含参数的一元二次方程
一元二次不等式及含参问题的解法
若a<0呢?
函数： 方程： a＞0 ax2+bx+c=0 y=ax2+bx+c 的图象 的解情况 y 当⊿＞0时， 方程有两不 等的根x1 ， x1 o x2 x x2 当⊿＝0 时， 方程有两相 等的根 X1=X2=x0 当⊿＜0 时， 方程无解 o x y 不等式的解集 ax2+bx+c＞0 ax2+bx+c＜0
方法三：
x 2 x 3 ( x 1)( x 3 ) 0 , x 1 1, x 2 3
2
复习一元二次函数
复习一元二次函数:y=ax2+bx+c(a≠0)
当a>0时图像
0
0
0
复习一元二次函数:y=ax2+bx+c(a≠0)
当a<0时图像
0
综上得 {a|0≤a≤4}.
解下列不等式：
(1 ) x 2 x
2
2 3
0 ; ( 2 ) 8 x 1 16 x .
2
含参数的一元二次不等式
例1 解关于 x 的不等式
ax
2
5 ax 6 a 0 a 0
分析: 因为 a 0 且 数的正负.
∴(1)当 a ∴当 a
k x
4
(2)当 k (3)当
8
时,不等式解集为 x 时,不等式解集为
x 2
8 k 0
(4)当 k 0 时,不等式解集为 x
x 0
例4:解关于
x 的不等式：
ax
2
( a 1) x 1 0 .
{ 解: （一）当 a 0 时, 原不等式即为 x 1 0 解 集 为 ：x | x 1} .
含参数的一元二次不等式例题
含参数的一元二次不等式例题例题 1解不等式：x^2 2x + a > 0，其中a为参数。
解析：对于一元二次方程x^2 2x + a = 0，其判别式\Delta = 4 4a。
当\Delta 0，即4 4a 0，a > 1时，不等式的解集为R。
当\Delta = 0，即4 4a = 0，a = 1时，不等式化为(x 1)^2 > 0，解集为x ≠ 1。
当\Delta > 0，即4 4a > 0，a 1时，方程x^2 2x + a = 0的两根为x_1 = 1 \sqrt{1 a}，x_2 = 1 + \sqrt{1 a}，不等式的解集为x 1 \sqrt{1 a}或x > 1 + \sqrt{1 a}。
例题 2解不等式：ax^2 + 2x + 1 > 0，其中a为参数。
解析：当a = 0时，不等式化为2x + 1 > 0，解得x > \frac{1}{2}。
当a ≠ 0时，对于一元二次方程ax^2 + 2x + 1 = 0，其判别式\Delta = 4 4a。
若\Delta 0，即4 4a 0，a > 1，不等式的解集为R。
若\Delta = 0，即4 4a = 0，a = 1，不等式化为(x + 1)^2 > 0，解集为x ≠ 1。
若\Delta > 0，即4 4a > 0，a 1且a ≠ 0，方程ax^2 + 2x + 1 = 0的两根为x_1 = \frac{1 + \sqrt{1 a}}{a}，x_2 =\frac{1 \sqrt{1 a}}{a}。
当0 a 1时，不等式的解集为x \frac{1 \sqrt{1 a}}{a}或x > \frac{1 + \sqrt{1 a}}{a}。
当a 0时，不等式的解集为\frac{1 + \sqrt{1 a}}{a} x\frac{1 \sqrt{1 a}}{a}。
含参数的一元二次不等式的解法
02
形如$ax^{2} + bx + c > 0$或$ax^{2} + bx + c < 0$的不等式，其中$a \neq 0$。
通常表示为$ax^{2} + bx + c > 0$，其中$a \neq 0$，当$a < 0$时，不等式表示的为开口向下的抛物线在$x$轴上方（或下方）的部分。
研究意义
研究目的和意义
在国内外学者的研究中，一元二次不等式的解法已经得到了广泛的研究。对于不含参数的一元二次不等式，学者们已经提出了多种求解方法，如公式法、图解法等。而对于含参数的一元二次不等式，由于参数的出现使得问题变得更为复杂，因此相关的研究相对较少。目前，已有的研究主要集中在求解含参数的一元二次不等式的解集上，而对其求解方法、参数对解的影响等方面的研究尚不充分。因此，本文将深入研究含参数的一元二次不等式的解法，探讨参数对不等式解的影响，并总结出一套有效的求解策略。
未来，我们将进一步深入研究含参数的一元二次不等式问题，探讨更加高效的解法，并尝试将其应用于更广泛的领域。
我们计划利用现代数学方法和技术，对含参数的一元二次不等式问题进行深入研究，以期取得更加系统和全面的研究成果。
同时，我们也希望通过进一步的研究，能够为解决其他相关数学问题提供思路和方法上的借鉴。
工作展望
利用数轴法求解
方法比较和实例分析
04
直接求解法
直接根据一元二次不等式的解法公式，将参数代入公式进行计算。优点是简单易懂，但计算量较大，容易出现计算错误。
方法比较
分解因式法
将一元二次不等式转化为两个一元一次不等式，再分别求解。优点是计算量较小，但需要一定的观察能力和分解因式技巧。
含参数一元二次不等式
(2)若a2-1≠0，即a≠±1时，要使原不等式的解集 为R，
2 a a 2 1 0 3 1 0 a 1 必须 0 2 2 5 (a 1) 4(a 1)(1) 0
3 ∴实数a的取值范围是 a | a 1 5
例题讲解
例2．解关于x的不等式：(x-x2+12)(x+a)<0. 解 原不等式可化为（x+3)(x-4)(x+a)>0 (ⅰ)当-a>4，即a<-4时，各根在数轴上的分布及 4 -3 -a x 穿线如下： ∴原不等式的解集为{x| -3<x<4或x>-a}. (ⅱ)当-3<-a<4，即-4<a<3时，各根在数轴上的分 x -a 布及穿线如下： -3 4 ∴原不等式的解集为{x| -3<x<-a或x>4}. (ⅲ)当-a<-3，即a>3时，各根在数轴上的分布及 穿线如下： ∴原不等式的解集为{x| -a<x<-3或x>4}.
y=ax2+bx+c
y
的图象
x1 o
y
x2 x
{x∣x＜x1 {x∣x1＜x＜x2 } 或 x ＞ x2 }
{ x∣x≠x0}
o x0 y x
Փ Փ
R
o x
例题讲解
例1解关于x的不等式
解 k 8k k (k 8) 2 （1）当 0,即k 8或k 0时, 方程2 x kx k 0 有两个不相等的实根 2 所以不等式 2x kx k 0的解集是 .
2 x 2 2kx k 解： 4 x 2 6 x 3 1 2 x 2 2(k 3) x 3 k 0 2 4x 6x 3
含参数的一元二次不等式的解法
含参数一元二次不等式解法含参一元二次不等式常用分类方法有三种：一、按2x 项系数a 符号分类，即0,0,0<=>a a a ; 例1 解不等式：()0122>+++x a ax分析：本题二次项系数含有参数，()044222>+=-+=∆a a a ，故只需对二次项系数进行分类讨论。
解：∵()044222>+=-+=∆a a a解得方程 ()0122=+++x a ax 两根,24221aa a x +---=∴当0>a 时,解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为当0<a 时, 解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<<++--a a a x a a a x 242242|22例2 解不等式()00652≠>+-a a ax ax分析 因为0≠a ，0>∆，所以我们只要讨论二次项系数正负。
解 ()()032)65(2>--=+-x x a x x a∴当0>a 时，解集为{}32|><x x x 或；当0<a 时，解集为{}32|<<x x变式：解关于x 不等式1、0)2)(2(>--ax x ；2、(1－ax )2<1.}2,2|{,1)5(}2|{,1)4(}2,2|{,10)3(}2|{,0)2(}22|{,0)1(><>≠=><<<<=<<<x ax x a x x a ax x x a x x a x ax a 或时当时当或时当时当时当3、ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a ∈R)【解】由(1－ax )2<1得a 2x 2－2ax ＋1<1.即ax (ax －2)<0.(1)当a ＝0时，不等式转化为0<0，故原不等式无解．(2)当a <0时，不等式转化为x (ax －2)>0，即x (x －2a )<0.∵2a <0，∴不等式的解集为{x |2a<x <0}．(3)当a >0时，不等式转化为x (ax －2)<0，}11|{1)5(1)4(}11|{10)3(}1|{0)2(}1,1|{0)1(<<>Φ=<<<<>=><<x ax a a ax x a x x a x ax x a 时，当时，当时，当时，当或时，当二、按判别式∆符号分类，即0,0,0<∆=∆>∆； 例3 解不等式042>++ax x分析 本题中由于2x 系数大于0,故只需考虑∆及根情况。
含参数的一元二次不等式的解法
含参数的一元二次不等式的解法含参一元二次不等式经常使用的分类方式有三种： 一、按2x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ; 例1 解不等式：()0122>+++x a ax分析：本题二次项系数含有参数，()044222>+=-+=∆a a a ，故只需对二次项系数进行分类讨论。
解：∵()044222>+=-+=∆a a a解得方程 ()0122=+++x a ax 两根,24221a a a x +---=aa a x 24222++--=∴当0>a 时,解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21|x x 当0<a 时, 解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<<++--a a a x a a a x 242242|22例2 解不等式()00652≠>+-a a ax ax分析 因为0≠a ，0>∆，因此咱们只要讨论二次项系数的正负。
解 ()()032)65(2>--=+-x x a x x a∴当0>a 时，解集为{}32|><x x x 或；当0<a 时，解集为{}32|<<x x变式：解关于x 的不等式1、0)2)(2(>--ax x ； 二、(1－ax )2<1.}2,2|{,1)5(}2|{,1)4(}2,2|{,10)3(}2|{,0)2(}22|{,0)1(><>≠=><<<<=<<<x ax x a x x a ax x x a x x a x ax a 或时当时当或时当时当时当3、ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a ∈R)【解】由(1－ax )2<1得a 2x 2－2ax ＋1<1.即ax (ax －2)<0.(1)当a ＝0时，不等式转化为0<0，故原不等式无解．(2)当a <0时，不等式转化为x (ax －2)>0，即x (x －2a )<0.∵2a <0，∴不等式的解集为{x |2a<x <0}．(3)当a >0时，不等式转化为x (ax －2)<0，又2a>0，}11|{1)5(1)4(}11|{10)3(}1|{0)2(}1,1|{0)1(<<>Φ=<<<<>=><<x ax a a ax x a x x a x ax x a 时，当时，当时，当时，当或时，当二、按判别式∆的符号分类，即0,0,0<∆=∆>∆； 例3 解不等式042>++ax x分析 本题中由于2x 的系数大于0,故只需考虑∆与根的情形。
如何解含参一元二次方程
如何解含参一元二次方程介绍：一元二次方程是数学中常见的一种方程形式，它的解法可以通过一系列的代数运算得到。
本文将介绍如何解含参一元二次方程，帮助读者更好地理解和应用这一知识点。
一、什么是含参一元二次方程含参一元二次方程是指在一元二次方程的基础上引入参数，参数是一个常数，可以是任意实数。
含参一元二次方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知实数，x为未知数。
二、解含参一元二次方程的基本步骤解含参一元二次方程的基本步骤如下：步骤一：将含参一元二次方程的公式写出来。
例如，我们考虑一个含参一元二次方程：ax^2 + bx + c = 0。
步骤二：根据一元二次方程的求解公式，计算方程的判别式Δ。
一元二次方程的判别式Δ = b^2 - 4ac。
步骤三：根据判别式的值，判断方程的根的情况。
1. 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根。
根的公式为：x1 = (-b + √Δ)/(2a)，x2 = (-b - √Δ)/(2a)。
2. 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根。
根的公式为：x1 = x2 = -b/(2a)。
3. 当Δ < 0时，方程没有实数根，但可以有复数根。
步骤四：将参数代入根的公式，求解方程的根。
三、实例演示为了更好地理解和应用解含参一元二次方程的方法，我们通过一个实例进行演示。
假设我们要解方程：3x^2 + 2x + k = 0，其中k为参数。
步骤一：根据方程的形式，我们得到含参一元二次方程为：3x^2 + 2x + k = 0。
步骤二：计算方程的判别式Δ。
根据公式，Δ = 2^2 - 4*3*k = 4 - 12k。
步骤三：根据判别式的值，判断方程的根的情况。
1. 当Δ> 0时，方程有两个不相等的实数根。
此时，我们可以根据根的公式求解方程的根。
2. 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根。
此时，我们也可以根据根的公式求解方程的根。
3. 当Δ < 0时，方程没有实数根，但可以有复数根。
含参数的一元二次不等式的解法
含参数的一元二次不等式的解法含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按$x$项的系数$a$的符号分类，即$a>0$，$a=0$，$a<0$。
例1：解不等式$ax+(a+2)x+1>2$分析：本题二次项系数含有参数，$\Delta=(a+2)^2-4a=a+4>0$，故只需对二次项系数进行分类讨论。
解：当$a>0$时，解得方程$ax+(a+2)x+1=0$的两根$x_1=-\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a}$，$x_2=-\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a}$，因为$a>0$，所以$x_1x_2$或$x<x_1$，即$x\in\left(-\infty,\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a}\right)\cup\left(\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a},+\infty\right)$。
当$a=0$时，不等式为$2x+1>2$，解得$x>\frac{1}{2}$，即解集为$x>\frac{1}{2}$。
当$a<0$时，解得方程$ax+(a+2)x+1=0$的两根$x_1=-\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a}$，$x_2=-\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a}$，因为$a<0$，所以$x_1<x_2$。
所以解集为$x_1<x<x_2$，即$x\in\left(\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a},\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a}\right)$。
例2：解不等式$ax-5ax+6a>(a\neq0)^2$分析：因为$a\neq0$，$\Delta>0$，所以我们只需讨论二次项系数的正负。
解：当$a>0$时，解得方程$ax-5ax+6a=0$的两根$x_1=2$，$x_2=3$，因为$a>0$，所以$x_13$，即$x\in\left(-\infty,2\right)\cup\left(3,+\infty\right)$。
3.2.3含参数的一元二次不等式的解法
2
.
.
3
x
（1）数形结合思想
例3. 关于x的不等式 2 x 9 x m ≤ 0 在区间[ 2, m≤9 3]上恒成立,则实数m的取值范围是_______.
2
解：m≤-2x2+9x在区间［2，3］上恒成立，
记 g ( x) 2 x2 9 x, x [2,3],
gmin ( x) g(3) 9, m ≤ 9. （2）变量分离法(分离参数)
6.若关于x的方程x2+ax+a2-1=0有一正根和一负根， 则a的取值范围是_________. -1<a<1
解析
令f(x)=x2+ax+a2-1,
∴二次函数开口向上，若方程有一正一负根，
则只需f(0)<0,即a2-1<0,
∴-1<a<1.
7.已知函数f(x)=-x2+2x+b2-b+1(b∈R),若当x∈[-1,1]
三、解答题 8.解不等式：
log 1 (3x 2 2 x 5) log 1 (4 x 2 x 5).
2 2
解
原不等式等价于
2 2 3 x 2 x 5 4 x x 5, ① 2 ② 4 x x 5 0, 解①得x2+3x≤0,即-3≤x≤0. 5 解②得x>1或x< . 4 5 故原不等式的解集为 {x | 3 x }. 4
a 0 2 b 4ac 0
(4)二次不等式 ax2 +bx +c ≤ 0 恒成立
a 0 2 b 4ac 0
注：“不等式ax2+bx+c>0恒成立”即是 “不 等式ax2+bx+c>0的解集是R”
含参数的一元二次方程整数解
含参数的一元二次方程整数解知识定位对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c=0(a≠0)的实根情况，可以用判别式Δ=b 2-4ac 来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质。
知识梳理1、一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的实数根，是由它的系数a, b, c 的值确定的.根公式是：x=aac b b 242-±－. (b 2－4ac ≥0)2、根的判别式① 实系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有实数根的充分必要条件是：b 2－4ac ≥0.② 有理系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有有理数根的判定是：b 2－4ac 是完全平方式⇔方程有有理数根.③整系数方程x 2+px+q=0有两个整数根⇔p 2－4q 是整数的平方数. 3、设x 1, x 2 是ax 2+bx+c=0的两个实数根，那么③ ax 12+bx 1+c=0 (a ≠0，b 2－4ac ≥0)， ax 22+bx 2+c=0 (a ≠0， b 2－4ac ≥0)；④ x 1=a ac b b 242-＋－， x 2=aac b b 242-－－ (a ≠0, b 2－4ac ≥0)；⑤ 韦达定理：x 1+x 2= a b －, x 1x 2=ac(a ≠0, b 2－4ac ≥0). 4、方程整数根的其他条件整系数方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)有一个整数根x 1的必要条件是：x 1是c 的因数. 特殊的例子有： C=0⇔x 1=0 ，a+b+c=0⇔x 1=1 ，a －b+c=0⇔x 1=－1.例题精讲【试题来源】【题目】b 为何值时, 方程x 2 - bx - 2 = 0 和x 2 - 2x - b (b - 1) = 0有相同的整数根?并且求出它们相同的整数根.．【答案】1；2【解析】解：设相同的整数根为x 0, 由根的定义, 知x20- bx0 - 2 = 0, ①x20- 2x0-b(b - 1) = 0. ②① - ②并整理, 得(2 - b)[x0-(1 + b)]=0,②∴b = 2 或x0 = b + 1.当b = 2 时, 两方程均为x2-2x-2 = 0, 但无整数根;当x0 = b + 1 时, 代入①或②, 解之得b = 1, 于是公共根x0 =b + 1 = 2.【知识点】含参数的一元二次方程整数解【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】设二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1、x2，记S1=x1+1993x2，S2=x12+1993x22，…，Sn=x1n+1993x2n，则aS1993+bS1992+cS1991=【答案】0【解析】解：∵x1、x2是方程ax2+bx+c=0的两根，∴ax12+bx1+c=0， ax22+bx2+c=0。
含参一元二次方程计算100题+详解
含参一元二次方程计算100题使用说明：本专题的制作目的是提高学生在含参一元二次方程这一部分的计算能力。
主要有以下几个模块：①公共根；②整数根；③有理根；④已知根的情况求参数；⑤已知根的范围求参数；⑥已知参数范围求根的范围；共100题。
建议先仔细研究方法总结、易错总结和例题解析，再进行巩固练习。
模块一公共根方法总结：①设公共根②代入两方程，联立成方程组③得到新方程④解方程⑤将公共根代入原方程易错总结：最后结果注意代入检验一下是否正确例题解析：已知两方程x2+mx+n=0，x2+nx+m=0有且仅有一个公共根，求m，n的关系．解：设a为两方程的公共根，则……【设公共根】{a2+ma+n=0①a2+na+m=0②，……【将公共根代入两方程，联立】①−②得(m−n)a+(n−m)=0，(m−n)(a−1)=0．……【得到新方程】∵有且只有一个公共根，则m−n≠0．∴a=1，即x=1．……【解出x】将x=1代入原方程得，m+n=−1且m≠n．……【得出m、n关系】巩固练习：1.已知关于x的方程x2+px+q=0与x2+qx+p=0(p≠q)有一个公共根，求(p+q)2012的值．2.已知方程x2+a1x+a2a3=0与方程x2+a2x+a1a3=0有且只有一个公共根．求证：这两个方程的另两根(除公共根外)是方程x2+a3x+a1a2=0的根．3.若方程x2+bx+1=0与方程x2−x−b=0至少有一个相同的实数根，求实数b的值．4.设c是实数，已知x2−3x+c=0的一个解的相反数是方程x2+3x−c=0的一个解，求方程x2−3x+c=0的解．5.已知a>2，b>2，试判断关于x的方程x2−(a+b)x+ab=0与x2−abx+(a+b)=0有没有公共根，请说明理由．6.当p是什么实数时，方程x2+px−3=0与方程x2−4x−(p−1)=0有一个公共根．7.三个二次方程ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0有公共根．求证:a+b+ c=0；8.若方程a2x2+ax−1=0和x2−ax−a2=0有公共根，求a的值．9.定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“友好方程”．如果关于x的一元二次方程x2−4x+5m=mx+5与x2+√2x+m−1=0互为“友好方程”，求m的值．10.定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，则称这两个方程为“友好方程”，已知关于x的一元二次方程x2−2x=0与x2+3x+m−1=0为“友好方程”，求m的值．11.若一元二次方程x2+kx−1=0，x2+x+(k−2)=0有相同的根，求k的值，并求两个方程的根．12.已知m为非负实数，当m取什么值时，关于x的方程x2+mx−1=0与x2+x+m−2=0仅有一个相同的实数根？13.试求满足方程x2−kx−7=0与x2−6x−(k+1)=0有公共根的所有的k值及所有公共根和所有相异根．模块二整数根方法总结：①讨论二次项系数；（如题干限定为“方程”，则要讨论二次项系数是否为0两种情况；如题干限定为“一元二次方程”，则二次项系数必须不等于0）②根据根的情况确定参数范围及参数的取值；③求出方程的整数解。
掌握含参数的一元二次方程
掌握含参数的一元二次方程在数学中，一元二次方程是指形式为ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c是已知的实数，且a不等于0。
解一元二次方程是数学学习中的基本内容之一。
在本文中，将介绍如何掌握含参数的一元二次方程的解法。
一、含参数的一元二次方程的基本形式含参数的一元二次方程的基本形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为参数。
参数的引入使得方程的解法相对复杂，但通过一些方法和技巧，我们仍然可以轻松解决这类方程。
二、常见的参数类型及其解法1. 参数为常数的情况当参数为常数时，含参数的一元二次方程可以直接按照一般的解法进行求解。
即可以使用求根公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)来求得方程的解。
举例说明：设一元二次方程为x^2 + px + q = 0，其中p、q为常数。
应用求根公式，我们可以得到：x = (-p ± √(p^2 - 4q)) / 22. 参数为变量的情况当参数为变量时，含参数的一元二次方程的解法更加复杂。
此时，我们需要通过一定的代数运算来化简方程，并通过求根公式解得方程的解。
举例说明：设一元二次方程为(ax^2 + bx + c = 0)，其中a、b、c为参数，且a不等于0。
首先，我们可以将方程中的参数提取出来，得到：x^2 + (b/a)x + c/a = 0然后，应用求根公式，我们可以得到：x = (-b ± √(b^2 - 4ac/a^2)) / 2三、含参数的一元二次方程的解的讨论对于含参数的一元二次方程，其解的个数和性质与参数的取值有关。
通过讨论参数的范围，可以确定方程的解的情况。
举例说明：设一元二次方程为x^2 + px + q = 0，其中p、q为参数。
我们将讨论参数p和q的取值情况。
1. 当p^2 - 4q > 0时，方程有两个不相等的实数根。
2. 当p^2 - 4q = 0时，方程有两个相等的实数根。
九年级上册：第03讲_含参的一元二次方程(教师版)
第03讲_含参的一元二次方程知识图谱含参的一元二次方程知识精讲二．一元二次方程的整数根如果一元二次方程2三点剖析一．考点：含参的一元二次方程．二．重难点：含参的一元二次方程判别式与解的关系，含参一元二次方程的特殊解问题．三．易错点：1．含参一元二次方程如果参数没有明确取值范围必须要分类讨论；2．含参一元二次方程的特殊解问题要注意参数是整数，正整数，负整数，还是有理数等限制条件．判别式与解的关系例题1、已知关于x 的方程kx 2+（1-k ）x-1=0，下列说法正确的是（）A.当k=0时，方程无解B.当k=1时，方程有一个实数解C.当k=-1时，方程有两个相等的实数解D.当k≠0时，方程总有两个不相等的实数解．【答案】C【解析】关于x 的方程kx 2+（1-k ）x-1=0，A 、当k=0时，x-1=0，则x=1，故此选项错误；B 、当k=1时，x 2-1=0方程有两个实数解，故此选项错误；C 、当k=-1时，-x 2+2x-1=0，则（x-1）2=0，此时方程有两个相等的实数解，故此选项正确；D 、由C 得此选项错误．故选：C ．例题2、解方程：mx 2－（2m ＋1）x ＋m ＋1＝0．【答案】当m ＝0时，x ＝1当m ≠0时，11m x m+=，x 2＝1【解析】暂无解析例题3、已知关于x 的一元二次方程（a ﹣2）x 2+2ax+a+3=0有实数根，（1）求a 的取值范围；（2）当a 取最大数值时，解此一元二次方程．【答案】（1）a ≤6且a ≠2．（2）x 1=x 2=﹣32．【解析】（1）∵关于x 的一元二次方程（a ﹣2）x 2+2ax+a+3=0有实数根，∴()()()22024230a a a a -≠⎧⎪⎨∆=--+≥⎪⎩，解得：a ≤6且a ≠2．（2）当a=6时，原方程为4x 2+12x+9=（2x+3）2=0，解得：x 1=x 2=﹣32．随练1、已知关于x 的方程（a ﹣1）x 2﹣2x+1=0有实数根，则a 的取值范围是．【答案】a ≤2【解析】∵关于x 的方程（a ﹣1）x 2﹣2x+1=0有实数根，∴△≥0，即4﹣4（a ﹣1）≥0得，a≤2，且a ﹣1≠0，a≠1；∴a 的取值范围为a≤2且a≠1．当a=1时为一元一次方程，方程有一根．综上所知a 的取值范围为a≤2．故答案为：a≤2．随练2、已知0a >，b a c >+，判断关于x 的方程20ax bx c ++=的根的情况，并给出必要的说明？【答案】见解析【解析】（1）当0c >时，0a >，b a c >+从而22()b a c >+，22()0b a c -+>，224()0b ac a c --->，∴224()0b ac a c ->-≥，即0∆>，原方程必有两个不等实根；（2）当0c =时，由0,a b a c a >>+=，得0,0,0b ac >=∆>；（3）当0c <时，由0a >，得0ac <，240b ac ∆=->．综合⑴、⑵、⑶，得关于x 的方程总有两个不等的实根随练3、解关于x 的方程：2222(1)(1)(1)a x x a x a x -+--=-【答案】当220210a a a ⎧-=⎪⎨-+≠⎪⎩时，方程为一元一次方程的解为0x =或2x =；当20a a -≠时，方程为一元二次方程，()()10ax a ax x a ----=，11a x a +=，21ax a =-【解析】化为一般式：()()()2222210a a x a x a a ---++=当220210a a a ⎧-=⎪⎨-+≠⎪⎩时，方程为一元一次方程的解为0x =或2x =；当20a a -≠时，方程为一元二次方程，()()10ax a ax x a ----=，11a x a +=，21ax a =-特殊解问题例题1、已知关于x 的方程220mx x m--=（m ≠0）（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）如果方程的两个实数根都是整数，求整数m 的值．【答案】（1）见解析（2）1m =-或1m =【解析】（1）证明：∵m ≠0，∴220mx x m--=是关于x 的一元二次方程．∵22(1)4()m m∆=---，……………………………………………1分=9＞0.∴方程总有两个不相等的实数根．………………………………2分（2）解：由求根公式，得x =．∴12x m =，21x m=-.……………………………………………………4分∵方程的两个实数根都是整数，且m 是整数，∴1m =-或1m =．………………………………………………………5分例题2、已知关于的一元二次方程22240x x k ++-=有两个不相等的实数根。
含参数的一元二次不等式的解法
课堂总结：
（1）会求解含有参数的一元二次不等 式，一般讨论的顺序是：①讨论二次项系数 ②判断二次不等式相对应方程的两根的大 小 （2）能够熟练应用分类讨论及数形结合的 数学思想。
分析： 3x 2 -19 x+6 0
（3x-1)(x-6) 0
1 相对应方程（3x-1)(x-6)=0的根x1 = ,x2 =6 3
1 不等式的解集（ , 6） 3
含参数的一元二次不等式的解法
专题一 例1
解不等式x +(a-1)x-a>0(a>0)
2
解析：原不等式等价于 （x 1)( x a) 0
若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为 的值为(
A.－1415
（2）二次项含有参数 D.－17
解含参数的一元二次不等式的步骤： （1）二次项系数为参数时，应讨论是等于 0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化 为二次项系数为正的形式。 (2)因式分解，求出相对应方程的根， 不能确定根的大小时，应讨论方程两 根的大小关系，从而确定解集。
-a
1 (-a)
-a
(1)-a<1（2） -a=1 (3)-a>1
专题二
例2
解不等式ax +(a-1)x-1>0(a R)
2
二次项含有参数应如何求解？
考点 例 1
含参数的一元二次不等式
1 1 x 则 }, a＋b （1）一是二次项系数为常数 ,参 2 3 ) 数在一次项或常数项 {x
解一元二次不等式的步骤
(1)化成标准形式 ax +bx+c>0 a>0) 或ax +bx+c<0(
（2）判别式△与0的关系， 求出相应方程的实根X1,X2; （能因式分解的不用判别式△ ） (3)画图对应函数的简图，写出不等式的解集.
含参数的一元二次不等式的解法
含参数的一元二次不等式的解法含参一元二次不等式常用的分类办法有三种：一.按2x 项的系数a 的符号分类,即0,0,0<=>a a a ;例1解不等式：()0122>+++x a ax 剖析：本题二次项系数含有参数,()044222>+=-+=∆a a a ,故只需对二次项 系数进行分类评论辩论.解：∵()044222>+=-+=∆a a a 解得方程 ()0122=+++x a ax 两根,24221a a a x +---=a a a x 24222++--=∴当0>a 时,解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或 当0=a 时,不等式为012>+x ,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21|x x当0<a 时,解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<<++--a a a x a a a x 242242|22 例2 解不等式()00652≠>+-a a ax ax剖析 因为0≠a ,0>∆,所以我们只要评论辩论二次项系数的正负.解()()032)65(2>--=+-x x a x x a ∴当0>a 时,解集为{}32|><x x x 或;当0<a 时,解集为{}32|<<x x变式：解关于x 的不等式 1.0)2)(2(>--ax x ;2.(1－ax )2<1.}2,2|{,1)5(}2|{,1)4(}2,2|{,10)3(}2|{,0)2(}22|{,0)1(><>≠=><<<<=<<<x a x x a x x a ax x x a x x a x ax a 或时当时当或时当时当时当【解】由(1－ax )2<1得a 2x 2－2ax ＋1<1.即ax (ax －2)<0.(1)当a ＝0时，不等式转化为0<0，故原不等式无解．(2)当a <0时，不等式转化为x (ax －2)>0，即x (x －2)<0.}11|{1)5(1)4(}11|{10)3(}1|{0)2(}1,1|{0)1(<<>Φ=<<<<>=><<x ax a a ax x a x x a x ax x a 时，当时，当时，当时，当或时，当3.ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a ∈R)二.按判别式∆的符号分类,即0,0,0<∆=∆>∆;例3解不等式042>++ax x剖析本题中因为2x 的系数大于0,故只需斟酌∆与根的情形. 解：∵162-=∆a∴当()4,4-∈a 即0<∆时,解集为R ; 当4±=a 即Δ＝0时,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠∈2a x R x x 且;当4>a 或4-<a 即0>∆,此时两根分离为21621-+-=a a x ,21622---=a a x ,显然21x x >,∴不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----+->21621622a a x a a x x 〈或 例4 解不等式()()R m x x m∈≥+-+014122解 因,012>+m ()()2223414)4(m m -=+--=∆所以当3±=m ,即0=∆时,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21|x x ;当33<<-m ,即0>∆时,解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+--+-+>1321322222m m x m m x x 〈或;当33>-<m m 或,即0<∆时,解集为R.变式：解关于x 的不等式：012<++x axΦ≥-+-<<---<<-<=--->-+-<<时，当时，当时，当或时，当41)4(}24112411|{410)3(}1|{0)2(}2411,2411|{0)1(a aax a a x a x x a aax a a x x a三.按方程02=++c bx ax 的根21,x x 的大小来分类,即212121,,x x x x x x <=<;(3)当a >0时，不等式转化为x (ax －2)<0，又2a >0，∴不等式的解集为{x |0<x <2a }． 综上所述：当a ＝0时，不等式解集为空集；当a <0时，不等式解集为{x |2a<x <0}； 当a >0时，不等式解集为{x |0<x <2a}．例5解不等式)0( 01)1(2≠<++-a x a a x剖析：此不等式可以分化为：()0)1(<--ax a x ,故对应的方程必有两解.本题 只需评论辩论两根的大小即可.解：原不等式可化为：()0)1(<--ax a x ,令a a 1=,可得：1±=a∴当1-<a 或10<<a 时,a a 1<,故原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<a x a x 1|;当1=a 或1-=a 时,a a 1=,可得其解集为φ;当01<<-a 或1>a 时,a a 1>,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<a x a x 1|. 例6 解不等式06522>+-a ax x ,0≠a剖析 此不等式()0245222>=--=∆a a a ,又不等式可分化为()0)3(2>--a x a x ,故只需比较两根a 2与a 3的大小.解 原不等式可化为：()0)3(2>--a x a x ,对应方程()0)3(2=--a x a x 的两根为a x a x 3,221==,当0a时,即23a a ,解集为{}a x a x x 23|<>或;当0<a 时,即23aa ,解集为{}|23x x a x a ><或变式：1.223()0x aa x a 2.0222<--a ax x解：∵x 2－（a+a 2）x+a 3＝（x －a ）（x －a 2） ∴当a>1,或a<0时,不等式的解为a<x<a 2 当0<a<1时,不等式的解为a 2<x<a 当a ＝0,或a ＝1时,不等式解为φ 课后演习：1.)23(0)3)(2(-≠≠<-+-a a x x ax ，且（分3;32;2><<--<a a a 评论辩论）098.0222222≥=+=∆=--a a a a ax x 的判别式方程.,221a x a x -==得方程的两根为.2,0)3(a x a a -<<<则若ax a a 2,0)1(<<->则若}.2|{,0)3(,0)2(}2|{,0)1(a x a x a a a x a x a -<<<Φ=<<->时当；时当；时当解集为：综上所述，原不等式的Φ<=此时解为则原不等式为若,0,0)2(2x a}3,2|{3)3(}3,2|{32)2(}32,|{2)1(a x x x a x a x x a x a x x a <<-<><<-<<<-<<-<-<或时，当或时，当或时，当2.不等式11<-x ax 的解集为}21|{><x x x ，或,求a 的值. （21=a ） 3.已知}0)1(|{},023|{22≤++-=≤+-=a x a x x B x x x A ,①若AB ,求实数a 的取值规模.;（2>a ）②若A B ⊆,求实数a 的取值规模.;（21≤≤a ）③若B A 为仅含有一个元素的聚集,求a 的值.（1≤a ） 解：A=｛x ｜1≤x ≤2｝,B=｛x ｜(x-1)(x-a)≤0｝ (1)若AB(图甲),应有a ＞2. (2)若BA(图乙),必有1≤a ≤2.(3)若A ∩B 为仅含一个元素的聚集(图丙),必有a ≤1.4.已知}031|{≤--=x x x A ,B B A a x a x x B =≤++-= 且},0)1(|{2,求实数a 的取值规模.（31<≤a ）5.设全集R U =,聚集}3|12||{},01|{<+=≥+-=x x B x ax x A ,若R B A = ,求实数a 的取值规模. （12≤≤-a ）6.已知全集R U =,}034|{},082|{},06|{2222<+-=>-+=<--=a ax x x C x x x B x x x A ,若C B A ⊆)( ,求实数a 的取值规模.（ 21≤≤a ）7.若关于x 的不等式(2x －1)2＜ax 2的解分散的整数恰有3个,求实数a 的取值规模.（]1649925<<a 【解析】 不等式可化为(4－a )x 2－4x ＋1＜0①,因为原不等式的解分散的整数恰有3个,所以⎩⎨⎧>--=∆>-0)4(41604a a ,解得0＜a ＜4,故由①得a x a-<<+2121,又212141<+<a ,所以解分散的3个整数必为1,2,3,所以3＜a -21≤4,解得925＜a ≤1649。
九年级上册含参的一元二次方程讲义
含参的一元二次方程讲义含参的一元二次方程知识精讲一、含参数的一元二次方程含参数的一元二次方程是指未知数系数或者常数项含有参数的一元二次方程,解此类方程时要依照参数值和判别式的取值进行分类讨论,另外,利用方程解的情况来求解参数的取值范围或者是由参数的取值范围判断方程根的情况、二、一元二次方程的整数根关于一元二次方程的实根情况,能够用判别式来判别,然而关于一个含参数的一元二次方程来说,要判断它是否有整数根或有理根,那么就没有统一的方法了,只能具体问题具体分析求解,当然,经常要用到一些整除性的性质。
方程有整数根的条件:假如一元二次方程有整数根,那么必定同时满足以下条件:1。
为完全平方数;2、或,其中为整数、以上两个条件必须同时满足,缺一不可。
另外,假如只满足判别式为完全平方数,则只能保证方程有有理根(其中、、均为有理数)、例题讲解判别式与解的关系例1。
1。
1已知,,为正数,若二次方程有两个实数根,那么方程的根的情况是( )Ａ。
有两个不相等的正实数根B、有两个异号的实数根Ｃ。
有两个不相等的负实数根D、不一定有实数根【答案】C【解析】的,∵二次方程有两个实数根,∴,∴,∴方程有两个不相等的实数根,而两根之和为负,两根之积为正、故有两个负根、故选C。
例1、1、2解关于的方程:【答案】,【解析】分类讨论,当时,原方程无解;当时,原方程是一元二次方程,解得,例1、１。
3设方程只有个不相等的实数根,求的取值和相应的个根、【答案】,相应求得方程根为,;,、【解析】方程等价于以下两个方程:①, ②,两方程无相同的根,由于原方程只有３个不相等的实根,故必有且只有方程①或②有重根,,,由于,故只估计是,即,相应求得方程根为,;,、特别解问题例1。
2、１已知关于x的方程(m≠0)(1)求证:方程总有两个不相等的实数根;(2)假如方程的两个实数根都是整数,求整数m的值、【答案】(1)见解析(２)或【解析】(1)证明:∵m≠0,∴是关于x的一元二次方程、∵,……………………………………………1分=９＞0。
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解含参数的一元二次型不等式讨论策略
南昌十三中 周荣
分类讨论的思想方法是中学数学的基本方法之一，是历年高考的重点.解分类讨论问题，需要学生有一定的分析能力，一定的分类技巧，有利于对学生能力的考查.下面结合解关于含参数的一元二次型不等式时对参数讨论进行举例说明.
一、对二次项系数a 的讨论：
若二次项系数x 2项的系数a 含有参数，则须对a 的符号分类，即分a >0,a=0,a <0.
例3解关于x 的不等式ax 2+(1-a)x-1>0(a >-1)
解析：二次项系数含有参数,因此对a 须在0点处分开讨论.若a ≠0原不等式ax 2+(1-a)x-1>0等价于
(x-1)(ax+1)>0. 其对应方程的根为﹣1a
与1.又∵a >-1，则 (1)当a=0时，原不等式为x-1>0，∴原不等式的解集为{x|x >1}.
(2)当a >0时，﹣1a <1，∴原不等式的解集为{x|x >1或x <-1a
}. (3)当-1<a <0时，﹣1a >1，∴原不等式的解集为{x|1<x <﹣1a
}. 二、对判别式△的讨论
若判别式△=b 2-4ac 中含有参数，则须对判别式△的符号分类，即分△>0，△=0，△<0.
例2 解关于x 的不等式2x 2+ax+2>0
解析：由于判别式△=a 2-16=(a-4)(a+4)中含有参数，因此须对△的符号进行讨论，即对a 在-4点与4点处分开讨论，则
①当a >4或a <-4时，△>0，方程2x 2+ax+2=0的两根为：
x 1=14(-a-a 2-16),x 2=14(-a+a 2-16), ∴原不等式的解集为：{x|x <14(-a-a 2-16)或x >14(-a+a 2-16)}. ②当a=±4时，△=0，原不等式解集为：{x|x ≠﹣a 4
}, ③当-4<a <4时，当△<0，时，原不等式解集为R.
三、对根的大小的讨论
若不等式对应的方程的根为x 1，x 2中含有参数,则须对x 1，x 2的大小来分类，即分x 1<x 2,x 1=x 2,x 1>x 2. 例3解关于x 的不等式x 2-2x+1-a 2≥0.
解：(x-1)2-a 2≥0，(x-1-a)(x-1+a)≥0.其对应的根为1+a 与1﹣a.
由(1+a)-(1﹣a)=2a ，得
①当a >0时，1+a >1-a ，∴原不等式的解集为{x|x ≥1+a 或x ≤1-a}. ②当a=0时，1+a =1-a ，∴原不等式的解集为全体实数R.
③当a <0时，1-a >1+a ，∴原不等式的解集为{x|x ≥1-a 或x ≤1+a}.
四、即有对判别式讨论又有对根的大小的讨论
例3解关于x 的不等式：.012
<-+ax ax
解：.012<-+ax ax )(*
（1）0=a 时，.01)(R x ∈⇔<-⇔*
（2）0≠a 时，则0042>⇔≥+=∆a a a 或4-≤a ， 此时两根为a a a a x 2421++-=，a
a a a x 2422+--=. ①当0>a 时，0>∆，⇔*∴)(<<+--x a a a a 242a
a a a 242++-； ②当04<<-a 时，0<∆，R x ∈⇔*∴)(；
③当4-=a 时，0=∆，2
1)(-≠∈⇔*∴x R x 且； ④当4-<a 时，0>∆，⇔*∴)(或a a a a x 242++->a
a a a x 242+--<. 综上，可知当0>a 时，解集为(a a a a 242+--,a
a a a 242++-)； 当04≤<-a 时，解集为R ；
当4-=a 时，解集为(21,-∞-)⋃(+∞-,2
1); 当4-<a 时，解集为(a a a a 24,2+--∞-)⋃(+∞++-,242a
a a a ).。