泛函分析第2章 度量空间与赋范线性空间

第2章 度量空间与赋范线性空间
度量空间在泛函分析中是最基本的概念。

事实上，它是n 维欧几里得空间n R 的推广，它为统一处理分析学各分支的重要问题提供了一个共同的基础。

它研究的范围非常广泛，包括了在工程技术、物理学、数学中遇到的许多很有用的函数空间。

因而，度量空间理论已成为从事科学研究所不可缺少的知识。

2.1 度量空间的基本概念
2.1.1 距离（度量）空间的概念
在微积分中，我们研究了定义在实数空间R 上的函数，在研究函数的分析性质，如连续性，可微性及可积性中，我们利用了R 上现有的距离函数d ，即对y x y x d R y x -=∈),(,,。

度量是上述距离的一般化：用抽象集合X 代替实数集，并在X 上引入距离函数，满足距离函数所具备的几条基本性质。

【定义2.1】 设X 是一个非空集合，),(••ρ：[)∞→⨯,0X X 是一个定义在直积X X ⨯上的二元函数，如果满足如下性质：
（1） 非负性 y x y x y x X y x =⇔=≥∈0,(,0),(,,ρρ；
（2） 对称性 ),(),(,,x y y x X y x ρρ=∈
（3） 三角不等式 ),(),(),(,,,y z z x y x X z y x ρρρ+≤∈；
则称),(y x ρ是X 中两个元素x 与y 的距离（或度量）。

此时，称X 按),(••ρ成为一个度量空间（或距离空间），记为),(ρX 。

注：X 中的非空子集A ，按照X 中的距离),(••ρ显然也构成一个度量空间，称为X 的子空间。

当不致引起混淆时，),(ρX 可简记为X ,并且常称X 中的元素为点。

例2.1 离散的距离空间
设X 是任意非空集合，对X 中任意两点,,x y X ∈令
1 (,)0 x y x y x y ρ≠⎧=⎨=⎩
显然，这样定义的),(••ρ满足距离的全部条件，我们称(,)X ρ是离散的距离空间。

这种距离是最粗的。

它只能区分X 中任意两个元素是否相同，不能区分
元素间的远近程度。

此例说明，在任何非空集合上总可以定义距离，使它成为度量空间。

例2.2 n 维欧几里得空间n R 表示n 维向量()12,,,n x x x x =L 的全体组成的集合，也表示n 个实数12,,,n x x x L 组成的数组()12,,,n x x x L 的全体形成的集合。

对()12,,,n x x x x =L ，()12,,,n n y y y y R =∈L ，定义 1221(,)()n i i i x y x y ρ=⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦
∑ （2.1） 下面来证),(••ρ满足度量定义中的条件（1）~（3）。

由式（2.1）不难验证),(••ρ满足条件（1），（2）。

为证满足条件（3），需利用2p =时的离散型Minkowski 不等式（见1.5节）。

取()12,,,n n z z z z R =∈L ，则有
[]1122
221111222211(,)()()()()()(,)(,)n n i i i i i i i i n n i i i i i i x y x y x z z y x z z y x z z y ρρρ====⎧⎫⎡⎤⎪⎪=-=-+-⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭⎡⎤⎡⎤≤-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
=+∑∑∑∑
因此，n R 是一距离空间。

(,)n R ρ称为n 维欧氏空间。

注：若在n R 中规定 11(,)max i i i n
x y x y ρ≤≤=- （2.1ˊ） 则1(,)n R ρ也是距离空间（读者自己验证）
例2.3 所有数列组成的集合S ，对{}{},,n n a b S ξη==∈定义 11(,)21n n n i n n
a b a b ρξη∞=-=+-∑ （2.2） 那么(,)ρξη是S 上的度量。

式（2.2）通常称为Fr échet 组合。

(,)ρξη显然满足度量条件（1）~（2），我们来证也满足条件（3）。

事实上，对,ξη
及{},n c S γ=∈由于函数()(0)1x x x x
ϕ=>+是单调增函数，因此由 n n n n n n a b a c c b -≤-+-
得
1111n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n
a b a c c b a c c b a b a c c b a c c b --+---≤≤++-+-+-+-+- 在上市不等式两边同乘12
n 再求和，便得 (,)(,)(,)ρξηρξγργη≤+
因此(,)S ρ是距离空间。

例2.4 连续函数空间[],,C a b 对[],,,f g C a b ∈定义 (,)max ()()a t b
f g f t g t ρ≤≤=- （2.3） 则(,)f g ρ是[],C a b 上的一个度量。

(,)f g ρ显然满足度量条件（1）~（2）。

对另一连续函数[],,h C a b ∈由
[]()()()()()()
max ()()max ()() =(,)(,),(,)
a t
b a t h
f t
g t f t
h t h t g t f t h t h t g t f h h g t a b ρρ≤≤≤≤-≤-+-≤-+-+∀∈ 所以
(,)(,)(,)f g f h h g ρρρ≤+
例2.5 函数类()(1)p L E p ≥（参见1.6节）,对,()p f g L E ∈定义 ()1(,)()()p p E f g f t g t dt ρ=-⎰
（2.4） 则(,)f g ρ是()p L E 上的一个度量，((),)p L E ρ是度量空间。

由 1(,)0(()())0p p
E f g f t g t dt ρ=⇒-=⎰ 根据Lebesgue 积分的性质有()()f t g t a e =⋅。

反之，若()()f t g t a e =⋅， 则
(,)0f g ρ=。

所以，(,)f g ρ满足度量定义2.1中条件（1）
；条件（2）显然满足；
对另一函数()p h L E ∈，根据1.6节Minkowski 不等式有
(,)(,)(,)p p p f g f g f h h g f h h g ρρρ=-≤-+-=+
即(,)f g ρ满足度量定义条件（3），所以(,)f g ρ是()p L E 上的一个度量，((),)p L E ρ是度量空间。

例2.6 [],L a b ∞是本性有界可测函数的全体，即[],a b 上除某个零测度外，在它的补集上是有界的可测函数全体。

对[],,,f g L a b ∞∈定义
[][][]0,,,(,)inf sup ()()var sup ()()mE t a b E t a b E a b f g f t g t i f t g t ρ=∈-∈⊂⎧⎫=-=-⎨⎬⎩
⎭ （2.5） 则(,)f g ρ是[],L a b ∞上的一个度量，[](,,)L a b ρ∞是度量空间。

由式（2.5）显然可知，(,)f g ρ满足度量条件（1）~（2）。

现证(,)f g ρ满足度量条件（3），对[],,,f g h L a b ∞∈及0ε∀>存在[][]12,,,E a b E a b ⊂⊂且120,mE mE ==使
[][]11,,sup ()()(,)2
sup ()()(,)2t a b E t a b E f t h t f h h t g t h g ερερ∈-∈--<+-<+
从而有
[][]{}[][][][]1212121212
,,,,,,(,)sup ()() sup
()()()() sup ()()sup ()() sup
()()sup ()() t a b E E t a b E E t a b E E t a t E E t a b E t a b E f g f t g t f t h t h t g t f t h t h t g t f t h t h t g t ρ∈-⋃∈-⋃∈-⋃∈-⋃∈-∈-≤
-≤
-+-≤-+
-≤-+- <(,)(,)f h h g ρρε
++
令0ε→得(,)(,)(,)f g f h h g ρρρ≤+。

所以(,)f g ρ是[],L a b ∞上的一个度量，[](,,)L a b ρ∞是度量空间。

2.1.2 距离空间中点列的收敛性
非空集合X 引入距离（度量）后，就可以在其上定义点列的收敛概念。

【定义2.2】设X 是一个度量空间，,,(1,2,)n x x X n ∈=L 称点列{}n x 收敛于x ，是指(,)0(),n x x n x ρ→→∞叫做点列{}n x 的极限，记作lim n n x x →∞
=或()n x x x →→∞。

度量空间中点列收敛性质与数列的收敛性质有许多共同之处。

【定理2.1】 度量空间(,)X ρ中的收敛点列{}n x 的极限是唯一的，且若{}n x 收敛于,x X ∈则{}n x 的任意子列{}
k x x 也收敛于x 。

证明：首先证明定理的第一部分。

设,x y X ∈都是{}n x 的极限，则对,n N ∀∈有 (,)(,)(,)n n x y x x x y ρρρ≤+
令n →∞有(,)0,(,)0,n n x x x y ρρ→→必然有(,)0,x y ρ=因此,x y =这说明{}n x 最多有一个极限。

其次证明定理的第二部分。

设{}n x 收敛于x X ∈，于是0ε∀>，存在自然数N ，当n N >时，(,)n x x ρε<。

由于k n N ≥，从而当k n ≥时，也有(,),k n x x ρε<故{}k n x 收敛于x 。

证毕。

下面讨论某些具体空间中点列收敛的具体含义。

例2.7 n R 空间中点列{}(){}(0)()
()()12,,,m m m n x x x x =L 按度量式（2.1）收敛于
{}(){}
(0)(0)
(0)(0)12,,,n x x x x =L 的充分必要条件是对每个,(1)i i n ≤≤有()(0)()m i i x x m →→∞，即按坐标收敛。

证明：⇒对(1)i i n ∀≤≤，由于
12
2()
(0)
()(0)()(0)1(,)n m m m i i k k k x x x x x x ρ=⎧⎫→≤→=⎨⎬⎩⎭∑ 因此，当()(0)()0()m x x m ρ→→→∞时，一定有()(0)0()m i i x x m →→→∞，()(0)()m i i x x m →→∞。

⇐由于
1
22()(0)()(0)()(0)()(0)()(0)11221
()n m m m m m k k n n k x x x x x x x x x x ρ=⎧⎫→=→≤→+→++→⎨⎬⎩⎭∑L 所以，对,(1)i i n ≤≤，当()(0)()m i i x x m →→∞时()(0)()0()m x x m ρ→→→∞。

证毕。

同样我们也可以证明n R 中点列{}n x 按距离式（2.1′）收敛于(0)x 的充要条件是对于每个,(1)i i n ≤≤，有()(0)()m i i x x m →→∞。

例2.8 [],C a b 空间中点列{}n f 按式（2.3）度量收敛于[]0,f C a b ∈的充分必要条件是{}n f 在[],a b 上一致收敛于0f 。

证明：⇒由0(,)0(),n f f n ρ→→∞知对0,,N ε∀>∍当n N ≥时，0max ()(),n a t b f t f t ε≤≤-<即对任意[],,t a b ∈当n N ≥时，0()(),n f t f t ε-<所以n f 在[],a b 上一致收敛于0f 。

⇐若{}n f 在[],a b 上一致收敛于0f ，则对0,,N ε∀>∍当n N ≥时，对于[],t a b ∀∈恒有0()(),n f t f t ε-<从而0max ()(),n a t b
f t f t ε≤≤-< 即0(,)0()n f f n ρ→→∞。

证毕。

若[],C a b 按式（2.4）定义度量，则[],C a b 就构成[],p L a b 的子空间，令
[]1()() ,,(1,2,)()
n n n x t t a t a b n b a =-∈=-L 由勒贝格控制收敛定理，{}n x 在[],p L a b 中收敛于()0,x t ≡显然
{}[],,n x C a b ⊂但{}n x 不一致收敛于()0x t ≡。

例2.7，例2.8表明，如果在一个非空集合上定义了两个度量，那么，由它们导出的收敛概念可以是一致的，也可以是不一致的。

但当我们引入了适当的距离后，都可以统一在距离空间中考虑收敛概念，这就为统一处理各个具体空间提供了方便。

习题2.1
1．对,x y R ∈，定义2(,)(),(,)x y x y x y ρρ=-是R 上的距离吗？若是，给出证明，
若不是，为什么？
2．对,x y R ∈，规定(,)x y ρ=证明(,)R ρ是距离空间。

3．把所有收敛数列的集合记为c ，对{}{},,,,(1,2,),i i x y c x x y y i ∈===L 定义
(,)sup ,i i i N
x y x y ρ∈=-证明(,)c ρ是距离空间。

4．设X 是度量空间，在X 中若,()n n x x y y n →→→∞。

证明：
(,)(,)n n x y x y ρρ→。

5．设()()()()()12,,,,(1,2,),m m m m n x x x x n ==L L L 及()12,,,,n x x x S ∈L L ，证明点列
{}()m x 收敛于x 的充分必要条件是{}()
m x 依坐标收敛于x ，即对每个自然数(),()m i i i x x m →→∞
2.2 度量空间中的开、闭集与连续映射
在第1章中,我们对n R 空间中的点集进行了详细讨论,介绍了开集、闭集等一系列概念，为了更深入研究度量空间中集合的内在结构，本节我们将把这些概念推广到一般度量空间中，其中大多数定义的叙述和定理的证明与以前的行文相似。

2.2.1 度量空间中的开、闭集
【定义2.3】 设X 是度量空间，0x X ∈，0r >是一个正数，
点集0{|(,)x x x ρ< ,}r x X ∈称为以0x 为中心、以r 为半径的开球，或0x 的r 邻域，记为0()r B x 或0(,)r B x r ；点集0{|(,)x x x ρ≤,}r x X ∈称为以0x 为中心、以r 为半径的闭球，记为0()r B x 或0(,)r B x r 。

X 中的点列{}n x 收敛于x X ∈，用邻域的术语来说，就是：对于x 的任意邻域(,)B x ε，存在自然数N ，使当n N >时，(,)n x B x ε∈。

例2.9 设X 是离散距离空间，0x X ∈，则00(,1){}B x x =，0(,2)B x X =，
0(,1)B x X =，001(,){}2
B x x =。

例2.10 设[0,1][2,3]X =U ，X 是R 的子空间，
则(2,3)[2,3)B =，(2,1)[2,3)B = {1}U ，1(,1)(0,1)2B =，1(,1)[0,1]2
B =。

设A 是X 的子集，0x 是X 中的一个定点，则0x 与A 的关系只能有如下三种 情况：
（1）在0x “附近”全是A 的点；
（2）在0x “附近”根本没有A 的点；
（3）在0x “附近”既有A 的点，又有不属于A 的点。

根据以上情况，我们给出如下定义：
【定义2.4】 设X 是距离空间，A X ⊂，0x X ∈，如果存在0x 的邻域0(,)B x ε A ⊂，则称0x 是A 的内点；如果0x 是X A -的内点，则称0x 是A 的外点；如果0x 既非A 的内点，有非A 的外点，即0x 的任何邻域内既有属于A 的点，也有不属于A 的点，则称0x 为A 的界点或边界点；如果0x 的任意邻域0(,)B x r 都含有0{}A x -中的点，即0(,)B x r I 0({})A x -，≠∅则称0x 是A 的聚点。

注：A 的聚点不一定是A 的内点，还可能是A 的界点；其次，A 的内点必属于A ，但A 的聚点则可以属于A ，也可以不属于A 。

由此可知A 的界点不是聚点，便是孤立点。

X 中的点，对A 来说可分为内点、界点、外点或聚点、孤立点、外点三种。

例2.11 若X 为离散距离空间，A X ⊂，则A 中均为内点且为A 的孤立点，X A -中的点均为A 的外点。

【定义 2.5】 设X 是距离空间，G X ⊂，如果G 中每一点都是G 的内点，则称G 是开集。

例2.12 任何开球0()r B x 是开集。

证明：设0()r x B x ∈，则0(,)x x r ρ<，令10(,)r r x x ρ=-，那么10()()r r B x B x ⊂，事实上，若1()r y B x ∈，则1(,)x y r ρ<，由于
0010(,)(,)(,)(,)y x y x x x r x x r ρρρρ≤+<+=
所以0()r y B x ∈。

【定理2.2】 设X 是度量空间，X 中开集有如下性质：
（1）空间X 及空集∅是开集；
（2）任意多个开集的并是开集；
（3）有限多个开集的交是开集。

证明： 性质（1）、（2）显而易见，现证性质（3）。

设12,,,n G G G ⋅⋅⋅是X 中的有限个开集，即
121n
n i i G G G G G ==⋅⋅⋅=I I I I
对x G ∀∈，及一切(1)i i n ≤≤，有i x G ∈，由于i G 是开集，所以存在0i r >，使 (,)i i i B x r G ⊂，取12min{,,,}n r r r r =⋅⋅⋅，则对1i n ≤≤，有(,)i i B x r G ⊂，可见1(,)n
i i i B x r G =⊂I ，所以x 是G 的内点，有x 的任意性知，G 是开集。

证毕。

注：任意多个开集的交不一定是开集，例如1(0,1)(1,2,)n G R n n
=+⊂=⋅⋅⋅，1
n i G ∞
=I =(0,1]，(0,1]并不是R 的开集。

对于度量空间X 的子集A ，A 的聚点全体记为A '，称为A 的导集，集合A A A '=U 称为A 的闭包。

例2.13 设11{1,,,,}2A R n =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⊂，则{0}A '=，11{1,,,,}2A n
=⋅⋅⋅⋅⋅⋅。

【定义2.6】 设X 是距离空间，A 是X 的子集，如果A 的每一个聚点属于A ，
则称A 为闭集。

【定理2.3】 （开集与闭集的对偶性）设X 是距离空间，A X ⊂，若A 是X 的开集，则X A -是X 的闭集；若A 是X 中的闭集，则X A -是开集。

证明：设A 为开集，x X ∈是X A -的聚点，则x 的任一邻域都有不属于A 的点，这样x 不可能是A 的内点，从而x A ∉，即x X A ∈-，由于x 的任意性，知X A -是闭集。

反之，设A 为闭集，x X A ∀∈-，若x 不是X A -的内点，则x 的任意邻域(,)B x ε至少有一个点属于A 的点，而且异于x ，这样x 是A 的聚点，从而x A ∈，和假设矛盾。

证毕。

正是由于开集和闭集有这样的对偶关系，我们常将闭集看成是由开集派生出来的一个概念。

由定理2.1与定理2.2得闭集的性质：【定理2.4】 设X 是距离空间，X 中的闭集具有如下性质：
（1）X 及∅是闭集；
（2）任意多个闭集的交是闭集；
（3）有限多个闭集的并是闭集。

注：任意多个闭集的并不一定是闭集，例如 11[,1]n F n n
=-，(3,4,,)n =⋅⋅⋅，则n F 是R 中闭集，但3(0,1)n n F ∞
==U ，(0,1)不是R 中的闭集。

2.2.2 度量空间上的连续映射
【定义2.7】 设(,)X ρ与1(,)Y ρ是两个度量空间，T 是X 到Y 的一个映射，0x X ∈，若对0ε∀>，存在0δ>，当0(,)x x ρδ<时，有10(,)Tx Tx ρε<，则称T 在点0x 连续；若T 在中每一点0x 都连续，则称T 为X 上的连续映射。

度量空间之间的连续映射是数学分析中连续函数概念的推广，特别，当映射是值域空间Y R =时，映射就是度量空间上的函数。

例2.14 设(,)X ρ是距离空间，0x 是X 上一定点，对x X ∈，0()(,)f x x x ρ=是X 到R 上的连续映射（函数）。

事实上，对,x y X ∈，由下式
00|()()||(,)(,)|(,)f y f x y x x x y x ρρρ-=-≤
即可证明是连续映射。

【定理2.5】 设X ，Y 是两个度量空间，T ：X Y →，0x X ∈，则下列命题等价：（1）T 在0x 点连续；
（2）对0ε∀>，存在0δ>，当0(,)x B x δ∈时，有0(,)Tx B Tx ε∈；
（3）对于X 中任意点列{}n x ，若0()n x x n →→∞，则0()n Tx Tx n →→∞。

证明：(1)(2)⇒ 显然；
(2)(3)⇒ 由于0()n x x n →→∞，对0δ>存在自然数N ，当n N >时， 0(,)n x x ρδ<，即0(,)n x B x δ∈，因此0(,)n Tx B Tx ε∈，即10(,)n Tx Tx ρε<； (3)(1)⇒ 反证法，若T 在0x 点不连续，则存在00ε>，使对任意0δ>，存在x X δ∈，且0(,)x x δρδ<，但100(,)Tx Tx δρε>，特别取1n δ=，(1,2,)n =⋅⋅⋅，则
有n x X ∈，01(,)n x x n
ρ<
，但100(,)n Tx Tx ρε≥，这意味着0()n x x n →→∞，但0n Tx Tx → ()n →∞不成立，矛盾。

证毕。

下面定理是通过开集与闭集来刻画连续映射的。

【定理2.6】 设X ，Y 是两个度量空间，T ：X Y →是一个映射，则下述命题等价：
（1）T 是连续映射；
（2）对于Y 中任何开集G ，1()T G -是X 中的开集；
（3）对于Y 中任何闭集F ，1()T F -是X 中的闭集。

证明：命题(1)(2)⇒设10()x T G -∈，则0Tx G ∈。

因G 是Y 中开集，所以存在0ε>，使0(,)B Tx G ε⊂，由T 在点0x 连续，所以对于上述0ε>，存在0δ>，当0(,)x B x δ∈时，有0(,)Tx B Tx ε∈，即00((,))(,)T B Tx B Tx G δε⊂⊂，故
0(,)B x δ⊂1()T G -。

所以0x 是1()T G -的内点，由0x 的任意性，1()T G -是开集。

命题(2)(1)⇒对0x X ∈，及0ε∀>，取0(,)G B Tx ε=，那么1()T G -是X 中开集，而10()x T G -∈，所以存在0δ>，使得0(,)B x δ⊂1()T G -，即00((,))(,)T B x G B Tx δε⊂=,这说明T 在0x 点连续。

由0x 的任意性知，T 在X 的每一点都连续。

命题(2)(3)⇒对于任何闭集F Y ⊂，F 的余集c F 是开集。

根据映射像也原像的性质有11()(())c c T F T F --=。

命题(3)(2)⇒对于任何开集G Y ⊂，c G 是闭集，同样11()(())c c T G T G --=。

证毕。

注：关于映射的性质11()(())c c T A T A --=留作习题。

下面介绍一个十分有用的特殊映射同胚映射。

【定义2.8】 设X ，Y 是两个距离空间，T 是X Y →上的一一映射，1T -是
T 的逆映射，
若T 及1T -都是连续映射，则称T 是X 到Y 上的同胚映射；若从X 到Y 上存在某一同胚映射，则称X 与Y 是同胚的。

例2.15 arctan y x =是R 到(,)22ππ-上的同胚映射，R 与(,)22
ππ
-是同胚的。

由于两个同胚的距离空间点之间一一对应，所有邻域也是一一对应的，而且连续概念只依赖于邻域的概念，因此，在只讨论与连续性有关问题时，可以把两个距离空间看成一个。

习题2.2
1.证明闭球是闭集。

2.设X 是距离空间，A X ⊂，0A 表示全体内点构成的集合，称为A 的内部， 证明0A 是开集。

3.设X 是距离空间，A X ⊂，证明A 是闭集的充要条件是对于任意{}n x A ⊂，若0()n x x n →→∞，则0x A ∈。

4.证明从离散距离空间X 到任意距离空间Y 的映射T ：X Y →是连续映射。

5.设X 是一度量空间，0x ∈X ，证明0()(,)f x x x ρ=是X 上的连续函数。

6.设X 是度量空间，F X ⊂是一个非空闭集，对x X ∈，记作inf{(,):x y ρy ∈ }F (,)x F ρ=，证明：对任意0r >，集合{:(,)}x X x F r ρ∈<是开集。

7.设1F 与2F 是度量空间X 中的闭集，且12F F =∅I ，证明存在开集1G ,2G ，使11F G ⊂,22F G ⊂,且12G G =∅I 。

8.设X 是度量空间，A X ⊂，若0x A '∈，证明对任意0ε>，集0(,)A B x εI 是无限集。

9.设X 是度量空间，,A B X ⊂,证明：
（1）若A B ⊂，则A B ⊂；
（2）A A =；
（3）A B A B =U U ；
（4）A B A B ⊂I I ，并举例说明等号未必成立。

10.设X 是度量空间，证明：
（1）X 中每个非空闭集必为可列个开集的交；
（2）X 中每个非空开集必为可列个闭集的并。

11.设X ，Y 是两个非空集合。

T ：X Y →是一个映射，A X ⊂，证明：
11()(())c c T A T A --=。

2.3 度量空间中的可分性、完备性与，列紧性
2.3.1 度量空间中的可分性
有理数集在实数集中的稠密性，实数集的完备性及有界数列必有收敛子列是数学分析的理论源泉。

本节将把实数空间这几个重要性质推广到一般的距离空间中。

【定义2.9】 设X 是一度量空间，A 与B 都是X 的子集，若B A ⊂，则称A 在B 中稠密。

由定义2.9及2.2节有关定义、定理易证如下定理。

【定理2.7】 设X 是度量空间，A ，B ∈ X ，则如下说法等价：
（1）A 在B 中稠密；
（2）对x B ∀∈，0ε∀>，存在y A ∈，使(,)x y ρε<；
（3）0ε∀>，有(,)x A
B B x ε∈⊂U ；
（4）对x B ∀∈，存在点列{}n x A ⊂，使()n x x n →→∞。

例2.16 有理数在实数中稠密，有理数也在无理数中稠密。

注：稠密概念在数学分析中学中是很有用的，当考察距离空间是否具有某种性质时，往往先是在它的稠密子集上考察，然后通过极限过程得出X 上相应的结论。

【定义2.10】 称度量空间X 是可分的，是指存在X 中一可列集A ，使A 在X 中稠密。

例2.17 欧氏空间是n R 可分的。

证明： 取12{(,,,):n i A r r r r =⋅⋅⋅是有理数(1)}i n ≤≤，则A 是可列集。

对n x R ∈及0ε>，记
12(,,,)n x x x x =⋅⋅⋅，取有理数i r 满足 ||i i x r -<
12(,,,)n a r r r =⋅⋅⋅，则 a A ∈，由于
(,)x a ρε=
=
所以A 在n R 中稠密。

例2.18 连续函数空间[,]C a b 是可分的。

证明：设A 为系数是有理数的多项式组成的集合，A 为可数集。

对任一连续函数f ∈[,]C a b ，由Weierstrass 定理对[,]a b 上任一连续函数f ，必存在一列多项式()n P x ∈[,],(1,2,)C a b n =⋅⋅⋅，()n p x 在[,]a b 上一致收敛于()f x 。

则对0ε∀>，存在多项式()n p x 且满足(,)max{|()()|:[,]}2n n f p f x p x x a b ερ=-∈≤
,取多项式0p A ∈，满足00(,)max{|()()|:[,]}2n n p p p x p x x a b ερ=-∈<
,于是0(,)p f ρ≤0(,p ρ
)n p +(,)n p f ρε<，从A 而在[,]C a b 中稠密。

例2.19 [,](1)p L a b p ≥是可分的度量空间。

证明：由勒贝格积分的绝对连续性可证[,]a b 上的有界可测函数全体[,]M a b 中稠密，例2.18中的集合A 在[,]C a b 中稠密，所以[,](1)p L a b p ≥是可分的。

下面举一个不可分度量空间的例子。

例2.19 有界数列空间l ∞，在l ∞上定义度量
1
(,)sup ||i i i a b ρξη≥=-，({},{})i i a b l ξη∞==∈
则l ∞在度量ρ下是不可分的。

证明：用反证法，若l ∞是可分的，则存在可列稠密集A 。

取l ∞的一个子集{{}:0i i B a a ζ===或1(1,2,)}i =⋅⋅⋅，B 与区间[0,1]可以通过二进制小数建立如下对应：120.i a a a ↔⋅⋅⋅，该对应是一一映射，因此B 是不可数集。

以A 中的所有点
为中心，13为半径的开球1(,)()3B a a A ∈满足1(,)3a A B a l ∞∈=U 。

因此1(,)3a A
B B a ∈⊂U 。

由于A 可数，B 不可数，所以至少存在B 中两个不同点,ξη落入某个开球01(,)3
B a 。

直接计算，显然(,)1ρξη=，但00112(,)(,)(,)333a a ρξηρξρη≤+<+=，矛盾，故l ∞不可数。

2.3.2 度量空间中的完备性
我们在学习数列收敛时，已经知道数列收敛的准则是该数列是否为Cauchy 列，因为数列收敛的充要条件是数列是Cauchy 列，这完全是由实数的完备性所致。

在度量空间中，这一结果未必成立。

为此，我们引入一个重要的概念——度量空间的完备性。

【定义2.11】 度量空间X 中的点列{}n x 称为Cauchy 列，是指对任意0ε>，存在自然数N ，当,n m N ≥时，有(,)n m x x ρε<；度量空间X 称为完备的，是指X 中任何Cauchy 列都是收敛的。

由定义易知X 中的收敛点列是Cauchy 列。

X 中的Cauchy 列若有子列收敛，则Cauchy 列也收敛。

例2.21 欧氏空间n R 是完备的。

证明：设(){}k x 是n R 中任一Cauchy 列，则对0ε∀>，存在自然数N ，当12,k k N ≥时，有12()()(,)k k x x ρε<，于是，对每个坐标所形成的数列
()()()()()12{}((,,,))(1)k k k k k i n x x x x x i n =⋅⋅⋅≤≤,
1212()()()()||(,)k k k k i i x x x x ρε-≤<
这说明(){}k i x 是Cauchy 列，因此，存在实数i x ，满足()()k i i x x k →→∞，记作12(,,,)n x x x x =⋅⋅⋅，则n x R ∈。

这样有()()k x x k →→∞。

例2.22 空间[,]C a b 是完备的。

证明：设{}n f 是[,]C a b 中任一Cauchy 列，则对0ε∀>，存在自然数N ，当
,n m N ≥时，
有(,)n m f f ρε<，即对任意[,]t a b ∈，必有|()()|n m f t f t ε-<，令m →∞，有0|()()|n f t f t ε-≤，则{}n f 一致收敛于0f 。

而[,]n f a b ∈，所以0[,]f a b ∈，且0(,)0n f f ρ→()n →∞，故[,]C a b 空间是完备的。

例2.23 l ∞空间是完备的。

证明：设{}m x 是l ∞中的Cauchy 列，其中()()()12{,,,,}m m m m n x ξξξ=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，则对0ε∀>，存在自然数N ，当,n m N ≥时，下式成立
()()(,)||sup n m n m j j j N
x x ρξξε∈=-<
对每个j N ∈，也有()()||n m j j ξξε-<成立，这样对每个j 存在j R ξ∈，有
()()m j j m ξξ→→∞。

令12{,,,,}n x ξξξ=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，则x l ∞∈且()k x x k →→∞。

事实上，在()()||n m j j ξξε-<中令n →∞，得到对一切m N >，()||m j j ξξε-≤成立。

又因为m x l ∞∈，因而存在实数m k ，使得对所有j ，()||m j m k ξ<成立。

这样就有()()||||||m m j j j j m k ξξξξε≤-+≤+。

这就证明了x l ∞∈，由()||m j j ξξε-≤，可知对一切m N >，下式成立
()(,)||sup m m j j j N
x x ρξξε∈=-≤
所以()m x x m →→∞，因而l ∞是完备的。

注：不完备距离空间是存在的。

例如有理数域就是不完备的，再如[,]C a b 按[,]p L a b (1)p ≥空间的距离构成的度量空间是不完备的。

事实上，[,]C a b 是[,]p L a b 的子空间。

在(,)a b 中取一点c ，如取2
a b c +=
，令 ()tan(()),[,],1,2,n x t atc n t c t a b n =-∈=⋅⋅⋅ 则
0,2()()0
,,2
n a t c x t x t t c c t b ππ⎧-≤<⎪⎪→==⎨⎪⎪<≤⎩ 且|()|([,])2n x t t a b π
≤∀∈，由勒贝格控制收敛定理可以证明{}n x 收敛于[,]p L a b 中
的函数0x ，因而{}n x 是Cauchy 列，而[,]n x C a b ∈，所以{}n x 是[,]C a b 中的Cauchy 列，但0x 不可能对等于一个连续函数，故{}n x 不收敛于[,]C a b 中某个元，所以[,]C a b 作为[,]p L a b 的子空间是不完备的。

从以上例子可以看出，同一集合由于距离定义不同会得到本质上不同的结果。

【定理2.8】 度量空间的完备子空间是闭集；一个完备度量空间的闭子空间是完备的。

证明：设S 是距离空间X 的完备子空间，设x S '∈，则存在{},n n x S x x X ⊂→∈，()n →∞，因为{}n x 是收敛的，所以它是S 中一Cauchy 列，
又因为S 是完备的，所以x S ∈，即S 是闭的。

设X 是完备的距离空间，S 是X 的闭子空间，设{}n x 是S 中的Cauchy 列，则必是X 中的Cauchy 列，因X 完备，故()n x x X n →∈→∞，所以x S ∈，而S 是闭的，故x S ∈，这就证明了S 是完备的。

类似于空间R 上的闭区间套定理 ，我们在距离空间中可得到闭球套定理。

【定理2.9】 设X 是度量空间，(,)(1,2,)n n n n B B x r n ==L 是X 中一列以n x 为中心，以n r 为半径的闭球，则X 是完备的充要条件是若1(1,2,)n n B B n +⊃=L 且0(n r n →)→∞，则必有惟一点1n n x B ∞
=∈I 。

证明：⇒对,n m N ∀∈，由m n n x B +∈，知
(,)n m n n x x r ρ+≤,
由于0()n r n →→∞，从而(,)0()n m n x x n ρ+→→∞，因此，{}n x 是X 中的基本列，由于X 是完备的，所以必有0x X ∈，使0()n x x n →→∞。

再在式(2.6)中令m →∞，由距离函数的连续性得到
0(,)(1,2,)n n x x r n ρ≤=L 因此0(1,2,)n x B n ∈=L ，从而01n n x B ∞=∈I 。

如果又有X 中点01n n y B ∞
=∈I ，从而0(,),1,2,n n y x r n ρ≤=L ，令n →∞，即得000(,)lim (,)0n y x y x ρρ==。

所以00x y =，即1n n B ∞
=I 中只有一点。

⇐设{}n x 是X 中的基本列，由基本列定义知，对11(1,2,)2
k k k ε+=
=L 存在k n N ∈，当,k n m n ≥时，有 11(,)2n m k x x ρ+<
在X 中作一列闭球1(,),1,2,2k n k B x k =L 。

当111(,)2
k n k y B x ++∈时，由于 1111111(,)(,)(,)222
k k k k n n n n k k k x y x x x y ρρρ++++≤+<+< 得知 1(,)2
k n k y B x ∈
所以 11
11(,
)(,),1,2,22k k n n k k B x B x k ++⊃=L 另一方面，1(,)2k n k B x 的半径10()2
k k →→∞，则有惟一点 011(,)2k n k k x B x ∞=∈I 从而0(,)0()k n x x k ρ→→∞，所以0(,)0()n x x n ρ→→∞。

即X 是完备的。

一般的度量空间，如果不是完备的，应用起来往往很困难。

例如，方程解的存在问题，在不完备的度量空间中解方程，即使近似解的序列时基本列，也不能保证这个序列有极限，从而也就不能保证方程在该解空间内有解，因此研究能否在任意度量空间中通过“添加”一些“点”，使之成为完备化的距离空间是很有意义的。

康托将有理数域完备化成实数域的方法为解决此问题提供了重要借鉴。

用他的思想方法解决了度量空间的完备化问题。

【定义2.12】 设(,)X ρ，11(,)X ρ是两个度量空间，如果存在满影射:T X →
1X ，使得对一切,x y X ∈，都有1(,)(,)Tx Ty x y ρρ=，则称T 是X 到1X 的等距映射，称X 与1X 是等距的。

注：等距影射一定是同胚映射。

显然，凡是等距的度量空间，由度量导出的性质全是一样的，因此，当只限于讨论与度量空间有关的性质时，对彼此等距的度量空间可以不加区分。

【定理2.10】 （度量空间的完备化定理）对于每个度量空间X ，必存在一个完备的度量空间0X ，使得X 等距一个在0X 中稠密的子空间X '，如除去等距不计，0X 是惟一的。

由于这个定理证明冗长，且一般泛函分析教材均有证明过程，这里从略。

例 2.24 有理数全体Q 按距离1212(,)||r r r r ρ=-所成度量空间是不完备的，它的完备化空间就是全体实数按距离12(,)||r r x y ρ=-所成的距离空间；[,]P a b 是
[,]a b 上全体多项式函数，按度量12(,)max |()()|a t b
r r x t y t ρ≤≤=-所成度量空间是不完备的，它的完备化空间是[,]C a b ；[,]C a b 按[,](1)p L a b p ≥空间的度量构成的度量空间是不完备的，它的完备化空间是[,]p L a b 。

2.3.3 度量空间中的列紧性
在实数集中，有界数列一定存在收敛子列，但这个结论不能推广到一般的度
量空间中。

例如，在[,]ππ-上的三角函数系
,,}
t t nt t L L
是空间2[,]L ππ-，不可能存在收敛子列。

因此，有必要引入下面的概念。

【定义2.13】 设X 是度量空间，A X ⊂，如果A 中的每一点列都存在一个子列收敛于X 中某一点，则称A 为列紧集；如果A 中的每一点列都存在一个子列收敛于A 中某一点，则称A 是紧集。

由此可见，一个集合是紧集则必是列紧集，但反之不然。

例2.25 X R =，(0,1]A =，1{}A n
⊂，1lim 0n n →∞=，但0A ∉。

因此，A 是列紧集，但不是紧集。

由定义我们可以得出结论：列紧集的子集也是列紧集；有限个列紧集的并一定是列紧集；列紧的闭集一定是紧集。

例2.26 n X R =，n A R ⊂是有界集，则A 是列紧集。

证明：(){}k x A ⊂，记()()()()12{,,}k k k k n x x x x =L ，由A 有界知存在0M >，使(){}k i x ≤(1)M i n ≤≤。

对个数列(){}k i x 是有界的，对()1{}k x 有子列1()1{}k x 收敛，1()2{}k x 仍是有界的，故又存在收敛子序列2()2{}k x ，2{}k 是1{}k 的子集。

依次类推，得到自然数集的子列{}n k ，使()()()12{,,}n n n k k k n x x x L 都收敛，因此(){}n k x 在n R 中收敛，即A 为列紧集。

根据定以来直接判断一个集合是否列紧往往比较困难，为了便于刻画和判断一个集合的列紧性，我们引入全有界集概念。

【定义2.14】 设X 是度量空间，A X ⊂是全有界的，如果对0ε∀>，存在A 中有限个点12,,,n x x x L 满足1(,)n
i i A B x ε=⊂U 。

【定理2.11】 全有界集是有界的，且是可分的。

证明：设X 是度量空间，A X ⊂是全有界的，
则对1ε=存在12{,,,}n x x x A ⊂L ，使1(,1)n
i i A B x =⊂U ，因此对一切x A ∈，有(1)k x k n ≤≤，使(,)1k x x ρ<，所以 1(,)(,)(,)1max (,)1n k k n k n k n
x x x x x x x x M ρρρρ≤≤≤+<+=+（M 是有限数） 故A 有界。

另一方面，若A 全有界，对1n n
ε=，存在有限集 ()()()12{,,,}(1,2,)n n n n n m B x x x n ==L L
使()11(,)n m n i i A B x n
=⊂U ，令1n n B B ∞==U ，则B 是可列集。

任取x A ∈，存在某个1n k m ≤≤，使()n k n x B B ∈⊂，且()1(,)n k x x n
ρ<，说明B 在A 中稠密，故A 可分。

注：定理2.11逆命题不真。

【定理2.12】 如果A 是度量空间X 中的列紧集，则A 是全有界集。

证明：若A 不是全有界集，那么存在00ε>，使得A 中任意有限个点为中心，半径为0ε的球并不能盖住A 。

取1x A ∈，球10(,)B x ε不能盖住A ，于是存在2x A ∈且210(,)x B x ε∉即有120(,)x x ρε≥，同样1020(,)(,)B x B x εεU 也不能盖住A ，存在3x A ∈且31020(,)(,)x B x B x εε∉U ，既有130(,)x x ρε≥，230(,)x x ρε≥，如此继续下去，得到A 中点列{}n x 满足0(,)()n m x x m n ρε≥≠。

可见点列n x 的任何子列均不能收敛，这与A 是列紧集矛盾。

【定理2.13】 如果X 是完备的度量空间，则A 是列紧集的充要条件是A 为全有界的。

证明：必要性由定理2.12即得。

现证充分性：设A 是全有界集，{}n x A ⊂，取1(1,2,)k k k
ε==L ，对11ε=存在以A 中有限个点为中心，1为半径的球的并盖住A ，所以必有某个球1(,1)B a 中
含有{}n x 的某子列，该子列记为(1){}n x ；取212
ε=
，同样存在以A 中有限个点为中心，12为半径的球盖住A ，所以必有某个球21(,)2B a 含有子列(1){}n x 的子列，记为(2){}n x ，如此进行下去，可得子列串为(1)(2){},{},n n x x L ，其中后一个是前一个的子列，且()1{}(,)k n k x B a k
⊂。

从这一个子列串中重新选择一个子列(){}n n x ，即将子列串排成下面的表，选取对角线元素而得(1)1x (1)2x (1)3x (1)4x L
(2)1x (2)2x (2)3x (2)4x L
L L L L L
()1n x ()2n x ()3n x ()4n x …
L L L L L
我们来证明(){}n n x 是Cauchy 列.事实上,对任意0ε>,取自然数N ，使
2N
ε<，则对任何,n m N ≥，有 (){}n n x ，()1{}(,)m m N x B a N
⊂ 所以 ()()()()2(,)(,)(,)n m n m n m n N m N x x x a x a N ρρρε≤+<
< 即(){}n n x 是Cauchy 列。

由X 完备，可知(){}n n x 是收敛列，证得A 为列紧集。

注：在完备的度量空间中，集的列紧性和全有界性是一致的；在一般的度量空间中，列紧性强于全有界性，全有界性强于有界性；在n R 空间中三者是一致的。

现在我们将古典分析中闭区间上连续函数的某些性质推广到度量空间的紧集上。

【定理 2.14】 设A 是度量空间X 中的一个紧集，f 是定义在A 上的一个连续函数，那么f 是有界的，且上下确界可达。

证明：先证f 有界。

若不然，则存在n x A ∈，使lim |()|n n f x →∞
=∞，由于A 是紧的，有{}n x 子列{}k n x 在A 中收敛，即有0x A ∈，使0k n x x →。

由于f 在点0x 连续，有0()lim ()k n k f x f x →∞
=，从而0()f x =∞，这是不可能的。

所以f 在A 上是有界的。

记sup ()x A
f x β∈=，由上确界定义，同样可以找到A 中点列{}k n x ，满足1()n f x n β>-，由A 紧性，存在子列{}k n x 及0x A ∈，使0()k n x x k →→∞，由f 在点0x 连续，得0()lim ()k n k f x f x β→∞
=≥，显然0()f x β≤，于是0()f x β=。

同理可证下确界可达。

关于判断重要空间[,]C a b 中子集的列紧性有下述著名的Arzela-Asccoli 定理。

【定理2.15】 集合[,]A C a b ⊂是列紧的充要条件是下面两个条件成立：
（1）A 是一致有界的，即存在常数0M >，使得每个f A ∈，max |()|a t b
f t M ≤≤≤： （2）A 是等度连续的，即对0ε∀>，存在0δ>，使对任意12,[,]t t a b ∈，当12||t t δ-<及f A ∈时，12|()()|f t f t ε-<成立。

该定理证明较为繁杂，这里从略。

习题2.3
1.设[0,1][2,3,,]X n =U L ，对,x y X ∈，(,)||x y x y ρ=-，问：
（1）X 是否完备； （2）X 是否可分；
（3） X 是否全有界； （4）X 是否列紧。

2.证明稠密性具有传递性即若A 在B 中稠密，B 在C 中稠密，则A 在C 中也稠密。

3.证明列紧集中的Cauchy 列必是收敛列。

4.举例说明完备度量空间的连续像未必是完备的。

5.设X 是度量空间，A X ⊂，证明A 在X 中稠密的充要条件C A 是无内点。

6.记1
1{{}:||}i i i l a a ξ∞
===<∞∑，在1l 上定义度量为 1(,)||i i i a b ρζη∞
==-∑，{}i a ξ=，1{}i b l η=∈
证明: 1l 是可分的且是完备的。

7.设A 是列紧集且是闭集，证明A 是紧集。

8.设{}n F 是一列非空紧集，若满足123F F F ⊃⊃⊃L ，则1n i F ∞
=≠∅I 。

9.设X 是度量空间，x X ∈，A 是X 中紧集，记
(x,)inf{(x,y):y A}A ρρ=∈
证明：当(x,)0A ρ=，那么x A ∈；如果将A 换为列紧集，结论是否成立？
10.证明紧集的连续像是紧集。

11.设X 是度量空间，A X ⊂是紧集，B X ⊂是闭集，记
(,)inf{(,):A,b }A B a b a B ρρ=∈∈
若(,)0 A B ρ≠，证明A B =∅I 。

12.试证l ∞空间不是列紧的。

13.证明[,]L a b ∞空间是不可分的。

2.4 Banach 压缩映像原理
作为完备度量空间概念的应用，我们介绍压缩映像原理。

压缩映像原理是求解代数方程、微分方程、积分方程，以及数值分析中迭代算法收敛性的理论依据，是数学和工程计算中最常用的方法之一。

2.4.1 压缩映像原理
在众多情况下，求解各种方程的问题可以转化为求其某一映射的不动点，现在以大家熟悉的一阶常微分方程
(,)dy f x y dx
= （2.7） 为例来说明这一点。

求微分方程（2.7）满足初始条件00()y x y =的解与求积分方程
0()(,())x
x y x y f x y t dt =+⎰ （2.8）
等价。

我们做映射
0()(,())x
x Ty x y f x y t dt =+⎰
则方程（2.8）的解就转化为求y ，使之满足Ty y =。

也就是求这样的y ，它经映射作用后仍变为y 。

因此，求解方程（2.7）就变为求映射T 的不动点。

这种求解方程变为求解映射的不动点的做法在数学中是常用的。

那么如何求解映射的不动点呢？在R 中求方程解的逐次逼近法给了我们启示。

例2.27 求Kepler 方程sin x x a ε=+的解，其中ε,a 为已知常数，01ε<<。

解:做映射:T R R →，使sin Tx x a ε=+，求方程的解就转化为求映射T 的不动点，即求一点ξ，使T ξξ=。

任取一实数0x ，做如下迭代序列
0x ，10x Tx =，2210x Tx T x ==，L ，0n n x T x =，L ，
得 10sin x x a ε=+
21sin x x a ε=+
L L L L
1sin n n x x a ε+=+
L L L L
由于 111|||||sin sin |n n n n n n x x Tx Tx x x εε+---=-=-
11|sin sin |||n n n n x x x x εε-+=-≤-
所以 1110||||||n n n n n x x Tx Tx x x ε+--=-≤-
因而，对任何自然数m 、n ，n m >，有。