高中数学 一题多变一题多解特训(一)

高中数学一题多解和一题多变

根据高考数学“源于课本，高于课本”的命题原则，教师在教学或复习过程中可以利用书本上的例题和习题，进行对比、联想，采取一题多解与一题多变的形式进行教学.这是提高学生数学学习兴趣和思维能力的有效途径。下面举例说明：

一题多解和一题多变（一）

类型一：一题多解

例题： 已知tanα=43

,求sinα,cosα的值

分析：因为题中有sinα、cosα、tanα，考虑他们之间的关系，最容易想到的是用同角三角函数关系式和方程解此题：

法一 根据同角三角函数关系式tanα= 43= αα

cos sin ，且sina2α + cos2α =1。

两式联立，得出：cos2α=2516,cosα= 54

或者cosα= -54 ；而sinα=53或者sinα=-53 。

分析：上面解方程组较难且繁琐，充分利用用同角三角函数关系式“1”的代换，不解方程组，直接求解就简洁些：

法二 tanα=43

：α在第一、三象限

在第一象限时：

cos2α = ααcos sin cos 2

2

2

5+=αtan 2

11+=25

16

cosα=54 sinα=αcos 2

1-=53

而在第三象限时：

cosa=- 54

sina=- 53

分析：利用比例的性质和同角三角函数关系式，解此题更妙：

法三 tanα= 43= αα

cos sin ↔4cos α= 3sin α

↔4cos α= 3sin α

= ±

3

4cos sin

2

2

2

2

++α

α

∴sinα=53，cosα= 54

或sinα=-53，cosα=-54

分析： 上面从代数法角度解此题，如果单独考虑sinα、cosα、tanα，可用定义来解此题。初中时，三角函数定义是从直角三角形引入的，因此我们可以尝试几何法来解之：

法四 当α为锐角时，由于tana=43

,在直角△ABC 中，设α=A,a=3x,b=4x，则勾股定理，得，

c=5x

sinA=AB BC = 53

,cosA=AB AC =54 ∴sinα= 53

，cosα=54 或sinα= -53

，cosα= -54

分析 ：用初中三角函数定义解此题，更应该尝试用三角函数高中的定义解此题，因为适用范围更广：

法五 当α为锐角时，如下图所示，在单位圆中，设α=∠AOT ， 因为tanα= 43

，则T 点坐

标是T(1, 43

),由勾股定理得：OT=

⎪⎭

⎫ ⎝⎛+432

1= 45

∵△OMP ∽△0AT ∴AT MP =OA OM =OT OP ，OM=54, MP =53

, p(54, 53),

∴sinα= 53

，cosα= 54 或sinα=-53，cosα= -54

分析： 圆和直线已经放入直角坐标系中，肯定可以尝试用解析几何法来解此题： 解法六，如上图，易求出直线OT 的方程和单位圆的方程

y=43

x ；x2+y2=1 两式联立，得出：

⎩⎨⎧==545

3x y ， 或

⎩⎨⎧-=-=545

3x y .

T 点坐标是P(-54, -53

) P(54, 53 ) ∴sinα= 53

，cosα=54 或sinα= -53

，cosα= -54

分析： 先考虑sinα、cosα两者之间的关系，容易想到用三角函数辅助角公式来帮助解决此问题：

解法七，tanα= 43= αα

cos sin

4sina-3cosa=0

由三角函数辅助角公式得，

5sin （a+φ）= 0,其中，sinφ=53

, cosφ=54

∴a+φ=kπ ，k ∈Z sina=sin （k π -φ）=sinφ α在第一、三象限

∴容易求出sinα=53 ，cosα= 54

或sinα=-53，cosα= -54

分析： 仅仅从角度变换考虑，看一看，用二倍角公式是否能解决此问题：

解法八，由二倍角公式，得，tanα=

2

2tan

2

12tan

α

α

-= 43

3tan22α +8tan 2α

-3=0 ∴tan 2α= -3,或tan 2α=31

sinα=2sin 2αcos 2α=

22cos sin 2

cos

2sin 22

2

α

αα

α+=2

212

tan

2tan

2

α

α

+

∴sinα= 53，cosα=54

或sinα= -53，cosα= -54

判别式

此外，我们还可以尝试从向量的角度思考这个问题，这里就不再赘述。下面展示本题的变式与推广：

类型二：一题多变 已知5

4

=

αsin 且α是第二象限角，求αtan 解：α是第二象限角，54=αsin 3

4

5312一一一一===αααtan ,sin cos ⇒

变1：54

=αsin ，求αtan

解：05

4

>=αsin ，所以α是第一或第二象限角

若是第一象限角，则34

53==ααtan ,cos

若是第二象限角，则3

4

54一一==ααtan ,cos

变2：已知)(sin 0>=m m α求αtan 解：由条件10≤

当 10<

2

11m

m αm α一一=

=tan ,cos

若是第二象限角2

2

11m

m αm α一一

一一tan ,cos ==

当1=m 时αtan 不存在

变3：已知)(sin 1≤=m m α，求αtan 解：当11一,=m 时，αtan 不存在 当0=m 时， 0=αtan 当α时第一、第四象限角时，2

1m

m α一=

tan

当α是第二、第三象限角时，2

1m

m α一一=tan

练一小手：

变式1： 已知tanα=-3，求sin αcos α的值