复数的概念

.-复数的概念

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南京商业学校教案

授课日期2015年月日第周时数课型新课课题§17.1 复数的概念

教学目标知识目标：了解数集扩展的方法与过程，知道复数产生的原因和虚数单位的意义，理解纯虚数、虚数、复数的概念，知道复数的分类。理解共轭复数、相等复数的概念掌握复数集内实系数一元二次方程的解法。

能力目标：能区分虚数与纯虚数，明白各数系的关系；会求负实数的平方根；能利用复数及其相等的有关充要条件，

建立相应的方程，转化复数问题；会在复数集内解实

系数一元二次方程。

情感目标：体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。．

教学重点复数及其相关概念

教学难点复数及其相关概念的理解

教学资源课本，教学参考书，学习指导书，网络

教法与学法教师启发、引导，学生自主阅读、思考，讨论、交流学习成果。

学情分析（含更新、补充、删节内容）

考虑到学生对复数概念的理解有一定困难，本节课要使学生了解数的概念的发展和扩充实数集的必要性，知道实数系扩充到复数系的过程。

板书设计

§17.1复数的概念

1．数集的扩展例1 例4

2. 虚数

3．复数例2 例5 4. 在复数集内解实系数一元二次方程例3

教后记

教学程序和教学内容（包括课外作业和板书设计）

师生活动

一、复习引入

看下面的数学问题：设221

11x

x ,x x +=+

求的值。

学生计算：1211222-=-+=+）（x x x

x 。

从中可以知道，满足11=+x

x 的数是存在的，那么x 一种怎

样的数呢？本节将学习这种新的数—复数。 二、讲授新课 1．数集的扩展 我们回顾一下数集的扩展过程就可以知道，数集的每一次扩展，都是为了解决实际问题或数学存在的问题，例如，方程2

2=x 在实数集R 中有解：2±=x ，数的范围扩充到实数集R 以后，还不能完全解决解方程的问题，如012=+x 这样的方程在实数集中仍然无解，所以，需要引进新的数，扩展实数集，使得012=+x 这类方程有解。

2.虚数 引进新数1-=i ，称之为虚数单位，规定：12-=i ，并且i 与实数一起按照实数的运算法则进行运算。

根据上述规定，对于负实数a ，有 11a a a a i =⨯-=-=g g （） 这样，i 就是-1的一个平方根，-i 是-1的另一个平方根。因此，引进虚数单位i 后，方程012

=+x 就有解i x ±=，从而解决了

）（002

>=+a a x 这类方程求解问题。 想一想：?i ?,i ?,i ?,i ====6543

一般地，虚数单位i 有下面的性质：

i i ,i ,i i ,i n n n n -=-===+++342414411 虚数单位i 与非零实数b 相乘得到的数b i 不可能是任何实数，我们把b i （0≠∈b ,R b ）这类数叫做纯虚数。把纯虚数b i 与实数

形式地进行加法运算，得到形如)b ,R b ,a (bi a 0≠∈+的数叫做虚数，所有虚数构成的集合叫做虚数集。

学生通过计算发现：

1122-=+x x

学生思考并回答

例1．下列各数中，哪些是实数？哪些是虚数？哪些是纯虚数？

i4

3+，i2

2+

-，i.2

-，

5

3

，i，i-

3，0

030

30sin

i

cos+

解：实数有

5

3

；虚数有i4

3+，i2

2+

-i

.2

-，i，i-

3，

030

30sin

i

cos+；纯虚数有i.2

-，i

3.复数

（1）复数的定义：形如)

R

b,a

(

bi

a∈

+的数叫做复数，通常用小

写字母z表示，即)

R

b,a

(

bi

a

z∈

+

=其中b,a分别叫做复数的实

部和虚部。

全体复数构成的集合称为复数集，通常用大写字母C表示，即

C={}R

b,a,

bi

a

z z∈

+

=

实数a可以写成0

+

a·i,所以实数也是复数,复数集包含了实

数集。

（2）复数的分类: 对于复数）

（R

b,a

bi

a

z∈

+

=，当0

=

b时，

a

z=为实数；当0

≠

b时，称复数bi

a

z+

=为虚数；当0

0≠

=b

a而

时，称复数bi

z=为纯虚数。因此，复数集就是实数集和虚数集

的并集。

复数的分类(下面的a，b均为实数)

想一想：复数集、实数集和虚数集之间的关系怎样用图形表

示？

例2．实数m取怎样的值时，复数i

m

m

z）

（

）

（1

2-

+

-

=是（1）

实数；（2）虚数；(3)纯虚数？

解：复数z的实部为2

-

m，虚部为1

-

m

（1）当1-

m=0，即1

=

m时，复数z是实数；

（2）当0

1≠

-

m，即1

≠

m时，复数z是虚数；

（3）当2

-

m=0时，即2

=

m时，复数z是纯虚数（此时

1≠

-

m）。

（3）复数相等与共轭复数

①如果两个复数bi

a+与di

c+）

（R

d,c,b,a∈的实部和虚部

学生口答

师生共同完成

学生思考并画出

图形