135-7-4牛顿下山法、弦截法、解非线性方程组的牛顿法

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牛顿法与割线法求解非线性方程

牛顿法与割线法求解非线性方程在数学中，非线性方程是指方程中包含未知数的幂次大于等于2的项的方程。

求解非线性方程是数学中一个重要的问题，它在科学、工程和经济等领域中有着广泛的应用。

本文将介绍两种常用的非线性方程求解方法：牛顿法和割线法。

一、牛顿法牛顿法是一种迭代方法，用于求解非线性方程的根。

它基于泰勒级数展开的思想，通过不断迭代逼近方程的根。

牛顿法的基本思想是：选择一个初始值x0，然后通过迭代公式xn+1 = xn - f(xn)/f'(xn)，不断逼近方程的根。

具体步骤如下：1. 选择一个初始值x0；2. 计算函数f(x)在x0处的导数f'(x0)；3. 使用迭代公式xn+1 = xn - f(xn)/f'(xn)计算下一个近似解xn+1；4. 判断是否满足停止准则，如果满足，则输出近似解xn+1，算法结束；如果不满足，则将xn+1作为新的近似解，返回第2步继续迭代。

牛顿法的优点是收敛速度快，但缺点是对初始值的选择较为敏感，可能会陷入局部最优解。

二、割线法割线法也是一种迭代方法，用于求解非线性方程的根。

它与牛顿法类似，但是割线法不需要计算函数的导数。

割线法的基本思想是：选择两个初始值x0和x1，通过迭代公式xn+1 = xn - f(xn)(xn - xn-1)/(f(xn) - f(xn-1))，不断逼近方程的根。

具体步骤如下：1. 选择两个初始值x0和x1；2. 使用迭代公式xn+1 = xn - f(xn)(xn - xn-1)/(f(xn) - f(xn-1))计算下一个近似解xn+1；3. 判断是否满足停止准则，如果满足，则输出近似解xn+1，算法结束；如果不满足，则将xn+1作为新的近似解，返回第2步继续迭代。

割线法的优点是不需要计算函数的导数，但缺点是收敛速度相对较慢。

三、牛顿法与割线法的比较牛顿法和割线法都是求解非线性方程的有效方法，它们各有优缺点。

牛顿法的收敛速度较快，但对初始值的选择较为敏感；割线法不需要计算函数的导数，但收敛速度相对较慢。

牛顿迭代法解非线性方程（组）

牛顿迭代法解非线性方程（组）在辨识工作中，常常需要对辨识准则或者判据进行求极值，这往往涉及到求非线性方程（组）的解问题。

牛顿迭代法是一种常用方法。

下面把自己对牛顿迭代法的学习和理解做个总结。

1.一元非线性方程的牛顿迭代公式和原理以一元非线性方程 f(x)=0 为例，对函数 f(x)进行Taylor级数展开（只展开至线性项）得f(x) = f(x0)+f'(x0)(x-x0)所以方程可写成f(x0)+f'(x0)(x-x0) = 0其中x0是给定的已知值，则不难推导出方程的解（当然，只是近似解，毕竟Taylor展开过程中只取了线性项）x = x0 - f(x0) / f'(x0)其中x不是真实解，但是相比之前的x0更靠近真实解了，因此可以多重复几次上述过程，从而使得到的解非常接近准确值。

所以，对于一元非线性方程，牛顿拉夫逊迭代公式为：x(k+1) = x(k) - f(x(k)) / f'(x(k))根据Taylor级数的几何意义我们可以从几何上形象的看牛顿迭代法的求解f(x)=0的过程。

第一次迭代x1 = x0 - f(x0) / f'(x0)，其中f(x0) / f'(x0)的几何意义很明显，就是x0到x1的线段长度（这可以从直角三角形的知识得到）。

第二次迭代x2 = x1 - f(x1) / f'(x1)，其中f(x1) / f'(x1)的几何意义很明显，就是x1到x2的线段长度。

同理可以进行第三次迭代第四次迭代，可以明显的看出x的取值在不断逼近真实解x*。

可能有人问，迭代求得的结果会不会不收敛，也就是x会不会偏离x*。

由于x0是在x*附近区域取值的，因此x0到x1这段曲线应该认为是平滑的没有转折的，因此切线与x轴的交点只会越来越接近真实解x*。

但是如果x0的取值离x*比较远的话，那么x0到x1这段曲线上可能有“转折”，这样就可能引起迭代的不收敛。

求解非线性方程的三种新的迭代法

求解非线性方程的三种新的迭代法
迭代法是一种通过迭代逼近的方式来求解方程的方法。

它的基本思想是通过不断逼近
方程的解，使得逼近值与真实解的差距越来越小，最终得到方程的解。

下面介绍三种新的迭代法：牛顿迭代法，弦截法和切线法。

一、牛顿迭代法
牛顿迭代法是一种通过利用函数导数的信息来逼近方程解的方法。

它的迭代公式为：
x_(n+1) = x_n - f(x_n)/f'(x_n)
x_n表示第n次迭代得到的逼近解，f(x_n)表示在x_n处的函数值，f'(x_n)表示在x_n 处的导数值。

牛顿迭代法的优点是收敛速度快，通常是二阶收敛，但其缺点是需要计算函数的导数，如果导数计算困难或者导数为零的情况下，该方法可能不适用。

二、弦截法
三、切线法
切线法的优点和牛顿迭代法类似，但其缺点是需要计算函数的导数，且对于初始逼近
解的选择比较敏感。

牛顿迭代法、弦截法和切线法都是三种常用的非线性方程迭代法。

它们各自有着优点
和缺点，适用的领域和条件也不尽相同。

在实际问题中，需要根据具体情况选择合适的方
法来求解非线性方程。

牛顿法、简化牛顿法与牛顿下山法、弦截法、解非线性方程组的牛顿法

河北联合大学第7章非线性方程组的数值解法§7.3 牛顿法 §7.4 简化牛顿法与牛顿下山法§7.5 弦截法 §7.6 解非线性方程组的牛顿法1. 什么是求解f x =0的牛顿法？它是否总是收敛的？若f *x =0，x *是单根，f 光滑，证明牛顿法是局部二阶收敛的。

答：按式x 1 n =x n —n n x f x f '(n=0,1,2……n )求方程f x =0的近似解的方法称为牛顿法；牛顿法不总是收敛的，它是局部收敛的；设函数()f x 在其零点*x 邻近二阶连续可微，且*()0f x ﾢﾢ，则存在0d >，使得对任意**0[,]x x x d d - �，Newton 法所产生的序列{}n x 至少二阶收敛于*x 。

证明由1() (0,1,2,)()n n n n f x x x n f x =-=ﾢL 知迭代函数为()()()f x x x f x j =-ﾢ，且有2()()()[()]f x f x x f x j ﾢﾢﾢ=ﾢ，若()f x ﾢﾢ在*x 邻近连续，则()x j ﾢ在*x 邻近连续，且****2()()()01[()]f x f x x f x j ﾢﾢﾢ==<ﾢ当迭代函数()x j在*x 邻近有r 阶连续导数，且**=()x x j ,()*()0k x j =(1,,1)k r =-L ，0)(*)( x r j 则迭代序列{}n x 在点*x 邻近是r 阶收敛的。

可知Newton 法产生的迭代序列{}n x 至少二阶收敛于*x 。

2. 什么是弦截法？试从收敛阶及每步迭代计算量与牛顿法比较其差别。

答：弦截法是函数逼近法的一种，基本思想是用区间 x x kk ,1-上的割线近似代替目标函数的导函数的曲线。

并用割线与横轴交点的横坐标作为方程根的近似。

在Newton 迭代公式中，每次计算导数运算量很大，为了避免计算导数值,用差商代替导数)(x k f,得到迭代公式按如下迭代公式计算方程的近似解称为弦截法。

非线性方程的牛顿法

k
？
k
故{xk}单调递减, 从而{xk}收敛.令
对迭代公式两边取极限，得
f ( ) f '( )
lim x
k
三、计算实例及其程序演示
辅助工具: VC程序设计语言 Matlab数学软件
计算步骤
(1) 选定初值x0 ,计算f (x0) , f (x0)
(2) 按公式 xk 1 得新的近似值xk+1 (3) 对于给定的允许精度，如果 | xk 1 xk | 则终止迭代，取 x* xk 1;否则k=k+1，再转步骤(2)计算允许精度
f ( k ) 0 f ( x*) f ( xk ) f ( xk )( x * xk ) ( x * xk ) 2 2!
由Taylor 展开：
f ( xk ) f (k ) x* xk ( x * xk )2 f ( xk ) 2 f ( xk ) x * xk 1 f (k ) 令k ，由 f (x*) 0， 2 ( x * xk ) 2 f ( xk ) 即可得结论。
注：Newton法的收敛性依赖于x0 的选取。
x x x 0 0 0
x*
全局收敛性定理(定理4.7)：设 f (x)C2[a, b]，若
(1) f (a) f (b) < 0； (2) 在整个[a, b]上 f (x) 0； (3) f (x)在 [a, b]上不变号根唯一 (4) 选取初始值x0 [a, b] 使得 f (x0) f (x0) > 0；则由Newton法产生的序列{ xk } 单调地收敛到 f (x)=0 在 [a, b] 的唯一根x*,且收敛速度至少是二阶的保证Newton迭代函数将[a,b]映射于自身有根

数学方法解决非线性方程组

数学方法解决非线性方程组非线性方程组在科学、工程和数学领域中具有重要的应用价值。

解决非线性方程组是一个复杂的任务，而数学方法为我们提供了一种有效的途径。

本文将介绍一些常用的数学方法，以解决非线性方程组的问题。

1. 牛顿法牛顿法是一种常用的数值解法，用于求解非线性方程组。

它基于泰勒级数的思想，通过迭代逼近方程组的根。

具体步骤如下：首先，选择一个初始点作为近似解。

然后，根据函数的导数来计算方程组在该点的切线，找到切线与坐标轴的交点。

将该交点作为新的近似解，继续迭代，直到满足收敛条件。

牛顿法具有快速收敛的特点，但在某些情况下可能会陷入局部极小值点。

2. 雅可比迭代法雅可比迭代法也是一种常见的数值解法。

它将非线性方程组转化为线性方程组的形式，然后通过迭代来逼近解。

具体步骤如下：首先，将非线性方程组表示为矩阵形式，其中包含未知数的系数矩阵和常数向量。

然后，将方程组进行变换，使得未知数的系数矩阵变为对角矩阵。

接下来，选择一个初始解向量，并通过迭代计算新的解向量，直到满足收敛条件。

雅可比迭代法适用于大规模的非线性方程组求解，但收敛速度较慢。

3. 高斯-赛德尔迭代法高斯-赛德尔迭代法是雅可比迭代法的改进版本。

它在每次迭代中使用新的解向量来更新未知数的值，从而加快收敛速度。

具体步骤如下：首先，选择一个初始解向量。

然后，通过迭代计算新的解向量，直到满足收敛条件。

高斯-赛德尔迭代法相对于雅可比迭代法而言，可以更快地收敛到解。

它在求解非线性方程组时具有较好的效果。

4. 弦截法弦截法是一种近似求解非线性方程组的方法。

它通过线段的截断来逼近方程组的根。

具体步骤如下：首先，选择一个初始的线段，其中包含方程组的两个近似解。

然后，通过截取线段上的新点，构造新的线段。

重复这个过程，直到满足收敛条件。

弦截法是一种迭代方法，它可以在不需要计算导数的情况下逼近方程组的根。

但是，它的收敛速度比牛顿法和雅可比迭代法要慢。

总结：数学方法提供了一种有效的途径来解决非线性方程组的问题。

非线性方程组的牛顿迭代法-最速下降法

数学软件实验任务书实验一非线性方程组的牛顿迭代法 1 实验原理对于非线性方程11221212(,,,)(,,,)(,,,)n n n n f x x x f x x x f f x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 在x (k )处按照多元函数的泰勒展开，并取线性项得到 ()()()()(1)()1111()()()()(1)()()122()()()()(1)()1(,,,)(,,,)()0(,,,)k k k k k k n n k k k k k k k n n n k k k k k k n n n nn f x x x x x f x x x x x f x f x x x x x +++⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪'+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ 其中1111()n n n n f f x x f x f f x x ∂∂⎛⎫ ⎪∂∂ ⎪' ⎪= ⎪∂∂ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭(1)()()()()()1111(1)()()()()()()1221(1)()()()()()1(,,,)(,,,)[()](,,,)k k k k k k n n k k k k k k k n n n k k k k k k n n n n n x x f x x x x x f x x x f x x x f x x x ++-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪'=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 2 数据来源计算非线性方程组22220.50440x x y x y ⎧--+=⎨+-=⎩ 初值取11x y ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦3 实验步骤步骤一：编写牛顿迭代法的基本程序。

打开Editor 编辑器，输入以下语句：function [x,n,data]=new_ton(x0,tol)if nargin==1tol=1e-10;endx1=x0-f1(x0)/df1(x0);MATLAB 241 数值分析与应用n=1;%迭代过程while (norm(x1-x0)>tol)x0=x1;x1=x0-f1(x0)/df1(x0);n=n+1;%data 用来存放中间数据data(:,n)=x1;endx=x1;以文件名new_ton.m保存。

非线性方程的数值求法牛顿迭代法和弦截法PPT课件

26
Newton下山法
原理：若由 xk 得到的 xk+1 不能使 | f | 减小，则在 xk 和 xk+1 之间找一个更好的点 xk1，使得 f ( xk1) f ( xk ) 。
xk
xk+1
xk1 (1 )xk , [0, 1]
xk 1
[xk
)g( xn
)

n1

n

mng(xn ) mg( xn ) n g(
xn
)

n2 g( xn )
mg( xn ) n g( xn )

n1

2 n

g( xn )
mg( xn ) n g( xn )
若 xn 收敛，即
n 0 (n ),
没有具体的描述，而且若x0 的值没有取好，有可能得不到收敛的结果。
以下定理，给出了 f x 满足一定的条件时，要使得牛顿
迭代法收敛，x0 应满足什么条件。
又 f ( ) 0
( ) 0 1,
牛顿迭代法局部收敛于
又 ( ) 0
即有：牛顿迭代法具有二阶（平方）收敛速度。
注. 定理要求 x0 充分接近 (局部收敛)，充分的程度
没有具体的描述，而且若x0 的值没有取好，有可能得不到收敛的结果。
以下定理，给出了 f x 满足一定的条件时，要使得牛顿
迭代法收敛，x0 应满足什么条件。
定理设 f x 在区间 a,b 上的二阶导数存在，且满足： ① f (a) f (b) 0; （保证 a, b中至少存在一个根）
若 xn 收敛，即 n 0 (n )
lim n1 lim[1

牛顿下山法求非线性方程组解

《MATLAB 程序设计实践》课程考核1、编程实现以下科学计算算法，并举一例应用之。

（参考书籍《精通ＭＡＬＡＢ科学计算》，王正林等著，电子工业出版社，２００９年）“牛顿下山法求非线性方程组解”解：算法说明：牛顿下山法的迭代公式：())()(11n n n n x F x F w x x -+-=w 的取值范围为10≤w ，为了保证收敛，还要求w 的取值使得：())(1n n x F x F +可以用作次减半法来确定w 。

为了减少计算量，还可以用差商来代替偏导数。

在MA TLAB 中编程实现的非线形方程组的牛顿下山法的函数：mulDNewton 。

功能：用牛顿下山法求非线形方程组的一个解。

调用格式：[]),0(,eps x mulDNewton n r = 其中， x0为初始迭代向量Eps 为迭代精度；r 为求出的解向量n 为迭代步数。

牛顿下山法的MATLAB 代码如下：function [r,n]=mulDNewton(x0,eps) %牛顿下山法求非线形方程组的一个解 %初始迭代向量：x0 %迭代精度：eps %解向量： r %迭代步数：n if nargin==1 eps=1.0e-4;%输入的自变量的数目为1个时，精度定为eps=1.0e-4 endr=x0-myf(x0)/dmyf(x0); %当n=1时，取w=1 n=1; tol=1;%初始n 和tol 的值 while tol>eps x0=r; ttol=1; %初始ttol 的值 w=1;%初始w 的值，w 就是下山因子alpha F1=norm(myf(x0)); while ttol>=0r=x0-w*myf(x0)/dmyf(x0); ttol=norm(myf(r))-F1; w=w/2; endtol=norm(r-x0); n=n+1; if (n>100000)disp('迭代步数太多，可能不收敛！'); return ; end end举例说明：牛顿下山法求下面方程组⎩⎨⎧=--=-+0sin 1.0cos 5.00)cos(1.0sin 5.02211211x x x x x x x 的根，其初始迭代值取（0,0）。

牛顿法解非线性方程组

一、求根方法原理把非线性函数f(x)=0在x0处展开成泰勒级数取其线性部分，作为非线性方程的近似方程，则有 , 设，则其解为,再把f(x)在x1处展开为泰勒级数，取其线性部分为的近似方程，若，则得，如此继续下去，得到牛顿法的迭代公式：，通过迭代，这个式子必然在的时候收敛。

整个过程如下图：牛顿法收敛很快，而且可求复根，缺点是对重根收敛较慢，要求函数的一阶导数存在。

二、求解步骤1. 选取一个接近函数零点的自变量 x 值作为起始点。

2. 使用如下的迭代公式更新近似解。

3. 如果得出的解满足误差要求，终止迭代，所得的值即视为方根根的近似解。

三、自定的非线性方程使用牛顿迭代法近似求解如下方程在[-1, 1]之间的根：四、源程序代码clear, close allclcf = @(x) cos(x) -x.^3;f_prime = @(x) -sin(x) -3*x.^2;error = 1; %初始化误差变量iter = 0; %初始化迭代次数变量max_iter = 5000; %定义最大允许迭代次数tol = 1e-8; %定义循环终止误差x0 = 0.5; %初始值while error > tol && iter <= max_iterx = x0 - f(x0)/f_prime(x0); %更新x的值error = abs((x-x0)/x0); %计算相对误差iter = iter +1; %更新迭代次数x0 = x; %计算出的x赋值给x0，继续迭代，直到达到误差条件。

end五、上机运行结果截图六、结论1.迭代法是求解非线性方程组的一种很好的方法，它可以反复校验根的近似值，直到得出符合精度的解。

从几何角度上来解释可以解释为两个函数的无限逼近2.我们为了加快迭代的速度，引入了牛顿法，牛顿法的收敛速度很快，但是其收敛性取决于牛顿法的取值。

3.。

非线性方程(组)的数值解法——牛顿法、弦切法

2x
(3) 用 Newton 法解 (x) = 0
x ( x 2 2) 3 ( x) x x2 2
ex76.m
14
弦截法与抛物线法
弦截法与抛物线法
目的：避免计算 Newton 法中的导数，且具有较高的收敛性（超线性收敛）弦截法（割线法）：用差商代替微商抛物线法：用二次多项式近似 f(x)
2
x
k

C
2
2
xk 1 C xk C xk 1 C xk C 2k xk C x0 C xk C x0 C k q2 xk C 2 C 2k 1 q
q
2k
对任意 x0>0，总有 |q|<1，即牛顿法收敛
8
牛顿法
牛顿的优点
至少二阶局部收敛，收敛速度较快，特别是当迭代点充分靠近精确解时。
牛顿法是目前求解非线性方程 (组) 的主要方法牛顿的缺点
对重根收敛Βιβλιοθήκη 度较慢（线性收敛）对初值的选取很敏感，要求初值相当接近真解先用其它算法获取一个近似解，然后使用牛顿法
需要求导数！
9
简化的Newton法
f ( xk ) f '( xk ) 迭代格式： xk 1 xk [ f '( xk )]2 f ( xk ) f ''( xk )
13
举例
例：求 x4 - 4x2 ＋ 4=0 的二重根 x* 2 (1) 普通 Newton 法
x2 2 1 ( x ) x 4x
(2) 改进的 Newton 法 x2 2 2 ( x) x
简化的 Newton 法

解非线性方程组的牛顿迭代法

3 x3 1.425497619 1.414213562 1.414213562
19
计算三步，方法（2）及（3）均达到10位有效数字，而用牛顿法只有线性收敛，要达到同样精度需迭代30次.
20
7.5 弦截法与抛物线法
用牛顿法求方程（1.1）的根，每步除计算 f (xk ) 外还要算 f (xk )，当函数 f (x)比较复杂时，计算 f (x) 往往较困难，为此可以利用已求函数值 f (xk ), f (xk1), 来回避导数值 f (xk ) 的计算.
的导数为
(x) x f (x)
f (x)
(x*) 1 1 0
m
且 (x*) 1，所以牛顿法求重根只是线性收敛. 若取
16
(x) x m f (x) ,
f (x)
则 (x*) 0
. 用迭代法
xk 1

xk
m
f ( xk ) f (xk )
(k 0,1,)
7.5.1 弦截法
设 xk , xk 1是 f (x) 0的近似根，利用 f (xk ), f (xk1) 构造一次插值多项式 p1(x)，并用 p1(x) 0的根作为新的近似根 xk 1 . 由于
p1(x)
f (xk )
f
( xk ) xk

f xk 1
xk 1

10
在（4.7）中取C 1 ，则称为简化牛顿法，这
f ( x0 )
类方法计算量省，但只有线性收敛，其几何意义是用平行弦与 x轴交点作为 x *的近似. 如图7-4所示.
图7-4
11
（2）牛顿下山法.
牛顿法收敛性依赖初值 x0的选取. 如果x0 偏离所求根 x *较远，则牛顿法可能发散.

牛顿法与弦截法的比较分析

牛顿法与弦截法的比较分析牛顿法与弦截法都是解决非线性方程组的数值方法，本文将从理论分析和实例验证两个方面对两种方法进行比较分析。

一、理论分析牛顿法是利用函数在某一点的切线来逼近函数的零点，具体公式为：$$ x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)} $$其中，$x_n$为第n次迭代时的值，$f(x_n)$与$f'(x_n)$分别为函数$f(x)$在$x_n$处的函数值和导数值。

弦截法是利用函数在两点的割线来逼近函数的零点，具体公式为：$$ x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)(x_n-x_{n-1})}{f(x_n)-f(x_{n-1})} $$其中，$x_n$和$x_{n-1}$为第n次和n-1次迭代时的值，$f(x_n)$和$f(x_{n-1})$分别为函数$f(x)$在$x_n$和$x_{n-1}$处的函数值。

从公式上看，牛顿法需要求解函数的导数值，而弦截法需要求解两个点的函数值。

通常情况下，求导数比求函数值要容易，因此牛顿法的求解速度会比弦截法快。

但是，牛顿法也有其局限性，当$f'(x_n)$接近于零时，分母将趋近于零，公式失效，部分实验结果还容易出现发散的情况。

而弦截法没有这样的局限性，因为它只需要两个点的函数值，所以它更加稳定。

因此，对于导数很难或不容易求解的函数，或者函数的导数在最小值点或最大值点处为零的情况下，弦截法比牛顿法更加适合。

二、实例验证下面我们以一个简单的例子来验证牛顿法和弦截法之间的差异。

假设我们要求解$f(x)=x^3-x-1$的根，且我们需要知道的精度为$10^{-6}$。

先来看看牛顿法的迭代过程：$$ x_0=1,\space x_1=1.5,\space x_2=1.453333,\spacex_3=1.324719,\space x_4=1.326024,\space x_5=1.324718,\spacex_6=1.324718 $$可以看到，牛顿法在6次迭代后得到了精度为$10^{-6}$的根，但是这个过程中出现了两次迭代发散的情况。

newton法解非线性方程组

newton法解非线性方程组求解非线性方程组是数值计算中的经典问题之一，其中Newton法是一种常用的求解非线性方程组的方法。

本文将介绍Newton法的原理、步骤以及一些注意事项，并通过一个具体的例子来演示其求解过程。

一、Newton法的原理Newton法是基于Taylor级数展开的思想，通过不断迭代求解线性方程组来逼近非线性方程组的解。

我们假设有一个非线性方程组F(x)=0，其中x=(x1,x2,...,xn)为未知数向量，F=(f1(x),f2(x),...,fn(x))为非线性函数向量。

根据Taylor级数展开，可以将非线性方程组F(x)=0近似表示为：F(x+△x)≈F(x)+J(x)△x=0其中△x为近似解与真解之差，J(x)为F(x)的Jacobi矩阵。

通过近似解与真解之差△x来逼近真解，可以将非线性方程组转化为一个线性方程组J(x)△x=-F(x)。

我们可以通过迭代的方式求解这个线性方程组，不断更新近似解x，直到满足精度要求。

二、Newton法的步骤1.初始化迭代初始值x(0)2.计算非线性函数向量F(x)3. 计算Jacobi矩阵J(x)4.解线性方程组J(x)△x=-F(x)，得到△x5.更新近似解x=x+△x6.判断是否满足终止条件，如果满足则结束迭代，否则返回步骤2继续迭代在具体实现时，需要注意以下几个问题：1. 初始迭代值的选择：初试迭代值对Newton法的收敛性有一定影响，通常需要根据具体问题的特点进行选择，可以是经验值，也可以采用其他方法得到。

2. Jacobi矩阵的计算：Jacobi矩阵的计算比较复杂，一般采用数值方法来近似求解，比如中心差分法。

3. 线性方程组的求解：线性方程组的求解可以使用一些高效的方法，比如LU分解、Cholesky分解等。

三、例子演示现在我们通过一个简单的例子来演示Newton法的求解过程。

假设我们要求解方程组：f1(x1,x2)=x1^2+x2^2-1=0f2(x1,x2)=x1+x2-1=0首先，我们需要定义非线性函数向量F(x)和Jacobi矩阵J(x)：F(x)=[f1(x1,x2),f2(x1,x2)]^TJ(x)=([∂f1/∂x1∂f1/∂x2],[∂f2/∂x1∂f2/∂x2])然后，我们可以进行迭代求解，具体步骤如下：1.初始化迭代初始值x(0)=(0,0)2.计算非线性函数向量F(x)：f1(x)=x1^2+x2^2-1f2(x)=x1+x2-13. 计算Jacobi矩阵J(x)：J(x)=([2x12x2],[11])4.解线性方程组J(x)△x=-F(x)：J(x)△x=-F(x)的解为：△x=[(x1^2+x2^2-1)/(2x1+2x2),(x1+x2-1)/(2x1+2x2)]^T5.更新近似解x=x+△x：x=(x1+△x1,x2+△x2)6.判断是否满足终止条件，如果满足则结束迭代，否则返回步骤2继续迭代。

解非线性方程组的牛顿法

§6 解非线性方程组的迭代法
考虑非线性方程组
f1(x1, x2, , xn ) 0,
f2(x1, x2, , xn ) 0,
fn (x1, x2, , xn ) 0. 利用向量记号写为
F (X ) O. 这里F (X )是定义在某区域D Rn上向量值函数. 若存在 X* D, 使得F (X*) O, 则称X*为非线性方程组的解.
.
逐次迭代得结果.
Step 5 Set x x y
Step 6 If y TOL then OUTPUT(x)
Step7 Set k k 1
STOP.
Step8 OUTPUT (‘Maximum number of iterations exceeded’) STOP.
为了说明上述算法，我们可以看看下面的例子。设
s1
145 272
，
145 272
T
.
x2 x1 s1 0.092，3.092 T .
显然，我们只经过两步计算，所得到的 x2就已经非常靠近解 0，3T .
例1 用牛顿法求解方程组
k x (k) 0 (1.5, 1.0)T
f1( f2(
x1 x1
,x2 ,x2
) )
x1 2 x12
定理 2 设G : D Rn Rn在D内有一不动点X *且G在X *可导,
(G(X*)) 1, 则存在开球 S S( X*, ) D, 对X (0) S, 迭代序列{X (k)}
收敛于X *.
牛顿迭代公式：
X (k1) X (k) F( X (k) ) 1 F ( X (k) ),
其中
f1
F
(
X
(k
)
)

求解非线性方程组的牛顿法和拟牛顿法

求解非线性方程组的牛顿法和拟牛顿法解决非线性方程组是数学中的一个经典问题，其应用广泛，例如化学、物理、优化和金融等领域。

牛顿法和拟牛顿法是求解非线性方程组的常见方法之一，本文将详细介绍牛顿法和拟牛顿法的原理、优缺点以及实现步骤。

一、牛顿法牛顿法是一种高效的求解非线性方程组的方法，其基本思路是利用一阶泰勒展开式近似于原方程组，并以此构造一个更新方案，通过一步步迭代找到原方程组的解。

以二元非线性方程组为例，假设有方程组：f1(x1, x2) = 0f2(x1, x2) = 0根据泰勒展开式的一阶近似可得：f(x + Δx) ≈ f(x) + Jx Δx其中，Jx为函数f(x)在点x处的Jacobian矩阵，Δx是待求解的更新量，它满足：f(x + Δx) = 0将近似式带入上述方程组中，可得：Jx Δx = - f(x)由此可以推导出牛顿法的迭代式：x(k+1) = x(k) - [Jx(k)]⁻¹f(x(k))其中，k表示迭代次数，x(k)表示第k次迭代的解，[Jx(k)]⁻¹为Jx(k)的逆矩阵。

牛顿法的优点在于它的收敛速度很快，尤其是在初始值接近解时，收敛更加快速。

但是，牛顿法也有很大的局限性，一是它需要求解Jacobian矩阵，在高维情况下计算复杂度很高，二是它的收敛性依赖于初始值，有时候可能会陷入局部最优。

二、拟牛顿法为了克服牛顿法的局限，拟牛顿法被发明出来。

和牛顿法一样，拟牛顿法同样是基于泰勒展开式的近似思想，但是它避免了Jacobian矩阵的计算，从而提高了算法的计算效率。

拟牛顿法的核心是对于迭代过程中的Jacobian矩阵的近似。

常见的近似方法有Damping BFGS（DBFGS）算法、DFP算法和Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno（BFGS）算法等。

其中，BFGS算法是拟牛顿法的代表，其迭代步骤如下：1. 初始化矩阵B0 = I2. 对于第k次迭代，求出pk = -Bk-1gk，并更新xk+13. 计算sk = xk+1 - xk，yk = gk+1 - gk4. 更新矩阵Bk+1 = Bk + ΔB，其中ΔB = ρskskT - BkykT - ykBkρ = 1/ (ykT sk)其中ΔB称为BFGS修正子，它近似于Jacobian矩阵的逆。

第七章：牛顿迭代法,弦截法

二、弦截法(割线法)
研究目的：在牛顿法基础上，构造既有较高的收敛速度，又不须导数的迭代公式.
f ( x k ) f ( x k 1 ) 代替导数 f ( xk ) 思想：用差商 x k x k 1
弦截迭代公式
f ( xk ) xk 1 xk ( xk xk 1 ), f ( xk ) f ( xk 1 ) k 1, 2,
Newton迭代公式
0 xk 1 xk
x
xk 1
f ( xk ) xk , k 0,1, 2, f ( xk )
一、牛顿迭代法(切线法)
2. 牛顿迭代法的收敛性 ——局部收敛
定理如果在有根区间[a,b]上 f´(x)≠0，f″(x)连续且不变
号, 在 [a, b]上取初始近似根 x0 , 使得 f ( x0 ) f ( x) 0 则牛顿迭代法收敛.
一、牛顿迭代法(切线法)
3. 牛顿迭代法的计算步骤
(1)给出x0 , ε；
f ( x0 ) x x (2)计算 1 0 f ( x0 )
(3)若 x1 x0 , 则转(4)；否则 x0 x1 ，转(2);
(4)输出x1 , 结束.
例用牛顿迭代法求方程 xex-1=0 在x=0.5
f ( x ) x ln x 2
取x0=2， x1=4经计算可得 x x3 3.146193221.
弦截法的计算框图
开始
输入x 0 , x1 ,
x 2 x1
f ( x1 ) ( x1 x0 ) f ( x1 ) f ( x0 )
| x 2 x1 | F x 0 x1 x1 x 2
1 x
例用牛顿迭代法计算 3 .

牛顿下山法、弦截法、解非线性方程组的牛顿法 - 牛顿法、简化牛顿法

为此，将牛顿法的计算结果
xk +1
xk
-
f ( xk ) f ﾢ( xk )
与前一步的近似值 xk 适当加权平均作为新的改进值，
xk+1 l xk+1 + (1- l)xk ，其中 l(0 < l ﾢ1) 称为下山因子。
xk +1
xk
-l
f (xk ) f '(xk )
(k 0,1, 2...)
解：设 f (x) x2 - a ，求 a 即计算 f (x) 0 的根。
则由牛顿迭代公式可得：
xk +1
xk
-
f (xk ) f ﾢ(xk )
xk
-
xk2 - a 2xk
1 2
� � �xk
+
a xk
� � �.
令初始值 x0 3 ，得
x1
1 2
� � �3 +
7 3
� � �
2.667,
xk +1
xk
-
f (xk ) f ﾢ(x0 )
（牛顿法） 2. 牛顿重根法
（简化牛顿法）
如果 x0 为 f (x) 的 k 重根，牛顿迭代公式修改为：
(k 0,1,L)
【注】若三种方法都收敛，则一般重根法收敛最快，牛顿法次之，简化迭代法最慢。
xk +1 xk
-k
f (xk ) f '(xk )
以方程
f (x) ﾢ f (x0 ) + f ﾢ(x0 )(x - x0 )
f (x0 ) + f ﾢ(x0 )(x - x0 ) 0
近似方程（7-1），其解
x1

解非线性方程的牛顿切线法

简单迭代法的基本思想
将方程
变换为一个等价形式
，构造迭代格式
其中称为迭代函数,
也称为不动点方程.
对给定的初值，由迭代格式得到的序列称为迭代序列.
对于连续函数
∗ →
，如果迭代序列
∗ →
收敛于 ∗，那么有
∗
第37讲解非线性方程的牛顿切线法——牛顿法思想及迭代公式
例1通过变换方程
构造不同迭代格式，通过选取
第37讲解非线性方程的牛顿切线法——牛顿法的收敛性
例2用牛顿法求方程
的正根，即求的近似值.
迭代公式为：
取初始近似值为
,迭代1~5次的对的近似值如下表
迭代次数 0 1 2 3 4
1 1.5 1.4166666666667 1.4142156862745 1.4142135623747
|
|
0.414213562
0.085786437
0.002453104
合适的初值，比较不同迭代格式的收敛性．
变换方程，得到三种不动点方程：
ห้องสมุดไป่ตู้
1
3
1
1
2 3
1 1.5 2
第37讲解非线性方程的牛顿切线法——牛顿法思想及迭代公式
(1)
1
0
1.5
1
1.357209
2
1.330861
3
1.325884
4
1.324939
5
1.324760
6
1.324726
7
1.324719
8
0.4
0.6
0
0.40000
0.600
1
0.10000