初二讲义 平行四边形知识点汇总

平行四边形的知识点汇总平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。

平行四边形性质1：平行四边形的两组对边分别相等。

平行四边形性质2：平行四边形的两组对角分别相等。

平行四边形性质3：平行四边形的两条对角线互相平分。

平行四边形判定1：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

平行四边形判定2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

平行四边形判定3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

平行四边形判定4：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。

平行四边形判定5：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

平行线之间的距离及特征平行线之间的距离定义：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离。

平行线之间的距离特征1：平行线之间的距离处处相等。

平行线之间的距离特征2：夹在两条平行线之间的平行线段相等。

矩形矩形定义1：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形矩形定义2：有三个角是直角的四边形叫做矩形矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，对称中心是两条对角线的交点，对称轴是各边的垂直平分线。

矩形性质1：矩形的四个角都是直角。

矩形性质2：矩形的对角线相等且互相平分。

（注意：矩形具有平行四边形的一切性质）直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半矩形判定1：有一个角是直角的平行四边形是矩形。

矩形判定2：有三个角是直角的四边形是矩形。

矩形判定3：对角线相等的平行四边形是矩形。

菱形菱形定义1：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.菱形定义2：四条边都相等的四边形叫做菱形。

菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，对称中心是两条对角线的交点，对称轴是对角线所在的直线。

菱形性质1：菱形的四条边都相等。

菱形性质2：菱形的对角线互相垂直平分。

菱形性质3：菱形的每一条对角线平分一组对角。

菱形的面积：菱形的面积等于对角线乘积的一半。

推广：对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半。

菱形判定1：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

菱形判定2：四条边都相等的四边形是菱形。

菱形判定3：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

菱形判定4：每条对角线平分一组对角的四边形是菱形。

（注意：菱形具有平行四边形的一切性质）正方形正方形定义1：有一组邻边相等的矩形叫做正方形。

正方形定义2：有一个角是直角的菱形叫做正方形。

正方形定义3：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

正方形既是中心对称图形又是轴对称图形，对称中心是两条对角线的交点，对称轴是各边的垂直平分线和对角线所在的直线。

正方形性质1：正方形的四个角都是直角。

正方形性质2：正方形的四条边都相等。

正方形性质3：正方形的两条对角线互相垂直平分且相等。

正方形判定1：有一组邻边相等的矩形是正方形。

正方形判定2：有一个角是直角的菱形是正方形。

正方形判定3：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形。

正方形判定4：对角线垂直平分且相等的四边形是正方形。

（注意：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质）四边形的典型题目精编1，如图1，在平行四边形ABCD 中，下列各式不一定正确的是（ ） A.∠1+∠2＝180° B.∠2+∠3＝180° C.∠3+∠4＝180° D.∠2+∠4＝180°2，如图2，在□ABCD 中，EF //AB ，GH //AD ，EF 与GH 交于点O ，则该图中的平行四边形的个数共有( )A.7 个B.8个C.9个D.11个 图4E F ABC D 图3图2H GD OF E C BA图14D 231C B A3，如图3，在平行四边形ABCD 中，∠B =110°，延长AD 至F ，延长CD 至E ，连接EF ，则∠E +∠F =（ ）A. 110° B .30° C.50° D.70° 4，对角线互相垂直平分且相等的四边形一定是( ) A ．正方形 B ．菱形 C ．矩形 D ．等腰梯形5，下列说法中，正确的是（ ） A. 正方形是轴对称图形且有四条对称轴 B.正方形的对角线是正方形的对称轴 C.矩形是轴对称图形且有四条对称轴 D.菱形的对角线相等6，菱形、矩形、正方形都具有的性质是( )A.对角线相等B.对角线互相垂直C.对角线互相平分D.对角线平分一组对角7，已知：如图4，菱形ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O ,OE ∥DC 交BC 于点E ，AD =6cm ，则OE 的长为（ ）A.6 cmB.4 cmC.3 cmD.2 cm8，在学习“四边形”一章时，小明的书上有一图因不小心被滴上墨水（如图5），看不清所印的字，请问被墨迹遮盖了的文字应是( )A ．等边三角形B ．四边形C ．等腰梯形D ．菱形9，如图6，在宽为20m ，长为30m 的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地. 根据图中数据，计算耕地的面积为( )A ．600m 2B ．551m 2C ．550 m 2D ．500m 210，如图7，在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中，阴影部分面积与正方形ABCD 的面积比是 （ ）BA.3∶4B.5∶8C.9∶16D.1∶2 二、填空题（每题3分，共24分）11，如图8，AB ∥DC ，AD ∥BC ，如果∠B =50°，那么∠D ＝＿＿＿度.12，已知梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠ABC ＝60°,BD ＝,AE 是梯形的高,且BE ＝1,则AD ＝＿＿＿.A C 图7 图6 A EBC DFC 1图11C图12HD AE BF G图8 图1D C B A S 4S 3S 2S 1DC BA 图9图10ED CBA13，一个平行四边形被分成面积为S 1、S 2、S 3、S 4的四个小平行四边形(如图9),当CD 沿AB 自左向右在平行四边形内平行滑动时, S 1·S 4与S 2·S 3与的大小关系是＿＿＿.14，如图10，已知AB ∥DC ，AE ⊥DC ，AE ＝12，BD ＝15，AC ＝20, 则梯形ABCD 的面积为＿＿＿.15015，矩形纸片ABCD 中，AD ＝4cm ，AB ＝10cm ，按如图11方式折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则DE ＝＿＿＿cm.16，矩形ABCD 中,对角线AC 、BD 相交于点O ,∠AOB ＝2∠BOC .若AC ＝18cm,则AD ＝＿＿＿cm.17，如图12，矩形ABCD 的相邻两边的长分别是3cm 和4cm ，顺次连接矩形ABCD 各边的中点，得到四边形EFGH ，则四边形EFGH 的周长等于＿＿＿cm ，四边形EFGH 的面积等于＿＿＿cm 2.18，在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图13所示).已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝＿＿＿.三、解答题（共40分）19，如图14，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD =3，AB ＝4，BC ＝7.求∠B 的度数. 20，如图15，四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC 、BD 交于点O ，过点O 画直线EF 分别交AD 、BC 于点E 、F .求证：OE ＝OF .21，如图17，在□ABCD 中，∠ABC ＝5∠A ，过点B 作BE ⊥DC 交AD 的延长线于点E ，O 是垂足，且DE ＝DA ＝4cm ，求：（1）□ABCD 的周长；（2）四边形BDEC 的周长和面积（结果可保留根号）.22，如图18，□ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别相交于点E 、F .求证：四边形AFCE 是菱形.23，如图20，正方形ABCD 中，P 是CD 边上一点，DF ⊥AP ，BE ⊥AP .求证：AE ＝DF . 24，如图19，在矩形ABCD 中，P 是形内一点，且PA ＝PD .求证:PB ＝PC .O A C FEB D图18 图13 l321S 4S 3S 2S 1图19 图17 A BC DO E 图16 E DC O B F A 图21图14 A C D B25，如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB DC AD ==，60C ∠=°，AE BD ⊥于点E ，F 是CD 的中点，DG 是梯形ABCD 的高． （1）求证:四边形AEFD 是平行四边形;（2）设AE x =，四边形DEGF 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式．参考答案：一、1，D ；2，C ；3，D ；4，A ；5，A ；6，C ；7，C ；8，D ；9，B ；10，B . 二、11，50；12，2；13，S 1·S 4＝S 2·S 3；14，150；15，4295；16，9；17，10、6；18，4.三、19，过A 点作AE ∥CD ，有□AECD ,则△ABE 为等边三角形. 即∠B=60°；20，因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AD ∥BC ，AO ＝CO ，即∠EAO ＝∠FCO ，又∠AOE ＝∠COF ，则△AOE ≌△COF ，故OE ＝OF ；21，在□ABCD 中，因为∠ABC ＝5∠A ，又∠A+∠B ＝180°，所以∠A ＝30°，而AB ∥DC ，BE ⊥DC ，所以BE ⊥AB ，在Rt △ABE 中，∠ABE ＝90°，AE ＝2AD ＝8cm ，∠A ＝30°，所以BE ＝12AE ＝4cm ，由勾股定理，得AB ＝22AE BE -＝43（cm ），所以□ABCD 的周长＝（83+8）cm ；（2）因为BC ∥AD ，BC ＝AD ，而AD ＝DE ，所以DE ＝BC 且DE ∥BC ，即四边形BDEC 是平行四边形，又BE ⊥DC ，所以□BDEC 是菱形，所以四边形BDEC 的周长＝4DE ＝16（cm ），面积＝12DC ·BE ＝83（cm 2）；22，易证△AOE ≌△COF ，所以OE ＝OF ，所以四边形AFCE 是平行四边形，又AC ⊥EF ，所以四边形AFCE 是菱形；23，证△ABE ≌△DAF 即得；24，证△PBA ≌△PCD 即得； 25，【答案】：（1） 证明： ∵AB DC =，∴梯形ABCD 为等腰梯形．∵∠C=60°，∴120BAD ADC ∠=∠=，又∵AB AD =，∴30ABD ADB ∠=∠=．∴30DBC ADB ∠=∠=．∴90BDC ∠=．图20由已知AE BD ⊥，∴AE∥DC． 又∵AE 为等腰三角形ABD 的高， ∴E 是BD 的中点， ∵F 是DC 的中点， ∴EF∥BC． ∴EF∥AD．∴四边形AEFD 是平行四边形．（2）解：在Rt△AED 中， 30ADB ∠=，∵AE x =，∴2AD x =．在Rt△DGC 中 ∠C=60°，并且2DC AD x ==，∴DG =．由（1）知： 在平行四边形AEFD 中2EF AD x ==，又∵DG BC ⊥，∴DG EF ⊥， ∴四边形DEGF 的面积12EF DG =， ∴ 212332y x x x =⨯=(0)x >．。