与椭圆标准方程推导过程比较
椭圆参数方程推导原理
椭圆参数方程推导原理
椭圆参数方程是一种用来描述椭圆形状的数学方程，它可以用来描述椭圆的位置、大小和形状。
椭圆参数方程的推导原理是基于椭圆的标准方程，即：
$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$
其中，a和b分别是椭圆的长轴和短轴。
椭圆参数方程的推导原理是将椭圆的标准方程转换为椭圆参数方程，即：
$$\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$$
其中，h和k分别是椭圆的中心点的横纵坐标。
椭圆参数方程的推导原理是将椭圆的标准方程中的x和y分别减去h和k，然后将结果代入椭圆的标准方程中，即可得到椭圆参数方程。
椭圆参数方程的推导原理是基于椭圆的标准方程，它可以用来描述椭圆的位置、大小和形状。
椭圆参数方程的推导原理是将椭圆的标准方程转换为椭圆参数方程，即将椭圆的标准方程中的x和y分别减去h和k，然后将结果代入椭圆的标准方程中，即可得到椭圆参数方程。
椭圆参数方程的推导原理是一种简单而有效的方法，它可以用来描述椭圆的位置、大小和形状，为椭圆的研究提供了有效的数学工具。
关于椭圆标准方程推导的几种方法
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关于椭圆标准方程推导的几种方法
李 卫兵 山 东博 兴教 研 室 ２ ６ ０ ５５０
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他 四种解法 ＇ 同行参考’ 供
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② 后再对等式两边平方整理即可
最后对①式两边平方代入（ 式， 消参数 整理 可得．
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＝ ａ （ ＋ ｃ） 即 ２２ ＋ ， 一 。
Ｖ＂ Ｚ ￣ ｃ ） （ｃ ）＝ ａ ｘ （ Ｄ ＋ ２ － ２ ｘ ： ２ Ｌ（ ｘ ＝
） 然后 两边 平 方整 理 即 可． ，
两边 平 方整 理 即 可 解 法４ 由已知 等 式 ｖ 故 可 设 、 Ｉ ＋ ＝ ａ ｏ ￣， ２ｃｓ Ｏ ＋ 二 、 ＝ ２
关键 词 ： 圆标 准 方程 ； 椭 通性 通 法 ； 移性 迁
法性’迁＇ 予握此 是通具移学 以・ 通法有性生 掌除 应
在现行高中数学教材中，椭圆标准方程的推导方法是通性
通法 ， 具有 迁 移性 ， 学生 应 予 以掌 握 ・ 此 之 外 ， 者 还研 究 了 其 除 笔 ｖ
椭圆与标准方程(ppt自带动画)
x2 a2
y2 b2
1(a b 0)
∵ 2a=10, 2c=8
∴ a=5, c=4
∴ b2=a2－c2=52－42=9 ∴所求椭圆的标准方程为 x2 y2 1
25 9
y
F1 o
M
F2 x
讲评例题
解题感悟：求椭圆标准方程的步骤：
①定位：确定焦点所在的坐标轴； ②定量：求a, b的值.
快速思考，举手回答．
①表示一个圆；
②表示一个椭圆；
(1)m 9 2
析：方程表示一个椭圆需要满足的条件：
25 m 0 16 m 0 25 m 16 m
16 m 25且m 9 2
探究与互动：
1、方程
x2 25－m
＋ y2 16＋m
＝1
，分别求方程满足下列条件
同 点
a、b、c 的关系
a2 = b2 + c2
焦点位置的判断 分母哪个大，焦点就在哪个轴上
三.夯实基础 灵活运用
认真思考，举手抢答，并说明依据。 练习1.用定义判断下列动点M的轨迹是否为椭圆。
(1)到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为6的点的轨迹。 (2)到F1(0,-2)、F2(0,2)的距离之和为4的点的轨迹。 (3)到F1(-2,0)、F2(0,2)的距离之和为3的点的轨迹。
二.类比探究 形成概念 y
方程
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
F1
F2 x
即为焦点在x轴上的椭圆的标准方程.
所谓椭圆的标准方程，一定是 焦点在坐标轴上，且两焦点的 中点为坐标原点。
A1 思考：在图形中，a,b,c分别代表哪段 的长度？
椭圆的标准方程的推导方法
椭圆的标准方程的推导方法1、回顾用坐标法求动点轨迹方程的一般步骤：建系设点、写出动点满足的几何约束条件、坐标化、化简、证明等价性2、建立焦点在轴上的椭圆的标准方程①建系设点：观察椭圆的几何特征，如何建系能使方程更简洁？——利用椭圆的对称性特征以直线为轴，以线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系．设焦距为，则．设为椭圆上任意一点，点与点的距离之和为．②动点满足的几何约束条件:③坐标化：④化简：化简椭圆方程是本节课的难点，突破难点的方法是引导学生思考如何去根号预案一：移项后两次平方法分析的几何含义，令得到焦点在轴上的椭圆的标准方程为预案二：用等差数列法：设得4cx=4at，即t=将t=代入式得③将③式两边平方得出结论。
以下同预案一预案三：三角换元法：设得即即代入式得以下同预案一设计意图：进一步熟悉用坐标法求动点轨迹方程的方法，掌握化简含根号等式的方法，提高运算能力，养成不怕困难的钻研精神，感受数学的简洁美、对称美(3)建立焦点在轴上的椭圆的标准方程要建立焦点在轴上的椭圆的标准方程，又不想重复上述繁琐的化简过程，如何去做？此时要借助于化归思想，抓住图(1)与图(2)的联系即可化未知为已知，将已知的焦点在轴上的椭圆的标准方程转化为焦点在轴上的椭圆的标准方程．只需将图(1)沿直线翻折或将图(1)绕着原点按逆时针方向旋转即可转化成图(2)，需将轴、轴的名称换为轴、轴或轴、轴．（1）（2）焦点在轴上的椭圆的标准方程为设计意图：体会数学中的化归思想，化未知为已知，避免重复劳动(4)辨析焦点分别在轴、轴上的椭圆的标准方程的异同点区别：要判断焦点在哪个轴上，只需比较与项分母的大小即可．若项分母大，则焦点在轴上；若项分母大，则焦点在轴上．反之亦然．联系：它们都是二元二次方程，共同形式为两种情况中都有如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。
圆锥曲线(抛物线、椭圆、双曲线)标准方程推导
圆锥曲线(抛物线、椭圆、双曲线)标准方程推导几何定义是在平面中，由所有满足到一定点与到一定直线距离相等的点所组成的图形，把这个定点称为焦点(focus)、定直线称为准线(directrix)。
为了方便推导，把这一定点放在x轴正方向上，定直线垂直x 轴放在x轴负半轴上，且原点刚好在两者中间。
上面这些都仅仅是为了推导方便而已。
设曲线上的点坐标为(x,y)，于是，\begin{aligned} d(F, P) &=d(P, D) \\ \sqrt{(x-a)^{2}+(y-0)^{2}} &=|x+a| \\ (x-a)^{2}+y^{2}&=(x+a)^{2} \\ x^{2}-2 a x+a^{2}+y^{2} &=x^{2}+2 ax+a^{2} \\ y^{2} &=4 a x \end{aligned}四种不同开口的标准型：二、椭圆(Ellipse)几何意义是在平面中，由所有到两个顶点距离之和为定值的点所组成的图形，把这两个定点称为焦点(foci)，也是为了推导的方便，把这两个焦点对称放在x轴正负半轴上，令两段距离之和为2a，根据两点之间距离公式进行如下推导：\begin{aligned} d\left(F_{1}, P\right)+d\left(F_{2}, P\right) &=2 a \\ \sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}} &=2 a \\ \sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}=& 2 a-\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}} \\ (x+c)^{2}+y^{2}=& 4 a^{2}-4 a \sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}} \\ &+(x-c)^{2}+y^{2} \\x^{2}+2 c x+c^{2}+y^{2}=& 4 a^{2}-4 a \sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}} \\ &+x^{2}-2 c x+c^{2}+y^{2} \\ 4 c x-4 a^{2}=&-4 a \sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}} \\ c x-a^{2}=&-a\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}} \\ \left(c x-a^{2}\right)^{2}=& a^{2}\left[(x-c)^{2}+y^{2}\right] \\ c^{2} x^{2}-2a^{2} c x+a^{4}=& a^{2}\left(x^{2}-2 cx+c^{2}+y^{2}\right) \\ \left(c^{2}-a^{2}\right)x^{2}-a^{2} y^{2} &=a^{2} c^{2}-a^{4} \\ \left(a^{2}-c^{2}\right) x^{2}+a^{2} y^{2} &=a^{2}\left(a^{2}-c^{2}\right) \end{aligned}令 b^2=a^2-c^2 （根据三角形两边之和大于第三边推出c<a）所以，\begin{aligned} b^{2} x^{2}+a^{2} y^{2} &=a^{2} b^{2} \\ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} &=1\end{aligned}常见的两种椭圆标准方程，一种是横躺在x轴上，一种是“站立”着，关键就是看x和y下面哪个数值比较大，哪个大，那么长的对称轴就在哪个方向上。
选修1第一讲 椭圆中知识点总结(全)--附带涉及到的公式推导过程
椭圆：1、（第一）定义：12122PF PFa F F +=>；2、椭圆标准方程及离心率：焦点在x轴上的椭圆标准方程为：22221(0)x ya ba b+=>>；:a长半轴；b：短半轴；:c半焦距 .椭圆中a，b，c的关系：222a b c=+；椭圆的离心率(0,1)cea=∈ .3、弦长公式： 直线:l y kx b =+与椭圆2222:1()x y C m n m n+=≠交于两点11(,)M x y ，22(,)N x y ，则相交时的弦长1212MN x x y y =-=- .弦长公式是由两点距离公式与两点斜率公式推导出来，故适用性比较广。
4、中点弦结论（点差法）： 椭圆2222:1()x y C m n m n+=≠上的两点11(,)M x y ，22(,)N x y ，弦MN 的中点1212(,)22x x y yP ++， 则22MNOPn kk m⋅=- .5、焦点三角形面积： 椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点分别为1F 、2F ，点P 是椭圆C 上除左、右端点外的一点，令12F PF θ∠=，则：122tan2PF F S b θ∆=⋅ . 该公式是由三角形面积公式、椭圆第一定义、余弦定理结合三角恒等变换推导出来。
6、直线与椭圆位置关系： 联立:0l Ax By C ++=与椭圆2222:1()x y C m n m n +=≠，消去y （或x ）得一元二次方程，24b ac ∆=-， 相离⇔0∆<；相切⇔0∆=；相交⇔0∆>；7、与点坐标相关的面积公式： (0,0)O ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，点O ，A ，B 不在一条直线上， 则：122112OAB S x y x y ∆=-.该公式是由三角形面积公式、余弦定理结合三角恒等式推导出。
椭圆的标准方程推理过程
椭圆的标准方程推理过程
嘿，咱今儿个就来唠唠椭圆的标准方程推理过程。
你想啊，椭圆就像是一个被压扁了的圆，它有两个焦点，这两个焦点就好像是椭圆的两个小眼睛，一直盯着椭圆上的点呢。
那怎么来推导出椭圆的标准方程呢？咱先从简单的情况入手。
想象一下，在一个平面上，有两个固定的点，这就是那两个焦点啦。
然后呢，有一个动点，这个动点到这两个焦点的距离之和是个定值。
咱就设这两个焦点之间的距离是 2c，动点到两焦点的距离之和是2a，而且 a 是大于 c 的哦，要不然那还叫啥椭圆呀，对吧？
然后咱就开始捣鼓这个动点的坐标啦。
咱设动点的坐标是(x,y)，那根据到两焦点距离之和为定值这个条件，咱就能列出个式子来。
这式子一出来，咱就开始各种化简变形啦。
这过程就好像是给一个乱蓬蓬的头发慢慢梳理整齐一样，得有耐心呐。
经过一番捣鼓，嘿，椭圆的标准方程就出来啦！它就像是个宝贝，被我们从一堆乱麻中找出来了。
你说这神奇不神奇？这椭圆的标准方程就像是一把钥匙，能打开椭圆这个神秘世界的大门。
有了它，我们就能知道椭圆的各种性质，比如长短轴啦，离心率啦等等。
这就好比我们有了一张地图，能在椭圆的世界里畅游无阻。
而且啊，椭圆在生活中也有很多应用呢。
你看那些椭圆形的跑道，
还有那些椭圆形状的建筑，不都是椭圆的功劳嘛。
所以说啊，了解椭圆的标准方程推理过程，那可真是太重要啦！它
让我们能更好地理解这个奇妙的数学世界，也能让我们在生活中发现
更多椭圆的美和用处。
咱可别小瞧了这椭圆的标准方程推理过程，它就像是一把开启智慧
大门的钥匙，能让我们看到更多数学的奥秘和精彩呢！你说是不是呀？。
椭圆的标准方程推导过程
椭圆的标准方程推导过程
一、椭圆的定义
椭圆是平面内到两个定点 $F_1$ 和 $F_2$ 的距离之和等于常
数 $2a$ 的点 $P$ 的轨迹。
二、椭圆的标准方程
椭圆的标准方程形式为：$\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-
k)^2}{b^2}=1$，其中 $(h,k)$ 是椭圆的中心点坐标，$a$ 和
$b$ 分别是椭圆在 $x$ 和 $y$ 方向的半轴长度。
三、推导过程
首先，设椭圆上任意一点 $P(x,y)$，则有：
$$PF_1+PF_2=2a$$ 根据两点之间的距离公式，可得：
$$\sqrt{(x-F_1)^2+y^2}+\sqrt{(x-F_2)^2+y^2}=2a$$ 将 $F_1$ 和$F_2$ 的坐标代入上式，化简后得到：
$$\sqrt{(x+a)^2+y^2}+\sqrt{(x-a)^2+y^2}=2a$$ 平方并化简，可得：$$x^2\cdot\frac{a^2}{a^2-b^2}+y^2\cdot\frac{a^2}{a^2-
b^2}=1$$ 因为 $a>b>0$，故 $\frac{a^2}{a^2-b^2}>0$，于是可
令常数 $c=\frac{a^2}{a^2-b^2}$，则上式可以转化为：
$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$ 即为椭圆的标准方程。
椭圆及其标准方程ppt课件
令b=POI=√a²-c², 那么方程⑤就
由于方程②③的两边都是非负实数，因此方程①到方程⑥的变形都是同解变 形.这样，椭圆上任意一点的坐标(x,y) 都满足方程⑥;反之，以方程⑥的解为 坐标的点(x,y)与椭圆的两个焦点(c,0),(-c,0)的距离之和为2a, 即以方程⑥的 解为坐标的点都在椭圆上.则方程⑥是椭圆的方程，这个方程叫做圆的标准方 程.它表示焦点在x 轴上，两个焦点分别是F(-c,0),F₂ (c,0) 的椭圆，这里
所以点M 的轨迹是椭圆.
例3如图，设A,B 两点的坐标分别为(-5,0),(5,0).直线AM,BM 相交于点M, 且它们的斜率之积是 ,求点M 的轨迹方程.
事
解 ：设点M 的坐标为(x,y),因为点A 的坐标是(-5,0), 所以直线AM的斜率 同理，直线 BM 的斜率 由已知有
化简得点M 的轨迹方程为
设M(x,y )是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c(c>0), 那么焦点F,F₂ 的 坐 标分别为(-c,0),(c,0) ,根据椭圆的定义，设点M 与焦点F,F₂ 的距离的和等于 2a.
由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集P={M||MF₁I+|MF₂I=2a}. 因为IMFI= √ (x+c)²+y²,IMF₂F= √ (x-c)²+y², 所以J(x+c)²+y²+ √ (x-c)²+y²=2a.① 化简得√(x+c)²+y²=2a-√(x-c)²+y².② 对方程②两边平方得(x+c)²+y²=4a²-4aJ(x-c)²+y²+(x-c)²+y². 整理得a²-cx=aJ(x-c)²+y².③
椭圆及其标准方程
椭圆及其标准方程1.椭圆的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于｜F1F2｜)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距.注意：定义中的常数用2a表示，｜F1F2｜用2c表示，当2a＞2c＞0时，轨迹为椭圆，当2a=2c 时，轨迹为线段F1F2；当2a＜2c时，无轨迹.这样，椭圆轨迹一定要有2a＞2c这一条件.另外，应用定义来求椭圆方程或解题时，往往比较简便.2.椭圆的标准方程当焦点在x轴上时：+ =1(a＞b＞0)当焦点在y轴上时：+ =1(a＞b＞0)注意：(1)三个量之间的关系：a2=b2+c2(2)由x2,y2的分母大小确定焦点在哪条坐标轴上，x2的分母大，焦点就在x轴上，y2的分母大，焦点就在y轴上.(3)在方程Ax2+By2=C中，只有A、B、C同号时，才可能表示椭圆方程.(4)当且仅当椭圆的中心在原点，其焦点在坐标轴上时，椭圆的方程才具有标准形式.典型例题例1 求与椭圆+ =1共焦点，且过点M(3，-2)的椭圆方程.解法一：(待定系数法)由已知椭圆方程+ =1得C2=9-4=5，且焦点在x轴上，设所求椭圆方程为+ =1又∵点M(3，-2)在椭圆上∴+ =1，得a4-18a2+45=0∴a2=15或a2=3＜5=C2(舍)∴所求椭圆方程为+ =1解法二：(定义法)椭圆两焦点为F1(- ，0)，F2( ，0)，点M(3，-2)到这两个焦点距离之和是2a，即2a=｜M1F1｜+｜M1F2｜= + =2∴a2=15 b2=a2-c2=15-5=10∴所求椭圆方程为+ =1例2 已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1( ，1)，P2(- ，- )，求椭圆的方程.解：设椭圆方程为mx2+ny2=1,(m＞0，n＞0)由题意有解得m= ，n=∴所求椭圆方程为+ =1说明：设椭圆方程为mx2+ny2=1(m＞0，n＞0)可免讨论焦点的位置，而且计算简便.例3 已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过P作焦点所在轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程.解：设两个焦点为F1F2，且｜PF1｜= ，｜PF2｜=由椭圆定义知2a=｜PF1｜+｜PF2｜=2 ∴a=而｜PF1｜＞｜PF2｜知PF2与焦点所在的对称轴垂直.∴Rt△PF2F1中，sin∠PF1F2= =∴∠PF1F2=2C=｜PF1｜cos =∴b2=a2-c2=故所求方程为+ y2=1或x2+ =13.(代入法)与椭圆有关的轨迹问题：常用的方法有定义法，坐标转移法，交轨法，点差法. 例4 已知圆C1：x2+y2+4x-12=0与圆C2:x2+y2-4x=0，动圆C与C1相内切，且与C2相外切，求动圆圆心的轨迹方程.解：圆C1与C2的标准方程是(x+2)2+y2=16，(x-2)2+y2=4圆心分别为C1(-2，0)，C2(2，0)设动圆P的圆心为P，半径为r，有｜PC1｜=4-r,｜PC2｜=2+r∴｜PC1｜+｜PC2｜=6＞｜C1C2｜=4∴P点在椭圆上运动，又2a=6，2c=4，∴b2=a2-c2=5∴P的轨迹为+ =1(在已知圆C1内)例5 已知MN是椭圆+ =1(a＞b＞0)中垂直于长轴的动弦，AB是椭圆长轴的两端点，求直线MA与NB的交点P的轨迹方程.解：设M、N的坐标为M(x0,y0)，N(x0,-y0)，又A(-a,0),B(a,0)所以直线AM的方程为y= (x+a) ①直线BN的方程为：y= ②①×②得：y2= (x2-a2) ③∵点M(x0,y0)在椭圆上，∴b2x20+a2y20=a2b2∴x20-a2=- y02,代入得③得：y2= (x2-a2)∴交点P的轨迹方程为- =1例6已知椭圆+y2=1(1)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程(2)过A(2，1)引椭圆的割线，求截得的弦中点轨迹方程(3)求过点P( ，)，且被P平分的弦所在的直线方程.解：(点差法)设弦的两端点分别为M(x1,y1)N(x2,y2)、MN的中点为P(x,y)，则x21+2y21=2，x22+2y22=2,两式相减弄除以(x2-x1)得：x1+x2+2(y1+y2) =0而x1+x2=2x,y1+y2=2y∴x+2y· =0 (*)(1)将=2代入(*)式得所求的轨迹方程为x+4y=0(椭圆内部分)(2)将= 代入(*)式，得所求的轨迹方程为x2+2y2-2x-2y=0(椭圆内部分)(3)将x1+x2=1,y1+y2=1代入(*)式，得=-∴所求的直线方程为2x+4y-3=0例7已知中心在原点，一焦点为F(0，)的椭圆被直线l:y=3x-2截得弦的中点横坐标为，求椭圆方程.解：∵C= ，∴a2=b2+50∴可设椭圆方程为+ =1把直线y=3x-2代入椭圆方程整理得10(b2+5)x2-12b2x-b4-46b2=0∴x1+x2=又∵=∴12b2=10b2+50解得b2=25 a2=75∴所求的椭圆方程为+ =1例8已知P为椭圆+ =1上的一点，F1F2是椭圆上的两焦点，∠F1PF2=60°，求△F1PF2的面积.解：∵= ｜PF1｜·｜PF2｜sin∠F1PF2∴只需求｜PF1｜·｜PF2｜即可又｜PF1｜+｜PF2｜=10｜PF1｜2+｜PF2｜2-2｜PF1｜·｜PF2｜cos60°=4C2=64解得｜PF1｜·｜PF2｜=12∴= ×12× =3例9已知方程2(k2-2)x2+k2y2+k2-k-6=0表示椭圆，求实数k的取值范围.解：结合椭圆的变形方程式a2y2+b2x2-a2b2=0从而有：2(k2-2)＞0 k＜- 或k＞k2≠0解得k≠0k2-k-6＜0 -2＜k＜32(k2-2)≠k2k≠±2∴k∈(-2，- )∪( ，2)∪(2，3)例10△ABC的三边a＞b＞c，且a+c=2b，｜AC｜=2,求顶点B的轨迹.解：以AC的中点为坐标原点建立坐标系，则A(-1，0)，C(1，0)，又a+c=2b=4由椭圆的定义知B点在椭圆上运动.∵a＞b＞c，且A、B、C三点不共线∴B点的轨迹方程是椭圆+ =1，在y轴左侧的部分，但要去掉点(-2，0)，(0，)，(0，- )核心知识1.椭圆+ =1(a＞b＞0)，范围：椭圆位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形里，即｜x｜≤a，｜y｜≤b.2.对称性：椭圆关于x轴，y轴和原点都是对称的.坐标轴为椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，即为椭圆的中心.3.顶点：椭园与坐标轴的交点为椭圆的顶点为A1(-a,0)，A2(a,0)，B1(0，b),B2(0,-b)4.离心率：e= ,(o＜e＜1),e越接近于1，则椭圆越扁；e越接近于0，椭圆就越接近于圆.5.椭圆的第二定义：平面内的点到定点的距离和它到定直线的距离的比为常数e(0＜e＜1＝的点的轨迹.定点即为椭圆的焦点，定直线为椭圆的准线.6.椭圆的焦半径公式：设P(x0,y0)是椭圆+ =1(a＞b＞0)上的任意一点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，则｜PF1｜=a+ex0,｜PF2｜=a-ex0.7.椭圆的参数方程典型例题例1 设直线l过点P(-1，0)，倾角为，求l被椭圆x2+2y2=4所截得的弦长.解：直线l的方程为y= x+ ，代入椭圆方程，得7x2+12x+2=0,∵△=144-4×7×2=88∴弦长= =例2 求椭圆+ =1上的点到直线3x+4y-64=0的最长距离与最短距离.解：设椭圆上的点为(5cosθ，9sinθ)，则d= ==∴d max=例3 已知椭圆+ =1内有一点P(1，-1)，F是右焦点，M是椭圆上的动点，求｜MP｜+2｜MF｜的最小值，并求此时M的坐标.解：过M作右准线x=4的垂线，垂足为M1，由椭圆第二定义，有= ∴2｜MF｜=｜MM1｜∴｜MP｜+2｜MF｜=｜MP｜+｜MM1｜过P作右准线的垂线交椭圆于N，垂足为N1，垂线方程为y=-1.显然｜MP｜+｜MM1｜≥｜NP｜+｜NN1｜(当M与N重合时等号成立)而｜NP｜+｜NN1｜=｜PN1｜=3由方程组得N( ，-1)∴｜MP｜+2｜MF｜的最小值是3，此时M的坐标是( ，-1)例4 P是椭圆方程为+ =1上的任意一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，试求｜PF1｜·｜PF2｜的取值范围.解：设｜PF1｜=t,则t∈［a-c,a+c］，即t∈［4- ，4+ ］且｜PF2｜=2a-t=8-t.∴｜PF1｜·｜PF2｜=t(8-t)=-(t-4)2+16 t∈［4- ，4+ ］当t=4时，取最大值为16当t=4± 时，取最小值为9.∴所求范围为［9，16］例5 F1、F2是椭圆的两个焦点，过F2作一条直线交椭圆于P、Q两点，使PF1⊥PQ，且｜PF1｜=｜PQ｜，求椭圆的离心率e.解：如下图，设｜PF1｜=t，则｜PQ｜=t，｜F1Q｜= t，由椭圆定义有：｜PF1｜+｜PF2｜=｜QF1｜+｜QF2｜=2a∴｜PF1｜+｜PQ｜+｜F1Q｜=4a 即( +2)t=2a,t=(4-2 )a∴｜PF2｜=2a-t=(2 -2)a在Rt△PF1F2中，｜F1F1｜2=(2c)2∴［(4-2 )a］2+［(2 -2)a］2=(2c)2∴=9-6 ∴e= = -双曲线1.双曲线的定义平面内与两定点F1、F2的距离差的绝对值是常数(大于零小于｜F1F2｜)的点的轨迹叫双曲线.两定点F1、F2是焦点，两焦点间的距离｜F1F2｜是焦距，用2c表示.常数用2a表示.(1)若｜MF1｜-｜MF2｜=2a时，曲线只表示焦点F2所对应的一支双曲线.(2)若｜MF1｜-｜MF2｜=-2a时，曲线只表示焦点F1所对应的一支双曲线.(3)若2a=2c时，动点的轨迹不再是双曲线，而是以F1、F2为端点向外的两条射线.(4)若2a＞2c时，动点的轨迹不存在.2.双曲线的标准方程- =1(a＞0,b＞0)焦点在x轴上的双曲线；- =1(a＞0,b＞0)焦点在y轴上的双曲线.判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较x2、y2的分母的大小，而是x2、y2的系数的符号，焦点在系数正的那条轴上.典型例题例1 若方程+ =1表示双曲线，则实数m的取值范围是( )A.-3＜m＜2或m＞3B.m＜-3或m＞3C.-2＜m＜3D.-3＜m＜3或m＞3分析该方程表示双曲线，则x2与y2项的系数的符号相反，即(2-m)(｜m｜-3)＜0，将问题转化为不等式的求解.答：A例2 求与椭圆+ =1共焦点，且过点(3 ，)的双曲线的方程.分析一由题意知所求双曲线的焦点在x轴上，且焦距为8，∴c=4,设所求双曲线方程为- =1代入点(3 ，)，得λ2=7，故所求双曲线方程为- =1.分析二运用与椭圆共焦点的曲线系方程.设所求双曲线方程为+ =1，代入点(3 ，)，得λ=16或λ=-7(舍)，故所求双曲线方程为- =1.例3 课本第108页习题8.3第一题：△ABC一边的两个端点是B(0，6)和C(0，-6)，另两边所在直线的斜率之积是，求顶点A的轨迹.分析其顶点A的轨迹方程求得：- =1(x≠0).若将问题一般化：B(0，a)、C(0，-a)·k AB·k AC= ，则顶点A的轨迹方程为：- =1(x≠0).若B(bcotφ，acosφ)、C(-cotφ，-acscφ).k AB·k AC= ，则顶点A的轨迹会是怎样?反之，双曲线- =1(x≠0)上任一点到B(0，a)，C(0，-a)两点的连线的斜率之和，等于;若改变B、C的位置保持B、C两点关于原点对称于双曲线上，k AB·k AC是否成立.总之，同学们在学习过程中要多动手、多思考，举一反三，做到“以点代面，以少胜多”.例4一动圆与圆(x+3)2+y2＝1外切又与圆(x-3)2+y2＝9内切，求动圆圆心轨迹方程.分析如图，设动圆M与⊙O外切于A，与⊙O2内切于B，由位置关系可得数量关系：｜MO1｜＝｜MA｜+1 ｜MO2｜＝｜MB｜-3由｜MA｜＝｜MB｜可得｜MO1｜-｜MO2｜＝4由定义可知M点轨迹为双曲线的一支.解：如图，设动圆圆心M坐标为M(x,y)，圆M与圆O1外切于A，与圆O2内切于B，则，MO1＝｜MA｜+1，①｜MO2｜＝｜MB｜＝3②，①-②：｜MO1｜-｜MO2｜＝4由双曲线定义知，M点轨迹是以O1(-3，0)O2(3，0)为焦点2a＝4的双曲线的右支∴b2＝32-23＝5∴所求轨迹方程为：- ＝1(x≥2)说明：在求轨迹方程时，要注意使用曲线的定义，此时的思路：位置关系(内切，外切)数量关系(｜MO1｜＝r1+r0,｜MO2｜＝r-r2其中r为动圆半径曲线形状写出标准方程，可以简化运算.同时应注意定义中是到两定点距离的绝对值，此时不含绝对值，要求｜MO1｜>｜MO2｜，所以是双曲线的右支，而不是整个双曲线.例5过双曲线- ＝1的右焦点作倾角为45°的弦，求弦AB的中点C到右焦点F 的距离，并求弦AB的长.分析将直线方程与双曲线方程联立，求出A、B两点的坐标，再求其中点，由两点的距离公式求出｜CF｜.解：∵双曲线的右焦点为F(5，0)，直线AB的方程为y＝x-5，故16x2-9y2-144＝0 ①y＝x-5 ②消去y，并整理得7x2+90x-369＝0 ③此方程的两个根x1、x2是A、B两点的横坐标，设AB的中心点C的坐标为(x,y)，则x＝＝＝- .C点的坐标满足方程②，故y＝- -5＝-∴｜CF｜＝＝(5+ )＝又设A点坐标为(x1,y1),B点坐标为(x2,y2)，则y1＝x1-5,y2＝x2-5.∴y1-y2＝x1-x2，｜AB｜＝＝＝＝由方程③知x1+x2＝- ,x1·x2＝-∴｜AB｜＝＝＝＝27点评：利用韦达定理及两点间距离公式求弦长核心知识1.双曲线- ＝1的简单几何性质(1)范围：｜x｜≥a,y∈R.(2)对称性：双曲线的对称性与椭圆完全相同，关于x轴、y轴及原点中心对称。
焦点在y椭圆的标准方程推导
焦点在y椭圆的标准方程推导y椭圆的标准方程推导如下：我们先回顾一下椭圆的定义：椭圆是平面上到两个固定点（称为焦点）的距离之和等于常数的点的集合。
假设椭圆的焦点为F1(x1, y1)和F2(x2, y2)，椭圆的长轴长度为2a，短轴长度为2b。
现在我们来推导椭圆的标准方程。
首先，设椭圆上的一点为P(x, y)。
根据椭圆的定义，我们可以得到以下两个距离关系：1. PF1 + PF2 = 2a2. PF1 = d(P, F1) = sqrt((x - x1)^2 + (y - y1)^2)3. PF2 = d(P, F2) = sqrt((x - x2)^2 + (y - y2)^2)将上述三个等式代入第一个距离关系中，得到：sqrt((x - x1)^2 + (y - y1)^2) + sqrt((x - x2)^2 + (y - y2)^2) = 2a对上式进行平方运算，得到：(x - x1)^2 + (y - y1)^2 + 2sqrt((x - x1)^2 + (y - y1)^2)(x - x2)^2 + (y - y2)^2 + 2sqrt((x - x2)^2 + (y - y2)^2) = 4a^2整理上式，消去平方根项，得到：[(x - x1)^2 + (y - y1)^2][(x - x2)^2 + (y - y2)^2] = 4a^2 - [(x - x1)^2 + (y - y1)^2] - [(x - x2)^2 + (y- y2)^2]继续整理上式，将所有项展开并合并同类项，得到：(x^2 - 2x1x + x1^2 + y^2 - 2y1y + y1^2)(x^2 - 2x2x + x2^2 + y^2 - 2y2y + y2^2) = 4a^2 - (x^2 - 2x1x + x1^2 + y^2 - 2y1y + y1^2) - (x^2 - 2x2x + x2^2 + y^2 - 2y2y + y2^2)继续整理上式，消去平方项，得到：x^2(x^2 - 2x2x + x2^2 + y^2 - 2y2y + y2^2) + y^2(x^2 - 2x1x + x1^2 + y^2 - 2y1y + y1^2) + ... = 4a^2 - x^2 - y^2 + 2x1x - 2x2x + 2y1y - 2y2y继续整理上式，合并同类项，得到：x^2(x^2 - 2x2x + x2^2 + y^2 - 2y2y + y2^2) + y^2(x^2 - 2x1x + x1^2 + y^2 - 2y1y + y1^2) + ... = 4a^2 - x^2 - y^2 + 2(x1 - x2)x + 2(y1 - y2)y进一步整理，得到椭圆的标准方程：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1这就是椭圆的标准方程，其中a和b分别为椭圆长轴和短轴的半径长度。
椭圆的标准方程abc的关系证明
一、椭圆的定义及标准方程椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a（a＞│F1F2│）的动点P（a，b）的轨迹。
设F1（-c，0），F2（c，0）（c＞0），两个定点之间的距离为2c，轨迹上的点到F1和F2的距离之和等于2a（a＞c），则椭圆的解析式为：x²/a²+y²/b²=1其中，a和b为椭圆的半长轴和半短轴的长度。
椭圆的标准方程为x²/a²+y²/b²=1。
二、椭圆的标准方程abc的关系我们要证明椭圆的标准方程中的a、b、c之间满足以下关系a² = b² + c²1. 用椭圆的定义证明证明过程如下：由椭圆的定义知：PF1 + PF2 = 2a代入F1（-c，0），F2（c，0）有：√（x + c）² + y² + √（x - c）² + y² = 2a展开化简得：√（x² + 2cx + c² + y²）+ √（x² - 2cx + c² + y²） = 2a移项并整理得：√（x² + 2cx + c² + y²）+ √（x² - 2cx + c² + y²） - 2a = 02. 用椭圆的标准方程证明根据椭圆的标准方程x²/a² + y²/b² = 1，可以得到：c² = a² - b²再将c²代入PF1 + PF2 = 2a中：√（x² + 2cx + c² + y²）+ √（x² - 2cx + c² + y²） - 2a = 0得到：√（x² + 2cx + a² - b² + y²）+ √（x² - 2cx + a² - b² + y²） - 2a = 0移项并整理得：√（x² + 2cx + a² + y² - b²）+ √（x² - 2cx + a² - b² + y²） - 2a = 0根据椭圆的标准方程可得：√（x² + 2cx + a² + y² - b²） = a√（x² - 2cx + a² - b² + y²） = a将这两个式子代入PF1 + PF2 = 2a中，则有：a + a - 2a = 0化简得：a² = b² + c²三、得出结论经过以上证明和推导过程，我们可以得出结论：椭圆的标准方程中的a、b、c之间满足a² = b² + c²这一结论对于椭圆的研究和应用具有重要意义，为进一步深入探讨椭圆的性质和应用奠定了基础。
椭圆和双曲线标准方程推导
椭圆方程的推导22221y x a +=≠≠因此椭圆公式： (0 and )b 0a b详细推导过程如下2a =（移项）2a ⇒=22222()()44y y a x c x c ⇒+=+--+（展开）22222222x+c 2x+c 44y y a x c x c ⇒+=-+-+（移项）22222222x 2x+c c 44y y a x x c c ⇒-++-=--+24x 44a c ⇒=-4）2x a c ⇒=-2x a c ⇒-=椭圆上的点满足PF 1+PF 2为定值，设为2a ，则2a >2c则：+=2a4222222()2x+c x a a c a x c y ⎡⎤⇒-=-+⎢⎥⎣⎦（展开） 4222222222c x+c x a a c a x cx y ⎡⎤⇒-=-+⎢⎥⎣⎦+（展开） 4222222222222c x+c x a a c a x a cx a a y ⇒-=-++（移项） 2222222222422c x++c x a c a cx a x a y a a ⇒---=- （合并同类项） 222222224c c x a x a y a a ⇒--=- （按x,y 顺序提公因式） 22222222222)(c a (c a x a y a a c ⇒--=- -=,b 让左边变形)（令） 222222221)(a (a c x a y a c ⇒---=--- 两边乘以)（） 22222222222)(a (a c c x a y a c ⇒-+=- -=代入)（将）a b 22222222x a y a a ⇒+= 两边除以b （）b b 22221y x a ⇒+=≠≠ (0 and )b 0a b双曲线标准方程的推导把平面内与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹叫做双曲线．其中这两个定点叫做双曲线的焦点，两定点间的距离叫做双曲线的焦距．即当动点设为M 时，双曲线即为点集P ={}122M MF MF a -=分析：当│M│>│M│时，│M│-│M│=2a (M 在双曲线右支上)当│M│<│M│时，│M│-│M│= -2a (M 在双曲线左支上)设动点M 的坐标为（x,y ）双曲线标准方程的推导： 当│M│-│M│=2a 时，有：-=2a (移项)⇒=2a+（两边平方）⇒=4+4a+(展开)⇒+2cx+=4+4a+-2cx+(移项)⇒+2cx+2cx +-=4+4a（合并同类项）⇒4cx=4+4a（两边除以4）⇒cx=+a（移项）⇒cx-（两边平方）⇒-2+=[(展开)⇒-2+=[-2++(展开)⇒-2+=-2++（移项）⇒-2+---（合并同类项）⇒---（按x,y顺序提取公因式）⇒（---)（=+，等量代替）-（两边除以）⇒-=1(a>0,b>0)当│M│-│M│=-2a时，有：-=-2a (移项)⇒=-2a+（两边平方）⇒=4-4a+(展开)⇒+2cx+=4-4a+-2cx+(移项)⇒+2cx+2cx +-=4-4a（合并同类项）⇒4cx=4-4a（两边除以4）⇒cx=-a（移项）⇒cx-（两边平方）⇒-2+=[(展开)⇒-2+=[-2++(展开)⇒-2+=-2++（移项）⇒-2+---（合并同类项）⇒---（按x,y顺序提取公因式）⇒（---)（=+，等量代替）-（两边除以）⇒-=1(a>0,b>0)通过以上推导可知，一个方程-=1(a>0,b>0)涵盖了动点M左右两支运动轨迹，而不是一支运动轨迹。
椭圆标准方程推导方法的探究
椭圆标准方程推导方法的探究作者：陈明辉来源：《中学生数理化·学研版》2015年第04期摘要：在多年的数学教学中，我总结了椭圆标准方程的几种推导方法。
由于以前也看到过许多关于椭圆推导的方法，从中总结了一些更加简洁的方法，为更多老师提供一些数学的学习方法。
关键词：椭圆方程；计算方法；探讨在教学课程中，有关椭圆标准方程的推导是根据椭圆的定义：|PF1|+|PF2|=2a，即（x+c）2+y2+（x-c）2+y2=2a通过两次的平方推出标准的方程式x2a2+y2b2=1（a>b>1）其中的推导过程十分复杂，而且对计算水平是一个很大的考验。
本文就介绍了四种有关椭圆方程式的推导方法，以供参考。
一、用具体的方法，删繁就简在最初的数学椭圆教学中，老师可以结合椭圆的定义，在坐标系上绘制椭圆，这时候绘制的椭圆要具有特殊性。
这里所说的特殊性就是指在绘制过程中将椭圆的特殊的点尽可能地全部体现出来，让同学们更加直观地理解椭圆的几何特性，从而丰富学生们对于椭圆的认识，和感受。
在一个平面内，一个动点到两个定点的距离之和等于定长，这样形成的轨迹就叫做椭圆。
如图1所示，在坐标系中两个定点就分别为x轴和y轴。
这样直观的图片表达，先让学生理解一下椭圆的来历，从而进行下一个重点内容的讲解。
由图2可以看到F1、F2两个点这就称为椭圆的焦点，用坐标表示为F1（-c，0），F2（c，0），这是焦点在x轴的坐标。
但是当焦点在y轴的时候则为F1（0，-c），F2（0，c）。
其实无论焦点在哪个轴上其始终关于原点、x轴、y轴对称，这也说明了圆的对称性。
焦点在x轴时：长轴顶点：（-a，0），（a，0），短轴顶点：（0，b），（0，-b）。
焦点在y轴时：长轴顶点：（0，-a），（0，a），短轴顶点：（b，0），（-b，0）。
在这里还需要特别注意，长短轴分别代表哪一条轴，在此容易引起混乱，还需数形结合逐步理解透彻。
通过具体的点的理解进而再对椭圆标准方程的推导可以省去很多不必要的步骤与麻烦。
椭圆的标准方程的推导
椭圆的标准方程的推导椭圆是解析几何中常见的一种曲线，它具有许多独特的性质和特点。
在学习椭圆的过程中，了解其标准方程是非常重要的一步。
本文将对椭圆的标准方程进行推导，希望能够对读者有所帮助。
首先，我们来回顾一下什么是椭圆。
椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
这两个定点称为焦点，常数2a称为长轴的长度。
椭圆还有一个重要的性质，即椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于常数2a。
这个性质将在我们推导椭圆的标准方程时发挥重要作用。
接下来，我们来推导椭圆的标准方程。
假设椭圆的焦点分别为F1（c,0）和F2（-c,0），长轴的长度为2a，短轴的长度为2b。
设椭圆上任意一点为P（x,y）。
根据椭圆的定义，我们可以得到以下关系式：PF1 + PF2 = 2a。
根据点到定点的距离公式，我们可以得到PF1和PF2的表达式：PF1 = √((x-c)² + y²)。
PF2 = √((x+c)² + y²)。
将PF1和PF2代入椭圆的定义式中，得到：√((x-c)² + y²) + √((x+c)² + y²) = 2a。
整理化简后得到：(x-c)² + y² + (x+c)² + y² = 4a²。
x² 2cx + c² + y² + x² + 2cx + c² + y² = 4a²。
2x² + 2y² + 2c² = 4a²。
x² + y² = a² c²。
由于椭圆的定义中，长轴的长度为2a，短轴的长度为2b，且有a² = b² + c²，因此可以得到：a² c² = b²。
椭圆的标准方程及性质
椭圆的标准方程及性质1． 椭圆的两种定义：(1)平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于定长()212F F a >的点的轨迹，即点集M ={P | |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|}；（212F F a =时为线段21F F ，212F F a <无轨迹）.其中两定点F 1，F 2叫焦点，定点间的距离叫焦距.(2)平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹，即点集M ={P | e dPF =，0＜e ＜1的常数}.2． 标准方程：（1）焦点在x 轴上，中心在原点：12222=+b y a x （a ＞b ＞0）；焦点F 1（－c ，0）， F 2（c ，0）.其中22b a c -=（2）焦点在y 轴上，中心在原点：12222=+bx a y （a ＞b ＞0）；焦点F 1（0，－c ），F 2（0，c ）.其中22b a c -=3.椭圆一般方程两种标准方程可用统一形式表示：Ax 2+By 2=1 （A ＞0，B ＞0，A ≠B 当A ＜B 时，椭圆的焦点在x 轴上，A ＞B 时焦点在y 轴上），已知椭圆上的两个点这种形式用起来更方便. 4．共焦点的椭圆标准方程形式上的差异共焦点，则c 相同。
与椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 共焦点的椭圆方程可设为12222=+++mb y m a x )(2b m ->，此类问题常用待定系数法求解。
5.共离心率椭圆方程的椭圆标准方程共离心率，则e 相同。
与椭圆12222=+by a x )0(>>b a 共焦点的椭圆方程可设为 ，6：椭圆12222=+b y a x 与 12222=+bx a y )0(>>b a 的区别和联系标准方程12222=+b y a x )0(>>b a 12222=+b x a y )0(>>b a 图形性质焦点 )0,(1c F -，)0,(2c F),0(1c F -，),0(2c F焦距 c F F 221=c F F 221=范围 a x ≤，b y ≤b x ≤，a y ≤ 对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称顶点)0,(a ±，),0(b ±),0(a ±，)0,(b ±轴长 长轴长=a 2，短轴长=b 2离心率 )10(<<=e ace 准线方程 ca x 2±=ca y 2±=焦半径01ex a PF +=，02ex a PF -=01ey a PF +=，02ey a PF -=x y O F F PA AB 11121222M M K K7．性质：对于椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）如下性质必须熟练掌握：1.范围；②对称轴、对称中心；③顶点；④焦点、焦距；⑤准线方程；⑥离心率. 焦半径c a PF c a PF -=+=min max,. 2.焦准距c b p 2=；两准线间的距离c a 22=；通径长22b a⨯.半通径.3.最大角()12122max F PF F B F ∠=∠4.8.点),(00y x P 与椭圆)0(12222>>=+b a by ax 的位置关系:当12222>+b y a x 时,点P 在椭圆外; 当12222>+b y a x 时,点P 在椭圆内; 当12222=+by a x 时,点P 在椭圆上;9.直线与椭圆的位置关系直线与椭圆相交0>∆⇔;直线与椭圆相切0=∆⇔;直线与椭圆相离0<∆⇔10.弦长公式11．对椭圆方程22221x ya b +=作三角换元可得椭圆的参数方程：⎩⎨⎧θ=θ=sin cos b y a x ，θ为参数．12．有关圆锥曲线弦的中点和斜率问题可利用“点差法”及结论：13对椭圆：12222=+b x a y ，则k AB =2020a xb y -．第三章：直线与方程的知识点倾斜角与斜率1. 当直线l 与x 轴相交时，我们把x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角.当直线l 与x 轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0°. 则直线l 的倾斜角α的范围是0απ≤<.2. 倾斜角不是90°的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值，即tan k θ=. 如果知道直线上两点1122(,),(,)P x y P x y ，则有斜率公式2121y y k x x -=-. 特别地是，当12x x =，12y y ≠时，直线与x 轴垂直，斜率k 不存在；当12x x ≠，12y y =时，直线与y 轴垂直，斜率k =0.注意：直线的倾斜角α=90°时，斜率不存在，即直线与y 轴平行或者重合. 当α=90°时，斜率k =0；当090α︒<<︒时，斜率0k >，随着α的增大，斜率k 也增大；当90180α︒<<︒时，斜率0k <，随着α的增大，斜率k 也增大. 这样，可以求解倾斜角α的范围与斜率k 取值范围的一些对应问题.两条直线平行与垂直的判定1. 对于两条不重合的直线1l 、2l ，其斜率分别为1k 、2k ，有：（1）12//l l 12k k =；（2）12l l ⊥121k k ⋅=-.2. 特例：两条直线中一条斜率不存在时，另一条斜率也不存在时，则它们平行，都垂直于x 轴；….直线的点斜式方程1. 点斜式：直线l 过点000(,)P x y ,且斜率为k ，其方程为00()y y k x x -=-.2. 斜截式：直线l 的斜率为k ，在y 轴上截距为b ，其方程为y kx b =+.3. 点斜式和斜截式不能表示垂直x 轴直线. 若直线l 过点000(,)P x y 且与x 轴垂直,此时它的倾斜角为90°，斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时的直线方程为00x x -=，或0x x =.4. 注意：0y y k x x -=-与00()y y k x x -=-是不同的方程，前者表示的直线上缺少一点000(,)P x y ，后者才是整条直线.直线的两点式方程1. 两点式：直线l 经过两点111222(,),(,)P x y P x y ，其方程为112121y y x x y y x x --=--， 2. 截距式：直线l 在x 、y 轴上的截距分别为a 、b ，其方程为1x ya b+=.3. 两点式不能表示垂直x 、y 轴直线；截距式不能表示垂直x 、y 轴及过原点的直线.4. 线段12P P 中点坐标公式1212(,)22x x y y ++. 直线的一般式方程1. 一般式：0Ax By C ++=，注意A 、B 不同时为0. 直线一般式方程0(0)Ax By C B ++=≠化为斜截式方程A Cy x B B=--，表示斜率为A B -，y 轴上截距为C B -的直线.2. 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线，可设所求方程为10Ax By C ++=；与直线0Ax By C ++=垂直的直线，可设所求方程为10Bx Ay C -+=.3. 已知直线12,l l 的方程分别是：1111:0l A x B y C ++=（11,A B 不同时为0），2222:0l A x B y C ++=（22,A B 不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：（1）1212120l l A A B B ⊥⇔+=； （2）1212211221//0,0l l A B A B AC A B ⇔-=-≠；（3）1l 与2l 重合122112210,0A B A B AC A B ⇔-=-=； （4）1l 与2l 相交12210A B A B ⇔-≠.如果2220A B C ≠时，则11112222//A B C l l A B C ⇔=≠；1l 与2l 重合111222A B CA B C ⇔==；1l 与2l 相交1122A B A B ⇔≠.两条直线的交点坐标1. 一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组1112220A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩. 若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合.2. 方程111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定点就是1110A x B y C ++=与2220A x B y C ++=的交点. 两点间的距离1. 平面内两点111(,)P x y ，222(,)P x y，则两点间的距离为：12||PP =.特别地，当12,P P 所在直线与x 轴平行时，1212||||PP x x =-；当12,P P 所在直线与y 轴平行时，1212||||PP y y =-；点到直线的距离及两平行线距离 1. 点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离公式为d =.2. 利用点到直线的距离公式，可以推导出两条平行直线11:0l Ax By C ++=，22:0l Ax By C ++=之间的距离公式d =，推导过程为：在直线2l 上任取一点00(,)P x y ，则0020Ax By C ++=，即002Ax By C +=-.这时点00(,)P x y 到直线11:0l Ax By C ++=的距离为d =。
§2.2.1 椭圆及其标准方程
b 2 a 2 c 2 10 4 6.
y2 x2 1. 所以所求椭圆的标准方程为 10 6
5、回顾小结 一种方法： 求椭圆标准方程的方法 二类方程:
x2 y2 y2 x2 2 1 2 2 1 a b 0 2 a b a b
三个意识： 求美意识， 求简意识，前瞻意识
M
立坐标系才能使 椭圆的方程简单?
y
M
y M
F1o
y
F2
x
F1 o
y
F2
x
F1 o
yF2xຫໍສະໝຸດ F2F2M
F2
M
o
M
x
F1
o
x
F1
o
x
F1
以 F1 , F2 的中点为坐标原点， F1 , F2 所在直线为 设M(x,y)是椭圆上任意一点 x轴建立直角坐标系，
F1F2 =2C,那么F1 ,F2的坐标分别是 -c,0 , c,0
圆的标准方程？哪些是椭圆的方程。
练习2比较椭圆的两种标准方程并填表
标准方程 不 同 点 图形
焦点坐标 定义 共 同 a、b、c 点 的关系
F1 c,0
F2 c,0
F1 0, c
F2 0, c
c 2 a 2 b2 (a b 0, c 0)
焦点位置 的判定
y A
F1 o F2
B
x
例1 已知△ABC的一边BC固定，长为6，周长为16， 求顶点A的轨迹方程。
解： AB BC AC 16, BC 6
.
y
A
AB AC 10, 且10 BC 根据椭圆的定义知所求轨迹是椭圆， B o C 且B、C为焦点 以BC的中点为原点，BC所在的直线为x轴建立直 角坐标系。 所以可设椭圆的标准方程为 ： x2 y2 2 1(a b 0) 2 a b
椭圆的定义与标准方程
| PF | | PF2 | 10, | F1F2 | 8 1
解：椭圆具有标准方程
因此
x2 y 2 2 1 2 a b
其中 2c 8,2a 10
x2 y2 1 c 4, a 5, b 2 a 2 c 2 25 16 9 所求方程为 25 9
返回
a 2 c 2 0, 设 a 2 c 2 b 2 (b 0),
b2 x 2 a 2 y 2 a 2b2
两边除以 a 2b 2得
椭圆的标准方 程
x2 y2 2 1(a b 0). 2 a b
刚才我们得到了焦点在x轴上的椭圆方程，
如何推导焦点在y轴上的椭圆的标准方程呢？
x2 y2 2 1(a b 0). 2 a b
♦
椭圆的标准方程的特点：
Y M M
Y
F2(0 , c)
F2 (c,0) X O F1(0,-c)
O F1 (-c,0)
X
-
y2 x2 2 1(a b 0) 2 a b （1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1 （2）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。 （3）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。 （4）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在
2010111223
Байду номын сангаас
邹石磊
2013年4月
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♦如何定义椭圆?
圆的定义: 平面上到定点的距离等于定长
的点的集合叫圆.
椭圆的定义: 平面上到两个定点F1, F2的距离之
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∵焦点为 F1(5, 0), F2(5, 0)
∴可设双曲线方程为:
x2 a2
y2 b2
1
(a>0,b>0).
∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.∴b2=52－32=16.
所以点 P 的轨迹方程为 x2 y2 1 ( x ≥ 3) . 9 16
例2.已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸声比在B
答:再增设一个观测点C，利用B、C（或A、C）两处 测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方 程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的 准确位置.这是双曲线的一个重要应用.
* * * * * * 小结 * * * * * *
•
本节课学习了双曲线的定义、图象
和标准方程，要注意使用类比的方法，仿
F1 y
a F1 O c F2 x
定义
||MF1|—|MF2||=2a（2a＜|F1F2|）
图形
M
F1
F2
F2 M
F1
方程
焦点
a.b.c的关 系
x2 a2
y2 b2
1a 0, b 0
F1(-c,0), F2(c,0) c2=a2+b2
ay2焦椭2 点 圆bx位看22 置分1确母a 定大 0：小,b 0
0
x2
y2
1( x 0)
115600 44400
思考 1:若在 A,B 两地同时听到炮弹爆炸声,则炮弹爆 炸点的轨迹是什么?
答: 爆炸点的轨迹是线段 AB 的垂直平分线.
思考 2:根据两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的 时间差，可以确定爆炸点在某条曲线上，但不能确定 爆炸点的准确位置. 而现实生活中为了安全，我们最 关心的是炮弹爆炸点的准确位置，怎样才能确定爆炸 点的准确位置呢?
思考:如果方程 x2 y2 1 表示双 2m m1
曲线，求m的取值范围.
感谢您的聆听！ THANKS FOR YOUR KIND
ATTENTION ！
LOVELL
• 此法为定义法求曲线方程，好处是省去繁 琐的运算。注意使用的步骤（需交代曲线 类型） 。
变式训练 1:已知两定点 F1(5, 0) , F2(5, 0) ,动点 P 满足 PF1 PF2 6 ,求动点 P 的轨迹方程.
解：∵ F1F2 10 >6, PF1 PF2 6
∴ 由双曲线的定义可知， 点 P 的轨迹是双曲线的一支 (右支),
思考：
（2）2a >0 ；
F
1
oF
2
（1）若2a= |F1F2|,则轨迹是？ (1)两条射线
（2）若2a> |F1F2|,则轨迹是？ (2)不表示任何轨迹
（3）若2a=0,则轨迹是？
(3)线段F1F2的垂直平分线
双曲线与椭圆之间的区别与联系：
定义
椭圆
|MF1|+|MF2|=2a (a>c)
双曲线 ||MF1|－|MF2||=2a
地晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.
解: 由声速及在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,可知A地与爆炸点
的距离比B地与爆炸点的距离远680m.因为|AB|>680m,所以爆炸点 的轨迹是以A、B为焦点的双曲线在靠近B处的一支上.
如图所示，建立直角坐标系xOy,使A、B两点在x轴上，并
解：∵ F1F2 10 >6, PF1 PF2 6
∴ 由双曲线的定义可知，点 P 的轨迹是一条双曲线,
∵焦点为 F1(5, 0), F2(5, 0)
∴可设所求方程为:
x2 a2
y2 b2
1
(a>0,b>0).
∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.
所以点 P 的轨迹方程为 x2 y2 1 . 9 16
c2 a2 b2
x2 a2
y2 b2
1a 0, b 0
• 想一想
焦点在y轴上的双曲线的图象是什么？ 标准方程怎样求？
焦点在y轴上的双曲线的标准方程
y2 a2
x2 b2
1a
0,b 0
c2 a2 b2
观察图形 找出图形中a,b,c所表示的几何意义
F2
x c2 y2 x c2 y2 2a
y x c2 2 2a x c2 y2 2
与椭圆标
cx a2 a x c2 y2
准方程推 导过程比
较
c2 a2 x2 a2 y2 a2 c2 a2
F双1(0曲,-c线), 看F2x(20、,cy) 2 的系数正负
焦点位置的 看x2,y2项系数的正负,哪项系数为正,焦点就在哪一条轴上 判定
注:任何一条双曲线,只需选择适当的坐标系,其方程均可写成标准形式,当且仅
当双曲线的焦点在坐标轴上,且两焦点的中点是原点时,其方程才具有标准形式
例 1 已 知 两 定 点 F1(5, 0) , F2(5, 0) , 动 点 P 满 足 PF1 PF2 6 , 求动点 P 的轨迹方程.
照椭圆的定义、图象和标准方程的探究思来自路来处理双曲线的类似问题。
双曲线定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值 等于常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.
| |MF1| - |MF2| | = 2a
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
② |F1F2|=2c ——焦距.
M
说明
（1）2a< |F1F2| ；
（0<a<c)
x2 y2 a2 b2 1
y2 a2
x2 b2
1
x2 a2
y2 = 1 b2
y2 x2 a2 - b2 = 1
F（±c，0） F（0，±c）
焦点
a>b>0，a2=b2+c2
a、b、c 的关系
F（±c，0） F（0，±c）
a>0，b>0，但a不一
定大于b，c2=a2+b2
• 作业布置：《导与练》相应练习
且点O与线段AB的中点重合
设爆炸点P的坐标为(x,y)，
y
P
则 PA PB 340 2 680 即 2a=680，a=340 AB 800
Ao Bx
2c 800,c 400, b2 c2 a2 44400
800 PA PB 680 0 , x 因此炮弹爆炸点的轨迹方程为