高中数学抽象函数(教师版)

抽象函数的证明

一、定义域问题

例1.已知函数)(2

x f 的定义域是［1，2］，求f （x ）的定义域。

解：)(2

x f 的定义域是［1，2］，是指21x ，所以)(2x f 中的2

x 满足4

1

2

x

从而函数f （x ）的定义域是［1，4］评析：一般地，已知函数

))((x f 的定义域是A ，求f （x ）的定义域问题，相当于已知

))((x f 中x 的取值范围为A ，据此求

)(x 的值域问题。

例2. 已知函数

)(x f 的定义域是]21[，，求函数)]3([log 2

1x f 的定义域。

解：

)(x f 的定义域是]21[，，意思是凡被

f 作用的对象都在

]21[，中，由此可得

4

111)

2

1

(3)

21

(2

)

3

(log 1

1

2

2

1x

x

x 所以函数)]3([log 2

1x f 的定义域是]

411

1[，评析：这类问题的一般形式是：已知函数

f （x ）的定义域是A ，求函数

))((x f 的定义

域。正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。这类问题实质上相当于已

知

)(x 的值域B ，且A B ，据此求x 的取值范围。例

2和例1形式上正相反。

二、求值问题例3. 已知定义域为

R 的函数f （x ），同时满足下列条件：①5

1

)

6(1)2(f f ，；②)()()

(y f x f y x f ，求f （3），f （9）的值。

解：取

32y

x

，，得)

3()

2()

6(f f f

因为

5

1)6(1)2(f f ，，所以

5

4)

3(f 又取

3

y

x

得

5

8)

3()3()9(f f f 评析：通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，取

32y

x

，，这样便把已知条件

5

1

)

6(1)2(f f ，与欲求的f （3）沟通了起来。赋值法是解此类问题的常用技巧。三、解析式问题

例 4. 设对满足10x

x ，的所有实数

x ，函数

)(x f 满足

x

x

x f x f 1)

1()

(，

求f （x ）的解析式。

解：在

)1(1)1

()

(x x x f x f 中以

x x 1

代换其中x ，得：)

2(12)11

(

)

1(x

x x f x

x f 再在（1）中以1

1x 代换x ，得

)

3(1

2

)

()11

(

x x x f x f )3()

2()1(化简得：)

1(21

)

(2

3

x x x

x

x f 评析：如果把x 和

x

x 1

分别看作两个变量，怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键。通常情况下，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，

是实现这种转化的重要策略。

四、单调性问题

例 5.设f （x ）定义于实数集上，当

0x

时，1)(x f ，且对于任意实数

x 、y ，有

)()()(y f x f y x f ，求证：)(x f 在R 上为增函数。证明：在

)()()

(y f x f y x

f 中取0y x ，得2

)]

0([)0(f f 若

0)0(f ，令00y

x ，，则0)(x f ，与1)

(x f 矛盾

所以

0)

0(f ，即有1

)

0(f 当0x

时，01)(x f ；当0x 时，

1)(0x f x ，而

1

)

0()

()(f x f x f 所以0

)

(1)

(x f x f 又当0x

时，0

1)0(f 所以对任意R x ，恒有0

)

(x f 设

21x x ，则1

)(012

1

2

x x f x x ，所以)

()

()()]([)(1121121

2x f x x f x f x x x f x f 所以

)(x f y 在R 上为增函数。

评析：一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，则变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联。

五、奇偶性问题例

6. 已知函数

)0)((x

R x x f ，对任意不等于零的实数21x x 、都有

)()()

(2121x f x f x x f ，试判断函数

f （x ）的奇偶性。

解：取112

1

x x ，得：)1()1()

1(f f f ，所以0

)1(f