解析几何 椭圆、双曲线、抛物线

第2讲
椭圆、双曲线、抛物线 明确考向
感悟高考
x2 (2010· 江苏)在平面直角坐标系 xOy 中， 已知双曲线 4 － y2 ＝1 上一点 M 的横坐标为 3，则点 M 到此双曲线的 12 4 右焦点的距离为________．
解析 设右焦点为 F(4,0)． 把 x＝3 代入双曲线方程得 y＝± 15， 即 M(3，± 15)． 由两点间距离公式得 MF＝ (3－4)2＋(± 15－0)2＝4.
QA QB =4,求 y0 的值.
c 3 解 (1)由 e＝ ＝ ，得 3a2＝4c2.再由 c2＝a2－b2， a 2 得 a＝2b. 1 由题意可知 ×2a×2b＝4，即 ab＝2. 2
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a＝2b， a＝2， 解方程组ab＝2， 得 b＝1. a＞b＞0. x2 2 所以椭圆的方程为 ＋y ＝1. 4 (2)由(1)可知 A(－2,0)，且直线 l 的斜率必存在．设 B 点的 坐标为(x1，y1)，直线 l 的斜率为 k，则直线 l 的方程为 y ＝k(x＋2)． y＝k(x＋2)， 2 于是 A，B 两点的坐标满足方程组x ＋y2＝1. 4 由方程组消去 y 并整理，得 (1＋4k2)x2＋16k2x＋(16k2－4)＝0.
6k 令 x＝0，解得 y0＝－ . 1＋4k2 由QA (2, y0 ),QB ( x1 , y1 y0 ),
QA QB 2 x1 y0 ( y1 y0 )
－2(2－8k2) 6k 4k 6k ＝ ＋ ( ＋ ) 1＋4k2 1＋4k2 1＋4k2 1＋4k2 4(16k4＋15k2－1) ＝ ＝4， 2 2 (1＋4k ) 14 2 14 整理得 7k2＝2，故 k＝± .所以 y0＝± . 7 5 2 14 综上，y0＝± 2或 y0＝± 2 . 5
(2)∵F2 在曲线 C 内部， ∴过 F2 的直线与曲线 C 恒有两 个公共点． ①当 l 与 x 轴重合时，点 P 或点 Q 有一个与点 A 重合，
AP AQ 0. 3 3 3 P( ②当 l 轴时，1, ), Q(1, ), AP (3, ), ⊥x
2 3 9 27 AQ (3, ), AP AQ 9 . 2 4 4 2 2
3 x2 y2 ②当 λ≠ 时，方程变形为 ＋ ＝1， 4 112 112 2 16λ2 16λ －9 其中 x∈[－4,4]． 3 当 0<λ< 时， M 的轨迹为中心在原点、 点 实轴在 y 轴上 4 的双曲线满足－4≤x≤4 的部分； 3 当 <λ<1 时， M 的轨迹为中心在原点、 点 长轴在 x 轴上 4 的椭圆满足－4≤x≤4 的部分； 当 λ≥1 时，点 M 的轨迹为中心在原点，长轴在 x 轴上 的椭圆．
思维启迪
(1)从 OM∥AB 入手，寻找 a，b，c
的关系式，进而求出离心率． (2)在焦点三角形 F1CF2 中，用余弦定理求出 cos∠ F1CF2，再结合基本不等式． (3)设 P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则 SF2 PQ －y2|，用设而不求的思路求解． 1 ＝ |F1F2|· 1 |y 2
题型三
求曲线的方程问题
例 3 已知椭圆 C 的中心为平面直角坐标系 xOy 的原 点，焦点在 x 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离 分别是 7 和 1. (1)求椭圆 C 的方程； (2)若 P 为椭圆 C 上的动点，M 为过 P 且垂直于 x 轴 |OP| 的直线上的一点， ＝λ，求点 M 的轨迹方程，并 |OM| 说明轨迹是什么曲线． 思维启迪 (1)椭圆方程中的基本参数 a、c 的关系 a＋c
解析 由椭圆和双曲线的方程可知，F1，F2 为它们的公 |PF1|＋|PF2|＝4 共焦点，不妨设|PF1|>|PF2|，则 ， |PF1|－|PF2|＝2
|PF1|＝3 所以 |PF2|＝1
，
1 又|F1F2|＝2 3，由余弦定理可知 cos∠F1PF2＝－ . 3
探究提高 圆锥曲线的定义反映了它们的基本特征， 理 解定义是掌握其性质的基础． 因此， 对于圆锥曲线的定 义不仅要熟记， 还要深入理解细节部分： 比如椭圆的定 义中要求|PF1|＋|PF2|>|F1F2|， 双曲线的定义中要求||PF1| －|PF2||<|F1F2|.
＝7，a－c＝1.(2)坐标转移法．
解
(1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为 a、c，由已知 a－c＝1， a＝4， 得 解得 又∵b2＝a2－c2， a＋c＝7， c＝3， ∴b＝ 7， x2 y2 所以椭圆 C 的方程为 ＋ ＝1. 16 7 (2)设 M(x，y)，其中 x∈[－4,4]， 9x2＋112 |OP|2 2 2 由已知 2 ＝λ 及点 P 在椭圆 C 上可得 2 2 ＝λ ， |OM| 16(x ＋y ) 整理得(16λ2－9)x2＋16λ2y2＝112，其中 x∈[－4,4]． 3 ①当 λ＝ 时，化简得 9y2＝112， 4 4 7 所以点 M 的轨迹方程为 y＝± (－4≤x≤4)． 3 轨迹是两条平行于 x 轴的线段．
b2 x2 y2 (1)解 设椭圆方程为 2＋ 2＝1(a>b>0)，则 M c， a ， a b b2 b kOM＝ ，kAB＝ ， ac a b2 b c 2 ∴ ＝ ⇒b＝c⇒a＝ 2c，∴e＝ ＝ . ac a a 2 (2)证明 由椭圆定义得：|F1C|＋|F2C|＝2a， |F1C|2＋|F2C|2－|F1F2|2 cos∠F1CF2＝ 2|F1C||F2C| 4a2－4c2－2|F1C||F2C| 2b2 ＝ ＝ －1. 2|F1C||F2C| |F1C||F2C| |F C|＋|F C| 1 2 2 |F1C||F2C|≤ ＝a2， 2 2 2b 2c2 π ∴cos∠F1CF2≥ 2 －1＝ 2－1＝0，∴∠F1CF2≤ . a 2c 2
a (3)解 设直线 PQ 的方程为 y＝－ (x－c)， b 即 y＝－ 2(x－c)． 1 2 y2 1 代入椭圆方程消去 x 得： 2c－ y ＋ 2＝1， a 2 b 2 2 整理得：5y －2 2cy－2c ＝0， 2 2c 2c2 ∴y1＋y2＝ ，y1y2＝－ . 5 5 2 2c 8c2 48c2 2 ∴(y1－y2)2＝ 5 ＋ 5 ＝ 25 . 1 4 3c2 2c· SPF2Q ＝2· |y1－y2|＝ 5 ＝20 3，c2＝25， x2 y2 因此 a2＝50，b2＝25，所以椭圆方程为 ＋ ＝1. 50 25
图形
范围 |x|≤a，|y|≤b |x|≥a x≥0 (± a,0) (0,0) 顶点 (± a,0)，(0，± b) 几 对称性 关于 x 轴，y 轴和原点对称 关于 x 轴对称 何 p 性 焦点 (± c,0) ( ，0) 2 质 长轴长 2a，短轴 实轴长 2a，虚轴 轴 长 2b 长 2b c b2 c b2 1－ 2 e＝ ＝ 1＋ 2 离心率 e＝a＝ e＝1 a a a (0<e<1) (e>1) a2 p 准线 x＝± x＝－ c 2 2 2b 通径 |AB|＝2p |AB|＝ a b 渐近线 y＝± x a
16k2－4 2－8k2 由根与系数的关系，得－2x1＝ ，所以 x1＝ ，从而 1＋4k2 1＋4k2 4k y1＝ . 1＋4k2 8k2 2k 设线段 AB 的中点为 M，则 M 的坐标为(－ 2， 2)． 1＋4k 1＋4k 以下分两种情况讨论：
①当 k=0 时,点 B 的坐标是(2,0),线段 A B 的垂直平分线为 y 轴, 于是QA (2, y0 ),QB (2, y0 ). 由 QAQB 4, 得 y0＝± 2. 2 ②当 k≠0 时，线段 AB 的垂直平分线的方程为 2k 1 8k2 y－ 2＝－ (x＋ 2)． k 1＋4k 1＋4k
探究提高 的关系式；
(1)求离心率，结合已知条件找到 a，b，c
(2)C 为椭圆上的任意一点，F1、F2 为左、右焦点，当 C 点是椭圆短轴的一个端点时，∠F1CF2 取得最大值．
x 2 y2 变式训练 2 (2010· 天津)已知椭圆 2＋ 2＝1(a>b>0)的 a b 3 离心率 e＝ ， 连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面 2 积为 4. (1) 求椭圆的方程； (2)设直线 l与椭圆相交于不同的两点 A ,B ,已知点 A 的 坐标为(-a,0),点 Q (0,y0)在线段 AB 的垂直平分线上,且
题型二
圆锥曲线的性质 x2 y2 例 2 如图所示，椭圆 2＋ 2＝1 上的点 M a b 与椭圆右焦点 F1 的连线 MF1 与 x 轴垂直， 且 OM(O 是坐标原点)与椭圆长轴和短轴 端点的连线 AB 平行． (1)求椭圆的离心率； (2)F2 是椭圆的左焦点，C 是椭圆上的任一点， π 证明：∠F1CF2≤ ； 2 (3)过 F1 且与 AB 垂直的直线交椭圆于 P、 若△PF2Q Q， 的面积是 20 3，求此时椭圆的方程．
2 2
（2）已知点 A （-2，0） ，过点 F 2 作直线 l与轨迹 C 交 于 P ，Q 两点，求AP AQ的取值范围. 解 (1)设动圆圆心为 M(x，y)，圆 M 的半径为 r， 1 7 则|MF1|＝r＋ ，|MF2|＝ －r， 2 2 ∴|MF1|＋|MF2|＝4. 则动圆圆心 M 的轨迹 C 为以 F1(－1,0)，F2(1,0)为焦点的 椭圆． 由 2a＝4，得 a＝2，又 c＝1，∴b2＝3， x 2 y2 故轨迹 C 的方程为 ＋ ＝1. 4 3
探究提高
(1)求轨迹方程时，先看轨迹的形状能否预
知， 若能预先知道轨迹为圆锥曲线， 则可考虑用定义法 求解或用待定系数法求解． (2)讨论轨迹方程的解与轨迹上的点是否对应，即应注 意字母的取值范围．
1 变式训练 3 已知圆 F1：(x＋1) ＋y ＝ ，圆 F2：(x－1)2 4 49 2 ＋y ＝ ，动圆 M 与圆 F1、F2 都相切． 4 (1)求动圆圆心的轨迹 C 的方程；
考题分析 本题考查了双曲线的方程、性质以及两点间 的距离公式．考查了双曲线的第二定义．考查了考生转 化与化归的能力．
易错提醒 (1)求点 M 的坐标时，计算易出错．
(2)忽视第二定义的应用，缺乏转化意识．
主干知识梳理
圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质 名称 椭圆 双曲线 定义 标准 方程 抛物线 |PF|＝|PM|， F 点 ||PF1|－|PF2|| ||PF1|＋|PF2||＝ 不在直线 l 上， 2a(2a>|F1F2|) ＝2a(2a<|F1F2|) PM⊥l 于 M x2 y2 x2 y2 a2－b2＝1 y2＝2px(p>0) 2＋ 2＝1 (a>b>0) a b (a>0，b>0)
x2 y2 变式训练 1 (2010· 天津)已知双曲线a2－b2＝1(a>0， b>0)的一条渐近线方程是 y＝ 3x，它的一个焦点与 抛物线 y2＝16x 的焦点相同，则双曲线的方程为
x2 y2 4 －12＝1 ________．
x2 y2 解析 由双曲线a2－b2＝1(a>0， b>0)的一条渐近线方程为 y b ＝ 3x 得 a ＝ 3，∴b＝ 3a.∵抛物线 y2 ＝16x 的焦点为 F(4,0)，∴c＝4.又∵c2＝a2＋b2，∴16＝a2＋( 3a)2， x2 y2 ∴a2＝4，b2＝12.∴所求双曲线的方程为 4 －12＝1.
热点分类突破
题型一 圆锥曲线的定义 x2 2 y2 例1 已知 P 为椭圆 ＋y ＝1 和双曲线 x2－ ＝1 的一 4 2 个交点，F1，F2 为椭圆的两个焦点，那么∠F1PF2 的 1 － 余弦值为________． 3 思维启迪 双曲线的焦点与椭圆焦点相同→用椭圆、双
曲线的定义→标出|PF1|、|PF2|→用余弦定理．