哈密顿图

定义4.3.1 经过图G 的每个顶点恰一次的路称为G 的Hamilton 路，简称为H 路。

经过图G 的每个顶点恰一次的圈称为G 的Hamilton 圈，简称为H 圈。

具有Hamilton 圈的图称为Hamilton 图，简称为H 图。

Hamilton 图的研究起源于一种十二面体上的游戏。

1857 年，爱尔兰著名数学家William Rowan Hamilton 爵士（他也是第一个给出复数的代数描述的人）制作了一种玩具，它是一个木制的正十二面体，在正十二面体的每个顶点上有一个木栓，并标有世界著名城市的名字。

游戏者用一条细线从一个顶点出发，设法沿着十二面体的棱找出一条路，通过每个城市恰好一次，最后回到出发点。

这个游戏当时称为Icosian 游戏，也称为周游世界游戏。

将正十二面体从一个面剖开并铺展到平面上得到的图形如下图所示，称为十二面体图。

周游世界游戏用图论术语来说就是判断十二面体图是否Hamilton 图，并设法找出其Hamilton 圈。

其中一条Hamilton 圈如图中粗边所示。

十二面体图是H 图
判断一个图是否Hamilton 图与判断一个图是否Euler 图似乎很相似，然而二者却有本质
的不同。

目前为止尚没有找到判别一个图是否是Hamilton 图的有效充要条件。

这是图论和计算机科学中未解决的重要难题之一。

本节给出一些经典的充分条件和必要条件。

一、必要条件
定理4.3.1 设G 是二部图，若G 是H 图，则G 必有偶数个顶点。

证明：设G = (X, Y ) ，由于G 的边全在X 和Y 之间，因此如果G 有Hamilton 圈C，则G
的所有顶点全在C 上，且必定是X 的点和Y 的点交替在C 上出现，因此G 必有偶数个顶点。

证毕。

这个定理给出了一个二部图不是Hamilton 图的简单判断条件：如果一个二部图有奇数
个顶点，则它必定不是Hamilton 图。

例如，下列Herschel 图是二部图，但有奇数个顶点，故不是H 图。

Herschel 图不是H 图
定理4.3.2 若G 是H 图，则对V(G)的每个非空真子集S，均有：
连通分支数W(G－S) ≤| S |。

证明：设C 是G 的H 圈，则对V(G)的每个非空真子集S，均有
W(C－S) ≤| S |.
由于C－S 是G－S 的生成子图，故W(G－S)≤W(C－S)≤| S |. 证毕。

利用定理4.3.2 可判断下面(1)中的图不是H 图。

事实上，令S={u, v, w}，则
W(G－S) = 4 > | S |。

但无法用该定理给出的必要条件来判断(2)中的Petersen 图不是H 图。

二、充分条件
（1）度型条件
定理4.3.3(Dirac, 1952) 若G是简单图，且ν≥3，δ≥v/2，则G 是Hamilton 图。

证明用反证法：假定定理不真。

令
A = {G |G的顶点数为V≥3，δ≥v/2 ，且G 是非Hamilton 图}。

从A中取出边最多的一个，记为G。

因ν≥3，故不是完全图（否则G是Hamilton 图）。

设
u 和v 是G 的不相邻顶点。

由G 的选择，G＋uv 是Hamilton 图。

因G 是非Hamilton 图，故G＋uv 的H 圈必经过e = uv。

于是G 中存在以u 为起点v 为终点的Hamilton 路νv1v2.。

v 。

这里v = u ，v v = v 令S={V i|uv i+1∈E}和T={v|v i v∈E}。

由于v v∉S ∪T ，故| S ∪T |<ν，并且| S ∩T |= 0（因为若∃v i∉S ∪T，则G将包含H圈v1v2…v i v v v i-1…v i+1v1，矛盾）。

故d(u) + d(v) =| S | + | T |=| S ∪T | + | S ∩T |<ν，这与δ≥v/2 的前提矛盾。

证毕。

(2) 闭包型条件
Ore 注意到，上述Dirac 定理的证明过程中，条件δ≥v/2 仅仅用来证明对不相邻顶点u,v，有d(u) + d(v) ≥ν成立。

因此可以将图存在Hamilton 圈的条件由δ≥v/2 弱化为d(u) + d(v) ≥ν。

这样便得到下述定理。

定理4.3.4（Ore，1960）[1] 设G是简单图，u 和v 是G中不相邻的顶点，且d(u) + d(v) ≥
ν，则G 是Hamilton 图当且仅当G＋uv 是Hamilton 图。

证明：必要性是显然的。

充分性：若G＋uv 是Hamilton 图而G 不是，则与定理4.3.3 一样可推出矛盾。

证毕。

Bondy 和Chvátal 用更一般的形式表述了Ore 观察到的实质，得到了图存在长度为k
的圈和其它子图的充分条件( k =υ时便是Hamilton 圈)[2]。

他们用到了闭包的概念。

定义：图G 的闭包（closure）是指由如下方法所得之图：反复连接G 中度之和不小于ν的
不相邻顶点对，直到没有这样的顶点对为止。

图G 的闭包通常记为C(G)。

例如，对下列两图，前一个图的闭包是它自己，后一个图的闭包是完全图K5。

定理4.3.5 G 的闭包C(G)是唯一确定的。

证明：设G1,G2是按闭包构成方法从G所得的两个闭包。

用e1，e 2, …e m和f1, f 2…f n分别表示在构作G1,G2过程中给G 添加边的序列。

我们用反证法来证明每个e i一定是G2 的边，且每个f j一定是G1的边。

假设e1，e 2, …e m中有不属于G 的边，取序列中第一条不属于G2 的边设为e k =uv ，
令
H=G+{e1，e 2, …e k+1}
由G1的定义知，d H(u) + d H (v) ≥ν。

但H也是G2的子图，因此由d H(u) + d H (v) ≥ν知，d G2(u) + d G 2(v) ≥ν。

而由e k的选择，u、v 在G2中是不相邻的，这与G2是闭包矛
盾。

故每条e i都必是G2的边。

同理可证，每条j f 一定是1 G 的边。

这说明图G 的闭包是唯一的。

证毕。

定理4.3.6（Bondy & Chvátal,1976）[2] 一个简单图是Hamilton 图当且仅当它的闭包是Hamilton 图。

证明：在构作闭包过程中，反复运用定理4.3.4 即可。

证毕。

根据该定理，下一个结论是显然的。

推论4.3.1 设G是ν≥3的简单图。

若C(G)是完全图，则G是Hamilton 图。

定理4.3.2 后的例子改动一条边后所得的如下图，可以检验它的闭包是完全图，因而是Hamilton 图。

（3）度序列条件
Chvátal 发现，如果图G 满足：若有某些顶点的度比较小，则就有相应另一些顶点的度 足够大，那么G 就会成为Hamilton 图。

具体来说，设简单图G 的顶点度为d 1≤d 2≤…≤d v 如果对任意正整数
m>v/2 ，要么d m > m ，要么d v -m<v-m ，则G 是Hamilton 图。

这个
结论正式叙述如下。

定理 4.3.7 (Chvátal,1972)[3] 设 G 至少含有3 个顶点的简单图，其度序列为(d 1,d 2…d v 这里d 1≤d 2≤…≤d v 。

若不存在小于v/2的m 使得d m ≤ m 和d v-m <v-m 同时成立，则 G 是Hamilton 图。

证明：设 G 满足定理条件。

我们来证明G 的闭包C(G)是完全图。

用反证法。

假设 C(G)不是完全图。

设u 、v 是C(G)中两个不相邻顶点，满足d (u ) ≤ d (v )，且 d (u ) + d (v )尽可能大。

（d (v )表示v 在C(G)中的度）。

由C(G)的定义，d (u ) +d (v )<υ 。

令
N (u ) = {w ∈V \ {u } | w 在C(G)中与u 不相邻};
N (v ) = {w ∈V \ {v } | w 在C(G)中与v 不相邻};
则()u d N v -
---=1||| N (u ) |=υ −1−d (u )，|N (v ) |=υ−1−d (v )。

记d (u ) = m ，则|N (u ) |=υ −1− m ，|N (v ) |=υ −1− d (v ) >υ −1− (υ − d (u )) = m −1
(1)
另外，由u 、v 的选择（d (u ) + d (v )尽可能大）知，N (u ) ∪{u }中每个顶点在C(G)中的度 不超过d (v )（否则，设v ′∈ N (u )，d (v ′) >d (v )，则d (u ) + d (v ′) > d (u ) + d (v )，
当初应当选择u 和v ′）。

同理，N (v )中每个顶点在C(G)中的度不超过d (u )。

结合（1）式可
知：
C(G)中至少有ν−m个顶点，其度≤d (v) <ν−m ，（比如N(u) ∪{u}中的顶点）；C(G)中至少有m 个顶点，其度≤m，（比如N(v)中的顶点）；
由于G 是C(G)的子图，故上述结论对G 也成立。

按照度序列的排列方式，便有d m ≤m 和d v-m>v-m，并且m <v/2（因d (u) ≤d (v)及d (u) + d (v) <ν）。

这与定理的条件矛盾。

该矛盾说明C(G)确实是完全图。

由推论4.3.1，G 是Hamilton 图。

证毕。

§4.4 旅行商问题(Travelling Salesman Problem,TSP)
旅行商问题：有n 个城镇。

一个旅行商从某一城镇出发，欲经过其余n −1个城镇一次且仅
一次，最后回到出发点。

他应该如何设计旅行路线，才能使所走路程最短？
图论描述：将城镇作为顶点，两顶点连边当且仅当对应的两城镇能直达，每条边上以道路的里程作为权。

从而获得一个赋权图G。

旅行商问题现在可以叙述为：
给定赋权图G，求G 的一个权最小的Hamilton 圈。

这一问题看似简单，实际上含有两个困难的问题：
（1）如何判定G 是否有Hamilton 圈；
（2）在已知G 是Hamilton 图的情况下，如何求出一个权最小的Hamilton 圈来。

这两个问题目前尚未找到有效算法，甚至不知道这样的有效算法是否存在。

事实上它们
是NPC 问题。

转化：给G 添加权为∞的边，化为赋权完全图。

问题化为：对赋权完全图n K ，求其最小
权
Hamilton 圈，这样的圈称为最小Hamilton 圈。

在n K 中，共有1/2（n-1）！个不同的Hamilton 圈（v 到其余顶点有n −1条边）。

如果一
计算各Hamilton 圈的长度，再逐个比较出权最小的一个，则计算量太大。

当n 较大时无法实现。

对这样的NPC 问题，一般解决方法是设计较好的近似算法，求其近似最优解。

下面介
绍三种求最小Hamilton 圈的近似算法。

近似算法1－邻近点法
step1. 任选一点v ∈V 1 ，令: P1= v i:=1 。

Step2. 设已得到P i= v1v2…v i，选取v i+1∈V \{v1v2…v i}使得权w(v i v i+1)最小。

Step3. 若i = n，则停止，C =P n +v n v 1=v1v2…v n v1是一条近似的最小Hamilton 圈；否则i := i + 1，转step2。

例4.4.1 求如下赋权完全图的最小权的Hamilton 圈。

解：因n = 5，故存在1/2×4! =12个不同的Hamilton 圈。

由计算可知abcdea，adcbea 是最
优解，权为36；而abdeca 和acebda 是最差解，权为48。

按邻近点法来求：
比如从a 点出发，可得四个近似解：abdeca，权为48；adbeca，权为48；aebdca，权
为41；aedbca，权为41。

如果从b 出发，可得2 个近似解：badecb，权为43，baedcb，权为36。

可见，邻近点法求近似解的精度不高，且与初始点有关。

定理4.4.1 设赋权完全图n K 各边的权均为正数，且权满足三角不等式：对于任意的
v i, v j,v k∈V,w (v i v j)+w (v j v k )≥w(v j v k) ,则c0/c*≤1/2( ┌log2n┐+1)。

其中c*是K n的
最小Hamilton 圈的权，而c0是用邻近点法求得的Hamilton 圈的权。

证明较长，从略。

近似算法2－最小生成树法
step1. 求K n的一棵最小生成树T；
step2. 将T中各边均添加一条重边，设所得图为G*；
step3. 求G*的从某点v 出发的一条Euler闭迹E v；
step4. 按如下方法求出G 的一条Hamilton 路：从顶点v 出发，沿E v 访问G*中各顶点。

在此过程中，一旦遇到重复顶点，就跳过它直接走到Euler 环游上的下一个顶点。

直到访问完所有顶点为止。

例4.4.2 用最小生成树法求如下赋权完全图的最小权Hamilton 圈。

解：求解过程图示如下。

先求出一棵最小生成树T，T 的各边加重边后得G*，G*从a 点出发的一条Euler 闭迹为C = aeadabcba，从a 点出发沿C 依次访问各点，遇到已访问过的点时直接跳到C 的下一个点，这样便得到近似的最小权Hamilton 圈aedcba。

定理4.4.3 设赋权完全图的各边之权均为正数，且对∀v i，v j，v k∈V j ，都有
w (v i v j)+w (v j v k )≥w(v j v k)，
则c0/c*<3/2。

这里c0是算法3 所得的Hamilton 圈H 的权(近似最优值)，而c*是G 的最小
Hamilton 圈H*的权。

证明：先证四条事实：
（1）H*去掉一条边后便得一生成树，故w(T ) < c*。

（2）由于对v i ，v j，v k ∈V，都有(w (v i v j)+w (v j v k )≥w(v j v k)，故c0≤w( E v )。

（3）设G[V′]= K2k 中最小权Hamilton 圈的权为c′。

因G[V ′]是完全图K n 的子图，G[V ′] 的Hamilton 圈可由K n 的Hamilton 圈通过“去二添一”手续得到，故c′≤c*。

（4）因G[V ′]中最小Hamilton圈上交替取边可得G[V ′]的一个完美匹配，故G[V ′]中最小权完美匹配M 中各边权之和w(M)≤c/2。

由以上四条，得c0≤w(E )=w(T )+w(M)<c*+c*/2=3c*/2。

证毕。

关于Hamilton 图的更多结果可参看[4]、[5]
[1] O.Ore, Noye on Hamilton circuits, Amer. Math. Monthly, 67(1960), 55.
[2] J.A. Bondy, and V. Chvátal, A method in graph theory, Discrete Mathematics, 15(1976),
111-136
[3] V. Chvátal, On Hamilton’s ideals, J. Combinatorial Theory (B), 12(1972), 163-168.
[4] V. Chvátal, Hamiltonian cycles, in The Traveling Salesman Problem: A Guided Tour of Combinatorial Optimization (ed. E.L. Lawler, J.K. Lenstra, A.H.G. Rinnooy Kan, D.B. Shmoys), Wiley, (1985), 403-429.
[5] J.-C. Bermond, Hamiltonian graph, in Selected Topics in Graph Theory (L. W. Beineke, and R.J. Wilson eds.), Academic Press, London, (1978) 127-168。