7.6 函数展开成幂级数

解 由 f ( x) e x 得 f (n)(0) 1，从而
f (n)(0) xn xn
n0 n!
n0 n!
其收敛域为(, )，对于任何有限数 x，
余项绝对值为lim n
Rn( x)
lim n
e x xn1 (n 1)!
lim e x n
x n1 (n 1)!
因e x 是有限数，
§7.6 函数展开成幂级数
前面讨论了幂级数的收敛域及其和函数的性质，
但在许多应用中，我们遇到的却是相反的问题：给定函数 f ( x)，需考虑它是否能在某个区间内“展开成幂级数”， 就是说，是否能找到这样一个幂级数，它在某区间内收敛，
且其和恰好就是给定的函数 f ( x)。
如果能找到这样的幂级数，我们就说， 函数 f ( x)在该区间内能展开成幂级数，而这个幂级数
２. 间接展开法
间接展开法是以一些函数的幂级数展开式为基础， 利用幂级数的性质，变量替换等方法，求出某些函数的 幂级数展开式．
例 3 将函数ln(1 x)展开成 x的幂级数．
解 因为
1 1 x x2 L (1)n xn L (1 x 1) (7.23) 1 x
上式两边分别从0到 x逐项积分，得
x n1
是级数
xn (
x
)的通项，
(n 1)!
n0 n!
所以对任意 x R上式均成立，因此得到
e x xn ( x )
n0 n!
(7.21)
例 2 将函数sin x展成 x的幂级数．
解 由 f (n)( x) sin( x n ),得
2 f (0) 0, f (0) 1, f (0) 0, f (0) 1,L ,
下面将给出 f ( x)展成麦克劳林幂级数的步骤：
麦克劳林幂级数的步骤： (1) 求出 f ( x)在 x 0的各阶导数值 f (n)(0)，若函数 f ( x)的
某阶导数不存在，则 f ( x)不能展开为幂级数；
(2) 写出幂级数 f ( x) f (n)(0) xn ，并求出其收敛域；
例8
将函数
f (x)
x2
x 展成x的幂级数．
x2
解
x
x
f ( x) x2 x 2 ( x 2)( x 1)
因为
1 3
(
x
1
1
x
2
) 2
1 3
( 1
1
x
1
1
x
)，
2
1
(1)n xn (1 x 1)，
1 x n0
1 ( x )n (2 x 2)
1 x n0 2 2
x4 L
(1)n1 x2n2 L
逐项积分，得
arctan x x 1 x3 1 x5 L (1)n1 x2n1 L
35
2n 1
当 x 1时交错级数 (1)n1
1
收敛；
n0
2n 1
当 x 1时，交错级数 (1)n
1
收敛．
n0
2n 1
因此收敛域为[1,1]．
例 5 将函数cos x 展成 x的幂级数．
根据级数收敛的定义
n0
1 n!
f
(n)
(
x0
)(
x
x0 )n
f ( x),x U ( x0 )
lim
n
pn
(
x)
f ( x),x U ( x0 )
lim
n
f
(x)
pn( x)
0,x U( x0 )
lim
n
R
n
(
x
)
0,
x
U
(
x0
)
下面着重讨论 x0 0的情形，在(7.17)式中，取 x0 0，得
L
由 x 2 1得3 x 2 3，即收敛域为(1,5)． 3
例 11 将ln x 展成 x 1的幂级数，并求收敛域．
解 由(7.24)式得
t2 ln(1 t) t
L
n1 t n
L
t 1
2
n
所以 ln x ln[1 ( x 1)]
( x 1) 1 ( x 1)2 L n1 1 ( x 1)n L
f (0) f (0) x L 1 f (n)(0) xn L 1 f (n)(0) xn
n!
n1 n!
(7.19)
级数(7.19)称为函数 f ( x)的麦克劳林级数．
如果 f ( x)能在( R, R)内展开成 x的幂级数，则有
f ( x) 1 f (n)(0)xn ,( x R) n1 n!
2!
n!
所以 e x 1 1 x x2 L xn1 L ( x 0)
x
2! 3!
n!
两边逐项微分，得
d (ex 1) 1 2 x L n 1 xn2 L
dx x 2! 3!
n!
其收敛域为(,0) U (0, )．
例 10 将 1 展成为 x 2的幂级数，并求收敛域． 5 x
2
n
由1 x 1 1，得0 x 2，即收敛域为0,2．
x2 0
u k k
k (2k 1)!
k 2k(2k 1)!
所以它的收敛域为 (, )．又
lim
k
Rn( x)
lim
k
sin(
x
(2k
3)
2
)
x2k3 (2k 3)!
x 2k3 lim k (2k 3)!
0,
所以
sin x (1)n
x 2 n1
( x )
n0
(2n 1)!
(7.22)
定理 7.9 设函数 f ( x)在点 x 0 的某一邻域U ( x0 )内具有 各阶导数，则 f ( x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必 要条件是在该邻域内 f ( x)的泰勒公式中的余项 Rn( x) 当n 时趋于零，
即
lim
n
Rn
(
x)
0
，
x
U
(
x0
)
证明 f ( x)的n阶泰勒公式为 f ( x) pn( x) Rn( x)，
解 因为(sin x) cos x，利用(7.22)式得
cos x (sin x) [ (1)n
x2n1 ]
n0
(2n 1)!
= (1)n
x2n
n0
(2n)!
=1-
x2 2!
x4 L
4!
(1)n x2n L ( x ) (2n)!
(7.25)
例6
将函数e
x 3
展成
x
的幂级数．
解 将(7.21)式中的 x换成 x ，得
f
(n)(
x)
n!an
(n
源自文库
1)!an1(
x
x0
)
(n
2)! 2! an2(
x
x0
)2
L
由此可得 f (n)( x0 ) n!an，于是
an
1 n!
f
(n)( x0 )(n
0,1, 2,L
)
(7.16)
这表明，如果函数 f ( x)有幂级数展开式(7.15)那么
该幂级数的系数an由公式(7.16)确定，即该幂级数为
在该区间内就表示函数 f ( x)．
假设函数 f ( x)在点 x0的某邻域U ( x0 )内能展开成幂级数，
即有 f ( x) a0 a1( x x0 ) a2( x x0 )2 L an( x x0 )n L x U ( x0 ) (7.15)
根据和函数的性质，知 f ( x)在U ( x0 )内应具有任意阶导数，且
其中 pn( x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x
x0 ) L
1 n!
f (n)( x0 )( x
x0 )n
叫做函数 f ( x)的n次泰勒多项式，而Rn( x) f ( x) pn( x)
就是定理中所指的余项．
由于n次泰勒多项式 pn( x)就是级数(7.17)的前n 1项部分和，
f ( x0 )
f '( x0 )( x x0 ) L
1 n!
f (n)( x0 )( x
x0 )n L
n0
1 n!
f
(n) ( x0 )( x
x0 )n
(7.17)
展开式为
f
(
x)
n1
1 n!
f
(n)( x0 )( x
x0 )n，
x
U ( x0 )
(7.18)
(7.17)、 (7.18)叫做函数 f ( x)在点 x0处的泰勒级数、泰勒展开式．
（7.20）
(7.20)式称为函数 f ( x)的麦克劳林展开式．
函数 f ( x)定义区间内任一点 x0，是否可以展开为一个幂级
级数，取决于它的各阶导数在 x x0时是否存在，以及当n 时， 余项 Rn( x)是否趋于 0．
下面，将介绍一些初等函数展开为幂级数．
1、直接展开法
利用泰勒公式或麦克劳林公式，将函数 f ( x)展开为幂级数．
n0 n! (3) 判断在收敛域内余项 Rn( x)的极限，
即lim f (n1)( x) xn1是否为零。
n (n 1)! 如果为零，则幂级数在此收敛域内等于函数 f ( x)；
如果不为零，幂级数虽然收敛，但它的和函数也不是 f ( x)．
例 1 将函数 f ( x) e x展成 x的幂级数．
根据幂级数的性质有
f
(x)
1 3
(1)n
n0
xn
n0
1 2n
x
n
1 3
n0
(1)n
1 2n
x
n
其收敛域取1 x 1与2 x 2的交集，即为(-1,1)．
例9
将
d
ex (
1)展成 x的幂级数．
dx x
解 因为e x 1 x x2 L xn L ( x )，
3
x
e 3
(1)n
1 ( x )n
n0
n! 3
1 x 1 ( x )2 L (1)n 1 ( x )n L ( x )
3 2! 3
n! 3
例 7 将函数sin2 x 展成 x的幂级数．
解 因为sin2 x 1 (1 cos 2 x)， 2
将（7.25）式中的 x换成 2 x ，
解 将(7.23)式中的 x换成 x 2，有
1 1 t t 2 L t n1 L (1 t 1) 1 t
所以
1 5
x
3
1 (x
2)
1 3
1
1 x
2
3
1 3
1
x 2 ( x 2)2
3
3
L
( x 2 )n1 L 3
1 3
1 32
(
x
2)
1 33
(
x
2)2
L
1 3n
(
x
2)n1
得到 cos 2 x (1)n (2 x)2n ，
n0
(2n)!
于是 sin2 x 1 (1 cos 2 x) 2
1 [1 1 (2 x)2 (2 x)4 L (1)n1 (2 x)2n L ]
2
2! 4!
(2n)!
(1)n1 (2x)2n ( x )
n1
2 (2n)!
ln(1 x) x dt x 1 x2 1 x3 L (1)n1 1 xn L (7.24)
0 1 t
23
n
可以证明：在 x 1处上式仍成立，
因此收敛域为(1,1].
例 4 将函数arctan x 展开成 x 的幂级数．
解 将式(7.23)式中的 x换成 x2，有
1 1 x2
1 x2
f (2k)(0) 0, f (2k1)(0) (1)k ,L
则
f (n)(0)xn
(1)k
x ( 2 k 1)
n0 n!
k0
(2k 1)!
x x3 x5 L (1)k x2k1 L
3! 5!
(2k 1)!
因为lim uk1 lim (2k 1)! x 2 lim
1