复数的概念
复数概念及公式总结
复数概念及公式总结复数是数学中一个重要的概念，它在代数、解析几何、微积分等多个数学分支中都有着重要的应用。
本文将对复数的概念及相关公式进行总结，希望能够帮助读者更好地理解和运用复数。
一、复数的概念。
复数是由实数和虚数组成的数，一般表示为a+bi，其中a为实部，b为虚部，i 为虚数单位，满足i²=-1。
复数可以用平面直角坐标系中的点来表示，实部对应x 轴，虚部对应y轴。
复数的模长是指复数到原点的距离，记作|a+bi|=√(a²+b²)。
复数的共轭是指虚部取负，即a-bi。
二、复数的运算。
1. 加减法，实部和虚部分别相加减。
(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i。
(a+bi) (c+di) = (a-c) + (b-d)i。
2. 乘法，先用分配律展开，然后利用i²=-1化简。
(a+bi) (c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i。
3. 除法，将分子有理化，然后利用共轭的性质进行化简。
(a+bi) / (c+di) = (ac+bd)/(c²+d²) + (bc-ad)/(c²+d²)i。
三、复数的指数形式。
复数可以用指数形式表示，即a+bi = r(cosθ + isinθ)，其中r为模长，θ为幅角。
根据欧拉公式，e^(iθ) = cosθ + isinθ，所以复数也可以表示为a+bi = re^(i θ)。
四、复数的常见公式。
1. 欧拉公式，e^(iπ)+1=0，这是数学中最著名的等式之一，将自然对数的底e、圆周率π、虚数单位i、单位复数1组合在一起。
2. 范-诺伊曼级数，1+2+3+4+...=-1/12，这是一个看似荒谬但又被证明正确的等式，它涉及了复数的无穷级数求和。
3. 费马大定理，xⁿ+yⁿ=zⁿ在n大于2时无整数解，这是数论中著名的定理，它与复数的幂运算有着密切的联系。
复数的概念及其运算法则
复数的概念及其运算法则复数是数学中的一个重要概念，它由实数部分和虚数部分构成。
在本文中，我们将介绍复数的概念、表示方法以及复数的运算法则。
一、复数的概念复数是由实数和虚数构成的数，形如 a+bi 的形式，其中 a 是实数部分，b 是虚数部分，i 是虚数单位。
虚数单位 i 是定义为√-1，虚数部分b 可以是任意实数。
复数的实部和虚部分别表示为 Re(z) 和 Im(z)，其中 z 是一个复数。
如果复数 z=a+bi 中实数部分 a=0，则该复数被称为纯虚数；如果虚数部分 b=0，则该复数被称为实数。
复数的模表示为 |z|，即复数 z 的绝对值。
复数的表示方法有多种形式，常见的包括代数形式、三角形式和指数形式。
代数形式即复数的标准表示形式 a+bi；三角形式通过模和幅角来表示复数，形如|z|cosθ+|z|sinθi，其中θ 是复数的辐角；指数形式则是使用指数函数表示复数，形如|z|e^(iθ)。
二、复数的运算法则1. 复数的加法与减法复数的加法与减法可以通过实部和虚部分别进行运算。
设z1=a+bi，z2=c+di 为两个复数，则它们的加法和减法如下：- 加法：z1+z2=(a+c)+(b+d)i- 减法：z1-z2=(a-c)+(b-d)i2. 复数的乘法复数的乘法可以通过实部和虚部进行计算。
设 z1=a+bi，z2=c+di 为两个复数，则它们的乘法运算如下：z1*z2=(a+bi)(c+di)= (ac-bd)+(ad+bc)i3. 复数的除法复数的除法可以通过乘以共轭复数的形式来实现。
设 z1=a+bi，z2=c+di 为两个复数，z2 ≠ 0，则它们的除法运算如下：z1/z2=(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c^2+d^2) + (bc-ad)/(c^2+d^2)i需要注意的是，对于复数的运算，虚数单位 i 具有如下性质：- i^2=-1- i^3=-i- i^4=1这些性质在复数运算过程中应用广泛。
完整版)复数的定义
完整版)复数的定义第十四章复数一、复数的概念1.虚数单位：i规定：（1）i²= -1；（2）虚数单位i，可以与实数进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法，乘法运算律仍然成立。
2.复数：形如a+bi，a∈R，b∈R的数叫做复数，a叫实部，b叫虚部。
3.复数集：所有复数构成的集合，复数集C={x|x=a+bi。
a∈R。
b∈R}。
4.分类：b=0时为实数；b≠0时为虚数，a=0,b≠0时为纯虚数，且R∪C。
5.两个复数相等：a+bi=c+di ⇔ a=c且b=d(a,b,c,d∈R)。
例1：下面五个命题①3+4i比2+4i大；②复数3-2i的实部为3，虚部为-2i；③Z1，Z2为复数，Z1-Z2>0，那么Z1>Z2；④两个复数互为共轭复数，则其和为实数；⑤两个复数相等：a+bi=c+di ⇔ a=c且b=d(a,b,c,d∈R)。
例2：已知：Z=(m+1)+(m-1)i，m∈R，求Z为（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数时，求m的值。
例3：已知x²+y²-2i=6+(y-x)i，求实数x,y的值。
二、复数的几何意义Z=a+bi，a∈R，b∈R，与点(a,b)一一对应。
1.复平面：x轴叫实轴；y轴叫虚轴。
x轴上点为实数，y 轴上除原点外的点为纯虚数。
2.Z=a+bi；连接点(a,b)与原点，得到向量OZ，点Z(a,b)，向量OZ，Z=a+bi之间一一对应。
3.模：Z=a+bi=OZ=√(a²+b²)。
注：Z的几何意义：令Z=x+yi(x,y∈R)，则Z=√(x²+y²)，由此可知表示复数Z的点到原点的距离就是Z的几何意义；Z1-Z2的几何意义是复平面内表示复数Z1，Z2的两点之间的距离。
三、复数的四则运算Z1=a+bi，Z2=c+di，a,b,c,d∈R。
1.加减法：Z1+Z2=(a+c)+(b+d)i；Z1-Z2=(a-c)+(b-d)i即实部与实部，虚部与虚部分别相加减。
复数的定义
复数的加法按照以下规定的法则进行：设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数，
则它们的和是 (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.
两个复数的和依然是复数，它的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。
复数的加法满足交换律和结合律，
即对任意复数z1,z2,z3,有： z1+z2=z2+z1; (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
编辑本段乘法法则
规定复数的乘法按照以下的法则进行：
设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i.
数系中发现一颗新星——虚数，于是引起了数学界的一片困惑，很多大数学家都不承认虚数。德国数学家莱布尼茨（1646—1716）在1702年说：“虚数是神灵遁迹的精微而奇异的隐避所，它大概是存在和虚妄两界中的两栖物”。瑞士数学大师欧拉（1707—1783）说；“一切形如，√-1，√-2的数学式子都是不可能有的，想象的数，因为它们所表示的是负数的平方根。对于这类数，我们只能断言，它们既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它们纯属虚幻。”然而，真理性的东西一定可以经得住时间和空间的考验，最终占有自己的一席之地。法国数学家达朗贝尔（1717—1783）在1747年指出，如果按照多项式的四则运算规则对虚数进行运算，那么它的结果总是a+bi的形式（a、b都是实数）。法国数学家棣莫弗（1667—1754）在1730年发现了著名的棣莫佛定理（见上文）。欧拉在1748年发现了有名的关系式，并且是他在《微分公式》（1777年）一文中第一次用i来表示一1的平方根，首创了用符号i作为虚数的单位。“虚数”实际上不是想象出来的，而它是确实存在的。挪威的测量学家成塞尔（1745—1818）在1779年试图给于这种虚数以直观的几何解释，并首先发表其作法，然而没有得到学术界的重视。
复数的考点知识点归纳总结
复数的考点知识点归纳总结复数的考点知识点归纳总结复数是基础数学中的重要概念，广泛应用于数学、物理、工程等领域。
掌握复数的概念、性质和运算规则对于建立数学思维、解决实际问题具有重要意义。
本文将从复数的基本概念、运算法则和实际应用等方面进行归纳总结。
一、复数的基本概念1. 复数的定义：复数是由实部和虚部组成的数，形式为a+bi，其中a为实数部分，bi为虚数部分，i为虚数单位，满足i²=-1。
2. 复数的实部和虚部：复数a+bi中，a为实部，bi为虚部。
3. 复数的共轭复数：设复数z=a+bi，其共轭复数记为z*，则z*的实部与z相同，虚部的符号相反。
4. 复数的模：复数z=a+bi的模定义为|z|=√(a²+b²)。
5. 复数的辐角：复数z=a+bi的辐角定义为复数与正实轴正半轴的夹角，记作arg(z)。
6. 三角形式：复数z=a+bi可以写成三角形式r(cosθ+isinθ)，其中r为模，θ为辐角。
二、复数的运算法则1. 复数的加法和减法：复数的加法和减法运算与实数类似，实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。
2. 复数的乘法：复数的乘法运算使用分配律和虚数单位的性质，即(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。
3. 复数的除法：复数的除法运算需要将分子分母同时乘以共轭复数，即(a+bi)/(c+di)=[(a+bi)(c-di)]/[(c+di)(c-di)]。
4. 复数的乘方和开方：复数的乘方和开方运算需要使用三角函数的性质和欧拉公式，即z^n=r^n[cos(nθ)+isin(nθ)]，√z=±√r[cos(θ/2)+isin(θ/2)]。
三、复数的性质和应用1. 复数的性质：复数具有加法和乘法的封闭性、交换律、结合律、分配律等性质。
2. 复数平面：复数可以用平面上的点来表示，实部为横坐标，虚部为纵坐标，构成复数平面。
3. 复数与向量：复数可以看作是向量的延伸，复数的运算有时可以用向量的加法和旋转来理解。
复数的有关概念
复数的相关概念引言复数是数学中的一种扩展形式，可以表示实数范围之外的数字。
它由实部和虚部组成，并且遵循特定的运算规则。
本文将介绍复数的定义、表示法、运算法则以及它在实际应用中的相关概念。
一、复数的定义复数是指由实部和虚部组成的数。
实部是一个实数，虚部是一个带有虚单位i的实数。
复数可以表示为a + bi，其中a是实部，b是虚部。
二、复数的表示法复数有多种表示法，常见的有直角坐标表示法和极坐标表示法。
1. 直角坐标表示法在直角坐标系中，一个复数被表示为一个有序实数对(a, b)。
其中，a是实部，b是虚部。
该表示法可以将复数视为复平面上的点，其中a沿着实轴表示，b沿着虚轴表示。
2. 极坐标表示法在极坐标系中，一个复数可以被表示为一个模和一个辐角的有序实数对(r, θ)。
其中，r是复数的模，表示复数与原点的距离；θ是辐角，表示复数与正实轴之间的夹角。
该表示法可以将复数视为复平面上的向量。
三、复数的运算法则复数的运算法则基于实数的运算法则，并额外考虑了虚部之间的运算。
1. 加法和减法复数的加法和减法遵循实部和虚部分别相加或相减的原则。
例如，对于复数z1 = a + bi和z2 = c + di，其中a、b、c、d均为实数，则有z1 + z2 = (a + c) + (b +d)i，z1 - z2 = (a - c) + (b - d)i。
复数的乘法涉及到实部和虚部之间的相乘。
例如，对于复数z1 = a + bi和z2 = c + di，则有z1 z2 = (ac - bd) + (ad + bc)i*。
3. 除法复数的除法涉及到实部和虚部的除法运算。
例如，对于复数z1 = a + bi和z2 = c + di，则有z1 / z2 = ( (ac + bd) / (c^2 + d^2) ) + ( (bc - ad) / (c^2 + d^2) )i。
四、复数的相关概念1. 共轭复数共轭复数指的是虚部符号相反的复数。
复数的概念
复数的概念复数是数学中的一个重要概念，它可以用来描述不仅包括实数的数系统，而且还包括了虚数，其中虚数是实数范围之外的一类数。
复数是由实部和虚部构成的，通常写成(a+bi)的形式。
在数学、物理学、电子学等领域中，复数被广泛应用。
一、复数的基本概念复数是由实数和虚数组成的数，用实部和虚部表示。
实数是人们日常生活中所接触到的数，它们可以直接用于计算。
而虚数则是不能用于直接计算的数。
虚数是指那些不满足平方根是实数的数，也就是说，虚数是不存在的，只是一种数学上的概念。
以一个复数z为例，它的实部和虚部分别是a和b。
因此可以将z表示为：z = a + bi其中i称为虚数单位，满足i²=-1。
a和b都是实数，可以是正数、负数、零或小数。
虚部b可以是负数或正数，但实部a只能为实数。
复数的实部和虚部是不同的，它们具有不同的物理意义。
通常情况下，实部表示了复数在x轴上的位置，而虚部则表示了复数在y轴上的位置。
二、复数的基本性质（1）加法性质：设z1 = a1+b1i，z2 = a2+b2i，z1+z2 =(a1+a2)+(b1+b2)i。
这说明了两个复数之和的实部是它们各自实部之和，虚部是它们各自虚部之和。
（2）减法性质：设z1 = a1+b1i，z2 = a2+b2i，z1-z2 = (a1-a2)+(b1-b2)i。
这说明了两个复数之差的实部是它们各自实部之差，虚部是它们各自虚部之差。
（3）乘法性质：设z1 = a1+b1i，z2 = a2+b2i，z1×z2 = (a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i。
这说明了两个复数的乘积的实部是它们各自实部的乘积减去各自虚部的乘积，虚部是它们各自实部的乘积加上各自虚部的乘积。
（4）除法性质：设z1 = a1+b1i，z2 = a2+b2i，z1÷z2 = [(a1a2+b1b2)÷(a2²+b2²)]+[(a2b1-a1b2)÷(a2²+b2²)]i。
复数的概念
复数的概念复数是数学中的一个重要概念，是指具有形式化表示形式 a+bi（i为单位虚数）的数。
在这里，a和b都是实数，而i则可以表示为√-1。
复数概念为解决一些现实问题提供了便捷的工具，如电学、信号处理、力学、经济学等领域。
复数的定义复数是实数域的扩张，它由实部和虚部两个实数组成。
例如，复数z=a+bi。
在这个复数中，a是实部，b是虚部，i是虚数单位，满足i^2= -1。
一个复数可以用复平面上的向量表示，实部和虚部分别在实轴和虚轴上表示。
复数的运算复数可以执行各种运算，如加法、减法、乘法、除法等等。
这些运算遵循基本的数学规则，但有一些特殊规则需要遵守。
首先，复数相加的时候实部与实部相加，虚部与虚部相加，即z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,则z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i。
复数乘法的规则为：(a+bi) (c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i最后，复数除法的公式为：\frac{a+bi}{c+di} =\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} = \frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}但其实复数除法的运算会变得很麻烦，因为分子和分母以及有虚数。
所以我们用实数的倒数来改变一下发式，而有：复数表示方式除了a+bi的方式表示复数之外，还有极坐标表示法，z=r(cos Θ+i sin Θ)。
在这个表述中，r代表复数的模长，并且值为实部和虚部的平方根，θ是由(1,0)到(z,r)的线与x轴方向的夹角，也可以写成θ = arg(z)。
例如下图，z=x+yi，r是x,y组成的三角形的斜边，θ是这个斜边与x轴的夹角。
复数实际应用虽然复数被很多人认为是纯粹的数学概念，但他们实际上在现实世界中有很多应用。
具体而言，复数广泛应用于物理、工程和统计学领域。
在电学中，复数参量通常用于描述电路中的元件和信号。
复数表示法可将正弦波信号（例如音频或视频信号）写成振幅和相位的形式，这是用于处理信号和图像的数字信号处理（DSP）领域的重要工具。
复数的定义是什么复数有哪些性质
复数的定义是什么复数有哪些性质复数的定义是指一个词语表示或引用两个或两个以上的人、事物或概念的语法形式。
在英语中，复数通常是通过在名词后面添加“-s”或“-es”来表示，例如cat（猫）变成cats（猫们）。
复数有以下几个性质：1. 数量表示：复数用来表示多于一个的事物。
当我们需要描述一组人或物体时，复数形式的名词很有用。
例如，当我们提到多个苹果时，我们可以说“apples”。
2. 代词使用：当我们在句子中使用复数名词时，我们需要使用复数代词来取代它们。
例如，当我们提到一群学生时，我们可以用“they”来替代称呼他们，而不是使用单数代词“he”或“she”。
3. 谓语一致：如果一个句子的主语是复数名词，则谓语动词也必须用复数形式。
这意味着动词的形式要与名词的数量相匹配。
例如，当主语是“cats”时，动词应该是复数形式的“are”，而不是单数形式的“is”。
4. 描述性的词语：用于描述复数名词的形容词和限定词也要用复数形式。
这是为了保持名词和修饰词之间的一致性。
例如，在描述一群高大的人时，我们会说“tall people”，而不是“tall person”。
5. 复数形式的变化：复数名词的形式变化有时涉及到除了“-s”或“-es”之外的其他形式变化规则。
例如，当名词以“-y”结尾时，通常将“-y”变成“-ies”。
例如，baby（宝宝）变成babies（宝宝们）。
6. 不可数名词的例外：一些名词在英语中没有复数形式，它们被称为不可数名词，因为它们表示的是无法分割或计量的事物。
例如，水（water）和爱（love）是不可数名词，它们不需要使用复数形式。
复数在英语语法中起着重要的作用，它们使我们能够清楚地表达多个事物。
通过正确理解复数的定义和性质，我们可以更好地运用英语表达自己的意思。
复数的概念
1、为了解决负数开方问题，引入新数 i,叫虚数单位。
规定：
i2= -1
2、复数： 把形如 bi(a, b R)的数叫复数。 a 复数集： 复数全体所组成的集合叫复数集， 一般用字母C表示 复数系：定义了复数的加法和乘法运算后的复数集
3、复数的代数形式： 复数Z表示成a+bi,叫做复数的代数形式 a叫复数Z的实部，记作ReZ
a bi c di(a, b, c, d R) a c b d
复数相等的概念
如果有两个复数Z1=a+bi (a,b∊R)和Z2=c+di (c,d∊R) 的实部与虚部分别相当，即a=c且b=d，那么这两个 复数相等。 记做 a+bi =c+di 说明 1、若Z1，Z2均为实数，则Z1，Z2具有大小关系 2、若Z1，Z2中不都为实数，Z1与Z2只有相等或 不相等两关系，而不能比较大小
Z1 Z2 Z1 Z2
Z Z
n
Z2 0
n
Z Z
Z Z 2a
Z Z a b
2
2
Z Z 2bi
复数的运算常用结论
i2=-1 （1） 一般地，如果n∈N*
i4n=1，i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i
（2） in+in+1+in+2+in+3=0 in· · · =-1 in+1 in+2 in+3 （3）（1+i）2=2i （1-i）2=-2i (4) w有什么类似的性质呢?
例题选讲
例2 已知复数z1满足 z1 2 i 1 i , 复数z2的 虚部为2，且z1 z2是实数，求复数z2 .
(完整版)复数的基本概念和几何意义
一、考点、热点回顾1. 复数的有关概念 （1）复数① 定义：形如 a ＋ bi （ a ， b ∈ R ）的数叫做复数，其中 i 叫做虚数单位，满足 i 2＝－ 1. ② 表示方法：复数通常用字母 z 表示，即 z ＝ a ＋bi （ a ，b ∈ R ），这一表示形式叫做复数的代数形式 .a 叫做复 数 z 的实部， b 叫做复数 z 的虚部 .注意：复数 m ＋ni 的实部、虚部不一定是 m 、 n ，只有当 m ∈R ，n ∈R 时，m 、n 才是该复数的实部、虚部 . （ 2）复数集①定义：全体复数所成的集合叫做复数集 . ②表示：通常用大写字母 C 表示 .2. 复数的分类实数（ b ＝0）2）复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系3. 复数相等的充要条件设 a 、 b 、 c 、 d 都是实数，则 a ＋bi ＝c ＋di? a ＝c 且 b ＝d ，a ＋bi ＝0?a ＝b ＝0. 注意：（1）应用复数相等的充要条件时注意要先将复数化为 z ＝a ＋bi （a ， b ∈R ）的形式，即分离实部和虚 部.2）只有当 a ＝c 且 b ＝d 的时候才有 a ＋bi ＝c ＋di ，a ＝ c 和 b ＝d 有一个不成立时，就有 a ＋bi ≠c ＋ di.3）由 a ＋ bi ＝ 0，a ，b ∈R ，可得 a ＝0 且 b ＝ 0. 4.复平面的概念 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， x 轴叫做实轴， y 轴叫做虚轴 .实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数 .6.复数的模复数 z ＝a ＋bi （a ，b ∈R ）对应的向量为 O →Z ，则O →Z 的模叫做复数 z 的模，记作 |z|，且 |z|＝ a 2＋b 2. 注意：复数 a ＋bi （a ， b ∈R ）的模 |a ＋ bi|＝ a 2＋b 2，两个虚数不能比较大小，但它们的模表示实数，可以 比较大小 .考点一、复数的概念 例 1、下列命题：①若 a ∈ R ，则（ a ＋1）i 是纯虚数； ②若 a ，b ∈R ，且 a>b ，则 a ＋i>b ＋ i ；复数1）复数 z ＝a ＋bi （a ， b ∈R ）虚数（ b ≠0）纯虚数 a ＝ 0 非纯虚数5.复数的两种几何意义 （ 1）复数 z ＝a ＋bi （a ， b ∈R ）一一对应←一―一对―应→复平面内的点Z （a ，b ） 一一对应←―平面向量 O →Z.典型例题③若（ x2－ 4）＋（ x2＋3x＋ 2）i 是纯虚数，则实数 x＝±2；④实数集是复数集的真子集 .其中正确的是（ ） A. ① B.② C.③ D.④【解析】 对于复数 a ＋bi （a ，b ∈R ），当 a ＝0且 b ≠0 时，为纯虚数 .对于① ，若 a ＝－ 1，则（ a ＋1）i 不 是纯虚数，即 ①错误.两个虚数不能比较大小，则 ②错误.对于 ③，若 x ＝－2，则 x 2－4＝0，x 2＋3x ＋2＝0，此时 （x 2－4）＋（ x 2＋3x ＋2）i ＝0，不是纯虚数，则 ③错误 .显然，④正确 .故选 D.【 答案】 D 变式训练 1、 1.对于复数 a ＋ bi （ a ，b ∈R ），下列说法正确的是（ A. 若 a ＝0，则 a ＋bi 为纯虚数B. 若 a ＋（ b －1）i ＝3－2i ，则 a ＝ 3，b ＝－ 2C. 若 b ＝0，则 a ＋bi 为实数D. i 的平方等于 1 解析： 选 C.对于 A ，当 a ＝0 时， a ＋bi 也可能为实数； 对于 B ，若 a ＋（ b － 1） i ＝ 3－ 2i ， 对于 D ，i 的平方为－ 1.故选 C.2. 若 4－3a －a 2i ＝a 2＋4ai ，则实数 A.1 C.－4 4 － 3a ＝ a 2，解析： 选 C.易知 2 解得－a 2＝4a ， 考点二、复数的分类例 2、已知 m ∈R ，复数 z ＝m （m ＋2）m －1（1）z 为实数？（ 2）z 为虚数？（ 3） z 为纯虚数？则 a ＝3，b ＝－ 1；a 的值为（ ） B.1 或－ 4D.0 或－ 4 a ＝－ 4. （m 2＋2m －3）i ，当 m 为何值时，解】 2） 要使1）要使 z 为实数， m 需满足 m 2＋2m －3＝0，且 m （ m ＋ 2）有意义，即 m －1≠0，解得 m ＝－3. m －1 z 为虚数， m 需满足 m 2＋ 2m － 3≠ 0，且m （ m ＋ 2）有意义，即 m －1≠ 0，解得 m ≠1 且m ≠－3. m －13） 要使z 为纯虚数， m 需满足m （ m ＋ 2）变式训练 2、 当实数 m 为何值时，复数 纯虚数；（ 2）实数 . ＝0，且 m 2＋2m －3≠0，解得 m ＝0 或－ 2. m －1lg （ m 2－ 2m － 7）＋（ m 2＋ 5m ＋ 6） i 是解：（1）复数 lg （ m 2－ 2m － 7）＋ m 2＋5m ＋6）i 是纯虚数，则lg 2（m2－2m －7）＝0，m 2＋ 5m ＋6≠0，解得 m ＝ 4.m2－2m －7>0 ，2）复数 lg （ m 2－ 2m － 7）＋（ m 2＋ 5m ＋ 6） i 是实数，则 m 2＋5m ＋6＝0，解得 m ＝－ 2 或 m ＝－ 3.考点三、复数相等 例 3、（ 1） 3） 若（ x ＋y ）＋ yi ＝（ x ＋1）i ，求实数 x ，y 的值；已知 a 2＋（m ＋2i ）a ＋2＋mi ＝0（m ∈R ）成立，求实数 a 的值； 若关于 x 的方程 3x 2－ a 2x － 1＝（ 10－ x － 2x 2）求实数 a 的值 . x ＋y ＝0， 解】 （ 1）由复数相等的充要条件，得解得 y ＝x ＋1， 1 x ＝－ 2， 2）因为 a ，m ∈ R ，所以由 a 2＋ am ＋2＋（ 2a ＋m ）i ＝ 0，可得 1y ＝12. a 2＋ am ＋2＝0， 2a ＋ m ＝0，解得a m ＝＝－22，2或 a ＝－ 2， m ＝ 2 2， 所以 a ＝ ± 2.（ 3）设方程的实根为 x ＝ m ，则原方程可变为 3m 2－a 2m －1＝（ 10－m －2m 2） i ，2a3m 2－m － 1＝0， 712 解得 a ＝ 11 或－ 71. 25 10－ m － 2m 2＝ 0，考点五、复数与复平面内的向量例 5、（1）已知 M （1，3），N （4，－1），P （0，2），Q （－4，0），O 为复平面的原点，试写出 O →M ，O →N ，O →P ， O →Q 所表示的复数；（ 2）已知复数 1，－ 1＋2i ，－ 3i ，6－7i ，在复平面内画出这些复数对应的向量；（ 3）在复平面内的长方形 ABCD 的四个顶点中，点 A ，B ，C 对应的复数分别是 2＋3i ，3＋2i ，－ 2－3i ，求 点 D 对应的复数 .【 解】 （ 1）O →M 表示的复数为 1＋ 3i ； O →N 表示的复数为 4－i ； O →P 表示的复数为 2i ； O →Q 表示的复数为－ 4.（2）复数 1 对应的向量为 O →A ，其中 A （1，0）；复数－ 1＋2i 对应的向量为 O →B ，其中 B （－ 1，2）； 复数－ 3i 对应的向量为 O →C ，其中 C （0，－ 3）；复数 6－7i 对应的向量为 O →D ，其中 D （6，－7）. 如图所示 .所以 变式训练所以所以3、已知 A ＝｛1，2，a 2－3a －1＋（a 2－5a －6）i ｝，B ＝｛－1，3｝，A ∩B ＝｛3｝ ，求实数 a 的值. 由题意知， a 2－ 3a － 1＋ a 2－ 3a － 1＝ 3 ， a 2－ 5a － 6＝ 0 ， a ＝－ 1.a 2－5a －6）i ＝3（a ∈R ）， a ＝ 4或 a ＝－ 1， 即 考点四、复数与复平面内的点例 4、已知复数 z ＝（ a 2－ 1）＋ 的值（或取值范围） .（ 1）在实轴上； （ 2）在第三象限 .【 解】 （ 1 ）若对应的点在实轴上，则有12a －1＝ 0，解得 a ＝ 2.（ 2）若 z 对应的点在第三象限，则有 a 2 －1<0 ， 1解得－ 1<a<1.故 a 的取值范围是 － 1， 2a － 1<0. 2变式训练 4、求实数 a 取什么值时，复平面内表示复数（ 1）位于第二象限；（ 2）位于直线 y ＝ x 上 .解： 根据复数的几何意义可知，复平面内表示复数 a 2－ 3a ＋ 2） .（ 1）由点 Z 位于第二象限，得 a 2＋a －2<0，2 解得－ 2<a<1. a 2－3a ＋2>0，故满足条件的实数 a 的取值范围为（－ 2，1）.2a －1）i ，其中 a ∈R.当复数 z 在复平面内对应的点 Z 满足下列条件时，求 a 1 2.z ＝a 2＋a －2＋（ a 2－3a ＋2）i z ＝a 2＋a －2＋（ a 2－3a ＋ 2）i 的点就是点 Z （ a 2＋a －2，解析： 3－ 3i 对应向量为（ 3，－ 3），与 x 轴正半轴夹角为 30°，顺时针旋转 60°后所得向量终点在 y 轴 负半轴上，且模为 2 3.故所得向量对应的复数是－ 2 3i.答案： － 2 3i 考点六、复数的模例 6、（ 1）设（ 1＋i ）x ＝1＋yi ，其中 x ，y 是实数，则 |x ＋ yi|＝（ ）A.1B. 2C. 3D.2（ 2）已知复数 z 满足 z ＋|z|＝2＋8i ，求复数 z.【 解】 （1）选 B.因为 x ＋ xi ＝ 1＋ yi ，所以 x ＝ y ＝1， 所以 |x ＋yi|＝|1＋i|＝ 12＋12＝ 2.（ 2）法一： 设 z ＝a ＋bi （ a ，b ∈R ），则 |z|＝ a 2＋ b 2 ， 代入原方程得 a ＋ bi ＋ a 2＋b 2＝2＋ 8i ， a ＋ a 2＋ b 2＝ 2， 根据复数相等的充要条件，得 ＋ 解得b ＝8， 所以 z ＝－ 15＋ 8i. 法二： 由原方程得 z ＝2－|z|＋8i （* ）. 因为|z|∈R ，所以 2－|z|为 z 的实部， 故 |z|＝ （ 2－|z|）2＋82， 即|z|2＝4－4|z|＋|z|2＋64，得 |z|＝17. 将|z|＝17代入（ *）式得 z ＝－ 15＋8i. 变式训练 6、已知复数 z ＝ 3＋ ai （ a ∈ R ），且 |z|<4，求实数 解：法一： 因为 z ＝3＋ ai （a ∈ R ），所以 | 由已知得 32＋ a 2<4 2，所以 a 2<7，所以 a ∈ 法二：由|z|<4知z在复平面内对应的点在以原点为圆心，以 4为半径的圆内（不包括边界） ，由 z ＝3＋ ai 知z 对应的点在直线 x ＝ 3 上，所以线段 AB （除去端点）为动点 Z （3，由图可知－ 7<a< 7.三、课后练习1.若(x+y)i=x-1(x,y ∈R),则 2x+y 的值为 ( )A. B.2 C.0 D.1 解析 :由复数相等的充要条件知 ,x+y ＝０，ｘ－１＝０ 故 x+y=0. 故 2x+y =2 0=1. 答案 :D则A →D ＝（x －2，y －3），B →C ＝（－ 5，－5）. → → x － 2＝－ 5， 由题知， A →D ＝B →C ，所以 即 x ＝－ 3，故点 D 对应的复数为－ 3－ 2i.变式训练 5 、在复平面内，把复数 3－ 3i 对应的向量按顺时针方向旋转π3 ，所得向量对应的复a ＝－15， b ＝ a 的取值范围 . ＝ 32 ＋a 2，－ 7，2.已知集合 M={1,2,(m 2-3m-1)+(m 2-5m-6)i},N={-1,3}, 且 M∩ N={3}, 则实数 m的值为 ( )A.4B.-1C.-1 或 4D.-1 或 6 解析 :由于 M∩N={3} ,故 3∈M, 必有 m2-3m-1+(m 2-5m-6)i=3, 所以得 m=-1.答案 :B3. _______________________________________________________________ 给出下列复数 :①-2i,②3+,③8i2,④isin π⑤,4+i;其中表示实数的有 (填上序号 ) __________ .解析 :②为实数 ;③8i2=-8 为实数 ;④i · sin π =0为·实i=数0 ,其余为虚数 .答案 :②③④4.下列复数模大于 3,且对应的点位于第三象限的为 ( )A.z=-2-iB.z=2-3iC.z=3+2iD.z=-3-2i 解析 :A 中 |z|=<3;B 中对应点 (2,-3) 在第四象限 ;C 中对应点 (3,2)在第一象限 ;D 中对应点 (-3,-2) 在第三象限,|z|=>3.答案 :D5.已知复数 z满足 |z|2-2|z|-3=0,则复数 z对应点的轨迹为 ( ) A.一个圆 B.线段 C.两点 D.两个圆解析 :∵|z|2-2|z|-3=0,∴(|z|-3)(|z|+1)=0, ∴|z|=3,表示一个圆 ,故选 A.答案 :A6. _______________________________________________________ 已知在△ABC 中 ,对应的复数分别为 -1+2i,-2-3i, 则对应的复数为______________________________ .解析 : 因为对应的复数分别为 -1+2i,-2-3i,所以 =(-1,2),=(-2,-3). 又=(-2,-3)-(-1,2)=(-1,-5), 所以对应的复数为 -1-5i.答案 :-1-5i7.在复平面内 ,若复数 z=(m2-m-2)+(m 2-3m+2)i 的对应点 ,(1) 在虚轴上 ,求复数 z;(2)在实轴负半轴上 ,求复数 z. 答案 :(1) 若复数 z 的对应点在虚轴上 ,则 m2-m-2=0, 所以 m=-1或 m=2. 此时 z=6i 或 z=0.(2)若复数 z 的对应点在实轴负半轴上 ,则 m2-3m+2=0，m2-m-2<0,∴m=1能力提升8. _____________________________________________________ 若复数 z=cos θ +(-msin -θcosθ )i为虚数 ,则实数 m 的取值范围是________________________ .解析 :∵z 为虚数 ,∴ m-sin θ-cosθ≠ 0,即 m ≠ sin θ+cos θ.∵ sin θ +cos ∈θ[ - 2 , 2 ], ∴ m ∈ (-∞,- 2 )∪( 2 ,+ ∞). 答案 :(-∞,- 2 )∪( 2 ,+ ∞)9. _____________________________________________________ 若复数 (a 2-a-2)+(|a-1|-1)i(a ∈ R)不是纯虚数 ,则 a 的取值范围是 ________________________解析 :若复数为纯虚数 ,则有 a 2-a-2=0,|a-1|-1≠0 即 a=-1. 故复数不是纯虚数时 a ≠-1. 答案 :{a|a ≠-1} 10. _______________________________________________________ 已知向量与实轴正向夹角为 135°,向量对应复数 z 的模为 1,则 z= _________________________________ .解析 :依题意知 Z 点在第二象限且在直线 y=-x 上 , 设 z=-a+ai(a>0).1∵ |z|=1,∴ a 2= .而 a>0,2∴ a=22 答案 :z= i2211. ___________________________________ 已知复数 z 满足 z+|z|=2+8i, 则复数 z= . 解析 :设 z=a+bi(a,b ∈R), 则 |z|= a 2b2 ,代入方程得 ,a+bi+ a 2b 2= 2+8i,∴解得 a=-15∴ z=-15+8i. 答案 :-15+8i12. 已知 M= {1,(m 2-2m)+(m 2+m-2)i}, P={ -1,1,4i}, 若 M ∪ P=P ,求实数 m 的值. 解析 :M ∪P=P,∴M?P,即 (m 2-2m)+(m 2+m-2)i=-1 或 (m 2-2m)+(m 2+m-2)i=4i. 由 (m 2-2m)+(m 2+m-2)i=-1, 得解得 m=1;由 (m 2-2m)+(m 2+m-2)i=4i,解得 m=2. 综上可知 m=1 或 m=2. 答案 :m=1 或 m=213. 已知复数 z=2+cos θ +(1+sin θ∈)iR( ), θ试确定复数 z 在复平面内对应的点的轨迹是什么曲线 解析 : 设复数 z=2+cos θ +(1+sin θ对)i 应的点为 Z(x,y), 则 x=2+cos θ ,y=1+sin θ 即 cos θ =-x2,sin θ =-1y 所以 (x-2)2+(y-1) 2=1.∴z22所以复数 z 在复平面内对应点的轨迹是以 (2,1)为圆心 ,1 为半径的圆答案 :复数 z在复平面内对应点的轨迹是以 (2,1)为圆心 ,1为半径的圆14．已知复数 z＝ m(m－ 1)＋ (m2＋ 2m－3)i( m∈ R )．(1)若 z 是实数，求 m 的值；(2)若 z是纯虚数，求 m 的值；(3)若在复平面 C 内， z所对应的点在第四象限，求答案 : (1)∵z 为实数，∴m2＋2m－3＝0，解得 m＝－(2)∵z 为纯虚数，m m－ 1 ＝0 ， m2＋ 2m－ 3≠0.m 的取值范围．解得 m＝ 0.(3)∵z 所对应的点在第四象限，m m－ 1 >0 ，∴ 2解得－ 3<m<0. m2＋ 2m－ 3<0.。
(完整版)复数知识点归纳
复数【知识梳理】一、复数的根本概念1、虚数单位的性质i 叫做虚数单位，并规定：①i 可与实数进行四那么运算；②12-=i ；这样方程12-=x 就有解了，解为i x =或i x -=2、复数的概念〔1〕定义：形如bi a +(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，a 叫做，b 叫做。
全体复数所成的集合C 叫做复数集。
复数通常用字母z 表示，即bi a z +=(a ，b ∈R )对于复数的定义要注意以下几点：①bi a z +=(a ，b ∈R )被称为复数的代数形式，其中bi 表示b 与虚数单位i 相乘②复数的实部和虚部都是实数，否那么不是代数形式〔2〕分类：例题：当实数m 为何值时，复数i m m m m )3()65(-++-是实数？虚数？纯虚数？二、复数相等也就是说，两个复数相等，充要条件是他们的实部和虚局部别相等注意：只有两个复数全是实数，才可以比拟大小，否那么无法比拟大小例题：0)4()3(=-+-+i x y x 求y x ,的值三、共轭复数bi a +与di c +共轭),,,(,R d c b a d b c a ∈-==⇔bi a z +=的共轭复数记作bi a z -=_，且22_b a z z +=⋅ 四、复数的几何意义1、复平面的概念建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。
显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。
2、复数的几何意义复数bi a z +=与复平面内的点),(b a Z 及平面向量),(b a OZ =→),(R b a ∈是一一对应关系〔复数的实质是有序实数对，有序实数对既可以表示一个点，也可以表示一个平面向量〕相等的向量表示同一个复数例题：〔1〕当实数m 为何值时，复平面内表示复数i m m m m z )145()158(22--++-=的点①位于第三象限；②位于直线x y =上〔2〕复平面内)6,2(=→AB ，→→AB CD //，求→CD 对应的复数3、复数的模：向量→OZ 的模叫做复数bi a z +=的模，记作z 或bi a +，表示点),(b a 到原点的距离，即=z 22b a bi a +=+，z z =假设bi a z +=1，di c z +=2，那么21z z -表示),(b a 到),(d c 的距离，即2221)()(d b c a z z -+-=- 例题：i z +=2，求i z +-1的值五、复数的运算〔1〕运算法那么：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R①i d b c a di c bi a z z )()(21+++=+++=±②i ad bc bd ac di c bi a z z )()()()(21++-=+⋅+=⋅ ③2221)()()()())(()()(dc i ad bc bd ac di c di c di c bi a di c bi a z z +-++=-⋅+-+=++= 〔2〕OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即＝＋，＝－.六、常用结论〔1〕i ，12-=i ，i i -=3，14=i求n i ，只需将n 除以4看余数是几就是i 的几次例题：=675i（2）i i 2)1(2=+，i i 2)1(2-=-（3）1)2321(3=±-i ，1)2321(3-=±i 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√〞或“×〞)(1)方程x 2＋x ＋1＝0没有解.( )(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( )(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比拟大小.( )(4)原点是实轴与虚轴的交点.( )(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.() 【考点自测】1.(2021·安徽)设i是虚数单位，那么复数(1－i)(1＋2i)等于()A.3＋3iB.－1＋3iC.3＋iD.－1＋i2.(2021·课标全国Ⅰ)复数z满足(z－1)i＝1＋i，那么z等于()A.－2－iB.－2＋iC.2－iD.2＋i3.在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.假设C为线段AB的中点，那么点C对应的复数是()A.4＋8iB.8＋2iC.2＋4iD.4＋ia，b∈R a＋i＝2－b i，那么(a＋b i)2等于()A.3－4iB.3＋4iC.4－3iD.4＋3i5.(1＋2i)＝4＋3i，那么z＝________.【题型分析】题型一复数的概念例1z＝a－(a∈R)是纯虚数，那么a的值为()(2)a∈R，复数z1＝2＋a i，z2＝1－2i，假设为纯虚数，那么复数的虚部为()A.1B.iC.(3)假设z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i(m∈R)，z2＝3－2i，那么“m＝1〞是“z1＝z2〞的()引申探究1.对本例(1)中的复数z，假设|z|＝，求a的值.2.在本例(2)中，假设为实数，那么a＝________.思维升华解决复数概念问题的方法及考前须知(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.(2)解题时一定要先看复数是否为a＋b i(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部.(1)假设复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，那么实数x的值为()A.－1B.0C.1D.－1或1(2)(2021·浙江)i是虚数单位，a，b∈R，那么“a＝b＝1〞是“(a＋b i)2＝2i〞的()题型二复数的运算命题点1复数的乘法运算例2(1)(2021·湖北)i为虚数单位，i607的共轭复数为()A.iB.－iC.1D.－1(2)(2021·北京)复数i(2－i)等于()A.1＋2iB.1－2iC.－1＋2iD.－1－2i命题点2复数的除法运算例3(1)(2021·湖南)＝1＋i(i为虚数单位)，那么复数z等于()A.1＋iB.1－iC.－1＋iD.－1－i(2)()6＋＝________.命题点3复数的运算与复数概念的综合问题例4(1)(2021·天津)i是虚数单位，假设复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，那么实数a的值为________.(2)(2021·江苏)复数z＝(5＋2i)2(i为虚数单位)，那么z的实部为________.命题点4复数的综合运算例5(1)(2021·安徽)设i是虚数单位，表示复数zz＝1＋i，那么＋i·等于()(2)假设复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，那么z的虚部为()A.－4B.－C.4D.思维升华复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略(1)复数的乘法.复数的乘法类似于多项式的四那么运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可.(2)复数的除法.除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式.(3)复数的运算与复数概念的综合题，先利用复数的运算法那么化简，一般化为a＋b i(a，b∈R)的形式，再结合相关定义解答.(4)复数的运算与复数几何意义的综合题.先利用复数的运算法那么化简，一般化为a＋b i(a，b∈R)的形式，再结合复数的几何意义解答.(5)复数的综合运算.分别运用复数的乘法、除法法那么进行运算，要注意运算顺序，要先算乘除，后算加减，有括号要先算括号里面的.(1)(2021·山东)假设复数z满足＝i，其中i为虚数单位，那么z等于()A.1－iB.1＋iC.－1－iD.－1＋i(2)2021＝________.(3)＋2021＝________.题型三复数的几何意义例6(1)(2021·重庆)实部为－2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的()(2)△ABC的三个顶点对应的复数分别为z1，z2，z3，假设复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，那么z 对应的点为△ABC的()思维升华因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可.(1)如图，在复平面内，点A表示复数z，那么图中表示z的共轭复数的点是()A.AB.BC.CD.D(2)z是复数，z＋2i、均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围.【思想与方法】解决复数问题的实数化思想典例x，y为共轭复数，且(x＋y)2－3xy i＝4－6i，求x，y.思维点拨(1)x，y为共轭复数，可用复数的根本形式表示出来；(2)利用复数相等，将复数问题转化为实数问题.温馨提醒(1)复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最根本的思想方法. (2)此题求解的关键是先把x、y用复数的根本形式表示出来，再用待定系数法求解.这是常用的数学方法.(3)此题易错原因为想不到利用待定系数法，或不能将复数问题转化为实数方程求解.【方法与技巧】1.复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根.除法实际上是分母实数化的过程.z＝a＋b i(a，b∈R z＝a＋b i(a，b∈R)，既要从整体的角度去认识它，把复数看成一个整体，又要从实部、虚部的角度分解成两局部去认识.3.在复数的几何意义中，加法和减法对应向量的三角形法那么，其方向是应注意的问题，平移往往和加法、减法相结合.【失误与防范】1.判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义.2.两个虚数不能比拟大小.a＋b i(a，b∈R)中的实数b，即虚部是一个实数.【稳固练习】1.(2021·福建)假设(1＋i)＋(2－3i)＝a＋b i(a，b∈R，i是虚数单位)，那么a，b的值分别等于()A.3，－2B.3,2C.3，－3D.－1,4z＝＋i，那么|z|等于()A.B.C.3.(2021·课标全国Ⅱ)假设a为实数，且(2＋a i)(a－2i)＝－4i，那么a等于()4.假设i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，那么表示复数的点是()A.EB.FC.GD.H5.(2021·江西)是z的共轭复数，假设z＋＝2，(z－)i＝2(i为虚数单位)，那么z等于()A.1＋iB.－1－iC.－1＋iD.1－i6.(2021·江苏)设复数z满足z2＝3＋4i(i是虚数单位)，那么z的模为________.＝a＋b i(a，b为实数，i为虚数单位)，那么a＋b＝________.8.复数(3＋i)m－(2＋i)对应的点在第三象限内，那么实数m的取值范围是________.9.计算：(1)；(2)；(3)＋；(4).z1＝＋(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i，假设1＋z2是实数，求实数a的值.【能力提升】z1，z2满足z1＝m＋(4－m2)i，z2＝2cosθ＋(λ＋3sinθ)i(m，λ，θ∈R)，并且z1＝z2，那么λ的取值范围是()A.[－1,1]B.C.D.f(n)＝n＋n(n∈N*)，那么集合{f(n)}中元素的个数为()z＝x＋y i，且|z－2|＝，那么的最大值为________.a∈R，假设复数z＝＋在复平面内对应的点在直线x＋y＝0上，那么a的值为____________.15.假设1＋i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，那么b＝________，c＝________. 【稳固练习参考答案】1A.2.B.3.B..5.D.6..7.3.8.m<.9.解(1)＝＝－1－3i.(2)＝＝＝＝＋i.(3)＋＝＋＝＋＝－1.(4)＝＝＝＝－－i.10.解1＋z2＝＋(a2－10)i＋＋(2a－5)i＝＋[(a2－10)＋(2a－5)]i＝＋(a2＋2a－15)i.∵1＋z2是实数，∴a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3.又(a＋5)(a－1)≠0，∴a≠－5且a≠1，故a＝3.11.解析由复数相等的充要条件可得化简得4－4cos2θ＝λ＋3sinθ，由此可得λ＝－4cos2θ－3sinθ＋4＝－4(1－sin2θ)－3sinθ＋4＝4sin2θ－3sinθ＝42－，因为sinθ∈[－1,1]，所以4sin2θ－3sinθ∈.答案C12.解析f(n)＝n＋n＝i n＋(－i)n，f(1)＝0，f(2)＝－2，f(3)＝0，f(4)＝2，f(5)＝0，…∴集合中共有3个元素.答案 C13.解析∵|z－2|＝＝，∴(x－2)2＋y2max＝＝.14.解析∵z＝＋＝＋i，∴依题意得＋＝0，∴a＝0.15.解析∵实系数一元二次方程x2＋bx＋c＝0的一个虚根为1＋i，∴其共轭复数1－i也是方程的根.由根与系数的关系知，∴b＝－2，c＝3.。
数学复数概念知识点总结
数学复数概念知识点总结1.复数的定义复数是由实数和虚数单位i组成的数，虚数单位i定义为i^2=-1。
因此，一个一般的复数可以表示为z=a+bi，其中a和b都是实数，a称为复数的实部，b称为复数的虚部。
显然，实数可以视作具有虚部为0的复数。
复数的虚部和实部分别在复平面上对应于y轴和x轴的坐标，这使得复数可以用平面上的点来表示，也被称为复平面。
2.复数的运算复数的运算包括加法、减法、乘法和除法，下面分别介绍这些运算的规则。
加法和减法：两个复数的加法和减法是按照实部和虚部分别进行运算的，即(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i和(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i。
乘法：两个复数的乘法可以通过分配律和虚数单位的定义进行计算，即(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi^2=ac+(ad+bc)i-bd。
除法：复数的除法可以通过乘以共轭复数后再进行化简得到，即(a+bi)/(c+di)=(a+bi)(c-di)/(c+di)(c-di)=(ac+bd)/(c^2+d^2)+(bc-ad)/(c^2+d^2)i。
复数的运算遵守了实数的运算规则，并且通过虚数单位i的定义可以很方便地进行计算。
3.复数的幅角表示复数在复平面上可以用极坐标形式表示，即z=r(cosθ+isinθ)，其中r为复数到原点的距离，θ为复数与实轴的夹角。
这种表示方式可以很方便地计算幂运算和求根运算，也称为辐角表示。
4.复数方程与不等式复数可用于解方程和不等式。
解复数方程和不等式时，通常要转化为复数运算后再进行计算。
方程的解：复数方程通常会有多个解，因为虚部的存在使得复数有无穷多个根。
例如，方程z^2=1有两个根z=1和z=-1。
对于高次复数方程，可以使用牛顿法和其他数值方法来求解。
不等式：复数的大小可以用模来表示，即|z|=√(a^2+b^2)，这便是复数的模。
因此，复数的比较大小可以转化为模的比较，即|z1|<|z2|表示z1的模小于z2的模。
复数的有关概念
复数的有关概念1. 复数的定义复数是数学中的一个重要概念，用于表示实数以外的数。
复数由实部和虚部组成，可以用 a + bi 的形式表示，其中 a 和 b 均为实数，i 表示虚数单位，满足 i^2 = -1。
在复数中，a 表示实部，b 表示虚部。
2. 复数的运算与实数类似，复数也可以进行加、减、乘、除运算。
下面分别介绍这些运算的具体定义：2.1 加法和减法复数的加法和减法可以通过实部和虚部的分别相加或相减来完成。
例如，对于复数 a + bi 和 c + di，它们的加法和减法分别为： - 加法：(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i - 减法：(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i2.2 乘法复数的乘法可以通过实部和虚部的运算来完成。
例如，对于复数 a + bi 和 c + di，它们的乘法为：(a + bi) * (c + di) = (a * c - b * d) + (a * d + b * c)i2.3 除法复数的除法可以通过乘以共轭复数并除以模的平方来完成。
例如，对于复数 a + bi 和 c + di，它们的除法为：(a + bi) / (c + di) = [(a * c + b * d) / (c^2 + d^2)] + [(b * c - a * d) / (c^2 + d^2)] * i3. 复数的性质复数具有一些特殊的性质，下面列举其中几个重要的性质：3.1 共轭复数对于复数 a + bi，它的共轭复数为 a - bi。
共轭复数的实部相同，虚部相反。
例如，对于复数 3 + 4i，它的共轭复数为 3 - 4i。
3.2 模复数的模可以表示为复数到原点的距离，记作 |a + bi|。
模的计算公式为：|a + bi| = sqrt(a^2 + b^2)3.3 幂运算复数的幂运算可以根据指数法则来进行计算。
复数的概念
4．1复数的概念i=-;1.虚数单位i:它的平方等于-1，即212. i与－1的关系:i就是方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的另一个根是－i!3. i的周期性：i4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i, i4n=14.复数的定义：形如z=(,)+∈的数叫复数，a叫复数a bi ab R的实部，b叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示4. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：5.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C.6. 两个复数相等的定义：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di⇔a=c，b=d7. 复平面、实轴、虚轴：复数z =a +bi (a 、b ∈R )与有序实数对(a ，b )是一一对应数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴如z =3+2i 可以由有序实数对(3，2)确定，又如z =－2+i 可以由有序实数对(－2，1)来确定.这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.应用举例：1.请说出复数i i i i 53,31,213,32---+-+的实部和虚部，有没有纯虚数？2.复数－2i +3.14的实部和虚部是什么？3.实数m取什么数值时，复数z=m+1+(m－1)i是:(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？4.已知(2x－1)+i=y－(3－y)i，其中x，y∈R，求x与y.5.已知(3x+2y)+(5x－y)i=17－2i,其中x，y∈R，求x与y.6.已知集合M=｛1，2，(m2－3m－1)+(m2－5m－6)i｝，集合P=｛－1，3｝.M∩P=｛3｝，则实数m的值为( )A.－1B.－1或4C.6D.6或－17.用复平面坐标表示下列各复数：（1）2+5i （2）－3+2i（3）2－4i （4）－3－i（5）5 （6）－3i8.求复数z=－5－12i 在复平面内对应的点到原点的距离9.实数m 为何实数时，复平面内表示复数2()()i 14z m m =+－－ 的点位于直线310x y -+=。
复数的概念和运算法则
复数的概念和运算法则复数是由实数和虚数组合而成的数，它由实部和虚部构成，通常表示为a + bi的形式，其中a和b都是实数，i为虚数单位，满足i^2 = -1。
复数在数学中起到重要作用，尤其在电工、物理学和工程领域中有广泛应用。
一、复数的定义和表示1. 定义：复数是由实数和虚数构成的数字，虚数单位i满足i^2 = -1。
2. 表示方法：复数一般表示为a + bi的形式，其中a为实部，bi为虚部。
实部和虚部都是实数。
二、复数的运算法则1. 加法和减法：（1）加法：两个复数相加，实部与实部相加，虚部与虚部相加，例如：(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i（2）减法：两个复数相减，实部与实部相减，虚部与虚部相减，例如：(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i2. 乘法：两个复数相乘，应用分配律，同时注意i的平方为-1，例如：(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i3. 除法：两个复数相除，需要进行分子分母的有理化，即以实数的形式写出结果，例如：(a + bi) / (c + di) = [(a + bi)(c - di)] / [(c + di)(c - di)]= [(ac + bd) + (bc - ad)i] / (c^2 + d^2)三、复数的共轭和模1. 共轭：复数的共轭是指保持实部不变，虚部取负的操作，例如：对于复数a + bi，它的共轭是a - bi，即实部不变，虚部取负。
2. 模：复数的模是指复数与自身共轭的乘积的平方根，例如：对于复数a + bi，它的模是|(a + bi)| = √(a^2 + b^2)四、复数的应用复数在电工、物理学和工程领域中有广泛的应用。
例如，在交流电路中，复数用于表示电压和电流的相位关系。
复数的概念及四种表示方法
复数的概念及四种表示方法1. 复数是数学中的一种数形结构，表示为a + bi的形式，其中a和b都是实数，i是虚数单位，满足i^2 = -1。
2. 复数的实部是指复数a + bi中的实数部分a，虚部是指复数a + bi中的虚数部分bi。
3. 复数的共轭是指将复数a + bi中的虚数部分b取相反数，即变为a - bi。
复数的共轭可以表示为conjugate(a + bi)或者a*。
4. 复数可以表示为直角坐标形式，即a + bi，其中a表示复数在实轴上的位置，b表示复数在虚轴上的位置。
直角坐标形式也可以用于表示复数之间的运算。
5. 复数还可以表示为极坐标形式，即r(cosθ + isinθ)，其中r表示复数到原点的距离，θ表示复数与正实轴的夹角。
极坐标形式可以通过欧拉公式e^(iθ)来表示。
6. 复数的模是指复数a + bi到原点的距离，即|r| = sqrt(a^2 + b^2)。
7. 复数的幅角是指复数a + bi与正实轴的夹角，可以表示为arg(a + bi)或者θ。
8. 复数之间的加法是将实部分和虚部分分别相加，即(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i。
9. 复数之间的减法是将实部分和虚部分分别相减，即(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i。
10. 复数之间的乘法是根据公式(a + bi) × (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i进行计算，实部相乘后减去虚部相乘后的结果，然后加上实部与虚部相乘的结果。
这些是关于复数的基本概念及表示方法。
复数在数学中有着广泛的应用，特别是在电学、物理学和工程学等领域中。
复数的运算规律和性质可以帮助我们解决许多实际问题。
复数概念及公式总结
复数概念及公式总结复数是数学中一个重要的概念，用来表示两个实数的有序对。
复数可以用实数两部分，实部和虚部来表示，形式为a + bi，其中a和b都是实数，i是虚数单位，满足i^2 = -1。
复数的实部是a，表示复数在实数轴上的投影，而虚部是b，表示复数在虚数轴上的投影。
当虚部b为0时，复数就是一个实数; 当实部a为0时，复数就是一个虚数。
例如，3 + 4i是一个复数，它的实部是3，虚部是4；而5是一个实数，实部为5，虚部为0；而4i是一个虚数，实部为0，虚部为4。
对于复数的加法和减法，实部和虚部分别进行相加和相减。
例如(3 + 4i) + (2 + 5i) = (3 + 2) + (4 + 5)i = 5 + 9i; (3 + 4i) - (2 + 5i) = (3 - 2) + (4 - 5)i = 1 - i。
复数的乘法使用分配律进行计算。
例如，(3 + 4i) * (2 + 5i) = 3 * 2 + 3 * 5i + 4i * 2 + 4i * 5i = 6 + 15i + 8i + 20i^2 = 6 + 23i - 20 = -14 + 23i。
复数的除法可以通过将分子和分母的实部和虚部分别相乘，然后使用有理化的方法消去虚数i得到结果。
例如，(3 + 4i) / (2 + 5i) = (3 + 4i)(2 - 5i) / (2 + 5i)(2 - 5i) = (6 - 15i + 8i - 20i^2) / (4 + 25) = (-14 - 7i) / 29 = -14/29 - 7i/29。
复数还可以使用极坐标形式表示，其中模长表示复数到原点的距离，参数表示复数的辐角。
复数的极坐标形式为a * cosθ + a * sinθi，其中a是模长，θ是辐角。
例如，3 + 4i的极坐标形式为5 * cos(arctan(4/3)) + 5 * sin(arctan(4/3))i。
复数的乘方运算可以通过将复数转换为极坐标形式，并使用欧拉公式进行计算。
复数的概念和运算
复数的概念和运算复数是数学中一个重要的概念，广泛应用于各个领域。
本文将介绍复数的概念和运算，以及复数在实际问题中的应用。
一、复数的概念复数是由实数和虚数组成的数，形式为a+bi，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位。
实部和虚部可以是任意实数。
例如，3+2i和-5-4i都是复数。
其中，3是实部，2i是虚部。
二、复数的表示形式复数有多种表示形式，常见的有代数形式、三角形式和指数形式。
代数形式即a+bi的形式，是复数最常见的表示方法。
三角形式则是使用模长和幅角来表示复数，形式为|z|∠θ。
指数形式则是使用指数函数e的幂次来表示复数，形式为re^(iθ)，其中r为模长，θ为幅角。
三、复数的运算复数的运算包括加法、减法、乘法和除法。
这些运算可以通过分别对实部和虚部进行运算来完成。
下面以代数形式为例进行说明。
1. 复数的加法要计算两个复数的加法，只需将它们的实部相加，虚部相加即可。
例如，(3+2i)+(5-4i)=8-2i。
2. 复数的减法复数的减法与加法类似，只需将减数取相反数后再进行加法运算即可。
例如，(3+2i)-(5-4i)=-2+6i。
3. 复数的乘法复数的乘法是通过将两个复数的实部、虚部按照指定规则相乘得到。
例如，(3+2i)*(5-4i)=23+2i。
4. 复数的除法复数的除法是将被除数与除数的共轭复数相乘，然后分别除以除数的模长的平方。
例如，(3+2i)/(5-4i)=-0.2+0.56i。
四、复数的应用复数广泛应用于工程、物理、电子等领域，在实际问题中具有重要作用。
1. 电路分析在电路分析中，复数可以用来表示电流和电压之间的相位关系。
复数的乘法和除法可以简化对电路的计算和分析。
2. 信号处理在信号处理中，复数常用于表示正弦信号或复杂信号的频谱。
通过对复数进行运算，可以提取信号的频率、相位等重要信息。
3. 振动分析在振动分析中，复数可以用来表示物体振动的幅值和相位。
通过对复数进行运算，可以得到振动的幅频特性和相频特性。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
.-复数的概念
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
南京商业学校教案
授课日期2015年月日第周时数课型新课课题§17.1 复数的概念
教学目标知识目标：了解数集扩展的方法与过程，知道复数产生的原因和虚数单位的意义，理解纯虚数、虚数、复数的概念，知道复数的分类。
理解共轭复数、相等复数的概念掌握复数集内实系数一元二次方程的解法。
能力目标：能区分虚数与纯虚数，明白各数系的关系；会求负实数的平方根；能利用复数及其相等的有关充要条件，
建立相应的方程，转化复数问题；会在复数集内解实
系数一元二次方程。
情感目标：体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。
．
教学重点复数及其相关概念
教学难点复数及其相关概念的理解
教学资源课本，教学参考书，学习指导书，网络
教法与学法教师启发、引导，学生自主阅读、思考，讨论、交流学习成果。
学情分析（含更新、补充、删节内容）
考虑到学生对复数概念的理解有一定困难，本节课要使学生了解数的概念的发展和扩充实数集的必要性，知道实数系扩充到复数系的过程。
板书设计
§17.1复数的概念
1．数集的扩展例1 例4
2. 虚数
3．复数例2 例5 4. 在复数集内解实系数一元二次方程例3
教后记
教学程序和教学内容（包括课外作业和板书设计）
师生活动
一、复习引入
看下面的数学问题：设221
11x
x ,x x +=+
求的值。
学生计算：1211222-=-+=+）（x x x
x 。
从中可以知道，满足11=+x
x 的数是存在的，那么x 一种怎
样的数呢？本节将学习这种新的数—复数。
二、讲授新课 1．数集的扩展 我们回顾一下数集的扩展过程就可以知道，数集的每一次扩展，都是为了解决实际问题或数学存在的问题，例如，方程2
2=x 在实数集R 中有解：2±=x ，数的范围扩充到实数集R 以后，还不能完全解决解方程的问题，如012=+x 这样的方程在实数集中仍然无解，所以，需要引进新的数，扩展实数集，使得012=+x 这类方程有解。
2.虚数 引进新数1-=i ，称之为虚数单位，规定：12-=i ，并且i 与实数一起按照实数的运算法则进行运算。
根据上述规定，对于负实数a ，有 11a a a a i =⨯-=-=g g （） 这样，i 就是-1的一个平方根，-i 是-1的另一个平方根。
因此，引进虚数单位i 后，方程012
=+x 就有解i x ±=，从而解决了
）（002
>=+a a x 这类方程求解问题。
想一想：?i ?,i ?,i ?,i ====6543
一般地，虚数单位i 有下面的性质：
i i ,i ,i i ,i n n n n -=-===+++342414411 虚数单位i 与非零实数b 相乘得到的数b i 不可能是任何实数，我们把b i （0≠∈b ,R b ）这类数叫做纯虚数。
把纯虚数b i 与实数
形式地进行加法运算，得到形如)b ,R b ,a (bi a 0≠∈+的数叫做虚数，所有虚数构成的集合叫做虚数集。
学生通过计算发现：
1122-=+x x
学生思考并回答
例1．下列各数中，哪些是实数？哪些是虚数？哪些是纯虚数？
i4
3+，i2
2+
-，i.2
-，
5
3
，i，i-
3，0
030
30sin
i
cos+
解：实数有
5
3
；虚数有i4
3+，i2
2+
-i
.2
-，i，i-
3，
030
30sin
i
cos+；纯虚数有i.2
-，i
3.复数
（1）复数的定义：形如)
R
b,a
(
bi
a∈
+的数叫做复数，通常用小
写字母z表示，即)
R
b,a
(
bi
a
z∈
+
=其中b,a分别叫做复数的实
部和虚部。
全体复数构成的集合称为复数集，通常用大写字母C表示，即
C={}R
b,a,
bi
a
z z∈
+
=
实数a可以写成0
+
a·i,所以实数也是复数,复数集包含了实
数集。
（2）复数的分类: 对于复数）
（R
b,a
bi
a
z∈
+
=，当0
=
b时，
a
z=为实数；当0
≠
b时，称复数bi
a
z+
=为虚数；当0
0≠
=b
a而
时，称复数bi
z=为纯虚数。
因此，复数集就是实数集和虚数集
的并集。
复数的分类(下面的a，b均为实数)
想一想：复数集、实数集和虚数集之间的关系怎样用图形表
示？
例2．实数m取怎样的值时，复数i
m
m
z）
（
）
（1
2-
+
-
=是（1）
实数；（2）虚数；(3)纯虚数？
解：复数z的实部为2
-
m，虚部为1
-
m
（1）当1-
m=0，即1
=
m时，复数z是实数；
（2）当0
1≠
-
m，即1
≠
m时，复数z是虚数；
（3）当2
-
m=0时，即2
=
m时，复数z是纯虚数（此时
1≠
-
m）。
（3）复数相等与共轭复数
①如果两个复数bi
a+与di
c+）
（R
d,c,b,a∈的实部和虚部
学生口答
师生共同完成
学生思考并画出
图形
分别相等，则称这两个复数相等，即 bi a +=d b ,c a di c ==⇔+ 特别地，有0=+bi a 0==⇔b a 。
利用复数相等的充要条件，可以把复数问题转化为实数问题来解决。
例3．已知
i y x x i y x ）（）（-+=-+62,其中R y ,x ∈，求x 、y 的值。
解：根据复数相等的意义，得方程组 ⎩⎨
⎧-=-=+y x x
y x 162 解得3
532==y ,x
注意：任何两个实数都可以比较大小，但两个复数，如果不
全是实数，就不能比较大小。
例如，i 2与0，i 2与i 3，4与i -4都
不能比较大小。
②当两个复数的实部相等，而虚部互为相反数时，称这两个
复数互为共轭复数，复数z 的共轭复数记为z 。
例如，复数bi a z +=的共轭复数是bi a z -=。
i +3与i -3、i 2-与i 2互为共轭复数。
4．在复数集内解实系数一元二次方程
因为
a i -=±2
a ）（，所以i a ±都是-a 的平方根，即复数集内，负数可以开平方根，由此可知，实系数一元二次方程）（002≠=++a c bx ax 在复数集内总有解。
当042>-=ac b ∆时，有两个不相等的两实根，a ac b b x ,242
21-±-=
； 当042=-=ac b ∆时，有两个相等的实根，a
b
x x 221-==；
当042<-=ac b ∆时，有两个共轭虚根，a i ac b b x ,242
21）（--±-=
例4．在复数集内解下列方程：
（1）052=+x ，（2）012=++x x 师生共同完成
师生共同完成
师生共同完成
师生共同完成
解：（1）由052=+x 得52-=x ，所以方程的解为i x 5±=
（2）由因为034142<-=-=-=ac b ∆，
所以i i x 2
3
21231±-=±-= 即方程012
=++x x 有两个共轭虚根：i x 2
3211+
-=， i x 2
3
212--= 例5．在复数范围内分解因式：
（1）52+x （2）542+-x x
解：（1）52+x =）（52--x =()()
i x i x i x 5552
2-+=-
）（ (2)设542+-x x =0，则由求根公式得
i a
i
b a
c b x ,±=-±-=22422
1
所以 542+-x x =()[]i x +-2()[]()()i x i x i x +---=--222 想一想：例5（2）还可以怎样解？
三、课堂练习
课本P60练习1、2、3
四、课堂小结
1．复数、虚数、纯虚数的概念及它们之间的关系。
2．两复数相等的充要条件及共轭复数的概念。
3．在复数集内实系数一元二次方程的解法。
五、布置作业
课本练习P62： 练习1、2 习题1、2、3、4
学生思考并回答
学生练习 教师讲评 学生总结 教师补充。