《数学分析》第一章 集合与函数

四、基本例题解题点击
【 例 1 】设 x,y 为实 数， x<y..证明 :存在 有理数 r 满足 x<r<y ；存 在无理数 α 满足 x <α < y. 【提示及点评】 � 这是实数的稠密性； � 利用不足近似与过剩近似就可以证明. 【证明】由于 x<y,故存在非负整数 n，使得 x n < y n （其中 x n , y n 分别为 x 的 n 位过剩 近似值与 y 的 n 位不足近似值） 。令
−1 3 2
( y ), y ∈ f ( D) .通常改记作 y = f
−1
( x), x ∈ f ( D) .
注:函数 y = f ( x), x ∈ D 存在反函数的充分必要条件是: f 是 D 与 f ( D) 之间的一一映射. 5.常量函数 y = c 、幂函数 y = x α 、指数函数 y = a x 、对数函数 y = log a x 、三角函数
⎧ 1, x > 0 ⎪ 例如： sgn x = ⎨ 0, x = 0 是一个函数，称为符号函数 ⎪− 1 x < 0 ⎩
* 2. 设有两个函数 y = f (u ), u ∈ D; u = g ( x), x ∈ E ，令 E = {x | g ( x) ∈ D} ∩ E ，若
E * ≠ φ ，则对每一个 x ∈ E * ，可通过函数 g 对应 D 内唯一的一个值 u，而 u 又通过函数 f 对应唯一的一个值 y．这就确定了一个定义在 E * 上的函数，称为函数 f 与 g 的复合函
r=
即
1 ( x n + y n ) ，则 r 为有理数，且 2
x ≤ xn < r < yn ≤ y
x<r< y
设 η 是任意一无理数，由 x<y，则 x − η < y − η ，根据上面可知，存在有理数 r，使得 x − η < r < y − η ，从而 x < r + η < y ，令 α = r + η ，则 x < α < y ，且 α 是无理数 ■ 【知识扩展提示】实数的稠密性是实数的重要性质，在证明有关稠密性方面的时候， 经常利用不足近似与过剩近似值来证明， 在证明过程两边同时加一个数或减一个数也是常常 利用的技巧. 【例 2】设 S 是非空数集，定义 S − = {x | − x ∈ S } 。证明： inf S − = − sup S . 【提示及点评】 这类证明的关键点在于抓住上下确界的定义， � 集合的上下确界的证明是一个难点，
（三）二维平面 R2 的性质
2 1.全平面上的点所组成的点集 {( x, y ) | −∞ < x < +∞,−∞ < x < +∞}∆R ；坐标平面上的
满足条件 P 的点的集合 E={(x,y)|(x,y)满足条件 P}，称为平面点集.
2 2 2 2. 平面上的点 A( x0 , y 0 ) ，平面点集 {( x, y ) | ( x − x0 ) + ( y − y 0 ) < δ } 称为点 A 的 δ 2 2 2
研究是数学的基础. 本章在中学的基础上主要讨论了实数的性质、数集的性质，实数对组成的二维空间 R2 的一些集合的性质； 同时还通过两个集合之间的映射关系引进函数的定义， 并且讨论与函数 相关的其他一些定义. 本章的难点主要有以下两个方面： � � 函数的概念、隐函数、一些简单函数的反函数存在性的判定与函数反函数的求法. 实数集上的确界存在定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理的证明与应 用；熟练运用这些定理证明闭区间上连续函数的性质.
η = sup S .
5. 设 S 是 R 中的一个数集，若数 ξ 满足：(1)对一切 x ∈ S , 有 x ≥ ξ ,即 ξ 是 下 界 ； （ 2）对 任何 β > ξ ，存在 x0 ∈ S ，使得 x0 < β ，即 ξ 又是 S 的最大下界；则称数 ξ 为 S 的下确界 ， 记作
ξ = inf S .
6. 确界原理：设 S 为非空数集，若 S 有上界，则 S 必有上确界；若 S 有下界，则 S 必有 下确界. 7. 区 间 套 定 理 ： 若 {[an,bn]} 是 一 个 区 间 套 ， 则 在 存 在 惟 一 的 实 数
ξ ∈ [a n , bn ], n = 1,2,3,⋯,即a n ≤ ξ ≤ bn , n = 1,2,3,⋯ .
2. a 是 实 数 、 δ > 0 ， {x || x − a |< δ }∆U ( a; δ ) 称 为 a 的 δ 邻 域 ,
{x | 0 <| x − a |< δ }∆U o (a; δ ) 称为 a 的空心 δ 邻域； [a, a + δ )∆U + (a ) 称为 a 的 δ 右邻域， (a − δ , a]∆U − (a) 称 为 a 的 左 δ 邻 域 ； (a, a + δ )∆U 0 + (a ) 称 为 a 的 右 空 心 邻 域 ， (a − δ , a)∆U 0 − (a ) 称为 a 的左空心邻域.
8.区间套定理的推论：若 ξ ∈ [ a n , bn ](n = 1,2, ⋯) 是区间套 {[ a n , bn ]} 所确定的，则对任 给的 ε > 0, 存在 N>0,使得 n>N 时有
[a n , bn ] ⊂ U (ξ ; ε ) .
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9. (维尔斯特拉斯(Weierstrass)聚点定理): 实轴上的任一有界无限点集 S 至少有一个聚点. 10. (海涅-波雷尔(Heine-Borel)有限覆盖定理) 设 H 为闭区间[a,b]的一个（无限）开覆盖， 则从 H 中可选出有限个开区间来覆盖[a,b] .
, lim d n = 0 ,则存在惟一的点 P0 ∈ Dn , n = 1,2, ⋯ .
n →∞
2 5.(聚点定理) 设 E ⊂ R 为有界无限点集，则 E 在 R2 中至少有一个聚点.
6.(有限覆盖定理 ) 设 D ⊂ R 2 为一有界闭域， {∆ α } 为一开域族，它覆盖了 D （即
D ⊂ ∪ ∆α ） ， 则 在 {∆ α } 中 必 存 在 有 限 个 开 域 ∆ 1 , ∆ 2 , ⋯ , ∆ n , 它 们 同 样 覆 盖 D （ 即
邻域， 记为 U ( A) ； 平面点集 {( x, y ) | 0 < ( x − x0 ) + ( y − y 0 ) < δ } 称为点 A 的空心邻域 。 记为： U 0 ( A) . 3.对于平面点集 E，若存在点 A 的某邻域 U(A) U ( A) ⊂ E ,则称点 A 是 E 的内点；若点 A 的任何空心邻域 U 0 ( A) 内都含有 E 中的点，则称 A 是 E 的聚点；若 E 的每一个点都是内点， 则称 E 为开集；若 E 的所有聚点都属于 E，则称 E 是闭集；若 E 中的任意两点都可以用一条 完全含于 E 的有限折线相连接，则称 E 具有连通性；连通的开集叫开域；开域连同其边界叫 闭域. 4.(闭域套定理)设{Dn}是 R2 中 的 闭 域 列 ， 它满足： （ 1） Dn ⊃ Dn +1 , n = 1,2, ⋯ ， （ 2）dn=d(Dn)
{x | a < x ≤ b}∆(a, b] 、 {x | a ≤ x ≤ b}∆[a, b] 称为 有 限 区 间 ； 而 {x | x < a}∆(−∞, a ) 、 {x | x ≤ a}∆(−∞, a ] 、 {x | x > a}∆(a,+∞) 、 {x | x ≥ a}∆[a,+∞) 、 {x | −∞ < x < +∞} ∆(−∞,+∞) 称为无限区间，有限区间与无限区间统称为区间.
α
D ⊂ ∪ ∆ i ）.
i =1
n
（四）集合间的关系：映射、函数
数学是为解决实际问题提供一些系统方法的学科， 它通过量化的数来表示事物， 通过数 的变化来反映事物的变化．在不同时间、不同的地点所表示物体的量的不同，实质就是建立 了表示物体的量与时间、 地点之间的一个映射， 当一个映射满足一定的条件时， 就是函数． 因 此，函数是数学最重要的一个概念，同时对函数性质的研究是数学分析处理问题的基础． 1.给定两个实数集 D 和 M，若有对应法则 f，使对 D 内每一个数 x，都有唯一的一个数 y ∈M 与之对应，则称 f 是定在数集 D 上的函数，记作： f : D → M ，通常记为 y = f ( x) ． 注：只要讲清了对应法则，而且满足对于第一个集合上的每一个元素，在第二个集合都有 惟一的元素和它对应，则这个法则就建立了从第一个集合到第二个集合的函数.
y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x 、 反 三 角 函 数 y = arcsin x, y = arccos x,
y = arctan x, y = arc cot x 统称为基本初等函数.由基本初等函数经过有限次四则运算与复
合运算所得到的函数,统称为初等函数.并不是每个函数都是初等函数，例如： y = x x 就不 是初等函数. 6.设 f 为定义在 D 上的函数.(1)若存在正数 M，使得对每一个 x ∈ D 有 | f ( x) |≤ M ， 则称 f 为 D 上的有界函数； （2）若对任意 x1 , x 2 ∈ D, x1 < x 2 ，若是都有 f ( x1 ) ≤ f ( x 2 ) ， 则称 f 为 D 上的增函数；若是都有 f ( x1 ) ≥ f ( x 2 ) ，则称 f 为 D 上的减函数； （ 3）若 D 为 对称于原点的数集，且对 x ∈ D ，都有 f (− x) = − f ( x)( f (− x) = f ( x)) ，则称 f 为 D 上的 奇（偶）函数； （ 4）若存在 σ > 0 ，使得对一切 x ∈ D 都有 f ( x ± σ ) = f ( x) ,则称 f 为周 期函数. 7.设平面点集 D ⊂ R 2 ,若按照某对应法则 f ,D 中每一点 P(x,y)都有唯一确定的实数 z 与 之对应，则称 f 为定义在 D 上的二元函数.记作: z = f ( x, y ), ( x, y ) ∈ D .
第一章
一、本章知识脉络框图
实 数
集合与函数
实数的性质：稠密性
实数对 (x,y) 对组 集合间关系：映射 集 合 成的集合集 R
2
函数
数集及一些常 用数集：区 间、邻域
函数的相关定 义：反函数，隐 函数
平面点集的相关定义：距离、 邻域、聚点、界点、边界点、 开（闭）集，有（无）界性
数集的性质： 有界性
3. M 是正数, {x || x |> M }∆U (∞) ，称为 ∞ 邻域， {x | x > M }∆U (+∞ ) 称为 + ∞ 邻域，
{x | x < − M }∆U (−∞) 称为 − ∞ 邻域.
4. 设 S 是 R 中的一个数集，若数 η 满足： (1)对一切 x ∈ S , 有 x ≤ η ,即 η 是上 界； （ 2） 对任何 α < η ，存在 x0 ∈ S ，使得 x0 > α ，即η 又是 S 的最小上界；则称数 η 为 S 的上确 界，记作
数．记作： y = f ( g ( x)) . 注:两个函数能否复合的充分必要条件就是 E * ≠ φ 3.以形式 y = f ( x), x ∈ D 表示函数的， 称为显函数； 而以方程的形式表示 f ( x, y ) = 0 表 示一个函数的，称为隐函数.例如 y − 2 x = 0, x ∈ [ −1,1] 就是一个隐函数. 4.设函数 y = f ( x), x ∈ D ；满足：对于值域 f ( D) 中的每一个值 y，D 中有且只有一个 值 x 使得 f ( x) = y .则按此对应法则得到一个定义在 f ( D) 上的函数，称这个函数为 f 的反 函数，记作 x = f
初等函数及其性质
确界存在定理
闭区间套定理
聚点定理
有限覆盖定理
二、本章重点及难点
数学是分析处理问题的系统方法论学科。对事物分析，量化是第一步；数是表示量的符 号.随着科学的发展，数的内涵与表示得到不断地发展；同时随着数的内涵与表示的发展， 分析解决问题的方法也得到了质的发展.数从自然数----整数----有理数---实数—复数的发展 过程，也反映了社会的进步与解决问题能力的提升.因此，对数以及一些数组成的集合进行
三、本章的基本知识要点
（一）实数及其性质
1.实数集 R 具有稠密性， 即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数， 且既有有理数 ， 也有无理数. 2.实数集 R 具有阿基米德性， 即对任何 a、b ∈ R ,若 b>a>0， 则存在正整数 n， 使得 na>b.
（二）实数集 R 的性质
1.a,b 是 实 数 ， 实 数 集 合 上 的 {x | a < x < b}∆ ( a, b) 、 {x | a ≤ x < b}∆[ a, b) 、