数学三大学派

伯特兰· 伯特兰·罗素
二十世纪英国哲学家、数学家、逻辑学家、 二十世纪英国哲学家、数学家、逻辑学家、 历史学家。 历史学家。 在数理逻辑方面，提出“罗素悖论” 在数理逻辑方面，提出“罗素悖论”。 引发“第三次数学危机” →引发“第三次数学危机” 1910年与怀特海合作撰写 数学原理》 年与怀特海合作撰写《 1910年与怀特海合作撰写《数学原理》 )。 (Principia Mathematica )。 1955年征求到爱因斯坦的支持 发表《 年征求到爱因斯坦的支持， 1955年征求到爱因斯坦的支持，发表《罗 爱因斯坦宣言》 后来的《 素-爱因斯坦宣言》（后来的《维也纳宣 言》）。
不可随众行恶
直觉主义学派
直觉主义者的“直觉” 是指思维的本能， 直觉主义者的“直觉”，是指思维的本能， 思维的本能 一种心智活动。 一种心智活动。 直觉主义学派认为，集合悖论的出现不可能 直觉主义学派认为， 通过对已有数学作局部的修改和限制加以解 而必须对数学作全面审视和改造。 决，而必须对数学作全面审视和改造。 可信标准是： 直觉上可构造性” 可信标准是：“直觉上可构造性”。 口号为“存在必须是被构造” 口号为“存在必须是被构造”。
罗素悖论——《 罗素悖论——《唐·吉诃德》悖论 —— 吉诃德》
世界文学名著《唐·吉诃德》中有这样一个故事： 世界文学名著《 吉诃德》中有这样一个故事： 吉诃德的仆人桑乔·潘萨跑到一个小岛上， 唐·吉诃德的仆人桑乔·潘萨跑到一个小岛上，成了这 个岛的国王。他颁布了一条奇怪的法律： 个岛的国王。他颁布了一条奇怪的法律：每一个到达这 个岛的人都必须回答一个问题： 你到这里来做什么？ 个岛的人都必须回答一个问题：“你到这里来做什么？” 如果回答对了，就允许他在岛上游玩，而如果答错了， 如果回答对了，就允许他在岛上游玩，而如果答错了， 就要把他绞死。对于每一个到岛上来的人， 就要把他绞死。对于每一个到岛上来的人，或者是尽兴 地玩，或者是被吊上绞架。 地玩，或者是被吊上绞架。有多少人敢冒死到这岛上去 玩呢？一天，有一个胆大包天的人来了， 玩呢？一天，有一个胆大包天的人来了，他照例被问了 这个问题，而这个人的回答是： 这个问题，而这个人的回答是：“我到这里来是要被绞 死的。 请问桑乔·潘萨是让他在岛上玩， 死的。”请问桑乔·潘萨是让他在岛上玩，还是把他绞 死呢？ 死呢？
形式主义学派
形式主义学派又称形式公理派。 形式主义学派又称形式公理派。 形式公理派 原则：所有符号完全看做没有意义的内容， 原则：所有符号完全看做没有意义的内容，即使将 符号、公式或证明的任何有意的意义或可能的解释 符号、 也不管，而只是把它们看作纯粹的形式对象，研究 也不管，而只是把它们看作纯粹的形式对象， 它们的结构性质。 它们的结构性质。 核心：以形式公理化为基础， 核心：以形式公理化为基础，以有限立场的推理为 工具，去证明整个数学的相容性， 工具，去证明整个数学的相容性，从而把整个数学 建立在一个牢固可靠的基础上。 建立在一个牢固可靠的基础上。
数学三大学派
学派AND代表人 学派AND代表人 AND
逻辑主义学派 （罗素、怀特海德） 罗素、怀特海德） 直觉主义学派 （布劳威尔） 布劳威尔） 形式主义学派 （希尔伯特、科恩） 希尔伯特、科恩） 结构主义学派（布尔巴基学派） 结构主义学派（布尔巴基学派）
逻辑主义学派
数学即逻辑！ 数学即逻辑！
1、每条数学真理都能够表示为完全用逻辑表达或表示 、 的语言。简单来讲， 的语言。简单来讲，即每条数学真理都能够表示为 真正的逻辑命题。 真正的逻辑命题。 2、每一条真的逻辑命题如果是一条数学真理的翻译， 、每一条真的逻辑命题如果是一条数学真理的翻译， 则它就是逻辑真理。 则它就是逻辑真理。 3、每条数学真理一旦表示为一个逻辑命题，就可由少 、每条数学真理一旦表示为一个逻辑命题， 数逻辑公理及逻辑规则推导出来。 数逻辑公理及逻辑规则推导出来。
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数学原理》 《数学原理》
全部数学可以以一个逻 辑公理系统严格推导出来， 辑公理系统严格推导出来， 也就是说可以从逻辑概念出 发用明显的定义得出数学概 念；由逻辑命题开始用纯逻 辑的演绎推得数学定理。 辑的演绎推得数学定理。从 而，使全部数学都可以从基 本的逻辑概念和逻辑规则而 推导出来。这样， 推导出来。这样，就可以把 数学看成是逻辑学延伸或分 支。
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到第6问题是数学基础问题； 第1到第 问题是数学基础问题； 到第 问题是数学基础问题 第7到第 问题是数论问题； 到第12问题是数论问题； 到第 问题是数论问题
问题
到第18问题属于代数和几何问题。 第13到第 问题属于代数和几何问题。 到第 问题属于代数和几何问题 到第23问题属于数学分析。 第19到第 问题属于数学分析。 到第 问题属于数学分析
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布劳威尔不动点定理
设 f : D n → D n 是一个映n维闭单位球体 D : x x +L + x = x ≤ 1
n 2 1 2 2 2 n 2
到其自身的连续映射， 则f必有至少一个不动点 x ∈ D n : 到其自身的连续映射， f ( x) = x.
布劳威尔不动点定理证明
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20世纪面临的23个数学问题 20世纪面临的23个数学问题 世纪面临的23
大卫·希尔伯特（David Hilbert） 大卫·希尔伯特（ Hilbert）
德国数学家， 19世纪和20世纪初最具 德国数学家，是19世纪和20世纪初最具 世纪和20 影响力的数学家之一。 影响力的数学家之一。 发明和发展了大量的思想观念（例如： 发明和发展了大量的思想观念（例如： 不变量理论，公理化几何，希尔伯特空 不变量理论，公理化几何， 间）。 是证明论、数理逻辑、 是证明论、数理逻辑、区分数学与元数 学之差别的奠基人之一。 学之差别的奠基人之一。 38岁时作了题为《数学问题》 38岁时作了题为《数学问题》的著名讲 岁时作了题为 提出了新世纪所面临的23个问题 新世纪所面临的23个问题。 演，提出了新世纪所面临的23个问题。
结构主义学派（布尔巴基学派） 结构主义学派（布尔巴基学派）
布尔巴基的目的是在集合论的基础上， 布尔巴基的目的是在集合论的基础上， 用最具严格性， 用最具严格性，最一般的方式来重写整 个现代高等数学。 个现代高等数学。 布尔巴基是个虚构的人物，布尔巴基团 布尔巴基是个虚构的人物， 体的正式称呼是“尼古拉·布尔巴基合作 体的正式称呼是“尼古拉·布尔巴基合作 者协会” 者协会”，在巴黎的高等师范学校设有 办公室。 办公室。 布尔巴基学派对数学的主要影响在于他 们首先引进了数学结构的概念， 们首先引进了数学结构的概念，并用这 个概念来统一数学。 个概念来统一数学。
布劳威尔（Brouwer） 布劳威尔（Brouwer）
荷兰数学家， G.曼诺利的影响下接 荷兰数学家，在G.曼诺利的影响下接 拓扑学和数学基础。 触拓扑学和数学基础。 强调数学直觉， 强调数学直觉，坚持数学对象必须可 以构造。 以构造。 1910年在拓扑学建立 年在拓扑学建立布劳威尔不动点 1910年在拓扑学建立布劳威尔不动点 定理以及证明维数的拓扑不变性。 以及证明维数的拓扑不变性 定理以及证明维数的拓扑不变性。 1912年建立构造主义的数学体系， 年建立构造主义的数学体系 1912年建立构造主义的数学体系，包 括构造连续统、集合论的构造基础、 括构造连续统、集合论的构造基础、 构造的测度论、构造的函数论等。 构造的测度论、构造的函数论等。