专业题材七不等式(学生版)

4.公式：

极值定理：若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则：

○

1如果P 是定值, 那么当x=y 时，S 的值最小； ○2如果S 是定值, 那么当x =y 时，P 的值最大.

利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等. 3.解不等式 (1)一元一次不等式

(2)一元二次不等式：

1.两实数大小的比较

⎪⎩

⎪

⎨⎧<-⇔<=-⇔=>-⇔>0b a b a 0b a b a 0b a b a 专题七 不等式

3.基 本不等式定理

⎪

⎪⎪

⎪

⎪

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

⎪

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧-≤+⇒<≥+⇒>≥+

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧+≤+≥+⎪⎪

⎪⎪

⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨

⎧+≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤+≥+≥+2a 1a 0a 2a 1a 0a b ,a (2b a

a b )

b a (2b a ab 2

b a 2b a ab 2b a ab )b a (2

1b a ab 2b a 222222

2

222倒数形式同号）分式形式根式形式整式形

式11

22a b

a b --+≤≤≤+⎪⎩

⎪⎨

⎧

<<>>≠>)

0a (a b

x )

0a (a b x )0a (b ax 2.不等式的性质：8条性质.

一元二次不等式的求 解流程：

一化：化二次项前的系数为正数. 二判：判断对应方程的根. 三求：求对应方程的根. 四画：画出对应函数的图象.

五解集：根据图象写出不等式的解集.

(3)解分式不等式：

⎪⎪⎩⎪⎪

⎨⎧⎩⎨⎧≠≤⋅⇔≤>⋅⇔>0)x (g 0)x (g )x (f 0)

x (g )x (f 0)x (g )x (f 0)x (g )x (f

(4)解含参数的不等式：（1） (x – 2)(ax – 2)>0

（2）x 2 – (a +a 2)x +a 3>0；

（3）2x 2 +ax +2 > 0；

注:解形如ax 2+bx+c>0的不等式时分类讨 论的标准有：

1、讨论a 与0的大小；

2、讨论⊿与0的大小；

3、讨论两根的大小； 二、运用的数学思想：

1、分类讨论的思想；

2、数形结合的思想；

3、等与不等的化归思想 (4)含参不等式恒成立的问题：

⎪⎩⎪

⎨⎧用图象

分离参数后用最值函数、、、3

21

例1．已知关于x 的不等式 在(–2，0)上恒成立，求实数a 的取值范围．

例2．关于x 的不等式

对所有实数x ∈R 都成立，求a 的取值范围.

20,

31

x

x a x x >≤++恒成立，

例3.若对任意 则 的取值范围.

a 2

2(3)210

x a x a +-+-<)

1(log 22++-=ax ax y

(5)一元二次方程根的分布问题：

方法：依据二次函数的图像特征从：开口方向、判别式、对称轴、

函数值三个角度列出不等式组，总之都是转化为一元二次不等式组求解. 二次方程根的分布问题的讨论：

4． k 1 < x 1 < x 2 < k 2 5． x 1 < k 1 < k 2 < x 2

()020

f k b

k a >⎧⎪⎪

-<⎨⎪∆>⎪⎩1．x 1< x 2< k

()020

f k b k a >⎧⎪⎪

->⎨⎪∆>⎪⎩2．k < x 1< x 2

()0

f k <3．x 1< k < x 2

x

x

1212()0()002f k f k b k k a >⎧⎪

>⎪⎪

⎨∆>⎪

⎪<-<⎪⎩

12()0

()0

f k f k >⎧⎨

>⎩ 6． k 1

122

()0

()0()0f k f k f k >⎧⎪

<⎨⎪>⎩ 4解线性规划问题的一般步骤：

第一步：在平面直角坐标系中作出可行域； 第二步：在可行域内找到最优解所对应的点；

第三步：解方程的最优解，从而求出目标函数的最大值或最小值。

极值定理：若,,,,x y R x y S xy P +

∈+==则：

○

1如果P 是定值, 那么当x=y 时，S 的值最小； ○2如果S 是定值, 那么当x =y 时，P 的值最大.

利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等.

练习：1.求满足 | x | + | y | ≤4 的整点（横、纵坐标为整数）的个数。

z ax by =+2

2y x z +=y z x

=

221

2.()2log (01)log f x x x x

=++

<<求函的最大值；

4.求函数 的最小值.

5.已知两个正数 满足 求使 恒成立的 的取值范围.

一、求取值范围

1、已知31,11≤-≤≤+≤-y x y x ，求y x -3的取值范围。

1

4.f(x)=x+1

x ≥+（x 4）的最小值

2(1)4

()(1)1

x f x x x ++=>-+19

x y

1.已知x>0,y>0，且+=1，求x+y的最小值.4,a b +=,a b 28m a b

+≥m

6

3