,3)-和(3,0)处的切线方程分别为43,26y x y x =-=-+ 2分且这两条切线的交点为3(,3)2，则所求图形的面积为332223029(4343)(2643)4S x x x dx x x x dx =--+++-+-++=⎰⎰ 8分五、证明题（5分）：证明：当x > 1时，xxx x +>+1ln )1ln(. 证明令()ln f t t t =， 1分()f t 在区间]1,[x x +上满足拉格朗日中值定理，于是在)1,(x x +中存在至少一点ξ，使得 xx xx x x f -+-++=+=1ln )1ln()1(1ln )(ξξ即 1ln ln )1ln()1(+=-++ξx x x x 2分而x x +<<<11ξ，又因为01ln >+ξ，所以x x x x ln )1ln()1(>++，即xxx x +>+1ln )1ln(.（ x > 1） 2分或x x x x y ln )1ln()1(-++=令，则)1(01ln ln )1ln('>>+=-+=x xxx x y。

山大2011级高数上期末试题及答案

11-12高数上期末：一、填空题（共5小题，每题4分，共20分）1. 设0 < a < b , 则()1lim .nnnn ab--→∞+=2. 2232ln (1)d ()d x t t yy y x x y t t=-+⎧==⎨=+⎩设函数由参数方程所确定，则________.3. 100()()d x x x x x ϕϕ=⎰设是到离最近的整数的距离，则.4. 322A y x x x x =-++曲线与轴所围图形的面积=________.5.3s in (),()d x f x x f x x x'=⎰已知的一个原函数为则_________.一、选择题（共5小题，每题4分，共20分） 6.下列命题中正确的一个是( )(A) 若0lim ()lim ()0x x x x f x g x δ→→≥⇒∃>,当00x x δ<-<时，有()()f xg x ≥；(B) 若0δ∃>,当00x x δ<-<时有()()f xg x >且0lim(),x x f x →0lim ()x x g x →都存在,则0lim()lim ()x x x x f x g x →→>(C)若0δ∃>,当00x x δ<-<时恒有()()f xg x >，则lim ()lim ()x x x x f x g x →→≥;(D)若0lim ()lim ()0x x x x f x g x δ→→>⇒∃>,当00x x δ<-<时有()()f xg x >7.0000(2)()()lim()2h f x h f x f x x h→--=设在处可导，则0000(A )()(B )()(C )()(D )2()f x f x f x f x ''''--000(3)0()()''()0()0y f x x f x f x fx '===<8.设在点的某邻域内具有连续的三阶导数,若，且，则()''00000(A )()()(B )()()(C )()()(D )(,())()f x f x f x f x f x f x x f x y f x =是的极大值是的极大值是的极小值为曲线的拐点9. 设2s in ()es in d ,x txf x t t π+=⎰则()F x ______.(A )为正常数 (B )为负常数 (C )恒为零 (D )不为常数10. 若连续函数()f x 满足关系式20()()d ln 2,2xt f x f t =+⎰则()f x =______(A )e ln 2x2(B )eln 2x()e ln 2xC + 2(D )eln 2x+三、解答题（共6道小题，4个学分的同学选作5道小题，每题12分，共60分；5个学分的同学6道题全做，每题10分，共60分）11. 求极限201(1)lim s inx x x→10(2)l i m,,,0.3xxx xx ab c a b c →⎛⎫++> ⎪⎝⎭其中(),012.(),()0(0)0,,0(0)(0)0,(),()0g x x f x g x x g x x g g f x f x x ⎧≠⎪''==⎨⎪=⎩'''===设函数其中可导,且在处二阶导数存在，且试求并讨论在处的连续性.[]110()0,1(0,1)(1)=e()d xk f x f k x f x x-⎰13.已知函数在上连续,在内可导,且满足(1).k >其中 1(0,1),()(1)().f f ξξξξ-'∈=-证明：至少存在一点使得14.()()d xf tg x t t -⎰求(0),x ≥0x ≥其中当时，(),f x x =s in ,02.0,2x x x x ππ⎧≤<⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩而g ()=15. 求微分方程243(1)22x y x y x y '++=满足初始条件 01|2x y ==的特解2s in s in s in 16.(1)lim 1112n n nn n n n πππ→∞⎛⎫⎪+++ ⎪+ ⎪++⎝⎭.计算 (2).()[0,1]1()2,f x f x ≤≤设函数在连续,且证明：1119()d d .()8f x x x f x ≤⎰⎰一．填空题1.1a2.(65)(1)t t t++ 3. 25 4.37125. 22ln ln x x C -+二．选择题6. D7. A8. D9. A 10. B 三．解答题 11. 21(1)lim s inx x x→2211s in1,lim 0lim s in0x x xx xx→→≤=∴=有界10(2)l i m,,,0.3xxx xx ab c a b c →⎛⎫++> ⎪⎝⎭其中()()0013131(1)(1)(1)1ln 1lim 1limln ln ln 33333lim eeeex x xx x x x x xx x a b c a b c a b c a b c x x xx a b c →→⎛⎫⎛⎫++-++--+-+-⋅+ ⎪ ⎪++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭→=====原极限2222()(0)()()1()(0)1(0)limlimlimlim(0)222()(),0()1(0),02()()()(0)(lim ()limlimlim(0)l x x x x x x x x f x f g x g x g x g f g xxxxx g x g x x xf xg x x g x g x g x g g x f x xxxg →→→→→→→→'''--'''====='-⎧≠⎪⎪'=⎨⎪''=⎪⎩'''--'==-''=-12.解：）0()1im(0)(0)22()0x g x g f xf x x →''''=='∴=在处连续1-11-1111113.[0,],(1)e().11, 1.(0,1).()e (),()[0,](0,)(1)=(1)e ()().(0,)()e()e()e()0,e0,xf f kk kF x x f x F x F f f F F f f f f ηηξξξξηηηηηηηηηηξξξξξξξ-----∃∈=><∈===''=-+=>由积分中值定理，使得得则令由题意知在上连续，内可导且由罗尔中值定理，在内存在一点，使得得-1()()()0()(1-)().(0,1).f f f f ξξξξξξξξξ''-+=⇒=∈其中20014.,d d .()()d ()()d ()()d ;()()d =()s in d s in ;2()()d ()s in d 0 1.2s in 2()()d =12xxxx x xxu x t u t f t g x t t f x u g u u f x u g u u x f x u g u u x u u u x x x f x u g u u x u u u x x x x f t g x t t x x πππππ=-=--=--=-≤<--=-≥-=-+=--≤<--≥⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰令则于是当0时，当时,，0所以，⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩4322342222222d 2215.,d 3(1)3(1)d d ,3d d 1d 22d 22-,--(1)3d 3(1)3(1)d 11d 2-0,(1)z (1)(d 1y x x yyxx x z y z y yxxz xx zxx z z xx x x xxzxz z C x x u x x ----+=++==-+==++++==+=++讲方程改写为：这是贝努里方程.令则，代入上述方程得：即，这是一阶线性非齐次方程，它对应的齐次方程为它的通解为，令22222222203321)d d (1)2(),(1)d d d 22d 2(1)2()(1)()-,-,d 11d 11,(1)1(1),1111(1).|81,7.2(78).x x z u x x u x xxu x x u x x x u x x u x xxxxxu C z C x xC x y C C yy x =--=++++-+==+++=+=+++=++==+==+则将其代入得即积分得即的通解为从而原方程的通解为由初始条件，有故所求的特解为11112s ins ins in 12116.(1)(s ins ins in )s in111212lims ins in ()d .2s ins ins in 121(s ins ins in )s in111112limni nn i ni n i n nn nnnnnn n ni x x nnn i n nn n nnn nnn n nnn πππππππππππππππππ=→∞==→∞+++<+++=+++==+++>+++=++++++∑∑⎰∑而另一方面且1112s in=s in ()d .12.ni i x x nnππππ===∑⎰所以由夹逼准则知原式111011100(2)1()2(()1)(()2)0,(()1)(()2)10()d 2d 3()()1d 3()19()d d .()8f x f x f x f x f x f x x x f x f x xx f x f x xx f x ≤≤∴--≤--≤+≤≤≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰得，即，得到从而整理得：。

高等数学期末考试试题与答案(大一考试)

（ 2010 至 2011 学年第一学期）课程名称：高等数学 ( 上 )(A 卷)考试 (考查 )：考试2008年 1 月 10 日共 6页题二三四五六七八九十十一评阅 (统分 )一总分师号教得线分注意事项：1、满分 100 分。

要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。

名2、考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否姓则视为废卷。

3、考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。

题4、如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷分别一同交回，否则不给分。

答号试题学要得分评阅教师封不班一、单选题（请将正确的答案填在对应括号内，每题3 分，共 15 分）内级线1.lim sin( x 21)()x 1x 1封1； (B)0； (C)2；1(A)(D)2业密F ( x) ，则 exf (e x)dx 为 ()专2.若 f ( x) 的一个原函数为(A) F (e x) c ；(B)F (e x) c ；密F (e x)(C)F (e x) c ；(D ) cx3.下列广义积分中 () 是收敛的 .(A)sin xdx ；(B)1 1(C)xdx ；0 x dx。

系dx ；(D) e1x1 x 24. f (x) 为定义在 a, b 上的函数，则下列结论错误的是 ()(A) f (x) 可导，则 f ( x) 一定连续；(B)f (x) 可微，则 f ( x) 不一定可导；(C) f ( x) 可积（常义），则 f (x) 一定有界；(D) 函数f ( x)连续，则xf (t )dt 在 a, b 上一定可导。

a5. 设函数f ( x)1x() lim2n ，则下列结论正确的为n1x(A) 不存在间断点；(B)存在间断点 x1；(C) 存在间断点x0 ；(D)存在间断点 x1得分评阅教师二、填空题（请将正确的结果填在横线上.每题 3 分，共 18 分）1.极限 lim x 2 1 1_____.xx 02.x1t22 处的切线方程为______.曲线t3在 ty3.已知方程 y 5 y 6y xe2 x的一个特解为 1 ( x22x)e2x，则该方程的通解2为.4. 设f ( x)在x 2 处连续，且 lim f ( x) 2 ，则 f (2)_____x 2x2F （牛顿）与伸长量s 成正比，即F ks （ k 5．由实验知道，弹簧在拉伸过程中需要的力为比例系数），当把弹簧由原长拉伸6cm 时，所作的功为_________ 焦耳。

高等数学(上学期)期末考试试卷及答案

考试试卷答案课程名称：高等数学（A ）课程所在学院：理学院一、填空题（每空2分，共20分）1. 设221)1(x x x x f +=+，则)(x f = 2()2f x x =- ．2. 1lim sin x x x→∞= 0 ． 3. 已知函数1(1),0(),0x x x f x a x ⎧⎪-≠=⎨⎪=⎩在0=x 处连续，则=a 1/e ．4. 当0x →时，232x x +-与x 是同阶（填同阶或等价）无穷小.5. 函数()x f x xe =的带皮亚诺余项的n 阶麦克劳林公式为342()2!3!(1)!n n x x x x x x n ο++++++-. 6. d 212x e C +2.x e dx =7. 曲线42y ax x =-拐点的横坐标为1x =，则常数a =16． 8. 35425cos 32x xdx x x -=++⎰ 0 . 9. 若22()x f x dx x e C =+⎰，则()f x =222()x e x x +. 10. 方程2dyxy dx= 的通解是 2x yCe =.二、解答题（每题5分，共60分）1.求极限 0x → 00sin cos 1cos sin lim lim 21212x x x x x x x →→-++===解：原式2. 已知21lim ()01x x ax b x →∞⎡⎤+-+=⎢⎥+⎣⎦，求常数,a b ．解: 221(1)()1()11x a x a b x bax b x x +--++--+=++ 由21lim ()01x x ax b x →∞⎡⎤+-+=⎢⎥+⎣⎦可得 10,0a a b -=+=,故1,1a b ==- 3. 设1ln 2arctan 1xy x x +=+-，求xy d d 及22d y dx . 解：241124[ln(1)ln(1)2arctan ]1111dy x x x dx x x x x'=+--+=++=+-+- 22d y dx =()()334224444(4)16111x x x x x'⋅-⎛⎫=-= ⎪-⎝⎭-- 4. 设063sin 33=+-+y x y x ，求.0=x dxdy解：把方程两边分别对x 求导，得,063cos 33322=+-+dxdy x dx dy y x （*）故 .23cos 22+-=y x x dx dy 由原方程可得，0=x 时，0=y ，将0,0==y x 代入上式，即得 .210==x dxdy 5. 求极限1ln 0lim(cot )xx x +→解 1ln 011limln(cot )ln(cot )ln ln 0lim(cot )lim xx x x x xx x x e e+→++→→==201(csc )cot lim 11x x xxee +→--==．6. 设220()()x F x tf x t dt =-⎰，其中()f x 在0x =的某邻域内可导，且(0)0,(0)1f f '==，求4()limx F x x →. 解：2220222044300011()(()2)()22lim lim lim 4xu x t x x x x f u du f x x tf x t dt x x x=-→→→---⋅-===⎰⎰原式 2201()11lim (0)444x f x f x →'===7. 求不定积分dx ⎰ 解：332221==2x x C +原式8. 求不定积分解：655332666==6ln(1)1)()1x t dx t t dt dt t C C t t t t ====++=+++⎰⎰原式 9. 求定积分1arctan x xdx ⎰解：22211110000arctan arctan arctan arctan 222x x x x xdx xd x d x ==-⎰⎰⎰ 2110201111(arctan )24218242x dx x x x πππ=-=--=-+⎰ 10. 求反常积分2032dx x x +∞++⎰解：20001132(1)(2)12dx dx dx x x x x x x +∞+∞+∞==-++++++⎰⎰⎰ 01ln(1)ln(2)lnln 22x x x x +∞+∞+=+-+==+11. 求曲线()y f x =，使其切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标.解：切线方程为()()Y y f x X x '-=-；当0X =，()()Y xf x f x '=-+由题意可得：()()x xf x f x '=-+；即11y y x'-=- 通解是 (ln )(ln )y x x C or y x x C =-+=+.12. 求初值问题()(0)1,(0)1x f e f x f f ''⎧=-⎨'==⎩.解：由题意，特征方程为210r +=，特征根为12,r i r i ==-，故对应齐次方程通解为12cos sin y C x C x =+；1λ=不是特征方程的根，故可设原方程有特解()x f x Ae *=，解得()12x f x e *=，故原方程的通解为()121cos sin 2x f x C x C x e =++；由(0)1,(0)1f f '==得本题解为()111cos sin 222x f x x x e =++.三、设)(x f 在区间[,]a b 上连续，且()0f x >，()(),[,]()x xabdtF x f t dt x a b f t =+∈⎰⎰. 证明：（1）()2F x '≥; （2）方程()0F x =在区间(,)a b 内有且仅有一个根.（5分）. 证明：（1）1()()2()F x f x f x '=+≥；（2）()()()()a ab aba dtdt F a f t dt f t f t =+=-⎰⎰⎰；()()()()b b b a b a dt F b f t dt f t dt f t =+=⎰⎰⎰ 又()0f x >，所以()()0F a F b <，从而方程()0F x =在区间(,)a b 内有一个根. 又()20F x '≥>，是单调递增的，从而方程()0F x =在区间(,)a b 内仅有一个根. 四、设()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(1)0f =，证明在(0,1)内存在一点ξ，使 ()()f f ξξξ'=-．（5分）证明：令()()F x xf x =，则()F x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且因(1)0f =，则(0)0(1)F F == 即()F x 在[0,1]上满足罗尔定理的条件，则至少存在(0,1)ξ∈使()0F ξ'= 又()()()F x f x xf x ''=+，即()()0f f ξξξ'+=，即 ()()f f ξξξ'=-．五、设抛物线2y ax bx c =++通过点(0,0)，且当[0,1]x ∈时，0y ≥.试确定,,a b c 的值，使得该抛物线与直线1,0x y ==所围图形的面积为4/9，且使该图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积最小. (10分)解：由于设抛物线2y ax bx c =++通过点(0,0)，故0c =.且11222004;()9ax bxdx V ax bx dx π+==+⎰⎰；即有2241;()329523a b a b V ab π+==++；于是221444[2()()]5293393a a a V a π=+-+-且令1()053a V π'=+=.得唯一驻点53a =-，进而2b =. 所以，5,2,03a b c =-==.。

山西大学往届高等数学期末试题及答案

山西大学往届高等数学期末试题及答案2013—2014学年第一学期期末试题一、填空题（每题3分，共24分） 1、20lim(1ln(1))______xx x →++=2、函数sin ln ()1x xf x x =-的可去间断点是________3、2cos(1)()(1)e (1)e ,xx f x x x -=-+- 则(1)_______f '=4、设,0(x)sin ,0ax e x f b x x ?<=?+≥?在0x = 处可导，则____,______a b ==5、设()f x 连续，arctan 0()xf t dt x =?，则(0)_____f =6、设222x y += ，232(1()),()a y b y '''=+= ，则2____a b -= 7、232(sin ________x -+=?8、设320y y y '''-+=的通解为________ 二、简答题（每题8分，共48分）1、设()y f x = 是由2cos()1x ye xy e +-=-所确定，求()yf x =在(0,1)的切线方程；2、讨论323x y x=- 的渐近线； 3、若曲线()y f x =由参数方程sin ,cos t tx e t y e t ==所确定，求该曲线对应于02t π<<的弧长； 4、若0sin (),xtf x dt tπ=-?求0()d f x x π?5、3221(1)dx x +∞+?；6、已知()F x 是()f x 的一个原函数，且2()()1xF x f x x =+ 求()f x ；三、证明题与综合题（每题7分，共28分）1、已知某曲线过点(1,1)，它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标，求曲线方程2、若方程2ln (1)x x k x =-恰有两个不同的根，讨论k 得取值范围； 3、曲线21(0)2y x x =≥ 上一点M 处作切线，曲线及x 轴围成的面积为131）切点M 坐标；2）过点M 的切线方程3）上述平面绕2x = 旋转一周得到的旋转体的体积； 4、证明当1x <时，(1)1xe x -≤ 附加题：（20分）1．求2100031n n-=∑的整数部分；2．设()f x 在(,)-∞+∞上二阶可导，且()0f x ''>，且0x ?使得0()0f x <，又lim ()0x f x α→-∞'=<，lim ()0x f x β→+∞'=>，证明：()f x 有且仅有两个零点。

《高等数学一》期末复习题及答案-26011462418282891

1 arctan x
C (D)
1 ln( x 2
1)
C
2
2
10、由曲线 y ex (0 x 1) 和直线 y 0 所围的面积是（ A
）
（ A） e 1 (B)
1 (C)
2 (D)
e
dy
11、微分方程
xy 的通解为
dx
（B
）
（ A） y Ce2 x （ B） y
1x2
Ce 2
（C） y
eCx
（ D） y
19、函数 y ln x x 2 1 是（ A
）
（ A）奇函数（B）偶函数
（C）非奇非偶函数（ D）既是奇函数又是偶函数
20、设函数 f x 在区间 0 ,1 上连续，在开区间 0,1 内可导，且 f x 0 ，则 ( B )
(A) f 0 0
(B) f 1 f 0 (C)
f 1 0 (D) f 1 f 0
y x2
所求阴影部分的面积为： S
1
(x
x 2 )dx = x 2
0
2
x3 1 1
=
3 06
5、（本题满分 10 分）讨论函数 f ( x )
x2 x1 在 x 1 处的连续性。
3x x 1
解： Q lim f ( x) lim x 2 3 f (1)
x1
x1
lim f ( x ) lim 3x 3 f (1)
所求的特解为 1 1 e2x或者 y y2
2e 2 x
18、微分方程 ln y x 的通解是
y ex C
2 3x 19、 lim (1 ) ＝
e6
x
x
20、设函数 y xx , 则 y

大一第二学期高数期末考试题(含答案)

大一第二学期高数期末考试之杨若古兰创作一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)1. )(0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不成导.2.　）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无量小，但不是等价无量小；（B ）()()x x αβ与是等价无量小；（C ）()x α是比()x β高阶的无量小；（D ）()x β是比()x α高阶的无量小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值；（B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点；（D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点.（A ）22x （B ）222x +（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）4. =+→xx x sin 2)31(l i m .5. ,)(cos 的一个原函数是已知x f x x =⋅⎰x x xx f d cos )(则 .6.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .7.=-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）8. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 和'(0)y .9.设函数)(x f 连续，=⎰1()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.10. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解. 四、解答题（本大题10分）11. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题（本大题10分）12. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1)求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 扭转一周所得扭转体的体积V .六、证实题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）13. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证实对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.14. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且)(0=⎰πx d x f ，cos )(0=⎰πdx x x f .证实：在()π,0内至多存在两个分歧的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)1、D2、A3、C4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5.6e . 6.c x x +2)cos (21　.7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 11.解：133()xf x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰12.解：由(0)0f =，知(0)0g =.2()()lim ()lim22xx x xf x f u duA A g x A x→→-'==-=⎰，'()g x 在=0x 处连续.13. 解：2ln dy y xdx x +=1(1),09y C =-=，11ln 39y x x x =- 四、解答题（本大题10分）14.解：由已知且02d xy y x y'=+⎰，将此方程关于x 求导得y y y '+=''2特征方程：022=--r r 解出特征根：.2,121=-=r r其通解为x x e C e C y 221+=-代入初始条件y y ()()001='=，得 31,3221==C C故所求曲线方程为：x x e e y 23132+=-五、解答题（本大题10分）15.解：（1）根据题意，先设切点为)ln ,(00x x ，切线方程：)(1ln 000x x x x y -=-因为切线过原点，解出e x =0，从而切线方程为：x e y 1=则平面图形面积⎰-=-=10121)(e dy ey e A y（2）三角形绕直线x = e 一周所得圆锥体体积记为V 1，则2131e V π=曲线x y ln =与x 轴及直线x = e 所围成的图形绕直线x = e 一周所得扭转体体积为V 2D 绕直线x = e 扭转一周所得扭转体的体积)3125(6221+-=-=e e V V V π六、证实题（本大题有2小题，每小题4分，共12分）16.证实：1()()qf x d x q f x dx -⎰⎰1()(()())qqqf x d x q f x d x f x dx =-+⎰⎰⎰故有：1()()≥⎰⎰q f x d x q f x dx证毕.证：构造辅助函数：π≤≤=⎰x dt t f x F x0,)()(0.其满足在],0[π上连续，在),0(π上可导.)()(x f x F ='，且0)()0(==πF F由题设，有⎰⎰⎰⋅+===ππππ)(sin cos )()(cos cos )(0|dxx F x x x F x xdF xdx x f ，有⎰=πsin )(xdx x F ，由积分中值定理，存在),0(πξ∈，使0sin )(=ξξF 即0)(=ξF综上可知),0(,0)()()0(πξπξ∈===F F F .在区间],[,],0[πξξ上分别利用罗尔定理，知存在 ),0(1ξξ∈和),(2πξξ∈，使0)(1='ξF 及0)(2='ξF ，即0)()(21==ξξf f .。