7.6 函数展开成幂级数
函数展成幂级数的公式
函数展成幂级数的公式幂级数是一种特殊的无限级数形式，能够以函数的形式展开。
它在数学、物理和工程领域中具有重要的应用。
将一个函数表示为幂级数的形式，可以帮助我们在分析和计算中简化问题。
一个一般的幂级数的表示形式如下：\[f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \ldots\]其中，\(f(x)\)是我们要展开的函数，\(a_0, a_1, a_2, a_3,\ldots\)是常数系数。
\(x\)是独立变量。
这里的\(x\)可以是实数或复数。
当幂级数展开时，我们通常选择一个特定的点作为展开点。
这个点通常是函数的一些特殊值，比如0或无穷大。
以0为展开点的幂级数称为麦克劳林级数，以无穷大为展开点的幂级数称为朗伯级数。
麦克劳林级数的形式如下：\[f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \ldots\]其中，\(a_0, a_1, a_2, a_3, \ldots\)是常数系数，可以通过导数求值来确定。
朗伯级数的形式如下：\[f(x) = \ldots + \frac{a_{-3}}{x^3} + \frac{a_{-2}}{x^2} +\frac{a_{-1}}{x} + a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \ldots\]其中，\(a_{-3}, a_{-2}, a_{-1}, a_0, a_1, a_2, a_3, \ldots\)是常数系数。
通过使用导数和积分的性质，我们可以确定函数\(f(x)\)的常数系数。
具体来说，如果我们知道函数在展开点的所有导数的值，我们可以使用泰勒公式来确定这些常数系数。
\[f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 +\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \ldots\]其中，\(f(a)\)表示函数在展开点\(a\)处的值，\(f'(a)\)表示函数在展开点\(a\)处的一阶导数，\(f''(a)\)表示函数在展开点\(a\)处的二阶导数，依此类推。
函数展成幂级数的公式(一)
函数展成幂级数的公式(一)函数展成幂级数的公式1. 泰勒级数公式：泰勒级数是函数展开成幂级数的一种方式，可以表示为：f(x)=∑f(n)(a) n!∞n=0(x−a)n其中 $ f^{(n)}(a) $ 表示函数 $ f(x) $ 在点 $ a $ 处的 $ n $ 阶导数。
举例：考虑函数 $ f(x) = e^x $，假设我们要在点 $ a = 0 $ 处展开泰勒级数。
根据泰勒级数公式，我们可以将 $ e^x $ 展开为：e x=∑e0 n!∞n=0x n=∑x nn!∞n=0这样我们就得到了 $ e^x $ 的幂级数展开形式。
2. 麦克劳林级数公式：麦克劳林级数是泰勒级数在 $ a = 0 $ 处展开的特殊情况，可以表示为：f(x)=∑f(n)(0) n!∞n=0x n举例：考虑函数 $ f(x) = (x) $，我们可以使用麦克劳林级数将其展开。
首先，计算 $ f(0) = (0) = 0 $，以及$ f’(0) = (0) = 1 $。
然后，利用麦克劳林级数公式，展开 $ f(x) = (x) $：sin(x)=∑f(n)(0) n!∞n=0x n=∑x2n+1(−1)n(2n+1)!∞n=0这样我们就得到了 $ (x) $ 的幂级数展开形式。
3. 泊松级数公式：泊松级数是一种特殊的幂级数，用于展开函数 $ f(x) $ 的某些特殊形式，可以表示为：f(x)=∑c n∞n=0(x−a)n其中 $ c_n $ 是级数中的系数。
举例：考虑函数 $ f(x) = (1+x) $，我们可以使用泊松级数将其展开。
首先，计算 $ f(0) = (1+0) = 0 $，以及$ f’(x) = $，进而计算$ f’(0) = 1 $。
然后，利用泊松级数公式，展开 $ f(x) = (1+x) $：ln(1+x)=∑c n∞n=0x n为确定系数 $ c_n $，我们对$ f’(x) = = _{n=0}^{}c_n(n+1)x^n $ 进行展开。
函数展成幂级数的公式
函数展成幂级数的公式
函数展开成幂级数的公式是一种用于分析和计算函数的工具。
幂级数是一系列以幂的形式递增的项组成的级数。
将一个函数展开成幂级数可以帮助我们更好地理解函数的性质和行为，以及进行进一步的计算和近似。
在数学中，函数可以用幂级数的形式展开，形如：
f(x) = a₀ + a₁(x - c) + a₂(x - c)² + a₃(x - c)³ + ...
这里，a₀、a₁、a₂等表示系数，c表示展开点。
展开的级数可以无限进行，其中每一项都是(x - c)的幂与系数的乘积。
幂级数的收敛范围取决于函数的性质和展开点c。
幂级数是一种非常有用的工具，可以在物理、工程、经济学等领域中找到广泛的应用。
它们允许我们使用简单的代数运算来处理复杂的函数，并在不同的精度要求下进行近似计算。
要将一个函数展开成幂级数，我们通常需要使用泰勒级数或麦克劳林级数。
泰勒级数是关于展开点c的多项式级数，而麦克劳林级数是泰勒级数在展开点c=0时的特例。
展开函数成幂级数的方法需要一定的计算技巧和数学知识。
一些常见函数的幂级数展开公式包括正弦函数、余弦函数、指数函数和自然对数函数等。
总结起来，函数展开成幂级数的公式是一种用于分析和计算函数的工具。
幂级数是以幂的形式递增的项组成的级数。
将函数展开成幂级数可以帮助我们更好地理解函数的性质和行为，以及进行进一步的计算和近似。
泰勒级数和麦克劳林级数是常用的展开方法。
幂级数在各个领域有着广泛的应用。
函数展开成幂级数公式
函数展开成幂级数公式在数学中，我们通常关注函数在一些点附近的展开，这种展开被称为泰勒级数展开。
泰勒级数展开可以将一个连续可导的函数表示为一个无穷多项的幂级数。
泰勒级数展开的公式如下：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+f'''(a)(x-a)^3/3!+...其中，f(x)是我们要展开的函数，a是展开点，f'(a)、f''(a)、f'''(a)分别是f(x)在a点处的一阶、二阶、三阶导数。
幂级数的形式为：f(x) = ∑ (n=0 to ∞) a_n * (x-a)^n其中，a_n是展开系数，可以通过函数的导数来计算。
对于任意函数，我们可以通过不断求导来计算幂级数的展开系数。
具体的计算方法如下：1.计算展开点a处的函数值f(a)；2.计算展开点a处的一阶导数f'(a)，作为展开系数a_1；3.计算展开点a处的二阶导数f''(a)，作为展开系数a_2；4.以此类推，计算展开点a处的高阶导数f'''(a)，作为展开系数a_3、a_4、a_5...通过这种方式，我们可以计算出函数在展开点附近的幂级数展开。
举例说明，假设我们要将函数f(x) = sin(x)展开成级数，展开点为a=0。
首先我们计算展开系数a_0、a_1、a_2...：a_0 = f(0) = sin(0) = 0a_1 = f'(0) = cos(0) = 1a_2 = f''(0) = -sin(0) = 0a_3 = f'''(0) = -cos(0) = -1a_4 = f''''(0) = sin(0) = 0将这些展开系数代入幂级数公式，我们可以得到sin(x)的幂级数展开为：sin(x) = 0 + 1*x + 0*x^2/2! + (-1)*x^3/3! + 0*x^4/4! + ...这就是sin(x)的泰勒级数展开。
7.6函数的幂级数展开
通过上节的学习知道:任何一个幂级数在其收敛区间
内,均可表示成一个函数(即和函数).
an xn a0 a1 x a2 x2 L an xn L S( x) x D
n0
本节要解决的问题是:给定函数 f (x),能否在某个区间内 展成幂级数.
f ( x) an xn a0 a1 x a2 x2 L an xn L n0
1 f (n) (0)xn f (0) f (0) x L 1 f (n)(0)xn L
n0 n!
1!
n!
1 x L xn L
易知该级数在(1,1)内收敛于 1 f ( x). 1 x
f (x)
级数
n0
f (n) ( x0 ) ( x n!
x0 )n为f ( x)在x
x0处的泰勒级数
即拉格朗日公式,所以泰勒公式是拉格朗日公式的推广,相应的余项 Rn( x)称为拉格朗日型余项.
注2：当x0
0时,()式变为f ( x)
f (0)
f (0)x
f (0) x2 2!
L
f (n) (0) xn n!
f (n1) ( )
(n 1)!
x
n1
,
在x0与x之间.
称为f (x)的马克劳林公式.
例：求f ( x) 1 的马克劳林级数,并讨论该级数在收敛域内 1 x
是否收敛于f ( x).
解：
f
( x)
(x
1 1)2
f
(
x)
(
x
2 1)3
LL
f
(n) (
x)
(1)n1
(
x
n! 1)n1
LL
函数展成幂级数的公式
函数展成幂级数的公式在数学中，幂级数是一种特殊的函数表示方法，它可以用无限多个幂次项的和来表示一个函数。
幂级数的形式可以写为：f(x)=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+...其中，a₀，a₁，a₂，a₃等是系数，可以是实数或复数，x是自变量。
幂级数的展开系数a₀，a₁，a₂，a₃等根据函数的性质不同而有所不同。
下面介绍几个常见函数的幂级数展开公式。
1. 指数函数(exp(x)的幂级数展开)：指数函数exp(x)可以展开为无限和的形式：exp(x) = 1 + x + (x²/2!) + (x³/3!) + ...其中，n!表示n的阶乘。
2. 正弦函数(sin(x)的幂级数展开)：正弦函数sin(x)可以展开为无限和的形式：sin(x) = x - (x³/3!) + (x⁵/5!) - (x⁷/7!) + ...3. 余弦函数(cos(x)的幂级数展开)：余弦函数cos(x)可以展开为无限和的形式：cos(x) = 1 - (x²/2!) + (x⁴/4!) - (x⁶/6!) + ...4. 自然对数函数(ln(x)的幂级数展开)：自然对数函数ln(x)可以展开为无限和的形式：ln(x) = (x-1) - (x-1)²/2 + (x-1)³/3 - (x-1)⁴/4 + ...以上仅列举了几个常见函数的幂级数展开公式，实际上，许多其他函数也可以通过幂级数展开来表示，例如三角函数的反函数、双曲函数、指数函数的反函数等。
幂级数展开的优点是可以用有限项的和来近似计算一个函数的值，特别是在自变量比较接近展开点的情况下，保留有限项可以获得较高的精度。
此外，幂级数展开也有助于理解函数的性质和行为。
在实际应用中，幂级数展开在物理、工程、计算机科学等领域有重要的应用，例如在信号处理、图像处理、优化求解等方面都得到了广泛应用。
总之，幂级数是一种重要的函数展示方法，在数学和应用领域都有着重要的地位。
7.6-7.7泰勒公式与泰勒级数及某些初等函数的幂级数展开式
α ≤ −1 −1 < α < 1
α >1
收敛域为( −1,1); 收敛域为( −1,1];
收敛域为[ −1,1].
1 当α = −1,± 时, 有 2
1 = 1 − x + x 2 − x 3 + L + ( −1)n x n + L ( −1,1) 1+ x
1 1 2 1⋅ 3 3 n ( 2n − 3)!! n 1+ x = 1+ x − x + x + L + ( −1) x +L 2 2⋅ 4 2⋅4⋅6 ( 2n)!! [−1,1]
x
0
dx 1 + x2
1 3 1 5 x 2 n +1 = x − x + x − L + ( −1) n +L 3 5 2n + 1 x ∈ [−1,1] −
dx ln(1 + x ) = ∫ 0 1+ x 1 2 1 3 xn n −1 = x − x + x − L + ( −1) +L 2 3 n x ∈ (−1,1] −
在（2）式中取 x° = 0, 得 ）
f ' ' ( 0) 2 f ( n ) ( 0) n f ( 0) + f ' ( 0) x + x +L x + L, (3) 2! n! 级数（ ） 麦克劳林级数。 级数（3）称为函数 f (x) 的麦克劳林级数。
的幂级数， 函数 f ( x ) 的麦克劳林级数是 x 的幂级数，现在我们
1 3 1 5 x2n+1 Qsin x = x − x + x −L+ (−1)n +L 3! 5! (2n + 1)! 2n 1 2 1 4 n x ∴ cos x = 1 − x + x − L + ( −1) +L 2! 4! ( 2n)!
函数展开成幂级数PPT课件
3! 5!
(2n 1)!
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例3 将函数f(x)(1x)m (m为任意常数)展开成x的幂级数. 解 f(x)的各阶导数为
f (x)m(1x)m1, f (x)m(m1)(1x)m2, , f (n)(x)m(m1)(m2) (mn1)(1x)mn, , 所以 f(0)1, f (0)m, f (0)m(m1), , f (n)(0)m(m1)(m2) (mn1), , 于是得幂级数
❖求幂级数展开式的间接展开法
例4 将函数f(x)cos x展开成x的幂级数. 解 已知
sin x x x3 x5 (1)n1 x2n1 (<x<).
3! 5!
(2n 1)!
对上式两边求导得
cosx 1 x2 x4 (1)n x2n (<x<).
2! 4!
(2n)!
f (0) f (0)x f (0) x2 f (n)(0) xn ,
2!
n!
并求出收敛半径R;
•第四步 考察在区间(R, R)内时是否Rn(x)0(n).
如果Rn(x)0(n), 则f(x)在(R, R)内有展开式
f (x) f (0) f (0)x f (0) x2 f (n)(0) xn (RxR).
但是, 如果f(x)的麦克劳林级数在点x00的某邻域内收敛, 它却不一定收敛于f(x).
因此, 如果f(x)在点x00处具有各阶导数, 则f(x)的麦克劳 林级数虽然能作出来, 但这个级数是否在某个区间内收敛, 以 及是否收敛于f(x)却需要进一步考察.
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函数怎么展开成幂级数
函数怎么展开成幂级数
展开函数成幂级数是将一个函数表示为幂级数的形式，其中幂级数是以自变量的幂次递增的一系列项的和。
下面是展开函数成幂级数的一般步骤：
1. 确定展开点：选择一个适当的展开点，通常是函数定义域内的某个特定点，例如0点或其他常用点。
2. 确定幂级数的形式：幂级数的一般形式是
f(x) = c? + c?(x-a) + c?(x-a)2 + c?(x-a)3 + ...
3. 求取各项系数：通过求导、积分或其他方法，计算幂级数的每一项系数c?, c?, c?, ...
4. 写出幂级数展开：将求得的各项系数代入幂级数的一般形式中，得到展开后的幂级数表达式。
需要注意的是，在某些情况下，函数可能只能在给定的展开点的某个特定范围内展开为幂级数。
具体来说，有几种常见的方法可以用来展开函数成幂级数：
1. 泰勒级数：使用泰勒级数展开函数，其中泰勒级数是在展开点附近的无穷项幂级数。
泰勒展开通常基于函数在展开点处的各阶导数。
2. 麦克劳林级数：麦克劳林级数是一种特殊的泰勒级数，其中只考虑展开点的0阶到n阶导数项。
此方法适用于将函数在0点处展开的情况。
3. 广义幂级数：广义幂级数是一种在非零展开点附近展开的级数形式，通过将函数表示为其他函数的级数和来展开。
请注意，展开函数成幂级数是一个复杂的过程，对于某些函数可能很难获得完整的幂级数表达式。
此外，幂级数可能只在某个收敛域内是收敛的。
因此，在实践中，特定函数的幂级数展开需要根据具体情况使用适当的方法和技巧。
函数展开成幂级数的方法
函数展开成幂级数的方法幂级数是指一种形如 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n
x^n$ 的函数展开方法。
这种展开方法可以将函数展开成一个关于 $x$ 的无限多项式。
对于给定的函数 $f(x)$，我们可以使用以下步骤将其展开成幂级数：
1.选择幂级数的中心 $x_0$。
2.将函数 $f(x)$ 以 $x_0$ 为中心进行平移，得到函数
$f(x-x_0)$。
3.使用泰勒展开式将函数 $f(x-x_0)$ 展开成如下形
式：
$$f(x-x_0) = \sum_{n=0}^{\infty}
\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^n$$
其中 $f^{(n)}(x)$ 表示函数 $f(x)$ 的 $n$ 阶导数。
通过以上步骤，我们就可以将函数 $f(x)$ 展开成幂级数：
$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}
\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^n$$
注意，幂级数的收敛性取决于函数 $f(x)$ 在
$x_0$ 处的可微性以及 $x_0$ 周围的情况。
如果函数
$f(x)$ 在 $x_0$ 处不可微或者 $x_0$ 周围的函数值发生快速变化，那么幂级数可能会不收敛。
例如，对于函数 $f(x) = |x|$，无论选择任何值作为幂级数的中心，幂级数都不会收敛。
函数展成幂级数的公式
函数展成幂级数的公式首先，我们来了解一下函数展成幂级数的定义。
给定一个函数 f(x)，我们希望能够找到一系列常数 a0、a1、a2...an 和幂级数∑(n=0 to∞)an(x-c)^n，使得对于给定的 x 的一些范围内，f(x)可以用幂级数进行近似表示。
这个幂级数的展开点 c 表示了幂级数的发散点或收敛点。
接下来，我们介绍一些常见的函数展成幂级数的公式。
1.泰勒级数：泰勒级数是展开函数的一种特殊情况，它是函数f(x)在一些点c处的幂级数表示。
泰勒级数的公式为：f(x)=f(c)+f'(c)(x-c)+f''(c)(x-c)^2/2!+f'''(c)(x-c)^3/3!+... 2.麦克劳林级数：麦克劳林级数是中心点c为0的泰勒级数，它是函数在原点附近的幂级数表示。
麦克劳林级数的公式为：f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)x^2/2!+f'''(0)x^3/3!+...3.求和公式：对于一些特定的函数，我们可以使用求和公式来展开函数为幂级数表示。
例如：sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! + ...exp(x) = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...ln(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4 + ...这些公式是函数展成幂级数的基础，可以通过逐阶求导和求和运算得到。
其中，泰勒级数和麦克劳林级数是最常见的展开形式，适用于大多数函数的近似表示。
求和公式则适用于一些特定的函数，如三角函数、指数函数和对数函数等。
此外，函数展成幂级数还有一些重要的性质和定理，如幂级数的收敛域、幂级数的计算方法（如微积分运算）、幂级数的和函数和导数等。
函数怎么展开成幂级数
函数怎么展开成幂级数展开函数成幂级数是一种将一个函数用无穷级数的形式表示的方法。
这种方法在数学分析和物理学中有广泛的应用。
展开函数成幂级数的方法在很多情况下比较复杂，但对于一些特殊的函数，可以采用一些常见的技巧来进行展开。
首先，我们来回顾一下幂级数的定义。
如果给定一个函数f(x)，我们想要将它展开为幂级数的形式，那么我们需要找到一个函数g(x)以及一个常数c，使得f(x)可以表示为g(x)乘以伪幂级数(c+x+x^2+x^3+...)的形式。
这个伪幂级数在数学上称为幂级数的“标准形式”。
为了将一个函数展开成幂级数形式，需要进行以下几个步骤：1.确定展开点：选择一个展开点x=a。
通常情况下，我们会选择函数f(x)的一个曲线上的一个点为展开点。
2.求取各项系数：使用泰勒级数展开的方法，我们可以通过求取函数f(x)在展开点x=a处的各阶导数（包括一阶导数、二阶导数、三阶导数等）来计算幂级数的各项系数。
具体来说，幂级数的系数可以通过以下公式计算：cn = f^(n)(a)/n!其中，f^(n)(a)表示函数f(x)的n阶导数在x=a处的值。
n!表示n的阶乘。
3.整理幂级数的形式：将各项系数带入幂级数的标准形式(c+x+x^2+x^3+...)中，得到展开后的幂级数形式。
让我们通过一个例子来演示一下展开函数成幂级数的过程：假设我们要将函数f(x) = sin(x)展开成幂级数的形式。
首先，我们选择展开点x=0。
然后，我们可以使用泰勒级数展开的方法来计算各项系数。
由于sin(x)的各阶导数的周期性质，我们可以观察到以下规律：f^(2n+1)(0)=0f^(2n)(0)=(-1)^n*(2n)!通过计算，我们可以得到幂级数的系数：c0 = f(0)/0! = sin(0)/0! = 0/1 = 0c1 = f'(0)/1! = cos(0)/1! = 1/1 = 1c2 = f''(0)/2! = -sin(0)/2! = 0/2 = 0c3 = f'''(0)/3! = -cos(0)/3! = -1/6c4 = f''''(0)/4! = sin(0)/4! = 0/24 = 0...因此，函数f(x) = sin(x)的展开幂级数形式为：sin(x) = x - (x^3)/3! + (x^5)/5! - (x^7)/7! + ...注意：在实际应用中，幂级数展开可以根据需要选择合适的截断级数，即只保留幂级数中的前几项。
函数展开成幂级数
1. 直接展开法
把函数 f (x) 展开成 x 的幂级数的步骤:
第一步 求出 f (x) , f (x) , , f (n) (x) , ,
第二步 求出 f (0) , f (0) , f (0) , , f (n) (0) , ,
第三步 写出幂级数
f (n) (0) xn ,并求出收敛半径 R .
n2 n 1
x (1)n1(2n 1) xn (1 x 1) .
n2 n(n 1)
例
将函数
sin
x
展开成
x
π 4
的幂级数.
解
sin x
sin
π 4
x
π 4
sin
π 4
cos
x
π 4
1 2(1
x)
1 2(3
x)
1
1
,
4 1
x 1 2
8 1
x
1 4
将 1 (1)n xn 中的 x分别换成 x 1 和 x 1 ,
1 x n0
24
可得
1
4
1
x
1 2
1 4
n0
(1)n 2n
n1 n
例 把函数 f (x) (1 x) ln(1 x) 展开成 x 的幂级数.
解
f (x) (1 x)
(1)n1 xn
n1 n
(1)n1 xn
函数展成幂级数的公式
函数展成幂级数的公式
摘要：
一、引言
二、函数展成幂级数的定义
三、幂级数展开的公式
四、幂级数收敛性的判断
五、幂级数在数学中的应用
六、总结
正文：
一、引言
在数学中，函数展成幂级数是一种常见的数学方法。
通过这种方法，我们可以将一个复杂的函数表示为一系列简单的幂级数的和，从而更好地理解和研究这个函数。
二、函数展成幂级数的定义
函数展成幂级数，即将一个函数表示为一系列幂级数的和。
幂级数是一个形式为a_nx^n 的级数，其中a_n 是级数的系数，x 是自变量，n 是正整数。
三、幂级数展开的公式
如果一个函数f(x) 在某个区间内可积或者可微，那么它就可以在该区间内展成幂级数。
展成幂级数的公式为：
f(x) = a_0/1! + a_1/2!x^2 + a_2/3!x^3 + ...+ a_n/n!x^n + ...
其中，a_n 是幂级数的系数，由函数f(x) 在x=x_0 处的各阶导数决定。
四、幂级数收敛性的判断
幂级数的收敛性是指，当x 趋近于某个值时，幂级数的前n 项和是否趋近于某个极限。
如果幂级数是收敛的，那么它就可以用来近似表示函数。
五、幂级数在数学中的应用
幂级数在数学中有着广泛的应用，例如在解析函数、微积分、级数收敛性等领域都有着重要的作用。
六、总结
函数展成幂级数是数学中的一种重要方法，它可以帮助我们更好地理解和研究复杂的函数。
函数展开为幂级数的公式
函数展开为幂级数的公式
函数展开成幂级数公式为：1/(1-x)=∑x^n(-1），幂级数，是数学分析当中重要概念之一，是指在级数的每一项均为与级数项序号n相对应的以常数倍的（x-a）的n次方，n是从0开始计数的整数，a为常数。
幂级数是数学分析中的重要概念，被作为基础内容应用到了实变函数、复变函数等众多领域当中。
常用的全面的幂级数展开公式：f(x)=1/(2+x-x的平方)
每一项均为与级数项序号n相对应的以常数倍的（x-a）的n次方，n 是从0开始计数的整数，a为常数。
幂级数是数学分析中的重要概念，被作为基础内容应用到了实变函数、复变函数等众多领域当中。
扩展资料：
函数展开成幂级数的一般方法是：
1、直接展开
对函数求各阶导数，然后求各阶导数在指定点的值，从而求得幂级数的各个系数。
2、通过变量代换来利用已知的函数展开式
例如sin2x的展开式就可以通过将sinx的展开式里的x全部换成2x 而得到。
3、通过变形来利用已知的函数展开式
例如要将1/(1+x)展开成x−1的幂级数，我们就可以将函数写成x −1 的函数，然后利用1/(1+x)的幂级数展开式。
4、通过逐项求导、逐项积分已知的函数展开式
例如coshx=(sinhx)′，它的幂级数展开式就可以通过将sinhx的展开式逐项求导得到。
需要注意的是，逐项积分法来求幂级数展开式，会有一个常数出现，这个常数是需要我们确定的。
确定的方法就是通过在展开点对函数与展开式取值，令两边相等，就得到了常数的值。
5，利用级数的四则运算
例如sinhx=(e^x−e^{−x})/2，它的幂级数就可以利用e^x和e^{−x} 的幂级数通过四则运算得到。
幂级数的展开
x
(n + 1)!
x
e
x
由比值判别法知：级数∑
n =0
x
n +1
(n + 1)!
e 收敛，故其一般项趋于0，
即 lim
x
n +1
n →∞
(n + 1)!
e ＝0，x ∈ (-∞,+∞) 从而有 lim Rn ( x) = 0
x n →∞
16
间接法
根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换, 根据唯一性 利用常见展开式 通过变量代换 四则运 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等方法,求展开式 求展开式. 算, 恒等变形 逐项求导 逐项积分等方法 求展开式
定理中的公式称为函数f(x)按(x − a)的幂级数展开到n阶的泰勒公式 或f(x)在x = a处的n阶泰勒公式，简称为n阶泰勒公式。
f(x)的泰勒公式表明，函数f(x)的值可近似地表示为 1 1 (n) 2 f(x) ≈ f(a) + f' (a)(x - a) + ' ' f (a )( x − a ) + L + f (a )( x − a ) n 2! n! 而近似误差可由Rn ( x)来估计。
§7.6函数的幂级数展开 7.6函数的幂级数展开
一、泰勒级数 二、泰勒公式 三、函数的泰勒级数展开
1
问题 n ∞ n −1 x ∑ (−1) n = ln(1 + x )
n =1
( −1 < x ≤ 1)
f ( x) = ∑an ( x − x0 )n
n=0
∞Leabharlann 存在幂级数在其收敛 域内以f(x)为和函数 域内以 为和函数
函数展开成幂级数泰勒公式
经济数学
证明
Rn ( x)
f (n1) ( ) ( x
(n 1)!
x0
)n1
M x x0 n1 , (n 1)!
x
x0
n1
在(,)收敛,
n0 (n 1)!
x ( x0 R, x0 R)
lim n
x x0 n1 (n 1)!
经济数学
例如
f
(x)
e
1 x2
,
x0
0, x 0
在x=0点任意可导, 且 f (n) (0) 0 (n 0,1,2,)
f ( x)的麦氏级数为 0 xn
n0
该级数在(,)内和函数s( x) 0. 可见
除 x 0 外, f ( x) 的麦氏级数处处不收敛于 f ( x).
33
3
3
x1 3
经济数学
x 1 ( x 1) 1
4 x
4 x
1(x 3
1)
( x 1)2 32
(x
1)3 33
(x
1)n 3n
于是
f
(n) (1) n!
1 3n
,
x1 3
故
f
(n) (1)
n! 3n .
经济数学
例8 将
展成 x－1 的幂级数.
-----拉格朗日中值定理
2、若 Rn (x) o[( x x0 )]n ，则称为皮亚渃型余项
3、当 x0 0 时，泰勒公式称为麦克劳林公式
f (x)
函数展开成幂级数公式
函数展开成幂级数公式在数学中，幂级数是一种以自变量的幂次递增的项构成的级数。
它的一般形式可以表示为：f(x)=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+...其中，a₀、a₁、a₂、a₃等为系数，它们可以是实数或复数，而x则是自变量。
为了展开一个函数成幂级数公式，我们通常需要计算系数a₀、a₁、a₂、a₃等的值。
这可以通过不同的数学方法来实现，比如泰勒级数展开和麦克劳林级数展开。
泰勒级数展开是一种常用的函数展开方法，它可以将一个光滑函数在一些点(x=c)的附近展开成幂级数。
泰勒级数的一般形式可以表示为：f(x)=f(c)+f'(c)(x-c)/1!+f''(c)(x-c)²/2!+f'''(c)(x-c)³/3!+...其中，f(c)、f'(c)、f''(c)、f'''(c)等为函数在点c处的各阶导数值。
麦克劳林级数展开是一种特殊的泰勒级数展开，它将一个函数在原点x=0处展开成幂级数。
f(x)=f(0)+f'(0)x/1!+f''(0)x²/2!+f'''(0)x³/3!+...与泰勒级数展开类似，麦克劳林级数的各阶导数值需要在点x=0处计算。
通过以上两种展开方法，我们可以将各种函数表达式转化为幂级数形式，从而更好地理解和分析函数的性质。
这种转化不仅可以简化函数的计算，还可以为进一步的数学推导和应用提供基础。
需要注意的是，幂级数展开并不适用于所有函数。
一些函数可能无法用幂级数的形式来表示，或者幂级数展开在一些点上不收敛。
因此，在进行幂级数展开时，要注意函数的条件和适用范围，以免产生错误的结果。
总结起来，函数展开成幂级数公式是一种重要的数学方法，可以将复杂的函数表达式转化为一组无穷和的形式。
它为数学、物理和工程领域的问题提供了一种有效的分析和处理工具，有助于进一步研究和应用各种函数。
7.6 函数展开成幂级数
35
2n 1
当 x 1时交错级数 (1)n1
1
收敛；
n0
2n 1
当 x 1时，交错级数 (1)n
1
收敛．
n0
2n 1
因此收敛域为[1,1]．
例 5 将函数cos x 展成 x的幂级数．
解 因为(sin x) cos x，利用(7.22)式得
cos x (sin x) [ (1)n
0 1 t
23
n
可以证明：在 x 1处上式仍成立，
因此收敛域为(1,1].
例 4 将函数arctan x 展开成 x 的幂级数．
解 将式(7.23)式中的 x换成 x2，有
1 1 x2
1
x2
x4
(1)n1 x2n2
逐项积分，得
arctan x x 1 x3 1 x5 (1)n1 x2n1
f
(n)(
x)
n!an
(n
1)!an1(
x
x0
)
(n
2)! 2! an2(
x
x0
)2
由此可得 f (n)( x0 ) n!an，于是
an
1 n!
f
(n)( x0 )(n
0,1, 2,
)
(7.16)
这表明，如果函数 f ( x)有幂级数展开式(7.15)那么
该幂级数的系数an由公式(7.16)确定，即该幂级数为
f (2k)(0) 0, f (2k1)(0) (1)k ,
则
f (n)(0)xn
(1)k
x ( 2 k 1)
n0 n!
k0
(2k 1)!
x3 x5 x
(1)k
x 2 k 1
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解 因为(sin x) cos x，利用(7.22)式得
cos x (sin x) [ (1)n
x2n1 ]
n0
(2n 1)!
= (1)n
x2n
n0
(2n)!
=1-
x2 2!
x4 L
4!
(1)n x2n L ( x ) (2n)!
(7.25)
例6
将函数e
x 3
展成
x
的幂级数．
解 将(7.21)式中的 x换成 x ，得
下面将给出 f ( x)展成麦克劳林幂级数的步骤：
麦克劳林幂级数的步骤： (1) 求出 f ( x)在 x 0的各阶导数值 f (n)(0)，若函数 f ( x)的
某阶导数不存在，则 f ( x)不能展开为幂级数；
(2) 写出幂级数 f ( x) f (n)(0) xn ，并求出其收敛域；
f
(n)(
x)
n!an
(n
1)!an1(
x
x0
)
(n
2)! 2! an2(
x
x0
)2
L
由此可得 f (n)( x0 ) n!an，于是
an
1 n!
f
(n)( x0 )(n
0,1, 2,L
)
(7.16)
这表明，如果函数 f ( x)有幂级数展开式(7.15)那么
该幂级数的系数an由公式(7.16)确定，即该幂级数为
定理 7.9 设函数 f ( x)在点 x 0 的某一邻域U ( x0 )内具有 各阶导数，则 f ( x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必 要条件是在该邻域内 f ( x)的泰勒公式中的余项 Rn( x) 当n 时趋于零，
即
lim
n
Rn
(
x)
0
，
x
U
(
x0
)
证明 f ( x)的n阶泰勒公式为 f ( x) pn( x) Rn( x)，
2!
n!
所以 e x 1 1 x x2 L xn1 L ( x 0)
x
2! 3!
n!
两边逐项微分，得
d (ex 1) 1 2 x L n 1 xn2 L
dx x 2! 3!
n!
其收敛域为(,0) U (0, )．
例 10 将 1 展成为 x 2的幂级数，并求收敛域． 5 x
２. 间接展开法
间接展开法是以一些函数的幂级数展开式为基础， 利用幂级数的性质，变量替换等方法，求出某些函数的 幂级数展开式．
例 3 将函数ln(1 x)展开成 x的幂级数．
解 因为
1 1 x x2 L (1)n xn L (1 x 1) (7.23) 1 x
上式两边分别从0到 x逐项积分，得
在该区间内就表示函数 f ( x)．
假设函数 f ( x)在点 x0的某邻域U ( x0 )内能展开成幂级数，
即有 f ( x) a0 a1( x x0 ) a2( x x0 )2 L an( x x0 )n L x U ( x0 ) (7.15)
根据和函数的性质，知 f ( x)在U ( x0 )内应具有任意阶导数，且
x n1
是级数
xn (
x
)的通项，
(n 1)!
n0 n!
所以对任意 x R上式均成立，因此得到
e x xn ( x )
n0 n!
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(7.21)
例 2 将函数sin x展成 x的幂级数．
解 由 f (n)( x) sin( x n ),得
2 f (0) 0, f (0) 1, f (0) 0, f (0) 1,L ,
2
n
由1 x 1 1，得0 x 2，即收敛域为0,2．
f (0) f (0) x L 1 f (n)(0) xn L 1 f (n)(0) xn
n!
n1 n!
(7.19)
级数(7.19)称为函数 f ( x)的麦克劳林级数．
如果 f ( x)能在( R, R)内展开成 x的幂级数，则有
f ( x) 1 f (n)(0)xn ,( x R) n1 n!
x4 L
(1)n1 x2n2 L
逐项积分，得
arctan x x 1 x3 1 x5 L (1)n1 x2n1 L
35
2n 1
当 x 1时交错级数 (1)n1
1
收敛；
n0
2n 1
当 x 1时，交错级数 (1)n
1
收敛．
n0
2n 1
因此收敛域为[1,1]．
例 5 将函数cos x 展成 x的幂级数．
n0 n! (3) 判断在收敛域内余项 Rn( x)的极限，
即lim f (n1)( x) xn1是否为零。
n (n 1)! 如果为零，则幂级数在此收敛域内等于函数 f ( x)；
如果不为零，幂级数虽然收敛，但它的和函数也不是 f ( x)．
例 1 将函数 f ( x) e x展成 x的幂级数．
其中 pn( x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x
x0 ) L
1 n!
f (n)( x0 )( x
x0 )n
叫做函数 f ( x)的n次泰勒多项式，而Rn( x) f ( x) pn( x)
就是定理中所指的余项．
由于n次泰勒多项式 pn( x)就是级数(7.17)的前n 1项部分和，
3
x
e 3
(1)n
1 ( x )n
n0
n! 3
1 x 1 ( x )2 L (1)n 1 ( x )n L ( x )
3 2! 3
n! 3
例 7 将函数sin2 x 展成 x的幂级数．
解 因为sin2 x 1 (1 cos 2 x)， 2
将（7.25）式中的 x换成 2 x ，
L
由 x 2 1得3 x 2 3，即收敛域为(1,5)． 3
例 11 将ln x 展成 x 1的幂级数，并求收敛域．
解 由(7.24)式得
t2 ln(1 t) t
L
n1 t n
L
t 1
2
n
所以 ln x ln[1 ( x 1)]
( x 1) 1 ( x 1)2 L n1 1 ( x 1)n L
（7.20）
(7.20)式称为函数 f ( x)的麦克劳林展开式．
函数 f ( x)定义区间内任一点 x0，是否可以展开为一个幂级
级数，取决于它的各阶导数在 x x0时是否存在，以及当n 时， 余项 Rn( x)是否趋于 0．
下面，将介绍一些初等函数展开为幂级数．
1、直接展开法
利用泰勒公式或麦克劳林公式，将函数 f ( x)展开为幂级数．
得到 cos 2 x (1)n (2 x)2n ，
n0
(2n)!
于是 sin2 x 1 (1 cos 2 x) 2
1 [1 1 (2 x)2 (2 x)4 L (1)n1 (2 x)2n L ]
2
2! 4!
(2n)!
(1)n1 (2x)2n ( x )
n1
2 (2n)!
解 由 f ( x) e x 得 f (n)(0) 1，从而
f (n)(0) xn xn
n0 n!
n0 n!
其收敛域为(, )，对于任何有限数 x，
余项绝对值为lim n
Rn( x)
lim n
e x xn1 (n 1)!
lim e x n
x n1 (n 1)!
因e x 是有限数，
§7.6 函数展开成幂级数
前面讨论了幂级数的收敛域及其和函数的性质，
但在许多应用中，我们遇到的却是相反的问题：给定函数 f ( x)，需考虑它是否能在某个区间内“展开成幂级数”， 就是说，是否能找到这样一个幂级数，它在某区间内收敛，
且其和恰好就是给定的函数 f ( x)。
如果能找到这样的幂级数，我们就说， 函数 f ( x)在该区间内能展开成幂级数，而这个幂级数
根据级数收敛的定义
n0
1 n!
f
(n)
(
x0
)(
x
x0 )n
f ( x),x U ( x0 )
lim
n
pn
(
x)
f ( x),x U ( x0 )
lim
n
f
(x)
pn( x)
0,x U( x0 )
lim
n
R
n
(
x
)
0,
x
U
(
x0
)
下面着重讨论 x0 0的情形，在(7.17)式中，取 x0 0，得
例8
将函数
f (x)
x2
x 展成x的幂级数．
x2
解
x
x
f ( x) x2 x 2 ( x 2)( x 1)
因为
1 3
(
x
1
1
x
2
) 2
1 3
( 1
1
x
1
1
x
)，
2
1
(1)n xn (1 x 1)，
1 x n0
1 ( x )n (2 x 2)
1 x n0 2 2
ln(1 x) x dt x 1 x2 1 x3 L (1)n1 1 xn L (7.24)
0 1 t
23
n
可以证明：在 x 1处上式仍成立，
因此收敛域为(1,1].
例 4 将函数arctan x 展开成 x 的幂级数．
解 将式(7.23)式中的 x换成 x2，有
1 1 x2
1 x2
根据幂级数的性质有
f