三角形的证明-练习题
三角形全等的判定证明题-(含答案)
三角形全等的判定一、(SSS)1．如图，AD=AC ，BD=BC ，QA 求证：△ABC≌△ABD .证明：在△ABC 和ABD 中，⎩⎨⎧ AD ＝ACBD ＝BCAB ＝AB ，∴△ABC≌△ABD（SSS ）2．如图，AB=AD ，CB=CD ，求证：△ABC≌△AD C ．证明：∵在△ABC 和△ADC 中⎩⎨⎧ AB ＝ADBC ＝CDAC ＝AC，∴△ABC≌△ADC（SSS ）．3．如图，A 、D 、B 、E 在同一直线上，AC=EF ，AD=BE ，BC=DF ，求证：∠C=∠F．证明：∵AD=BE∴AD+DB=BE+DB，即：AB=DE ，在△ABC 和△DEF 中，⎩⎨⎧ AC ＝EFAB ＝DEBC ＝DF ，∴△ABC≌△DEF（SSS ），∴∠C=∠F．4．如图,已知线段AB 、CD 相交于点O,AD 、CB 的延长线交于点E,OA=OC,EA=EC,请说明∠A=∠C.解:连结OE 在△EAC 和△EBC 中OA OC EA EC OE OE ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝（已知）（已知）（公共边）∴△EAC ≌△EBC （SSS ）∴∠A ＝∠C （全等三角形的对应角相等）二、（SAS ）5．已知：如图，点A 、B 、C 、D 在同一条直线上，EA ⊥AD ，FD ⊥AD ，AE =DF ，AB =DC ．求证：∠ACE =∠DBF ．证明：∵AB =DC∴AC =DB∵EA ⊥AD ，FD ⊥AD∴∠A =∠D =90°在△EAC 与△FDB 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DBAC D A FDEA∴△EAC ≌△FDB （SAS ）∴∠ACE =∠DBF ．6．如图CE=CB ，CD=CA ，∠DCA=∠ECB ，求证：DE=AB ．证明：∵∠DCA=∠ECB ，∴∠DCA+∠ACE=∠BCE+∠ACE ，∴∠DCE=∠ACB ，∵在△DCE 和△ACB 中，∴△DCE ≌△ACB （SAS ）∴DE=AB ．7． 已知：如图，点A 、B 、C 、D 在同一条直线上，EA ⊥AD ，FD ⊥AD ，AE =DF ，AB =DC ．求证：∠ACE =∠DBF ．证明：∵AB =DC∴AC =DB∵EA ⊥AD ，FD ⊥AD∴∠A =∠D =90°在△EAC 与△FDB 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DBAC D A FDEA∴△EAC ≌△FDB （SAS ）∴∠ACE =∠DBF ．8． 如图CE=CB ，CD=CA ，∠DCA=∠ECB ，求证：DE=AB ．证明：∵∠DCA=∠ECB，∴∠DCA+∠ACE=∠BCE+∠ACE，∴∠DCE=∠ACB，∵在△DCE和△ACB中，∴△DCE≌△ACB（SAS）∴DE=AB．三、（ASA）(AAS)9.如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB＝CE，AB∥ED，AC∥FD.求证：AC＝DF.证明：∵FB＝CE，∴BC＝EF.∵AB∥ED，∴∠B＝∠E∵AC∥EF，∴∠ACB＝∠DFE.在△ABC和△DEF中{∠B＝∠EBC＝EF∠ACB＝∠DFE∴△ABC≌△DEF(ASA)．∴AC＝DF.10. 如图，在△AEC和△DFB中，∠E=∠F，点A，B，C，D在同一直线上，AE∥DF，AB=CD，求证：CE=BF。
三角形全等证明题60道
FEBD 1. 如图，已知点B 、E 、C 、F 在同一条直线上，AB ＝DE ，AC ＝DF ，BE ＝CF . 求证：△ABC ≌△DEF变式训练1: 已知点B 、C 、E 、D 在同一条直线上，AB ＝DF ，AC ＝EF ，BE= CD ， 求证：AC ∥EF变式训练2: 已知AB ＝AD ，AC ＝A E ，BC ＝D E 求证：∠B AD ＝∠CAE变式训练3: 已知AD ＝BC ，AB ＝CD ，求证：∠A ＝∠C2.点A 、D 、F 、B 在同一直线上，BF AD =，AE=BC 且BC AE //．求证：⑴AEF ∆≌BCD ∆ ⑵CD EF //D3．如图，DE CD ⊥于D ，DB AB ⊥于B ，BE CD =，DE AB =． 求证：AE CE ⊥4.如图，AB=CB, ∠ABD=∠CBD, △ABD 与△CBD 全等吗,说明理由？变式1如上图，AB=CB,BD 平分∠ADC, △ABD 与△CBD 全等吗,说明理由？变式2如上图，AD=CD .BD 平分∠ADC, ∠A=∠C 吗,说明理由？5.已知：如图AB =AC ,AD =AE ,∠BAC =∠DAE 求证：（1） △ABD ≌△ACE （2） ∠ADB= ∠AEC6．已知：点D 在AB 上，点E 在AC 上， BE ⊥AC, CD ⊥AB,AB=AC ，求证：BD=CEDECBA7.如图，在△ABC 中，∠B=2∠C,AD 是△ABC 的角平分线，∠1=∠C,求证AC=AB+CE8.如图，已知21∠=∠，43∠=∠，求证：BE BD =9．如图，AE AC =，E C ∠=∠，21∠=∠．求证：ABC ∆≌ADE ∆．10.如图，已知∠BAD=∠CAE ，∠ADE=∠AED ，BD=CE 求证：AB=AC11.如图，OA PC ⊥于C ，OB PD ⊥于D ，且PD PC =，求证：DPO CPO ∠=∠．12．如图，AC AB =，AF AE =，EC AE ⊥于E ，FB AF ⊥于F ．求证：21∠=∠．13．如图，BD AE ⊥于E ，BD CF ⊥于F ，CD AB =，CF AE =． 求证：CD AB //14．如图，点A 、B 、C 、D 在同一条直线上，CD AB =，AD EB ⊥，AD FC ⊥，且DF AE =，求证：DE AF =15．如图，A 、E 、F 、B 在同一条直线上，CE AC ⊥于C ，DF BD ⊥于D ，AF=BE ，BD AC =． 探究CF 与DE 的关系，并说明理由．16.如图，OB OA =，OD OC =，︒=∠=∠90COD AOB ． 猜想线段AC 、BD 的大小关系，并说明理由．17．如图，给出五个等量关系：①BC AD =；②BD AC =；③DE CE =；④C D ∠=∠；⑤CBA DAB ∠=∠．请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，写出一个正确的命题（只需写出一种情况），并加以证明．18．如图，ABC ∆和ECD ∆都是等边三角形，连接BE ，AD 交于O ． 求证：⑴BE AD =； ⑵︒=∠60AOB19.两组邻边分别相等的四边形叫筝形，如图在筝形ABCD 中，AB=AD BC=DC ，AC BD 相交与点O 求证（1）△ABC ≌△ADC（2）OB=OD AC ⊥BD（1） AC=6 BD=4 求：筝形ABCD 的面积20.如图，OP 平分AOB ∠，OA PD ⊥于D ，OB PE ⊥于E ，F 为OP 上一点， 连接DF 、EF ．求证：⑴EPO DPO ∠=∠⑵DF =EFDC21．如图所示，AD 是BAC ∠的平分线，AB DE ⊥于E ，AC DF ⊥于F ，且CD BD =，那么BE 与CF 相等吗？为什么？22.如图，AD 平分BAC ∠，AB DE ⊥交AB 延长线于E ，AC DF ⊥于F ，且DC DB =．求证：CF BE =23．如图，OC 平分AOB ∠，OA CA ⊥于A ，OB CB ⊥于B ，连接AB 交OC 于D ． 求证：AB OD ⊥24．已知，如图BD 为ABC ∠的平分线，BC AB =，点P 在BD 上，AD PE ⊥于E ，CD PF ⊥于F ．求证：PF PE =25．如图，已知，P 为∠ABC 平分线上的一点，且PE=PF ，结合所 学知识，你认为∠1，∠2有什么关系？并证明．DCBA26.如图，在四边形ABCD 中，︒=∠=∠90B A ，EC 平分BCD ∠交AB 于E ，且BE AE =，求证：DE 平分CDA ∠27．如图，在△ABC 中，BD 为∠ABC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，且DE ＝2cm ，AB ＝9cm ，BC ＝6cm ，求△ABC 的面积．28.如图，在四边形ABCD 中，BC>BA ，AD=DC,BD 平分∠ABC,求证：∠A+∠C=180°29．如图，在ABC ∆中，︒=∠90ACB ，点O 为三条角平分线的交点，BC OD ⊥于D ，AC OE ⊥于E ，AB OF ⊥于F ，且cm AB 10=，cm CB 8=，cm CA 6=，求OD 的长．30．如图，B 是CAF ∠内一点，D 在AC 上，E 在AF 上，且EF DC =，BCD ∆与BEF ∆的面积相等．求证：AB 平分CAF ∠31．如图，CD BD =，AC BF ⊥于F ，AB CE ⊥于E ． ⑴求证：D 在BAC ∠的平分线上；⑵若将⑴的条件“CD BD =”和结论“D 在BAC ∠的平分线上”互换，成立吗？说明理由．32、D 是△ABC 外角∠ACE 的角平分线上一点，DF ⊥AC 与E ，DE ⊥BC 交BC 的延长线于E ，求证：CE=CF33.已知：∠C=∠D=90°。
全等三角形证明经典30题
全等三角形证明经典30题1. 两角和相等定理证明：设△ABC 和△DEF 是两个三角形，如果∠A = ∠D 且∠B = ∠E，则可以通过以下步骤证明△ABC ≌△DEF：步骤一：通过顶角顶点 C 、 F、和共边 CF 作直线段 CF，延长直线段 CF 至点 X，使得 CX = CE。
步骤二：连接线段 AX。
步骤三：证明∠AXB = ∠EXF：由于∠A = ∠D，所以∠AXB = ∠DXE（共同的角度）。
又由于∠B = ∠E，所以∠DXE = ∠EXF。
因此，∠AXB = ∠EXF。
步骤四：证明∠ABX = ∠EFX：由于∠B = ∠E，所以∠ABX = ∠EXF（共同的角度）。
因此，∠ABX = ∠EFX。
步骤五：证明 AB = EF：由于 CX = CE，且∠ABX = ∠EFX，根据 SSS（边-边-边）全等三角形定理，则可得∆ABX ≌ ∆EFX。
因此，AB = EF。
综上所述，根据两角和相等定理，已经证明了△ABC ≌△DEF。
2. SAS全等三角形定理证明：设△ABC 和△DEF 是两个三角形，如果 AB = DE，∠A = ∠D，且 AC = DF，则可以通过以下步骤证明△ABC ≌△DEF：步骤一：连接线段 BC 和 EF。
步骤二：证明∠ABC = ∠DEF：由于 AB = DE，且∠A = ∠D，根据线段角度定理，可得∠ABC = ∠DEF。
步骤三：证明 BC = EF：由于 AC = DF，且∠ABC = ∠DEF，根据 SAS（边-角-边）全等三角形定理，可得△ABC ≌△DEF。
综上所述，根据SAS全等三角形定理，已经证明了△ABC ≌△DEF。
3. SSS全等三角形定理证明：设△ABC 和△DEF 是两个三角形，如果 AB = DE，BC = EF，且AC = DF，则可以通过以下步骤证明△ABC ≌△DEF：步骤一：连接线段 AC 和 DF。
步骤二：连接线段 BC 和 EF。
三角形相似证明基础50题
33、如图,已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,点E、F在AB 上,∠ECF=45°.（1）求证:△ACF∽BEC；（2）设△ABC的面积为S，求 证:AF·BE=2S.
45° A E F B C
34、如图，在ABCD中,过点B作BE⊥CD,垂足为E,连结AE,F为AE上一点,且 ∠BFE=∠C.（1）求证:△ABF∽△EAD；（2）若AB=4,∠BAE=30°，求AE 的长；（3）在（1）（2）的条件下,若AD=3,求BF的长.
CD的中点，△ADQ与△QCP是否相似？为什么？
5、如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，∠BAC的平分线分别交 BC、CD于点E、F，AC·AE=AF·AB吗？说明理由。
6、如图，AD是Rt△ABC斜边BC上的高，DE⊥DF，且DE和DF分别交 AB、
7、已知：如图，D是△ABC的边AC上一点，且CD=2AD，AE⊥BC于E, 若BC=13, △BDC的面积是39, 求AE的长。
8、已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥AB，AD交BC于点E， DC⊥BC，与AD交于点D． 求证：AC2＝AE·AD．
B C D A E
9、已知：如图，在△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥BC于点D，点E是 AC边的中点，ED的延长线与AB的延长线交于点F． 求证：△AFD ∽△DFB．
B C D M N E A
40、如图,等腰三角形ABC中,AB=AC,D为CB延长线上一点,E为BC延长线上 点,且满足AB2=DB·CE. （1）求证:△ADB∽△EAC；（2）若∠BAC=40°，求∠DAE的度数
A B C E D
45、如图ΔABC中,∠C=900, BC = 8cm, AC = 6cm,点P从B出发,沿BC方 向以2cm/s的速度移动,点Q从C出发,沿CA方向以1cm/s的速度移动.若P、 Q分别同时从B、C出发,经过多少时间以C、P、Q为顶点的三角形与以C、 B、A为顶点的三角形相似? 9分
(完整版)全等三角形证明经典50题(含答案)
全等三角形证明经典50题(含答案)1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD2. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12CD AB3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠24. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC5. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠CDAB B A CDF2 1 EAC D E F 21 A D BC A6. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE12. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。
求证：BC=AB+DC 。
13.已知：AB//ED ，∠EAB=∠BDE ，AF=CD ，EF=BC ，求证：∠F=∠C14. P 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC>AB ，求证：PC-PB<AC-AB15. 已知∠ABC=3∠C ，∠1=∠2，BE ⊥AE ，求证：AC-AB=2BED C B A FE PD A CB16. 已知，E 是AB 中点，AF=BD ，BD=5，AC=7，求DC18．如图，在△ABC 中，BD =DC ，∠1=∠2，求证：AD ⊥BC ．19．如图，OM 平分∠POQ ，MA ⊥OP ,MB ⊥OQ ，A 、B 为垂足，AB 交OM 于点N ．求证：∠OAB =∠OBA20．（5分）如图，已知AD ∥BC ，∠P AB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求证：AD +BC =AB ．21．如图，△ABC 中，AD 是∠CAB 的平分线，且AB =AC +CD ，求证：∠C =2∠B22．（6分）如图①，E 、F 分别为线段AC 上的两个动点，且DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ，若AB =CD ，AF =CE ，BD 交AC 于点M ．（1）求证：MB =MD ，ME =MF（2）当E 、F 两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．F AEDCB P E D CB A DC B A23．已知：如图，DC ∥AB ，且DC =AE ，E 为AB 的中点， （1）求证：△AED ≌△EBC ． （2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC 外，请再写出两个与△AED 的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）：24．（7分）如图，△ABC 中，∠BAC =90度，AB =AC ，BD 是∠ABC 的平分线，BD 的延长线垂直于过C 点的直线于E ，直线CE 交BA 的延长线于F ．求证：BD =2CE ．证明：25、如图：DF=CE ，AD=BC ，∠D=∠C 。
八年级三角形的证明题
八年级三角形的证明题一、等腰三角形性质相关证明题（8题）1. 已知：在△ABC中，AB = AC，AD是BC边上的中线。
求证：AD⊥BC。
- 证明：- 因为AB = AC，AD是BC边上的中线，所以BD = DC（中线的定义）。
- 在△ABD和△ACD中，AB = AC（已知），BD = CD（已证），AD = AD（公共边）。
- 所以△ABD≌△ACD（SSS）。
- 则∠ADB=∠ADC（全等三角形对应角相等）。
- 又因为∠ADB + ∠ADC = 180°（平角的定义），所以∠ADB = ∠ADC = 90°，即AD⊥BC。
2. 已知：在等腰△ABC中，AB = AC，∠A = 36°，求证：∠B = 72°。
- 证明：- 因为AB = AC，所以∠B = ∠C（等腰三角形两底角相等）。
- 又因为∠A+∠B + ∠C = 180°（三角形内角和定理），∠A = 36°。
- 设∠B = x，则∠C = x，可得方程36°+x + x = 180°。
- 2x=180° - 36°，2x = 144°，解得x = 72°，即∠B = 72°。
3. 已知：在△ABC中，AB = AC，D是AC上一点，且AD = BD = BC。
求∠A的度数。
- 证明：- 设∠A=x，因为AD = BD，所以∠ABD = ∠A=x（等边对等角）。
- 则∠BDC=∠A + ∠ABD = 2x（三角形外角性质）。
- 因为BD = BC，所以∠C = ∠BDC = 2x。
- 又因为AB = AC，所以∠ABC = ∠C = 2x。
- 根据三角形内角和定理，∠A+∠ABC+∠C = 180°，即x + 2x+2x = 180°。
- 5x = 180°，解得x = 36°，所以∠A = 36°。
三角形全等证明题20道
三角形全等证明题20道1、已知△ABC平行于平面Π，交Π于D、E、F，写出AD∥BC：证明：由于△ABC平行于Π，所以可以得到平面Π两侧的两个等边三角形△ABD和△BEC，其中AB=BE。
同时三角形△ABC△ABD△BEC都是等腰三角形，所以三个角A、B、C相等，所以三角形△ABC和三角形△ABD△BEC相等。
综上，对于△ABC平行于平面Π，交Π于D、E、F的情况，可以得出结论：AD∥BC。
2、已知△ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，写出a∥c：证明：由三角形的定理可知，三角形ABC的内角A、B、C共线，于是可以得到AB∥BC。
而AB=a，BC=c，所以a∥c。
3、已知△ABC形AB=AC，写出2A=B+C：证明：由已知可得AB=AC，即对边相等，所以∠B=∠C。
又因为三角形ABC的三个内角A、B、C相加恒为180°，于是可以得到2A=B+C。
4、已知△ABC的AB=AC，BC∥AB，EF为BC的中线，写出AD∥EF：证明：由已知三角形ABC的AB=AC，BC∥AB，可以得到三角形ABC的EF 是BC的中线。
而AB∥EF，由此可以得出AD∥EF。
5、已知△ABC的AB=AC，BC∥AB，AB=DE，写出DE∥BC：证明：由已知三角形ABC的AB=AC，BC∥AB，AB=DE，由此可以得出DE ∥BC。
6、已知△ABC，AB=AD，写出AD=BC：证明：由已知三角形ABC的AB=AD，可以得到三角形ABC的AD=BC。
7、已知△ABC的AB=AC，B=C，写出AB=BC：证明：由已知三角形ABC的AB=AC，B=C，可以得到AB=BC。
8、已知△ABC的AB∥AC，写出A=180°-B-C：证明：由已知三角形ABC的AB∥AC，可以得到三角形ABC的A=180°-B-C。
9、已知△ABC的AB=BC，AC=BC，写出A=B：证明：由已知三角形ABC的AB=BC，AC=BC，可以得到A=B。
三角形的重心证明 练习题
关于三角形重心、垂心、外心共线的证明已知：△ABC中，P为其垂心，O为其重心，Q为其外心。
求证：P、O、Q共线且PO=2OQ证法1（几何法）：作BC的中点D、AC的中点E，连接并延长AP交BC于F，连接并延长BP交AC于G，连接AD、DE、DQ、EQ∵Q为△ABC外心（已知），D、E分别为BC、AC中点∴DQ为BC垂直平分线，EQ为AC垂直平分线（外心为三角形任两边垂直平分线交点）∴DQ⊥BC，EQ⊥AC（垂直平分线定义）∵P为△ABC垂心（已知）∴AP⊥BC，BP⊥AC（垂心为三角形任两高交点）∴AP∥DQ，BP∥EQ（垂直于同一直线的两直线平行）∵D为BC中点，E为AC中点（由辅助线做法）∴AB∥DE，且AB/DE=2（三角形中位线平行于第三边且等于此边一半）∴△ABP∽△DEQ（三边分别对应平行的两三角形相似）∴AP/DQ=AB/DE=2（相似三角形对应边成比例）∵O为△ABC重心（已知），AD为BC上中线（辅助线做法）∴O在AD上且AD/OD=3（重心是三角形任一中线靠近边一侧的三等分点）∴OA/OD=2（比例代换）∵AP∥DQ（已证），∴∠PAO=∠QDO（两直线平行，内错角相等）又∵AP/DQ=OA/OD=2（等量代换）∴△AOP∽△DOQ（两边对应成比例且其夹角相等的两三角形相似）∴OP/OQ=OA/OD=2，∠AOP=∠DOQ（相似三角形对应边成比例，对应角相等）∵A、O、D共线（已证），∴∠AOQ+∠DOQ=180°（顺序共线三点成平角）∴∠AOQ+∠AOP=180°（代入）∴P、O、Q三点共线（平角两边上点与顶点共线）＃证法2（向量法）：连接AO 并延长AO 交BC 于DF ，连接BO 并延长BO 交AC 于E ，连接DQ 、EQ ，所以，DQ ⊥BC ，EQ ⊥AC故有//QD AP ，所以存在唯一个实数λ，使得QD AP λ=()()222333AO AD AQ QD AQ AP λ==+=+ 即 32AO AQ AP AO OQ AP λλ=+=++ 所以，22AO OQ AP λ=+22AP PO OQ AP λ+=+()221PO OQ AP λ-=-又//QD BP ,所以存在一个实数μ，使得QD BP μ=，()()222333BO BD BQ QD BQ BP μ==+=+， 同理可得， ()221RO OQ BP μ-=-故()()2121BP AP μλ-=-，由于AP 与BP 不共线，所以21210μλ-=-= 故20PO OQ -=，即2PO OQ = ，所以，P 、O 、Q 共线 且||2||PO OQ =三角形重心、垂心、外心共线，且重心到垂心距离等于重心到外心距离的两倍。
(完整版)全等三角形证明经典100题
1.已知： AB=4 ，AC=2 ， D 是 BC 中点， AD 是整数，求 AD AB CD12. 已知： D 是 AB 中点，∠ ACB=90 °，求证：CD AB2ADC B3.已知： BC=DE ，∠ B= ∠E，∠ C= ∠ D， F 是 CD 中点，求证：∠ 1=∠ 2A21B EC F D4.已知：∠ 1=∠ 2， CD=DE ， EF//AB ，求证： EF=ACA12FCDEB5.已知： AD 均分∠ BAC ， AC=AB+BD ，求证：∠ B=2 ∠ CACB D6.已知： AC 均分∠ BAD ， CE⊥ AB ，∠ B+ ∠D=180 °，求证： AE=AD+BE7.已知： AB=4 ，AC=2 ， D 是 BC 中点， AD 是整数，求 AD AB CD8. 已知： D 是 AB 中点，∠ ACB=90 °，求证：CD 1 AB2ADC B9.已知： BC=DE ，∠ B= ∠E，∠ C= ∠ D， F 是 CD 中点，求证：∠ 1=∠ 2A21B EC F D10. 已知：∠ 1=∠ 2， CD=DE ， EF//AB ，求证： EF=ACA12FCDEB11.已知： AD 均分∠ BAC ， AC=AB+BD ，求证：∠ B=2 ∠ CACB D12. 已知： AC 均分∠ BAD ， CE⊥ AB ，∠ B+ ∠D=180 °，求证： AE=AD+BE12.如图，四边形 ABCD 中， AB ∥ DC ，BE、 CE 分别均分∠ ABC 、∠ BCD ，且点 E 在 AD上。
求证： BC=AB+DC 。
13.已知： AB//ED ，∠ EAB= ∠ BDE ， AF=CD ， EF=BC ，求证：∠ F=∠ CE DCFA B14.已知： AB=CD ，∠ A= ∠ D，求证：∠ B= ∠ CADB C15.P 是∠ BAC 均分线 AD 上一点， AC>AB ，求证： PC-PB<AC-AB CAP DB16. 已知∠ ABC=3 ∠ C，∠ 1=∠2， BE⊥ AE ，求证： AC-AB=2BE17.已知， E 是 AB 中点， AF=BD ， BD=5 ， AC=7 ，求 DCDF A CE B18．（ 5 分）如图，在△ABC 中， BD=DC ，∠ 1=∠ 2，求证： AD ⊥ BC．19．（ 5 分）如图， OM 均分∠ POQ ，MA⊥ OP,MB ⊥OQ ， A、B 为垂足， AB 交 OM 于点N．求证：∠ OAB=∠OBA(完满版)全等三角形证明经典100题20．（ 5 分）如图，已知AD ∥BC，∠ PAB 的均分线与∠ CBA 的均分线订交于E， CE 的连线交 AP 于 D．求证： AD+BC=AB．PCEDA B21．（ 6 分）如图，△ ABC 中， AD 是∠ CAB 的均分线，且AB=AC+CD，求证：∠ C=2∠ BACD B22．（ 6 分）如图①， E、F 分别为线段AC 上的两个动点，且DE ⊥AC 于 E， BF⊥AC 于 F ，若 AB=CD ， AF=CE， BD 交 AC 于点 M．（1）求证： MB=MD ， ME =MF（2）当 E、F 两点搬动到如图②的地址时，其余条件不变，上述结论可否成立？若成立请恩赐证明；若不成立请说明原由．23．（ 7 分）已知：如图，DC ∥AB，且 DC =AE， E 为 AB 的中点，（ 1）求证：△ AED≌△ EBC．（ 2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC 外，请再写出两个与△AED 的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）：AE O DB C24．（ 7 分）如图，△ABC 中，∠ BAC=90 度， AB=AC， BD 是∠ ABC 的均分线， BD 的延长线垂直于过 C 点的直线于 E，直线 CE 交 BA 的延长线于 F ．求证： BD =2CE．F25、（ 10 分）如图： DF=CE， AD=BC，∠ D=∠ C。
初二证明全等三角形练习题
初二证明全等三角形练习题（文章采用练习题的格式进行书写）1. 以下是几道关于全等三角形的证明练习题，请仔细阅读题目，并按照要求进行证明。
题目一：已知△ABC 和△DEF，若 AB=DE，AC=DF，∠B=∠E，证明△ABC≌△DEF。
证明过程（步骤省略）：结论：通过以上证明过程，我们可以得出△ABC≌△DEF。
题目二：已知△ABC 和△DEF，若 AB=DE，BC=EF，∠B=∠E，证明△ABC≌△DEF。
证明过程（步骤省略）：结论：根据以上证明过程，我们可以得出△ABC≌△DEF。
题目三：已知△ABC 和△DEF，若 AB=DE，BC=EF，AC=DF，证明△ABC≌△DEF。
证明过程（步骤省略）：结论：通过以上证明过程，我们可以得出△ABC≌△DEF。
2. 综合练习题题目四：已知三角形 ABC 和 DEF 的边长分别为 AB=5cm，BC=7cm，AC=6cm，DE=5cm，EF=7cm，DF=6cm，若∠B=∠E，证明△ABC≌△DEF。
证明过程（步骤省略）：结论：根据以上证明过程，我们可以得出△ABC≌△DEF。
3. 拓展练习题题目五：已知△ABC 和△DEF，若 AB=DE，BC=EF，CA=FD，且其中一对对应的角相等∠B=∠E，证明△ABC≌△DEF。
证明过程（步骤省略）：结论：通过以上证明过程，我们可以得出△ABC≌△DEF。
总结：通过完成以上的练习题，我们掌握了如何证明全等三角形的方法。
在证明过程中，我们通过分析已知条件，运用几何定理和推理，逐步得出结论。
全等三角形的证明非常重要，它在实际中有着广泛的应用，帮助我们解决各类相关问题。
希望通过这些练习题，你对全等三角形的证明有了更深入的理解。
(完整版)全等三角形证明经典50题(含答案)
证明：连接 BF 和 EF T BC=ED,CF=DF, / BCF= / EDF 三角形BCF 全等于三角形 EDF （边角边）1.已知：AB=4 , AC=2 , D 是BC 中点，AD 是整数，求 ADD • BF=EF, / CBF= / DEF 连接 BE 在三角形 BEF 中,BF=EF • / EBF= / BEF 。
： / ABC= / AED 。
二 / ABE= / AEB 。
• AB=AE 。
在三角形 ABF 和三角形 AEF 中AB=AE,BF=EF, / ABF= / ABE+ / EBF= / AEB+ / BEF= / AEF • 三角形 ABF 和三角形 AEF 全等。
•/ BAF= / EAF （ /仁/ 2）4.已知：/ 1 = / 2, CD=DE , EF//AB ，求证：EF=AC解：延长 AD 到E,使AD=DE •/ D 是BC 中点二BD=DC 在厶 ACD 和^ BDE 中 AD=DE / BDE= / ADCBD=DC /•△ ACD ◎△ BDE ••• AC=BE=2 •••在△ ABE 中 AB-BE V AE V AB+BE •/ AB=4 即 4-2 V 2AD V 4+21 V AD V 3 • AD=21 2.已知：D 是 AB 中点，/ ACB=90 °，求证：CD —AB 2A CG// EF ,可得，/• △ EFD ^A CGD•，/ EFD =Z 1过C 作CG // EF 交AD 的延长线于点GEFD = CGDDE = DC / FDE =Z GDC （对顶角） EF = CG / CGD =Z EFD 又，EF // AB / 1= / 2 •/ CGD =Z 2 • △ AGC 为等腰三角形， AC = CG 又 EF = CG 「. EF = AC 延长CD 与P ,使D 为CP 中点。
连接 AP,BP •/ DP=DC,DA=DB • ACBP 为平行四边形又/ ACB=90 •平行四边形 ACBP 为矩形 • AB=CP=1/2AB 3.已知：BC=DE ，/ B= / E ,Z C=Z D , F 是 CD 中点，求证：/ 1 = / 2 5.已知：AD 平分/ BAC , AC=AB+BD ，求证：/ B=2 / C证明：延长 AB 取点E ,使AE = AC ,连接DE •/ AD 平分/ BAC• / EAD =Z CAD•/ AE = AC , AD = AD • △ AED 也厶 ACD （ SAS ）•••/ E = Z C•/ AC = AB+BD •AE = AB+BD•/ AE = AB+BE •BD = BE •••/ BDE =Z E •••/ ABC =Z E+ / BDE •••/ ABC = 2 / E •••/ ABC = 2 / C ••• AE = AF + FE = AD + BE12.如图，四边形ABCD中，AB 在AD上。
全等三角形证明经典40题(含答案)
1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 的长.解：延长AD 到E,使AD=DE∵D 是BC 中点∴BD=DC在△ACD 和△BDE 中AD=DE∠BDE=∠ADCBD=DC∴△ACD ≌△BDE∴AC=BE=2∵在△ABE 中AB-BE ＜AE ＜AB+BE∵AB=4即4-2＜2AD ＜4+21＜AD ＜3∴AD=22. 已知：BC=ED ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2证明：连接BF 和EF∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF∴ 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边)∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF连接BE在三角形BEF 中,BF=EF∴ ∠EBF=∠BEF 。
∵ ∠ABC=∠AED 。
∴ ∠ABE=∠AEB 。
∴ AB=AE 。
在三角形ABF 和三角形AEF 中AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF∴ 三角形ABF 和三角形AEF 全等。
∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。
AD B C3. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC过C 作CG∥EF 交AD 的延长线于点GCG∥EF，可得，∠EFD＝CGDDE ＝DC∠FDE＝∠GDC（对顶角）∴△EFD≌△CGDEF ＝CG∠CGD＝∠EFD又，EF∥AB∴，∠EFD＝∠1∠1=∠2∴∠CGD＝∠2∴△AGC 为等腰三角形，AC ＝CG又 EF ＝CG∴EF ＝AC4. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠ C证明：延长AB 取点E ，使AE ＝AC ，连接DE∵AD 平分∠BAC∴∠EAD ＝∠CAD∵AE ＝AC ，AD ＝AD∴△AED ≌△ACD （SAS ）∴∠E ＝∠C∵AC ＝AB+BD∴AE ＝AB+BD∵AE ＝AB+BE∴BD ＝BE∴∠BDE ＝∠EBACDF21 E A∵∠ABC＝∠E+∠BDE∴∠ABC＝2∠E∴∠ABC＝2∠C5.已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE证明：在AE上取F，使EF＝EB，连接CF∵CE⊥AB∴∠CEB＝∠CEF＝90°∵EB＝EF，CE＝CE，∴△CEB≌△CEF(SAS)∴∠B＝∠CFE∵∠B＋∠D＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180°∴∠D＝∠CFA∵AC平分∠BAD∴∠DAC＝∠FAC∵AC＝AC∴△ADC≌△AFC（SAS）∴AD＝AF∴AE＝AF＋FE＝AD＋BE6. 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。
几何证明练习题及答案
几何证明练习题及答案题目1：已知三角形ABC中，AB=AC，点D在BC上，且AD垂直于BC。
证明：三角形ABD与三角形ACD全等。
答案：由于AB=AC，所以三角形ABC是等腰三角形。
根据等腰三角形的性质，角BAD等于角CAD。
又因为AD垂直于BC，所以角ADB和角ADC都是直角。
因此，我们有：- AD=AD（公共边）- ∠BAD=∠CAD（等腰三角形的性质）- ∠ADB=∠ADC=90°（直角）根据SAS（边角边）全等条件，三角形ABD与三角形ACD全等。
题目2：已知三角形ABC中，AB=AC，点E在AB上，点F在AC上，且BE=CF。
证明：三角形AEF是等腰三角形。
答案：由于AB=AC，三角形ABC是等腰三角形。
根据等腰三角形的性质，角ABC等于角ACB。
又因为BE=CF，我们可以得出：- AB=AC（已知）- BE=CF（已知）- ∠ABC=∠ACB（等腰三角形的性质）根据SSS（边边边）全等条件，三角形BEC与三角形CFB全等。
因此，角BEC等于角CFB。
由于角AEF是三角形AEF的外角，根据外角定理，角AEF等于角BEC加角CFB。
因此：- ∠AEF=∠BEC+∠CFB- ∠AEF=2∠BEC（因为∠BEC=∠CFB）由于角AEF是三角形AEF的两个相等的角，所以三角形AEF是等腰三角形。
题目3：已知四边形ABCD中，AB平行于CD，BC平行于AD，且AB=CD。
证明：四边形ABCD是平行四边形。
答案：由于AB平行于CD且BC平行于AD，根据平行四边形的定义，我们可以推断出AD也平行于BC。
因此，四边形ABCD的对边都是平行的。
又因为AB=CD，根据平行四边形的判定条件，我们可以得出四边形ABCD是平行四边形。
题目4：已知三角形ABC中，角A等于角C，点D在BC上，且AD垂直于BC。
证明：三角形ABD与三角形CBD是等腰三角形。
答案：由于角A等于角C，根据三角形内角和定理，我们可以得出角A+角C+角B=180°。
三角形的证明综合练习题
三角形的证明综合练习一．解答题（共20小题）1．如图，已知AC⊥BC，AD⊥BD，E为AB的中点，（1）如图1，求证：△ECD是等腰三角形；（2）如图2，CD与AB交点为F，若AD=BD，EF=3，DE=4，求CD的长．2．如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，M，N分别是BC，DE的中点．（1）求证：MN⊥DE；（2）若BC=20，DE=12，求△MDE的面积．3．如图，直线l1：y=mx+4m与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点．（1）如图（1），当OA=OB时，求直线l1的解析式；（2）如图（2），当m取不同的值时，点B在y轴正半轴上运动，分别以OB、AB为腰，点B为直角顶点在第一、二象限作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，连接EF交y轴于点P，试猜想PB的长是否为定值？若是，求出其值；若不是，说明理由．（3）m取不同的值时，点B在y轴正半轴上运动，以AB为腰，点B为直角顶点在第二象限作等腰直角△ABD，满足条件的动点D在直线l2上运动，直线l2与x轴和y轴分别交于F、H两点，若直线l1将△OHF分成面积比为m：1的两部分，求此时直线l1和直线l2的解析式．4．如图，在矩形ABCO中，点O为坐标原点，点B的坐标为（﹣4，3），点A，C在坐标轴上，将直线l1：y=﹣2x+3向下平移6个单位长度得到直线l2．（1）求直线l2的解析式；（2）求直线l2与两坐标轴围成的三角形的面积S；（3）已知点M在第二象限，且是直线l2上的点，点P在BC边上，若△APM是等腰直角三角形，求点M的坐标．5．如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．（1）如图1，若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°①求证：AD=BE；②求∠AEB的度数．（2）如图2，若∠ACB=∠DCE=120°，CM为△DCE中DE边上的高，BN为△ABE 中AE边上的高，试证明：AE=2CM+BN．6．已知∠ABC=90°，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），分别以AB、AP为边在∠ABC的内部作等边△ABE和△APQ，连接QE并延长交BP于点F．（1）如图1，若AB=，点A、E、P恰好在一条直线上时，求此时EF的长（直接写出结果）；（2）如图2，当点P为射线BC上任意一点时，猜想EF与图中的哪条线段相等（不能添加辅助线产生新的线段），并加以证明；（3）若AB=，设BP=4，求QF的长．7．学完“几何的回顾”一章后，老师布置了一道思考题：如图，点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上，且BM=CN，AM，BN交于点Q．求证：∠BQM=60度．（1）请你完成这道思考题；（2）做完（1）后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出了许多问题，如：①若将题中“BM=CN”与“∠BQM=60°”的位置交换，得到的是否仍是真命题？②若将题中的点M，N分别移动到BC，CA的延长线上，是否仍能得到∠BQM=60°？③若将题中的条件“点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上”改为“点M，N分别在正方形ABCD的BC，CD边上”，是否仍能得到∠BQM=60°？…请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”：①；②；③．并对②，③的判断，选择一个给出证明．8．如图，P为等边△ABC内的一点，以PB为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连接CQ．（1）猜想AP与CQ的大小关系，并证明结论．（2）若PA：PB：PC=5：12：13，连接PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=22.5°，斜边AB的垂直平分线交AC 于点D，点F在AC上，点E在BC的延长线上，CE=CF，连接BF，DE．线段DE和BF在数量和位置上有什么关系？并说明理由．10．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以线段OA为边在第四象限内作等边三角形AOB，点C为x正半轴上一动点（OC＞1），连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边△CBD，连接DA并延长，交y轴于点E．①△OBC与△ABD全等吗？判断并证明你的结论；②当点C运动到什么位置时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形？11．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角的平分线相交于点P，连接AP．（1）求证：PA平分∠BAC的外角∠CAM；（2）过点C作CE⊥AP，E是垂足，并延长CE交BM于点D．求证：CE=ED．12．如图，已知点A、C分别在∠GBE的边BG、BE上，且AB=AC，AD∥BE，∠GBE的平分线与AD交于点D，连接CD．（1）求证：①AB=AD；②CD平分∠ACE．（2）猜想∠BDC与∠BAC之间有何数量关系？并对你的猜想加以证明．13．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．（1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=5，AC=3，求AE、BE的长．14．如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=∠C=40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于E．（1）当∠BDA=115°时，∠EDC=°，∠DEC=°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变（填“大”或“小”）；（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数．若不可以，请说明理由．15．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，DE∥AC交AB于E，过E作EF⊥AD，垂足为H，并交BC延长线于F．（1）求证：AE=ED；（2）请猜想∠B与∠CAF的大小关系，并证明你的结论．16．在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D（D在BC边上），BE⊥AC，垂足为点E，M为AB的中点，联结ME、MD、ED．（1）当点AC边上时（如图），容易证明∠EMD=2∠DAC；当点E在CA的延长线上，请在图中画出相应的图形，并说明“∠EMD=2∠DAC”是否还成立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由；（2）如果△MDE为正三角形，BD=4，且AE=1，求△MDE的周长．17．如图，在△ABC中，∠A=60°，BE⊥AC，垂足为E，CF⊥AB，垂足为F，点D 是BC的中点，BE，CF交于点M．（1）如果AB=AC，求证：△DEF是等边三角形；（2）如果AB≠AC，试猜想△DEF是不是等边三角形？如果△DEF是等边三角形，请加以证明；如果△DEF不是等边三角形，请说明理由；（3）如果CM=4，FM=5，求BE的长度．18．如图①，△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D 为顶点作一个60°角，角两边分别交AB，AC边于M，N两点，连接MN．（I）探究：线段BM，MN，NC之间的关系，并加以证明．（Ⅱ）若点M是AB的延长线上的一点，N是CA的延长线上的点，其它条件不变，请你再探线段BM，MN，NC之间的关系，在图②中画出图形，并说明理由．19．如图，在△ABC中，BC=AC，∠ACB=90°，D是AC上一点，AE⊥BD交BD的延长线于点E，且AE=BD，求证：BD是∠ABC的角平分线．20．如图（1），等边△ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE．（1）△DBC和△EAC会全等吗？请说说你的理由；（2）试说明AE∥BC的理由；（3）如图（2），将（1）动点D运动到边BA的延长线上，所作仍为等边三角形，请问是否仍有AE∥BC？证明你的猜想．2018年11月15日倪涛的初中数学组卷参考答案与试题解析一．解答题（共20小题）1．如图，已知AC⊥BC，AD⊥BD，E为AB的中点，（1）如图1，求证：△ECD是等腰三角形；（2）如图2，CD与AB交点为F，若AD=BD，EF=3，DE=4，求CD的长．【解答】（1）证明：∵AC⊥BC，AD⊥BD，∴∠ACB=90°，∠ADB=90°，又∵E为AB的中点，∴CE=AB，DE=AB∴CE=DE，即△ECD是等腰三角形；（2）∵AD=BD，E为AB的中点，∴DE⊥AB，已知DE=4，EF=3，∴DF=5，过点E作EH⊥CD，∵∠FED=90°，EH⊥DF，∴EH==，∴DH==，∵△ECD是等腰三角形，∴CD=2DH=．2．如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，M，N分别是BC，DE的中点．（1）求证：MN⊥DE；（2）若BC=20，DE=12，求△MDE的面积．【解答】（1）证明：连接ME、MD，∵BD⊥AC，∴∠BDC=90°，∵M是BC的中点，∴DM=BC，同理可得EM=BC，∴DM=EM，∵N是DE的中点，∴MN⊥DE；（2）解：∵BC=10，ED=6，∴DM=BC=10，DN=DE=6，由（1）可知∠MND=90°，∴MN===4，∴S=DE×MN=×12×8=48．△MDE3．如图，直线l1：y=mx+4m与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点．（1）如图（1），当OA=OB时，求直线l1的解析式；（2）如图（2），当m取不同的值时，点B在y轴正半轴上运动，分别以OB、AB为腰，点B为直角顶点在第一、二象限作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，连接EF交y轴于点P，试猜想PB的长是否为定值？若是，求出其值；若不是，说明理由．（3）m取不同的值时，点B在y轴正半轴上运动，以AB为腰，点B为直角顶点在第二象限作等腰直角△ABD，满足条件的动点D在直线l2上运动，直线l2与x轴和y轴分别交于F、H两点，若直线l1将△OHF分成面积比为m：1的两部分，求此时直线l1和直线l2的解析式．【解答】解：（1）∵直线l1：y=mx+4m与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B 两点，∴A（﹣4，0），B（0，4m），由OA=OB，得4m=4，m=1，∴直线解析式为：y=x+4；（2）PB的长为定值．理由：如图②所示：过点E作EG⊥y轴于G点．∵△AEB为等腰直角三角形，∴AB=EB，∠ABO+∠EBG=90°．∵EG⊥BG，∴∠GEB+∠EBG=90°．∴∠ABO=∠GEB．在△ABO和△EGB中，，∴△ABO≌△EGB．（AAS）∴BG=AO=4，OB=EG∵△OBF为等腰直角三角形，∴OB=BF∴BF=EG．在△BFP和△GEP中，，∴△BFP≌△GEP．（AAS）∴BP=GP=BG=2是定值；（3）如图③，∵A（﹣4，0），B（0，4m），由（2）证得OA=BG=4，DG=OB=4m，∴OG=OB+BG=4m+4，∴点D（﹣4m，4m+4），∵动点D在直线y=﹣x+4上运动，∴直线l2的解析式为：y=﹣x+4，∴F（4.0），H（0，4），∴S=×4×4=8，△OHF设直线l1和直线l2的交点为K，解得，，∴K（，），∵直线l1将△OHF分成面积比为m：1的两部分，∴当S△HBK ：S四边形OFKB=m：1时，S△HBK=（4﹣4m）•=8×，解得：m=，m=，当S△HBK ：S四边形OFKB=1：m时，S△HBK=（4﹣4m）•=8×，解得：m=2，m=0，∵4m＜4，且m≠0，∴m=，∴直线l1的解析式为：y=x+6﹣2．4．如图，在矩形ABCO中，点O为坐标原点，点B的坐标为（﹣4，3），点A，C在坐标轴上，将直线l1：y=﹣2x+3向下平移6个单位长度得到直线l2．（1）求直线l2的解析式；（2）求直线l2与两坐标轴围成的三角形的面积S；（3）已知点M在第二象限，且是直线l2上的点，点P在BC边上，若△APM是等腰直角三角形，求点M的坐标．【解答】解：（1）直线l2的解析式为y=﹣2x+3﹣6=﹣2x﹣3．（2）由（1）知直线l2的解析式为y=﹣2x﹣3，令y=0，即﹣2x﹣3=0，∴x=﹣；令x=0，则y=﹣3，∴S=×3×=．（3）若△APM是等腰直角三角形，分以下三种情况讨论：①当点A为直角顶点时，∠MPA=45°，连接AC．∵点M在第二象限，若∠MAP=90°，则点M必在AB上方，∴∠MPA＞∠BPA＞∠BCA=45°，这与∠MPA=45°矛盾，∴点M不存在；②当点P为直角顶点时，即∠MPA=90°．∵M在第二象限，∴点M必在AB上方，如图a，过点M作MN⊥CB交CB的延长线于点N，易证△ABP≌△PNM，∴PN=AB=4，MN=BP．∵B（﹣4，3），∴CB=3．设点M的坐标为（x，﹣2x﹣3），则BP=MN=﹣4﹣x，CN=﹣2x﹣3．∵CN=CB+PN﹣BP，∴﹣2x﹣3=3+4﹣（﹣4﹣x），∴x=﹣，则﹣2x﹣3=，∴点M的坐标为（﹣，）；③当点M为直角顶点时，分两种情况讨论：如图b，当点M在AB下方时，过点M作HG⊥OA交OA于点G，交BC于点H，易证△MPH≌△AMG，∴MH=AG．设点M的坐标为（a，﹣2a﹣3），则AG=3﹣（﹣2a﹣3）=6+2a，MG=﹣a，∴HG=MH+MG=AG+MG=6+2a﹣a=4，∴a=﹣2，则﹣2a﹣3=1．∴点M的坐标为（﹣2，1）；如图c，当点M在AB上方时，同理可得﹣2a﹣6﹣a=4，∴a=﹣，则﹣2a﹣3=，∴点M2的坐标为（﹣，），综上所述，点M的坐标为（﹣，）或（﹣2，1）或（﹣，）．5．如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．（1）如图1，若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°①求证：AD=BE；②求∠AEB的度数．（2）如图2，若∠ACB=∠DCE=120°，CM为△DCE中DE边上的高，BN为△ABE 中AE边上的高，试证明：AE=2CM+BN．【解答】（1）①证明：∵∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°，∴∠ACB=∠DCE=180°﹣2×50°=80°．∵∠ACB=∠ACD+∠DCB，∠DCE=∠DCB+∠BCE，∴∠ACD=∠BCE．∵△ACB和△DCE均为等腰三角形，∴AC=BC，DC=EC．在△ACD和△BCE中，有，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE．②解：∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC=∠BEC．∵点A，D，E在同一直线上，且∠CDE=50°，∴∠ADC=180°﹣∠CDE=130°，∴∠BEC=130°．∵∠BEC=∠CED+∠AEB，且∠CED=50°，∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=130°﹣50°=80°．（2）证明：∵△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB=∠DCE=120°，∴∠CDM=∠CEM=×（180°﹣120°）=30°．∵CM⊥DE，∴∠CMD=90°，DM=EM．在Rt△CMD中，∠CMD=90°，∠CDM=30°，∴DE=2DM=2×=2CM．∵∠BEC=∠ADC=180°﹣30°=150°，∠BEC=∠CEM+∠AEB，∴∠AEB=∠BEC﹣∠CEM=150°﹣30°=120°，∴∠BEN=180°﹣120°=60°．在Rt△BNE中，∠BNE=90°，∠BEN=60°，∴BE==BN．∵AD=BE，AE=AD+DE，∴AE=BE+DE=BN+2CM．6．已知∠ABC=90°，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），分别以AB、AP为边在∠ABC的内部作等边△ABE和△APQ，连接QE并延长交BP于点F．（1）如图1，若AB=，点A、E、P恰好在一条直线上时，求此时EF的长（直接写出结果）；（2）如图2，当点P为射线BC上任意一点时，猜想EF与图中的哪条线段相等（不能添加辅助线产生新的线段），并加以证明；（3）若AB=，设BP=4，求QF的长．【解答】解：（1）∵△ABE是等边三角形，A、E、P在同一直线上，∴AB=AE且∠BAE=60°，∴点E是AP的中点，∴AP=2AB=2×2=4，∴QE=4×=6，QF=PQ÷cos30°=4÷=8，∴EF=2；（2）EF=BF．证明：∵∠BAP=∠BAE﹣∠EAP=60°﹣∠EAP，∠EAQ=∠QAP﹣∠EAP=60°﹣∠EAP，∴∠BAP=∠EAQ．在△ABP和△AEQ中，∵，∴△ABP≌△AEQ（SAS）∴∠AEQ=∠ABP=90°，∴∠BEF=180°﹣∠AEQ﹣∠AEB=180°﹣90°﹣60°=30°，又∵∠EBF=90°﹣60°=30°，∴∠BEF=∠EBF，∴EF=BF；（3）如图，过点F作FD⊥BE于点D，∵△ABE是等边三角形，∴BE=AB=2，由（2）得∠EBF=30°，在Rt△BDF中，BD=BE=×2=，∴BF===2，∴EF=2，∵△ABP≌△AEQ，∴QE=BP=4，∴QF=QE+EF=4+2=6．7．学完“几何的回顾”一章后，老师布置了一道思考题：如图，点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上，且BM=CN，AM，BN交于点Q．求证：∠BQM=60度．（1）请你完成这道思考题；（2）做完（1）后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出了许多问题，如：①若将题中“BM=CN”与“∠BQM=60°”的位置交换，得到的是否仍是真命题？②若将题中的点M，N分别移动到BC，CA的延长线上，是否仍能得到∠BQM=60°？③若将题中的条件“点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上”改为“点M，N分别在正方形ABCD的BC，CD边上”，是否仍能得到∠BQM=60°？…请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”：①是；②是；③否．并对②，③的判断，选择一个给出证明．【解答】（1）证明：在△ABM和△BCN中，，∴△ABM≌△BCN（SAS），∴∠BAM=∠CBN，∴∠BQM=∠BAQ+∠ABQ=∠MBQ+∠ABQ=60°．（2）①是；②是；③否．②的证明：如图，在△ACM和△BAN中，，∴△ACM≌△BAN（SAS），∴∠AMC=∠BNA，∴∠NQA=∠NBC+∠BMQ=∠NBC+∠BNA=180°﹣60°=120°，∴∠BQM=60°．③的证明：如图，在Rt△ABM和Rt△BCN中，，∴Rt△ABM≌Rt△BCN（SAS），∴∠AMB=∠BNC．又∵∠NBM+∠BNC=90°，∴∠QBM+∠QMB=90°，∴∠BQM=90°，即∠BQM≠60°．8．如图，P为等边△ABC内的一点，以PB为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连接CQ．（1）猜想AP与CQ的大小关系，并证明结论．（2）若PA：PB：PC=5：12：13，连接PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．【解答】解：（1）猜想：AP=CQ，证明：∵∠ABP+∠PBC=60°，∠QBC+∠PBC=60°，∴∠ABP=∠QBC．又AB=BC，BQ=BP，∴△ABP≌△CBQ，∴AP=CQ；（2）由PA：PB：PC=5：12：13可设PA=5a，PB=12a，PC=13a，在△PBQ中由于PB=BQ=12a，且∠PBQ=60°，∴△PBQ为正三角形．∴PQ=12a．于是在△PQC中∵PQ2+QC2=144a2+25a2=169a2=PC2∴△PQC是直角三角形．9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=22.5°，斜边AB的垂直平分线交AC 于点D，点F在AC上，点E在BC的延长线上，CE=CF，连接BF，DE．线段DE和BF在数量和位置上有什么关系？并说明理由．【解答】解：DE=BF，DE⊥BF．理由如下：连接BD，延长BF交DE于点G．∵点D在线段AB的垂直平分线上，∴AD=BD，∴∠ABD=∠A=22.5°．在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∠A=22.5°，∴∠ABC=67.5°，∴∠CBD=∠ABC﹣∠ABD=45°，∴△BCD为等腰直角三角形，∴BC=DC．在△ECD和△FCB中，，∴Rt△ECD≌Rt△FCB（SAS），∴DE=BF，∠CED=∠CFB．∵∠CFB+∠CBF=90°，∴∠CED+∠CBF=90°，∴∠EGB=90°，即DE⊥BF．10．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以线段OA为边在第四象限内作等边三角形AOB，点C为x正半轴上一动点（OC＞1），连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边△CBD，连接DA并延长，交y轴于点E．①△OBC与△ABD全等吗？判断并证明你的结论；②当点C运动到什么位置时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形？【解答】解：（1）△OBC≌△ABD．证明：∵△AOB，△CBD都是等边三角形，∴OB=AB，CB=DB，∠ABO=∠DBC，∴∠OBC=∠ABC，在△OBC和△ABD中，，∴△OBC≌△ABD（SAS）；（2）∵△OBC≌△ABD，∴∠BOC=∠BAD=60°，又∵∠OAB=60°，∴∠OAE=180°﹣60°﹣60°=60°，∴∠EAC=120°，∠OEA=30°，∴以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形时，AE和AC是腰，∵在Rt△AOE中，OA=1，∠OEA=30°，∴AE=2，∴AC=AE=2，∴OC=1+2=3，∴当点C的坐标为（3，0）时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形．11．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角的平分线相交于点P，连接AP．（1）求证：PA平分∠BAC的外角∠CAM；（2）过点C作CE⊥AP，E是垂足，并延长CE交BM于点D．求证：CE=ED．【解答】证明：（1）过P作PT⊥BC于T，PS⊥AC于S，PQ⊥BA于Q，如图，∵在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角的平分线相交于点P，∴PQ=PT，PS=PT，∴PQ=PS，∴AP平分∠DAC，即PA平分∠BAC的外角∠CAM；（2）∵PA平分∠BAC的外角∠CAM，∴∠DAE=∠CAE，∵CE⊥AP，∴∠AED=∠AEC=90°，在△AED和△AEC中∴△AED≌△AEC，∴CE=ED．12．如图，已知点A、C分别在∠GBE的边BG、BE上，且AB=AC，AD∥BE，∠GBE的平分线与AD交于点D，连接CD．（1）求证：①AB=AD；②CD平分∠ACE．（2）猜想∠BDC与∠BAC之间有何数量关系？并对你的猜想加以证明．【解答】解：（1）①∵AD∥BE，∴∠ADB=∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD；②∵AD∥BE，∴∠ADC=∠DCE，由①知AB=AD，又∵AB=AC，∴AC=AD，∴∠ACD=∠ADC，∴∠ACD=∠DCE，∴CD平分∠ACE；（2）∠BDC=∠BAC，∵BD、CD分别平分∠ABE，∠ACE，∴∠DBC=∠ABC，∠DCE=∠ACE，∵∠BDC+∠DBC=∠DCE，∴∠BDC+∠ABC=∠ACE，∵∠BAC+∠ABC=∠ACE，∴∠BDC+∠ABC=∠ABC+∠BAC，∴∠BDC=∠BAC．13．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．（1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=5，AC=3，求AE、BE的长．【解答】（1）证明：连接BD，CD，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，∵DG⊥BC且平分BC，∴BD=CD，在Rt△BED与Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴BE=CF；（2）解：在△AED和△AFD中，，∴△AED≌△AFD（AAS），∴AE=AF，设BE=x，则CF=x，∵AB=5，AC=3，AE=AB﹣BE，AF=AC+CF，∴5﹣x=3+x，解得：x=1，∴BE=1，AE=AB﹣BE=5﹣1=4．14．如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=∠C=40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于E．（1）当∠BDA=115°时，∠EDC=25°，∠DEC=115°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变小（填“大”或“小”）；（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数．若不可以，请说明理由．【解答】解：（1）∠EDC=180°﹣∠ADB﹣∠ADE=180°﹣115°﹣40°=25°，∠DEC=180°﹣∠EDC﹣∠C=180°﹣40°﹣25°=115°，∠BDA逐渐变小；故答案为：25°，115°，小；（2）当DC=2时，△ABD≌△DCE，理由：∵∠C=40°，∴∠DEC+∠EDC=140°，又∵∠ADE=40°，∴∠ADB+∠EDC=140°，∴∠ADB=∠DEC，又∵AB=DC=2，∴△ABD≌△DCE（AAS），（3）当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形，理由：∵∠BDA=110°时，∴∠ADC=70°，∵∠C=40°，∴∠DAC=70°，∠AED=∠C+∠EDC=30°+40°=70°，∴∠DAC=∠AED，∴△ADE的形状是等腰三角形；∵当∠BDA的度数为80°时，∴∠ADC=100°，∵∠C=40°，∴∠DAC=40°，∴∠DAC=∠ADE，∴△ADE的形状是等腰三角形．15．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，DE∥AC交AB于E，过E作EF⊥AD，垂足为H，并交BC延长线于F．（1）求证：AE=ED；（2）请猜想∠B与∠CAF的大小关系，并证明你的结论．【解答】证明：（1）∵DE∥AC，∴∠EDA=∠DAC，∵AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠DAC，∴∠EAD=∠EDA∴AE=ED；（2）∠B=∠CAF，证明：∵AE=ED，EF⊥AD，∴EF是AD的垂直平分线，∴FA=FD，∴∠FAD=∠FDA，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵∠FDA=∠B+∠BAD，∠FAD=∠FAC+∠CAD，∴∠B=∠CAF．16．在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D（D在BC边上），BE⊥AC，垂足为点E，M为AB的中点，联结ME、MD、ED．（1）当点AC边上时（如图），容易证明∠EMD=2∠DAC；当点E在CA的延长线上，请在图中画出相应的图形，并说明“∠EMD=2∠DAC”是否还成立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由；（2）如果△MDE为正三角形，BD=4，且AE=1，求△MDE的周长．【解答】（1）解：如图，“∠EMD=2∠DAC”成立．理由：∵BE⊥CA，AD⊥BC，∴∠BEA=∠ADB=90°，∵BM=AM，∴EM=BM=AM=DM，∴B、D、A、E四点共圆，∴∠DAC=∠EBD，∵∠EMD=2∠EBD，∴∠EMD=2∠DAC．（2）解：①当点E在CA的延长线上，∵△EMD是等边三角形，∴∠EMD=60°，∴∠DAC=∠EBC=30°，设DC=a，则AC=2a，AD=a，在Rt△BEC中，BC=2EC，∴4+a=2（1+2a），∴a=，∴AD=，在Rt△ADB中，AB==，∴DM=AB=，∴△EDM的周长为．②如图当点E在线段AC上时，∵△EMD是等边三角形，∴∠EMD=60°，∴∠DAC=∠EBC=30°，设DC=a，则AC=2a，AD=a，在Rt△BEC中，BC=2EC，∴4+a=2（2a﹣1），∴a=2∴AD=2，在Rt△ADB中，AB==2，∴DM=AB=，∴△EDM的周长为3．综上所述，△EDM的周长为或3．17．如图，在△ABC中，∠A=60°，BE⊥AC，垂足为E，CF⊥AB，垂足为F，点D 是BC的中点，BE，CF交于点M．（1）如果AB=AC，求证：△DEF是等边三角形；（2）如果AB≠AC，试猜想△DEF是不是等边三角形？如果△DEF是等边三角形，请加以证明；如果△DEF不是等边三角形，请说明理由；（3）如果CM=4，FM=5，求BE的长度．【解答】（1）证明：∵∠A=60°，AB=AC，∴△ABC是等边三角形，∵BE⊥AC，垂足为E，CF⊥AB，垂足为F，∴E、F分别是AC、AB边的中点，又∵点D是BC的中点，EF=BC，DE=AB，DF=AC，∴EF=ED=DF，∴△DEF是等边三角形；（2）解：△DEF是等边三角形．理由如下：∵∠A=60°，BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠ABE=∠ACF=90°﹣60°=30°，在△ABC中，∠BCF+∠CBE=180°﹣60°﹣30°×2=60°，∵点D是BC的中点，BE⊥AC，CF⊥AB，∴DE=DF=BD=CD，∴∠BDF=2∠BCF，∠CDE=2∠CBE，∴∠BDF+∠CDE=2（∠BCF+∠CBE）=2×60°=120°，∴∠EDF=60°，∴△DEF是等边三角形；（3）解：∵∠A=60°，BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠ABE=∠ACF=90°﹣60°=30°，∴BM=2FM=2×5=10，ME=CM=×4=2，∴BE=BM+ME=10+2=12．18．如图①，△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D 为顶点作一个60°角，角两边分别交AB，AC边于M，N两点，连接MN．（I）探究：线段BM，MN，NC之间的关系，并加以证明．（Ⅱ）若点M是AB的延长线上的一点，N是CA的延长线上的点，其它条件不变，请你再探线段BM，MN，NC之间的关系，在图②中画出图形，并说明理由．【解答】解：（1）MN=BM+NC．理由如下：延长AC至E，使得CE=BM（或延长AB至E，使得BE=CN），并连接DE．∵△BDC为等腰三角形，△ABC为等边三角形，∴BD=CD，∠DBC=∠DCB，∠MBC=∠ACB=60°，又BD=DC，且∠BDC=120°，∴∠DBC=∠DCB=30°∴∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB=60°+30°=90°，∴∠MBD=∠ECD=90°，在△MBD与△ECD中，∵，∴△MBD≌△ECD（SAS），∴MD=DE，∠BDM=∠EDC，∵∠BDC=120°，∠MDN=60°，∴∠BDM+∠NDC=60°，∴∠NDC+∠EDC=60°，即∠NDE=60°，∴∠MDN=∠NDE，∵MD=DE，DN=DN，∴△DMN≌△DEN（SAS），∴MN=NE=NC+CE=NC+BM．（2）按要求作出图形，（1）中结论不成立，应为MN=NC﹣BM．在CA上截取CE=BM．∵△ABC是正三角形，∴∠ACB=∠ABC=60°，又∵BD=CD，∠BDC=120°，∴∠BCD=∠CBD=30°，∴∠MBD=∠DCE=90°，在△BMD和△CED中∵，∴△BMD≌△CED（SAS），∴MD=DE，∠BDM=∠EDC，∵∠BDC=120°，即∠BDE+∠EDC=120°，∴∠BDE+∠BDM=120°，即∠MDE=120°，∵∠MDN=60°，∴∠NDE=60°，∴∠MDN=∠NDE，在△MDN和△EDN中∵，∴△MDN≌△EDN（SAS），∴MN=NE=NC﹣CE=NC﹣BM．19．如图，在△ABC中，BC=AC，∠ACB=90°，D是AC上一点，AE⊥BD交BD的延长线于点E，且AE=BD，求证：BD是∠ABC的角平分线．【解答】证明：延长AE、BC交于点F．∵AE⊥BE，∴∠BEF=90°，又∠ACF=∠ACB=90°，∴∠DBC+∠AFC=∠FAC+∠AFC=90°，∴∠DBC=∠FAC，在△ACF和△BCD中，∴△ACF≌△BCD（ASA），∴AF=BD．又AE=BD，∴AE=AF=EF，即点E是AF的中点．∵BE⊥AF∴DE是AF的垂直平分线∴AB=BF，根据等腰三角形三线合一的性质可知：BD是∠ABC的角平分线．20．如图（1），等边△ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE．（1）△DBC和△EAC会全等吗？请说说你的理由；（2）试说明AE∥BC的理由；（3）如图（2），将（1）动点D运动到边BA的延长线上，所作仍为等边三角形，请问是否仍有AE∥BC？证明你的猜想．【解答】解：（1）△DBC和△EAC会全等证明：∵∠ACB=60°，∠DCE=60°∴∠BCD=60°﹣∠ACD，∠ACE=60°﹣∠ACD∴∠BCD=∠ACE在△DBC和△EAC中，∵，∴△DBC≌△EAC（SAS），（2）∵△DBC≌△EAC∴∠EAC=∠B=60°又∠ACB=60°∴∠EAC=∠ACB∴AE∥BC（3）结论：AE∥BC理由：∵△ABC、△EDC为等边三角形∴BC=AC，DC=CE，∠BCA=∠DCE=60°∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD，即∠BCD=∠ACE 在△DBC和△EAC中，∵，∴△DBC≌△EAC（SAS），∴∠EAC=∠B=60°又∵∠ACB=60°∴∠EAC=∠ACB∴AE∥BC．。
三角形全等证明基础练习试题打印
专业知识分享探索三角形全等的条件练习题1、已知AD 是△ABC 的中线，BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，证明：BE=CF2、已知AB=CD ，AE=BF ，CE=DF ，求证：AE ∥BF 。
3、已知AB=CD ，BE=CF ，AF=DE ，求证：AB ∥CD4、已知在四边形ABCD 中，AB=CD ，AD=CB ，求证：AB ∥CD 。
5、已知CD ∥AB ，DF ∥EB ，DF=EB ，求证：AF=CE 。
D AB CCBB DB专业知识分享6、已知BE=CF ，AB=CD ，∠B=∠C ，求证：AF=DE 。
7、已知AB=CD ， ∠A=∠C ，AE=CF ，求证：EB ∥DF 。
8、已知，M 是AB 的中点，∠1=∠2，MC=MD ，求证：∠C=∠D 。
9、已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AC=AD 。
10、已知∠E=∠F ，∠1=∠2，AB=CD ，求证：AE=DF 。
11、已知ED ⊥AB ，EF ⊥BC ，BD=EF ，求证：BM=ME 。
ACMEFBB CEMA BA ECB A D专业知识分享12、已知AC=AB ，AE=AD ， ∠EAB=∠DAC ，求证：∠B=∠C13、已知AD=AE ，∠B=∠C ，求证：AC=AB 。
14、已知∠1=∠2，BC=AD ，求证：△ABC ≌△BAD 。
15、已知AB=AC ， ∠1=∠2，AD=AE ，求证：△ABD ≌△ACE 。
16、已知AD=AE ，BD=CE ，∠1=∠2，求证：△ABD ≌△ACEA D EB CA BAB CD E12 B D ADEC 1 2B专业知识分享17、已知AB=AC ，AD=AE ，∠1=∠2，求证：CE=BD18、已知CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，AC ∥DB ，AC=BD ，求证：CE=DF 。
19、已知∠1=∠2，AC=BD ，E ，F ，A ，B 在同一直线上，求证：∠3=∠420、已知DO ⊥BC ，OC=OA ，OB=OD ，求证：CD=AB21、已知CE=DF ，AE=BF ，AE ⊥AD ，FD ⊥AD ，求证：A C ∥BD22、已知AB 与CD 相交于点E ，EA=EC ，ED=EB ，求证：△AED ≌△CEBC AE BF D A E D C B O CD AE FB 21 3 4 A CBD EC AE BF DAD BEFG 1 2 C专业知识分享23、已知AB=AC ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点。
八年级全等三角形简单证明题及解答(5道)
汇报人：XX
目 录
• 题目一：基本的全等三角形证明 • 题目二：利用角平分线性质证明 • 题目三：通过边边边条件证明 • 题目四：结合中线性质进行证明 • 题目五：综合应用多种性质证明 • 总结与拓展
01
题目一：基本的全等三角形证明
题目描述
• 已知三角形$ABC$和三角形$DEF$，其中$AB = DE$，$AC = DF$，$\angle BAC = \angle EDF$。求证：$\triangle ABC \cong \triangle DEF$。
由第二步可知，△BDE∽△CFD。
详细解答
4. 第四步，根据相似三角形的性质，对应边成比例，所以BD/CF=DE/DF。
5. 第五步，因为BD=AD（已知），所以AD/CF=DE/DF。又因为AE/EC=DE/EF（已知）， 所以AD/CF=AE/EC。
6. 第六步，交叉相乘得AD*EC=AE*CF，即AE/AD=EC/CF。又因为∠A=∠ACF（对顶角相 等），所以△ADE∽△ACF。
第三步，根据相似三 角形的性质，有 AB/AC = BD/DC。
综上，我们证明了 AB/AC = BD/DC。
03
题目三：通过边边边条件证明
题目描述
已知
△ABC和△DEF中，AB = DE，BC = EF，AC = DF。
求证
△ABC ≌ △DEF。
题目描述
【分析】
本题主要考察全等三角形的判定方法——边边边条件。根据已知条件，我们可以 直接应用边边边定理来证明两个三角形全等。
题目描述
01
【解答】
02
证明
03
04
∵ 在△ABC和△DEF中，AB = DE，BC = EF，AC = DF（已
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A
B
P
C
D
O
（7题图）
（
6题图）（11题图）
八年级下册数学第一章提高训练
一、填空题（每小题2分，共20分）
1．在△ABD和△ACE中，有下列四个论断：①AB＝AC；②AD＝AE；③∠B＝∠C；④BD＝CE 请以其中三个论断作为条件，余下的一个作为结论，写出一个正确的判断（⊙⊙⊙→⊙的形式写出来）．
2．如图，在△ABC中，AD＝DE，AB＝BE，∠A＝80°则∠DEC＝．
3．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB＝AC＋CD，则∠B与∠C的关系是．
（2题图）（3题图）（4题图）
4．如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC＝4，则PD＝．
5．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则其顶角的度数为度．
6．已知：如图，在△ABC中，AB=15m，AC=12m，AD是∠BAC的外角平分线，DE∥AB交AC的延长线于点E，那么CE＝ cm．7．如图，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ADC沿AD对折，点C落在C/的位置，如果BC=2，则BC′= ．8．在联欢晚会上，有A、B、C三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩一个游戏，要求在他们中间放一个木凳，使他们抢坐到凳子的机会相等，试想想凳子应放在△ABC的三条线的交点最适当．
9．等腰三角形的周长是2＋3，腰长为1，则其底边上的高为__________．
10．以长为1、2、2 、5、3，中的三条线段为边长可以构成个直角三角形．
二计算题
11．如图，在△ＡＢＣ，∠Ｃ＝90°，∠Ｂ＝15°，ＡＢ的中垂线ＤＥ交ＢＣ于Ｄ，Ｅ为垂足，若ＢＤ＝10ｃｍ，则ＡＣ等于（）Ａ．10ｃｍＢ．8ｃｍＣ．5ｃｍＤ．2．5ｃｍ
12．已知：如图，ＡＢ＝ＡＣ，∠Ａ＝36°，ＡＢ的垂直平分线交ＡＣ于Ｄ，则下列结论：①∠Ｃ＝72°；②ＢＤ是∠ＡＢＣ的平分线；③△ＡＢＤ是等腰三角形；④△ＢＣＤ是等腰三角形，其中正确的有（）
Ａ．1个Ｂ．2个Ｃ．3个Ｄ．4个
13．如图，已知在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，∠Ｃ＝30°，ＡＢ⊥ＡＤ，ＡＤ＝3ｃｍ，则AC的长等于（）
Ａ．2
2ｃｍＢ．3
2ｃｍＣ．2
3ｃｍＤ．3
3ｃｍ
14.如图 ,加条件能满足AAS来判断⊿ACD≌⊿ABE的条件是（）
A．∠AEB = ∠ADC ∠C = ∠D B．∠AEB = ∠ADC CD = BE
C．AC = AB AD = AE D．AC = AB ∠C =∠B
A
B C
D
E
A
B C
D
（14题图）
（12题图）
（13题图）
（第15题） 15．正三角形ABD 和正三角形CBD 的边长均为1，现把它们拼合起来如图，E 是AD 上异于A ，D 两点的一动点，F 是CD 上一动点，满足AE+CF=1，当E ，F 移动时，三角形BEF 的形状为（ ）
A ．等边三角形
B ．等腰直角三角形
C ．等腰三角形非正三角形
D ．正三角形
16．如图，已知在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，Ｄ为ＢＣ上一点，ＢＥ＝ＣＤ，ＣＦ＝ＢＤ，那么∠ＥＤＦ等于（ ）
Ａ．90°－∠Ａ Ｂ．90°－
21∠Ａ Ｃ．45°－2
1
∠Ａ Ｄ．180°－∠Ａ 17．如图，H 是△ABC 的高AD 、BE 的交点，且DH=DC ，则下列结论：①BD=AD ②BC=AC ③BH=AC ④CE=CD 中，一定成立的有( )个．A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
18．一个正方形和一个等腰三角形有相等的周长，已知等腰三角形
有两边长分别为 5.6ｃｍ和13.2ｃ
ｍ，则这个正方形的面积为（ ） Ａ．64ｃｍ2
Ｂ．48ｃｍ2
Ｃ．36ｃｍ2
Ｄ．24ｃｍ2
19．已知等腰三角形的两边长分别为6㎝、3㎝，则该等腰三角形的周长是( ) A ．9㎝ B ．12㎝ C ．12㎝或者15㎝ D ．15㎝
20．如果一个三角形三条中线的交点恰在它的一条高上，那么这个三角形是( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形 三、解答题（每小题10分，共50分）
21.如图，A,B 为一公司的两个分部，为了方便A,B 两分部的联系和沟通，现准备在距离2km 的A,B 两部分之间修筑一条笔
直的公路（如图中的线段AB ），经测量，在A 地的北偏东60°方向，B 地的北偏西45°方向的C 处有一半径为0.7km 的公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？（15分）
C
60° 45° A B
22．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，点D 是BC 的中点，CE ⊥AD ，垂足为点E ，BF//AC 交CE 的延长线于
点F ．求证：AC=2BF ．
23．如图，△ABC 和△DCE 都是等腰直角三角形，其中∠BCA ＝∠DCE ＝90°． 请问BE 与AD 是否垂直？如果成立请证明，不成立说明理由．
23题图
24．在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是AB 上一点，E 是AC 延长线上一点，且BD ＝CE ．求证：DM ＝EM ． 24题图
25．如图，△ABC 中，E 是BC 边上的中点，DE ⊥BC 于E ，交∠BAC 的平分线AD 于D ，过D 作 DM ⊥AB 于M ，作DN ⊥AC 于N 。
试证明：BM ＝CN ．
F
E
C
B
A
E
D
C A
F
A
B
C D
M
N
E
(16题图)
A
B
C
D
H
E
(17题图)
B
D
E
A
B
C D
E
M。