现代数值计算方法—肖筱南

现代数值计算方法习题答案

习 题 一

1、解：根据绝对误差限不超过末位数的半个单位，相对误差限为绝对误差限除

以有效数字本身，有效数字的位数根据有效数字的定义来求.因此

49×10

-2

：E = 0.005； r E = 0.0102； 2位有效数字.

0.0490 ：E = 0.00005；r E = 0.00102； 3位有效数字. 490.00 ：E = 0.005； r E = 0.0000102；5位有效数字. 2、解：

7

22

= 3.1428 …… ， π = 3.1415 …… ， 取它们的相同部分3.14，故有3位有效数字.

E = 3.1428 - 3.1415 = 0.0013 ；r E =

14.3E = 14

.30013.0 = 0.00041. 3、解：101的近似值的首位非0数字1α = 1,因此有 |)(*x E r |)1(10121--⨯⨯=

n < = 2

1

× 10-4

, 解之得n > = 5，所以 n = 5 . 4、证：)()(1)()(1)(*11

**

11

**

x x x n

x E x n x E n n n

-=≈--

)(11)()

(1)

()(**

**

*11**

*

*

x E n

x x x n x x x x n

x x E x E r n

n

n

n n r =-=-≈=

- 5、解：(1)因为=20 4.4721…… ，

又=)(*x E |*x x -| = |47.420-| = 0.0021 < 0.01, 所以 =*x 4.47.

(2)20的近似值的首位非0数字1α = 4,因此有 |)(*x E r |)1(104

21

--⨯⨯=

n < = 0.01 , 解之得n > = 3 .所以，=*x 4.47. 6、解：设正方形的边长为x ,则其面积为2x y =，由题设知x 的近似值为*x = 10

cm .

记*

y 为y 的近似值，则

)(20)(20)(2)(*****x E x x x x x y E =-=-= < = 0.1，

所以)(*x E < = 0.005 cm . 7、解：因为)()(*1x x nx x E n n -≈-,

所以n x nE x x x n x

x E x E r n

n n

r 01.0)()()(*

==-≈=. 8、解：

9、证：)()()(**t gtE t t gt S S S E =-≈-=

t t E gt t t gt S S S S E r )

(22/)()(2

**=-≈-= 由上述两式易知，结论. 10、解：代入求解,经过计算可知第(3)个计算结果最好.

11、解：基本原则为：因式分解，分母分子有理化、三角函数恒等变形…… （1）通分；（2）分子有理化；（3）三角函数恒等变形.

12、解： 因为20=x ,41.1*0=x ,所以|*

00x x -| < = δ=⨯-2102

1

于是有 |*11x x -| = |110110*00+--x x | = 10|*

00x x -| < =δ10

|*22x x -| = |110110*11+--x x | = 10|*11x x -| < =δ210

类推有 |*

1010x x -| < =810102

1

10⨯=

δ 即计算到10x ，其误差限为δ1010，亦即若在0x 处有误差限为δ，则10x 的

误差将扩大1010倍，可见这个计算过程是不稳定的.

习 题 二

1、 解：只用一种方法.

（1）方程组的增广矩阵为：

⎥⎥

⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡----11114423243112 → ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----1010411101110112 → ⎥⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎣⎡---11041001110112 → 31=x , 12=x , 13=x . （2）方程组的增广矩阵为：

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------017232221413 → ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--247210250413 → ⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡--147200250413 → 21=x , 12=x , 2/13=x . （3）适用于计算机编程计算.

2、 解：第一步：计算U 的第一行，L 的第一列，得

611=u 212=u 113=u 114-=u

3/1/112121==u a l 6/1/113131==u a l

6/1/114141-==u a l

第二步：计算U 的第二行，L 的第二列，得

3/1012212222=-=u l a u 3/213212323=-=u l a u 3/114212424=-=u l a u 5/1/)(2212313232=-=u u l a l

10/1/)(2212414242=-=u u l a l

第三步：计算U 的第三行，L 的第三列，得

10/37233213313333=--=u l u l a u 10/9243214313434-=--=u l u l a u 37/9/)(33234213414343-=--=u u l u l a l

第四步：计算U 的第四行，得

370/9553443244214414444-=---=u l u l u l a u

从而， ⎥

⎥

⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢

⎢⎣⎡----3101

14110142

11

26

=

⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢

⎢⎢⎢⎣⎡--137

/910/16/1015/16/10013/10001

⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---370/95500010/910/37003/13/23/1001126