数学不等式证明方法论文开题报告

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用高等代数方法证明不等式-[开题报告]

毕业论文开题报告数学与应用数学用高等代数方法证明不等式一、选题的背景、意义柯西不等式是由大数学家柯西（Cauchy ）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。

柯西不等式的基本形式1、在初等数学中，,,1,2,,,i i a b R i n ∀∈=L ，有，当且仅当存在不全为零的常数1k ，2k ，使120,1,2,,i i k a k b i n +==L时，等式成立。

2、在积分学中，[](),(),f x g x C a b ∀∈，有，，当且仅当存在不全为零的常数12,k k ，使12()()0k f x k g x +=时，等式成立。

柯西不等式在数学各个分支里都有极其广泛的应用，它在不同的领域就有着不同的表现形式，对它的应用可谓灵活多样，无论是初等数学还是高等数学都有着极其不菲的价值，主要都充分体现了数学各领域间的内通性、渗透性和统一性。

柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。

Hadamand 不等式是关于正定矩阵的行列式上界估计的不等式Hadamand 不等式222111n n ni i i ii i i a b a b ===⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑∑[]222()()()()bba af xg x dx f x dx g x dx≤⋅⎰⎰我们总约定：n n R ⨯为实数域R 上n n ⨯矩阵的集合，()1nii i tr A a ==∑为()n n ij A a R ⨯=∈的迹, det A 为A 的行列式，且用(),1,2,i A i n λ=L 表示A 在复数域上的所有特征根。

设()n n ij A a R ⨯=∈使正定矩阵，则A 的行列式1det nii i A a =≤∏当且仅当A是对角矩阵时，上式成立。

尤其应该指出的是，高等代数方法在证明不等式中有着独特的作用，参见[1]-[17]。

国内外研究现状、发展动态本人以1999—2010十一年为时间范围，以“柯西不等式”、“柯西不等式的应用” “Hadamand 不等式“为关键词，在中国知网以及万方数据等数据库中共搜索到30余篇文章，发现国内外对可惜不等式的其研究进展主要分配在以下领域：一、柯西不等式、Hadamand 不等式的证明；二、柯西不等式的推广；三、柯西不等式的应用举例；二、研究的基本内容与拟解决的主要问题【研究内容】柯西不等式的证明一、常规方法配方（Lagrange 恒等式）法数学归纳法 △判别法向量内积法二、新方法基本不等式法 Jensen 总和不等式法利用二次型正定利用2维随机变量的数学期望利用算术平均-几何平均不等式柯西不等式的推论：推论1：设1212,n n a a a b b b L L 、、、、、、为实数，则有当且仅当1,2,,i i a b i n λ==L 时等号成立。

不等式证明毕业论文

不等式证明毕业论文本篇论文主要研究不等式的证明，介绍了不等式的基本概念和证明方法，并详细阐述了几种常用不等式的证明过程，并对证明过程中需要注意的细节进行了分析。

一、不等式的基本概念不等式是数学中的一类常见且极其重要的结论形式，它与等式类似，都是表示一个值与另一个值之间的关系，但不等式却不一定要求这两个值相等，而只需要它们满足一定的大小关系。

常见的不等式有单变量不等式、双变量不等式、多变量不等式等。

二、不等式的证明方法证明不等式的方法一般分为数学归纳法、数学分析法、构造法、反证法、代数法、几何法等多种，而选择不同的证明方法往往取决于不同的不等式性质。

1. 数学归纳法数学归纳法是一种非常常用的证明方法，它通过证明一个基本条件成立，再证明该基本条件成立时下一步也成立，反复循环这个过程最终达到证明整个结论的目的。

这种证明方法对于很多不等式问题非常有效，因为它可以将整个证明过程分成逐步推进的几个步骤，每个步骤都是简单且显然成立的。

例如，我们考虑证明以下的不等式：$$1+2+3+...+n\\leq\\frac{n(n+1)}{2}(n\\in N^*)$$首先，我们将该式子称之为P(n)，即需要证明P(n)成立。

接着，我们通过证明P(1)为真来展开证明，即证明1的结论成立：$$1\\leq\\frac{1(1+1)}{2}$$证明上述结论后，我们进入下一步，假设P(k)成立，即$$1+2+3+...+k\\leq\\frac{k(k+1)}{2}$$接下来，我们考虑P(k+1)成立，即$$1+2+3+...+k+(k+1)\\leq\\frac{(k+1)(k+2)}{2}$$将等式两边加上(k+1)即可得到$$1+2+3+...+k+(k+1)\\leq\\frac{(k+1)(k+2)}{2}$$于是，我们通过数学归纳法证明了该不等式。

2. 数学分析法数学分析法通常适用于一些比较复杂的不等式，该方法能够通过对数学表达式的一些基本性质进行分析，从而推导出结论。

导数在不等式证明中的应用开题报告

集宁师范学院本科生毕业设计（论文、创作）题目申报表
4、为结合学科竞赛；
5、模拟仿真；
6、其它
题目来源――A.指导教师出题；B.学生自定、自拟
开题报告内容：（调研资料的准备与总结，研究目的、要求、思路与预期成果；任务完成的阶段内容及时间安排；完成毕业设计（论文、创作）所具备的条件因素等。

一研究内容：主要研究导数在不等式证明中的一些应用，其次研究导数的一些性质和证明不等式的一些方法；
二研究目的：不等式证明是数学学习中的重要内容之一，其常用的方法有：比较法, 分析法，综合法，归纳法，特殊不等式法。

导数作为微积分学的主要内容，利用其证明不等式是一种行之有效的好方法，它能将某些不等式的证明化难为易，迎刃而解。

三研究方法：1.参考大量的相关文献及相关论文，通过中国知识网，中国学术期刊网等收集所需资料
2. 借助学过的专业知识，尤其是数学分析方面的知识和理论，微积分理论，深入分析题目，提出提纲，确定论文思路。

3. 整理导数在不等式证明中各种应用，并归纳总结。

4. 对各种应用进行比对，分析，并进行深入研究
四预期成果及形式：通过导数在不等式证明中的各种应用进行深入分析研究，并形成5000字论文。

五时间安排：1――3周，对论题有大致的了解，通过查阅资料和请教老师确定论文的方向并完成开题报告。

4 ――5周，查阅资料，知识回顾复习，以确定主要努力的方向及目标
6 ----- 12周，整理相关资料，认真思索，研究细节并形成论文。

13 ―― 14周，完成毕业论文，进行毕业答辩。

集宁师范学院本科生毕业设计（论文、创作）开题报告
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期：。

证明不等式的方法论文

证明不等式的方法李婷婷摘要：在我们数学学科中，不等式是十分重要的内容。

如何证明不等式呢？在本文中，我主要介绍了不等式概念、基本性质和一些从初等数学中总结出的证明不等式的常用方法，分别有比较法、综合法、放缩法、数学归纳法、换元法、判别式法、分解法方法。

证明不等式的方法多种多样，在这里我就只例举这些方法。

证明不等式方法因题而异，灵活多变，技巧性强。

通过学习这些证明方法，使我们进一步掌握不等式证明，可以帮我们解决生活中的许多实际问题。

关键字：不等式；数学归纳法；函数；单调性不等式作为一个重要的分析工具和分析的手段，在数学中具有举足轻重的地位，不等式的证明可分为推理性问题和探索性问题，推理性问题是指在特定条件下，阐释证明过程，解释内在规律，基本方法有比较法,综合法；探索性问题大多是与自然数有关的证明问题，常采用观察—归纳—猜想—证明的方法思路，以数学归纳法完成证明，不等式证明还有其他方法：换元法，放缩法等。

不等式的证明没有固定的程序，证法因题而易，技巧性强。

希望通过这些方法的学习。

我们可以很好的认识数学的一些特点，从而开扩我们的数学视野。

1不等式概念及基本性质1.1不等式的概念：表示不相等关系的式子。

实数集内的任意两个数b a ,总是可以比较大小的，如果b a -是正数，则b a >;如果b a -是零，则b a =；如果b a -是负数，则b a <。

反过来也对。

即有a ≧b 0≥-⇔b a 这里符号⇔表示等价于。

这个定义虽然简单，实际它反映不等式的性质。

许多不等式的证明，是从这个定义出发。

首先，根据不等式的定义，容易证明下述不等式的简单性质，这些性质是证明其他不等式的基本工具。

1.2不等式基本性质1.2.1b a >a b <⇔(对称性)1.2.2若b a >,c b >,则c a >(传递性)1.2.3若b a >,则c b b a +>+(加法保序性)1.2.4若b a >,0>c ，则bc ac >(乘正数保序性)1.2.5若b a >,d c >,则.a c b d +>+若b a >,d c <,d b c a ->-.0>>b a ,0>>d c ,则bd ac >.1.2.6若b a >,0>ab ,则.11b a <1.2.7若0>>b a ,0>>c d ,则.d b c a >1.2.8若0>>b a ,.,N n n n n b a b a n >>∈，则1.2.9若0>>b a ,m ,.,N nm n m n m n m b a b an --<>∈，则 1.2.10含绝对值的不等式 ()()()........4.3.0)2((1)1212222n n a a a a a b a b a b a a x a x a x a a x ba xb a a b x ax a a x a x ++≤++++≤±≤--≤≥⇔≥⇔>≥-≤≤--⇔≤+<<-⇔<⇔≤或1.2.11若，R ,∈b a 则().0,022≥-≥b a a 1.2.12若，+∈R ,b a 则.2ab b a ≥+符号当且仅当b a =时成立。

一些不等式的证明及推广【开题报告】

一些不等式的证明及推广【开题报告】毕业论文开题报告数学与应用数学一些不等式的证明及推广一、选题的背景、意义（所选课题的历史背景、国内外研究现状和发展趋势）柯西不等式是著名的不等式之一，且不失为至善至美的重要不等式。

它不仅是数学分析的重要工具，还和物理学中的矢量、高等数学中的内积空间、赋范空间有着密切的联系。

柯西不等式是由大数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。

但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。

柯西不等式非常重要，适当、巧妙地引入柯西不等式，可以简化解题过程，起到事半功倍的作用。

因此柯西不等式在初等数学、微分方程和泛函分析等领域都有重要的应用，再加上本身有着优美的对称形式、简洁的统一证法和命题间的内在联系，关于它的研究一直受到人们的关注。

由此促使我们进一步了解柯西不等式的各种形式及它的应用。

闵可夫斯基不等式是由闵可夫斯基（Minkowski）于1896年证明的，它的出现对于促进泛函空间理论的飞速发展起到了至关重要的作用。

在1881年法国大奖中，闵可夫斯基深入钻研了高斯、狄利克雷和爱因斯坦等人的论著。

因为高斯曾在研究把一个整数分解为三个平方数之和时用了二元二次型的性质，闵可夫斯基根据前人的工作发现：把一个整数分解为五个平方数之和的方法与四元二次型有关。

由此，他深入研究了n元二次型，建立了完整的理论体系。

这样一来，上述问题就很容易从更一般的理论中得出，闵可夫斯基交给法国科学院的论文长达140页，远远超出了原题的范围。

闵可夫斯基此后继续研究n元二次型的理论。

他透过三个不变量刻画了有理系数二次型有理系数线性变换下的等价性，完成了实系数正定二次型的约化理论，现称“Minkowski约化理论”。

当闵可夫斯基用几何方法研究n 元二次型的约化问题时，他获得了十分精彩而清晰的结果。

一些不等式的证明及应用开题报告

开题报告题目一些不等式的证明及应用学院数学与统计学院班级09数应6班姓名刘忠颖专业数学与应用数学学号21指导教师董芳芳提交日期2013年3月21日天水师范学院毕业论文（设计）开题报告1、文献研究法根据导数在不等式证明中的应用这一研究目的，通过调查文献来获得资料，从而全面地、正确地了解掌握所要研究的问题。

2、个案研究法对导数的性质及其应用加以调查分析，弄清其特点及其应用过程的3、探索性研究法用已知导数的性质及其应用等相关信息，进行探索、创新，进而对导数在不等式证明中的应用进行总结。

4 、经验总结法通过对导数性质及其应用的学习，进行归纳与分析，使之系统化、理论化，总结。

七、可行性论证1、通过查资料进行论证2、通过和老师同学的交谈进行论证3、通过分析总结进行论证八、参考文献【1】华东师范大学.数学分析[M].高等教育出版社【2】樊启斌.数学综合复习解题指南[M].武汉:武汉大学出版社【3】刘晓玲.不等式证明中辅助函数的构造一[J] .邯郸师专学报【4】华东师范大学数学系数学分析(第三版)上册[M].高等教育出版社【5】周晓农.导数在不等式证明中的应用[J].金筑大学学报【6】陈秋华.也谈利用凸函数证明初等不等式[J].高等数学研究【7】陶伟高等数学习题集[M].北京国家行政学院出版社【8】曾捷数学分析同步辅导及习题全解[M].中国矿业大学出版社目录摘要 1引言 1一、利用导数的定义证明不等式 1二、利用微分中值定理证明不等式 31.使用拉格朗日中值定理证明不等式 32.使用柯西中值定理证明不等式 4三、利用函数的单调性证明不等 41.直接构造函数，再运用函数的单调性来证明不等式 52.先将不等式变形，然后再构造函数并来证明不等式 5四、利用泰勒公式证明不等式 6五、利用函数的最值(极值)证明不等式 7六、利用函数的凹凸性质证明不等式 8小结9致谢9参考文献9导数在不等式证明中的应用摘要导数是研究函数性质的重要工具之一,也是中学数学中最基本和最重要的内容之一, 利用导数的方法证明不等式是不等式证明中重要的组成部分。

关于数学的论文开题报告范文

关于数学的论文开题报告范文要做一份数学论文开题报告，你知道要怎么做才更好吗?下面是店铺为大家整理的数学论文开题报告范文，欢迎阅读。

数学论文开题报告范文篇1：选题的准备、背景、意义、基本思路、方法和主要观点背景：本身对几何有些许兴趣，偶然中了解到了等周不等式。

意义：在等周不等式的基础上，做些条件的变换，运用初等方法进行证明。

基本思路：对已经有的一些方法进行推广，得出一些新的求法;不同的条件得到不一样的结果。

方法：吸取原有方法的精髓，在通过自己的观点进行证明。

选题的需要性、创新性、科学性和可行性论证研究方法和手段、论证方法及其特点写作提纲三角形(等周长)无其他约束条件三角形。

一边长固定三角形。

固定以夹角和一边长三角行。

四边形 (等周长)无其他约束条件四边形。

固定一边长四边形。

固定所有边长四边形。

推广到多边形。

计划进度(以周为单位)主要参考文献[1] 张克新四边形面积定值的一个初等证明黄冈职业技术学院438002期[2] 项武义等周问题的一个初等证明庆贺苏步青教授百岁华诞[3] 田畴国英等曲线与曲面的微积分几何 1976年数学论文开题报告范文篇2：开题报告题目：小学生计算错误的心理成因及分析研究从事小学数学教学工作多年，我们经常发现有这样一些学生，他们是聪明孩子，对于书本上或课外有一定难度的思考题，能够顺利解出，但平时数学作业的正确率一直不高，数学测验考试的成绩也很少有满分的记录。

导致这些学生作业正确率和测验考试成绩与其实际水平不相吻合的主要原因是,他们在练习的过程中，经常出现诸如23-7=18 之类的低级错误。

对此，老师和家长一再提醒他们做题时要细心。

但这种教育的效果并不理想，学生的低级错误还是屡见不鲜。

目的、意义通过本课题的研究，在切实减轻学生负担的同时，培养学生良好的计算习惯，努力提高学生的计算能力，促使学生在生动活泼、轻松愉快的学习中对计算产生兴趣，增强数学学习的信心，从而提高学生的数学素养，为学生今后的学习奠定扎实的基础。

不等式开题报告

不等式开题报告引言不等式是数学中的重要概念之一，它在解决实际问题和证明数学定理中起到关键作用。

不等式的研究可以帮助我们理解数学规律和推广解决问题的方法。

本篇文章将介绍不等式的基本概念、性质以及一些常见的解法方法。

基本概念不等式是描述数值关系的一种数学表达式。

它们使用不等号（>、<、≥、≤）来表示两个数或表达式之间的大小关系。

例如，a>b表示 a 大于 b，x≤5表示 x 小于等于 5。

不等式可以包含变量和常数，我们通常通过将变量表示为字母来描述不等式。

不等式的解是满足不等式关系的数值范围，即使不等式成立的数值。

例如，对于不等式x>2，解集为所有大于 2 的实数。

常见类型的不等式在数学中，我们常常遇到以下几种类型的不等式：1.一元一次不等式：这种不等式只包含一个变量，并且变量的最高次数为 1。

例如，2x+3>5就是一个一元一次不等式。

2.一元二次不等式：这种不等式包含一个变量，并且变量的最高次数为2。

例如，x2−3x+2>0就是一个一元二次不等式。

3.绝对值不等式：这种不等式包含一个绝对值表达式，例如，|x−3|>2。

>3。

4.分式不等式：这种不等式包含分式表达式，例如，1x不等式的性质不等式有一些特殊的性质，这些性质可以帮助我们解决不等式问题和证明不等式定理。

1.传递性：如果a>b且b>c，则a>c。

这意味着如果两个数之间存在不等关系，那么它们之间的所有数也满足相同的不等关系。

2.加法性：如果a>b，则对于任意的正数c，有a+c>b+c。

这意味着不等式两边同时加上相同的正数，不等关系仍然成立。

3.乘法性：如果a>b且c>0，则ac>bc。

这意味着如果不等式两边同时乘以正数，不等关系仍然成立。

需要注意的是，如果乘以负数，则需要改变不等式的方向。

4.反转性：如果a>b，则−a<−b。

这意味着不等式两边同时取负，不等关系改变方向。

不等式证明的教学研究【开题报告】

毕业论文开题报告数学与应用数学不等式证明的教学研究一、选题的背景、意义不等式的理论很早就被Gauss, Cauchy 等人关注并研究过，但是不等式作为一门系统的学科出现始于1934年，Hardy, Littlewood 和G.Polya 合作出版《不等式》（Inequalities ）之后。

在此之前不等式只是出现于数学家们研究领域中所使用的引理，证明及研究得到的副成果而已。

直到Hardy 等人对不等式做了系统的研究和总结之后，不等式才真正成为了一门系统学科。

20世纪数学已经确认数学不等式的力量上升到巨大的新结果和问题以及产生的新领域的数学。

对不等式研究所得到的一些成果被广泛运用到其他领域中去，比如经济学，游戏理论，数学规划，控制理论，变分理论，运筹学，概率统计等。

由此可以看出不等式的有用性，研究不等式的重要性。

二、研究的基本内容与拟解决的主要问题不等式是数学中被广泛运用的工具，在很多数学问题的分析与解答中,我们都需要用到不等式，然而要想能够在问题中运用一些不等式的定理或推论，我们首先要证明所用不等式的可行性，尤其是在数学教学中。

因此对一些不等式的证明深入的讨论就显得很重要，也具有一定的教育意义。

首先在这给出一些常见的不等式，以及比较常用到的几个定理，同时给出其中一部分不等式的证明。

Cauchy （柯西）不等式设有两组实数12,,...n ααα和12,,...n βββ，则有222222*********(...)(...)(...)n n n n αβαβαβαααβββ+++≤++++++或写成222111()()()n n ni i i i i i i αβαβ===≤∑∑∑。

当且仅当(1,2,...,)i i k i n αβ==时等号成立。

推论22221212......()nn n n αααααα++++++≤当且仅当12...n ααα===时，等号成立。

Jensen 不等式[1] 如果()f x 为连续实值凸函数，且121...,1,0,1,2,...,nn i i i x x x i n λλ=≤≤≤=≥=∑，则有 11()()n ni i i ii i f x f x λλ==≥∑∑。

不等式证明的开题报告

不等式证明的开题报告不等式证明的开题报告一、引言不等式是数学中重要的概念之一，它在解决实际问题和推导数学结论中起着重要的作用。

本开题报告将探讨不等式证明的方法和技巧，以及在解决实际问题中的应用。

二、不等式证明的基本方法1. 数学归纳法数学归纳法是一种常用的证明不等式的方法。

它基于以下两个步骤：首先证明当n=1时不等式成立；然后假设当n=k时不等式成立，通过推理证明当n=k+1时不等式也成立。

这种方法常用于证明与自然数相关的不等式，例如证明n(n+1)/2 > n。

2. 反证法反证法是一种常用的证明不等式的方法。

它基于以下思路：假设不等式不成立，通过推理推导出矛盾的结论，从而证明原不等式成立。

这种方法常用于证明与实数相关的不等式，例如证明√2是无理数。

3. 代入法代入法是一种常用的证明不等式的方法。

它基于以下思路：将不等式中的变量用特定的值代入，通过计算得出结果，从而证明不等式成立。

这种方法常用于证明与特定数值相关的不等式，例如证明当x>0时，x^2 > 0。

三、不等式证明的技巧1. 利用基本不等式基本不等式指的是诸如AM-GM不等式、柯西-施瓦茨不等式等常用的不等式。

在证明不等式时，可以利用这些基本不等式进行变形和推导，从而得到所要证明的结果。

2. 利用等价不等式等价不等式指的是与所要证明的不等式具有相同结构但不等号方向相反的不等式。

在证明不等式时，可以通过将所要证明的不等式转化为等价不等式，然后利用已知的结论进行推导，最终得到所要证明的结果。

3. 利用对称性质有些不等式具有对称性质，即交换不等式两边的变量不会改变不等式的成立性。

在证明这类不等式时，可以利用对称性质进行变形和推导，从而得到所要证明的结果。

四、不等式证明的实际应用不等式证明不仅仅是数学理论的研究，还具有广泛的实际应用。

以下是几个不等式在实际问题中的应用示例：1. 经济学中的应用在经济学中，不等式的证明可以用于分析市场供求关系、收入分配等问题。

一些不等式的证明及推广【开题报告】

毕业论文开题报告数学与应用数学一些不等式的证明及推广一、选题的背景、意义（所选课题的历史背景、国内外研究现状和发展趋势）柯西不等式是著名的不等式之一，且不失为至善至美的重要不等式。

它不仅是数学分析的重要工具，还和物理学中的矢量、高等数学中的内积空间、赋范空间有着密切的联系。

柯西不等式是由大数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。

柯西不等式非常重要，适当、巧妙地引入柯西不等式，可以简化解题过程，起到事半功倍的作用。

由此促使我们进一步了解柯西不等式的各种形式及它的应用。

闵可夫斯基不等式是由闵可夫斯基（Minkowski）于1896年证明的，它的出现对于促进泛函空间理论的飞速发展起到了至关重要的作用。

在1881年法国大奖中，闵可夫斯基深入钻研了高斯、狄利克雷和爱因斯坦等人的论著。

由此，他深入研究了n元二次型，建立了完整的理论体系。

这样一来，上述问题就很容易从更一般的理论中得出，闵可夫斯基交给法国科学院的论文长达140页，远远超出了原题的范围。

闵可夫斯基此后继续研究n元二次型的理论。

他透过三个不变量刻画了有理系数二次型有理系数线性变换下的等价性，完成了实系数正定二次型的约化理论，现称“Minkowski约化理论”。

当闵可夫斯基用几何方法研究n 元二次型的约化问题时，他获得了十分精彩而清晰的结果。

不等式证明的开题报告

不等式证明的开题报告引言不等式是数学中常见的一个概念，它描述了数值之间的大小关系。

不等式证明是数学研究中重要的一部分，对于提高数学推理能力和解决实际问题有着重要的意义。

本文将介绍不等式证明的背景和意义，并提出本次研究的目标和方法。

背景和意义不等式证明在数学中有着广泛的应用，它不仅可以用于解决各类数学问题，还可以用于解决实际生活中的一些问题。

不等式证明的研究可以帮助我们更好地理解数学的本质和规律，提高数学推理能力，培养逻辑思维和解决问题的能力。

目标和方法本次研究的目标是探索不等式证明的方法和技巧，以提高我们解决不等式问题的能力。

我们将运用数学知识和推理能力来证明一些常见的不等式，并通过实例分析和逻辑思考来总结出一些通用的证明方法和技巧。

具体的研究方法包括以下几个步骤： 1. 研究不等式的基本性质和定义，理解不等式的意义和作用； 2. 研究不等式的基本运算规则和推导方法，掌握不等式的变化规律； 3. 探索不等式证明的常用方法和技巧，分析一些典型的不等式证明过程；4. 运用所学的知识和技巧，证明一些常见的不等式，总结出一些通用的证明方法；5. 分析实例，考察不等式证明在实际问题中的应用；6. 总结研究成果，提出进一步的研究方向和展望。

预期结果通过本次研究，我们预期能够掌握不等式证明的基本方法和技巧，提高解决不等式问题的能力。

具体的预期结果包括： 1. 理解不等式的基本性质和定义，掌握不等式的意义和作用； 2. 掌握不等式的基本运算规则和推导方法，能够灵活运用不等式的变化规律； 3. 掌握不等式证明的常用方法和技巧，能够分析和证明一些常见的不等式； 4. 能够将不等式证明应用到实际问题中，解决实际生活中的不等式问题； 5. 总结出一些通用的证明方法和技巧，为进一步的研究提供基础和参考。

结论不等式证明作为数学研究中的重要部分，对于提高数学推理能力和解决实际问题有着重要的意义。

本次研究旨在探索不等式证明的方法和技巧，通过理论分析和实例分析，总结出一些通用的证明方法和技巧。

高中不等式学习---数学系研究生开题报告

研究方向：数学教育学科专业：学科教学（数学）年级：2010级指导教师：所在学院(所)：数学与统计学院东北师范大学研究生院制2011年7月1日填表说明与要求1.开题时，报告人应向开题报告审查小组提供一定数量与论文选题直接相关的参考文献实物，具体数量由各学科专业自行确定。

2.文献综述一般应包括与论文选题相关的国内外研究的进展、现状、问题与发展趋势等。

文科不得少于5000字，理科不得少于3000字。

3.参考文献格式参照学位论文。

4.论文开题时间一般应不晚于入学后第三学期中。

5.开题报告通过后，由学院留存并作为毕业审核材料之一。

6.开题报告的格式和内容可根据学科专业特点作适当调整。

7.开题报告中的字体均用宋体五号字，用A4纸打印，于左侧装订成册。

一、研究问题与文献综述（研究背景与问题、相关文献综述、主要参考文献）（一）研究背景与问题随着高考研究的深入，高考命题也进入了一个相对稳定、成熟的阶段。

全面考察近些年的高考试题，可以发现“不等式”已逐渐成为一个新的热点内容，而且难度有逐年加大的趋势。

早在1990年，国家教委考试中心的任子朝先生就曾说过：“鉴于不等式在实际生活中的广泛应用，以及在中学数学中的重要地位和在高等数学中的重要作用，今后高考数学会着重考察不等式的知识。

”不等式是数学基础理论的一个重要组成部分，它是刻画现实世界中的不等关系的数学模型，反映了事物在量上的区别，所以说不等式是数学的重要内容，是研究数量大小关系的必备知识，是我们进一步学习数学和其他学科的基础和工具。

另外，不等式与其他知识的联系很紧密，具有一定的“工具性”功能.在涉及量的范围及最值的内容中几乎都会用到它，如求函数的定义域、值域，确定函数的最大(小)值、求直线的斜率k或二次曲线的离心率的范围、求空间线线、线面、面面间的距离或交角的范围、概率的范围等.这些都是不等式与集合、函数、方程、几何、概率等知识的联系。

在这之中，展现了不等式在相关数学领域中广泛应用。

导数在不等式证明中的应用研究开题报告(1)

南昌工程学院2013 级毕业（设计）论文开题报告理学系（院）09信息与计算科学专业题目导数在不等式证明中的应用研究学生姓名张积磊班级09信息与计算科学学号**********指导教师谢杰华日期2012 年12 月20 日南昌工程学院教务处订制一、选题的依据及课题的意义（一）选题的依据在如今初，高等教育中，利用导数证明不等式应用广泛。

利用导数证明不等式，就是利用不等式与函数之间的紧密联系，将不等式的部分或全部投射到函数上，直接或等价变形后，结合不等式的结构特征，构造相应的函数，通过导数运算判断出函数的单调性，或利用导数运算来求函不等式的证明是数学学习中的重要内容之一其常用方法有比较法、分析法、综合法、归纳法、特殊不等式法等。

导数作为微积分学的基本内容利用其证明不等式是一种行之有效的好方法。

它能将某些不等式的证明化难为易、迎刃而解在函数的导数可以用极限概念定义导数在数学中的应用非常广泛涉及到各个方面。

应用导数处理问题提高学生的思维能力突出了通法淡化了技巧利用导数分析函数的性态是一种重要手段。

在分析函数的图象、判断函数的单调性、求解函数的最值等方面利用导数可使复杂问题简单化、程序化。

导数的应用涉及到很多内容因此在学习导数这部分内容时不仅要掌握导数的概念、求导公式和求导法则还要学会导数在函数单调性和最值、曲线的切线等问题上的应用。

同时导数是我们研究数学的一个有力工具，有助于我们对数学的深入学习。

不等式的证明，在初等数学里已介绍过若干种方法，如比较法、分析法、综合法、放缩法、反证法、数学归纳法和构造法等.然而有些不等式用初等数学方法是很难证明的，但用导数证明却相对容易些，利用导数证明不等式，通常需要构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数来研究函数的性态.对于这种解决问题的思路和方法，在今后的数学学习中将会运用得更多，所以，应该引起我们的足够重视.（二）研究该课题的意义导数是研究函数性质的一种重要工具。

不等式证明的若干方法大学毕业论文

2013届毕业生毕业论文课题名称：不等式证明的若干方法教学系：数学系专业：数学教育班级：10级数学教育（4）班学号：131002162姓名：李亚军指导教师：连玉平时间：2013年5月15日定西师范高等专科学校10 级数学系毕业论文开题报告目录摘要 (3)关键词 (3)前言 (3)第一章常用方法 (3)1.1比较法（作差法） (3)1.2作商法 (4)1.3分析法（逆推法） (4)1.4综合法 (4)1.5反证法 (5)1.6迭合法 (5)1.7放缩法 (6)1.8数学归纳法 (6)1.9换元法 (7)1.10三角代换法 (7)1.11判别式法 (7)第二章利用函数证明不等式 (8)2.1函数极值法 (8)2.2单调函数法 (8)2.3中值定理法 (9)2.4利用拉格朗日函数 (9)第三章利用著名不等式证明 (10)3.1利用均值不等式[ (10)3.2利用柯西不等式 (12)3.3利用赫尔德不等式 (12)3.4利用詹森不等式 (12)参考文献 (13)摘要：无论在初等数学还是高等数学中,不等式都是十分重要的内容.而不等式的证明则是不等式知识的重要组成部分.在本文中，我总结了一些数学中证明不等式的方法.在初等数学不等式的证明中经常用到的有比较法、作商法、分析法、综合法、数学归纳法、反证法、放缩法、换元法、判别式法、函数法、几何法等等.在高等数学不等式的证明中经常利用中值定理、泰勒公式、拉格朗日函数、以及一些著名不等式，如：均值不等式、柯西不等式、詹森不等式、赫尔德不等式等等.从而使不等式的证明方法更加的完善，有利于我们进一步的探讨和研究不等式的证明. 通过学习这些证明方法，可以帮助我们解决一些实际问题，培养逻辑推理论证能力和抽象思维的能力以及养成勤于思考、善于思考的良好学习习惯.关键词不等式比较法数学归纳法函数前言在数学的学习过程中，不等式证明是一个非常重要的内容，这些内容在初等数学和高等数学中都有很好的体现.在数量关系上，虽然不等关系要比相等关系更加广泛的存在于现实的世界里，但是人们对于不等式的认识要比方程要迟的多.直到17世纪以后，不等式的理论才逐渐发展起来，成为数学基础理论的一个重要组成部分.在研究数学的不等式过程中，有许多的内容都十分的有用，如：不等式的性质、不等式的证明方法和不等式的解法. 在本文中，我们就不一一说明了，而主要的介绍一些证明不等式的常用方法、利用函数证明不等式的方法和利用一些著名不等式证明不等式的方法.希望通过这些方法的学习，我们可以很好的认识数学的一些特点.从而开拓一下我们的数学视野，深化一下我们对不等式证明方法的认识，以便于可以站在更高的角度来研究数学不等式.第一章常用方法1.1比较法（作差法）在比较两个实数a 和b 的大小时，可借助b a -的符号来判断.步骤一般为：作差——变形——判断（正号、负号、零）.变形时常用的方法有：配方、通分、因式分解、和差化积、应用已知定理、公式等.例1 已知：0>a ，0>b ，求证：ab b a ≥+2. 证明 02)(2222≥-=-+=-+b a ab b a ab b a ，故得 ab b a ≥+2. 1.2作商法在证题时，一般在a ，b 均为正数时，借助1>b a 或1<ba 来判断其大小，步骤一般为：作商——变形——判断（大于1或小于1）. 例2 设0>>b a ，求证：a b b a b a b a >.证明因为 0>>b a ，所以 1>ba ，0>-b a . 而 1>⎪⎭⎫ ⎝⎛=-b a a b b a b a b a b a ，故 a b b a b a b a >.1.3分析法（逆推法）从要证明的结论出发，一步一步地推导，最后达到命题的已知条件（可明显成立的不等式、已知不等式等），其每一步的推导过程都必须可逆.例3 求证：15175+>+.证明要证15175+>+，即证1521635212+>+，即15235+>，1541935+>，16154<，415<，1615<.由此逆推即得 15175+>+.1.4综合法证题时，从已知条件入手，经过逐步的逻辑推导，运用已知的定义、定理、公式等，最终达到要证结论，这是一种常用的方法.例4 已知：a ，b 同号，求证：2≥+ab b a . 证明因为a ，b 同号，所以 0>b a ，0>ab ，则 ,22=⨯≥+ab b a a b b a 即 2≥+ab b a . 1.5反证法先假设要证明的结论不对，由此经过合理的逻辑推导得出矛盾，从而否定假设，导出结论的正确性，达到证题的目的.例5 已知0>>b a ，n 是大于1的整数，求证：n n b a >.证明假设 n n b a ≤，则 1≥na b ，即 1≥ab ，故 a b ≥，这与已知矛盾，所以n n b a >.1.6迭合法把所要证明的结论先分解为几个较简单部分，分别证明其各部分成立，再利用同向不等式相加或相乘的性质，使原不等式获证.例6 已知：122221=+++n a a a ，122221=+++n b b b ，求证:12211≤+++n n b a b a b a . 证明因为122221=+++n a a a ，122221=+++n b b b ，所以 122221=+++n a a a ，122221=+++n b b b .由柯西不等式,11122221222212211=⨯=+++⨯+++≤+++n n n n b b b a a a b a b a b a所以原不等式获证.在证题过程中，根据不等式的传递性，常采用舍去一些正项（或负项）而使不等式的各项之和变小（或变大），或把和（或积）里的各项换以较大（或较小）的数，或在分式中扩大（或缩小）分式中的分子（或分母），从而达到证明的目的.值得注意的是“放”、“缩”得当，不要过头.常用方法为：改变分子（分母）放缩法、拆补放缩法、编组放缩法、寻找“中介量”放缩法.例7 求证： 01.0100009999654321<⨯⨯⨯⨯ . 证明令,100009999654321⨯⨯⨯⨯= p 则 ,10000110001111000099991431211000099996543212222222222222<=-⨯⨯-⨯-<⨯⨯⨯⨯= p所以 01.0<p .1.8数学归纳法对于含有)(N n n ∈的不等式，当n 取第一个值时不等式成立，如果使不等式在)(N n k n ∈=时成立的假设下，还能证明不等式在1+=k n 时也成立，那么肯定这个不等式对n 取第一个值以后的自然数都能成立.例8 已知：+∈R b a ,，N n ∈，1≠n ，求证：11--+≥+n n n n ab b a b a .证明（1）当2=n 时，ab ab ab b a 222=+≥+，不等式成立；（2）若k n =时，11--+≥+k k k k ab b a b a 成立，则111111)()(+--++++-+≥+-+=+k k k k k k k k k k b ab ab b a a b ab b a a b a=k k k k k k k k k k ab b a b a b ab b a b ab b a ab b a +≥-++=+-++-+-21112)()2(，即k k k k ab b a b a +≥+++11成立.根据（1）、（2），11--+≥+n n n n ab b a b a 对于大于1的自然数n 都成立.在证题过程中，以变量代换的方法，选择适当的辅助未知数，使问题的证明达到简化.例9 已知：1=++c b a ，求证：31≤++ca bc ab . 证明设t a -=31，)(31R t at b ∈-=，则t a c )1(31++=， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++t a t t a at at t ca bc ab )1(3131)1(31313131 ,31)1(3122≤++-=t a a 所以 31≤++ca bc ab . 1.10三角代换法借助三角变换，在证题中可使某些问题变易.例10 已知：122=+b a ，122=+y x ，求证：1≤+by ax .证明设θsin =a ，则θcos =b ；设ϕsin =x ，则ϕcos =y所以 1)cos(cos cos sin sin ≤-=+=+ϕθϕθϕθby ax .1.11判别式法通过构造一元二次方程，利用关于某一变元的二次三项式有实根时判别式的取值范围，来证明所要证明的不等式.例11 设R y x ∈,，且122=+y x ，求证：21a ax y +≤-.证明设ax y m -=，则m ax y +=代入122=+y x 中得 1)(22=++m ax x ，即 0)1(2)1(222=-+++m amx x a因为R y x ∈,，012≠+a ，所以0≥∆，即 0)1)(1(4)2(222≥-+-m a am ，解得 21a m +≤，故21a ax y +≤-.第二章利用函数证明不等式2.1函数极值法通过变换，把某些问题归纳为求函数的极值，达到证明不等式的目的.例18 设R x ∈，求证：812sin 32cos 4≤+≤-x x . 证明 81243sin 2sin 3sin 21sin 32cos )(22+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-=+=x x x x x x f 当43sin =x 时， ;812)(max =x f 当1sin -=x 时， .4)(min -=x f故 812sin 32cos 4≤+≤-x x . 2.2单调函数法当x 属于某区间，有0)(≥'x f ，则)(x f 单调上升；若0)(≤'x f ，则)(x f 单调下降.推广之，若证)()(x g x f ≤，只须证)()(a g a f =及)),((),()(b a x x g x f ∈'≤'即可.例 19 证明不等式x e x +>1，.0≠x证明设,1)(x e x f x --=则.1)(-='x e x f 故当0>x 时，f x f ,0)(>'严格递增；当f x f x ,0)(,0<'<严格递减.又因为f 在0=x 处连续，则当0≠x 时，,0)0()(=>f x f从而证得.0,1≠+>x x e x2.3中值定理法利用中值定理：)(x f 是在区间],[b a 上有定义的连续函数，且可导，则存在ξ，b a <<ξ，满足))(()()(a b f a f b f -'=-ξ来证明某些不等式，达到简便的目的.例20 求证：y x y x -≤-sin sin .证明设 x x f sin )(=，则ξξcos )(n si )(sin sin y x y x y x -='-=-故 y x y x y x -≤-≤-ξcos )(sin sin .2.4利用拉格朗日函数例 21 证明不等式,)111(331abc cb a ≤++- 其中c b a ,,为任意正实数. 证明设拉格朗日函数为对).1111(),,,(rz y x xyz z y x L -+++=λλ 对L 求偏导数并令它们都等于0，则有02=-=x yz L x λ， 02=-=y zx L y λ， 02=-=x xy L z λ， .01111=-++=rz y x L λ 由方程组的前三式，易的.111μλ====xyz z y x 把它代入第四式，求出.31r =μ从而函数L 的稳定点为.)3(,34r r z y x ====λ 为了判断3)3()3,3,3(r r r r f =是否为所求条件极小值，我们可把条件rz y x 1111=++看作隐函数),(y x z z =（满足隐函数定理条件），并把目标函数),(),(),,(y x F y x xyz z y x f ==看作f 与),(y x z z =的复合函数.这样，就可应用极值充分条件来做出判断.为此计算如下：,22x z z x -=,22y z z y -=,2x yz yz F x -=,2y xz xz F y -= ,2,232233xy z x z y z z F xyz F xy xx +--==.233yxz F yy =当r z y x 3===时，,3,6r F F r F xy yy xx ===.02722>=-r FF F xyyy xx由此可见，所求得的稳定点为极小值点，而且可以验证是最小值点.这样就有不等式).1111,0,0,0()3(3rz y x z y x r xyz =++>>>≥ 令,,,c z b y a x ===则,)111(1-++=cb a r 代入不等式有31])111(3[-++≥cb a abc或 ).0,0,0()111(331>>>≤++-c b a abc cb a第三章利用著名不等式证明3.1利用均值不等式[设n a a a ,,,21 是n 个正实数，则nn n a a a na a a 2121≥+++，当且仅当n a a a === 21时取等号.例22 证明柯西不等式 ).)(()(121221∑∑∑===≤ni i n i i n i i i b a b a证明要证柯西不等式成立，只要证 ∑∑∑===≤ni in i i ni i i ba b a 12121 （1）令 ,,212212B b A a n i i ni i==∑∑== （2）式中,0,0>>B A 则（1）即ABb a ni ii ≤∑=1即11≤∑=ABba ni ii （3）下面证不等式(3),有均值不等式，2221221222121B b A a B A b a +≤，即 221221112BbA a AB b a +≤，同理 222222222BbA a AB b a +≤，，22222B b A a AB b a n n n n +≤.将以上各式相加，得2122121)(2B b Aa b a AB ni ini ini i i ∑∑∑===+≤ (4)根据（2），（4）式即2)(21≤∑=ni i i b a AB . 因此不等式（3）成立，于是柯西不等式得证.3.2利用柯西不等式例23 设R a i ∈，1=i ，2，…，n ．求证：21121⎪⎭⎫⎝⎛≥∑∑==n i i ni i a n a ．证明由柯西不等式∑∑∑∑∑======⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛ni i n i n i i n i i n i i a n a a a 121212212111．两边除以n 即得．说明：两边乘以n 1后开方得∑∑==≤n i i n i i a n a n 12111．当i a 为正数时为均值不等式中的算术平均不大于平方平均．3.3利用赫尔德不等式例24 设,a b 为正常数，02x π<<，n N ∈，求证：222222sin cos n n n n n a b x x ab+++⎛⎫+≥+ ⎪⎝⎭证明 22sin cos n n nab x x +⎛⎫+ ⎪⎝⎭= 22sin cos n n nab x x +⎛⎫+ ⎪⎝⎭()222sin cos n n x x ++()()22222222sin cos sin cos n n n n n n n na b x x x x ++++⎛⎫⎛⎫≥+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭= 2222n n ab+++即222222sin cos n n n n n a b x x ab+++⎛⎫+≥+ ⎪⎝⎭3.4利用詹森不等式例 25 证明不等式,)(3c b a c b a c b a abc ≤++ 其中c b a ,,均为正数.证明设 .0,ln )(>=x x x x f 由)(x f 的一阶和二阶导数xx f x x f 1)(,1ln )(=''+=' 可见，x x x f ln )(=在0>x 时为严格凸函数.依詹森不等式有)),()()((31)3(c f b f a f c b a f ++≤++ 从而),ln ln ln (313ln 3c c b b a a c b a c b a ++≤++++ 即.)3(c b a cb ac b a c b a ≤++++ 又因,33cb a abc ++≤所以 .)(3c b a c b a c b a abc ≤++参考文献[1]李长明,周焕山.初等数学研究[M].北京:高等教育出版社,1995,253-263. [2]叶慧萍.反思性教学设计-不等式证明综合法[J].数学教学研究,2005,10(3):89-91.[3]胡炳生,吴俊.现代数学观点下的中学数学[M].北京:高等教育出版社,1998,45-50.[4]宋庆.一个分式不等式的再推广[J].中等数学,2006,45(5):29-31.[5]蒋昌林.也谈一类分式不等式的统一证明[J].数学通报,2005,15(2):75-79. [6]匡继昌.常用不等式[M].济南：山东科技出版社,2004,23-34. [7]张新全.两个不等式的证明[J].数学通报,2006,45(4):54-55.[9]李铁烽.构造向量证三元分式不等式[J].数学通报,2004,(2):101-102.[12]胡如松.垂足三角形的几个有趣性质及其猜想[J].福建中学数学,2004,(5):23-25.[13]马雪雅.加权几何平均不等式[J].数学杂志,2006,26(3):319-322.[14]数学分析.华东师范大学数学系(第三版)[M].北京:高等教育出版社,1999,87.[15]施咸亮.与几何平均有关的两个不等式[J].浙江师范大学学报,1980,1(1):21-25.[16]李家熠.用均值不等式证明不等式[J].数学教学通讯,2005,11(4):130-133. [17]霍连林.著名不等式[M].北京:中国物质出版社,1994,123-124.。

开题报告 (107)

例谈证明不等式的常用方法开题报告一、课题研究目的及研究意义在一个式子中的数的关系，不全是等号，含不等符号的式子，那它就是一个不等式。

不等式分为严格不等式与非严格不等式。

一般地，用纯粹的大于号、小于号“＞”“＜”连接的不等式称为严格不等式，用不小于号（大于或等于号）、不大于号（小于或等于号）≥”“≤”连接的不等式称为非严格不等式，或称广义不等式。

不等式在生产实践和相关学科的学习中应用广泛，又是学习高等数学的重要工具，因此，不等式在数学中占有重要地位。

在研究数学的不等式过程中，有许多的内容都十分的有用，如：不等式的性质、不等式的证明方法和不等式的解法。

在数学的学习过程中，不等式证明是一个非常重要的内容，这些内容在初等数学和高等数学中都有很好的体现。

在数量关系上，虽然不等关系要比相等关系更加广泛的存在于现实的世界里，但是人们对于不等式的认识要比方程要迟的多。

直到17世纪以后，不等式的理论才逐渐发展起来，成为数学基础理论的一个重要组成部分。

不等式是多种多样的，所以不等式的证明方法也是灵活多样的，虽然它的技巧性和综合性都比较强，但总体上来说还是有章可寻的。

文章例谈了不等式的证明方法及技巧，希望对今后我们在碰到类似问题时能起到一定的指导作用。

二、课题研究内容及思路本课题遵循数学学习的基本思路，从初等数学和高等数学两个层面对不等式的证明进行举例证明。

在初等数学不等式的证明中经常用到的有比较法、分析法、综合法、数学归纳法、反证法等一般方法；在高等数学不等式的证明中经常利用中值定理、泰勒公式、拉格朗日函数等函数以及一些著名不等式，如：均值不等式、柯西不等式等。

课题的将采取理论和实例相结合的方式进行，对不等式的一般证明方法和特殊证明方法列举1-2各实例进行讲解，使得证明理论更加形象具体。

通过学习这些证明方法，可以帮助我们解决一些实际问题，培养逻辑推理论证能力和抽象思维的能力以及养成勤于思考、善于思考的良好学习习惯。

数学不等式证明方法论文开题报告

湖北大学本科毕业论文（设计）开题报告题目高中数学不等式的证明方法姓名梁艳平学号2011221104110067专业年级2011级数学与应用数学指导教师付应雄职称副教授2015年03月03日本课题的研究目的及意义现实世界中的量有相等关系，也有不等关系，凡是与比较量的大小有关的问题，都要用到不等式的知识。

不等式在解决最优化、最优控制、经济等各类实际问题中有广泛的应用，它是学习和研究现代科学和技术的一个基本工具。

不等式在中学数学中占有重要地位，在历年高考中颇为重视。

由于不等式的形式各异，所以证明方法灵活、技巧多样，因此不等式的证明也是中学数学的难点之一。

为了突破难点，我认为有必要对一些常见的证明方法和典型例题进行一些思考、研究和总结。

已了解的本课题国内外研究现状。

不等式的证明方法在国内外的研究都趋于高深、复杂、多方向化。

不等式的证明方法也大多用于竞赛和考察数学素养。

本课题的研究内容本课题主要研究不等式一些常见的证明方法：比较法，综合法，分析法，反证法，放缩法，数学归纳法，换元法，构造法和判别式法等。

本课题研究的实施方案、进度安排。

首先通过查阅国内外相关文献资料对不等式的证明方法做一个全面的了解，并了解学生对于不等式的证明方法的掌握程度与思考方式，其次，对于每种方法要举出一个典型的例子来帮助读者理解。

2015年1月——2014年2月：搜集、分析资料，确定题目；2015年3月初：开题报告；2015年3月初——3月底：撰写论文初稿；3月31日前提交纸质版初稿；2015年4月中旬前：修改论文，定稿：外文翻译；2015年4月底：论文答辩。

已查阅的主要参考文献[1]胡汉明.不等式证明问题的思考方法.数学通讯.2004（11）.[2]韩京俊.初等不等式的证明方法.哈尔滨工业大学出版社.[3]严镇军.不等式.人民教育出版社.[4]王胜林.卫赛民.证明不等式的几种特殊方法，数学通讯.[5]张联升.名师伴你行.北京光明日报出版社.2006.01.26-27页[6]马勇.新课标高中基础知识点.北京教育出版社.2007.113-114页[7]李长明，周焕山. 初等数学研究. 高等教育出版社（253-262页）[8]韩京俊.初等不等式的证明方法.哈尔滨工业大学出版社.[9]王胜林.卫赛民.证明不等式的几种特殊方法.数学通讯.[10]华罗庚.数学归纳法.北京科学出版社，2002.[11]南山.柯西不等式与排序不等式.上海教育出版社，2007.[12]E.贝肯巴赫，R.贝尔曼.不等式入门.北京大学出版社，1985.[13]G.H.哈代，J.E.李特伍德，G.波里亚.不等式.北京科学出版社，1965.指导教师意见签名：年月日系或专业审核意见1．通过；2．完善后通过；３．不通过负责人：年月日。