麻省理工学院电子工程跟计算机科学资料精
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正确探测高斯分布的均值 μΒιβλιοθήκη Baidu 的条件概率可以表示为：
PD
=
⎛ ⎜ Q⎜ ⎜
μ1
+ 2
μ2 σ
−
μ2
⎞ ⎟ ⎟ ⎟
=
Q
⎛ ⎜⎝
μ1 − μ2 2σ
⎞ ⎟⎠
⎝
⎠
错误探测高斯分布的条件概率是：
PFA
=
⎛ ⎜ Q⎜ ⎜
μ1
+ 2
μ2 σ
−
μ1
⎞ ⎟ ⎟ ⎟
=
Q
⎛ ⎜⎝
μ2 − μ1 2σ
⎞ ⎟⎠
⎝
⎠
（d）如果对 DT 信号进行脉冲幅度调制后通过一个连续时间低通信道进行传输，信道的带
问题 1 （15 分，20 分钟） 对下面的每个部分，使用适当的证明和计算提供简要的答案。 （a）一个非渐近稳定的因果 LTI 状态空间系统是否可以通过合适的 LTI 状态空间反馈变得 渐近稳定，即使它的一些模态不可达？ 回答：是的，只要不可达的模态是渐近稳定的。所有的可达模态都可以通过状态反馈平移。
题的分数分配时间，我们已经为每个问题标上分钟数，作为你在这个问题花费时间的粗 略指导，你花费的时间可能会不同，当然，这取决于你对某个问题的熟练程度。请仔细 安排你的时间；如果你被某个问题难住，试着进行另外一部分或者另外一个问题，如果 还有剩余时间再回头做。避免在一个问题上花费过长的时间。 z 推理要清晰准确并写出相关的过程。每个问题的评分基于你对问题的理解程度，这主要 由你写的内容反映，正确的最终结果可能无法得满分，不正确的最终结果也不意味着一 分不得。 z 如果我们无法阅读，我们不能/将不会评分。书写要整齐明了。 z 只交答题卷。在评分中不考虑其他页。你可能想首先在试卷的空白处或者草纸上进行计 算，然后把你想要我们看到的工作转到答题卷上。如果你需要额外的草纸请让我们知道。
限是 ω < ωm ，在 DT 信号的信息损失前，最高的符号重复率是什么？
答案：如果 a[n]是待传输序列， p (t ) 是脉冲波形， h (t ) 是信道的脉冲响应， r (t ) 是接收
到的信号， r (t ) 的变换表示为：
( ) R ( jω ) = A e jΩ |Ω=ωT P ( jω ) H ( jω )
x[n] 和 x[n +1] 的相关系数 ρ
可以被表示为 ρ
=
Cxx [1] Cxx [0]
=
−3σ 2 10σ 2
=
− 0.3
（b）基于 x[n] 的测量求 x[n +1] 的 LMMSE 估计器，并计算相关的均方误差（MSE）。MSE
比你在（a）中计算的 x[n +1] 的方差小吗？
答案：因为 x[n] 和 x[n +1] 都是零均值且具有相同的方差，LMMSE 估计可以表示为：
麻省理工学院 电子工程和计算机科学 6.011：通信，控制和信号处理导论
期末考试－试卷 星期二，2003 年 5 月 20 日
全名 答疑老师和时间
z 在上面的空格处写下名字，因为我们正在收集试卷和答题卷，但是当你收集你的答题卷 时我们将会把试卷还给你。
z 测试是闭卷的，允许携带 6 页笔记（双面） z 允许携带计算器，但是可能没有用处。 z 考试有五道题目，分数分别为 15，20，25，15，25，总计 100 分。如果你打算根据问
( ) Sxx ( z) = M ( z) M z−1 Sωω ( z) ( ) = σ 2 1− 3z−1 (1− 3z) ( ) = σ 2 −3z +10 − 3z−1
对 Sxx ( z) 进行逆变换产生自相关函数 Rxx [m] 。因为 E (ω [n]) = 0 知 E ( x[n]) = 0 ；则 Cxx [m] = Rxx [m]。因而， Cxx [m] = σ 2 (−3δ [m +1] +10δ [m] − 3δ [m −1]) 。 ( ) x[n +1] 的方差是自协方差函数在延迟 0 处的值，因而 var x[n +1] = 10σ 2 。
统函数为 M ( z ) = 1− 3z−1 。
( ) （a）如果 Sxx e jΩ 表示 x[n] 的 PSD，求 Sxx ( z ) 。并求随机过程 x[n] 的自协方差函数，随
机变量 x[n +1] 的方差以及 x[n] 和 x[n +1] 的相关系数 ρ 。
答案： Sxx ( z ) 可以表示为
（b）考虑一个零均值的连续时间 WSS 随机过程 x (t ) ，对于频率 ω < ωm ， N0 > 0 时，它 的功率谱密度 Sxx ( jω ) 为恒值，该频带以外为 0 。通过考虑该过程的自相关函数 Rxx (τ ) ， 可以看到选择合适的T ，随机过程的采样 x (nT ) 构成了一个离散时间零均值 WSS 白噪声。 求合适的T ，并指出相应的 x (nT ) 的方差是什么。
( ) 图 1： x t 的功率谱密度和自相关函数
答案：图 1 表示 x (t ) 的功率谱密度和自相关函数。分析T = π 时或任意整数倍的采样，具
ωm
有零均值并且不相关。因而，相应的采样 x (nT ) 的方差是
var
⎡⎣
x
(
nT
)⎤⎦
=
Rxx
(
0)
=
ωn N0 π
（c）已知两个具有相同方差σ 2 ，不同均值 μ1 和 μ2 > μ1 的高斯分布，根据从其中一个的抽
取的单测度进行最小误差概率的假设检验。使用标准 Q ( x) 函数来表示正确探测高斯分布的
均值 μ2 的条件概率和错误探测高斯的条件概率。回忆
∫ ( ) Q x = 1 ∞ e−t2 /2dt
2π x
答案：对于两个等方差的高斯分布，最优测试是测量的阈值测试。因为先验概率是相等的，
阈值是条件概率密度的交叉处，即它们均值的中间： μ2 + μ1 。 2
xˆ[n +1] = ρ x[n] = −0.3x[n]
因而，相关的 MSE 是：
( ) MSE = E ( x[n +1] − xˆ[n +1])2
( ) 因为 A e jω
Ω
<π
时有信息，要在带宽 ω
<π T
传送频率，所以 ωm
=
π T
。因而， a[n]无
信息损失传送的最高的符号重复率是 1 = ωm 。 Tπ
问题 2（20 分，40 分钟）
设零均值 WSS 的随机过程 x[n] 可以通过如下过程获得－将一个零均值且功率谱密度（PSD）
( ) 为 Sωω e jΩ = σ 2 的白色过程作为一个（稳定的，因果的）的滤波器的输入，此滤波器的系
PD
=
⎛ ⎜ Q⎜ ⎜
μ1
+ 2
μ2 σ
−
μ2
⎞ ⎟ ⎟ ⎟
=
Q
⎛ ⎜⎝
μ1 − μ2 2σ
⎞ ⎟⎠
⎝
⎠
错误探测高斯分布的条件概率是：
PFA
=
⎛ ⎜ Q⎜ ⎜
μ1
+ 2
μ2 σ
−
μ1
⎞ ⎟ ⎟ ⎟
=
Q
⎛ ⎜⎝
μ2 − μ1 2σ
⎞ ⎟⎠
⎝
⎠
（d）如果对 DT 信号进行脉冲幅度调制后通过一个连续时间低通信道进行传输，信道的带
问题 1 （15 分，20 分钟） 对下面的每个部分，使用适当的证明和计算提供简要的答案。 （a）一个非渐近稳定的因果 LTI 状态空间系统是否可以通过合适的 LTI 状态空间反馈变得 渐近稳定，即使它的一些模态不可达？ 回答：是的，只要不可达的模态是渐近稳定的。所有的可达模态都可以通过状态反馈平移。
题的分数分配时间，我们已经为每个问题标上分钟数，作为你在这个问题花费时间的粗 略指导，你花费的时间可能会不同，当然，这取决于你对某个问题的熟练程度。请仔细 安排你的时间；如果你被某个问题难住，试着进行另外一部分或者另外一个问题，如果 还有剩余时间再回头做。避免在一个问题上花费过长的时间。 z 推理要清晰准确并写出相关的过程。每个问题的评分基于你对问题的理解程度，这主要 由你写的内容反映，正确的最终结果可能无法得满分，不正确的最终结果也不意味着一 分不得。 z 如果我们无法阅读，我们不能/将不会评分。书写要整齐明了。 z 只交答题卷。在评分中不考虑其他页。你可能想首先在试卷的空白处或者草纸上进行计 算，然后把你想要我们看到的工作转到答题卷上。如果你需要额外的草纸请让我们知道。
限是 ω < ωm ，在 DT 信号的信息损失前，最高的符号重复率是什么？
答案：如果 a[n]是待传输序列， p (t ) 是脉冲波形， h (t ) 是信道的脉冲响应， r (t ) 是接收
到的信号， r (t ) 的变换表示为：
( ) R ( jω ) = A e jΩ |Ω=ωT P ( jω ) H ( jω )
x[n] 和 x[n +1] 的相关系数 ρ
可以被表示为 ρ
=
Cxx [1] Cxx [0]
=
−3σ 2 10σ 2
=
− 0.3
（b）基于 x[n] 的测量求 x[n +1] 的 LMMSE 估计器，并计算相关的均方误差（MSE）。MSE
比你在（a）中计算的 x[n +1] 的方差小吗？
答案：因为 x[n] 和 x[n +1] 都是零均值且具有相同的方差，LMMSE 估计可以表示为：
麻省理工学院 电子工程和计算机科学 6.011：通信，控制和信号处理导论
期末考试－试卷 星期二，2003 年 5 月 20 日
全名 答疑老师和时间
z 在上面的空格处写下名字，因为我们正在收集试卷和答题卷，但是当你收集你的答题卷 时我们将会把试卷还给你。
z 测试是闭卷的，允许携带 6 页笔记（双面） z 允许携带计算器，但是可能没有用处。 z 考试有五道题目，分数分别为 15，20，25，15，25，总计 100 分。如果你打算根据问
( ) Sxx ( z) = M ( z) M z−1 Sωω ( z) ( ) = σ 2 1− 3z−1 (1− 3z) ( ) = σ 2 −3z +10 − 3z−1
对 Sxx ( z) 进行逆变换产生自相关函数 Rxx [m] 。因为 E (ω [n]) = 0 知 E ( x[n]) = 0 ；则 Cxx [m] = Rxx [m]。因而， Cxx [m] = σ 2 (−3δ [m +1] +10δ [m] − 3δ [m −1]) 。 ( ) x[n +1] 的方差是自协方差函数在延迟 0 处的值，因而 var x[n +1] = 10σ 2 。
统函数为 M ( z ) = 1− 3z−1 。
( ) （a）如果 Sxx e jΩ 表示 x[n] 的 PSD，求 Sxx ( z ) 。并求随机过程 x[n] 的自协方差函数，随
机变量 x[n +1] 的方差以及 x[n] 和 x[n +1] 的相关系数 ρ 。
答案： Sxx ( z ) 可以表示为
（b）考虑一个零均值的连续时间 WSS 随机过程 x (t ) ，对于频率 ω < ωm ， N0 > 0 时，它 的功率谱密度 Sxx ( jω ) 为恒值，该频带以外为 0 。通过考虑该过程的自相关函数 Rxx (τ ) ， 可以看到选择合适的T ，随机过程的采样 x (nT ) 构成了一个离散时间零均值 WSS 白噪声。 求合适的T ，并指出相应的 x (nT ) 的方差是什么。
( ) 图 1： x t 的功率谱密度和自相关函数
答案：图 1 表示 x (t ) 的功率谱密度和自相关函数。分析T = π 时或任意整数倍的采样，具
ωm
有零均值并且不相关。因而，相应的采样 x (nT ) 的方差是
var
⎡⎣
x
(
nT
)⎤⎦
=
Rxx
(
0)
=
ωn N0 π
（c）已知两个具有相同方差σ 2 ，不同均值 μ1 和 μ2 > μ1 的高斯分布，根据从其中一个的抽
取的单测度进行最小误差概率的假设检验。使用标准 Q ( x) 函数来表示正确探测高斯分布的
均值 μ2 的条件概率和错误探测高斯的条件概率。回忆
∫ ( ) Q x = 1 ∞ e−t2 /2dt
2π x
答案：对于两个等方差的高斯分布，最优测试是测量的阈值测试。因为先验概率是相等的，
阈值是条件概率密度的交叉处，即它们均值的中间： μ2 + μ1 。 2
xˆ[n +1] = ρ x[n] = −0.3x[n]
因而，相关的 MSE 是：
( ) MSE = E ( x[n +1] − xˆ[n +1])2
( ) 因为 A e jω
Ω
<π
时有信息，要在带宽 ω
<π T
传送频率，所以 ωm
=
π T
。因而， a[n]无
信息损失传送的最高的符号重复率是 1 = ωm 。 Tπ
问题 2（20 分，40 分钟）
设零均值 WSS 的随机过程 x[n] 可以通过如下过程获得－将一个零均值且功率谱密度（PSD）
( ) 为 Sωω e jΩ = σ 2 的白色过程作为一个（稳定的，因果的）的滤波器的输入，此滤波器的系