平行线四大模型

平行线四大模型
1、平行线的判定
根据平行线的定义，如果平面内的两条直线不相交，就可以判断这两条直线平行，但是，由于直线无限延伸，检验它们是否相交有困难，所以难以直接根据定义来判断两条直线是否平行，这就需要更简单易行的判定方法来判定两直线平行．判定方法1：
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．
简称：同位角相等，两直线平行．
判定方法2：
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．
简称：内错角相等，两直线平行，
判定方法3：
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
简称：同旁内角互补，两直线平行，
如上图：
若已知∠1=∠2，则AB∥CD（同位角相等，两直线平行）；
若已知∠1=∠3，则AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；
若已知∠1+∠4=180°，则AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．
另有平行公理推论也能证明两直线平行：
平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
2、平行线的性质
利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以判定两条直线平行．反过来，如果已知两条直线平行，当它们被第三条直线所截，得到的同位角、内错角、同旁内角也有相应的数量关系，这就是平行线的性质．
性质1：
两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．
简称：两直线平行，同位角相等
性质2：
两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.
简称：两直线平行，内错角相等
性质3：
两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．
简称：两直线平行，同旁内角互补
平移
3.平移是指在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做图形的平移（translation），简称平移。

4.平移的性质
经过平移，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行且相等；平移变换不改变图形的形状、大小和方向(平移前后的两个图形是全等形)。

（1）图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化;
（2）图形平移后，对应点连成的线段平行且相等（或在同一直线上）
（3）多次平移相当于一次平移。

（4）多次对称后的图形等于平移后的图形。

（5）平移是由方向，距离决定的。

经过平移，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行且相等。

平行线四大模型
模型一“铅笔”模型
点P 在EF 右侧，在AB 、
CD
内部
“铅笔”模型
结论1：若AB ∥CD ，模型二“猪蹄”模型（M 模型）点P 在EF 左侧，在AB 、
CD 内部
“猪蹄”模型
结论1：若AB ∥CD ，则
模型三“臭脚”模型
点P 在EF 右侧，在AB
、CD 外部
“臭脚”
模型
结论1：若AB ∥CD ，模型四“骨折”模型
点P 在EF 左侧，在AB 、
CD 外部
“骨折”模型
结论1：若AB ∥CD ，
【例题精讲】
【例1】
如图，射线AC∥BD，∠A=70°，∠B=40°，则
∠P=．
【课堂练习】
如图，已知AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE=140°，则
∠BCD=.
【例2】如图，已知AB∥DE，BF、DF分别平分∠ABC、∠CDE，求∠C、∠F的关系.
【例3】如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC．求证：∠E=2(∠A+∠C).
【例4】如图，∠3==∠1+∠2，求证：∠A+∠B+∠C+∠D=180°．
【例5】如图，直线AB∥CD，∠EFA=30°，∠FGH=90°，
∠HMN=30°，∠CNP=50°，则∠GHM=.
求证：AB∥EF．
【例7】如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置，AB=10，DH=4，平移距离为6，求阴影部分的面积．
证:AB∥EF
（3）已知∠P=∠AEP—∠CFP，求证AE∥CF.
（4）已知∠P=∠CFP—∠AEP，求证AE//CF.
【应用】
1、如图所示，AB∥CD，∠E=37°，∠C=20°，则∠EAB的度数为．
2、如图，AB∥CD，∠B=30°，∠O=∠C．则∠C=.
3、如图，已知AB∥DE，∠FBC=n1∠ABF，∠FDC=n1∠FDE.
(1)若n=2,直接写出∠C、∠F的关系；
(2)若n=3，试探宄∠C、∠F的关系；
(3)直接写出∠C、∠F的关系（用含n的等式表示）.
4、如图，己知AB∥DE，BF、DF分别平分∠ABC、∠CDE，求∠C、∠F的关系.
5、如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于E，AE⊥DE，∠l+∠2=90°，M、N分别是BA、CD的延长线上的点，∠EAM 和∠EDN的平分线相交于点F则∠F的度数为（）．A.120° B.135° C.145° D.150°
6、如图，直线AB∥CD，∠EFG=100°，∠FGH=140°，则∠AEF+∠CHG=.
7、已知AB∥EF，求∠l-∠2+∠3+∠4的度数.
8、如图所示，两直线AB∥CD平行，求
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6．
9、(1)如图(l)，已知MA1∥NAn，探索∠A1、∠A2、…、∠An，∠B1、∠B2…∠Bn-1之间的关系．
(2)如图(2)，己知MA1∥NA4，探索∠A1、∠A2、∠A3、∠A4，∠B1、∠B2之间的关系．
(3)如图(3)，已知MA1∥NAn，探索∠A1、∠A2、…、∠An 之间的关系．
10.如图所示,AB∥CD,∠CFE的平分线与∠EGB平分线的反向延长线交于点P,若∠E=20∘，则∠FPH的度数为多少?
11.已知：直线AB∥CD，点M，N分别在直线AB，CD上，点E为平面内一点。

(1)如图1，探究∠AME，∠E，∠ENC的数量关系；并加以证明。

(2)如图2,∠AME=30∘,EF平分∠MEN,NP平∠ENC,EQ∥NP，求∠FEQ的度数。

12.AB∥CD,C在D的右侧,BE平分∠ABC,DE平分∠ADC,BE、DE所在直线交于点E.∠ADC=70∘.
(1)求∠EDC的度数；
(2)若∠ABC=n∘,求∠BED的度数(用含n的代数式表示)；
(3)将线段BC沿DC方向移动,使得点B在点A的右侧,其他条件不变,若∠ABC=n∘,求∠BED的度数(用含n的代数式表示).。