相似三角形解答题难题含答案个人精心整理

一、相似三角形中的动点问题

1.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B 作射线BB1∥AC ．动点D 从点A 出发沿射线AC 方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E 从点C 沿射线AC 方向以每秒3个单位的速度运动．过点D 作DH ⊥AB 于H ，过点E 作EF ⊥AC 交射线BB1于F ，G 是EF 中点，连接DG ．设点D 运动的时间为t 秒．

（1）当t 为何值时，AD=AB ，并求出此时DE 的长度； （2）当△DEG 与△ACB 相似时，求t 的值．

2.如图，在△ABC 中，ABC ＝90°，AB=6m ，BC=8m ，动点P 以2m/s 的速度从A 点出发，沿AC 向点C 移动．同时，动点Q 以1m/s 的速度从C 点出发，沿CB 向点B 移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t 秒．

（1）①当t=2.5s 时，求△CPQ 的面积；

②求△CPQ 的面积S （平方米）关于时间t （秒）的函数解析式；

（2）在P ，Q 移动的过程中，当△CPQ 为等腰三角形时，求出t 的值．

3.如图1，在Rt △ABC 中，ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，点D 在边AB 上运动，DE 平分CDB 交边BC 于点E ，EM ⊥BD ，垂足为M ，EN ⊥CD ，垂足为N ． （1）当AD ＝CD 时，求证：DE ∥AC ；

（2）探究：AD 为何值时，△BME 与△CNE 相似？

4.如图所示，在△ABC 中，BA ＝BC ＝20cm ，AC ＝30cm ，

点P 从A 点出发，沿着AB 以每秒4cm 的速度向B 点运动；同时点Q 从C 点出发，沿CA 以每秒3cm 的速度向A 点运动，当P 点到达B 点时，Q 点随之停止运动．设运动的时间为x ．

（1）当x 为何值时，PQ ∥BC ？ （2）△APQ 与△CQB 能否相似？若能，求出AP 的长；若不能说明理由．

5.如图，在矩形ABCD 中，AB=12cm ，BC=6cm ，点P 沿AB 边从A 开始向点B 以2cm/s 的速度移动；点Q 沿DA 边从点D 开始向点A 以1cm/s 的速度移动．如果P 、Q 同时出发，用t （s ）表示移动的时间（0＜t ＜6）。

（1）当t 为何值时，△QAP 为等腰直角三角形？ （2）当t 为何值时，以点Q 、A 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似？

二、构造相似辅助线——双垂直模型

6.在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(2，1)，

正比例函数

y=kx 的图象与线段

OA 的夹角是45°，求这个正比例函数的表达式．

7.在△ABC 中，AB=

，AC=4，BC=2，以AB 为边在

C 点的异侧作△AB

D ，使△ABD 为等腰直角三角形，

求线段CD的长．

8.在△ABC中，AC=BC，

∠ACB=90°，点M是AC上的一点，点N是BC上的一点，沿着直线MN折叠，使得点C恰好落在边AB上的P点．求证：MC：NC=AP：PB．

9.如图，在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E．那么D点的坐标为（）

A. B.

C. D.

10..已知，如图，直线y=﹣2x

＋2与坐标轴交于A、B两

点．以AB为短边在第一象限

做一个矩形ABCD，使得矩形的两边之比为1﹕2。

求C、D两点的坐标。

三、构造相似辅助线

——A、X字型11.如图：△ABC中，D是AB 上一点，AD=AC，BC边

上的中线AE交CD于F。

求证：

12.四边形ABCD中，AC为

AB、AD的比例中项，且AC平分∠DAB。

求证：

13.在梯形ABCD中，AB∥CD，AB ＝b ，CD＝a，E为AD 边上的任意一点，EF∥AB，且EF交BC于点F，某同学在研究这一问题时，发现如下事实：

(1)当时，EF=；(2)当时，EF=；

(3)当时，EF=

．当时，参照上述研

究结论，请你猜想用a 、b和k表示EF的一般结论，并给出证明．

14.已知：如图，在△ABC中，M是AC的中点，E、F

是BC上的两点，且BE＝EF＝FC。

求BN：NQ：QM．

15.证明：（1）重心定理：三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的．（注：重心是三角形三条中线

的交点）（2）角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例．

四、相似类定值问题

16.如图，在等边△ABC中，M、N分别是边AB，AC的中

点，D为MN上任意一点，BD 、

CD

的延长线分别交AC、

AB于点E、F．

求证：．

17.已知：如图，梯形ABCD中，AB//DC，对角线AC、BD

交于O，过O作EF//AB分别交AD、BC于E、F。

求证：．

18.如图，在△ABC中，已知CD为边AB上的高，正

方形EFGH的四个顶点分别在△ABC上。

求证：．

19.已知，在△ABC中作内接菱

形CDEF，设菱形的边长为a．求证：．

五、相似之共线线段的比例问题

20.（1）如图1，点在平行四边形ABCD的对角线

BD上，一直线过点P分别交BA，BC的延长线于点Q，

S，交于点．求证：