2019年全国初中数学竞赛试题及答案

中国教育学会中学数学教学专业委员会
“《数学周报》杯”2019年全国初中数学竞赛试题
一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）
1．若
20 10a b b c ==，，则a b b c
++的值为（ ）． （A ）1121 （B ）2111 （C ）11021 （D ）21011
解：D 由题设得12012101111110
a a
b b
c b c b +++===+++． 2．若实数a ，b 满足21202
a a
b b -++=，则a 的取值范围是 （ ）． （A ）a ≤2- （B ）a ≥4 （C ）a ≤2-或 a ≥4 （D ）2-≤a ≤4 解．C
因为b 是实数，所以关于b 的一元二次方程21202b ab a -+
+= 的判别式 21()41(2)2a a ∆--⨯⨯+＝≥0,解得a ≤2-或 a ≥4．
3．如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝135°，∠C ＝120°，AB =23BC =422-CD ＝2AD 边的长为（ ）．
（A ）26 （B ）64
（C ）64+ （D ）622+
解：D
如图，过点A ，D 分别作AE ，DF 垂直于直线BC ，垂足分别为E ，
F ．
由已知可得
BE =AE 6，CF ＝2DF ＝6，
于是 EF ＝46．
过点A 作AG ⊥DF ，垂足为G ．在Rt △ADG 中，根据勾股定理得 AD 222(46)(6)(224)=++=+226+
4．在一列数123x x x ，，，……中，已知11=x ，且当k ≥2时，1121444k k k k x x -⎛--⎫⎡⎤⎡⎤=+-- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣
⎦⎣⎦⎝⎭ （第3题）
（第3题）
（取整符号[]a 表示不超过实数a 的最大整数，例如[]2.62=，[]0.20=），则2010x 等于（ ）．
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
解：B
由11=x 和1121444k k k k x x -⎛--⎫⎡⎤⎡⎤=+-- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭
可得 11x =，22x =，33x =，44x =，
51x =，62x =，73x =，84x =，
……
因为2010=4×502+2，所以2010x =2．
5．如图，在平面直角坐标系xOy 中，等腰梯形ABCD 的顶点坐标分别为A （1，1），B （2，－1），C （－2，－1），D （－1，1）．y 轴上一点P （0，2）绕点A 旋转180°得点P 1，点P 1绕点B 旋转180°得点P 2，点P 2绕点C 旋转180°得点P 3，点P 3绕点D 旋转180°得点P 4，……，重复操作依次得到点P 1，P 2，…， 则点P 2010的坐标是（ ）．
（A ）（2010，2） （B ）（2010，2-）
（C ）（2012，2-） （D ）（0，2）
解：B 由已知可以得到，点1P ，2P 的坐标分别为（2，0），（2，2-）．
记222 )P a b （，
，其中222,2a b ==-． 根据对称关系，依次可以求得： 322(42)P a b --，－－，422(2)P a b ++，4，522(2)P a b ---，，622(4)P a b +，．
令662(,)P a b ，同样可以求得，点10P 的坐标为（624,a b +），即10P （2242,a b ⨯+）
， 由于2010=4⨯502+2，所以点2010P 的坐标为（2010，2-）．
二、填空题
6．已知a ＝5－1，则2a 3＋7a 2－2a －12 的值等于 ．
解：0
由已知得 (a ＋1)2＝5，所以a 2＋2a ＝4，于是
2a 3＋7a 2－2a －12＝2a 3＋4a 2＋3a 2－2a －12＝3a 2＋6a －12＝0．
7．一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶．在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间．过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿
（第5题）
车追上了客车；再过t 分钟，货车追上了客车，则t ＝ ．
解：15
设在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为S 千米，小轿车、货车、客车的速度分别为a b c ，， （千米/分），并设货车经x 分钟追上客车，由题意得
()10a b S -=， ①
()152a c S -=， ② ()x b c S -=． ③
由①②，得30b c S -=（），所以，x =30． 故 3010515t =--=（分）
． 8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，多边形OABCDE 的顶点坐标分别是O （0，0），A （0，6），B （4，6），C （4，4），D （6，4），E （6，0）．若直线l 经过点M （2，3），且将多边形OABCDE 分割成面积相等的两部分，则直线l 的函数表达式是 ．
解：11133
y x =-+ 如图，延长BC 交x 轴于点F ；连接OB ，AF ；连接CE ，DF ，且相交于点N ．
由已知得点M （2，3）是OB ，AF 的中点，即点M 为矩形ABFO 的中心，所以直线l 把矩形ABFO 分成面积相等的两部分．又因为点N （5，2）是矩形CDEF 的中心，所以，
过点N （5，2）的直线把矩形CDEF 分成面积相等的两部分．
于是，直线MN 即为所求的直线l ．
设直线l 的函数表达式为y kx b =+，则2352k b k b =⎧⎨+=⎩
+，， 解得 1311.3k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，,故所求直线l 的函数表达式为11133y x =-+． 9．如图，射线AM ，BN 都垂直于线段AB ，点E 为AM 上一点，过点A 作BE 的垂线AC 分别交BE ，BN 于点F ，C ，过点C 作AM 的垂线CD ，垂足为D ．若CD ＝CF ，则
AE AD
= ． （第8题） （第8题
解： 215- 见题图，设,FC m AF n ==． 因为Rt △AFB ∽Rt △ABC ，所以 2AB AF AC =⋅．
又因为 FC ＝DC ＝AB ，所以 2()m n n m =+，即 2()10n n m m
+-=， 解得51n m -=，或51n m --=（舍去）． 又Rt △AFE ∽Rt △CFB ，所以AE AE AF n AD BC FC m ====51-， 即AE AD
=51-． 10．对于i =2，3，…，k ，正整数n 除以i 所得的余数为i －1．若n 的最小值0n 满足020003000n <<，则正整数k 的最小值为 ．
解：9 因为1n +为2 3 k ，，，的倍数，所以n 的最小值0n 满足
[]012 3 n k +=，，，，
其中[]2 3 k ，，，表示2 3 k ，，
，的最小公倍数． 由于[][]2 3 88402 3 92520 ==，，，，，，
，， [][]2 3 1025202 3 1127720==，，，，，，
，， 因此满足020003000n <<的正整数k 的最小值为9．
三、解答题（共4题，每题20分，共80分）
11．如图，△ABC 为等腰三角形，AP 是底边BC 上的高，点D 是线段PC 上的一点，BE 和CF 分别是△ABD 和△ACD 的外接圆直径，连接EF . 求证： ．tan EF PAD BC ∠=
（第9题） （第11题）
证明：如图，连接ED ，FD . 因为BE 和CF 都是直径，所以
ED ⊥BC ， FD ⊥BC ，
因此D ，E ，F 三点共线. …………（5分）
连接AE ，AF ，则
AEF ABC ACB AFD ∠=∠=∠=∠，
所以，△ABC ∽△AEF . …………（10分）
作AH ⊥EF ，垂足为H ，则AH =PD . 由△ABC ∽△AEF 可得 EF AH BC AP
=， 从而 EF PD BC AP
=， 所以 tan PD EF PAD AP BC
∠==. …………（20分） 12．如图，抛物线2y ax bx =+（a >0）与双曲线k y x
=相交于点A ，B . 已知点A 的坐标为（1，4），点B 在第三象限内，且△AOB 的面积为3（O 为坐标原点）.
（1）求实数a ，b ，k 的值；
（2）过抛物线上点A 作直线AC ∥x 轴，交抛物线于另一点C ，求
所有满足△EOC ∽△AOB 的点E 的坐标.
解：（1）因为点A （1，4）在双曲线k y x
=上， 所以k=4. 故双曲线的函数表达式为x
y 4=. 设点B （t ，4t ），0t <，AB 所在直线的函数表达式为y mx n =+，则有 44m n mt n t
=+⎧⎪⎨=+⎪⎩，， 解得4m t =-，4(1)t n t +=. 于是，直线AB 与y 轴的交点坐标为4(1)0,t t +⎛
⎫ ⎪⎝⎭
，故 ()141132AOB t S t t
∆+=⨯-=（），整理得22320t t +-=， 解得2t =-，或t ＝2
1（舍去）．所以点B 的坐标为（2-，2-）
． 因为点A ，B 都在抛物线2y ax bx =+（a >0）上， 所以 4422a b a b +=⎧⎨-=-⎩，， 解得13.
a b =⎧⎨=⎩， …（10分） （第11题）
（第12题）
（2）如图，因为AC ∥x 轴，所以C （4-，4），
于是CO ＝42. 又BO =22，所以
2=BO CO . 设抛物线2y ax bx =+（a >0）与x 轴负半轴相交于点D ，
则点D 的坐标为（3-，0）.
因为∠COD ＝∠BOD ＝45︒，所以∠COB =90︒.
（i ）将△BOA 绕点O 顺时针旋转90︒，得到△1B OA '.这时，点B '(2-
1A 的坐标为（4，1-）.
延长1OA 到点1E ，使得1OE =12OA ，这时点1E （8，2-）是符合条件的点.
（ii ）作△BOA 关于x 轴的对称图形△2B OA '，得到点2A （1，4-）；延长2OA 到点2E ，使得2OE ＝22OA ，这时点E ２（2，8-）是符合条件的点．
所以，点E 的坐标是（8，2-），或（2，8-）. …………（20分）
13．求满足22
282p p m m ++=-的所有素数p 和正整数m .
解：由题设得(21)(4)(2)p p m m +=-+，
所以(4)(2)p m m -+，由于p 是素数，故(4)p m -，或(2)p m +. ……（5分）
（1）若(4)p m -，令4m kp -=，k 是正整数，于是2m kp +>， 2223(21)(4)(2)p p p m m k p >+=-+>，
故23k <，从而1k =.
所以4221m p m p -=⎧⎨+=+⎩，，解得59.p m =⎧⎨=⎩
， …………（10分） （2）若(2)p m +，令2m kp +=，k 是正整数.
当5p >时，有46(1)m kp kp p p k -=->-=-，
223(21)(4)(2)(1)p p p m m k k p >+=-+>-，
故(1)3k k -<，从而1k =，或2.
由于(21)(4)(2)p p m m +=-+是奇数，所以2k ≠，从而1k =.
于是4212m p m p -=+⎧⎨+=⎩
，， 这不可能.
当5p =时，2263m m -=，9m =；当3p =，2
229m m -=，无正整数解；当2p =时，2218m m -=，无正整数解.
综上所述，所求素数p =5，正整数m =9. …………（20分）
14．从1，2，…，2010这2010个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除？
解：首先，如下61个数：11，1133+，11233+⨯，…，116033+⨯（即1991）满足题设条件.（5分）
另一方面，设12n a a a <<<是从1，2，…，2010中取出的满足题设条件的数，对于这n 个数中的
任意4个数i j k m a a a a ，，，，因为
33()i k m a a a ++， 33()j k m a a a ++，
所以 33()j i a a -.
因此，所取的数中任意两数之差都是33的倍数. …………（10分）
设133i i a a d =+，i =1，2，3，…，n . 由12333()a a a ++，得12333(33333)a d d ++， 所以1333a ，111a ，即1a ≥11. …………（15分）
133n n a a d -=≤2010116133
-<， 故n d ≤60. 所以，n ≤61. 综上所述，n 的最大值为61. …………（20分）。