《平面向量概念》PPT课件.ppt

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6.1平面向量的概念(同步课件)高一数学课件

[答案] 的模为0，方向任意.
情境设置
新知生成
1.具有______的线段叫作有向线段.通常在有向线段的终点画上箭头表示它的方向.它包含三个要素：______、______、______.
2.向量的大小称为向量的______（或称模），记作_____.长度为0的向量叫作零向量，记作 .长度等于___个单位的向量叫作单位向量.向量也可以用字母，，，表示.
5.（1）平行向量是否一定方向相同？
[答案] 不一定；
（2）不相等的向量是否一定不平行？
[答案] 不一定；
（3）与任意向量都平行的向量是什么向量？
[答案] 零向量；
（4）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？
[答案] 平行（共线）向量.
1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”）
D
A.相等向量 B.平行向量 C.有相同起点的向量 D.模相等的向量
[解析] 如图，，，，既不全是相等向量，也不全是平行向量，起点也不全是相同，故A，B，C错误；
而，故D正确.故选D.
3.（多选题）下列说法错误的有( ).
A.共线的两个单位向量相等B.相等向量的起点相同C.若，则一定有直线 D.若向量，共线，则点，，，可能不在同一直线上
问题3：若，，则一定有吗？
[答案] 不一定.因为当时，，可以是任意向量.
新知生成
1.平行向量：方向____________的非零向量叫作平行向量（也叫作共线向量）.向量，平行，记作 .
2.相等向量：长度______且方向______的向量叫作相等向量.用有向线段表示的向量与相等，记作_______.
[解析] 作出向量如图所示.

6.1 平面向量的概念课件(共21张PPT)

规定： 0 和任意向量平行.
（2）相等向量—长度相等且方向相同的向量，记作 a=b .
（3）共线向量—就是平行向量.
二、探究本质得出新知
问题12：平行向量所在直线是否一定平行？共线向量所在直线是否一定共线？
提示：不一定
总结：向量可以自由平移.
三、举例应用掌握定义
例1.一辆汽车从点出发向西行驶了100千米到达B点，然后又改变方向向西偏北 50 走了200千米到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达点D． (1)作出向量 AB, BC,CD ； (2)求 AD .
其中正确的有( A )
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
解:①正确;
②由 a = b 得 a 与 b的模相等,但不确定方向,故②错误;
③错误; ④所有单位向量的模都相等,都为1,但方向不确定,故④不正确;⑤正确.故选A.
四、学生练习加深理解
3.如图，D, E, F 分别是 ABC 的边 AB, BC,CA的中点，在以 A, B,C, D, E, F 为起点和终点的向量中．
（1）找出与向量 EF 相等的向量；（2）找出与向量 DF 共线的向量．
四、学生练习加深理解
解：（1）因为 E, F分别为 BC,CA 的中点，所以 EF//BA ，
且
EF
1 2
BA
.又因为
D
是BA
的中点，所以
EF
BD
DA，所以
与 EF 向量相等的向量为BD, DA .
（2）因为 D, F 分别为 BA, AC 的中点，
第六章平面向量及其应用
6.1 平面向量的概念
一、创设情境引入新课
问题1：道路标识牌上的箭头和数字指的是什么？问题2：老鼠由点A向东北方向逃窜，猫快速由点B向正东

【课件】平面向量的概念课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

作用力、反作用力、加速度都是向量，质量、路程、功都是数量。
引导探究
练习一：在质量、重力、速度、加速度、身高、面积、体积这些量中，_____________是数量_______________是向量.
练习二： 1.身高是一个向量（） 2．温度含零上和零下温度，所以温度是向量（） 3.坐标平面上的 x 轴和 y 轴都是向量。( )
引导探究
（三）：向量的模和两类特殊向量
思考： AB 有什么含义？
A
B
表示以A为起点，B为终点的向量。线段的长度就是向量的大小，即为向量的模。
向量的模：向量 AB 的大小称为向量的长度（或称为模），记作|AB |. 两类特殊向量：长度为0的向量称为零向量，记作 0
长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量。
共线向量：平行向量又称为共线向量.
任意一组平行向量都可以平移到同一直线上
引导探究
思考：AB, BA 是相同的向量吗？
A
BB
A
AB, BA 是大小相等但方向相反的两个向量。这样的两个向量叫做相反向量。
a a 与长度相等,方向相反的向量叫的相反向量.记为 a
同理可得，大小相等且方向相同的两个向量叫做相等向量。
（二）：向量的表示二:字母表示法思考：你能用表示线段的方法表示向量吗？向量的大小和方向怎样表示？
字母表示法：
1、用小写字母表示：如 a 、b、c
2、用大写字母表示：如 AB （A为起点、B为终点）
注：用小写字母 a 表示向量时，印刷用粗体 a，书写
a 用。书写向量时，字母上的箭头不能省略。
箭头表示向量的方向，线段的长度表示大小。
注：向量是否相等（或相反）只与大小和方向有关，与起点、终点的位置无关.

中职数学基础模块下册《平面向量的概念》课件

向量的投影可以看作是向量在某个方向上的分量，通过计算向量的数量积可以得到向量的投影。
速度和加速度的计算
在运动学中，速度和加速度可以表示为位置向量的时间导数，通过计算向量的数量积可以得到速度和加速度的大小。
THANKS
感谢观看
数量积的几何意义
01
数量积表示向量a与向量b的长度和它们之间的夹角的余弦值的乘积。
02
当两向量同向时，数量积为两向量长度之积；当两向量反向时，数量积为两向量长度之差的绝对值。
数量积的应用举例
力的合成与分解
向量的投影
在物理中，力可以视为向量，力的合成与分解可以通过计算向量的数量积来实现。
详细描述
向量模是表示向量长度的概念，记作|a|。向量模具有非负性、齐次性、三角形不等式等性质。
向量模的计算方法
总结词
掌握向量模的计算方法是实际应用中必不可少的技能。
详细描述
向量模的计算公式为|a| = 根号(x^2 + y^2)，其中x和y分别是向量在x轴和y轴上的分量。此外，还有向量模的运算性质，如|a+b|≤|a|+|b||a-b|≤|a|+|b||a-b|≥||a|-|b||等，这些性质在实际问题中具有广泛的应用。
平面向量数乘的定义与性质
总结词
数乘是标量与向量的乘积，结果仍为向量，满足分配律。
详细描述
数乘是实数与向量的乘积，其实质是标量与向量的乘积。数乘的结果仍为向量，且满足分配律，即 m(a+b)=ma+mb。
平面向量加法与数乘的几何意义
总结词
平面向量加法的几何意义是将两个向量首尾相接，按平行四边形法则或三角形法则确定的合成向量；数乘的几何意义是改变向量的模长和方向。

6.1平面向量的概念课件共34张PPT

探究点二相等向量与共线向量
如图，O是正六边形DEF的中心，分别写出图中与向量
→ OA
，
O→B，O→C相等的向量，与向量A→D共线的向量．
解析：与O→A相等的向量有C→B，D→O，E→F；与O→B相等的向量有F→A，E→O，D→C；与O→C相等的向量有A→B，F→O，E→D. 与向量A→D共线的向量有9个：D→A，E→F，F→E，A→O，O→A，O→D，D→O，B→C， → CB.
探究点三向量的表示及应用在蔚蓝的大海上，有一艘巡逻艇在执行巡逻任务．它首先从A点出
发向西航行了200 km到达B点，然后改变航行方向，向西偏北50°航行了 400 km到达C点，最后又改变航行方向，向东航行了200 km到达D点．此时，它完成了此片海域的巡逻任务．
(1)作出A→B，B→C，C→D； (2)求|A→D|.
[对点训练] 在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于点O，EF是过点O 且平行于AB的线段，在所标的方向向量中： (1)写出与A→B共线的向量； (2)写出与E→F方向相同的向量； (3)写出与O→B，O→D的模相等的向量； (4)写出与E→O相等的向量．
解析：在等腰梯形ABCD中，AB∥CD∥EF，AD＝BC. (1)题干图中与A→B共线的向量有D→C，E→O，O→F，E→F. (2)题干图中与E→F方向相同的向量有A→B，D→C，E→O，O→F. (3)题干图中与O→B的模相等的向量为A→O，与O→D的模相等的向量为O→C. (4)题干图中与E→O相等的向量为O→F.
→ 2．已知D为平行四边形ABPC两条对角线的交点，则|P→D|的值为( )
|AD|
A．12
B．13
C．1
D．2

《平面向量的概念》平面向量及其应用 PPT教学课件

必修第二册·人教数学A版
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知识梳理
名称大小方向
零向量 0
任意的
单位向量 1 规定了方向
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知识点五向量的关系预习教材，思考问题 (1)向量由其模和方向所确定．对于两个向量 a，b，就其模等与不等，方向同与不同而言，有哪几种可能情形？
必修第二册·人教数学A版
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探究三相等向量与共线向量 [例 3] 如图，四边形 ABCD 为边长为 3 的正方形，把各边三等分后，共有 16 个交点，从中选取两个交点作为向量，则与A→C平行且长度为 2 2的向量个数有________ 个．
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[解析] 如图所示，满足与A→C平行且长度为 2 2的向量有A→F，F→A， E→C，C→E，G→H，H→G，→IJ，→JI共 8 个．
[答案] 8
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相等向量与共线向量的探求方法 (1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线． (2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．提醒：与向量平行相关的问题中，不要忽视零向量.
[自主检测] )
B．拉力 D．压强
解析：拉力既有大小又有方向，是向量，其余均是数量．
答案：B
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2．下列说法正确的是( ) A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B．向量的模可以比较大小 C．模为 1 的向量都是相等向量 D．由于零向量的方向不确定，因此零向量不能与任意向量平行

6.1平面向量的概念(课件)

6.1平面向量的概念（课件）平面向量是用来描述平面上空间中的数量和方向的量。

它由有向线段（箭头表示方向）来表示，起点为向量的“原点”(通常用O表示)，终点为线段的另一个端点，长度为线段的长度。

平面向量的三要素：1.方向：表示向量的箭头指向的方向2.大小：向量的长度即线段的长度3.起点：向量的起点被视为原点设有平面向量 $\vec{a}$，它的长度为 $|\vec{a}|$，它的方向与平面内一条射线平行，这条射线的起点可以取为坐标系原点 $O$，则 $\vec{a}$ 用箭头表示为：$$ \vec{a} = \overrightarrow{OA} $$其中，$A$ 点坐标是 $(x,y)$，则上述二元数组 $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ 被称为向量的坐标，一个二元数组 $(x, y)$ 也可以表示相应的向量。

两个平面向量相等，当且仅当它们的大小相等，方向相同，起点相同。

平面向量的加法和减法：设有向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$，它们的起点都是 $O$，则向量 $\vec{a} +\vec{b}$ 表示从 $O$ 出发按 $\vec{a}$ 的方向行进长度为 $|\vec{a}|$，然后沿$\vec{b}$ 方向行进长度为 $|\vec{b}|$，到达终点 $C$，则表示为：平面向量的减法同理，即 $\vec{a} - \vec{b} = \overrightarrow{OD}$，其中$\overrightarrow{BD}$ 为 $\vec{b}$ 的逆向向量。

由于 $-1 \leqslant cos\theta \leqslant 1$，因此可以通过向量的数量积来判断两个向量是否垂直，即 $\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$。

其中，$|\vec{a}|$ 和 $|\vec{b}|$ 分别为向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的长度，$sin\theta$ 为向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的夹角的正弦，$\vec{n}$ 为法向量，其大小为 $|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot sin\theta$，方向垂直于 $\vec{a}$ 和$\vec{b}$ 所在平面，且满足右手定则，即 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的夹角按逆时针方向，右手法则构成的角度为向量 $\vec{a} \times \vec{b}$ 的方向。

2024版中职数学平面向量的概念ppt课件

01向量的定义向量是既有大小又有方向的量，通常用有向线段表示。

02向量的表示方法向量可以用小写字母或大写字母加箭头表示，如$vec{a}$或$overset{longrightarrow}{AB}$。

03向量的模向量的大小称为向量的模，记作$|vec{a}|$，模长是一个非负实数。

向量定义及表示方法03向量的模长等于有向线段的长度，可以通过勾股定理或三角函数计算。

向量的模长向量与正方向（通常是x 轴正方向）的夹角称为向量的方向角，记作$theta$，取值范围是$[0, pi]$或$[0, 180^circ]$。

方向角向量与坐标轴正方向的夹角的余弦值称为向量的方向余弦，可以通过方向角计算得到。

方向余弦向量模长与方向角模长为0的向量称为零向量，记作$vec{0}$，零向量没有方向。

零向量单位向量相反向量模长为1的向量称为单位向量，单位向量具有确定的方向。

与给定向量大小相等、方向相反的向量称为相反向量，记作$-vec{a}$。

030201零向量、单位向量和相反向量向量共线与平行关系向量共线如果两个向量在同一直线上或者平行于同一直线，则称这两个向量共线。

共线向量满足$vec{a} = kvec{b}$（$k$为实数）。

向量平行如果两个向量的方向相同或相反，则称这两个向量平行。

平行向量满足$vec{a} parallel vec{b}$。

共线与平行的关系在平面内，共线的向量一定平行，但平行的向量不一定共线。

加法定义两个向量相加，即将它们的对应分量相加得到新的向量。

几何意义向量的加法满足平行四边形法则或三角形法则，即两个向量相加的结果可以表示为以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线，或者可以表示为将其中一个向量的终点连接到另一个向量的起点的向量。

01减法定义02几何意义两个向量相减，即将被减数的各分量减去减数的对应分量得到新的向量。

向量的减法可以表示为将减数向量的终点连接到被减数向量的起点的向量，这个向量与减数向量方向相反，大小相等。

平面向量的概念PPT课件

04
平面向量数量积概念及性质
数量积定义及几何意义
数量积定义
两个向量的数量积是一个标量，等于它们模长的乘积与它们夹角余弦的乘积。
几何意义
数量积反映了两个向量的相对位置和角度关系，正值表示同向，负值表示反向，零表示垂直。
数量积性质及运算规律
性质
满足交换律、分配律、结合律，与标量乘法相容等。
运算规律
向量坐标与点坐标关系
向量坐标
向量坐标是由起点指向终点的有向线段，在直角坐标系中可以用
两个坐标值表示。
点坐标
点坐标是直角坐标系中点的位置表示，同样可以用两个坐标值表示。
关系
向量坐标与点坐标密切相关，向量的起点和终点坐标可以决定向量的坐标，而点的坐标可以用来表示向量的起点或终点。
向量运算坐标表示法
坐标法求解向量问题
求解向量坐标
通过已知点的坐标和向量的关系，可以求解向量的坐标。
求解向量模长
通过向量的坐标可以计算向量的模长，进而求解与模长相关的问题。
求解向量夹角
通过向量的坐标可以计算向量的夹角，进而求解与夹角相关的问题。
求解向量运算结果
通过向量的坐标表示法可以求解向量的加法、减法和数乘运算结果。
向量运算满足基本定律
加法结合律
(a + b) + c = a + (b + c)
数乘结合律
(kl)a = k(la)
加法交换律
a+b=b+a
数乘分配律
k(a + b) = ka + kb
向量共线定理，使得b = λa
03
平面向量坐标表示法
直角坐标系中向量表示方法

6.1平面向量的概念课件共45张PPT

即时训练1-1:判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.
(2)单位向量都相等;
解:(2)不正确,单位向量的模均相等且为1,但方向并不确定.
即时训练 1-1:判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.
→
→
(3)四边形 ABCD 是平行四边形当且仅当=;
(4)一个向量方向不确定当且仅当模为 0;
有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题.
即时训练 1-1:判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.
→
→
(1)向量与是共线向量,则 A,B,C,D 四点必在同一直线上;
解:(1)不正确,共线向量即平行向量,只要求方向相同或相反即可,并不
→
→
要求两个向量,在同一直线上.
(3)两个特殊向量:
①零向量与非零向量:
长度为0的向量叫做零向量.印刷时用加粗的阿拉伯数字零表示,即0;书写
→
时,可写为.长度不为 0 的向量称为非零向量.
②单位向量:长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量.
2.向量间的关系
(1)平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,向量
图所示的向量中,
→
→
(1)分别找出与, 相等的向量;
→
→
→
→
解:(1)=,=.
[例 2] O 是正方形 ABCD 对角线的交点,四边形 OAED,OCFB 都是正方形,在如
图所示的向量中,
→
(2)找出与共线的向量;
→
→
→
→
解:(2)与共线的向量有,,.
[例 2] O 是正方形 ABCD 对角线的交点,四边形 OAED,OCFB 都是正方形,在如

高一数学平面向量的概念及线性运算PPT优秀课件

a＋b＝λLeabharlann a－b)，即(λ－1)a＝(1＋λ)b，
∴ λ－1＝0 1＋λ＝0
，λ 无解，故假设不成立，即 a＋b 与 a－b 不平行，故选 D.
错源二：向量有关概念理解不当
【例2】如图，由一个正方体的12条棱构成的向量组成了一个集合M，则集合M的元素个数为________．
错解：正方体共有12条棱，每条棱可以表示两个向量，一共有24个向量．答案是24. 错解分析：方向相同长度相等的向量是相等向量，故AA1―→＝BB1―→＝CC1―→ ＝ DD1―→ ， AB―→ ＝ DC―→ ＝ D1C1―→ ＝ A1B1―→ ， AD―→ ＝ BC―→ ＝ B1C1―→＝A1D1―→.错解的原因是把相等的向量都当成不同的向量了．正解：12条棱可以分为三组，共可组成6个不同的向量，答案是6. 答案：6
错解分析：错解一，忽视了 a≠0 这一条件．错解二，忽视了 0 与 0 的区别，AB―→＋
BC―→＋CA―→＝0；错解三，忽视了零向量的特殊性，当 a＝0 或 b＝0 时，两个等号同时
成立．
正解：∵向量 a 与 b 不共线，
∴a，b，a＋b 与 a－b 均不为零向量．
若 a＋b 与 a－b 平行，则存在实数 λ，使
∴|AM―→|＝12|AD―→|＝12|BC―→|＝2.故选 C.
【例2】 (2010年安徽师大附中二模)设O在△ABC的内部，且OA―→＋OB―→＋ 2OC―→＝0，则△ABC的面积与△AOC的面积之比为( ) (A)3 (B)4 (C)5 (D)6
解析：由 OC―→＝－12(OA―→＋OB―→)，设 D 为 AB 的中点，则 OD―→＝12(OA―→＋OB―→)， ∴OD―→＝－OC―→，∴O 为 CD 的中点， ∴S△AOC＝12S△ADC＝14S△ABC，∴SS△△AAOBCC＝4.故选 B.

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2.1平面向量的概念
问：警察以每秒7米的速度去抓以每秒6米的速度奔跑的小偷，一定能抓住小偷吗？
请大家举出几个既有大小又有方向的量。
新课
一、向量的定义：
向量是既有大小，又有方向的量.
向量的表示方法：
1）有向线段：
B（终点）
a 记作：AB 或
A（起点）
a
注意字母的顺序是：起点在前，终点在后.
1.向量的概念: 既有大小又有方向的量
2.向量的表示:
1.有向线段 2.字母 3.有向线段起点和终点字母
3.零向量: 长度为零的向量
4.单位向量: 长度为1个单位的向量
5.相等向量: 长度相等且方向相同的向量
6.平行向量:
1.方向相同或相反的非零向量 2.零向量与任一向量平行
7.共线向量: 平行向量就是共线向量
(D)零向量是没有方向的向量
练习2：下列命题中，正确的命题有
.
（1）向uuu量r 就是uu有ur 向线段（2） AB 与 BA 是同一向量
（3）两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同
（4）a b a b
（5） a b a b
（67）aa b5且且bbc3 a bc （8） a // b且b // c a // c
两特殊向量：
①零向量：长度为0的向量，记作： 0
（零向量的方向是任意方向） ②单位向量：长度为1的向量，即： AB 1
相等向量与相反向量又是什么？
问题：
如图，这组向量之间,从方向
上看存在着什么关系？
a
平行向量：
b
c
方向相同或相反的非零向量.
记作：a // b // c
因为零向量的方向是任意的，所以规定：零向量与任一向量平行.
我们知道：对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，是可以任意平移，与起点无关。这就是常说的：自由向量。
．
Ｏc a b
任一组平行向量都可以移到同一直线上, 因此，平行向量也叫共线向量。
实战演练
练习1、
下列说法不正确的是(
)
(A)零向量只能与零向量相等
(B)零向量的方向是任意
(C)零向量与任一向量共线
有向线段AB的长度：|AB|
有向线段的三要素：起点、方向、长度.
注意：向量与有向线段的区别：
由有向线段的三要素：“起点、方向、长度”可知，有向线段的起点是确定的。而由向量的定义可知，对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，是可以任意平行移动的，与起点无关.
3）向量的大小：
向量的长度（或称模），记作： AB 思考:向量的模的范围是什么？ AB 0
例1：
如图设o是正六边形ABCDEF的中心，
分别写出图中与向量 OA、OB、OC
（1）相等的向量；（2）共线的向量 B
A
C
O
F
D
E
练习：已知D、E、F分别是△ABC 各
边的中点，
（1）写出图中与 DE、EF、FD 相等的向量
(2)写出图中的共线向量
A
(3)写出图中模相等的向量
Fቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
E
B
D
C
回顾与总结：