高中数学《余弦定理》精品课件
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c =a +b-2abcosC
2 2 2
2
9
讨论：
勾股定理指出了直角三角形中三边平方 之间的关系，余弦定理则指出了一般三 角形中三边平方之间的关系，什么关系 时是直角？钝角？锐角？如何看这两个 定理之间的关系？
例题讲解
例 1：在ABC中，已知a＝2.730，b＝3.696， C＝82°28′，解这个三角形. 解： 由 得 ∵ ∴
归纳 A
变一变乐在其中
a2=b2+c2-2bc· cosA
b
c B a
b2=c2+a2-2ca· cosB
c2=a2+b2-2ab· cosC
b2+c2 - a2 cosA= 2bc c2+a2 - b2 cosB= 2ca a2+b2 - c2 cosC= 2ab
C
变形
8
余弦定理适用于任何三角形 余弦定理的作用
15
1 在ABC中，a 3, c 8, B 60, 则ABC的周长 18 是___ 7___ 3 2 在ABC中，a=9,b=2 3, C 150, 则c
3 在ABC中，a 10, b 24, c 26, 则最大角的 余弦值为（ 0 ） 2 / 3 4 在ABC中，已知a2 b2 bc c2 , 则角A为___
4
证明
向量法
c B a C
A
b
AB AB ( AC CB) ( AC CB)
AC AC 2 AC CB CB CB 2 2 2 ∴ AB = AC +2 AC CB cos(1800 -C)+ CB
∴ c = a + b - 2abcosC
A≈39°,
∴
B＝180°－(A＋C)＝58°32′.
例题讲解
例 2：在ABC中，已知a＝7，b＝10，
c＝6，解三角形.（精确到1 ° ） 解： ∵ ∴
c sin A b2＋c2－a2 sin C 0.5954 cosA＝ ＝0.725， a 2bc C 36 或144 （舍） A≈44° a2＋b2－c2 cosC＝ ＝0.807， 2ab C≈36°,
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1 在ABC中，a 3, c 8, B 60, 则ABC的周长 18 是___ 7___ 3 2 在ABC中，a=9,b=2 3, C 150, 则c
3 在ABC中，a 10, b 24, c 26, 则最大角的 余弦值为（ 0 ） /3 ___ 4 在ABC中，已知a2 b2 bc c2 , 则角A为2
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1 在ABC中，a 3, c 8, B 60, 则ABC的周长 18 是___ 7___ 3 2 在ABC中，a=9,b=2 3, C 150, 则c
3 在ABC中，a 10, b 24, c 26, 则最大角的 余弦值为（ 0 ） /3 ___ 4 在ABC中，已知a2 b2 bc c2 , 则角A为2
（1）已知三边求三个 角； （2）已知两边和它 们的夹角，求第三 边和其他两个角.
a 2 + b2 - c 2 cosC = 2ab
2 2 2 2 2
b2 + c2 - a 2 cosA = 2bc 2 a + c2 - b 2 cosB = 2ac
a =b +c-2bccosA
b =c +a-2accosB
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1 在ABC中，a 3, c 8, B 60, 则ABC的周长 18 是___ 7___ 3 2 在ABC中，a=9,b=2 3, C 150, 则c
3 在ABC中，a 10, b 24, c 26, 则最大角的 余弦值为（ 0 ） 2 / 3 4 在ABC中，已知a2 b2 bc c2 , 则角A为___
a sin C sin A 0.6299 c 2 2 2 c =a ＋b －2abcosC, A 39 或141 c b a c≈4.297. b2＋c2－a2 C B A cosA＝ ≈0.777， 2bc A C 82 28` A 39
∵
∴ ∴
B＝180°－(A＋C)≈100°.
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1 在ABC中，a 3, c 8, B 60, 则ABC的周长 18 是___ 7___ 3 2 在ABC中，a=9,b=2 3, C 150, 则c
3 在ABC中，a 10, b 24, c 26, 则最大角的 余弦值为（ 0 ） /3 ___ 4 在ABC中，已知a2 b2 bc c2 , 则角A为2
沙河市第二中学 杨 蕾
1Βιβλιοθήκη Baidu
复习
直角三角形中的边角关系：
A+B+C=180° A+B=C=90 ° c b 2、边的关系： a2+b2=c2 B a C 3、边角关系： a =cosB sinA= — c b = cosA sinB = — c
2
A 1、角的关系：
看一看想一想
直角三角形中的边a、 b不变，角C进行变动
A A A A A A A A A
c c c cb bb cc c b b b B a C B
c
a C
b
c
B a
b
C
c2 = a2+b2
c2 ＞ a2+b2
c2 ＜ a2+b2
3
勾股定理仍成立吗？
A c B a C b
c= ∣AB∣
c2=
AB= AC+ CB
= AB AB
AB AB= (AC+CB) (AC+CB)
5
2
2
2
归纳 A
余弦定理
a2=b2+c2-2bc· cosA
b
c B a
b2=c2+a2-2ca· cosB
c2=a2+b2-2ab· cosC
C
三角形任何一边的平方 等于其他两边平方的和减去 你能用文字说明吗？ 这两边与它们夹角的余弦的 积的两倍。
6
讨论： 余弦定理指出了三角形三条边与其中一 个角之间的关系，应用余弦定理，我们 可以解决已知三角形的三边确定三角形 的角的问题，怎么确定呢？
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讨论：
勾股定理指出了直角三角形中三边平方 之间的关系，余弦定理则指出了一般三 角形中三边平方之间的关系，什么关系 时是直角？钝角？锐角？如何看这两个 定理之间的关系？
例题讲解
例 1：在ABC中，已知a＝2.730，b＝3.696， C＝82°28′，解这个三角形. 解： 由 得 ∵ ∴
归纳 A
变一变乐在其中
a2=b2+c2-2bc· cosA
b
c B a
b2=c2+a2-2ca· cosB
c2=a2+b2-2ab· cosC
b2+c2 - a2 cosA= 2bc c2+a2 - b2 cosB= 2ca a2+b2 - c2 cosC= 2ab
C
变形
8
余弦定理适用于任何三角形 余弦定理的作用
15
1 在ABC中，a 3, c 8, B 60, 则ABC的周长 18 是___ 7___ 3 2 在ABC中，a=9,b=2 3, C 150, 则c
3 在ABC中，a 10, b 24, c 26, 则最大角的 余弦值为（ 0 ） 2 / 3 4 在ABC中，已知a2 b2 bc c2 , 则角A为___
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证明
向量法
c B a C
A
b
AB AB ( AC CB) ( AC CB)
AC AC 2 AC CB CB CB 2 2 2 ∴ AB = AC +2 AC CB cos(1800 -C)+ CB
∴ c = a + b - 2abcosC
A≈39°,
∴
B＝180°－(A＋C)＝58°32′.
例题讲解
例 2：在ABC中，已知a＝7，b＝10，
c＝6，解三角形.（精确到1 ° ） 解： ∵ ∴
c sin A b2＋c2－a2 sin C 0.5954 cosA＝ ＝0.725， a 2bc C 36 或144 （舍） A≈44° a2＋b2－c2 cosC＝ ＝0.807， 2ab C≈36°,
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1 在ABC中，a 3, c 8, B 60, 则ABC的周长 18 是___ 7___ 3 2 在ABC中，a=9,b=2 3, C 150, 则c
3 在ABC中，a 10, b 24, c 26, 则最大角的 余弦值为（ 0 ） /3 ___ 4 在ABC中，已知a2 b2 bc c2 , 则角A为2
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1 在ABC中，a 3, c 8, B 60, 则ABC的周长 18 是___ 7___ 3 2 在ABC中，a=9,b=2 3, C 150, 则c
3 在ABC中，a 10, b 24, c 26, 则最大角的 余弦值为（ 0 ） /3 ___ 4 在ABC中，已知a2 b2 bc c2 , 则角A为2
（1）已知三边求三个 角； （2）已知两边和它 们的夹角，求第三 边和其他两个角.
a 2 + b2 - c 2 cosC = 2ab
2 2 2 2 2
b2 + c2 - a 2 cosA = 2bc 2 a + c2 - b 2 cosB = 2ac
a =b +c-2bccosA
b =c +a-2accosB
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1 在ABC中，a 3, c 8, B 60, 则ABC的周长 18 是___ 7___ 3 2 在ABC中，a=9,b=2 3, C 150, 则c
3 在ABC中，a 10, b 24, c 26, 则最大角的 余弦值为（ 0 ） 2 / 3 4 在ABC中，已知a2 b2 bc c2 , 则角A为___
a sin C sin A 0.6299 c 2 2 2 c =a ＋b －2abcosC, A 39 或141 c b a c≈4.297. b2＋c2－a2 C B A cosA＝ ≈0.777， 2bc A C 82 28` A 39
∵
∴ ∴
B＝180°－(A＋C)≈100°.
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1 在ABC中，a 3, c 8, B 60, 则ABC的周长 18 是___ 7___ 3 2 在ABC中，a=9,b=2 3, C 150, 则c
3 在ABC中，a 10, b 24, c 26, 则最大角的 余弦值为（ 0 ） /3 ___ 4 在ABC中，已知a2 b2 bc c2 , 则角A为2
沙河市第二中学 杨 蕾
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复习
直角三角形中的边角关系：
A+B+C=180° A+B=C=90 ° c b 2、边的关系： a2+b2=c2 B a C 3、边角关系： a =cosB sinA= — c b = cosA sinB = — c
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A 1、角的关系：
看一看想一想
直角三角形中的边a、 b不变，角C进行变动
A A A A A A A A A
c c c cb bb cc c b b b B a C B
c
a C
b
c
B a
b
C
c2 = a2+b2
c2 ＞ a2+b2
c2 ＜ a2+b2
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勾股定理仍成立吗？
A c B a C b
c= ∣AB∣
c2=
AB= AC+ CB
= AB AB
AB AB= (AC+CB) (AC+CB)
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归纳 A
余弦定理
a2=b2+c2-2bc· cosA
b
c B a
b2=c2+a2-2ca· cosB
c2=a2+b2-2ab· cosC
C
三角形任何一边的平方 等于其他两边平方的和减去 你能用文字说明吗？ 这两边与它们夹角的余弦的 积的两倍。
6
讨论： 余弦定理指出了三角形三条边与其中一 个角之间的关系，应用余弦定理，我们 可以解决已知三角形的三边确定三角形 的角的问题，怎么确定呢？