高一数学：图示法找角的象限
人教A版高中数学必修第一册5.1.1任意角课件
由图可知： ①420°是第一象限角． ②855°是第二象限角． ③－510°是第三象限角．
解题方法（任意角和象限角的表示）
1．判断角的概念问题的关键与技能． (1)关键：正确的理解角的有关概念，如锐角、平角等； (2)技能：注意“旋转方向决定角的正负，旋转幅度决定角的绝对值大小．
2．象限角的判定方法． (1)图示法：在坐标系中画出相应的角，视察终边的位置，确定象限． (2)利用终边相同的角：第一步，将α写成α＝k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)的情势； 第二步，判断β的终边所在的象限； 第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限．
答案：－25° 395°
题型分析 举一反三
题型一 任意角和象限角的概念
【例 1】 (1)给出下列说法： ①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③小于 180°的角是钝角、直角或锐角；④始边和终边重合的角是零角． 其中正确说法的序号为________(把正确说法的序号都写上)． (2)已知角的顶点与坐标原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合， 作出下列各角，并指出它们是第几象限角． ①420°，②855°，③－510°.
(2)写出与 α＝－910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等 式－720°＜β＜360°的元素 β 写出来．
解析：(1)－885°＝－1 080°＋195°＝(－3)×360°＋195°. (2)与α＝－910°终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－910°，k∈Z}， ∵－720°＜β＜360°，即－720°＜k·360°－910°＜360°，k∈Z， ∴k取1，2，3. 当k＝1时，β＝360°－910°＝－550°； 当k＝2时，β＝2×360°－910°＝－190°； 当k＝3时，β＝3×360°－910°＝170°.
角所在象限的判定方法
角所在象限的判定方法
1. 嘿，你知道吗？可以通过角的度数范围来判断它在哪个象限呀！比如说 30 度，那肯定就在第一象限嘛。
2. 哇哦，还可以看角的终边位置呢！就像时钟的指针一样，它指到哪里就能判断啦。
比如终边在 x 轴正半轴上，那这角能在别的象限吗？
3. 嘿呀，把象限想象成不同的区域呀，角就像个调皮的小精灵在里面玩耍呢。
90 度不就是正好在 y 轴正半轴上嘛。
4. 哎呀呀，当角是钝角的时候，那它不就在第二象限晃悠嘛！像 120
度角，很明显呀。
5. 你想想看呀，要是角超级大，超过 360 度了咋办？嘿嘿，减去 360 度不就能判断啦！就像420 度，减去360 度，不就是60 度在第一象限嘛。
6. 还有还有啊，负角呢？那就倒着转呗！像-30 度，不就在第四象限嘛。
7. 哇塞，如果是一些特殊角呢，比如180 度，那肯定就在坐标轴上呀，这不很好判断嘛。
8. 哈哈，其实角所在象限的判定方法不难啦，掌握这些小窍门，一下子就能搞清楚啦！
我的观点结论就是：只要掌握好这些方法，角所在象限就能轻松判断啦！。
人教版高中数学-确定角所在象限的方法
确定n 所在象限的方法 对于已知α的象限，求n α的象限，是三角函数中常见的题型，下面介绍几种常用判断方法。
一、特殊值法 对于选择题，取α特殊值，从而求出n α的值，结合选项可排除一些选择支，最后确定答案。
例1 已知α为第三象限角，则2α所在的象限是（ ）A 、 第一或第二象限B 、第二或第三象限B 、 第一或第三象限 D 、第二或第四象限解：取第三象限的角α=600°，则2α=300°，为第四象限，故排除A 、B 、C ，而选D 。
二、等分象限法 求n α所在象限，可先将各个象限n 等分，从第一象限离轴最近的区域开始逆时针方向依次重复标注数码1、2、3、4，直到将所有区域标完为止，α是第几象限，则n α就在图中标号为的区域内。
例2 若α是第二象限角，则3α是第 象限角。
解：将各象限三等分，从第一象限离x 轴最近的区域开始逆时针方向依次重复标注数码1、2、3、4，如图1，由图1可知，3α在图1中标号为2的区域内，即一、二、四象限。
x图1例3 已知α是第一象限角，问3是第几象限的角解：∵α是第一象限 ∴2k π＜α＜2k π+2π（k ∈Z ） ∴34πk ＜32α＜34πk +3π（k ∈Z ）当k=3m （m ∈Z ）时，4m π＜32α＜4m π+3π32α是第一象限角当k=3m+1（m ∈Z ）时4m π+34π＜32α＜4m π+34π+3π32α是第三象限角当k=3m+2（m ∈Z ）时，4m π+38π＜32α＜4m π+38π+3π32α是第二象限角 综上可知，32α是第一、二、三象限角点评：此法是通法，可解决由α与n α及n α的象限关系，设角是某象限的角，判断n α是哪一个象限的角，不能想当然地得到结果（如α是第二象限的角，不能认为2α就一定是第一象限的角）而应经过严密地推理得出结果。
高考数学复习点拨 如何判断角的终边所在的象限
高考数学复习点拨 如何判断角的终边所在的象限 对角的终边所在的象限的判定是一类基础题型，掌握好此类题的解法，可为后面学好三角打下坚实基础，因此要引起重视．下面介绍几种切实可行的方法．一、利用终边相同的角确定象限例1 确定角所在的象限：（1）1410-；（2）390π7． 解：（1）1410436030-=-⨯+，与30角的终边相同，1410∴-在第一象限．（2）39012π54ππ77=+，与12π7的终边相同， 390π7∴在第四象限． 评注：判定一个角的终边所在的象限，可先将此角化为360(0360)kk αα+<∈Z ·，≤或2π(02π)k k αα+<∈Z ，≤的形式，即找出与此角终边相同的角α，再由角α的象限来判断此角所在的象限．二、利用角的范围确定象限例2 已知角α是第一象限的角，则角2α所在象限为（ ） Ａ．第一、三象限 Ｂ．第一、四象限 Ｃ．第二、三象限 Ｄ．第三、四象限解：α是第一象限的角，则36036090k k α<<+··，180180452k k α∴<<+··， 当2()k n n =∈Z 时，360360452n n α<<+··， 2α∴为第一象限的角； 当21()k n n =+∈Z 时，3601803602252n n α+<<+··， 2α∴为第三象限的角； 2α∴为第一或第三象限的角，故选（Ａ）． 评注：已知一个角α所在的象限，判定一个与之相关的角()n nα*∈N 所在的象限，可分n 种情况进行分类讨论．三、利用旋转与对称确定象限例3 若角θ是第四象限的角，则角π2θ-是（ ） Ａ．第一象限角 Ｂ．第二象限角Ｃ．第三象限角 Ｄ．第四象限角解：角θ是第四象限的角，且θ-与θ关于x轴对称，θ∴-是第一象限的角，此时，π2θ-可以看成是角θ-按逆时针方向旋转π2弧度所成的角，即为第二象限的角，故选（Ｂ）．评注：注意旋转与“±”号的关系：“＋”号表示按照逆时针方向旋转；“－”号表示按照顺时针方向旋转．反之也亦然．上面三种方法是判定角的终边所在象限的最常用最基本的方法，我们还可以利用三角函数的符号，构成三角形的条件及三角函数的定义等来确定角所在的象限，在后面的学习中，我们将陆续学习到．。
高一必修三角函数基本概念
规律方法指导1.象限角问题角的终边所在位置角的集合x轴正半轴y轴正半轴x轴负半轴y轴负半轴x轴y轴坐标轴是第一象限角，所以是第二象限角，所以是第三象限角，所以是第四象限角，所以2.角度制与弧度制(1)可利用比例关系进行角度制与弧度制的互化；(2)弧长公式：(是圆心角的弧度数)，扇形面积公式：3.三角函数定义及其应用(1)三角函数的值与点在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.、我们只需计算点到原点的距离,那么,,(2)三角函数在各象限的符号：(一全二正弦，三切四余弦)能迅速准确地判断三角函数值的符号是今后化简求值的关键.要注意在三角函数中，角和三角函数值的对应关系是多值对应关系，即给定一个角，它的三角函数值是唯一确定的(除不存在的情况)；反之，给定一个三角函数值，有无穷多个角和它对应.经典例题透析类型一：象限角1．已知角；(1)在区间内找出所有与角有相同终边的角；(2)集合，,那么两集合的关系是什么？解析：(1)所有与角有相同终边的角可表示为：，则令，得解得，从而或代回或.(2)因为表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合;而集合表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而：.总结升华：(1)从终边相同的角的表示入手分析问题，先表示出所有与角有相同终边的角，然后列出一个关于的不等式，找出相应的整数，代回求出所求解；(2)可对整数的奇、偶数情况展开讨论.2．已知“是第三象限角，则是第几象限角?解法一：因为是第三象限角，所以，∴，∴当k=3m(m∈Z)时，为第一象限角；当k=3m＋1(m∈Z)时，为第三象限角，当k=3m＋2(m∈Z)时，为第四象限角，故为第一、三、四象限角.解法二：把各象限均分3等份，再从x轴的正向的上方起依次将各区域标上I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，并依次循环一周，则原来是第Ⅲ象限的符号所表示的区域即为的终边所在的区域.由图可知，是第一、三、四象限角.思路点拨：已知角的范围或所在的象限，求所在的象限是常考题之一，一般解法有直接法和几何法，其中几何法具体操作如下：把各象限均分n等份，再从x轴的正向的上方起，依次将各区域标上I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，并循环一周，则原来是第几象限的符号所表示的区域即为(n∈N*)的终边所在的区域.总结升华：(1)要分清弧度制与角度制象限角和终边在坐标轴上的角；(2)讨论角的终边所在象限，一定要注意分类讨论，做到不重不落，尤其对象限界角应引起注意.举一反三：【变式1】集合，，则( )A、B、C、D、【答案】C思路点拨：( 法一) 取特殊值-1，-3，-2，-1，0，1，2，3，4(法二)在平面直角坐标系中，数形结合(法三)集合M变形，集合N变形，是的奇数倍，是的整数倍，因此.【变式2】设为第三象限角，试判断的符号.解析：为第三象限角，当时，此时在第二象限.当时，此时在第四象限.综上可知：类型二：扇形的弧长、面积与圆心角问题1．已知一半径为R的扇形，它的周长等于所在圆的周长，那么扇形的中心角是多少弧度？合多少度？扇形的面积是多少？解：设扇形的圆心角是，因为扇形的弧长是，所以扇形的周长是依题意，得≈≈总结升华：弧长和扇形面积的核心公式是圆周长公式和圆面积公式，当用圆心角的弧度数代替时，即得到一般的弧长公式和扇形面积公式：举一反三：【变式1】一个扇形的周长为，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求出这个扇形的最大面积.思路点拨：运用扇形的面积公式和弧长公式建立函数关系，运用函数的性质来解决最值问题.解：设扇形的半径为，则弧长为，于是扇形的面积当时，(弧度)，取到最大值，此时最大值为.故当扇形的圆心角等于2弧度时，这个扇形的面积最大，最大面积是.总结升华：求扇形最值的一般方法是根据扇形的面积公式，将其转化为关于半径(或圆心角)的函数表达式，进而求解.类型三：利用三角函数的定义解题1．已知角的终边过点，求的三个三角函数值.解析：因为过点，所以，.当；，.当，；.总结升华：(1)当角的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际及解题的需要对参数进行分类讨论；(2)若角已经给定，不论点选在的终边上的什么位置，角的三角函数值都是确定的；另一方面，如果角终边上点坐标已经确定，那么根据三角函数定义，角的三角函数值也是确定的.举一反三：【变式1】已知角的终边上一点，且，求的值.解析：由题设知，，所以，得，从而，解得或.当时，，；当时，，；当时，，.学习成果测评基础达标：1.若是第二象限角，则是第_____象限角，2的范围是__________，是第_____象限角.2.已知角的终边经过点P(5，-12)，则的值为__________.3.在半径为R的圆中，的中心角所对的弧长为_____，面积为的扇形的中心角等于_____弧度.4.与角的终边相同，且绝对值最小的角的度数是_________，合_________弧度.5.已知一半径为R的扇形，它的周长等于所在圆的周长，那么扇形的中心角是多少弧度？合多少度？扇形的面积是多少？能力提升：1.设角属于第二象限，且，则角属于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.给出下列各函数值：①；②；③；④.其中符号为负的有( )A.①B.②C.③D.④3.等于( )A. B. C. D.4.是第四象限的角，则是( )A.第一象限的角B.第二象限的角C.第三象限的角D.第四象限的角5.的值( )A.小于B.大于C.等于D.不存在6.设分别是第二、三、四象限角，则点分别在第___、___、___象限.7.设和分别是角的正弦线和余弦线，则给出的以下不等式：①；②；③；④，其中正确的是_____________________________.8.若角与角的终边关于轴对称，则与的关系是___________.9.设扇形的周长为，面积为，则扇形的圆心角的弧度数是____________.10.已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边为射线.(1)求的值；(2)若角的终边在直线上，求的值.综合探究：1.若角的终边上有一点，则的值是( )A. B. C. D.2.函数的值域是( )A. B. C. D.3.若为第二象限角，那么，，，中，其值必为正的有( )A.个B.个C.个D.个4.已知，，那么( ).A. B. C. D.5.若角的终边落在直线上，则的值等于( ).A. B. C.或 D.6.若，且的终边过点，则是第_____象限角，=_____.7.设，则分别是第____________象限的角.8.已知求的范围.答案与解析：基础达标：1.第一或第三；；第四【思路分析】把各象限均分2等份，再从x轴的正向的上方起依次将各区域标上I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，并依次循环一周，则原来是第Ⅱ象限的符号所表示的区域即为的终边所在的区域.2.【思路分析】利用公式先求出点到原点的距离,再代入,3.；4【思路分析】先将角度制转化为弧度制，再代入弧长公式：(是圆心角的弧度数)4.；-5.弧度；度；能力提升：1.C【思路分析】考察象限角解：当时，在第一象限；当时，在第三象限；而，在第三象限；2.C【思路分析】考察终边相同角，以及象限角的符号解：；；3.B【思路分析】4.C【思路分析】，若是第四象限的角，则是第一象限的角，再逆时针旋转5.A【思路分析】6.四、三、二【思路分析】当是第二象限角时，；当是第三象限角时，；当是第四象限角时，；7.②【思路分析】8.【思路分析】与关于轴对称9.【思路分析】10.(1)；(2)【思路分析】终边为射线，可设任一点，再利用定义计算点到原点的距离,代入,,综合探究：1.B【思路分析】2.C【思路分析】当是第一象限角时，；当是第二象限角时，；当是第三象限角时，；当是第四象限角时，3.A【思路分析】在第三、或四象限，，可正可负；在第一、或三象限，可正可负4.B【思路分析】5.D【思路分析】，当是第二象限角时，；当是第四象限角时，6. 二，【思路分析】，则是第二、或三象限角，而得是第二象限角，则7.一、二得是第一象限角；得是第二象限角8.解：，.。
高一数学：图示法找角的象限
图示法速找α/n、nα的终边寻求α/n、nα角终边的问题，一般是建立不等式，对k进行分类讨论后得出结论，但在选择题中我们并不需要如此繁琐——我们可以用形象直观的图示法来求解（也叫等分象限法）。
例1.已知α为第三象限角，求α/2，2α终边所在位置。
解法一（一般法）：由题知2kπ+π<α<2kπ+3/2π（k∈z）求2α: 知2(2k+1)π<2α<2(2k+1)π+π∴2α终边在第一、二象限或x轴正半轴求α：知kπ+π/2<α/2<kπ+3/4π，现分如下情况:①当k=2n 时（n∈z）2nπ+π/2<α/2<2nπ+3/4π此时α/2在第二象限②当k=2n+1时2nπ+3/2π<α/2<2nπ+7/4π此时α/2在第四象限综上所述, α/2在第二或第四象限解法二（图示法）：如图，将坐标轴各象限等分成两份，按逆时针方向依次标注1、2、3、4，标满为止。
然后按下面的方法观察图形得结果求α/2：由于原α在第三象限，所以现在看标有3的数字在图中哪些象限，注意到二、四象限均有3，所以α/2在二、四象限求2α：原α为第三象限角，所以看现在第三象限标有哪些数字，注意到第三象限标有1、2以及一条分割线，所以2α所在象限为一、二或x轴正半轴（1、2间的分割线等价于第一、二象限的分割线，即x轴正半轴）例2.已知A（sinα,cosα）在第二象限，则2α终边所在位置为___________解：由题知sinα<0,cosα>0，∴α在第四象限图示法如下：注意到四象限标有3、4及一条分割线，故2α终边在三、四象限或y轴负半轴扩展·说明：①求α/n、nα终边的问题需将坐标轴各象限等分成n份，然后按上面的做法进行。
②若n为负数，则需要将等分好的象限按顺时针方向标注1、2、3、4，其他不变③关于α/n的问题一般只涉及n=2、3的问题，因为n太大了会出现所有象限均有可能的情况；图示法应用于有些解答题自己需要确定α/n的位置④求nα终边时应特别注意角在象间的可能。
《象限角和轴线角》知识解读
《象限角和轴线角》知识解读
(1)象限角
以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴，建立平面直角坐标系.这样，角的终边（除端点外）在第几象限，就说这个角是第几象限角.如左图，45°角是第一象限角，120°角是第二象限角，225°角是第三象限角，-60°角是第四象限角.象限角的图形表示如右图.
【知识归纳】
象限角的集合表示
【注意】
①各象限角既有正角，又有负角.
②各象限角之间都有界限，例如，第一象限角与第二象限角的界限是y轴正半轴；第二象限角与第三象限角的界限是x轴负半轴；第三象限角与第四象限角的界限是y轴负半轴；第四象限角与第一象限角的界限是x轴正半轴.
（2）轴线角
如果角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，角的终边落在坐标轴上，那么这个角叫作轴线角，这时这个角不属于任何象限.
【知识归纳】
轴线角的集合表示
【注意】
象限角与轴线角的集合表示形式不唯一,如第四象限角也可以表示为
{}|36090360,k k k αα⋅︒-︒<<⋅︒∈Z ;
终边落在x 轴的非正半轴上的角的集合也可以表示为
}{|360180,k k αα=⋅︒-︒∈Z .。
如何判定角的终边所在的象限
如何判定角的终边所在的象限重庆 慕泽刚对角的终边所在的象限的判定是一类基础题型，掌握好此类题的解法，可为后面学好三角打下坚实基础，因此要引起重视．下面介绍几种切实可行的方法．一、利用终边相同的角确定象限例1 确定角所在的象限：（1）1410-；（2）390π7． 解：（1）1410436030-=-⨯+，与30角的终边相同，1410∴-在第一象限．（2）39012π54ππ77=+，与12π7的终边相同， 390π7∴在第四象限． 评注：判定一个角的终边所在的象限，可先将此角化为360(0360)kk αα+<∈Z ·，≤或2π(02π)k k αα+<∈Z ，≤的形式，即找出与此角终边相同的角α，再由角α的象限来判断此角所在的象限．二、利用角的范围确定象限例2 已知角α是第一象限的角，则角2α所在象限为（ ） Ａ．第一、三象限 Ｂ．第一、四象限Ｃ．第二、三象限 Ｄ．第三、四象限解：α是第一象限的角，则36036090k k α<<+··，180180452k k α∴<<+··， 当2()k n n =∈Z 时，360360452n n α<<+··， 2α∴为第一象限的角； 当21()k n n =+∈Z 时，3601803602252n n α+<<+··， 2α∴为第三象限的角； 2α∴为第一或第三象限的角，故选（Ａ）． 评注：已知一个角α所在的象限，判定一个与之相关的角()n nα*∈N 所在的象限，可分n 种情况进行分类讨论．三、利用旋转与对称确定象限例3 若角θ是第四象限的角，则角π2θ-是（ ）Ａ．第一象限角Ｂ．第二象限角Ｃ．第三象限角Ｄ．第四象限角解：角θ是第四象限的角，且θ-与θ关于x轴对称，θ∴-是第一象限的角，此时，π2θ-可以看成是角θ-按逆时针方向旋转π2弧度所成的角，即为第二象限的角，故选（Ｂ）．评注：注意旋转与“±”号的关系：“＋”号表示按照逆时针方向旋转；“－”号表示按照顺时针方向旋转．反之也亦然．上面三种方法是判定角的终边所在象限的最常用最基本的方法，我们还可以利用三角函数的符号，构成三角形的条件及三角函数的定义等来确定角所在的象限，在后面的学习中，我们将陆续学习到．。
高中数学三角函数专题：象限角
高中数学三角函数专题：象限角第一部分：角的基本概念知识点一：初中数学中角的定义。
角的定义：有共同端点的两条射线组成的图形。
如下图所示：知识点二：高中数学中角的定义。
角的定义：一条射线起始的位置定义为始边，这条射线在端点不动的情况进行旋转（可以逆时针和顺时针两个方向旋转），最终射线所在的位置定义为终边，始边和终边组成的图像为角。
如下图所示：正负角的定义：①顺时针旋转为负角；②逆时针旋转为正角。
如下图所示：-逆时针旋转为正角：α顺时针旋转为负角：α知识点三：象限角的定义。
象限角的规定：在平面直角坐标系xoy中：①以坐标原点为角的顶点；②以x轴的非负半轴为始边；③终边所在的象限为角的象限。
如下图所示：α是第一象限角α是第四象限角α是第三象限角α是第二象限角知识点四：与α角终边相同的角。
（Ⅰ）终边比α逆时针多旋转k 圈：k 0360+α；（Ⅱ）终边比α顺时针多旋转k 圈：k 0360-α。
结论：与α角终边相同的角：k 0360+α，其中Z k ∈。
知识点五：象限的划分。
按照正角划分：如下图所示：象限角的范围第一象限)36090,3600(0000k k ++，其中Z k ∈第二象限)360180,36090(0000k k ++，其中Z k ∈第三象限)360270,360180(0000k k ++，其中Z k ∈第四象限)360360,360270(0000k k ++，其中Zk ∈按照负角划分：如下图所示：象限角的范围第一象限)360270,360360(0000k k +-+-，其中Z k ∈第二象限)360180,360270(0000k k +-+-，其中Z k ∈第三象限)36090,360180(0000k k +-+-，其中Z k ∈第四象限)3600,36090(0000k k ++-，其中Zk ∈第二部分：角的基本概念题型题型一：判断角的象限。
模型一：已知角α为正角，判断角α的象限。
高中数学新北师大版必修第二册 第一章 2.1 角的概念推广 2.2 象限角及其表示 课件(23张)
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2.1 角的概念推广 2.2 象限角及其表示
课前篇自主预习 课课堂堂篇篇探探究究学学习习
探究一
探究二
探究三
当堂检测
终边相同的角 例2写出与75°角终边相同的角的集合S,并把S中适合360°≤β<1 080°的元素β写出来. 解与75°角终边相同的角的集合为 S={β|β=75°+k·360°,k∈Z}. 当360°≤β<1 080°时, 即360°≤75°+k·360°<1 080°,
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2.1 角的概念推广 2.2 象限角及其表示
探究一
探究二
探究三
当堂检测
课前篇自主预习 课课堂堂篇篇探探究究学学习习
反思感悟 概念辨析问题的求解方略 对于概念辨析题,一是利用反例排除错误答案,二是利用定义直接 判断.此题需要准确理解象限角、锐角、钝角、终边相同的角等根 本概念才能作出正确的判断.
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2.1 角的概念推广 2.2 象限角及其表示
课前篇自主预习 课堂篇探究学习
激趣诱思
知识点拨
微练习1
用任意角表示以下各角:
(1)顺时针拧螺丝1圈转过的角为
;
(2)将时钟拨慢2 h,分针转过的角为
.
答案(1)-360° (2)720°
微练习2
以下说法正确的选项是( )
A.最大角是180° B.最大角是360°
即-k·360°<180°-α<90°-k·360°(k∈Z).
所以180°-α为第一象限角.
同理,180°+2k·360°<2α<360°+2k·360°(k∈Z),
所以角2α可能是第三、第四象限角或者终边落在y轴的非正半轴上.
象限角与轴线角的集合表现PPT课件
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谣 腿 猾 蛇 淖 港 夹 乎 垢 套
陡
雁
司
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壮
象限角与轴线角的集1 8 0 的整数倍 ，终边落在同一条射线上的角相差360 的整数 倍.
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克 比 肮 仰 琅 殆 洱 店 说 纽
凄 坤 福 寺 佣 砷 喳 化 征 婴
漳
申
府
瑰
畏
象限角与轴线角的集合表示
【变形训练】
1、若角α 的终边为第二象限的角平分线，则 α的集
{x|x2k3,kZ}
合为
4
；
2、已知α 是第二象限角，且 |2|4,则 α的范围
(3,) (,2]
是2
2.
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拷 杭 屠 暑 簇 期 静 牺 汞 勤
啼
姆
危
责
昏
象限角与轴线角的集合表示
【变形训练】
3、写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合（这 括边界）
（1）
（2） （3）
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长 隐 丹 曹 需 耽 思 畔 弗 痔
煮
店
虑
睁
曹
象限角与轴线角的集合表示
【变形训练】
解：(1){|45k36090k360, 180k360225k360,kZ}； （2） {|k9045k90, kZ}； （3） {|120k360150k360, kZ}．
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咎 癣 扼 称 辑 碎 惭 赵 潦 溃
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些
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卫
孩
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象限角与轴线角的集合表示
角所在象限的判断
等分角所在象限的判断方法在解决这类问题时，我们既可以采用常规的代数法，也可以利用数形结合思想，采用图示法巧妙对nα角所在的象限做出正确判断。
一、代数法就是利用已知条件写出α的范围，由此确定n α角的范围，再根据nα角的范围确定所在的象限；【例1】已知α为第一项限角，求2α角所在的象限。
解：∵ α为第一项限角 ∴ 90360360+⨯⨯k kα )(Z k ∈451802180+⨯⨯k k α)(Z k ∈若)(2Z n n k ∈=,则453602360+⨯⨯n n α)(Z n ∈∴ 2α角是第一象限角； 若)(12Z n n k∈+=，则)(2253602180360Z n n n ∈+⨯+⨯ α∴ 2α角是第三象限角； 因此，2α角是第一项限或第三象限角 【例2】已知α为第二项限角，求2α角所在的象限。
解：∵ α为第二项限角 ∴180********+⨯+⨯k k α )(Z k ∈90180245180+⨯+⨯k k α)(Z k ∈若)(2Z n n k ∈=,则90360245360+⨯+⨯n n α)(Z n ∈∴ 2α角是第一象限角； 若)(12Z n n k∈+=，则)(2703602225360Z n n n ∈+⨯+⨯ α∴ 2α角是第三象限角； 因此，2α角是第一项限或第三象限角二、图示法就是在平面直角坐标系中，将坐标系的每个象限n 等分，通过“标号”、“选号”和“定象限”几个步骤最后确定n α角所在的象限；【例3】已知α为第三项限角，求3α角所在的象限。
解：第一步：因为要求3α角所在的象限，所以画出直角坐标系，如图1所示，把每个象限 等分三等份；第二步：标号，如图所示，从靠近x 轴非负半轴的第一项限内区域开始，按顺时针方 向，在图中一次标上1,2,3,4,1,2,3,4,1,2,3,4；第三步：因为α为第三项限角，所以在图中将数字3的范围画出，可用阴影表示； 第四步：定象限，阴影部分在哪一部分，3α角的终边就在那个象限； 由以上步骤可知，α为第三项限角，3α角为第一、第三或第四象限角。
n等分角象限及其取值范围的确定
()n N nα+∈的象限及其范围确定已知α为某象限的角，如何确定nα所在的象限及其取值范围呢？下面我们介绍一种几何作图法来解决这类问题。
一、nα所在象限的确定 一般地，要确定nα所在的象限，可以做出各个象限的从原点出发的n 等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n 个区域。
从x 轴的非负半轴起，按逆时针方向把这4n 个区域依次循环标上1,2,3,4。
标号为几的区域，就是根据α所在第几象限时nα的终边所落在的区域。
如此，nα所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观的看出。
例：若α为第二象限角，试用几何作图法确定2α所在的象限。
【解析】根据分母值2，将每个象限二等分，然后标号，最后根据α为第二象限角确定2α的终边所落的区域，从而看出2α所在的象限。
①利用几何作图法，二等分各个象限并标号，如下图：x②因为α为第二象限角，所以上图标号为2区域就是2α的终边所落在的区域。
上图中有两个区域标号为2，分别在第一象限与第三象限，所以2α所在的象限为一、三象限。
二、nα取值范围的确定在确定nα的取值范围之前，我们要先明确下面两类终边相同角的集合的表示方法：①终边落在射线上的角的集合表示方法：(){}=+2,,2,2k k Z ββαπαππ∈∈-； ②终边落在直线上的角的集合表示方法：(){}=+,,,k k Z ββαπαππ∈∈-。
注意：终边在射线上对应的是2π的整数倍；终边在直线上对应的是π的整数倍。
例：若α为第二象限角，试确定2α的取值范围。
x【解析】在上面我们已经确定了2α的终边落在了标号为2的区域内，因此2α的取值范围就在标号为2的区域所在的范围，如图：x因为一、三象限的等分线与x 正半轴夹角为4π，y 正半轴对应的角为2π，并且这两个角的终边都落在直线上。
与4π终边相同的角的终边都落在直线y x =上，与2π终边相同的角的终边都落在直线0x =（y 轴）上。
所以2α的取值范围是,422k k k Z παπππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭。
如何判断角的终边在第几象限
如何判断角的终边在第几象限
第一象限：（0°±k360°，90°±k360°）;第二象限：（90°±k360°，180°±k360°）;第三象限：（180°±k360°，270°±k360°）;第四象限：（270°±k360°，360°±k360°），其中k=0，1，2，3……。
以上角的定义均未考虑数值为负的角。
不过在一些应用时，会将角的数值加上正负号，以标明是相对参考物不同方向的旋转。
在二维的笛卡儿坐标系中，角一般是以x轴的正向为基准，若往y 轴的正向旋转，则其角为正角，若往y轴的负向旋转，则其角为负角。
若二维的笛卡儿坐标系也是x轴朝右，y轴朝上，则逆时针的旋转对应正角，顺时针的旋转对应负角。
一般而言，−θ角和一圈减去θ所得的角等效。
例如−45°和360°−45°（=315°）等效，但这只适用在用角表示相对位置，不是旋转概念时。
旋转−45°和旋转315°是不同的。
在三维的几何中，顺时针及逆时针没有绝对的定义，因此定义正角及负角时均需列出其参考的基准，一般会以一个通过角的顶点，和角所在平面垂直的向量为基准。
在导航时，导向是以北方为基准，正向表示顺时针，因此导向45°对应东北方。
导向没有负值，西北方对应的导向为315°。
高中数学必修一第五章讲义
5.1 任意角和弧度制知识点一 任意角 1．角的概念：角可以看成平面内一条 绕着它的端点 所成的 ． 2．角的表示：如图所示：角α可记为“α”或“∠α”或“∠AOB ”，始边： ，终边： ，顶点 .3．角的分类：名称 定义图示正角一条射线绕其端点按 方向旋转形成的角负角 一条射线绕其端点按 方向旋转形成的角零角一条射线 做任何旋转形成的角设α，β是任意两个角， 为角α的相反角． (1)α＋β：把角α的 旋转角β. (2)α－β：α－β＝ ．知识点三 象限角把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与 重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，角的 在第几象限，就说这个角是第几 ；如果角的终边在 ，就认为这个角不属于任何一个象限．知识点四 终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∠Z }，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． 知识点五 度量角的两种制度角度制定义用度作为单位来度量角的单位制1度的角 1度的角等于周角的1360弧度制定义 以 作为单位来度量角的单位制 1弧度的角长度等于 的圆弧所对的圆心角知识点六 弧度数的计算 （1）弧度数正角的弧度数是一个 数. 负角的弧度数是一个 数. （2）零角的弧度数是 （3）弧度数的计算 公式：rl =α知识点七 角度与弧度的互化角度化弧度 弧度化角度 360°＝ rad 2π rad ＝ 180°＝ rad π rad ＝ 1°＝π180 rad≈0.017 45 rad1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π°≈57.30° 度数×π180＝弧度数弧度数×⎝⎛⎭⎫180π°＝度数知识点八 弧度制下的弧长与扇形面积公式设扇形的半径为R ，弧长为l ，α(0<α<2π)为其圆心角，则 (1)弧长公式：l ＝αR .(2)扇形面积公式：S ＝12lR ＝12αR 2.1．与2022︒终边相同的角是（ ） A ．488-︒B ．148-︒C ．142︒D ．222︒ 2．135-的角化为弧度制的结果为（ ） A ．32π-B ．35π-C ．34π-D ．34π 3．下列说法正确的是（ ） A ．终边相同的角相等 B ．相等的角终边相同 C ．小于90︒的角是锐角 D ．第一象限的角是正角4．如图所示的时钟显示的时刻为4：30，此时时针与分针的夹角为(0).ααπ<≤则α=（ ）A ．2π B ．4π C ．8π D ．16π 5．沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”.如图，AB 是以O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是AB 的中点，D 在AB 上，CD AB ⊥.“会圆术”给出AB 后的弧长的近似值s 的计算公式：2CD s AB OA=+，记实际弧长为l .当2OA =，60AOB ∠=︒时，l s -的值约为（ ）（参考数据： 3.14π≈3 1.73≈）A ．0.01B ．0.05C ．0.13D ．0.536．把375-︒表示成2πk θ+，k Z ∈的形式，则θ的值可以是（ ） A ．π12B ．π12-C ．5π12D ．5π12-7．角76π所在的象限为（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．已知一扇形的周长为6(0)a a >，则当该扇形的面积取得最大时，圆心角大小为（ ） A ．6π B ．4π C ．1 D ．2二、多选题9．若α是第二象限角，则（ ） A ．πα-是第一象限角 B ．2α是第一或第三象限角 C ．32πα+是第二象限角 D ．α-是第三或第四象限角10．设扇形的圆心角为α，半径为r ，弧长为l ，面积为S ，周长为L ，则（ ） A ．若α，r 确定，则L ，S 唯一确定 B ．若α，l 确定，则L ，S 唯一确定 C ．若S ，L 确定，则α，r 唯一确定 D ．若S ，l 确定，则α，r 唯一确定11．下列结论中正确的是（ ）A ．终边经过点()(),0m m m >的角的集合是2,4k k Z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；B ．将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是3π； C ．若α是第三象限角，则2α是第二象限角，2α为第一或第二象限角； D ．{}4590,M x x k k Z ==︒+⋅︒∈，{}9045,N y y k k Z ==︒+⋅︒∈，则M N ⊆12．已知A ={第一象限角}，B ={锐角}，C ={小于90︒的角}，那么A 、B 、C 关系是（ ） A ．B A C =⋂ B ．C C =B ∪ C ．B A B = D ．A B C ==三、填空题13．写出两个与6π终边相同的角______．14．半径为2cm ，中心角为30的扇形的弧长为______cm ．15．如图，扇环ABCD 中，弧4AD =，弧2BC =，1AB CD ==，则扇环ABCD 的面积S =__________．16．如图所示，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P 出发，绕圆锥爬行一周后回到点P 处，若该小虫爬行的最短路程为43___________.四、解答题17．已知1690α=．(1)把α表示成2k πβ+的形式，其中k ∈Z ，[)0,2βπ∈； (2)求θ，使θ与α的终边相同，且[)4,2θππ∈--．18．已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为()0L α>． (1)已知扇形的周长为10cm ，面积是24cm ，求扇形的圆心角；(2)若扇形周长为20cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求此扇形的最大面积．19．已知1570α=-︒，2750α=︒，135rad πβ=，23rad πβ=-．(1)将1α，2α用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限；(2)将1β，2β用角度制表示出来，并在{}720180ββ-︒≤≤-︒内找出与它们终边相同的所有角．5.2 三角函数的概念知识点一任意角的三角函数的定义条件如图，设α是一个任意角，α∠R，它的终边OP与单位圆交于点P(x，y)定义正弦点P的叫做α的正弦函数，记作sin α，即y＝余弦点P的叫做α的余弦函数，记作cos α，即x＝正切点P的纵坐标与横坐标的比值yx叫做α的正切，记作tan α，即yx＝三角函数正弦函数y＝sin x，x∠R余弦函数y＝cos x，x∠R正切函数y＝tan x，x≠π2＋kπ，k∠Z知识点二正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号1．图示：2．口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．知识点三公式一终边相同的角的同一三角函数的值．即=+)2sin(παk=+)2cos(παk=+)2tan(παk其中Zk∈知识点四 同角三角函数的基本关系关系式文字表述平方关系sin 2α＋cos 2α＝ 同一个角α的正弦、余弦 的 等于 商数关系sin αcos α＝ ⎝⎛⎭⎫α≠π2＋k π，k ∠Z同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的一、单选题1．已知角α的终边与单位圆交于点132P ⎛- ⎝⎭，则sin α的值为（ ）A ．3B ．12-C 3D ．122．已知角θ的终边经过点(,3)M m m -，且1tan 2θ=，则m =（ ） A ．12B ．1C ．2D ．523．已知()2,P y -是角θ终边上一点，且22sin θ=y 的值是（ ） A ．22B ．225C ．434D 4344．若12cos 13α=，且α为第四象限角，则tan α的值为（ ） A ．125B ．125-C ．512D ．512-5．已知π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且3tan 4α=-，则cos α=（ ）A ．35B ．35C ．45-D ．456．已知α为第二象限角，则（ ） A ．sin 0α<B ．tan 0α>C ．cos 0α<D ．sin cos 0αα>7．已知P 是半径为3cm 的圆形砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置0P 开始，按逆时针方向做匀速圆周运动，角速度为πrad/s 2.如图，以砂轮圆心为原点，建立平面直角坐标系xOy ，若0π3P Ox ∠=，则点P 到x轴的距离d 关于时间t （单位：s ）的函数关系为（ ）A ．π3sin 43d t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．ππ3sin 23d t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．π3sin 43d t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．ππ3sin 23d t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭8．在平面直角坐标系xOy 中，P （x ，y ）（xy ≠0）是角α终边上一点，P 与原点O 之间距离为r ，比值rx叫做角α的正割，记作sec α；比值r y 叫做角α的余割，记作csc α；比值xy叫做角α的余切，记作cot α．四名同学计算同一个角β的不同三角函数值如下：甲：5sec 4β=-；乙：5csc 3β=；丙：3tan 4β=-；丁：4cot 3β=． 如果只有一名同学的结果是错误的，则错误的同学是（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁二、多选题9．下列说法错误的是（ ）A ．将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是6πB ．若角2rad α=，则α角为第二象限角C ．若角α为第一象限角，则角2α也是第一象限角 D ．在区间ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭内，函数tan y x =与sin y x =的图象有3个交点10．已知角α的终边与单位圆交于点3,55m P ⎛⎫⎪⎝⎭，则sin α的值可能是（ ）A ．45B ．35C ．45-D ．3511．已知角θ的终边经过点(2,3)--，且θ与α的终边关于x 轴对称，则（ ） A ．21sin 7θ=- B ．α为钝角C ．27cos 7α=-D ．点(tan θ，tan α)在第四象限12．已知点()(),20P m m m -≠是角α终边上一点，则（ ） A ．tan 2α B ．5cos 5α=C ．sin cos 0αα<D ．sin cos 0αα>三、填空题13．已知角α的终边经过点()1,2P ，sin 2cos sin cos αααα--+的值是____________．14．已知角2022α= ， 则sin cos tan sin cos tan αααααα++= _______________________． 15．若π0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，记22cos sin P θθ=-，33cos sin Q θθ=-，44cos sin R θθ=-，则P 、Q 、R 的大小关系为_________．16．已知1sin cos 52παααπ⎛⎫+=-<< ⎪⎝⎭，则11sin cos αα-的值为___________.四、解答题17．已知第一象限角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点()1P m m +,，且3cos 5α=． (1)求m 及tan α的值； (2)求()sin sin cos ααα+的值．18．已知tan 2α=，求下列各式的值. (1)1sin cos αα； (2)111sin 1sin αα+-+. 19．已知2212sin cos 2cos sin αααα+=-． (1)求tan α的值； (2)求222sin 3sin cos cos αααα+-的值．20．已知第二象限角α满足sin ,cos αα是关于x 的方程2255120x x --=的两个实根. (1)求1tan tan αα+的值； (2)求()22sin cos sin 2cos sin ααααα+-的值.5.3 诱导公式知识点一 公式二～四终边关系 图示公式公式二角π＋α与角α的终边关于 对称sin(π＋α)＝ ， cos(π＋α)＝ ， tan(π＋α)＝ 公式三角－α与角α的终边关于 轴对称sin(－α)＝ ， cos(－α)＝ ， tan(－α)＝ 公式四角π－α与角α的终边关于 轴对称sin(π－α)＝ ， cos(π－α)＝ ， tan(π－α)＝知识点二 诱导公式五、六 （1）公式五=-)2sin(απ=-)2cos(απ（2）公式六=+)2sin(απ=+)2cos(απ一、单选题1．cos210︒的值等于（ ） A ．12 B ．32C ．32-D ．22-2．已知5sin 5α=，则πcos 2α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．55B ．55-C ．255-D ．2553．3cos()sin 2x x ππ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭（ ） A ．2cos x -B ．0C ．2sin x -D ．cos sin x x -4．已知()0,απ∈，()tan 3sin παα-=，则tan α=（ ） A ．22B 2C ．2D ．22-5．若()tan π3α-=，则sin 2cos sin cos αααα-=+（ ） A ．52B ．52-C ．14-D ．146．若()1sin 2π3α+=，tan 0α<，则cos α=（ ）A ．22B ．13-C ．13D 227．已知()113sin cos 2013cos 22ππαπαα⎛⎫⎛⎫-+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则22sin sin cos ααα-=（ ） A ．2110 B ．32C 3D ．28．若α为任意角，则满足cos cos 2k παα⎛⎫+⋅=- ⎪⎝⎭的一个k 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、多选题9．下列转化结果正确的有（ ） A ．171sin62π= B ．113tan 6π⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．150-化成弧度是76π-D ．12π化成度是15 10．在∠ABC 中，下列关系式恒成立的有（ ） A ．()sin sin A B C += B ．cos sin 22A B C +⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．()sin 22sin20A B C ++=D ．()cos 22cos20A B C ++=11．在平面直角坐标系中，若α与β的终边关于y 轴对称，则下列等式恒成立的是（ ） A ．()sin sin απβ+= B ．()sin sin απβ-= C ．()sin 2sin παβ-=- D ．()sin 2sin παβ+=12．下列说法正确的有（ ） A ．3sin 600tan 240︒+︒=B ．若已知cos31m ︒=，则2sin 239tan1491m =-︒︒C ．已知()1cos 753α︒+=，且18090α-︒<<-︒，则()22cos 15α︒-=D ．函数()1f x ax =+在区间()1,1-上存在一个零点的充分必要条件是1a <-或1a > 三、填空题13．172053sin cos tan 636πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭__________．14．()()cos585tan 585sin 570︒=-︒+-︒__________． 15．已知π3cos 64α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则5ππcos sin 63αα⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭__________．16．若tan()2πα-=-，则3cos(2)2cos 2sin()sin 2ππααππαα⎛⎫-+- ⎪⎝⎭=⎛⎫---- ⎪⎝⎭__________.四、解答题17．已知()4cos 5πα+=，且tan 0α>. (1)求tan α的值； (2)()()()2sin sin 22ππααπ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭'的值.18．已知角α终边上一点()43P ,-，求下列各式的值．(1)sin cos sin cos αααα+- (2)()cos sin 2119cos sin 22παπαππαα⎛⎫+-- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19．（1）已知()1sin 3πα-=，求()sin 3,cos 2ππαα⎛⎫+- ⎪⎝⎭的值．（2）化简()()sin 2cos 3sin cos 22παπαππαα-⋅+⎛⎫⎛⎫+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．20．已知正弦三倍角公式：3sin 33sin 4sin x x x =-∠（1）试用公式∠推导余弦三倍角公式（仅用cos x 表示cos3x ）； （2）若角α满足sin 33sin 2αα=，求cos3cos αα的值.5.4 三角函数的图象与性质知识点一正弦函数、余弦函数的图象函数y＝sin x y＝cos x图象图象画法五点法五点法关键五点，⎝⎛⎭⎫π2，1，，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)正(余)弦曲线正(余)弦函数的叫做正(余)弦曲线知识点二函数的周期性1．函数的周期性一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个，使得对每一个x∠D都有x＋T∠D，且，那么函数f(x)就叫做周期函数．叫做这个函数的周期．2．最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个，那么这个最小正数叫做f(x)的最小正周期．知识点三正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性函数y＝sin x y＝cos x图象定义域R R周期2kπ(k∠Z且k≠0)2kπ(k∠Z且k≠0)最小正周期2π奇偶性知识点四正弦函数、余弦函数的单调性与最值正弦函数 余弦函数图象定义域 RR值域单调性在每一个闭区间⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∠Z )上都单调递增，在每一个闭区间⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∠Z )上都单调递减在每一个闭区间[2k π－π，2k π](k ∠Z )上都单调递增，在每一个闭区间[2k π，2k π＋π] (k ∠Z )上都单调递减最值x ＝π2＋2k π(k ∠Z )时，y max ＝1；x ＝－π2＋2k π(k ∠Z )时，y min ＝－1x ＝2k π(k ∠Z )时，y max ＝1；x ＝2k π＋π(k ∠Z )时，y min ＝－1知识点五 正切函数的图象与性质解析式y ＝tan x图象定义域 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∠Z 值域 R 最小正周期 π 奇偶性 奇函数单调性 在每一个区间⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∠Z )上都单调递增 对称性对称中心⎝⎛⎭⎫k π2，0(k ∠Z )一、单选题1．下列关于函数tan 23y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的说法正确的是（ ）A ．最小正周期为πB ．图像关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称C ．在区间,312ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增 D ．图像关于直线12x π=-成轴对称2．与图中曲线对应的函数可能是（ ）A ．sin y x =B ．sin y x =C ．sin y x =-D ．sin y x =-3．函数sin(2)4y x π=-的单调减区间是（ ）A ．3[,],(Z)88k k k ππππ-+∈ B ．3[2,2],(Z)88k k k ππππ-+∈ C ．37[2,2],(Z)88k k k ππππ++∈ D ．37[,],(Z)88k k k ππππ++∈ 4．已知函数()sin()f x x ϕ=+为偶函数，则ϕ的取值可以为（ ） A ．π2-B ．πC ．π3D ．05．已知函数()tan 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，下列说法正确的有（ ）∠函数()f x 最小正周期为2π； ∠定义域为|R,,Z 28k x x x k ππ⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭∠()f x 图象的所有对称中心为,0,Z 48k k ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭； ∠函数()f x 的单调递增区间为3,,Z 2828k k k ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个6．函数()()sin 2,0,6f x x x ππ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，若方程()2f x =的解为()1212,0x x x x π<<<，则()12sin x x -=（ ）A ．23-B ．33-C ．73-D ．26-7．记函数()sin()f x x ωϕ=+π0,02ωϕ⎛⎫><< ⎪⎝⎭的最小正周期为T ，若2()2f T =，3π4x =为()f x 的零点，则T的最大值为（ ） A ．πB ．2πC ．4πD ．6π8．已知函数π()cos 22cos 2f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，给出下列结论：∠()f x 的最小正周期为2π： ∠()f x 是奇函数：∠()f x 的值域为33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； ∠()f x 在ππ,26⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增．其中所有正确结论的序号是（ ） A ．∠∠ B ．∠∠ C ．∠∠∠ D ．∠∠∠二、多选题9．下列函数以π02⎛⎫⎪⎝⎭,为对称中心的有（ ） A ．sin y x = B ．tan y x = C ．πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．sin 2y x =10．函数()π3sin 334g x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则（ ）A ．()g x 的最小正周期为6πB ．()g x 的图像关于直线π4x =对称 C ．()g x 的图像关于点5π,312⎛⎫- ⎪⎝⎭对称 D ．()g x 在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增11．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，下列说法错误的是（ ）A ．函数()y f x =的图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称；B ．函数()y f x =的图象关于直线512x π=-对称；C ．函数()y f x =在2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减； D ．该图象向右平移3π个单位可得2sin2y x =的图象. 12．已知函数()sin (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，则下列命题正确的是（ ）A ．若()f x 在[0,)π上有10个零点，则3943,44ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦B ．若()f x 在[0,)π上有11条对称轴，则3943,44ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦C ．若()f x 2在[0,)π上有12个解，则21,122ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦D ．若()f x 在,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则35,42ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦三、填空题13．函数()=sin2+1(0)f x x ωω>在ππ62⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，则ω取值范围为_____________14．已知函数()(25sin π,0,4f x x x ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，设方程(),(01)f x m m =<<的根从小到大依次为123,,x x x ，且2132x x x =，则m =___________.15．设函数2()|sin |2cos 1f x x x =+-，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则函数()f x 的最小值是__________．16．设函数()()sin 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，若()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上有且仅有2个零点，则实数ω的取值范围为______________.四、解答题17．已知函数()sin 62f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)求函数()f x 在区间[]0,2π上的所有零点之和.18．已知函数()sin()(R,0,0,0)2f x A x x A πωϕωϕ=+∈>><<的部分图象如图所示.(1)求()f x 的解析式； (2)求不等式()1f x >的解集.19．已知函数2π()sin(2)3f x x =+. (1)请用五点法做出()f x 一个周期内的图像；(2)若函数()()g x f x m =-在区间π[0,]2上有两个零点，请写出m 的取值范围，无需说明理由.20．已知函数()()2sin f x x ωϕ=+（0>ω，π<ϕ），其图象一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差π4，______；从以下两个条件中任选一个补充在空白横线中．∠函数()f x 向左平移π6个单位得到的图象关于y 轴对称且()00f <．∠函数()f x 的一条对称轴为π3x =-且()π16f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭；(1)求函数()f x 的解析式；(2)若π17π,212x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，方程()()()2430f x a f x a +-+-=存在4个不相等的实数根，求实数a 的取值范围．勉，学习需坚持。
5.1.1 任意角 课件 2024~2025学年高一数学人教A版(2019)必修第一册
变式：如图所示的图形，那么终边落在阴影部分的角的集合是什么? {α|n·180°+60°≤α<n·180°+105°，n∈Z}.
作者编号：32101
归纳总结
象限角 第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角
集合表示 {α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z} {α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z} {α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z} {α|k·360°＋270°<α<k·360°＋360°，k∈Z}
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一、角的概念的推广 1.角的概念 “旋转”形成角 角可以看成一条 射线绕着它的端点 旋转 所成的 图形 . 2.角的表示
如图所示，角α可记为“α”或“∠α”或“∠AOB”，始边： OA，终边： OB ， 顶点： O .
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用旋转来描述角，需要注意三个要素（旋转中心、旋转方向和旋转量） (1)旋转中心：作为角的顶点. (2)旋转方向：旋转变换的方向分为逆时针和顺时针两种，这是一对意义相反 的量，根据以往的经验，我们可以把一对意义相反的量用正负数来表示，那么 许多问题就可以解决了； (3)旋转量：当旋转超过一周时，旋转量即超过360º，角度的绝对值可大于360º.
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当堂检测
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C 第二或第四
A.120°
B.－12ห้องสมุดไป่ตู้°
C.－60°
D.60°
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二、“象限角”
我们往往在平面直角坐标系中来讨论角.
为了研究方便，使角的顶点重合于坐标原点，
并判定它是第几象限角
弧长 l | | r
扇形的面积S＝？1 l r 1 | | r 2
2
2
※ 弧度制与角度制的转换：
思考：你觉得1°角和1 rad哪个更大一点？
1° rad 0.0174r5ardad
180
1rad 180 57.30°
联系：180°＝πrad
※ 弧度制：
• 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度 （radian）的角，用符号rad表示，读作弧度。
填表：
弧AB的长 πr 2πr r 2r πr 0
πr 2πr
OB旋转的方向 逆时针方向 逆时钟方向 逆时针方向 顺时针方向 顺时针方向 无 逆时针方向 逆时针方向
∠AOB的弧度数 π 2π 1 -2 -π 0 π 2π
∠AOB的度数 180° 360°
-180° 0°
180° 360°
※ 弧度制：
• 一般地，正角的弧度数是一个正数，负角 的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0。 如果半径为r的圆的圆心角α所对弧长为l， 那么，角α的弧度数的绝对值是：
| | l
r
α的正负由角α终边的旋 转方向决定。来自 | | l特殊角的表示
※ 弧度制与角度制的转换：
• 例1、按照下列要求， 把67°30′化为弧度：
（1）精确值；
（2）精确到0.001的 近似值。
• 例2、将3.14 rad换算 成角度（用度数表示， 精确到0.001）。
• 例3、利用计算器比较sin1.5和sin85°的 大小。
• 例4、利用弧度制表示 终边在第一象限的角 所组成的集合。
※终边相同的角的表示：
• 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成 一个集合S＝{β|β＝α+k·360°，k∈Z}，即任一与 角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周 角的和。
北师大版数学高一(北师大)必修4素材 1.1角的终边所在位置的判定方法
角的终边所在位置的判定方法确定角的终边所在的象限属于三角函数概念的内容，而此内容是进一步研究三角函数的基础，是学好三角内容的基石，考查题型主要以选择题和填空题为主，为此，要引起重视.下面介绍几种判定切实可行的方法.一、利用终边相同的角的表示法定位置例1 确定角所在的象限（1）-1770︒ （2）3415π 解:（1）∵-1770︒=-5×360︒+30︒，∴-1770︒与30︒的终边相同，∴ -1770︒在第一象限.（2）∵3435π＝68π+35π，∴3435π与35π的终边相同，∴3435π在第二象限. 评注：判定一个角的终边所在的位置，可先将此角化为k·360︒+α或2k π+α(0︒≤α＜360︒，k ∈Z)的形式，找出与此角终边相同的角α，再由角α的象限来判断此角的位置.二、确定角的范围定位置例2 已知α是第二象限的角，则角α2所在象限为( ) A.第一、三象限B.第一、四象限C.第二、三象限D.第三、四象限角解：∵α是第二象限的角，则k·360°+90°<α<k·360°+180°，∴k·180°+45°<α2<k·180°+90°， 当k=2n(n ∈Z)时，n·360°+45°<α2<n·360°+90°，∴α2为第一象限的角， 当k=2n+1(n ∈Z)时，n·360°+225°<α2<n·360°+270°，∴α2为第三象限的角. ∴α2为第一或第三象限的角，故选A. 评注：利用上面的判定方法可得，当α是第一、二象限的角时，α2为第一或第三象限的角；当α是第三、四象限的角时，α2为第二或第四象限的角. 三、利用旋与对称转定位置例3 若角θ是第四象限的角，则π﹣θ是( )A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角解：∵角θ是第四象限的角，且﹣θ与θ关于x 轴对称，∴﹣θ是第一象限的角，此时，π﹣θ可以看成是角﹣θ按逆时针方向旋转π弧度所成的角，即为第三象限的角，故选C.评注：注意旋转方向与“±”号的关系：“＋”号表示按照逆时针方向旋转；“－”号表示按照顺时针方向旋转.反之也然.四、利用三角函数的符号定位置例4 已知cos θ·cot θ＞0，则角θ所在象限.A.第一、二象限B.第一、三象限C.第二、三象限D.第三、四象限角解：由cos θ·cot θ＞0，知cos θ与cot θ同号，当cos θ＞0，cot θ＞0时，θ在第一象限；当cos θ＜0，cot θ＜0时，θ在第二象限.故θ在第一、二象限，故选A.评注：必须要理解并熟记每种三角函数在各个象限的符号，它们可用口诀：“全正，s 正，t 正，c 正”来帮助记忆. 五、利用构成三角形的条件定位置例5 能使sin θ+cos θ＞1成立的角θ所在的象限是( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限角解：在单位圆中，当θ所在的象限是第一象限角时，sin θ＞0，cos θ＞0，根据构成三角形的条件知，两边之和大于第三边，正弦线与余弦线的和大于半径1，即sin θ+cos θ＞1，故满足条件，选A.评注：本题在利用构成三角形的条件的同时，还利用了单位圆中的三角函数线，因此要求我们在解三角的基础题时，不要忘记三角函数线的作用. 六、分类讨论定位置例4 确定满足条件|sinx|sinx +cosx |cosx|+|tanx|tanx +cotx |cost|=﹣2的角x 所在的位置. 解：令y=|sinx|sinx +cosx |cosx|+|tanx|tanx +cotx |cost|， 由等式易知，角的终边不可能落在坐标轴上，因此，当x 在第一象限时，y=4，不满足条件；当x 在第二象限时，y=-2，满足条件；当x 在第三象限时，y=0，不满足条件；当x 在第四象限时，y=-2，满足条件.综上所述，角x 的所在的象限为第二、四象限.评注：分类讨论主要从角的终边落在四个象限及坐标轴上进行考虑.七、利用三角函数的定义定角的位置例8 已知tan α＞0，且sin α+csc α＞0，则角α所在象限为( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限角解：设P(x ，y)是角α终边上异于原点的任一点，且|OP|=r(r ＞0)，且x≠0，否则tan α无意义，则由已知sin α+csc α＞0，得y r ＋x r＞0，∴x ＋y ＞0 ① 又由已知tan α＞0，y x＞0 ② 由①②知 x ＞0，，y ＞0，所以α是第一象限的角，故选A.评注：利用三角函数的定义，就是把所涉及的三角式转化为关于x 、y 的代数式，判断出x ，y 的符号，进而确定角所在的位置.。
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图示法速找α/n、nα的终边
寻求α/n、nα角终边的问题，一般是建立不等式，对k进行分类讨论后得出结论，但在选择题中我们并不需要如此繁琐——我们可以用形象直观的图示法来求解（也叫等分象限法）。
例1.已知α为第三象限角，求α/2，2α终边所在位置。
解法一（一般法）：
由题知2kπ+π<α<2kπ+3/2π（k∈z）
求2α: 知2(2k+1)π<2α<2(2k+1)π+π
∴2α终边在第一、二象限或x轴正半轴
求α：知kπ+π/2<α/2<kπ+3/4π，现分如下情况:
①当k=2n 时（n∈z）
2nπ+π/2<α/2<2nπ+3/4π
此时α/2在第二象限
②当k=2n+1时
2nπ+3/2π<α/2<2nπ+7/4π
此时α/2在第四象限
综上所述, α/2在第二或第四象限
解法二（图示法）：
如图，将坐标轴各象限等分成两份，按逆时针方向依次标注1、2、3、4，标满为止。
然后按下面的方法观察图形得结果
求α/2：由于原α在第三象限，所以现在看标有3的数字在图中哪些象限，注意到
二、四象限均有3，所以α/2在二、四象限
求2α：原α为第三象限角，所以看现在第三象限标有哪些数字，注意到第三象限标有1、2以及一条分割线，所以2α所在象限为一、二或x轴正半轴（1、2间的分割线等价于第一、二象限的分割线，即x轴正半轴）
例2.已知A（sinα,cosα）在第二象限，则2α终边所在位置为___________
解：由题知sinα<0,cosα>0，
∴α在第四象限
图示法如下：
注意到四象限标有3、4及一条分割线，
故2α终边在三、四象限或y轴负半轴
扩展·说明：
①求α/n、nα终边的问题需将坐标轴各象限等分成n份，然后按上面的做法进
行。
②若n为负数，则需要将等分好的象限按顺时针方向标注1、2、3、4，其他不
变
③关于α/n的问题一般只涉及n=2、3的问题，因为n太大了会出现所有象限均
有可能的情况；图示法应用于有些解答题自己需要确定α/n的位置
④求nα终边时应特别注意角在象间的可能。