完整版因式分解拓展题及解答必考题型

5 4 3 2
2x 3x 4x 3x 2x1
原式(x
1)(x5x4
2x32x
2&x
1)
容易验证
1也是x5
43
x 2x
2x2
x1
的根，
54
xx
32
2x 2x
x 1 (x
1)(x4
2x2
1) (x
1)(x21)2，
所以x6
54
2x 3x
32
4x 3x
2x
1 (x
22
1)2(x2
1)2
巩固】 分解因式
32
2x x 5x2
2x2
3x
2
【巩固】a0
2的因数是1,2,an
2的因数是1,
2.
x12x3
x2
5x
2
因此，
原式的有理根只可能是
1,2(分母为
1), -•
2x3
2x2
2
3x2
5x
因为f(1)2 1
526,f(1)2
15 20,
c2
3x
3x
2x
2
2
2x
2
aix a°的值为0,那么x a是该多项
式的一个因式
4
(y 1)272
2
2(y 6y 1) 272
2
2(y4
6y2135)
2(y29)( y2
15)
2( y
3)( y 3)( y2
15)
2(x
5)(x 1)(x2
4x 19)
【巩固】分解因式：a444(a4)4
有理根：有理根
c-的分子p是常数项q
a。的因数，分母
q是首项系数
an的因数•
例7分解因式：
32
x 2)( x
3)]
1
(x2
5x
2
4)( x 5x 6)1
2「46
u x 5x
2
2
原式[(x 5x 5)
1][(x
25x 5)
1] 1
(x2
5x
5)2
1 1
2 2
(x 5x 5)
【巩固】
若x,y是整数，求证：
x y x
2y x
3y
x
4y
y是
一个完全平方数.
【解析】
x y x 2y x
3y x
4
4y y
5)(x 7)15
【解析】
(x 2)(x
6)( x2
8x
10)
【巩固】
分解因式:
(x2
x
1)(x2
x 2)12
【解析】
(x 1)(x
2)(x2
x
5)
例3证明：四个连续整数的乘积加1是整数的平方.
【解析】
设这四个连续整数为
x
1、x 2
、x 3
、x
4
(x 1)(x
2)(x 3)(x4) 1
[(x
1)(x 4)][(
方法3
:将
2x
5x 3看作一个整体，过程略•如果学生的能力到一定的程度，甚至
2
连换元都不用，直接把X5x看作一个整体，将原式展开，分组分解即可,
则原式
2 2
(x 5x)
5(x2
5x)
6
2 2 2
(x 5x 1)(x 5x 6) (x 2)( x 3) (x 5x 1)
【巩固】
分解因式:
(x
1)(x
3)(x
2x 3) 4x2x
4,
故可设3x2x
1 A,x2
2x
3
2
B，贝U 4x x
4 A
B .
故原式=4AB
(A B)2
A2
：B2
2AB(A
B)2
2
2
2
2
2
(3x
x 1)
(x
2x
3)
(2x 3x 2).
【巩固】
分解因式：(a
b 2ab)(a b
2)
(1
ab)2
【解析】由于题中以整体形式出现的式子有两个，共4个地方，故采取换元法后会大大简
于是1是f(x)的一个根，从而x1是f(x)的因式，这里我们可以利用竖式除法，此时一般
将被除式按未知数的降幂排列，没有的补0：
2
可得原式(2x23x 2)(x1)(x 2)(2x 1)(x1)
点评：观察， 如果多项式f(x)的奇数次项与偶数次项的系数和互为相反数， 则说明f(1)0；
f( 1) 0.
3)(2 a 7)] 91(2 a2
a 15)(2 a2a 21) 91
设2a2a15
x，
原式x( x6)
2
91 x 6x 91
(x
2
13)( x 7)(2 a a
2
28)(2a a 8)
(a
4)(2 a 7)(2 a2a
8)
【巩固】
分解因式(x23x2)(3
8x
4x2)
90
【解析】
原式(x 1)(x y 2x25x
【解析】则原式:
=(x 2y)(x2)(1
y)2
2
x 2xy
2
y 2y 2x
1(x
2
y) 2(x y) 1
(x y
1)2(a
2 2
b ab 1)(1 a) (1
例6分解因式：
(x 1)4(x 3)4
272
化计算过程，不妨设a b x,ab y，
b)
2
【解析】设y
x 1 x 3
x 2，则原式
=(y
1)4
3y)(x ca)x
4y) abc
解析】
常数项abc的因数为
a，
b，
c，
ab，
bc，
ca，
abc
a3(a
巩固】
把x a代入原式，得
b c)a2(ab bc ca)a abc a3所以a是原式的根，x3(a b
(x3ax2)
(x a)[x2
分解因式：
ba2
并且
解析】
因式分解拓展题解
板块一：换元法
例1分解因式：
(x2
4x
8)23x(x24x 8) 2x2
#宀 .入宀*m -prrxrim【•宀弓往/曰
【解析】将X
4x
8
u看成 个子母，可利用十子相乘得
原式
2u
3xu
2 2 2
2x (u x)(u 2x) (x 4x 8 x)(x 4x 82x)
(x2
5x
8)(x26x 8) (x 2)(x4)(x25x 8)
：x 9x
2
y 26xy2
24y3
1，
是根，所以原式有因式x
1.1当然不可能为根(因为多项式的系数全是正的)，经检验1
如果多项式的奇数次项与偶数次项的系数和相等，则说明 【巩固】 分解因式：x6解析：本题有理根只可能为
解析：x39x2y 26xy224y3(x 2y)(x
例8分解因式：x3(a b c)x2(ab bc
例2分解因式：
(x2
5x
2)( x25x 3) 12
【解析】方法1
:将
2x
5x看作一个整体，设x25x t，则
原式=|
(t 2)(t3) 12 t25t 6 (t 1)(t 6) (x 2)( x 3)( x25x
方法2
:将
2x
2
5x 2看作一个整体，设x 5x 2 t，则
原式=1
t(t 1) 12 t2t 12 (t 3)(t4) (x 2)(x 3)(x25x 1)
x
y x
4y
x
2y
4
x 3yy
(x2
5xy
4y2)(x2
5xy
6y2)
4
y
令x2
5xy
4y2
u
• ••上式u(u
2y2)
4
yHale Waihona Puke (uy2)2(x2
5xy
即x
y x
2y
x
3y
x 4y
4
y
2
(x
2 2
5xy 5y)
2 2
5y)
例4分解因式
(2 a 5)( a29)(2 a
7)
91
【解析】原式
[(2 a 5)(a 3)][( a
2)(2x
1)(2x
3)
90
(2 x25x
3)(2x2
5x 2)90
原式
(y 3)( y 2)
90y2
5y
84
(y
12)( y 7)
(2x2
5x 12)(2 x 7)( x
1)
例5分解因式：4(3x2
x 1)(x2
2x
2
3) (4x
x 4)2
【解析】
咋一看，很不好下手，仔细观察发现:
(3x2x
1) (x2