常用截面几何特性计算定律
第二讲 截面几何特性
Σi S = Σi −1S + d i Σi −1F + ∆Si
Σi I = Σi −1I + 2d i Σi −1பைடு நூலகம் + d i2Σi −1F + ∆I i
y2 = Σ ns S / Σ ns F = Si / Fi
y1 = hsns − y 2
2 2 I 0 = Σ ns I − Fi ⋅ y2 = I i − Fi ⋅ y2
如果把坐标原点取在1点，则 2 F = x2 y3 − y2 x3 ，使用上列 公式时，三角形节点必须逆时针编号，这样求得面积为正值， 如果顺时针编号，求得的面积则为负值。
在实际问题中，桥梁的横断面大 都是对称的，所求的截面惯性矩多为 对x轴的，故不必考虑主轴问题。
一个三角形的形心位置为： 三角形对x轴的惯性矩为：
NS 7 BS 2.2，2.2，1.0,O.2，O.2，O.6，0.6 HS 0，0.12，0.24，0.34，1.8，1.95， 2.45
梯形块计算公式
第i个梯形块的各种几何量： 1、面 积
∆Fi = (BS i + BS i −1 ) ⋅
b d ∆Si = BS i −1 + ⋅ i 3 2
yF = ( y2 + y3 ) 3
2 2 6 I c = F ⋅ y2 + y2 ⋅ y3 + y3
(
)
整个截面重心到第一点的距离为： 整个断面的惯性矩为：
yy =
I = ΣI c − (ΣF ) ⋅ yy 2
Σ(F ⋅ y F ) ΣF
∆123、∆134 、∆145都是按逆时针 编号的，得出的是正值，∆156、∆167 的面积是负的，但在计算∆178、∆189时， 多算了一部分界外面积，正好与∆156、 ∆167的面积抵消，算出的总结果是正确的。 由此可见，编号应该逆时针沿周边 循序进行，不可以随意编号。 右下图中的曲线部分，可用许多折线点来代替，取 的点愈多，计算结果愈精确。
截面几何特性怎么计算公式
截面几何特性怎么计算公式截面几何特性的计算公式。
截面几何特性是指在工程学和物理学中，用来描述截面形状和尺寸的一些参数，这些参数对于材料的强度、刚度和形变等性能具有重要的影响。
在工程设计和分析中，我们经常需要计算截面的一些特性，比如面积、惯性矩、截面模量等。
下面我们将介绍一些常见的截面几何特性的计算公式。
1. 面积。
截面的面积是描述截面大小的一个重要参数，通常用A表示，其计算公式为：A = ∫y dA。
其中y是截面某一点到参考轴的距离，dA表示微元面积。
对于简单几何形状的截面，可以直接通过几何关系计算出面积，比如矩形的面积为长乘以宽，圆形的面积为πr^2。
2. 惯性矩。
截面的惯性矩描述了截面对于转动的惯性，通常用I表示，其计算公式为：I = ∫y^2 dA。
对于简单几何形状的截面，可以通过几何关系计算出惯性矩，比如矩形的惯性矩为bh^3/12，圆形的惯性矩为πr^4/4。
3. 截面模量。
截面模量描述了截面对拉伸和压缩的抵抗能力，通常用S表示，其计算公式为：S = I/c。
其中c为截面到参考轴的距离。
对于简单几何形状的截面，可以通过几何关系计算出截面模量，比如矩形的截面模量为bh^2/6，圆形的截面模量为πr^3/4。
4. 弯曲模量。
截面的弯曲模量描述了截面对弯曲的抵抗能力，通常用W表示，其计算公式为：W = S/y_max。
其中y_max为截面到参考轴的最大距离。
对于简单几何形状的截面，可以通过几何关系计算出弯曲模量，比如矩形的弯曲模量为bh^2/4，圆形的弯曲模量为πr^3/2。
5. 截面形心。
截面的形心描述了截面的几何中心，通常用x_bar和y_bar表示，其计算公式为：x_bar = ∫x dA / A。
y_bar = ∫y dA / A。
对于简单几何形状的截面，可以通过几何关系计算出形心的坐标，比如矩形的形心坐标为(b/2, h/2)，圆形的形心坐标为(0, 0)。
以上是一些常见的截面几何特性的计算公式，这些参数对于工程设计和分析具有重要的意义。
截面几何性质(材料力学)
§-4 惯性矩和惯性积的转轴公式 截面的主惯性轴和主惯性矩
1.惯性矩和惯性积的转轴公式
y
bh3 Iz 12
C z
bh3 Iz' 12
h
b
y
注意： 1. 两个座标系的原点 必须重合； 2. 两轴惯性矩之和为常量
z
O
I y1 I
z1
I y I I p z
I z1 I y1
4）解法四 y1 I z I z1
I z0 I z0 1 I z0 2 I z0 3 I z0 4
A3 y
d 4
64
2 I y 2 I z0 3 I z0 3
d4
64 Iy
2
A2 z0
d
4
128
I z I z1 I z0 3 OC
d
2
d4 Iy 128 18
1) 极惯性矩、惯性矩和惯性积均与所取的坐标系有关， 2) 惯性积可正可负 3) 单位m4 或 mm4
y dA
4. 惯性半径
Iy iy A
Iz iz A
y
（单位m 或 mm）
O
z z
例
试计算图示矩形截面对于其对称轴x和y的惯性矩。
y dy
解： 取平行于x轴的狭长条， 则 dA=b dy
h
1 2
I zc I yc
2
4 I 2c zc 321104 mm4 y
I yc 0 I min
I zc I yc 2
1 2
I zc I yc
2
4 I 2c zc 57.4 104 mm 4 y
H型钢计算公式范文
H型钢计算公式范文H型钢是一种常用的钢材型号，常用于建筑结构和工程中。
其具有强度高、刚性好、使用寿命长等优点，因此在很多场合被广泛应用。
1.截面特性计算截面特性是指截面形状的几何尺寸以及截面积、重心位置等参数，它们是进行后续计算的基础。
常见的截面特性计算公式如下：(1)面积计算公式A = 2 * (t1 * b1 + t2 * b2 + t3 * b3 + t4 * b4) + (h - 2 * (t1 + t2 + t3 + t4)) * tw其中，A为截面面积，t1、t2、t3、t4为截面不同部分的厚度，b1、b2、b3、b4为对应部分的宽度，h为截面高度，tw为腹板厚度。
(2)重心位置计算公式x=(A1*x1+A2*x2+A3*x3+A4*x4)/Ay=(A1*y1+A2*y2+A3*y3+A4*y4)/A其中，x、y为截面重心坐标，A1、A2、A3、A4为对应部分的面积，x1、x2、x3、x4为对应部分的重心横坐标，y1、y2、y3、y4为对应部分的重心纵坐标。
(3)惯性矩计算公式Ixx = (A1 * (y1 - y)^2 + A2 * (y2 - y)^2 + A3 * (y3 - y)^2 + A4 * (y4 - y)^2) + IwIyy = (A1 * (x1 - x)^2 + A2 * (x2 - x)^2 + A3 * (x3 - x)^2 + A4 * (x4 - x)^2) + Iw其中，Ixx、Iyy为截面惯性矩，Iw为腹板惯性矩。
2.弯曲计算弯曲计算主要是根据截面特性计算截面的抗弯刚度和抗弯强度。
常见的弯曲计算公式如下：(1)抗弯刚度计算公式Wxx = Ixx / (h - y)Wyy = Iyy / (b1 + b2 + b3 + b4 - x)其中，Wxx、Wyy为截面的抗弯刚度。
(2)抗弯强度计算公式Mxx = Wxx * fMyy = Wyy * f其中，Mxx、Myy为截面的抗弯强度，f为材料的抗弯应力。
T形截面—截面几何性质计算
T形截面—截面几何性质计算T形截面通常用于横梁和柱子的设计中，具有较高的刚度和强度。
在计算T形截面的几何性质时，可以考虑以下几个重要的参数：截面面积、惯性矩、抗剪面积和截面模量。
1.截面面积：截面面积是指截面内所有的区域的面积之和，通常用A表示。
对于T 形截面，可以通过将上下两个矩形相加，再减去中间的矩形得到总面积。
2.惯性矩：惯性矩是描述截面形状对于转动惯量的影响程度的物理量。
对于T形截面，有两个惯性矩需要计算：x轴惯性矩和y轴惯性矩。
x轴惯性矩（Ix）描述了围绕与截面的中心线平行于x轴旋转的转动惯量，y轴惯性矩（Iy）类似。
可以通过将各个小区域的面积乘以它们到截面中心线的距离的平方再相加来计算这些惯性矩。
3.抗剪面积：抗剪面积是指悬臂梁在受到剪力作用时，用于抵抗剪切变形的有效截面的面积。
对于T形截面，可以通过将梁右边矩形的面积减去中间矩形的面积来计算剩余的抗剪面积。
4.截面模量：截面模量是描述截面形状对于弯曲刚度的影响程度的物理量。
对于T 形截面，使用两个截面模量来描述其弯曲刚度：x轴截面模量（Sx）和y 轴截面模量（Sy）。
x轴截面模量描述了横截面围绕与截面的中心线平行于x轴弯曲时的刚度，y轴截面模量描述了类似情况下的刚度。
截面模量可以通过将矩形和圆形的截面模量相加来计算。
此外，还可以计算T形截面的其他几何性质，如中心重心的位置和分割形心（距离两侧的边界的距离）。
这些参数可以用于更详细的结构计算和分析。
在设计过程中，这些截面几何性质的计算是非常重要的，可以用于评估结构的刚度、强度和稳定性。
它们也可以用于计算应力、应变和变形等细节参数，以便更好地了解和优化结构的性能。
截面的几何性质
2
= I y + b2 A Iy
c
37
4. 组合截面惯性矩
I x = ∑I xi
i=1
n
I y = ∑I yi
i=1
n
38
A y1 + A2 y2 1 y= ≈ 40mm A + A2 1
10
y
10
40
10
o
20
x
80
11
§1—2 极惯性矩 惯性矩
一，定义 1，截面对 o 点的极惯性矩为 ，
y
惯性积
dA
I P = ∫A ρ dA
2
ρ
o
x
12
2，截面对 x , y 轴的惯性矩 ，
y
I x = ∫A y dA
2
dA
= ∫A x2dA Iy
29
y
yC
C
xC
a
o
b
x
则平行移轴公式为
= I xc + a2 A Ix
= I y + b2 A Iy
c
I xy = I x y + abA
c c
30
二，组合截面的惯性矩
惯性积
Ixi , Iyi , Ixyi —— 第 i 个简单截面对 x , y 轴的惯性矩、
惯性积。 惯性积。
组合截面的惯性矩， 组合截面的惯性矩，惯性积
xC
a
o
b
x
Ix , Iy , Ixy
_____
轴的惯性矩和惯性积。 截面对 x , y 轴的惯性矩和惯性积。
的惯性矩和惯性积。 Ixc ,Iyc , Ixc yc —— 截面对形心轴 xc , yc 的惯性矩和惯性积。
常用截面几何特性计算公式
常用截面几何特性计算公式截面几何特性是指用来描述截面形状和大小的一些参数，可以用来进行结构设计和分析。
常用的截面几何特性包括面积、周长、惯性矩、截面模量等。
下面将详细介绍常用的截面几何特性计算公式。
1.面积（A）：截面的面积是指该截面所围成的平面区域的大小，用来描述截面的大小。
常见的截面面积计算公式有：-矩形截面：A=b*h，其中b为矩形的宽度，h为矩形的高度。
-圆形截面：A=π*r^2，其中π约等于3.14，r为圆的半径。
-梯形截面：A=(a+b)*h/2，其中a和b为梯形的上底和下底长度，h为梯形的高度。
2.周长（P）：截面的周长是指该截面围成的边界线的总长度，用来描述截面的形状。
常见的截面周长计算公式有：-矩形截面：P=2*(b+h)，其中b为矩形的宽度，h为矩形的高度。
-圆形截面：P=2*π*r，其中π约等于3.14，r为圆的半径。
-梯形截面：P=a+b+2*L，其中a和b为梯形的上底和下底长度，L为梯形的斜边长度。
3.惯性矩（I）：惯性矩是描述截面抵抗弯曲或扭转作用的能力，常用于计算截面的弯矩和扭矩。
惯性矩有I_x和I_y两个方向，分别表示关于x轴和y轴的惯性矩。
常见的截面惯性矩计算公式有：-矩形截面：I_x=(b*h^3)/12，I_y=(h*b^3)/12，其中b为矩形的宽度，h为矩形的高度。
-圆形截面：I_x=I_y=(π*r^4)/4，其中π约等于3.14，r为圆的半径。
-梯形截面：I_x=(b*h^3)/36*(3*a+b)，I_y=(h*b^3)/36*(a+3*b)，其中a和b为梯形的上底和下底长度，h为梯形的高度。
4.截面模量（W）：截面模量是一种描述截面承受弯曲时变形能力的特性，常用于计算截面的弯曲应力和挠度。
截面模量有W_x和W_y两个方向，分别表示关于x轴和y轴的截面模量。
-矩形截面：W_x=(b*h^2)/6，W_y=(h*b^2)/6，其中b为矩形的宽度，h为矩形的高度。
截面的几何性质面积矩惯性矩惯性积平行移轴公式
注意平方问题
10
§A-3 惯性矩Iz=∫ A y2dA
=∫ A (a+yC)2dA
=∫ A
a2dA
+
2a∫ A
yCdA +∫ A
yC2dA
y
C
dA
a
zc
yc
∫ A
yCdA
对形心轴的面积矩=0
b
zc
z
y yc
∫ A yC2dA 对形心轴的惯性矩
故 Iz=∫ A a2dA + IzC
12m 0 m zC 0
5
若y为对称轴，则
§A-2 截面的惯性矩和惯性积
一、惯性矩的定义
Iy=∫
z2dA
A
Iz=∫ A y2dA
惯性矩恒为正
二、惯性积的定义
Iyz=∫
yzdA
A
惯性积可正、可负或为零
o
z
y z dA
y dA dA
z
Iyz= 0
zz
y
y
6
三、形心主轴和形心主惯性轴
主轴： 惯性积为零的一对坐标轴。 主惯性矩： 截面对主轴的惯性矩。
附录A 截面的几何性质
§A-1 截面的面积矩和形心位置
一、面积矩的定义
Sy=∫ zdA A
Sz=∫ ydA A
面积矩可为正、负或为零。
o
z
y z
dA
y
=
∫
ydA
A
A
= SA 二、截z面形心的位置
yc
zc
∫ =
zdA
A
A
=
Sy A
故 Sz = A yc
01. 单击添加标题
Sy = A zc
常用几何截面与结构力学常用公式表
常用几何截面与结构力学常用公式表常用截面几何与力学特征表注：1．I称为截面对主轴（形心轴）的截面惯性矩（mm4）。
基本计算公式如下：2．W称为截面抵抗矩（mm3），它表示截面抵抗弯曲变形能力的大小，基本计算公式如下：3．i称截面回转半径（mm），其基本计算公式如下：4．上列各式中，A为截面面积（mm2），y为截面边缘到主轴（形心轴）的距离（mm），I为对主轴（形心轴）的惯性矩。
5．上列各项几何及力学特征，主要用于验算构件截面的承载力和刚度。
单跨梁的内力及变形表（1）简支梁的反力、剪力、弯矩、挠度（2）悬臂梁的反力、剪力、弯矩和挠度（3）一端简支另一端固定梁的反力、剪力、弯矩和挠度（4）两端固定梁的反力、剪力、弯矩和挠度（5）外伸梁的反力、剪力、弯矩和挠度等截面连续梁的内力及变形表二跨等跨梁的内力和挠度系数注：1．在均布荷载作用下：M＝表中系数×ql2；V＝表中系数×ql；w =表中系数×ql4/(100EI)。
2．在集中荷载作用下：M＝表中系数×Fl；V＝表中系数×F；w =表中系数×Fl3/(100EI)。
[例1] 已知二跨等跨梁l＝5m，均布荷载q＝11.76kN/m，每跨各有一集中荷载F＝29.4kN，求中间支座的最大弯矩和剪力。
[解] M B支＝（－0.125×11.76×52）＋（－0.188×29.4×5）＝（－36.75）＋（-27.64）＝－64.39kN·mV B左＝（－0.625×11.76×5）＋（－0.688×29.4）＝（－36.75）＋（－20.23）＝－56.98kN[例2] 已知三跨等跨梁l＝6m，均布荷载q＝11.76kN/m，求边跨最大跨中弯矩。
[解] M1＝0.080×11.76×62＝33.87kN·m。
截面特性计算范文
截面特性计算范文截面特性是用来描述截面形状参数的物理特性。
在工程设计和分析中，截面特性的计算对于确定结构的强度和刚度非常重要。
本文将介绍截面特性的计算方法，包括截面面积、几何中心、惯性矩、极距、截面模量等。
1.截面面积：截面面积是指截面内的总面积。
对于矩形和圆形截面，截面面积的计算非常简单。
例如，矩形截面的面积等于宽度乘以高度。
而对于复杂形状的截面，可以通过将截面分解为一系列简单几何形状的组合来计算。
2.几何中心：几何中心是截面的重心所在的位置。
它是在进行弯曲时所需施加的力在截面上产生的弯矩为零的点。
对于简单几何形状的截面，几何中心可以通过几何方法或代数方法来计算。
例如，矩形截面的几何中心就是其面积所在的中心点。
3.惯性矩：惯性矩是表征截面抵抗转动的能力。
惯性矩的计算需要考虑截面形状和轴线的位置。
惯性矩主要包括二阶矩和三阶矩。
二阶矩（I）也称为截面面积惯性矩，它是通过对截面上的每一小块区域的质量矩进行叠加求和得到的。
三阶矩（J）也称为极惯性矩，它主要用于计算截面的抗扭刚度。
惯性矩的计算通常需要数值方法，例如使用数值积分或采用专业软件进行计算。
4.极距：极距是指截面边缘到截面几何中心的距离。
极距是用来确定截面的延性和抗扭刚度的重要参数。
在计算极距时，通常使用原点到截面边缘的最短距离。
5.截面模量：截面模量是用来描述截面的弯曲刚度。
它是截面惯性矩与截面的最大纵向距离之比。
截面模量通常用于计算截面在受弯矩作用下的变形。
总的来说，截面特性的计算是工程设计和分析中非常重要的环节。
它们不仅可以用于计算结构的强度和刚度，还可以用于优化结构设计，减少结构重量和成本。
对于复杂形状的截面，可以使用数值方法或专业软件进行计算。
此外，在截面特性计算中，还需考虑材料的弹性和塑性特性、结构的边界条件等因素，以得到更准确和可靠的结果。
截面几何特性
截面图形的几何性质一.重点及难点：(一).截面静矩和形心1.静矩的定义式如图1所示任意有限平面图形，取其单元如面积，定义它对任意轴的一次矩为它对该轴的静矩，即dA ydAdSx xdA dS y == 整个图形对y 、z 轴的静矩分别为 ∫∫==AAy ydASx xdAS （I-1） 2.形心与静矩关系 图I-1设平面图形形心C 的坐标为 则 0 C C z y ,A S y x= ， AS x y = （I-2）推论1 如果y 轴通过形心（即0=x ），则静矩0=y S ；同理，如果x 轴通过形心（即0=y ），则静矩0=Sx ；反之也成立。
推论2 如果x 、y 轴均为图形的对称轴，则其交点即为图形形心；如果y 轴为图形对称轴，则图形形心必在此轴上。
3.组合图形的静矩和形心设截面图形由几个面积分别为n A A A A ……321,,的简单图形组成，且一直各族图形的形心坐标分别为……332211,,,y x y x y x ；；，则图形对y 轴和x 轴的静矩分别为∑∑∑∑========ni ni ii xi x ni ii ni yi y y A S S x A S 1111S （I-3）截面图形的形心坐标为∑∑===ni ini ii AxA x 11 ， ∑∑===ni ini ii AyA y 11 （I-4）4.静矩的特征(1) 界面图形的静矩是对某一坐标轴所定义的，故静矩与坐标轴有关。
(2) 静矩有的单位为。
3m (3) 静矩的数值可正可负，也可为零。
图形对任意形心轴的静矩必定为零，反之，若图形对某一轴的静矩为零，则该轴必通过图形的形心。
(4) 若已知图形的形心坐标。
则可由式（I-1）求图形对坐标轴的静矩。
若已知图形对坐标轴的静矩，则可由式（I-2）求图形的形心坐标。
组合图形的形心位置，通常是先由式（I-3）求出图形对某一坐标系的静矩，然后由式（I-4）求出其形心坐标。
（二）.惯性矩 惯性积 惯性半径1. 惯性矩定义 设任意形状的截面图形的面积为A （图I-3），则图形对O 点的极惯性矩定义为∫=Ap dA I 2ρ （I-5）图形对y 轴和x 轴的光性矩分别定义为∫=Ay dA x I 2 ， （I-6）dA y I Ax ∫=2惯性矩的特征（1） 界面图形的极惯性矩是对某一极点定义的；轴惯性矩是对某一坐标轴定义的。
史上最全的常用截面几何特性计算公式
史上最全的常用截面几何特性计算公式构件截面的几何性质，如静力矩、形心、轴向惯性矩、极惯性矩、惯性积和主惯性轴位置等，对构件的承载能力有影响，常用于分析构件的弯曲、扭转和剪切。
1.静态力矩:也称为面积力矩或静态表面力矩。
截面对轴线的静力矩等于每个微区的积分乘以整个截面上微区到轴线的距离。
静力矩可以是正的，也可以是负的。
它的维数是长度的三次方。
静力矩的力学意义是:如果有均布载荷作用在截面上，其值表示为单位面积的量，则该载荷在某一轴上的合成力矩等于分布载荷乘以该轴的静力矩。
2、形心：又称面积中心或面积重心，是截面上具有如下性质的点：截面对通过此点任一个轴的静矩等于零。
如果将截面看成一均质等厚板，则截面的形心就是板面的重心。
形心坐标xo、yo的计算公式为：3、惯性矩：反映截面抗弯特性的一个量，简称惯性矩。
截面对某个轴的轴惯性矩等于截面上各微面积乘微面积到轴的距离的平方在整个截面上的积分。
下图所示的面积为A的截面对x、y轴的轴惯性矩分别为：转动惯量总是正的，量纲是长度的四次方。
构件的抗弯能力与轴的惯性矩成正比。
一些典型截面的轴惯性矩可在专业手册中找到。
例如，平行四边形对中心线的惯性矩为4、极惯性矩：反映截面抗扭特性的一个量。
截面对某个点的极惯性矩等于截面上各微面积乘微面积到该点距离的平方在整个截面上的积分。
下图所示面积为A的截面对某点O的极惯性矩为：极惯性矩永远是正的，量纲是长度的四次方。
构件的抗扭能力与惯性矩成正比。
圆形截面相对于其中心的惯性矩为5、惯性积：截面对于两个正交坐标轴的惯性积等于截面上各个微面积乘微面积到两个坐标轴的距离在整个截面上的积分。
面积为A的截面对两个正交坐标轴x、y的惯性积为:惯性积的量纲是长度的四次方。
截面位于坐标系的一、三象限,Ixy为正，位于二、四象限则为负。
6.主惯性轴:使截面惯性积为零的一对正交坐标轴称为截面主惯性轴，简称主轴。
截面对主惯性轴的惯性矩称为主惯性矩。
若两条主惯性轴的交点为质心，则这两条轴称为质心主惯性轴(或称主质心惯性轴)。
常用截面几何特性计算公式
V = 1 pr2h 3
A = pr 2 A0 = prl An = pr (r + l )
l = r2 + h2 h
ZG = 4
图
形
(续)
体积 V、底面积 A、侧面积 A0、全面积 An、重心位置 G 的计算公式
h V = 6 (2ab + ab1 + a1b + 2a1b1) A1 = a1b1 A = ab
a2 + b 2 + 4ab H 3 36(a + b)
Wxa
=
H 2 (a 2 + 4ab + b2 ) 12(a + 2b)
Wxb
=
H 2 (a2 + 4ab + b2 ) 12(2a + b)
H ×
3(a + b) a2 + 4ab + b2 2
H (2a + b) 3(a + b)
bH 2
bH 3 36
A0
=
3 2
a
4l 2 − a 2
An = A + A0
h ZG = 4
V
=
hA 3
�
�1 + � �
a1 a
+
� �� �
a1 a
� �� �
2
� � � �
A1
=
33 2
a2
1
A = 3 3 a2 2
A0 = 3g(a1 + a)
An = A + A1 + A0
h(a 2 + 2a1a + 3a 2 )
a2
a4
截面特性(New2)
I yc
=
∫A
z 2 dA. c
∫ I = y 2 dA
zc
A
c
∫ I = y z dA
yc zc
A
cc
∫ ∫ I y =
z 2dA =
A
( zc + a)2 dA
A
∫ ∫ ∫ = zc 2dA + 2a zcdA + a2 dA
A
A
A
{ = I yc + a2 A
惯性矩和惯性积的平行移轴公式
I y = I yc + a2 A I z = I zc + b2 A
I yz = I yc zc + abA
例题
平行移轴公式
计算图形对其形心轴的惯性矩
解：
z = A1 z1 + A 2 z2 A1 + A 2
= 0.14× 0.02× 0.08 + 0.1× 0.02× 0 0.14× 0.02 + 0.1× 0.02
I
I
=
yc
0.0467m
= 1 × 0.02
Iy = × 0.143
I
I yz
=
0 + (−0.035) × 0.0745× 0.011× 0.059
= −1.69 ×10−6 m4
转轴公式 主惯性轴
I
II y
=
1 12
× 0.011× 0.163
=
3.76×10−6 m4
I
II z
=
1 12
× 0.16× 0.0113
=
0.0178×10−6 m4
I II yz
(z cosα − y sinα)2 dA
截面图形的几何性质-材料力学
yC
Sz A
558000 9000
62
Sz Sz1 Sz2 120 40 20 140 30110 558000
A A1 A2 120 40 140 30 9000
120
I
CI
C
CII
II
y 30
参考轴
z 40
yC
zC 140
注意
① 由两块组成组合图形，其复合图形形心一定位于两个子图的形心连线上。 ② 组合图形形心计算公式也适用于负面积情况， 但要记住面积为负号。
z
I
C1 C
s
C2
II
b
y1 h
y
y2
t
典型例题
例3 已知组合截面尺寸t=20mm，h=140mm，b=100mm。试求截面图
形对形心轴 y 的惯性矩。
t
解： 由平行移轴定理
矩形1对y轴的惯性矩：
I (1) y
I y1
b12 A1
矩形2对y轴的惯性矩：
I (2) y
I y2
b22 A2
整个截面的惯性矩：
Iz
y 2 dA
A
h y2bdy 0
b
y3 3
/
h 0
bh3 3
y
h b
dy y
z
典型例题
例2 试求图示截面对形心轴zC轴的惯性矩。
IzC
y 2 dA
A
h
2 h
y2bdy
2
b
y3 3
h
/
2
h
2
bh3
12
I yC
z 2dA
A
y
yC
hb3 =
常用截面几何特性计算公式
GZ
) a 2 + h ( p = ) 2 a + hr 2 ( p = nA ) 2 h + 2 a ( p = hr p 2 = 0A
2
ap = A
a6 = nA a4 = 0A
2 3
a=A a= V
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
) 2 h + 2 a 3( h
3 ) h − r3( 2 h = p 6 = V p
式公算计的 G 置位心重、nA 积面 全、0A 积面侧、A 积面底、V 积体
3
2 = GZ h )线角对为d(
2
h + 2b + 2a = d )b + a(h2 = 0A ba = A hba = V
2 = GZ a ) 线角对为d ( a3 = d
2 2
心中球椭在G心重 3 =V 4 cbap
)hb + ha + ba(2 = nA
) h − r3( 4 = )h − r4( h
2 b
b982.0 =
21 b
2
6 ba
3
21 ba
ba
a1707.0 = 1xe 2 = xe a
2
b + 2 a 982.0
4
a 9711.0 = b− a
4 4
1xW
4
a6 = xW b − 4a
21 b − 4a
2
b − 2a
a982.0 =
21 a
3
a9711.0 =
2
1x W
a1707.0 = 1xe 2 = xe a
h2 a
2 3 = hA = V 3 1
GZ
材料力学-截面几何特性
I 0 xC 2 yC 2
IxC IxC1 A1 yc21 IxC2 A2 yc22 1104 mm4 1200mm2 (15mm)2 28.58mm4 700mm2 (25mm)2 100.33mm4
64
9 /2
Ix2 Ix2C A2 (a xc2 )2 28mm 4 (80mm )2 (100 17)2 8 3467mm4
组合截面对x轴的惯性矩为
I x I x1 2I x2 5333mm4 23467mm4 12270mm4
§I-4 惯性矩和惯性积的转轴公式 ·截面 的主惯性轴和主惯性矩
A
A ( yC b)2 dA
A ( yC2 2byC b2 )dA
I xC 2bSxC b2 A
Ix IxC 2bSxC b2 A
因为C为形心
SxC AyC 0
y
yC
x
dA
a
r
bC y
xC
x
I x I xC b2 A 同理：
I y I yC a2 A I xy I xC yC abA I p I pC (a2 b2 ) A
C1
80
x
图(b)
x
xi
Ai
x 1
A1x
2
A2
A
A1A2
409600 45 7700 19.7mm 9600 7700
y
yi Ai
y 1
A1
y
2
A2
A
A1 A2
609600 65 7700 39.7mm 9600 7700
材料力学 附录Ⅰ截面的几何性质
材料力学附录Ⅰ截面的几何性质随着材料科学的不断发展，材料力学成为研究材料内部结构和力学行为的重要学科之一。
在材料力学中，研究截面的几何性质是必不可少的一部分。
本文将着重介绍截面几何性质的相关知识，探讨其在材料力学中的应用。
一、截面的定义截面是指在任意平面上与某个物体相交的部分，一般用于描述杆件、梁、板等结构物体的断面形态。
材料力学中，截面的几何参数是研究杆件、梁、板等结构物体受力行为的重要基础。
二、常见截面形状和特征常见的截面形状包括矩形、圆形、三角形、梯形、T形等。
其几何参数如截面面积、惯性矩、位置矩、受压、受弯等，均是描述结构物体受力行为的重要指标。
对于矩形截面来说，其惯性矩最大的方向是短边方向，即截面中心距离短边较远的一侧。
圆形截面的惯性矩与位置矩均与截面对称轴有关。
对于三角形截面来说，其惯性矩与位置矩也是与截面对称轴有关的，而梯形截面和T形截面的惯性矩和位置矩则需要具体计算得出。
三、截面的常见计算公式在计算截面的几何性质时，需要用到一些公式。
以下是一些常见的公式：1、截面面积截面面积是截面内部曲线及其间距离所组成的面积。
不同截面形状的截面面积计算公式如下：矩形截面：A = bh圆形截面：A = πr²三角形截面：A = 1/2bh梯形截面：A = 1/2(a+b)hT形截面：A = (bh₁+ (b₂-h₂)h₂/2)2、截面惯性矩截面惯性矩是描述结构物体受弯作用时截面抵抗弯曲的能力的重要参数，其计算公式如下：Ixx = ∫(y²)dAIyy = ∫(x²)dA其中，x，y分别表示离截面中心最远的两侧点的坐标，dA表示一个面积微元。
3、位置矩位置矩是描述结构物体受纵向荷载作用时截面的抵抗能力的参数，其计算公式如下：Qx = ∫(y)dAQy = ∫(x)dA其中，x，y分别表示离截面中心最远的两侧点的坐标，dA表示一个面积微元。
四、截面几何性质在材料力学中的应用截面几何性质在材料力学中具有广泛的应用。
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a2 + b 2 + 4ab H 3 36(a + b)
Wxa
=
H 2 (a 2 + 4ab + b2 ) 12(a + 2b)
Wxb
=
H 2 (a2 + 4ab + b2 ) 12(2a + b)
H ×
3(a + b) a2 + 4ab + b2 2
H (2a + b) 3(a + b)
bH 2
bH 3 36
第 1 章 常用资料、数据和一般标准
G1 常用几何体的体积、面积及重心位置�表 G1-1�
图
形
表 G1-1 常用几何体的体积、面积及重心位置
体积 V、底面积 A、侧面积 A0、全 面积 An、重心位置 G 的计算公式
图
形
V = a3 A = a2 A0 = 4a2 An = 6a2 d = 3a (d为对角线 )
y = − Fb 6EIl
若a > b,在x = l2 − b2 处 : 3
ymax = − Fb(l 2 − b2 )3 / 2 9 3EIl
在x = l / 2处 :
−Fab(l + b) θA = 6EIl
Fab(l + a) θB = 6EIl
×
� �(l
2
−
b2)x
−
x3
+
(x
−
a)3
� �
Ix
p =
4
(ab3
− a1b13
)
Iy
=
p 4
(a3b − a13b1)
Wx
=
p (ab3 − a1b13) 4b
Wy
=
p(
a3b − 4a
a13b1)
ix =
Ix A
iy =
Iy A
ex = b ey = a
BH − b(e2 + h)
Ix
=
Be13
+ ae23 3
− bh3
Wx1
=
Ix e1
Wx 2
ix = 0.4566R
ex = 0.866R ey = R
pd 2
pd 4
pd 3
4
64
32
d
d
4
2
p (D2 − d2) 4
p (D4 − d4) 64
p
� �
D4
−
d
4
� �
32
� �
D
� �
D4 + d 4 4
D 2
a2 − pd 2 4
1
� �
a
4
−
3pd 4
� �
12
� �
16
� �
1
� �
V = 1 pr2h 3
A = pr 2 A0 = prl An = pr (r + l )
l = r2 + h2 h
ZG = 4
图
形
(续)
体积 V、底面积 A、侧面积 A0、全面积 An、重心位置 G 的计算公式
h V = 6 (2ab + ab1 + a1b + 2a1b1) A1 = a1b1 A = ab
号
表 G1-4 常用静定梁的支点反力、弯矩和变形计算公式
支点反力
弯矩方程
挠度曲线方程
0 ≤x ≤ l / 2 :
0≤x ≤l / 2 :
1
F FA = FB = 2
Fx M (x) =
2
y
=
− Fl3 48EI
� � � �
3x l
−
4x3 l3
� � � �
最大挠度
在x = l / 2处 :
ymax
iX = 0.39h iY = 0.20b
iX = 0.35h iY = 0.56b
iX = 0.38h iY = 0.60b
8
截面形状
回转半径
iX = 0.38h iY = 0.44b
截面形状
(续)
回转半径
iX = 0.45h iY = 0.24b
iX = 0.35dcp
d cp
=
D+d 2
iX = 0.40h iY = 0.21b
cosα�J x
=
J x1
−
Ays2
Iy
=
r4 8
� απ � � 180°
− sinα
−
2 3
sinα
sin 2
α 2
���Wx �
=
r
Jx − ys
ix = 0.1319d d
iy = 4
ex = 0.2878d ys = 0.2122d
ix =
Ix A
iy =
Iy F
1 =
D2 + d2
4
ys = 2(D2 + Dd + d 2 )
A0
=
1 2
[(b1
+
b)
4h2 + (a − a1)2
+ (a1 + a) 4h2 + (b − b1)2 ]
An = A + A1 + A0
ZG
=
h(ab + ab1 + a1b + 3a1b1) 2(2ab + ab1 + a1b + 2a1b1)
V = 1 AhБайду номын сангаас= 3 a 2 h
3
2
A = 3 3 a2 2
ab 2
b = 0.289b
b
6
12
2
b(H − h)
Ix
=
b(H 3 − h3 ) 12
Iy
=
b3 (H − h) 12
Wx
=
b(H 3 − h3) 6H
Wy
=
b2 (H 6
− h)
ix =
H 2 + Hh + h2 12
i y = 0.289b
H ex = 2
b ey = 2
H (a + b) 2
3p(D + d )
ix =
Ix A
c3 ys = 12A
截面形状
面积 A
惯性矩 I
截面系数W = I e
回转半径 i = I A
5
(续)
形心距离 e
pab
Ix
=
pab3 4
Iy
=
pa 3b 4
Wx
=
pab2 4
Wy
=
pa 2 b 4
b ix = 2
a iy = 2
ex = b ey = a
p(ab − a1b1)
BH 3 + bh3
H
12(BH + bh)
2
BH − bh
Ix
=
BH 3 − bh3 12
Wx
=
BH 3 − bh3 6H
ix =
BH 3 − bh3 12(BH − bh)
H 2
截面形状
表 G1-3 主要组合截面的回转半径
回转半径
截面形状
iX = 0.30h iY = 0.215h
7
回转半径
iX = 0.21h iY = 0.21b
在x = 1 处 : 3
ymax = − Ml2 9 3EI
在x = l / 2处 :
y = − Ml2 16EI
(续) 10
梁端转角
−Ml θA = 3EI
Ml θB = 6EI
−Ml θA = 6EI
a ZG = 2
V = abh A = ab A0 = 2h(a + b) An = 2(ab + ah + bh)
d = a2 +b2 + h2 (d为对角线)
h ZG = 2
体积 V、底面积 A、侧面积 A0、全 面积 An、重心位置 G 的计算公式
V = p h(3a 2 + h 2 ) 6
= p h 2 (3r − h) 3
=
− Fl3 48EI
9
梁端转角 − Fl 2
θA = −θB = 16EI
0≤x ≤a :
0≤x ≤a :
2
Fb FA = l
Fa FB = l
Fbx M (x) =
1 a ≤x ≤1:
Fbx M (x) = − F(x − a)
1
y = − Fbx (l 2 − x2 − b2 ) 6EIl
0≤x ≤l :
iX = 0.44h iY = 0.38b
iX = 0.45h iY = 0.235b
iX = 0.37h iY = 0.54b
iX = 0.44h iY = 0.32b
iX = 0.37h iY = 0.45b
G2.2 受静载荷梁的支点反力、弯矩和变形计算公式�表 G1-4、表 G1-5�
序 载荷情况及剪力图弯矩图
A = pa2
A0 = 2 prh = p(a 2 + h 2 )
An = p(2rh + a 2 ) = p(h 2 + 2a 2 )
ZG
=
h(4r − h) 4(3r − h)
V = 4 pabc 3
重心G在椭球中心
V = 4p r3 3
An = 4p r 2
重心G与球心重合
V = 2p2Rr2 = p2 Dd2 4