七弯曲变形共51页
合集下载
第7章弯曲变形补充ppt课件
B 处位移 BC 的变形量
wB
Ra3 3EI
a Ra
EA
若 BC 杆为刚性杆， 协调条件如何表达？
BC 杆为弹性杆，协 调条件如何表达？
wC C
a
m
A
B wB
F
例 求图示 A 处的支反力。
wC
5qa4 Ra3 24EI 6EI
a Ra
EA
wB
Ra3 3EI
协调条件 w B (aa) wC a
例 求如图外伸梁 A 点的竖向位移。
A a/4
w1
1
a 4
qa3 a qa4 24EI 4 96EI
1
w1
w2
2
a 4
3E a I1 2qa 42a 43q8E 4a4I
w3
q
a4
8EI4
qa4 2048EI
w2
w3
2
ww1w2w3210q5E 4 4a8 I
动脑又动笔 利用已有结果计算 A 点挠度。
EI a
m
A a/ 2
m EI a
A a/ 2
EI a
m
A a/ 2
w1a 23m Ea Ia 2m 6E2aI
w2 m2aE2I2
m2a 8EI
ww1w2 72m4E2aI
例 求图示结构中 A 点的竖向位移。
L
L
P
EA
EI A
L EI
例 求图示结构中 A 点的竖向位移。
L
L
P
EA P
EI A
如何把两者统一起来？
分析和讨论
对于如图的结构，有人认为，梁中弯矩处处相等，故挠度 曲线的曲率处处相等，故有结论：挠度曲线为圆弧。但这一结 论与书上的公式不吻合。对于这种矛盾，正确的理解是：
13+第七章+弯曲变形——材料力学课件PPT
x l
A
F
x l
(x)
(x)
w(x)
B
描述截面上任一点的位移: 1、形心轴的线位移 —— 挠度 w
2、截面绕形心轴的角位移 —— 转角 3、轴向位移可忽略
F 变弯后的梁轴——挠曲轴
F 挠度随坐标变化的方程——挠曲轴方程 w= w(x)
F 忽略剪切变形 + 梁的转角一般很小—— = ’ dw/dx
回顾拉压杆与扭转轴的变形描述
7
第七章 弯曲变形
x l
A
F
x l
(x)
(x)
w(x)
B
8
第七章 弯曲变形
§7-2 挠曲轴近似微分方程 方程推导
Q 中性层曲率表示的弯曲变形公式
1
M EI
（纯弯）
1 M ( x)（推广到非纯弯）
( x) EI
Q 由高等数学知识
1
w( x)
(x)
1 [w( x)]2
弯曲变形：怎样描述？
5
•弯曲变形的特点
第七章 弯曲变形
挠曲轴
轴线变为曲线，变弯后的梁轴，称为挠曲轴， 挠曲轴是一条连续、光滑曲线（可微）
对称弯曲时，挠曲轴为位于纵向对称面的平面曲线 对于细长梁，剪力对弯曲变形影响一般可忽略不计
因而横截面仍保持平面，并与挠曲轴正交
6
第七章 弯曲变形
• 梁变形的描述：
31
一、 载荷叠加法
分解载荷 分别计算位移 求位移之和
19
第七章 弯曲变形
例: 已知EI , 建立该梁的挠曲轴方程
A
x
B M0
C
l/2
l/2
M0 /l
解: 计算约束反力，建立坐标系。
七弯曲变形ppt课件
x
挠曲线方程： w f (x)
转角方程： tan f ( x) d w
dx
四、画绕曲线近似外形的方法 1、思索支座的约束特点
固定端：w = 0,θ = 0
铰支座：w A= 0,wB = 0
2、思索弯矩的变化
弯矩为正，下凸
A
弯矩为负，上凸
弯矩为O的线段，直线 M 弯矩为O的点，拐点
P
P
B
x
例：
q P
A a Ba
•边境条件 x 1 0 ,w A 0 ;x 2 a ,w B 0 ;
•延续条件 x 1 x 2 a ,w 1 w 2 w B , 1 2 B ;
C
P
a
a
•边境条件 x 1 0 ,w A 0 , A 0 ;
•延续条件 x 1 x 2 a ,w 1 w 2 w C , 1 2 C ;
平面曲线(挠曲线) w f (x)
上恣意点的曲率公式。
对于小挠度情形有
dw
2
d x
1
d2w M (x)
dx2
EI
d2w dx2
M (x) EI
d 2w 0 dx 2
d2w M (x) dx2 EI ——挠曲线的近似微分方程
d 2w dx 2 0
d2w dx2
M (x) EI
d2w dx2
w ma xw 1xx0
Pb(l2b2)3 93EzlI
讨论：
〔1〕
AC段：
EEIww I11E PlbIx11Pl bx212C1
EI1wPl bx613C1x1D1
CB段： Ew I2 Pl b x2P(x2a)
Ew 2 IE2IP l x 2 b 2 2P(x2 2a)2C 2
【材料课件】第七章 弯曲变形
x 2x 3 3 l/2 , y2y 3
×
§7–4 叠加法计算弯曲变形
一、简单梁简单荷载下的变形
A EI l
B
m
B
ml EI
,
yB
ml 2 2EI
P
A EI B l q
A EI B l
B
Pl 2 2 EI
,
yB
Pl 3 3EI
B
ql 3 6 EI
例3 用积分法计算图示简支梁的A，B，yC。
q 解：
Ax
C EI
B x M(x)1qlx1qx2, (0xl)
l/2 l/2
22
YA=yql/E 2 'Iy EI Fq B=(q1lx /23lx2E) I"C yq2(x2 lx)
23 2
EIy q(1x4lx3)C xD 212 6
x0,y0; D0
x
x
M
M
M
M
y
M0
y" 0
y
M0
y" 0
y" M(x) EI
这就是梁的挠曲线近似微分方程，由此微分方程积分一 次可求转角，再积分一次可求挠度。
×
§7–3 积分法计算弯曲变形
为计算方便，将挠曲线近似微分方程改写为
EI"yM(x)
E' IE y I M (x)d x C 转角方程 E I yM (x )dx C d x D x 挠度方程
转角方程 挠度方程
B2q E(Il2lll21 3l3)6 qE 3lI
yB2q E(1 2 Il2l21 3ll31 12 l4)8 q E 4lI
×
例2 求图示外伸梁B 截面的转角和C 截面的挠度。
《弯曲变形》课件2
航空航天器中的弯曲变形控制
总结词
航空航天器中，弯曲变形控制对于确保 飞行器的气动性能和结构稳定性至关重 要。
VS
详细描述
在航空航天领域，弯曲变形控制涉及到飞 机和航天器的整体和局部结构的刚度和稳 定性要求。为了减小弯曲变形，需要采取 一系列的设计和控制措施，如优化结构设 计、加强材料和制造工艺的控制等。这有 助于提高飞行器的性能和安全性。
感谢观看
THANKS
弯曲变形的定义
01
02
03
弯曲变形
物体在受到外力作用时， 其形状发生改变的现象。
弯曲变形的程度
与外力的大小、物体的材 料性质和受力方式等因素 有关。
弯曲变形的特点
物体在受力后发生弯曲， 但内部结构并未发生破坏 或永久性变形。
弯曲变形的应用场景
桥梁工程
桥梁在车辆和风载等外力作用下会发 生弯曲变形，但设计合理的桥梁结构 能够保证安全性和稳定性。
几何方程
描述了物体形状的变化和 应变之间的关系。
弯曲变形的能量平衡方程
应变能
物体因弯曲变形而储存的能量， 与应力和应变有关。
外力势能
物体受到的外力与位移有关，可以 转化为势能。
能量平衡方程
描述了物体在弯曲变形过程中能量 的变化和平衡。
弯曲变形的有限元分析
有限元模型
将物体划分为有限个小的单元 ，每个单元有一定的属性和行
分析
对实验结果进行统计分析，研究弯曲变形的规律和特点。通过对比不同材料和规 格的试样，分析其抗弯性能和影响因素。结合理论分析，探讨弯曲变形的本质和 机理。
06
弯曲变形的实际应用案例
桥梁工程中的弯曲变形控制
总结词
桥梁工程中，弯曲变形控制是确保结构安全和稳定的关键因素。
ch7 弯曲变形(3rd)
第七章 弯曲变形7-2 图示外伸梁AC ，承受均布载荷q 作用。
已知弯曲刚度EI 为常数，试计算横截面C的挠度与转角，。
题7-2图解：1. 建立挠曲轴近似微分方程并积分 支座A 与B 的支反力分别为23 ,2qaF qa F By Ay ==AB 段（0≤x 1≤a ）：121122d d x EI qa x w -=121114d d C x EIqa x w +-= (a)11131112D x C x EIqa w ++-= (b)BC 段（0≤x 2≤a ）：2222222d d x EI q x w -=232226d d C x EIq x w +-= (c)22242224D x C x EIq w ++-= (d)2. 确定积分常数 梁的位移边界条件为0 0 11==w x 处，在(1)0 11==w a x 处，在(2)连续条件为 2121 w w a x x ===处，在(3)221121d d d d x w x w a x x -===处，在(4)由式（b ）、条件（1）与（2），得01=D ， EIqa C 1231=由条件（4）、式（a ）与（c ），得EIqa C 332= 由条件（3）、式（b ）与（d ），得EIqa D 24742-= 3. 计算截面C 的挠度与转角将所得积分常数值代入式（c ）与（d ），得CB 段的转角与挠度方程分别为 EI qa x EI q 36332+-=2θEIqa x EI qa x EI q w 247324423422-+-= 将x 2=0代入上述二式，即得截面C 的转角与挠度分别为() 33EI qa C =θ()↓-= 2474EIqa w C7-3 图示各梁，弯曲刚度EI 均为常数。
试根据梁的弯矩图与约束条件画出挠曲轴的大致形状。
题7-3图解：各梁的弯矩图及挠曲轴的大致形状示如图7-3。
图7-37-6 图示简支梁，左、右端各作用一个力偶矩分别为M 1与M 2的力偶。
【材料课件】第七章 弯曲变形
第七章
弯曲变形
挠度和转角
工程背景
希望产生足够 量的弯曲位移
弯曲位移不能 超过一定数值
整体变形
梁的轴线变成 光滑连续曲线
挠度和转角
挠度(v)：横截面形心在y与轴方向上的位移。
挠曲线方程
v = f(x )
转角(θ)：横截面相对于变形前的初始位置所转过的角度。 y
tan
P
dv f ( x ) dx
弯矩方程分段与积分常数
梁上无载荷突变：M(x)为一个函数 积分常数由支承条件确定。 梁上有载荷突变：M(x)为多个函数，分段积分 积分常数由支承条件、连续条件确定。
积分法求梁的变形的解题步骤
确定支座反力 根据梁上荷载状况，分段列出弯矩方程 分段积分 确定积分常数 确定转角和挠度方程 确定转角和挠度的最大值
Pb Pab( l b) 2 2 x1 0 A (l b ) 6 EIl 6 EIl Pab( l a ) x2 l B 6 EIl Pab( l a ) 若a b, max B 6 EIl
y
B
0 v vmax
x
O
v
x 0, v 0 x l, v 0
B
l
x
A
例题1
v
解：1.求支座反力，列弯矩方程
x
ql 2 q 3 EIv1 x x C 4 6 2.确定积分常数 ql q 3 边界条件： v(0) v(l ) 0 EIv x x 4 Cx D 12 24 ql 3
挠曲线近似微分方程
小挠度情形下 ( dv )2 << 1
dx d2 v dx2 M(x) ＝± EI dv 2 3/2 [1+( ) ] dx
弯曲变形
挠度和转角
工程背景
希望产生足够 量的弯曲位移
弯曲位移不能 超过一定数值
整体变形
梁的轴线变成 光滑连续曲线
挠度和转角
挠度(v)：横截面形心在y与轴方向上的位移。
挠曲线方程
v = f(x )
转角(θ)：横截面相对于变形前的初始位置所转过的角度。 y
tan
P
dv f ( x ) dx
弯矩方程分段与积分常数
梁上无载荷突变：M(x)为一个函数 积分常数由支承条件确定。 梁上有载荷突变：M(x)为多个函数，分段积分 积分常数由支承条件、连续条件确定。
积分法求梁的变形的解题步骤
确定支座反力 根据梁上荷载状况，分段列出弯矩方程 分段积分 确定积分常数 确定转角和挠度方程 确定转角和挠度的最大值
Pb Pab( l b) 2 2 x1 0 A (l b ) 6 EIl 6 EIl Pab( l a ) x2 l B 6 EIl Pab( l a ) 若a b, max B 6 EIl
y
B
0 v vmax
x
O
v
x 0, v 0 x l, v 0
B
l
x
A
例题1
v
解：1.求支座反力，列弯矩方程
x
ql 2 q 3 EIv1 x x C 4 6 2.确定积分常数 ql q 3 边界条件： v(0) v(l ) 0 EIv x x 4 Cx D 12 24 ql 3
挠曲线近似微分方程
小挠度情形下 ( dv )2 << 1
dx d2 v dx2 M(x) ＝± EI dv 2 3/2 [1+( ) ] dx
第6章弯曲变形[51页]
![第6章弯曲变形[51页]](https://img.taocdn.com/s3/m/8b184a2d0b1c59eef8c7b481.png)
ql 4 EI
A
x
FA
支座转角
A x0
1 ql3 24 EI
y
（顺）
q
Bx
FB l
B xl 1 ql3 （逆）
24 EI
2020/5/22
14
李章政、陈妍如、侯蕾主编《材料力学》(新1版)—武汉理工大学出版社
例6-2
求图示悬臂梁自由端的转角和挠度。
解
（1）写内力函数并积分
M (x) M
x
D2
边界条件
x
F
A
Bx
C
x 0, v 0 : D1 0 RA
a l
b RB
y
x l,v 0:
Fb 6
l2
1 6
F (l
a)3
C2l
D2
0
2020/5/22
18
李章政、陈妍如、侯蕾主编《材料力学》(新1版)—武汉理工大学出版社
C处光滑、连续条件
x a,l r :
Fb 2l
a2
C1
Fb 2l
C1 EI
Fab (l b) 6EIl
B
(l)
1 EI
Fb 2
l
1 2
F (l
a)2
C2
Fab (l a) 6EIl
c
(a)
Fab 3EIl
(a
b)
2020/5/22
20
李章政、陈妍如、侯蕾主编《材料力学》(新1版)—武汉理工大学出版社
最大挠度
因A处转角与C处转角反号，故挠度的极值当
Strength of Materials
李章政、陈妍如、侯蕾主编《材料力学》(新1版)—武汉理工大学出版社
弯曲变形PPT学习教案
l
14Fl 3 3EI
（向下）
B2
D1
2Fl2 EI
（顺时针）
第40页/共82页
材料力学
40
将相应的位移进 行叠加，即得：
一、载荷叠加：多个载荷同时作用于结构而引起的变形
等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和。
(F1、F2、Fn ) 1(F1) 2(F2) n(Fn)
f (F1、F2、Fn ) f1(F1) f2(F2) fn (Fn )
二、结构形式叠加（逐段刚化法）
第25页/共82页
材料力学
25
叠加法前 提
第8页/共82页
材料力学
8
②积分常数的确定——边界条件和连 续条件 ： 边 界 条 件 ：梁在其支承处的挠度或转角是已知的，这样的已知 条件称 为边界 条件。 连 续 条 件 ：梁的挠曲线是一条连续、光滑、平坦的曲线。因此 ，在梁 的同一 截面上 不可能 有两个 不同的 挠度值 或转角 值，这 样的已 知条件 称为连 续条件 。
21
应用位移边界条件求积分常数
a
F
EIv(0)
1 6
Fa3
C2
0
l
x
EI
(0)
1 2
Fa 2
C1
0
y
(a ) (a ) C1 D1
v(a ) v(a ) C1a C2 D1a D2
C1
D1
1 Fa2 2
;
C2
D2
1 Fa3 6
第22页/共82页
材料力学
22
写出弹性曲线方程并画出曲线
f
(x)
F
6EI
F
6EI
(a x)3 3a2 x 3a2 x a3
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
y
P
Ew IPx2PlxC 2
EIw Px3Plx2C xD 62
A
x l
B
x
由边界条件： x0 时w ， 0,w 0
CD 0
最大转角和最大挠度分别为：
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
Px (x2l)
2EI w Px2 (x3l)
6EI
max
B
Pl2 2EI
wmaxwB
Pl3 3EI
例：试求图示简支梁的弯曲变形（抗弯刚度:EIz） y
x
挠曲线方程： w f (x)
转角方程： tan f ( x) d w
dx
四、画绕曲线近似形状的方法 1、考虑支座的约束特点
固定端：w = 0,θ = 0
铰支座：w
=
A
0,w =
B
0
2、考虑弯矩的变化
弯矩为正，下凸
A
弯矩为负，上凸
弯矩为O的线段，直线 M 弯矩为O的点，拐点
P
P
B
x
例：
M
a
Pb
解：1.求支反力、写出弯矩方程；
AC段： M 1 RPlbAxx11
0x1 a
CB段： M 2 P R lA bx x2 2PP ((xx 22 aa )) ax2 l
2.列出挠曲线微分方程，并积分；
C
A
x1
x2
l
Pb RA l 3.列出边界条件；
x
B
Pa RB l
Ew IM(x) AC段：
第七章 弯曲变形
§7.1 概述
一、工程中的弯曲实例
在工程实践中，对某些受弯构件，除要求具有足够的强度外，还要求 变形不能过大，即要求构件有足够的刚度，以保证结构或机器正常工作。
摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大，就会影响零件的加工精度， 甚至会出现废品。
桥式起重机的横梁变形过大,则会使小车行走困难，出现爬坡现象。
方程、挠曲线方程，并确定θmax和wmax。
Ew IM(x) 解： Ew Iqlxqx2
y
22
Ew Iqlx2qx3C 46
EIw qxl3qx4C xD
x
12 24
M(x)qlxqx2 22
q
x
l
由边界条件： x0时，w0 xl时，w0
最大转角和最大挠度分别为：
得： Cql3 , D0 24
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
E2 I w P l x 6 b 2 3P(x2 6a)3C 2x2D 2
由边界条件，可求得
C1C2P 6lb(l2b2) D1D2 0
最后得转角方程和挠曲线方程为：
AC段： (0x1a)
E Ew I11 I w E P z6lI1 b1 (lx 2P 6lb2 (b l 2 x12b )23x1 2)
EIw1
Pb l
x1
Ew I1EzI1Pl bx212C1
EI1wPl bx613C1x1D1
x1 0时, w1 0
x2 l时, w2 0 4.连续性条件；
当 x1x2a时 , w1 w2 (1 2)
w1 w2
Ew I2 Pl b x2P(x2a)
由连续性条件，可求得
C1 C2
D1 D2
CB段： Ew 2 IE2IP l x 2 b 2 2P(x2 2a)2C 2
平面曲线(挠曲线) w f (x)
上任意点的曲率公式。
对于小挠度情形有
dw
2
d x
1
d2w M (x)
dx2
EI
d2w dx2
M (x) EI
d 2w 0 dx 2
d2w M (x) dx2 EI ——挠曲线的近似微分方程
d 2w dx 2 0
d2w dx2
M (x) EI
d2w dx2
PL 2
M pa
P PL
2
PL 2
x
P
qa2
2
q
M
qa
x qa 2 2
x
pa
§7.2 挠曲线近似微分方程及其积分
一、挠曲线近似微分方程的导出
力学公式 数学公式
1 M z(x) EIz
d 2w
1
dx2
[1 ( d w ) 2 ]3 / 2
dx
纯弯曲梁变形后中性层的曲率 公式，对于横力弯曲（l>5h） 可近似使用。EIZ称为梁的抗 弯刚度。
但在另外一些情况下，有时却要求构件具有较大的弹性变形，以满足 特定的工作需要。
例如，车辆上的叠板弹簧，要求有足够大的变形，以缓解车辆受到的 冲击和振动作用。
P
P
2
2
P
二、计算弯曲变形的目的
1、研究刚度 控制变形：齿轮轴，镗刀杆 使用变形：叠板弹簧，跳水板
2、解静不定问题 3、确定弯曲的动载系数。
CB段： (ax2l)
ya
A
x1
RA
E w 2 IEz2 IP 6 l(lb 2 b 2 3 x2 2)
3l b
(x2
a)2
Pb
C
x
x2
B
l
RB
E2 I w P 6l b (l2b23x2 2)x2
q (6lx24x3l3)
24EI w qx(2lx2x3l3)
2E 4 I
maxAB
ql3 24EI
wmaxwxl 2
5ql4 384EI
例： 已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示悬臂梁在集中力P作用下的转角方
程、挠曲线方程，并确定θmax和wmax。
解：Ew IM(x) Ew IPxPl
M (x)P (lx)
三、弯曲变形的基本概念
纵向对称面
1、挠曲线
对称轴 轴线
梁在平面弯曲时，其轴线在载荷作用平面（纵向对称面） 内，变成了一条曲线，该曲线称为挠曲线。
特点： 连续光滑 表示： w=f(x)，它是坐标x的连续函数。
2.挠度和转角 : 是度量弯曲变形的两个基本量
y
规定：向上的挠度为正 逆时针的转角为正
w x
确定积分常数： （1）边界条件
固定端：w = 0,θ = 0
铰支座：w
=
A
0,w =
B
0
（2）连续性条件
梁的挠曲线是一条连续而光滑的曲线，因此在挠曲线的
任一点处（如：弯矩方程的分界处，截面的突变处）左右 两截面的转角和挠度均相等。
A
例： 已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁在均布载荷q作用下的转角
M (x) EI
二、积分法求弯曲变形
由挠曲线近似微分方程，
dw dx
M(x) EI
d
xC
d2w M (x) dx2 EI
得：
w
M(x) EI
d
x Cd x D
对于等截面直梁，有：
EIM(x)dxC
EIw M(x)dxdxCxD
说明：
（1）若M（x）方程 或 EI有变化，则应分段。 （2）C、D为积分常数，由边界条件和连续性条件确定。
七弯曲变形
16、自己选择的路、跪着也要把它走 完。 17、一般情况下)不想三年以后的事， 只想现 在的事 。现在 有成就 ，以后 才能更 辉煌。
18、敢于向黑暗宣战的人，心里必须 充满光 明。 19、学习的关键--重复。
20、懦弱的人只会裹足不前，莽撞的 人只能 引为烧 身，只 有真正 勇敢的 人才能 所向披 靡。
P
Ew IPx2PlxC 2
EIw Px3Plx2C xD 62
A
x l
B
x
由边界条件： x0 时w ， 0,w 0
CD 0
最大转角和最大挠度分别为：
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
Px (x2l)
2EI w Px2 (x3l)
6EI
max
B
Pl2 2EI
wmaxwB
Pl3 3EI
例：试求图示简支梁的弯曲变形（抗弯刚度:EIz） y
x
挠曲线方程： w f (x)
转角方程： tan f ( x) d w
dx
四、画绕曲线近似形状的方法 1、考虑支座的约束特点
固定端：w = 0,θ = 0
铰支座：w
=
A
0,w =
B
0
2、考虑弯矩的变化
弯矩为正，下凸
A
弯矩为负，上凸
弯矩为O的线段，直线 M 弯矩为O的点，拐点
P
P
B
x
例：
M
a
Pb
解：1.求支反力、写出弯矩方程；
AC段： M 1 RPlbAxx11
0x1 a
CB段： M 2 P R lA bx x2 2PP ((xx 22 aa )) ax2 l
2.列出挠曲线微分方程，并积分；
C
A
x1
x2
l
Pb RA l 3.列出边界条件；
x
B
Pa RB l
Ew IM(x) AC段：
第七章 弯曲变形
§7.1 概述
一、工程中的弯曲实例
在工程实践中，对某些受弯构件，除要求具有足够的强度外，还要求 变形不能过大，即要求构件有足够的刚度，以保证结构或机器正常工作。
摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大，就会影响零件的加工精度， 甚至会出现废品。
桥式起重机的横梁变形过大,则会使小车行走困难，出现爬坡现象。
方程、挠曲线方程，并确定θmax和wmax。
Ew IM(x) 解： Ew Iqlxqx2
y
22
Ew Iqlx2qx3C 46
EIw qxl3qx4C xD
x
12 24
M(x)qlxqx2 22
q
x
l
由边界条件： x0时，w0 xl时，w0
最大转角和最大挠度分别为：
得： Cql3 , D0 24
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
E2 I w P l x 6 b 2 3P(x2 6a)3C 2x2D 2
由边界条件，可求得
C1C2P 6lb(l2b2) D1D2 0
最后得转角方程和挠曲线方程为：
AC段： (0x1a)
E Ew I11 I w E P z6lI1 b1 (lx 2P 6lb2 (b l 2 x12b )23x1 2)
EIw1
Pb l
x1
Ew I1EzI1Pl bx212C1
EI1wPl bx613C1x1D1
x1 0时, w1 0
x2 l时, w2 0 4.连续性条件；
当 x1x2a时 , w1 w2 (1 2)
w1 w2
Ew I2 Pl b x2P(x2a)
由连续性条件，可求得
C1 C2
D1 D2
CB段： Ew 2 IE2IP l x 2 b 2 2P(x2 2a)2C 2
平面曲线(挠曲线) w f (x)
上任意点的曲率公式。
对于小挠度情形有
dw
2
d x
1
d2w M (x)
dx2
EI
d2w dx2
M (x) EI
d 2w 0 dx 2
d2w M (x) dx2 EI ——挠曲线的近似微分方程
d 2w dx 2 0
d2w dx2
M (x) EI
d2w dx2
PL 2
M pa
P PL
2
PL 2
x
P
qa2
2
q
M
qa
x qa 2 2
x
pa
§7.2 挠曲线近似微分方程及其积分
一、挠曲线近似微分方程的导出
力学公式 数学公式
1 M z(x) EIz
d 2w
1
dx2
[1 ( d w ) 2 ]3 / 2
dx
纯弯曲梁变形后中性层的曲率 公式，对于横力弯曲（l>5h） 可近似使用。EIZ称为梁的抗 弯刚度。
但在另外一些情况下，有时却要求构件具有较大的弹性变形，以满足 特定的工作需要。
例如，车辆上的叠板弹簧，要求有足够大的变形，以缓解车辆受到的 冲击和振动作用。
P
P
2
2
P
二、计算弯曲变形的目的
1、研究刚度 控制变形：齿轮轴，镗刀杆 使用变形：叠板弹簧，跳水板
2、解静不定问题 3、确定弯曲的动载系数。
CB段： (ax2l)
ya
A
x1
RA
E w 2 IEz2 IP 6 l(lb 2 b 2 3 x2 2)
3l b
(x2
a)2
Pb
C
x
x2
B
l
RB
E2 I w P 6l b (l2b23x2 2)x2
q (6lx24x3l3)
24EI w qx(2lx2x3l3)
2E 4 I
maxAB
ql3 24EI
wmaxwxl 2
5ql4 384EI
例： 已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示悬臂梁在集中力P作用下的转角方
程、挠曲线方程，并确定θmax和wmax。
解：Ew IM(x) Ew IPxPl
M (x)P (lx)
三、弯曲变形的基本概念
纵向对称面
1、挠曲线
对称轴 轴线
梁在平面弯曲时，其轴线在载荷作用平面（纵向对称面） 内，变成了一条曲线，该曲线称为挠曲线。
特点： 连续光滑 表示： w=f(x)，它是坐标x的连续函数。
2.挠度和转角 : 是度量弯曲变形的两个基本量
y
规定：向上的挠度为正 逆时针的转角为正
w x
确定积分常数： （1）边界条件
固定端：w = 0,θ = 0
铰支座：w
=
A
0,w =
B
0
（2）连续性条件
梁的挠曲线是一条连续而光滑的曲线，因此在挠曲线的
任一点处（如：弯矩方程的分界处，截面的突变处）左右 两截面的转角和挠度均相等。
A
例： 已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁在均布载荷q作用下的转角
M (x) EI
二、积分法求弯曲变形
由挠曲线近似微分方程，
dw dx
M(x) EI
d
xC
d2w M (x) dx2 EI
得：
w
M(x) EI
d
x Cd x D
对于等截面直梁，有：
EIM(x)dxC
EIw M(x)dxdxCxD
说明：
（1）若M（x）方程 或 EI有变化，则应分段。 （2）C、D为积分常数，由边界条件和连续性条件确定。
七弯曲变形
16、自己选择的路、跪着也要把它走 完。 17、一般情况下)不想三年以后的事， 只想现 在的事 。现在 有成就 ，以后 才能更 辉煌。
18、敢于向黑暗宣战的人，心里必须 充满光 明。 19、学习的关键--重复。
20、懦弱的人只会裹足不前，莽撞的 人只能 引为烧 身，只 有真正 勇敢的 人才能 所向披 靡。