高考数学高三模拟试卷试题压轴押题【专题一】数形结合思想

高考数学高三模拟试卷试题压轴押题【专题一】数形结合思想
【考情分析】
在高考题中，数形结合的题目主要出现在函数、导数、解析几何及不等式最值等综合性题目上，把图象作为工具、载体，以此寻求解题思路或制定解题方案，真正体现数形结合的简捷、灵活特点的多是填空小题。

从近三年新课标高考卷来看，涉及数形结合的题目略少，预测可能有所加强。

因为对数形结合等思想方法的考查，是对数学知识在更高层次的抽象和概括能力的考查，是对学生思维品质和数学技能的考查，是新课标高考明确的一个命题方向。

1．数形结合是把数或数量关系与图形对应起来，借助图形来研究数量关系或者利用数量关系来研究图形的性质，是一种重要的数学思想方法。

它可以使抽象的问题具体化，复杂的问题简单化。

“数缺形时少直观，形少数时难入微”，利用数形结合的思想方法可以深刻揭示数学问题的本质。

2．数形结合的思想方法在高考中占有非常重要的地位，考纲指出“数学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想思想方法的考查，注重对数学能力的考查”，灵活运用数形结合的思想方法，可以有效提升思维品质和数学技能。

3．“对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次的抽象和概括的考查，考查时要与数学知识相结合”，用好数形结合的思想方法，需要在平时学习时注意理解概念的几何意义和图形的数量表示，为用好数形结合思想打下坚实的知识基础。

4．函数的图像、方程的曲线、集合的文氏图或数轴表示等，是“以形示数”，而解析几何的方程、斜率、距离公式，向量的坐标表示则是“以数助形”，还有导数更是数形形结合的产物，这些都为我们提供了“数形结合”的知识平台。

5．在数学学习和解题过程中，要善于运用数形结合的方法来寻求解题途径，制定解题方案，养成数形结合的习惯，解题先想图，以图助解题。

用好数形结合的方法，能起到事半功倍的效果，“数形结合千般好，数形分离万事休”。

纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。

【知识交汇】
数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．。

应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化：
数形结合思想解决的问题常有以下几种：
(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；
(2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围；
(3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；
(4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；
(5)构建立体几何模型研究代数问题；
(6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；
(7)构建方程模型，求根的个数；
(8)研究图形的形状、位置关系、性质等．
常见适用数形结合的两个着力点是：
以形助数常用的有：借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；
借助于解析几何方法.
以数助形常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理
的结合。

数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填空
题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度．具体操作时，应注意以下几点：(1)准确画出函数图象，注意函数的定义域；(2)用图象法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整，以便于作图)，然后作出两个函数的图象，由图求解．这种思想方法体现在解题中，就是指在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图象有机结合起来思索，促使抽象思维和形象思维的和谐复合，通过对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到简捷解决。

1．数形结合的途径
（1）通过坐标系形题数解
借助于建立直角坐标系、复平面可以将图形问题代数化。

这一方法在解析几何中体现
的相当充分（在高考中主要也是以解析几何作为知识载体来考察的）；值得强调的是，形题数解时，通过辅助角引入三角函数也是常常运用的技巧（这是因为三角公式的使用，可以大大缩短代数推理）
实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象
的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。

4)1()2(22=-+-y x 如等式。

常见方法有：
（1）解析法：建立适当的坐标系（直角坐标系，极坐标系），引进坐标将几何图形变换为坐标间的代数关系。

（2）三角法：将几何问题与三角形沟通，运用三角代数知识获得探求结合的途径。

（3）向量法：将几何图形向量化，运用向量运算解决几何中的平角、垂直、夹角、距离等问题。

把抽象的几何推理化为代数运算。

特别是空间向量法使解决立体几何中平行、垂直、夹角、距离等问题变得有章可循。

（2）通过转化构造数题形解
许多代数结构都有着对应的几何意义，据此，可以将数与形进行巧妙地转化.例如，将
a ＞0与距离互化，将a2与面积互化，将a2+b2+ab=a2+b2－2)12060(cos ︒=︒=θθθ或
b a 与余弦定理沟通，将a≥b≥
c ＞0且b+c ＞a 中的a 、b 、c 与三角形的三边沟通，将有序实数对（或复数）和点沟通，将二元一次方程与直线、将二元二次方程与相应的圆锥曲线对应等等.这种代数结构向几何结构的转化常常表现为构造一个图形（平面的或立体的）。

另外，函数的图象也是实现数形转化的有效工具之一，正是基于此，函数思想和数形结合思想经常借助于相伴而充分地发挥作用。

常见的转换途径为：
（1）方程或不等式问题常可以转化为两个图象的交点位置关系的问题，并借助函数的图象和性质解决相关的问题。

（2）利用平面向量的数量关系及模AB 的性质来寻求代数式性质。

（3）构造几何模型。

通过代数式的结构分析，构造出符合代数式的几何图形，如将2a 与
正方形的面积互化，将abc
（4）利用解析几何中的曲线与方程的关系，重要的公式（如两点间的距离
d =
，直线的斜率，直线的截距）、
定义等来寻求代数式的图形背景及有关性质。

2．数形结合的原则
（1）等价性原则 在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞.有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，但它同时也是抽象而严格证明的诱导。

（2）双向性原则
在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析（或仅对几何问题进行代数分析）在许多时候是很难行得通的。

例如，在解析几何中，我们主要是运用代数的方法来研究几何问题，但是在许多时候，若能充分地挖掘利用图形的几何特征，将会使得复杂的问题简单化。

（3）简单性原则
就是找到解题思路之后，至于用几何方法还是用代数方法、或者兼用两种方法来叙述解题过程，则取决于那种方法更为简单.而不是去刻意追求一种流性的模式——代数问题运用几何方法，几何问题寻找代数方法。

【思想方法】
题型1：利用数轴、韦恩图解决集合与函数问题
例1．（1）（山东文1）
设集合 M ={x|(x+3)(x―2)<0}，N ={x|1≤x≤3},则M∩N =（ ）
A ．[1,2)
B ．[1,2]
C ．( 2,3]
D ．[2,3]
（2）（湖南文1）设全集{1,2,3,4,5},{2,4},U U M N M C N ===则N =（ ）
A ．{1,2,3}
B ．{1,3,5} Ｃ．{1,4,5} Ｄ．{2,3,4}
解析：（1）A ；解析；因为{}|32M x x =-<<，所以{}|12M N x x ⋂=≤<，故选A 。

点评：不等式型集合的交、并集通常可以利用数轴进行，解题时注意验证区间端点是否符合题意。

（2）B ；解析：画出韦恩图，可知N ={1,3,5}。

点评：本题主要利用数轴、韦恩图考查集合的概念和集合的关系。

例2．（1）（陕西理3）设函数()f x （x ∈R ）满足()()f x f x -=，(2)()f x f x +=，则函数()y f x =的图像是（ ）
（2）（天津卷）设函数2()2()g x x x R =-∈，
()4,(),(),().(){g x x x g x g x x x g x f x ++<-≥=则()f x 的值域是（ ）
A ．9,0(1,)4⎡⎤-⋃+∞⎢⎥⎣⎦
B ．[0,)+∞
C ．9[,)4-+∞
D ．9,0(2,)4⎡⎤-⋃+∞⎢⎥⎣⎦
解析：（1）B ；根据题意，确定函数()y f x =的性质，再判断哪一个图像具有这些性质．选由()()f x f x -=得()y f x =是偶函数，所以函数()y f x =的图象关于y 轴对称，可知B ，D 符合；由(2)()f x f x +=得()y f x =是周期为2的周期函数，选项D 的图像的最小正周期是4，不符合，选项B 的图像的最小正周期是2，符合，故选B ．
（2）D ；依题意知22222(4),2()2,2
x x x x f x x x x x ⎧-++<-⎪⎨--≥-⎪⎩，222,12()2,12
x x x f x x x x ⎧+<->⎪⎨---≤≤⎪⎩或 点评：数学中考查创新思维，要求必须要有良好的数学素养，考查
新定义函数的理解、解绝对值不等式，中档题，借形言数。

题型2：解决方程、不等式问题
例3．若方程()()lg lg -+-=-x x m x 233在()x ∈03，内有唯一
解，求实数m 的取值范围。

解析：（1）原方程可化为()()--+=<<x m x 21032
设()()y x x y m 1222103=--+<<=，
在同一坐标系中画出它们的图象（如图）。

由原方程在（0，3）内有唯一解，知y y 12与的图象只有一个公共点，可见m 的取值范围是-<≤10m 或m =1。

例4．已知u v ≥≥11，且()()()()()log log log log a a a a u v au av a 22221+=+>，
求()log a uv 的最大值和最小值。

解析：令x u y v a a ==log log ，，
则已知式可化为()()()x y x y -+-=≥≥1140022
，， 再设()()t uv x y x y a ==+≥≥log 00
，，由图3可见，则当线段y x t =-+()x y ≥≥00，与圆弧()()()x y x y -+-=≥≥1140022，相切时，截距t 取最大值t max =+222（如图3中CD 位置）；当线段端点是圆弧端点时，t 取最小值t min =+13（如图中AB 位置）。

因此log ()a uv 的最大值是222+，最小值是13+。

点评：数形结合的思想方法，是研究数学问题的一个基本方法。

深刻理解这一观点，有利于提高我们发现问题、分析问题和解决问题的能力。

题型3：解决三角函数、平面向量问题
例5．（1）（江西理）E ，F 是等腰直角△ABC 斜边AB 上的三等分点，
则tan ECF ∠=（ ）
A.1627
B.23
C.33
D.3
4
（2）（陕西15）如图，平面内有三个向量OA 、OB 、OC ,其中OA 与OB 的
夹角为120°，OA 与OC 的夹角为30°,且|OA |＝|OB |＝1，|OC |＝32，若
OC ＝λOA +μOB （λ，μ∈R ）,则λ+μ的值为。

解析：（1）考查三角函数的计算、解析化应用意识。

解法1：约定AB=6,AC=BC=32,由余弦定理CE=CF=10,再由余弦定理得4cos 5ECF ∠=，解得3tan 4
ECF ∠= 解法2：坐标化。

约定AB=6,AC=BC=32,F(1,0),E(1,0),C （0,3）利
用向量的夹角公式得：4cos 5ECF ∠=，解得3tan 4
ECF ∠=。

（2）6；解析：（OC ）2＝（λOA +μOB ）
2=λ2OA2+μ2OB2+2λμOB OA ⋅=12；注意OA 与OC 的夹角为30°，OA
与OB 的夹角为120°，结合图形容易得到OB 与OC 的夹角为90°，得μ=0；这样就得到答案。

点评：综合近几年的高考命题，平面向量单纯只靠运算解题是不够的，需要结合几何特征。

例6．（全国卷1文数）已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切
点，那么PA PB •的最小值为（ ）
A
．4-
．3- C
．4-+
．3-+答案：D ；
【解析1】如图所示：设PA=PB=x (0)x >,∠APO=α,则
∠APB=2α，
，sin α= ||||cos 2PA PB PA PB α•=⋅=22(12sin )x α-=222(1)1x x x -+=42
21
x x x -+，令PA PB y •=，则4221x x y x -=+，即42(1)0x y x y -+-=，由2x 是实数，所以
2[(1)]41()0y y ∆=-+-⨯⨯-≥，2610y y ++≥
，解得3y ≤--
或3y ≥-+.
故min ()3PA PB •=-+.
此时x =
【解析2】设,0APB θθπ∠=<<，()()2cos 1/tan cos 2PA PB PA PB θθθ⎛⎫•== ⎪⎝⎭ 222222
1sin 12sin cos 22212sin 2sin sin 22θθθ
θθθ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭=⋅-= ⎪⎝⎭换元：2sin ,012x x θ=<≤，
()()1121233x x PA PB x x x --•==+-≥
【解析3】建系：园的方程为22
1x y +=，设11110(,),(,),(,0)A x y
B x y P x
-，
点评：本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法——判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力.
题型4：解析几何问题 例7．（1）（广东理5）已知平面直角坐标系xOy 上的区域D
由不等式组02x y x ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩给
定.
若M(x ，y)为D 上动点，点A 的坐标为，1)．则z OM OA =⋅的最大值为（ ）
A.
（2）（江苏14）设集合},,)2(2
|),{(222R y x m y x m y x A ∈≤+-≤=, },,122|),{(R y x m y x m y x B ∈+≤+≤=, 若,φ≠⋂B A 则实数m 的取值范围是______________
解析：（1）如图,区域D 为四边形OABC 及其内部区域, .
,42)2(z ,z ,)2,2(2y ,2y z ,2)1,2(),(2max C B z x z
x y x y x z 故选从而取到最大值时经过点显然当直线的纵截距为直线则即=+=+-=+-=+=⋅=
（2）（数形结合）当0m ≤时，集合A 是以（2，0）为圆心，以m 为半径的圆，集合B
是在两条平行线之间，(1022
m m +=+> ，因为,φ≠
⋂B A 此时无解；当0m >时，集合A 是以（2，0m 为半径的圆环，集合B 是在两条平行线之
间，必有
m
1m ≤≤.又因为2m 1,122
m m ≤∴≤≤。

点评：线性规划是借助平面区域表示直线、不等式等代数表达式，最终借助图形的性质解决问题；对于直线与圆的位置关系以及一些相关的夹角、弦长问题，往往要转化为点到线的距离问题来解决。

例8．（1）(上海22) 已知平面上的线段l 及点P ，在l 上任取一点Q ，线段PQ 长度的最小值称为点P 到线段l 的距离，记作(,)d P l 。

⑴ 求点(1,1)P 到线段:30(35)l x y x --=≤≤的距离(,)d P l ；
⑵ 设l 是长为2的线段，求点集{|(,)1}D P d P l =≤所表示图形的面积；
⑶ 写出到两条线段12,l l 距离相等的点的集合12{|(,)(,)}P d P l d P l Ω==，其中12,l AB l CD ==，
,,,A B C D 是下列三组点中的一组。

对于下列三组点只需选做一种，满分分别是①2分，②6分，③8分；若选择了多于一种的情形，则按照序号较小的解答计分。

①(1,3),(1,0),(1,3),(1,0)A B C D --。

②(1,3),(1,0),(1,3),(1,2)A B C D ---。

③(0,1),(0,0),(0,0),(2,0)A B C D 。

解析：⑴ 设(,3)Q x x -是线段:30(35)l x y x --=≤≤上一点，则 22259||(1)(4)2()(35)22PQ x x x x =-+-=-+≤≤，当3x =时，
min (,)||5d P l PQ ==。

⑵ 设线段l 的端点分别为,A B ，以直线AB 为x 轴，AB 的中点为原点建立直角坐标系， 则(1,0),(1,0)A B -，点集D 由如下曲线围成
12:1(||1),:1(||1)
l y x l y x =≤=-≤，
222212:(1)1(1),:(1)1(1)C x y x C x y x ++=≤--+=≥
其面积为4S π=+。

⑶① 选择(1,3),(1,0),(1,3),(1,0)A B C D --，{(,)|0}x y x Ω==
② 选择(1,3),(1,0),(1,3),(1,2)A B C D ---。

③ 选择(0,1),(0,0),(0,0),(2,0)A B C D 。

；
（2）（福建理17）（福建理17）已知直线l ：y=x+m ，m ∈R 。

（I ）若以点M （2,0）为圆心的圆与直线l 相切与点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程； （II ）若直线l 关于x 轴对称的直线为l '，问直线l '与抛物线C ：x2=4y 是否相切？说明理由。

解析：本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想。

满分13分。

解法一：
（I ）依题意，点P 的坐标为（0，m ）
因为MP l ⊥，所以01120m -⨯=--，
解得m=2，即点P 的坐标为（0，2）
从而圆的半径
故所求圆的方程为
22(2)8.x y -+= （II ）因为直线l 的方程为,y x m =+
所以直线'l 的方程为.y x m =--
由22',4404y x m x x m x y =--⎧++=⎨=⎩得
（1）当1,0m =∆=即时，直线'l 与抛物线C 相切
（2）当1m ≠，那0∆≠时，直线'l 与抛物线C 不相切。

综上，当m=1时，直线'l 与抛物线C 相切；
当1m ≠时，直线'l 与抛物线C 不相切。

解法二：
（I ）设所求圆的半径为r ，则圆的方程可设为
22(2).x y r 2-+= 依题意，所求圆与直线:0l x y m -+=相切于点P （0，m ）， 则224,,2m r r ⎧+=⎪= 解得2,2 2.m r =⎧⎪⎨=⎪⎩
所以所求圆的方程为22(2)8.x y -+=
（II ）同解法一。

题型5：导数问题
例9．（06天津卷）函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
解析：函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值的点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1个，选A 。

点评：通过函数图像分解导函数的正负，对应好原函数的单调递增、单调递减。

例10．（06浙江卷）已知函数f(x)=x 3+ x 3，数列｜x n ｜(x n ＞0)的第一项
x n ＝1，以后各项按如下方式取定：曲线x=f(x)在))(,(11++n n x f x 处的切线与经过（0，0）和（x n ,f (x n )）两点的直线平行（如图）
求证：当n *N ∈时，
(Ⅰ)x ;231212+++=+n n n n x x x （Ⅱ）21)2
1()21
(--≤≤n n n x 。

证明：（I ）因为'2
()32,f x x x =+所以曲线()y f x =在11(,())n n x f x ++处的切线斜率
1
21132.n n n k x x +++=+ 因为过(0,0)和(,())n n x f x 两点的直线斜率是2,n n x x +所以221132n n n n x x x x +++=+. （II ）因为函数2
()h x x x =+当0x >时单调递增，
而221132n n n n x x x x +++=+21142n n x x ++≤+211(2)2n n x x ++=+， 所以12n n x x +≤，即11,2n n x x +≥因此1121211().2
n n n n n n x x x x x x x ----=⋅⋅⋅⋅⋅⋅≥ 又因为12212(),n n n n x x x x +++≥+令2,n n n y x x =+则
11.2n n y y +≤ 因为21112,y x x =+=所以12111
()().2
2
n n n y y --≤⋅= 因此221(),2n n n n x x x -≤+≤故1211()().22n n n x --≤≤ 点评：切线方程的斜率与函数的导数对应，建立了几何图形与函数值的对应。

题型6：平面几何问题
例11．已知ABC ∆三顶点是(4,1),(7,5),(4,7)A B C -，求A ∠的平分线AD 的长。

解析：第一步，简单数形结合，在直角坐标系下，描出已知点,,A B C ，画出ABC ∆的边及其A ∠的平分线AD 。

（如图）
第二步，观察图形，挖掘图形的特性（一般性或特殊性），通过数量关系证明（肯定或否定）观察、挖掘出来的特性。

特性有：
（1）AB AC ⊥；（2）45BAD CAD ∠=∠=︒；
（3）2CD DB =，（4）260ABC ACB ∠=∠=︒等等。

证明：∵(4,1),(7,5),(4,7)A B C -∴(3,4),(8,6)AB AC ==-,5,10AB AC ==
∵38460AB AC •=-⨯+⨯=
∴（1）AB AC ⊥，∵AD 是A ∠的平分线；
∴（2）45BAD CAD ∠=∠=︒，∵10
25
CD AC DB AB ===(角平分线定理)
；
∴（3）2CD DB =，∵tan tan 6032ABC ∠=∠︒=≠，
∴（4）260ABC ACB ∠=∠=︒不正确，
第三步，充分利用图形的属性，创造性地数形结合，完成解题。

过点D 作
DE AB ⊥，交AB 于点E ，则有BDE ∆∽BCA ∆或110
33
DE AC ==等等。

又在Rt ADE ∆中，（可以口答出）102
23
AD DE ==。

点评：数形结合的基础是作图要基本准确，切忌随
手作图！数形结合的关键是挖掘图形的几何属性，切忌只重数量关系忽视位置关系！如果把本题的图形随手作成如下一般平面图形，则失去了数形结合的基础，很难挖掘出图形的几何属性，是很失败的。

例12．已知A=｛(x ,y)||x|≤1,|y|≤1｝,B=｛(x,y)|(x –
a )2+(y –a )2≤1，a ∈R ｝,若A∩B≠∅，则a 的取值范围
是。

解析：如图，集合A 所表示的点为正方形PQRS 的内部及其边界，集合B 所表示的点为以C(a ,a )为圆心，以1为半径的圆的内部及其边界．而圆心C(a ,a )在直线y=x 上，故要使A∩B≠∅，
则2
21221+≤≤-
-a 为所求。

点评：应用几何图象解决问题时，尤其要注意特殊点（或位置）的情况，本题就是按照这样的思路直接求出实数a 的取值范围。

【思维总结】
从目前高考“注重通法，淡化特技”的命题原则来看，对于数形结合的数学思想方法，我们在复习时，应将重点置于解析几何中图象的几何意义的重视与挖掘以及函数图象的充分利用之上即可。

数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。

这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视
野。

数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。

在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。

高考理科数学试题及答案
（考试时间：120分钟试卷满分：150分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目
要
求
的。

1.
31i
i
+=+（） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -
2. 设集合{}1,2,4A =，{}
2
40x x x m B =-+=．若{}1A
B =，则B =（）
A ．{}1,3-
B ．{}1,0
C ．{}1,3
D ．{}1,5
3. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百
八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（） A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏
4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某
几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部 分所得，则该几何体的体积为（） A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π
5. 设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪
-+≥⎨⎪+≥⎩
，则2z x y =+的最小值是（）
A ．15-
B ．9-
C ．1
D ．9
6. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共
有（）
A ．12种
B ．18种
C ．24种
D ．36种
7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，
2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家
说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（） A ．乙可以知道四人的成绩 B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩 D ．乙、丁可以知道自己的成绩8. 执行右面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的
S =（）A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
9. 若双曲线C:22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的一条渐
近线被圆()2
224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的 离心率为（）
A ．2
B ．3
C ．2
D ．
23
10. 若2x =-是函数2
1`
()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（）
A.1-
B.32e --
C.35e -
D.1
11. 已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB
与1C B 所成角的余弦值为（）
A ．32
B ．155
C ．105
D ．33
12. 已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（）
A.2-
B.32-
C. 4
3
- D.1-
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽
到的二等品件数，则D X =． 14. 函数()23sin 3cos 4
f x x x =+-
（0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
）的最大值是． 15. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则
11
n
k k
S ==∑． 16. 已知F 是抛物线C:2
8y x =的焦点，M 是C 上一点，F M 的延长线交y 轴于点N ．若M 为
F N 的中点，则F N =．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。

第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（12分）
ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2
sin()8sin 2
B
A C +=． (1)求cos B
(2)若6a c += , ABC ∆面积为2,求.b
18.（12分）
淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ）某频率直方图如下：
1.
设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖法的箱产量不低于50kg,估计A 的概率；
2.
填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 新养殖法
3.根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）
P （
）
0.050 0.010 0.001 k
3.841 6.635
10.828
2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++
19.（12分）
如图，四棱锥PABCD 中，侧面PAD 为等比三角形且垂直于底面ABCD ，
o 1
,90,2
AB BC AD BAD ABC ==
∠=∠= E 是PD 的中点.
（1）证明：直线//CE 平面PAB
（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所
成锐角为o 45 ，求二面角MABD 的余弦值
20. （12分）
设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2
212
x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =
.
（1） 求点P 的轨迹方程；
（2）设点Q 在直线x=3上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F. 21.（12分）
已知函数3
()ln ,f x ax ax x x =--且()0f x ≥. （1）求a ；
（2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且2
30()2e
f x --<<.
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，按所做的第一题计
22.[选修44：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．
（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2
C 的直角坐标方程；
（2）设点A 的极坐标为(2,
)3
π
，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值．
23.[选修45：不等式选讲]（10分）
已知3
3
0,0,2a b a b >>+=，证明： （1）3
3()()4a b a b ++≥； （2）2a b +≤．
参考答案
1．D
【解析】1是方程240x x m -+=的解，1x =代入方程得3m =
∴2430x x -+=的解为1x =或3x =，∴{}13B =，
3．B
【解析】设顶层灯数为1a ，2=q ，()7171238112
-==-a S ，解得13a =．
4．B
【解析】该几何体可视为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半．
2211
π310π3663π
22=-=⋅⋅-⋅⋅⋅=V V V 总上
5．A
【解析】目标区域如图所示，当直线-2y =x+z 取到点()63--，时，所求z 最小值为15-．
6．D
【解析】只能是一个人完成2份工作，剩下2人各完成一份工作．
由此把4份工作分成3份再全排得23
43C A 36⋅=
7．D
【解析】四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说的话．
甲不知自己成绩→乙、丙中必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己成绩；两良亦然）→乙看了丙成绩，知自己成绩→丁看甲，甲、丁中也为一优一良，丁知自己成绩．
【解析】0S =，1k =，1a =-代入循环得，7k =时停止循环，3S =． 9．A
【解析】取渐近线b
y x a =
，化成一般式0bx ay -=，圆心()20，
= 得224c a =，24e =，2e =．
10．C
【解析】M ，N ，P 分别为AB ，1BB ，11B C 中点，则1AB ，1BC 夹角为MN 和NP 夹角或其补角
（异面线所成角为π02⎛
⎤ ⎥⎝
⎦，）
可知112MN AB =
，1122
NP BC ==， 作BC 中点Q ，则可知PQM △为直角三角形． 1=PQ ，1
2
MQ AC =
ABC △中，2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠
14122172⎛⎫
=+-⨯⨯⋅-= ⎪⎝⎭
，=AC
则MQ =
MQP △
中，MP = 则PMN △中，222
cos 2MN NP PM PNM MH NP
+-∠=⋅⋅
222
+-=
= 又异面线所成角为π02⎛
⎤ ⎥⎝⎦
，
．
11．A 【解析】()()21
21x f x x a x a e -'⎡⎤=+++-⋅⎣⎦，
则()()3
2422101f a a e a -'-=-++-⋅=⇒=-⎡⎤⎣⎦，
则()()211x f x x x e -=--⋅，()()212x f x x x e -'=+-⋅， 令()0f x '=，得2x =-或1x =， 当2x <-或1x >时，()0f x '>， 当21x -<<时，()0f x '<， 则()f x 极小值为()11f =-．
12．B
【解析】几何法：
如图，2PB PC PD +=（D 为BC 中点）， 则()
2PA PB PC PD PA ⋅+=⋅，
要使PA PD ⋅最小，则PA ，PD 方向相反，即P 点在线段AD 上， 则min 22PD PA PA PD ⋅=-⋅， 即求PD PA ⋅最大值， 又3
23PA PD AD +==⨯
=， 则2
233
24PA PD PA PD ⎛⎫+⎛⎫ ⎪⋅== ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭≤， 则min 332242
PD PA ⋅=-⨯=-． 解析法：
建立如图坐标系，以BC 中点为坐标原点，
P
D C
B
A
∴()
03A ，，()10B -，，()10C ，． 设()P x y ，， ()
3PA x y
=--，，
()
1PB x y =---，，
()1PC x y =--，，
∴()
222222PA PB PC x y y ⋅+=-+
2
2
3324x y ⎡⎤⎛⎫⎢⎥=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
则其最小值为33242⎛⎫
⨯-=- ⎪⎝⎭
，此时0x =，3y =．
13．1.96
【解析】有放回的拿取，是一个二项分布模型，其中0.02=p ，100n =
则()11000.020.98 1.96x D np p =-=⨯⨯= 14．1
【解析】()23πsin 3cos 042f x x x x ⎛⎫⎡
⎤=+-∈ ⎪⎢⎥⎣
⎦⎝⎭，
()231cos 3cos 4
f x x x =-+-
令cos x t =且[]01t ∈， 21
34y t t =-++
2
31t ⎛⎫
=--+ ⎪ ⎪⎝⎭
则当3
t =时，()f x 取最大值1． 15．
2+1
n n 【解析】设{}n a 首项为1a ，公差为d ．
则3123a a d =+= 414610S a d =+=
求得11a =，1d =，则n a n =，()12
n n n S +=
()()
1
1
2222
1223
11n
k k
S
n n n n ==
+++
+⨯⨯-+∑
111
111121223
11n n n n ⎛⎫=-+-++-+- ⎪-+⎝⎭
122111n n n ⎛
⎫=-=
⎪++⎝⎭
16．6
【解析】28y x =则4p =，焦点为()20F ，
，准线:2l x =-， 如图，M 为F 、N 中点，
故易知线段BM 为梯形AFMC 中位线， ∵2CN =，4AF =， ∴3ME =
又由定义ME MF =， 且MN NF =， ∴6
NF NM MF =+=
17.
【解析】（1）依题得：2
1cos sin 8sin
84(1cos )22
B B B B -==⋅=-． ∵22sin cos 1B B +=， ∴2216(1cos )cos 1B B -+=， ∴(17cos 15)(cos 1)0B B --=， ∴15
cos 17
B =
， （2）由⑴可知8sin 17
B =． ∵2AB
C S =△， ∴1
sin 22
ac B ⋅=， ∴18
2217
ac ⋅=， ∴17
2ac =
， ∵15cos 17
B =
， l F
N M C B A
O
y
x
∴22215217
a c
b a
c +-=，
∴22215a c b +-=， ∴22()215a c ac b +--=， ∴2361715b --=， ∴2b =．
18．
【解析】（1）记：“旧养殖法的箱产量低于50kg ” 为事件B
“新养殖法的箱产量不低于50kg ”为事件C
而()0.04050.03450.02450.01450.0125P B =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯
0.62=
()0.06850.04650.01050.0085P C =⨯+⨯+⨯+⨯
0.66=
()()()0.4092P A P B P C ==
（2）
由计算可得2K 的观测值为
()2
22006266383415.705
10010096104
k ⨯⨯-⨯=
=⨯⨯⨯
∵15.705 6.635> ∴()2 6.6350.001P K ≈≥
∴有99%以上的把握产量的养殖方法有关．
（3）150.2÷=，()0.20.0040.0200.0440.032-++=
80.0320.06817÷=
，8
5 2.3517
⨯≈ 50 2.3552.35+=，∴中位数为52.35．。