山西大学历年高等数学期末试题答案

5．设 满足 ， ，求曲线 与 轴在 内所围成平面图形绕 轴旋转一周所得的旋转体体积？
四、综合题（每题10分，共20分）
1．已知 是以 为周期的连续函数，且 ，且 ，
求2．设 可微， 为 的反函数，且满足
,求
五、附加题（共10分）
1．若 在 具有连续的二阶导数，且 ， ，
证明： 使得
2010-2011第一学期期末考试答案
2、解：由 得：
令
知 在 可导且能取到极值，根据费马定理得：
即 使得，
2013—2014学年第一学期期末试题答案
一、填空题：
1、 ，2、0和13、 ，4、 ，5、 ；6、0,7、 ，8、
二、简答题
1、对方程 两边求微分
将 代入上式得切线方程
2、解： 所以没有水平渐近线
， 所以 为铅直渐近线；
所以 为函数的斜渐近线；
所以 ， ...................................7分
得： ............................8分
4、解：
…………………………………..3分
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
…………………………………8分
5、解1：
………………………..4分
3.解：
4、解：
5、解：
6、 解微分方程得： ，故 ；
三、证明题与综合题
1、根据题意得方程： ，
求方程得：
2、解：讨论 的根等价于讨论 的交点；
定义域
，
的图形如下：
有两个交点，即有两个实根；
3、1）面积为 ，得 ，代入函数得 ，切点为
2）切线方程为 ；
3）
4、设辅助函数 ，证明当 既可
得驻点 ；
将驻点代入知 ， 为函数 的极大值点即最大值点
=
得
…………………8分
解2:
= ………………………4分
……………………..6分
……………….7分
6、解：原方程化为
因此此方程为齐次微分方程，令 则有
……………………………………………3分
原方程可化简为,
…………………………………5分
分离变量，得
两边积分，得 …………………………………..7分
得原方程通解 ………………………….7分
一、填空题
1、 2、1 3、 或 4、发散
5、 6、
二、选择题
C 2、B 3、D 4、B 5、D
三、计算题
1、解：因为 是凹函数， ，则 ………………..2分
与 在 处相切，则 ，
所以 ，……………………………………………………...3分
……………………………………….2分
2、解：设 ，............................................……………2分
………………………………………………………………….2分
当 时， ，所以当 时， 证毕……………….3分
3、 ，答案不唯一………………………….………7分
4、 …………………………….……………….7分
5、
…………………………………………………………………..……..3分
……………………………………………………..4分
故 得证；
附加题
1、 ；
由 函数的几何图形知当
由此可得
将上式相加可得：
；所以整数部分是3；
2、设 在 上二阶可导，且 ，且 使得 ，又
， ，证明： 有且仅有两个零点。
证明： ， ，
单增， 有且只有一个驻点 ，此驻点为最小值点 ，
且 ，
在 单减，在 上单增；
因为 ，所以 ，使得
同理 ，使得
故 上 有一个零点， 有一个零点
在 处展开得：
,…………………………………………………..2分
………………………………………………………..2分
在 连续， ，
使得 .…………………………………………….………..2分
2012-2013学年第一学期期末考试试题答案
一、填空题：（每个小题5分，共30分）
1、0和12、 3、 4、1 5、
2013—2014学年第一学期期末试题
一、填空题（每题3分，共24分）
1、
2、函数 的可去间断点是
3、 则
4、设 在 处可导，则
5、设 连续， ，则
6、设 ， ，则
7、
8、设 的通解为
二、简答题（每题8分，共48分）
1、设 是由 所确定，求 在 的切线方程；
2、讨论 的渐近线；
3、若曲线 由参数方程 所确定，求该曲线对应于 的弧长；
4、若 求
5、 ；
6、已知 是 的一个原函数，且 求 ；
三、证明题与综合题（每题7分，共28分）
1、已知某曲线过点 ，它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标，求曲线方程
2、若方程 恰有两个不同的根，讨论 得取值范围；
3、曲线 上一点 处作切线，曲线及 轴围成的面积为
1）切点 坐标；
2）过点 的切线方程
1．设 ，其中 在 上二阶可导, , ,
（1）问 是否为 的极值点， 点是否为 的拐点？说明你的理由；
（2）证明： 使得，
2．设 在 上可导，且 ,证明： 使得，
2010-2011学年第一学期期末试题
一、填空题（每题5分，共30分）
1． （）
2．若 ，则 （）
3． （）
4． （）
5．方程 的通解是（）
1．求极限 （8分）
2．设 由方程 所确定，求 （8分）
3．设 可导，且 ，求 （8分）
4.计算： （8分）
5.计算： ( )（7分）
6．计算：微分方程 的通解（7分）
7．若方程 恰有两个不同的根，求 的取值范围？(7分)
8．求曲线 绕 轴旋转所得旋转体的体积和侧面积(7分)
四、附加题：（共20分）
7、解：讨论 的根等价于讨论 的交点；
定义域
，
的图形如下：
有两个交点，即有两个实根；
8、解：
……………………..3分
…………………..7分
四、附加题（共20分）
1、解：（1）因 由罗尔定理知: ,所以 是 的极值点， 点不是为 的拐点.
（2）证明：
根据罗尔定理知, ,使得
对 再用罗尔定理得: 使得，
6．设 由 确定，则 的极大值点为（）
二、选择题（每题3分，共15分）
1．下列函数在其定义域内无界的是（）
2．设 且 ，若 ，则（）
； ； ； 不能确定
3．曲线 渐近线的条数为（）
4．设 ， ，则 存在是 存在的（）
必要条件 充分条件 充要条件 既非充分也非必要条件
5．设 ， ，则（）
是 的一个原函数； 在 上不连续；
四、综合题
1、解： =
，………………..……..4分
求导得 ………………………………….…..4分
………2分
2、解：两边求导得：
………………………………………………………………..4分
………………………………………..…..3分
-2 ………………..………..3分
五、附加题：
证明：
知 ………………………….………..4分
5．设 的通解为
二、选择题：（每个小题3分，共15分）
1．曲线 的渐近线条数为 条
1 2 3 4
2．下列函数在区间其定义域内无界的是
3．设对任意的 ，总有 ，且 ，
则
存在且一定等于零 存在当不一定等于零
一定不存在 不一定存在
4．设函数 在 上连续，且 ，则必 使得，
等于
5．设 ， ， ，则
三、解答题：（共60分）
得Βιβλιοθήκη Baidu；
在 上可导，但不是 的原函数；.
在 上连续，但不是 的原函数；.
三、计算题（每题7分，共35分）
1．设凹函数 具有连续的二阶导数，在 处 的曲率半径为 ，且与 相切，求
2．若 成立，求 的取值范围
3．已知 ， ， 为某二阶非齐次微分方程的三个解，求该微分方程的通解
4．从 深的井中，把 的水匀速上提，若每升高 ，漏掉 的水，计算把水从井底提高到井口外力所做的功？
3）上述平面绕 旋转一周得到的旋转体的体积；
4、证明当 时，
附加题：（20分）
1．求 的整数部分；
2．设 在 上二阶可导，且 ，且 使得 ，又
， ，证明： 有且仅有两个零点。
2012—2013学年第一学期期末试题
一、填空题：（每个小题5分，共25分）
1．函数 的可去间断点是
2．设 ，则
3．设
4．设 连续， ，则
二、选择题：（每个小题3分，共15分）
1、D 2、A 3、D 4、B 5、B
三、解答题：（共55分）
1、解：
………………………..4分
…………………………….8分
2、解：方程两边同时对 求导得，
…………………………….5分
………………………….8分
3、设 可导，且 ，求 （8分）
解： ....................................4分