平面解析几何直线部分基本题型的解题方法
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： ：
（） １ 直线 Ａ ＋Ｃ＝０为特殊 直线 ＋
Ａ１ Ｙ—Ｂｌ ＋ Ｃ１ ０ ： ．
例 如 Ａ、Ｂ、 Ｃ 三 点 共 线 ， 点 Ｃ 分
ｙ
ｒ＝ｂ
／ｙ
。 ｙ） （ ， ０ Ｐ （ａ一 ５２
，
Ａ ＋Ｂ ＋Ｃ ＝０相 交 于 Ａ 点 时 ，利 用 到 １
解题 研 究
在 高中数学 学习中 ，许 多学生感 到对 和 趾 的值 ，若 相 等则 共 线 ，否则 不 由公式 ｙ 所学 习的基本概 念已经理解 、基本公式 已 共 线． 经熟记 ，平 时见 过很 多题 型 ，也做 了大量
一
’求 出
一 ，
的题 ，但考试 时却考不 出好成绩 ；尤其是 在 几何 部分 的学习过程 中 ，大多数 学生都 感觉 到很 困难 ，根本无从 下手 ，考试 时一
一
般 要根 据 已知条 件 画出线 段 Ｐ尸， Ｉ２
问题 ．
－
在 ＰＰ 所 在直 线 上 找 到分 点 Ｐ的位 置 ， ｌ ２
（） ２ 直线 Ａ ＋曰 ＋Ｃ ＝０为一 般直 ｏ 由，Ｙ轴 ， ＝。 ＝ ， 并确定 Ａ的正负性 ，再 根据 Ｐ、Ｐ ２ ｌ 、Ｐ 之 Ｙ＝ ，Ｙ＝一 ， ｛ 线时 ， ｂ时 ，对 称点 的坐标 分别 为 Ｐ （ｏ Ｉｙ，靴） ， ① 直线 Ａｏ＋ ｏ Ｂｙ＋Ｃ ＝０与直线 Ａｌ＋ ｘ ｏ 间 的长度关 系计算 出 Ａ＝ 的值 ；如果 尸（ Ｙ，一 ０ ， ３ ０ Ｙ） ４一 ０ Ｙ ） ２一 ｏ ） 尸 （ ，一 ｏ ，Ｐ（ ， ｏ ， Ｂｙ＋Ｃ ＝０ ｌ 。 平行 时 ，则只需用两平行直线 知 道 三点 的横 坐标 或 者 纵 坐标 ，用 Ａ＝ Ｂ（ ａ ，Ｙ） ６ ０ ｂ—ｙ） ２ — ０ ｏ，Ｐ（ ，２ ｏ． 距离公式即可求出要求直线 ． Ｐｚ Ｐ ｙ （ｏ ｂ－ ） ，２ ． ２一 ２一 ， 公式求出 Ａ值即可． ， … … … ’ ’。 ② 若直 线 ＋Ｂｙ＋Ｃ ：０与直 线 ｏ ｏ
共线问题的一般方法．
时 ，可设 的坐标 为 （ Ｙ） ，则
的
解法 １ ：设 直 线 ｆ 直ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ线 ｚ相 交 于 与 ．
， （ ｏ是 中点满 足直线方程 Ａ ＋Ｃ＝０ ＋ ，并且 Ａ（ Ｙ） 因为 Ｐ ｙ） 线 段 ＡＢ的 中
与直线 ｚ的交点 Ｂ的坐标为 ： 、 的斜率与 直线 Ａ ＋研 ＋Ｃ＝０的斜率 点，所 以直线 ｚ
一
方程 ． 法 ，没有认 真地理解 、消化 ，使其转化 为 点 的直线方程 ，再判 断另一个点 的坐标是 （） １ 直线 Ａ ＋Ｂｙ＋Ｃ ＝０为特 殊 的 ｏ ｏ 自己的东西．现介绍平面解 析几 何直线部 否满足该直线方程 ，若满足 ，则这三点共 直线 轴 ，Ｙ轴 ，Ｙ＝ ，Ｙ＝一 时 ，直线 线 ，否则不共线 ． ’ 分 的一些基本题 型及其转化方法如下． Ａ１＋研 ｌ ｘ ＋Ｃ ＝０关于直线 Ａ ＋ ｏ Ｂｙ＋Ｃ ＝ ｏ 题型 ３ ：求一点 Ｐ（ ０ ） 关于一条直 题型 １ ：关于求 点 Ｐ分有 向线段 ０对称 的直线 方程 分别 为 Ａ 一Ｂ ｙ＋Ｃ ＝ 线 Ａ ，＋Ｃ＝０的对称 点 Ｐ的坐标 的 ＋ ， 所成 的比 Ａ值 的问题． ０， － ＋Ｂｌ Ｃ ＝０， Ａｌ Ａ ｙ＋ １ Ｙ＋Ｂ ＋Ｃ１ ＝０，
Ａ 曰 Ｃ
斜率 ，再利用直线 的点斜式方程 即可求
出要 求 直 线 的方 程 ．
图 １
（ ｙ／一。 一 ］
／ｏ ／ ＼
一
＝
由 Ａ＝一 ３知 ，点 Ｃ在 Ａ Ｂ的延 长 线
， ）
题型 ６ ：已知一直线被两条 已知直线
Ｚ：Ａ ＋Ｂｒ ＋Ｃ ＝０， １：Ａ ２ ２ ｌ ｙ １ ２ ＋ ｙ＋ Ｃ ＝ ２
ｙ） ０
所成的 比是一 ，求 曰分 所成 的比． ３
解析 ：根据 Ａ值 的分布规律如图 １ ．
－
角公式 就可 以求 得直线 Ａ ＋ ｙ＋Ｃ ＝０ Ｂ。 。
关于直线 Ａ ＋Ｂｙ＋Ｃ ＝０对称 的直线的 ｏ ｏ
（ ． ０ ）
１ Ａ＜ ， ０ Ａ＜＋ ＾ 。＜ － ＜ ０ ＜ ∞ 一。 Ａ＜ １
＋Ｃ ＝０中 （ ） 斜率公式 ．分别计 算一个 点与 性 ，只需将直线方程 Ａ ＋研 ３用 是在平 时学 习过程 中没有注 意归纳 总结 ｘ— ｙ —Ｙ 另 两个点连线 的斜率 ，若两斜率相等或者 的 换 为 ２ｏ ，ｙ换 为 ２ｏ ，即可求 基本题 型及其解法 ；二是知道教师讲过 的 出要 求 直 线 的 方 程 ． 两斜率都不存在 ，则这三点共线 ，否则不 些题 型的解法 ，但不会进行 转化 ． 也就 题型 ５ ：求 一直 线 Ａ ＋曰’＋Ｃ ：０ １ ， ｌ 是说 ，学生缺乏 自我 总结 、归纳基本题型 共 线 ． 关 于直 线 Ａ ＋Ｂｙ＋Ｃ ＝０对 称 的直 线 ｏ ｏ （ ） 直线方程 ．计算经过 其 中两个 ４用 的意识 和能力 ，对教 师讲 过的一些题 型解
拿 到题 就懵 了．这是 为什 么呢 ？我认 为 ：
一
（ ） 距离公式 ．根据三 点坐标 分别 ２用 计算每两 点之距 ，若最大 的距离等于另两 个 较小 距 离之 和则 这三 点共 线 ，否则 不
共 线．
ｙ－ ＝
１ ｌ 值． 、Ｙ 的
题型 ４ ：求 直线 Ａ１ Ｘ＋ＢＹ＋Ｃ ＝０关 １ 于点 尸 ｙ） （ ｏ对称的直线方程 ． 根据对称
上 ，且 ｌＢ１ ｃ１ Ａ ＝２Ｂ ，所 以点 Ｂ分 １
所成的 比 Ａ ＝ 。 ＝２ ．
图 ２
０所截得的线段 中点 Ｐ的坐标 为（
，
（） 线 Ａ ２ 直 ＋曰 ＋Ｃ＝０为 一 般 直 线 求 这 条 直 线 的方 程 ． ｙ
题型 ２：关 于判断或证 明平 面内三点
（） １ 直线 Ａ ＋Ｃ＝０为特殊 直线 ＋
Ａ１ Ｙ—Ｂｌ ＋ Ｃ１ ０ ： ．
例 如 Ａ、Ｂ、 Ｃ 三 点 共 线 ， 点 Ｃ 分
ｙ
ｒ＝ｂ
／ｙ
。 ｙ） （ ， ０ Ｐ （ａ一 ５２
，
Ａ ＋Ｂ ＋Ｃ ＝０相 交 于 Ａ 点 时 ，利 用 到 １
解题 研 究
在 高中数学 学习中 ，许 多学生感 到对 和 趾 的值 ，若 相 等则 共 线 ，否则 不 由公式 ｙ 所学 习的基本概 念已经理解 、基本公式 已 共 线． 经熟记 ，平 时见 过很 多题 型 ，也做 了大量
一
’求 出
一 ，
的题 ，但考试 时却考不 出好成绩 ；尤其是 在 几何 部分 的学习过程 中 ，大多数 学生都 感觉 到很 困难 ，根本无从 下手 ，考试 时一
一
般 要根 据 已知条 件 画出线 段 Ｐ尸， Ｉ２
问题 ．
－
在 ＰＰ 所 在直 线 上 找 到分 点 Ｐ的位 置 ， ｌ ２
（） ２ 直线 Ａ ＋曰 ＋Ｃ ＝０为一 般直 ｏ 由，Ｙ轴 ， ＝。 ＝ ， 并确定 Ａ的正负性 ，再 根据 Ｐ、Ｐ ２ ｌ 、Ｐ 之 Ｙ＝ ，Ｙ＝一 ， ｛ 线时 ， ｂ时 ，对 称点 的坐标 分别 为 Ｐ （ｏ Ｉｙ，靴） ， ① 直线 Ａｏ＋ ｏ Ｂｙ＋Ｃ ＝０与直线 Ａｌ＋ ｘ ｏ 间 的长度关 系计算 出 Ａ＝ 的值 ；如果 尸（ Ｙ，一 ０ ， ３ ０ Ｙ） ４一 ０ Ｙ ） ２一 ｏ ） 尸 （ ，一 ｏ ，Ｐ（ ， ｏ ， Ｂｙ＋Ｃ ＝０ ｌ 。 平行 时 ，则只需用两平行直线 知 道 三点 的横 坐标 或 者 纵 坐标 ，用 Ａ＝ Ｂ（ ａ ，Ｙ） ６ ０ ｂ—ｙ） ２ — ０ ｏ，Ｐ（ ，２ ｏ． 距离公式即可求出要求直线 ． Ｐｚ Ｐ ｙ （ｏ ｂ－ ） ，２ ． ２一 ２一 ， 公式求出 Ａ值即可． ， … … … ’ ’。 ② 若直 线 ＋Ｂｙ＋Ｃ ：０与直 线 ｏ ｏ
共线问题的一般方法．
时 ，可设 的坐标 为 （ Ｙ） ，则
的
解法 １ ：设 直 线 ｆ 直ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ线 ｚ相 交 于 与 ．
， （ ｏ是 中点满 足直线方程 Ａ ＋Ｃ＝０ ＋ ，并且 Ａ（ Ｙ） 因为 Ｐ ｙ） 线 段 ＡＢ的 中
与直线 ｚ的交点 Ｂ的坐标为 ： 、 的斜率与 直线 Ａ ＋研 ＋Ｃ＝０的斜率 点，所 以直线 ｚ
一
方程 ． 法 ，没有认 真地理解 、消化 ，使其转化 为 点 的直线方程 ，再判 断另一个点 的坐标是 （） １ 直线 Ａ ＋Ｂｙ＋Ｃ ＝０为特 殊 的 ｏ ｏ 自己的东西．现介绍平面解 析几 何直线部 否满足该直线方程 ，若满足 ，则这三点共 直线 轴 ，Ｙ轴 ，Ｙ＝ ，Ｙ＝一 时 ，直线 线 ，否则不共线 ． ’ 分 的一些基本题 型及其转化方法如下． Ａ１＋研 ｌ ｘ ＋Ｃ ＝０关于直线 Ａ ＋ ｏ Ｂｙ＋Ｃ ＝ ｏ 题型 ３ ：求一点 Ｐ（ ０ ） 关于一条直 题型 １ ：关于求 点 Ｐ分有 向线段 ０对称 的直线 方程 分别 为 Ａ 一Ｂ ｙ＋Ｃ ＝ 线 Ａ ，＋Ｃ＝０的对称 点 Ｐ的坐标 的 ＋ ， 所成 的比 Ａ值 的问题． ０， － ＋Ｂｌ Ｃ ＝０， Ａｌ Ａ ｙ＋ １ Ｙ＋Ｂ ＋Ｃ１ ＝０，
Ａ 曰 Ｃ
斜率 ，再利用直线 的点斜式方程 即可求
出要 求 直 线 的方 程 ．
图 １
（ ｙ／一。 一 ］
／ｏ ／ ＼
一
＝
由 Ａ＝一 ３知 ，点 Ｃ在 Ａ Ｂ的延 长 线
， ）
题型 ６ ：已知一直线被两条 已知直线
Ｚ：Ａ ＋Ｂｒ ＋Ｃ ＝０， １：Ａ ２ ２ ｌ ｙ １ ２ ＋ ｙ＋ Ｃ ＝ ２
ｙ） ０
所成的 比是一 ，求 曰分 所成 的比． ３
解析 ：根据 Ａ值 的分布规律如图 １ ．
－
角公式 就可 以求 得直线 Ａ ＋ ｙ＋Ｃ ＝０ Ｂ。 。
关于直线 Ａ ＋Ｂｙ＋Ｃ ＝０对称 的直线的 ｏ ｏ
（ ． ０ ）
１ Ａ＜ ， ０ Ａ＜＋ ＾ 。＜ － ＜ ０ ＜ ∞ 一。 Ａ＜ １
＋Ｃ ＝０中 （ ） 斜率公式 ．分别计 算一个 点与 性 ，只需将直线方程 Ａ ＋研 ３用 是在平 时学 习过程 中没有注 意归纳 总结 ｘ— ｙ —Ｙ 另 两个点连线 的斜率 ，若两斜率相等或者 的 换 为 ２ｏ ，ｙ换 为 ２ｏ ，即可求 基本题 型及其解法 ；二是知道教师讲过 的 出要 求 直 线 的 方 程 ． 两斜率都不存在 ，则这三点共线 ，否则不 些题 型的解法 ，但不会进行 转化 ． 也就 题型 ５ ：求 一直 线 Ａ ＋曰’＋Ｃ ：０ １ ， ｌ 是说 ，学生缺乏 自我 总结 、归纳基本题型 共 线 ． 关 于直 线 Ａ ＋Ｂｙ＋Ｃ ＝０对 称 的直 线 ｏ ｏ （ ） 直线方程 ．计算经过 其 中两个 ４用 的意识 和能力 ，对教 师讲 过的一些题 型解
拿 到题 就懵 了．这是 为什 么呢 ？我认 为 ：
一
（ ） 距离公式 ．根据三 点坐标 分别 ２用 计算每两 点之距 ，若最大 的距离等于另两 个 较小 距 离之 和则 这三 点共 线 ，否则 不
共 线．
ｙ－ ＝
１ ｌ 值． 、Ｙ 的
题型 ４ ：求 直线 Ａ１ Ｘ＋ＢＹ＋Ｃ ＝０关 １ 于点 尸 ｙ） （ ｏ对称的直线方程 ． 根据对称
上 ，且 ｌＢ１ ｃ１ Ａ ＝２Ｂ ，所 以点 Ｂ分 １
所成的 比 Ａ ＝ 。 ＝２ ．
图 ２
０所截得的线段 中点 Ｐ的坐标 为（
，
（） 线 Ａ ２ 直 ＋曰 ＋Ｃ＝０为 一 般 直 线 求 这 条 直 线 的方 程 ． ｙ
题型 ２：关 于判断或证 明平 面内三点