高中数学《余弦定理》精品课件
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人教A版高中数学必修第二册《余弦定理》名师课件
=
+ , 所以 =
+ −
+ −
,得
所以 + − = , 所以 + =
所以△ABC是直角三角形.
= ,
.
方法归纳
判断三角形形状的思路
1、转化为三角形的边来判断
(1)△ABC为直角三角形⇔ 2 = b2 + c 2 或 b2 = 2 + c 2 或 c 2 = 2 + b2
△ 中的最大角与最小角的和为∘ .
=
典例讲授
例2、在△ABC中, = , = , =
,则
= ,sin A = .
解析
根据余弦定理,得
=
+
− =
+
得 = .由 = , − , = 及余弦定理的推论,得
变式训练
2.在△ 中,已知 = 3, = 2, ( + ) =
B.
A.4
C.3
1
,则
3
=( D )
D.
解析
由三角形内角和定理可知, = [ ° − ( + )] = −( + ) = − .
又由余弦定理,得
=
+
ቐ 2 = 2 + 2 − 2cos
2 = 2 + 2 − 2cos
2 + 2 − 2
cos =
2
2 + 2 − 2
cos =
2
余弦定理ppt课件
(1)求∠A(用角度制表示)； (2)当 a＝ 3，△ABC 的面积 S＝ 23时，求 b 和∠B.
❖ 分析：(1)由平面向量共线定理可得出关于各 角的一个关系式，化简之后便可求出∠A；(2) 分别利用三角形面积公式及余弦定理列出关 于b，c的方程，求出b，c的值，进而求出∠B.
解析：(1)∵m∥n，
3
2 3
＝12，
∴∠BAC＝30°，所求角为 30°＋45°＝75°.
∴甲船应沿北偏东 75°方向航行．
答：甲船应沿北偏东 75°方向航行半小时后才能
与乙船相遇．
[例 5] 在△ABC 中，a、b、c 分别是∠A、∠B、∠C
的对边，若 m＝(sin2B＋2 C，1)，n＝(cos2A＋72，4)，且 m∥n.
即(281)2＝9＋y2－3y，整理得： (y－185)(y－98)＝0， ∴y＝185或 y＝98(舍去)，∴AD 的长为185.
❖ [例3] 在△ABC中，a·cosA＝b·cosB，试确 定此三角形的外形．
解析：解法 1：由 a·cosA＝b·cosB 以及余弦定理得 a·b2＋2cb2c－a2＝b·a2＋2ca2c－b2， 得 a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)， a2b2＋a2c2－a4－a2b2－b2c2＋b4＝0，即(a2－b2)(c2－a2 －b2)＝0. ∴a2＝b2 或 c2＝a2＋b2， ∴a＝b 或 c2＝a2＋b2.
❖ 二、余弦定理的运用
❖ 利用余弦定理可以处理两类斜三角形问题：
❖ 1．知三边，求⑪________. ❖ 2．知两边和它们的夹角，求⑫________
和⑬________.
❖ 友谊提示：了解运用余弦定理应留意以下 四点：
❖ (1)余弦定理提示了恣意三角形边角之间的 客观规律，是解三角形的重要工具；
❖ 分析：(1)由平面向量共线定理可得出关于各 角的一个关系式，化简之后便可求出∠A；(2) 分别利用三角形面积公式及余弦定理列出关 于b，c的方程，求出b，c的值，进而求出∠B.
解析：(1)∵m∥n，
3
2 3
＝12，
∴∠BAC＝30°，所求角为 30°＋45°＝75°.
∴甲船应沿北偏东 75°方向航行．
答：甲船应沿北偏东 75°方向航行半小时后才能
与乙船相遇．
[例 5] 在△ABC 中，a、b、c 分别是∠A、∠B、∠C
的对边，若 m＝(sin2B＋2 C，1)，n＝(cos2A＋72，4)，且 m∥n.
即(281)2＝9＋y2－3y，整理得： (y－185)(y－98)＝0， ∴y＝185或 y＝98(舍去)，∴AD 的长为185.
❖ [例3] 在△ABC中，a·cosA＝b·cosB，试确 定此三角形的外形．
解析：解法 1：由 a·cosA＝b·cosB 以及余弦定理得 a·b2＋2cb2c－a2＝b·a2＋2ca2c－b2， 得 a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)， a2b2＋a2c2－a4－a2b2－b2c2＋b4＝0，即(a2－b2)(c2－a2 －b2)＝0. ∴a2＝b2 或 c2＝a2＋b2， ∴a＝b 或 c2＝a2＋b2.
❖ 二、余弦定理的运用
❖ 利用余弦定理可以处理两类斜三角形问题：
❖ 1．知三边，求⑪________. ❖ 2．知两边和它们的夹角，求⑫________
和⑬________.
❖ 友谊提示：了解运用余弦定理应留意以下 四点：
❖ (1)余弦定理提示了恣意三角形边角之间的 客观规律，是解三角形的重要工具；
高中数学余弦定理PPT课件
sin2 A sin2 B sin2 C 2sinB sinC cos A
练习: 求sin2 700 sin2 500 sin 700 sin 500的值.
解:原式 sin2 700 sin2 500 2sin700 sin500 cos600
sin2 600 3
4 第14页/共45页
AC
得sin ABC AC sin BAC 0.5sin 75 0.4128,
BC
1.17
所以ABC 24.4 .
所以DAN DAB NAB ABC 15 9.4 .
答：渡船应按北偏西9.4 的方向,并以11.7km / h的速度航行.
P16练习1,2
25
第25页/共45页
例5 在ABC中,已知sin A 2sin B cos C, 试判断三角形的形状.
2
AB2 AC 2 2AM 2 1 BC 2 ,
练习:P177,13
2
因此, AM 1 2( AB2 AC 2 ) BC 2 . 2 第27页/共45页
27
作业：P17 2，8，11，12
28
第28页/共45页
29
第29页/共45页
提高性训练：
1、在△ABC中，求证： c=acosB+bcosA
第13页/共45页
剖析 剖 析 定 理
（4）能否把式子a2 b2 c2 2bccosA 转化为角的关系式？
分析： 由 正 弦 定 理: a b c 2R si nA si nB si nC
得 : a 2RsinA b 2R sin B c 2R sin C
代入a2 b2 c2 2bccosA并化简得:
b2+c2-a2 2bc
余弦定理(55张PPT)
2．在解三角形的过程中，求某一个角有时既可以用余 弦定理，也可以用正弦定理，两种方案有什么利弊呢？
提示：用余弦定理求角时，运算量较大，但角与余弦 值是一一对应的，无须讨论；而用正弦定理求角时，运算 量较小，但由于在区间(0，π)上角与正弦值不是一一对应 的，一般情况下一个正弦值可对应两个角，往往要依据角 的范围讨论解的情况．
新知初探
1．余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减 去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即
2．余弦定理的推论 余弦定理揭示了三角形中两边及其夹角与对边之间的 关系，它的另一种表达形式是 b2＋c2－a2 cosA＝_____________ ， 2bc
a2＋c2－b2 2ac cosB＝_____________ ， a2＋b2－c2 2ab cosC＝_____________.
类型二 [例2]
判断三角形的形状 在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc且
sinA＝2sinBcosC，试确定△ABC的形状． [分析] 首先根据条件(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，利
用余弦定理求出一个角，再利用另一个条件，得到另外两 个角的关系，即可判断．
[解]
∵(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，
须知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定
2 2 2 a > b ＋ c 理的特例．角A为钝角⇔_____________，角A为直角⇔ 2 2 2 2 2 2 a ＝ b ＋ c a < b ＋ c ____________，角A为锐角⇔____________.
3．利用余弦定理可解决的两类问题 余弦定理的每一个等式中都包含四个不同的量，它们 分别是三角形的三边和一个角，知道其中的三个量，代入 等式，便可求出第四个量来． 利用余弦定理可以解决以下两类解斜三角形的问题：
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20
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课堂互动探究
随堂达标自测
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数学 ·必修5
解析 (1)由(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，得 a∶ b∶c＝7∶5∶3，∴边 a 最大．又 cosA＝b2＋2cb2c－a2＝－12， ∴A＝120°.
(2)由余弦定理的推论，得 cosA＝AB22×＋AABC×2－ABCC2＝922＋×892×－872＝23，
29
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【跟踪训练 3】 在△ABC 中，若(a－ccosB)sinB＝(b －ccosA)sinA，判断△ABC 的形状．
解 由正弦定理及余弦定理知，原等式可化为 a－c·a2＋2ca2c－b2b＝b－c·b2＋2cb2c－a2a， 整理，得(b2－a2)(a2＋b2－c2)＝0， ∴a2＋b2－c2＝0 或 a2＝b2， 故三角形为等腰三角形或直角三角形．
11
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拓展提升 已知两边及一角解三角形的两种情况
(1)三角形中已知两边和一边的对角，有两种解法．法 一利用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用 解方程的方法求出第三边的长，这样可免去判断取舍的麻 烦．法二直接运用正弦定理，先求角再求边．
19
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【跟踪训练 2】 (1)在△ABC 中，(b＋c)∶(c＋a)∶(a ＋b)＝4∶5∶6，则此三角形的最大内角为__1_2_0_°___；
(2)在△ABC 中，已知 BC＝7，AC＝8，AB＝9，试求 AC 边上的中线长．
余弦定理PPT课件
c
C
aB
探索探究
联系已经学过的知识和方法，可用 什么途径来解决这个问题？
即：如图，在△ABC中，
设BC=a, AC=b, AB=c.
A
已知a, b和∠C，求边c？ b
c
C
aB
探索探究
联系已经学过的知识和方法，可用 什么途径来解决这个问题？
用向量来研究这问题. A
即：如图，在△C ABC中， B
设BC=a, AC=b, AB=c.
巩经典固例知题识 典型例题
例 在△ABC中，a = 6，b = 7，c = 10，求△ABC 中的 最大角和最小角（精确到1°）.
解 由于a＜b＜c，所以C最大，A最小，由公式（1.12），有
cos C a2 b2 c2 62 72 102 0.1786，
2ab
267
所以 C ≈ 100°，
a2 b2 c2 2cbcos A． b2 a2 c2 2ac cos B，c2 a2 b2 2ab cosC．
可以证明，上述结论对于任意三角形都成立．于是得到余弦 定理．
思考2：
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B c2 a2 b2 2ab cos C
1.3.2余弦定理
复习引入
运用正弦定理能解怎样的三角形？
A C
B
复习引入
运用正弦定理能解怎样的三角形？
①已知三角形的任意两角及其一边；
②已知三角形的任意两边A 与其中一边
的对角.
C B
情境设置
问题1：
如果已知三角形的两边及其夹角， 根据三角形全等的判定方法，这个三
A
角形是大小、形状完全确定的三角形. C
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2R
2R
2R
sin A: sin B : sin C a : b : c
思考： 在△ABC中，已知CB=a,CA=b，CB
与CA 的夹角为∠C，
向量法
设
CB a,
求边c. CA b,
AB
c
c ab
c
2
c
c
(a
b)
(a
b)
a
a
2
a
b2
b
b
B. 2，3，4
C. 3，4，5
D. 4，5，6
分析： 要看哪一组符合要求，只需检验
哪一个选项中的最大角是钝角，即该角 的余弦值小于0。
9.在△ABC中，已知a=7,b=8,cosC= 求最大角的余弦值
13 14
,
分析：求最大角的余弦值，最主要的是判断
哪个角是最大角。由大边对大角，已知两边 可求出第三边,找到最大角。
练习
1. 在ABC中，已知a=2 ，c 6 2, B 1350,解此三角形
b 2 2, A 300,C 150
练习4.在△ABC中，已知a= 6 ,b=2,
c= 3 1 ,解三角形.
解：由余弦定理得
cos A b2 c2 a2 22 ( 3 1)2 ( 6)2 1
例1 在△ABC中，已知b=60cm，c=34cm，A=41o， 解该三角形（角度精确到1°，边长精确到1cm）. 解：∵a²=b²+c²-2bccosA
=60²+34²-2×60×34×cos41o≈1676.82
∴a≈41(cm)
数学人教A版必修第二册6.4.3余弦定理课件
bsinC 2 abcosC 2
a2 b2 2abcosC
D
AD bsin C bsinC CD bcos C bcosC
BD a bcosC c2 AD2 BD2
bsinC 2 abcosC 2
a2 b2 2abcosC
高中数学
综上，我们得到：在ΔABC中，有
c2 a2 b2 2abcosC
高中数学
余弦定理：
三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方和减去这两边与它们夹角 的余弦的积的两倍，即
a2 b2c22bccos A； b2 a2 c22accosB； c2 a2 b22abcosC.
推论：
cos Ab2 c2 a2 2bc
cosB a2 c2 b2 2ac
cosC a2 b2 c2 2ab
高中数学
分析讲授
思考1：在任意三角形中，三角形的边角之间有没有类似的 数量关系呢？
为了研究方便我们先作如下规定：
角 A 的对边是 a ，角B 的对边是b，角 C 的对边是 c ．
高中数学
情况一：当C为直角时，
情况二：当C为锐角时，
情况三：当C为钝角时，
a2 b2 c2
D
AD bsinC CD bcosC，BD a bcosC c2 AD2 BD2
a2 b2c22bccos A； b2 a2 c2 2accosB； c2 a2 b2 2abcosC.
cos Ab2 c2 a2 2bc
cosB a2 c2 b2 2ac
cosC a2 b2 c2 2ab
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作业布置
练习册:完成P26-27
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知识应用
例1 在ΔABC中，已知 a4，b6 ，C 120 ,则边ｃ＝（ ）
a2 b2 2abcosC
D
AD bsin C bsinC CD bcos C bcosC
BD a bcosC c2 AD2 BD2
bsinC 2 abcosC 2
a2 b2 2abcosC
高中数学
综上，我们得到：在ΔABC中，有
c2 a2 b2 2abcosC
高中数学
余弦定理：
三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方和减去这两边与它们夹角 的余弦的积的两倍，即
a2 b2c22bccos A； b2 a2 c22accosB； c2 a2 b22abcosC.
推论：
cos Ab2 c2 a2 2bc
cosB a2 c2 b2 2ac
cosC a2 b2 c2 2ab
高中数学
分析讲授
思考1：在任意三角形中，三角形的边角之间有没有类似的 数量关系呢？
为了研究方便我们先作如下规定：
角 A 的对边是 a ，角B 的对边是b，角 C 的对边是 c ．
高中数学
情况一：当C为直角时，
情况二：当C为锐角时，
情况三：当C为钝角时，
a2 b2 c2
D
AD bsinC CD bcosC，BD a bcosC c2 AD2 BD2
a2 b2c22bccos A； b2 a2 c2 2accosB； c2 a2 b2 2abcosC.
cos Ab2 c2 a2 2bc
cosB a2 c2 b2 2ac
cosC a2 b2 c2 2ab
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作业布置
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知识应用
例1 在ΔABC中，已知 a4，b6 ，C 120 ,则边ｃ＝（ ）
《高一数学余弦定理》课件
《高一数学余弦定理》ppt课件
• 余弦定理的引入 • 余弦定理的证明 • 余弦定理的应用 • 余弦定理的拓展 • 习题与解答
01 余弦定理的引入
三角形的边角关系
三角形的基本性质
三角形有三条边和三个角，这些 边和角之间存在一定的关系，这 是三角形的基本性质。
边角关系的重要性
理解三角形的边角关系是解决三 角形问题的关键，对于后续学习 余弦定理等知识点至关重要。
基础习题2
在三角形ABC中，已知A=45°， B=60°，a=2，求b的值。
基础习题3
已知三角形ABC中，a=2, b=2√3, B=60°，求角A的大小
。
提升习题
提升习题1
在三角形ABC中，已知A=45°，a=3, c=√13，求 b的值。
提升习题2
已知三角形ABC中，a=4, b=5, C=120°，求边c 的大小。
推论三
若三角形ABC的两边AB、 AC与平面α所成的角相等 ，且三角形ABC的两角相 等，则三角形ABC的两边 AB、AC与平面α所成的角 相等。
余弦定理在空间几何中的应用
应用一
在空间几何中，余弦定理可以用来解 决与角度和距离有关的问题，例如计 算点到平面的距离、两平面之间的夹 角等。
应用二
应用三
详细描述
首先，我们知道三角形的面积公式为S=1/2ab*sinC，其中a、b为三角形两边， C为两边之间的夹角。然后，利用三角形的面积公式和余弦定理的关系，我们可 以推导出余弦定理的表达式。
利用勾股定理证明余弦定理
总结词
勾股定理证明余弦定理是通过勾股定理和余弦定理的关系来推导余弦定理的表达式。
详细描述
应用二
在工程学中，余弦定理可以用来解 决与结构工程和机械工程有关的问 题，例如计算结构的承载能力、判 断结构的稳定性等。
• 余弦定理的引入 • 余弦定理的证明 • 余弦定理的应用 • 余弦定理的拓展 • 习题与解答
01 余弦定理的引入
三角形的边角关系
三角形的基本性质
三角形有三条边和三个角，这些 边和角之间存在一定的关系，这 是三角形的基本性质。
边角关系的重要性
理解三角形的边角关系是解决三 角形问题的关键，对于后续学习 余弦定理等知识点至关重要。
基础习题2
在三角形ABC中，已知A=45°， B=60°，a=2，求b的值。
基础习题3
已知三角形ABC中，a=2, b=2√3, B=60°，求角A的大小
。
提升习题
提升习题1
在三角形ABC中，已知A=45°，a=3, c=√13，求 b的值。
提升习题2
已知三角形ABC中，a=4, b=5, C=120°，求边c 的大小。
推论三
若三角形ABC的两边AB、 AC与平面α所成的角相等 ，且三角形ABC的两角相 等，则三角形ABC的两边 AB、AC与平面α所成的角 相等。
余弦定理在空间几何中的应用
应用一
在空间几何中，余弦定理可以用来解 决与角度和距离有关的问题，例如计 算点到平面的距离、两平面之间的夹 角等。
应用二
应用三
详细描述
首先，我们知道三角形的面积公式为S=1/2ab*sinC，其中a、b为三角形两边， C为两边之间的夹角。然后，利用三角形的面积公式和余弦定理的关系，我们可 以推导出余弦定理的表达式。
利用勾股定理证明余弦定理
总结词
勾股定理证明余弦定理是通过勾股定理和余弦定理的关系来推导余弦定理的表达式。
详细描述
应用二
在工程学中，余弦定理可以用来解 决与结构工程和机械工程有关的问 题，例如计算结构的承载能力、判 断结构的稳定性等。
余弦定理优秀课件
三角形的角度与边长的关系
角度与边长的关系
在三角形中，角度和边长之间存在一定的关系，如正弦定理和余弦定理。
余弦定理的引入
余弦定理是三角形边角关系的一个重要定理，它可以帮助我们解决与三角形边 长和角度相关的问题。
余弦定理的引入
余弦定理的定义
余弦定理是三角形边角关系的一个重 要定理，它描述了三角形三边与其对 应角的余弦值之间的关系。
应用二
在解决立体几何问题时，余弦定理可以用来计算空间几何体 的表面积和体积，例如球体、圆锥体等。
余弦定理与其他定理的关系
关系一
余弦定理与正弦定理密切相关，它们 在解决三角形的边角关系问题时常常 相互转换。
关系二
余弦定理与勾股定理也有一定的联系， 勾股定理是余弦定理的一个特例，即 当三角形ABC为直角三角形时，有 a^2+b^2=c^2。
题目4
在三角形ABC中，已知A = 45°，B = 60°， a = 15, 求边c的大小。
综合习题
题目5
在三角形ABC中，已知a = 14, b = 16, C = 120°，求 角B的大小以及边c的大小。
题目6
在三角形ABC中，已知A = 30°，B = 45°，a = 10, 求 边c的大小以及角C的大小。
推论三
若三角形ABC中，角A和角B为锐 角，且满足cosA=√(1-sin^2A)， cosB=√(1-sin^2B)，则三角形
ABC为锐角三角形。
余弦定理在空间几何中的应用
应用一
在三维空间中，余弦定理可以用来解决与平面、直线和点相 关的问题，例如判断点、线、面的位置关系，计算点到平面 的距离等。
05
习题与解答
基础习题
题目1
高中教育数学必修第二册《2.6.1.1 余弦定理》教学课件
又 0°<B<180°，所以 B＝45°.
(3)由已知得，2b＝2c＝ 3a
于是可设 a＝2k(k>0)
则 b＝ 3k，c＝ 3k，
所以 cos A＝b2＋2cb2c－a2＝ 32k×2＋3 k×3k23－k 4k2＝6－6 4＝13.
答案：(1)D
(2)A
1 (3)3
题型二 判断三角形的形状——师生共研 例 3 设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a＝ acos B＋bcos A，则△ABC 的形状为( ) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形
(2) 利 用 三 角 形 面 积 公 式 可 得
S
四 边 形 ABCD
＝ S△ABD ＋ S△BCD
＝
1 2
AB·ADsin A ＋12BC·CDsin C，即可求得四边形 ABCD 的面积．
方法归纳 给出三角形的两边及其夹角可求三角形的面积，反过来，给出三 角形的面积，利用上述公式也可求得相应的边或角，应熟练应用此公 式． 三角形面积公式的选取取决于三角形中哪个角可求或三角形哪个 角的正弦值可求．
由①②得 cos C＝12，故 C＝60°，BD＝ 7. (2)四边形 ABCD 的面积 S＝12AB·DAsin A＋21BC·CDsin C ＝12×1×2＋12×3×2sin 60° ＝2 3.
状元随笔 (1)根据内角 A，C 互补，利用余弦定理列出关于角 C
和 BD 的方程组，即可求出角 C 和 BD；
易错辨析 忽略构成三角形的条件出错 例 5 已知 2a＋1，a,2a－1 是钝角三角形的三边，则实数 a 的取 值范围为________．
解析：∵2a＋1，a,2a－1 是三角形的三边
高中数学1.1.2余弦定理课件3新人教A必修5.ppt
问5：解决长度和角度问题的手段有什么？
C
baA源自cB余弦定理
问题解决
B
?
C
（精确到0.1米）
96°
B C 2 A B 2 A C 2 2 A B A C c o s A A
3 .6 2 4 .8 2 2 3 .6 4 .8 c o s 9 6
1 2 .9 6 2 3 .0 4 3 4 .5 6 0 .1 0 4 5
二.思想方法： 数形结合的思想，化归与转化的思想， 分类讨论的思想，特殊到一般的思想
• 作业 • 1.复习 • 2.必做题:书P8---P9 • 选做题：已知一钝角三角形的边长是三个
连续自然数，求该三角形的三边长。
• 3.预习
猜字谜游戏：
• 留得琴丝调宫商（打一数学名词）
39.6125
BC6.3
答：B,C两处的距离约为6.3米。
一、余弦定理：
问6：公式应该要如何记忆呢？ 问7：可将公式如何变形？ 问8：公式变形的目标是什么？
观察可能导致发现，观察将揭示 某种规则-------波利亚
定理应用 --------------类比的方法
----------请同学们自己编题---------解三角形问题：SSS SAS
情境引入
C B
A
情境引入
情境引入
C B
96° A
提出问题
B
?
C
96° A
问3：用正弦定理能否直接求出B,C两处的距离？
问4：如何解决这已知三角形两边c和b, 和两边的夹角A，求第三边a的问题？
公式推导 --------------特殊到一般的思想
如何由已知两边和它们的夹角求三角形的另一边？
高中数学必修二(人教版)《6.4.3第一课时 余弦定理》课件
三、创新性——强调创新意识和创新思维
3．某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为113，111，15，则
此人
()
A．不能作出这样的三角形
B．能作出一个锐角三角形
C．能作出一个直角三角形
D．能作出一个钝角三角形
解析：设三角形的三条高所在的三边长分别为 a，b，c，利用三角形面积相 等，得到113a＝111b＝15c，即 a∶b∶c＝13∶11∶5，故三角形三边长可设为 13m,11m,5m，m>0，因为 13m 是三角形中最长的边，设它的对角为 A，由 余弦定理得 cos A＝5m22＋×151mm×21－1m13m2＝－12130<0，所以角 A 为钝角．故此人能作出 一个钝角三角形． 答案:D
(1)若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三边的一元 二次方程求解．
(2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，再用 余弦定理和三角形内角和定理求其他角．
【对点练清】
1．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a＝3，b＝2，cos(A
＋B)＝13，则 c＝
62＋6＋2 32－4 2×2 6×6＋2 3
32＝ 22，
∵C∈(0，π)，∴C＝π4.∴B＝π－A－C＝π－π6－π4＝172π，∴A＝π6，B＝172
π，C＝π4.
[方法技巧] 已知三角形的三边求角的基本步骤
【对点练清】 1．已知△ABC 中，a∶b∶c＝2∶ 6∶( 3＋1)，求△ABC 中各角的度数．
(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适用于任何三
角形．
(√ )
(2)在△ABC 中，若 a2>b2＋c2，则△ABC 一定为钝角三角形
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2
2
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归纳 A
余弦定理
a2=b2+c2-2bc· cosA
b
c B a
b2=c2+a2-2ca· cosB
c2=a2+b2-2ab· cosC
C
三角形任何一边的平方 等于其他两边平方的和减去 你能用文字说明吗？ 这两边与它们夹角的余弦的 积的两倍。
6
讨论： 余弦定理指出了三角形三条边与其中一 个角之间的关系，应用余弦定理，我们 可以解决已知三角形的三边确定三角形 的角的问题，怎么确定呢？
16
1 在ABC中，a 3, c 8, B 60, 则ABC的周长 18 是___ 7___ 3 2 在ABC中，a=9,b=2 3, C 150, 则c
3 在ABC中，a 10, b 24, c 26, 则最大角的 余弦值为（ 0 ） 2 / 3 4 在ABC中，已知a2 b2 bc c2 , 则角A为___
4
证明
向量法
c B a C
A
b
AB AB ( AC CB) ( AC CB)
AC AC 2 AC CB CB CB 2 2 2 ∴ AB = AC +2 AC CB cos(1800 -C)+ CB
∴ c = a + b - 2abcosC
A≈39°,
∴
B＝180°－(A＋C)＝58°32′.
例题讲解
例 2：在ABC中，已知a＝7，b＝10，
c＝6，解三角形.（精确到1 ° ） 解： ∵ ∴
c sin A b2＋c2－a2 sin C 0.5954 cosA＝ ＝0.725， a 2bc C 36 或144 （舍） A≈44° a2＋b2－c2 cosC＝ ＝0.807， 2ab C≈36°,
∵
∴ ∴B＝180°－(A＋Fra bibliotek)≈100°.
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2 4
1 在ABC中，a 3, c 8, B 60, 则ABC的周长 18 是___ 7___ 3 2 在ABC中，a=9,b=2 3, C 150, 则c
3 在ABC中，a 10, b 24, c 26, 则最大角的 余弦值为（ 0 ） /3 ___ 4 在ABC中，已知a2 b2 bc c2 , 则角A为2
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1 在ABC中，a 3, c 8, B 60, 则ABC的周长 18 是___ 7___ 3 2 在ABC中，a=9,b=2 3, C 150, 则c
3 在ABC中，a 10, b 24, c 26, 则最大角的 余弦值为（ 0 ） 2 / 3 4 在ABC中，已知a2 b2 bc c2 , 则角A为___
（1）已知三边求三个 角； （2）已知两边和它 们的夹角，求第三 边和其他两个角.
a 2 + b2 - c 2 cosC = 2ab
2 2 2 2 2
b2 + c2 - a 2 cosA = 2bc 2 a + c2 - b 2 cosB = 2ac
a =b +c-2bccosA
b =c +a-2accosB
沙河市第二中学 杨 蕾
1
复习
直角三角形中的边角关系：
A+B+C=180° A+B=C=90 ° c b 2、边的关系： a2+b2=c2 B a C 3、边角关系： a =cosB sinA= — c b = cosA sinB = — c
2
A 1、角的关系：
看一看想一想
直角三角形中的边a、 b不变，角C进行变动
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1 在ABC中，a 3, c 8, B 60, 则ABC的周长 18 是___ 7___ 3 2 在ABC中，a=9,b=2 3, C 150, 则c
3 在ABC中，a 10, b 24, c 26, 则最大角的 余弦值为（ 0 ） /3 ___ 4 在ABC中，已知a2 b2 bc c2 , 则角A为2
a sin C sin A 0.6299 c 2 2 2 c =a ＋b －2abcosC, A 39 或141 c b a c≈4.297. b2＋c2－a2 C B A cosA＝ ≈0.777， 2bc A C 82 28` A 39
A A A A A A A A A
c c c cb bb cc c b b b B a C B
c
a C
b
c
B a
b
C
c2 = a2+b2
c2 ＞ a2+b2
c2 ＜ a2+b2
3
勾股定理仍成立吗？
A c B a C b
c= ∣AB∣
c2=
AB= AC+ CB
= AB AB
AB AB= (AC+CB) (AC+CB)
归纳 A
变一变乐在其中
a2=b2+c2-2bc· cosA
b
c B a
b2=c2+a2-2ca· cosB
c2=a2+b2-2ab· cosC
b2+c2 - a2 cosA= 2bc c2+a2 - b2 cosB= 2ca a2+b2 - c2 cosC= 2ab
C
变形
8
余弦定理适用于任何三角形 余弦定理的作用
c =a +b-2abcosC
2 2 2
2
9
讨论：
勾股定理指出了直角三角形中三边平方 之间的关系，余弦定理则指出了一般三 角形中三边平方之间的关系，什么关系 时是直角？钝角？锐角？如何看这两个 定理之间的关系？
例题讲解
例 1：在ABC中，已知a＝2.730，b＝3.696， C＝82°28′，解这个三角形. 解： 由 得 ∵ ∴
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1 在ABC中，a 3, c 8, B 60, 则ABC的周长 18 是___ 7___ 3 2 在ABC中，a=9,b=2 3, C 150, 则c
3 在ABC中，a 10, b 24, c 26, 则最大角的 余弦值为（ 0 ） /3 ___ 4 在ABC中，已知a2 b2 bc c2 , 则角A为2
2
2
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归纳 A
余弦定理
a2=b2+c2-2bc· cosA
b
c B a
b2=c2+a2-2ca· cosB
c2=a2+b2-2ab· cosC
C
三角形任何一边的平方 等于其他两边平方的和减去 你能用文字说明吗？ 这两边与它们夹角的余弦的 积的两倍。
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讨论： 余弦定理指出了三角形三条边与其中一 个角之间的关系，应用余弦定理，我们 可以解决已知三角形的三边确定三角形 的角的问题，怎么确定呢？
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1 在ABC中，a 3, c 8, B 60, 则ABC的周长 18 是___ 7___ 3 2 在ABC中，a=9,b=2 3, C 150, 则c
3 在ABC中，a 10, b 24, c 26, 则最大角的 余弦值为（ 0 ） 2 / 3 4 在ABC中，已知a2 b2 bc c2 , 则角A为___
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证明
向量法
c B a C
A
b
AB AB ( AC CB) ( AC CB)
AC AC 2 AC CB CB CB 2 2 2 ∴ AB = AC +2 AC CB cos(1800 -C)+ CB
∴ c = a + b - 2abcosC
A≈39°,
∴
B＝180°－(A＋C)＝58°32′.
例题讲解
例 2：在ABC中，已知a＝7，b＝10，
c＝6，解三角形.（精确到1 ° ） 解： ∵ ∴
c sin A b2＋c2－a2 sin C 0.5954 cosA＝ ＝0.725， a 2bc C 36 或144 （舍） A≈44° a2＋b2－c2 cosC＝ ＝0.807， 2ab C≈36°,
∵
∴ ∴B＝180°－(A＋Fra bibliotek)≈100°.
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1 在ABC中，a 3, c 8, B 60, 则ABC的周长 18 是___ 7___ 3 2 在ABC中，a=9,b=2 3, C 150, 则c
3 在ABC中，a 10, b 24, c 26, 则最大角的 余弦值为（ 0 ） /3 ___ 4 在ABC中，已知a2 b2 bc c2 , 则角A为2
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1 在ABC中，a 3, c 8, B 60, 则ABC的周长 18 是___ 7___ 3 2 在ABC中，a=9,b=2 3, C 150, 则c
3 在ABC中，a 10, b 24, c 26, 则最大角的 余弦值为（ 0 ） 2 / 3 4 在ABC中，已知a2 b2 bc c2 , 则角A为___
（1）已知三边求三个 角； （2）已知两边和它 们的夹角，求第三 边和其他两个角.
a 2 + b2 - c 2 cosC = 2ab
2 2 2 2 2
b2 + c2 - a 2 cosA = 2bc 2 a + c2 - b 2 cosB = 2ac
a =b +c-2bccosA
b =c +a-2accosB
沙河市第二中学 杨 蕾
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复习
直角三角形中的边角关系：
A+B+C=180° A+B=C=90 ° c b 2、边的关系： a2+b2=c2 B a C 3、边角关系： a =cosB sinA= — c b = cosA sinB = — c
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A 1、角的关系：
看一看想一想
直角三角形中的边a、 b不变，角C进行变动
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1 在ABC中，a 3, c 8, B 60, 则ABC的周长 18 是___ 7___ 3 2 在ABC中，a=9,b=2 3, C 150, 则c
3 在ABC中，a 10, b 24, c 26, 则最大角的 余弦值为（ 0 ） /3 ___ 4 在ABC中，已知a2 b2 bc c2 , 则角A为2
a sin C sin A 0.6299 c 2 2 2 c =a ＋b －2abcosC, A 39 或141 c b a c≈4.297. b2＋c2－a2 C B A cosA＝ ≈0.777， 2bc A C 82 28` A 39
A A A A A A A A A
c c c cb bb cc c b b b B a C B
c
a C
b
c
B a
b
C
c2 = a2+b2
c2 ＞ a2+b2
c2 ＜ a2+b2
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勾股定理仍成立吗？
A c B a C b
c= ∣AB∣
c2=
AB= AC+ CB
= AB AB
AB AB= (AC+CB) (AC+CB)
归纳 A
变一变乐在其中
a2=b2+c2-2bc· cosA
b
c B a
b2=c2+a2-2ca· cosB
c2=a2+b2-2ab· cosC
b2+c2 - a2 cosA= 2bc c2+a2 - b2 cosB= 2ca a2+b2 - c2 cosC= 2ab
C
变形
8
余弦定理适用于任何三角形 余弦定理的作用
c =a +b-2abcosC
2 2 2
2
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讨论：
勾股定理指出了直角三角形中三边平方 之间的关系，余弦定理则指出了一般三 角形中三边平方之间的关系，什么关系 时是直角？钝角？锐角？如何看这两个 定理之间的关系？
例题讲解
例 1：在ABC中，已知a＝2.730，b＝3.696， C＝82°28′，解这个三角形. 解： 由 得 ∵ ∴
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1 在ABC中，a 3, c 8, B 60, 则ABC的周长 18 是___ 7___ 3 2 在ABC中，a=9,b=2 3, C 150, 则c
3 在ABC中，a 10, b 24, c 26, 则最大角的 余弦值为（ 0 ） /3 ___ 4 在ABC中，已知a2 b2 bc c2 , 则角A为2