抛物线的切线

抛物线的切线问题
结论:
P(x0, y0 )是抛物线y2 =2 px( p 0)上一点,过P点作抛物线的切线,则切线方程为:y0 y=p(x x0 ) P(x0, y0 )是抛物线y2 =-2 px( p 0)上一点,过P点作抛物线的切线,则切线方程为:y0 y=-p(x x0 ) P(x0, y0 )是抛物线x2 =2 py( p 0)上一点,过P点作抛物线的切线,则切线方程为:x0x=p( y y0 ) P(x0, y0 )是抛物线x2 =-2 py( p 0)上一点,过P点作抛物线的切线,则切线方程为:x0x=p( y y0 )
特别地，若阿基米德三角形的底边AB过焦点F，则QFAB.
题型类比拓展
题 1（2005 年江西卷，理 22 题）：
如图，设抛物线 C : y x2 的焦点为 F，动点 P 在直线
l : x y 2 0上运动，过 P 作抛物线 C 的两条切线
PA、PB，且与抛物线 C 分别相切
y
于 A、B 两点.
2p
44
而|QF|2= ( y1 y2 p )2 ( y1 y2 )2 = ( y1 y2 )2 + y12 y22 + p2 =|AF|·|BF|.
M|= x1 x2 p = y12 y22 + p 2 2 4p 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
≥ 2 | y1 y2 | + p = 2 p2 + p = p ， 4p 2 4p 2
而
S
QAB

1 2
|
QM
|
( y1

y2 )
≥ | QM | | y1y2 | ≥ p2
题型类比拓展
题 3（2007 江苏卷，理 19 题）：
F
Bl
（1）求△APB 的重心 G 的轨迹方程. A
x
（2）证明∠PFA=∠PFB.
O
P
阿基米德三角形的性质
性质 10 |AF|·|BF|=|QF|2．
证明：|AF|·|BF|= (x1

p 2
)

(
x2

p) 2
=
x1x2

p 2
( x1

x2 )
p2 4
= ( y1 y2 )2 + y12 y22 + p2 ，
由三角形全等可得∠QAA'=∠QAF，
∴△QAA' △QAF，∴|QA'|=|QF|，∠QA'A=∠QFA，
同理可证|QB'|=|QF|，∠QB'B=∠QFB，∴|QA'|=|QB'|， 即∠QA'B'=∠QB'A'
∴∠QA'A=∠QA'B'+900=∠QB'A'+900=∠QB'B, ∴∠QFA=∠QFB，结论得证．
y0 y p(x x0 ) ，
该方程与 ax by c 0 表示同一条
直线，对照可得
x0

c a
,
y0


bp a
，
即弦 AB 过定点 C（ c ， bp ）. aa
阿基米德三角形的性质
性质 7 （1）若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点 Q 的轨迹为准线；反之，若阿 基米德三角形的顶点 Q 在准线上，则底边过焦点．
B A
P
推论：PM//抛物线的轴
焦点弦的切线性质：
若AB 过焦点，则点P在准线上，且 FP AB PA PB
反之，若点P在准线上，则AB 过焦点，
即A,B,F三点共线且 FP AB PA PB
小结:
1.我们在抛物线切线特征的基础上，得到了切线公式,切点弦 公式。对抛物线的切线问题进行深入研究,数形结合，合理猜 想，探究了切线与相交弦之间的关系，加深对抛物线中切线 应用的理解. 2.坐标法是解析几何最重要的思想方法,是解决直线与圆锥 曲线的综合问题的有效方法. 3.在解题的探索过程,培养大家的发现问题的能力,钻研问 题能力.
如图，在平面直角坐标系 xOy 中，过 y 轴正方向上一点 C(0，c)
任作一直线，与抛物线 y x2 相交于 A，B 两点．一条垂直于 x 轴的
直线，分别与线段 AB 和直线 l : y c 交于点 P，Q ．
y
（1）若 OA OB 2 ，求 c 的值；
（2）若 P 为线段 AB 的中点，求证：
类比圆 :
1.P(x0 , y0 )是圆x2 y2 r 2上一点,过P 点作圆的切线，则切线方程为:x0x+y0 y=r2 2.P(x0 , y0 )是圆(x a)2 ( y b)2 r2上一点,过P 点作圆的切线，则切线方程为:(x0 a)(x a)+( y0 b)( y b)=r2 3.P(x0 , y0 )是圆x2 y2 Dx Ey F 0(D2 +E 2 4F 0)上一点,过P
x2 x0 x x x0 x
2
点作圆的切线，则切线方程为:x0x+y0 y+D
x+x0 2
+E
y+y0 2
+F =0
其实同样适用于椭圆和抛 物线，需证明
若点P为圆外一点，则为切点弦方程
阿基米德三角形名称的由来 抛物线的弦与过弦的端点的两条切线 所围的三角形，这个三角形又常被称为 阿基米德三角形，因为阿基米德最早利 用逼近的思想证明了：抛物线的弦与抛 物线所围成的封闭图形的面积等于阿基 米德三角形面积的2/3．
（2）若阿基米德三角形的底边过焦点，则阿基米德三角形的底边所对的角为直角，且
阿基米德三角形面积的最小值为 p2 ．
证明（2）：若底边过焦点，则 x0

p 2
,
y0

0 ，Q
点轨迹方程为
x


p 2
即为准线；易
验证 kQA kQB 1 ，即 QA⊥QB，故阿基米德
三角形为直角三角形，且 Q 为直角顶点； ∴|Q
B F A
O
P
阿基米德三角形的性质
性质 6 若直线 l 与抛物线没有公共点，以 l 上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定
点．
证明：如上图，设 l 方程为
ax by c 0 ，且 A(x1, y1) ，
l
B(x2 , y2 ) ，弦 AB 过点 C (x0 , y0 ) ，由
性质 2 可知 Q 点的轨迹方程
CP
B
QA 为此抛物线的切线；
AO x
（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由． Q
l
阿基米德三角形的性质
性质 9 在阿基米德三角形中，∠QFA=∠QFB． 证明：如图，作 AA'⊥准线，BB'⊥准线，
连接
QA'、QB'、QF、AF、BF，则 kFA'


y1 p
，
显然 kFA' kQA 1 ，∴FA'⊥QA，又∵|AA'|=|AF|，